湖南省五市十校共同体2017届高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年湖南省五市十校共同体高三（上）12月联考数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x≥2}，B={x|}，则A∩B=（　　）
A．
B．[2，4）
C．[2，+∞）
D．（4，+∞）
2．已知复数z满足，则|z|=（　　）
A．1
B．
C．2
D．
3．已知数列{an}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{an}是等比数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．在矩形中ABCD中，AB=2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．
B．27π
C．27π
D．
6．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．12
7．已知F1、F2是双曲线E：的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．2
C．1+
D．2+
8．△ABC是边长为2的等边三角形，向量，满足=2，
=2+，则向量，的夹角为（　　）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（　　）
A．i＞3？
B．i＜4？
C．i＞4？
D．i＜5？
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＜0，若存在自然数m≥3，使得am=Sm，则当n＞m时，Sn与an的大小关系是（　　）
A．Sn＜an
B．Sn≤an
C．Sn＞an
D．大小不能确定
11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）=（　　）
A．﹣1
B．
C．1
D．0
12．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣）
B．（）
C．（）
D．（）
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线l：mx+y+=0．与圆（x+1）2+y2=2相交，弦长为2，则m=　　．
14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是　　（用数字作答）．
15．有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为　　．
16．有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为　　．
　
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．
18．为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
用电量（度）
（0，200]
（200，400]
（400，600]
（600，800]
（800，1000]
户数
5
15
10
15
5
（I）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（II）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
20．如图，设点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
21．函数f（x）=x3+|x﹣a|（x∈R，a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上为增函数，求a的取值范围；
（2）已知函数f（x）在R上不单调．
①记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值、最小值分别为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
②设b∈R，若|f（x）+b|≤对任意实数x∈[﹣1，1]都成立，求a﹣b的取值范围．
　
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若，求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA| |PB|的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|（a＜3）．
（1）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x}，求a的值；
（2）若对 x∈R，f（x）+|x﹣3|≥1，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年湖南省五市十校共同体高三（上）12月联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x≥2}，B={x|}，则A∩B=（　　）
A．
B．[2，4）
C．[2，+∞）
D．（4，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x|x≥2}，
B={x|}={x|x＜1或x＞4}，
则A∩B={x|x＞4}=（4，+∞）．
故选：D．
　
2．已知复数z满足，则|z|=（　　）
A．1
B．
C．2
D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：由，
得．
则|z|=1．
故选：A．
　
3．已知数列{an}的前n项和S，则“A=﹣B“是“数列{an}是等比数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】已知{an}成为公比不等于1的等比数列，可得出A+B=0，推断A+B=0是使{an}成为公比不等于1的等比数列的必要条件；数列{an}前n项和Sn=Aqn+B，A+B=0，得到 {an}成为公比不等于1的等比数列，可推断A+B=0是使{an}成为公比不等于1的等比数列的充分条件．从而得出正确答案．
【解答】解：（1）若{an}成为公比不等于1的等比数列，则
Sn==﹣，比照Sn=Aqn+B，得
A=，B=﹣故A=﹣B，
若{an}为公比等于1的等比数列，
则：Sn=na1，比照Sn=Aqn+B，得
A=n，B=0，推不出A≠﹣B，不是必要条件，
（2）若已知：数列{an}前n项和Sn=Aqn+B，A=﹣B即A+B=0，则
a1=S1=Aq+B=A（q﹣1），
n＞1时
an=Sn﹣Sn﹣1=aAqn+B﹣[Aqn﹣1+B]=Aqn﹣1（q﹣1），
{an}成为公比不等于1的等比数列．
故A+B=0是使{an}成为公比不等于1的等比数列的充分不必要条件．
故选：A．
　
4．在矩形中ABCD中，AB=2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，△ABP的最大边是AB的概率p=，由此利用几何概型能求出结果．
【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，
交C、D于P1，P2，
当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边为AB，
∵在矩形中ABCD中，AB=2AD，设AB=2AD=2，
∴AP1=BP2=2，∴CP1=DP2=2﹣=2﹣，
∴P1P2=2﹣2（2﹣）=2﹣2，
∴△ABP的最大边是AB的概率：
p==．
故选：D．
　
5．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（　　）
A．
B．27π
C．27π
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面是边长为3的正方形，且高为3，
其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，
所以外接球半径R满足：2R==，
所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．
故选：B．
　
6．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．12
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，判断目标函数经过的点，可得最优解．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：
∵目标函数z=2x+y，平移目标函数，的目标函数经过可行域的A时，取得最小值．，可得A（2，2）
故在A（2，2）处目标函数达到最小值：6．
故选：B．
　
7．已知F1、F2是双曲线E：的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．2
C．1+
D．2+
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠MF2F1=45°，从而|MF1|=|F1F2|，求出关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．
【解答】解：∵△MF2N是等腰直角三角形，∴∠MF2N为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线MN垂直x轴，
∴∠MF2F1=45°，
∴|MF1|=|F1F2|，∵F为左焦点，设其坐标为（﹣c，0），
令x=﹣c，则有y=±，
∴|MF1|==2c，∴c2﹣2ac﹣a2=0
∴e2﹣2e﹣1=0
∵e＞1，∴e=1+．
故选：C．
　
8．△ABC是边长为2的等边三角形，向量，满足=2，
=2+，则向量，的夹角为（　　）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由向量的数量积的定义可得=2，再由向量的平方即为模的平方，计算即可得到的值．再根据根据||=|2+|=2，求得||，从而求得向量，的夹角θ的值．
【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，∵向量，满足=2，
=2+，
∴=2 2cos=2，
又∵=2 （2+）=4+2=4+2=2，∴=﹣1．
根据||=|2+|=2，可得4+4+=4﹣4+=4，可得=4，∴||=2．
设向量，的夹角为θ，由=1 2 cosθ=﹣1，可得cosθ=﹣，∴θ=120°，
故选：C．
　
9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（　　）
A．i＞3？
B．i＜4？
C．i＞4？
D．i＜5？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
i=1，S=10，
满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S=10﹣21=8，i=2，
满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S=8﹣22=4，i=3，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S=4﹣23=﹣4，i=4，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S=﹣4﹣24=﹣20，i=5，
此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，
则条件框内应填写：i＜5，
故选：D．
　
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＜0，若存在自然数m≥3，使得am=Sm，则当n＞m时，Sn与an的大小关系是（　　）
A．Sn＜an
B．Sn≤an
C．Sn＞an
D．大小不能确定
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】推导出Sm﹣1=0，从而am﹣1=﹣a1＞0，等差数列{an}的公差d＞0，当n＞m时，an＞0，由此能求出结果．
【解答】解：∵Sm=Sm﹣1+am=am，
∴Sm﹣1=0，即，又m≥3，a1＜0，
∴am﹣1=﹣a1＞0，
∴等差数列{an}的公差d＞0，
∴当n＞m时，an＞0，
∴Sn=Sm﹣1+am+am+1+…+an＞an．
故选：C．
　
11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）=（　　）
A．﹣1
B．
C．1
D．0
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T、ω以及φ的值，再求f（）的值．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），
∴T=﹣=π，
∴T=π，
∴ω=2；
又函数f（x）的图象经过点（，1），
∴sin（2×+φ）=1，解得φ=，
∴f（x）=sin（2x+）；
∴f（）=sin（+）+sin（+）+sin（+）
+sin（+）+sin（+）+sin（+）+sin（+）+…
=1+﹣﹣1﹣++1+…=0．
故选：D．
　
12．若函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣）
B．（）
C．（）
D．（）
【考点】函数的图象．
【分析】由题意可得ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：
存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），
即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，
∵当x趋近于负无穷大时，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，
且函数h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，
∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，
∴lna＜ln，
∴a＜，
∴a的取值范围是（﹣∞，），
故选：A
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线l：mx+y+=0．与圆（x+1）2+y2=2相交，弦长为2，则m=　　．
【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．
【分析】利用直线l：mx+y+=0与圆（x+1）2+y2=2相交，弦长为2，得出圆心到直线l：mx+y+=0的距离为=1，即可求出m．
【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心坐标为（﹣1，0），半径为，则
∵直线l：mx+y+=0与圆（x+1）2+y2=2相交，弦长为2，
∴圆心到直线l：mx+y+=0的距离为=1
∴m=，
故答案为：．
　
14．在（2x+1）（x﹣1）5的展开式中含x3项的系数是　﹣10　（用数字作答）．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】把（x﹣1）5
按照二项式定理展开，可得（2x+1
）
（x﹣1）5展开式中含x3项的系数．
【解答】解：∵（2x+1）（
x﹣1）5=（2x+1）（ x5﹣ x4+ x3﹣ x2+ x﹣）
故含x3项的系数是2（﹣
）+=﹣10，
故答案为：﹣10．
　
15．有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为　　．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】设有共同底边的等边三角形ABC和BCD的边长为2，取BC中点O，连结AO，BO，则OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出异面直线AB和CD所成角的余弦值．
【解答】解：设有共同底边的等边三角形ABC和BCD的边长为2，
取BC中点O，连结AO，BO，则OA，OB，OC两两垂直，
以O为原点，建立如图所求的空间直角坐标系O﹣xyz，
则B（0，﹣1，0）A（0，0，），C（0，1，0），
D（），
=（0，﹣1，﹣），=（），
设异面直线AB和CD所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为．
故答案为：．
　
16．有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为　（+1）L．　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．
【解答】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，
传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．
由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：
t=t1+t2，
即：
=+
整理上式得：V12﹣2V1V2﹣V22=0
解得：V1=（+1）V2；
将上式等号两边同乘总时间t，
即V1t=（+1）v2t
V1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，
则有S1=（+1）S2=（+1）L．
故答案为：（+1）L．
　
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c=0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB=，AD=，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c=0，
由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0，
由sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）得，
sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC=0，
则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC=0，
又sinC≠0，则sinA﹣cosA=1，
化简得，，即，
又0＜A＜π，所以A=；
（2）在△ABC中，cosB=得，sinB==…
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
==…
由正弦定理得，
==…
设a=7x、c=5x，
在△ABD中，由余弦定理得：
AD2=AB2+BD2﹣2 AB BD cosB，
，
解得x=1，
则a=7，c=5…
所以△ABC的面积S==…
　
18．为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．
用电量（度）
（0，200]
（200，400]
（400，600]
（600，800]
（800，1000]
户数
5
15
10
15
5
（I）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（II）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
【考点】离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）推导出其中年用电量不超过600度的户数为X服从二项分布，即X～B（10，），由此能求出X的数学期望．
（II）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），由抽样可得E（Y）=500度，由此能求出结果．
【解答】解：（I）记在该县山区居民中随机抽取1户，
其年用电量不超过600度为事件A．
由抽样可知，．…
由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，
记其中年用电量不超过600度的户数为X服从二项分布，即X～B（10，），
故．…
（II）设该县山区居民户年均用电量为E（Y），
由抽样可得（度）…
则该自然村年均用电约150000度．
又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，
故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，
能为该村创造直接收益120000元．…
　
19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）利用直角梯形的性质求出AB，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出AB⊥PA，故AB⊥平面PAC，于是AB⊥PC；
（2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，
AD=CD=2，BC=4，
∴AC=4，AB===4，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB，
∴AB⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴AB⊥PC．
（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MN⊥AD于N，则MN∥PA，
∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥平面MNG，
∴AC⊥NG，即∠MGN是二面角M﹣AC﹣D的平面角．
若∠MGN=45°，则NG=MN，又AN=NG=MN，
∴MN=1，即M是线段PD的中点．
∴存在点M使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°．
在三棱锥M﹣ABC中，VM﹣ABC=S△ABC MN==，
设点B到平面MAC的距离是h，则VB﹣MAC=，
∵MG=MN=，∴S△MAC===2，
∴=，解得h=2．
在△ABN中，AB=4，AN=，∠BAN=135°，∴BN==，
∴BM==3，
∴BM与平面MAC所成角的正弦值为=．
　
20．如图，设点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为﹣．
（1）求P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）由题意知（x），可求P的轨迹方程；
（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用kOMkON==﹣，得2t2=2m2+3，即可证明结论．
【解答】（1）解：由已知设点P的坐标为（x，y），由题意知（x），
化简得P的轨迹方程为（x）…
（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，
则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知kAPkBP=﹣．
因为AP∥OM，BP∥ON，所以kOMkON=﹣…
设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，得（3+2m2）y2+4mty+2t2﹣6=0…①，…
设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=…
所以kOMkON==﹣，得2t2=2m2+3…
又S△MON=|t||y1﹣y2|==，
即△MON的面积为定值…
　
21．函数f（x）=x3+|x﹣a|（x∈R，a∈R）．
（1）若函数f（x）在R上为增函数，求a的取值范围；
（2）已知函数f（x）在R上不单调．
①记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值、最小值分别为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；
②设b∈R，若|f（x）+b|≤对任意实数x∈[﹣1，1]都成立，求a﹣b的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）讨论当x≥a时，当x＜a时，去掉绝对值，讨论单调性，可得a的范围；
（2）①由f（x）在在R上不单调，可得a＞﹣1．讨论当a≥1时，当a=时，当﹣1＜a＜时，当＜a＜1时，讨论单调性，可得f（x）的最大值和最小值，即可得到所求；
②由题意可得﹣≤f（x）+b≤，对任意实数x∈[﹣1，1]都成立．即为﹣≤f（x）+b的最小值，≥f（x）+b的最大值，由①的最值，解不等式，即可得到所求a﹣b的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=x3+|x﹣a|，
当x≥a时，f（x）=x3+x﹣a，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜a时，f（x）=x3+a﹣x，f′（x）=x2﹣1，
由题意可得a≤﹣1时，f′（x）＞0在x＜a恒成立，
故a的取值范围是（﹣∞，﹣1]；
（2）①由f（x）在在R上不单调，可得a＞﹣1．
当a≥1时，f（x）=x3+|x﹣a|=x3+a﹣x，
f′（x）=x2﹣1，f′（x）≤0，f（x）在[﹣1，1]递减，
可得f（﹣1）取得最大值，f（1）取得最小值．
即有M（a）=a+，m（a）=a﹣，则M（a）﹣m（a）=；
当a=时，f（x）在[﹣1，]递减，[，1]递增，
则f（x）的最小值为，最大值为1；
当﹣1＜a＜时，f（x）在[﹣1，a]递减，[a，1]递增，
f（﹣1）=﹣+|﹣1﹣a|=﹣+a+1=a+，f（1）=+|1﹣a|=+1﹣a=﹣a
即有f（﹣1）＜f（1），
则f（x）的最小值为f（a）=a3，最大值为﹣a；
当＜a＜1时，f（x）在[﹣1，a]递减，[a，1]递增，
即有f（﹣1）＞f（1），
则f（x）的最小值为f（a）=a3，最大值为a+．
综上可得，M（a）﹣m（a）=；
②设b∈R，若|f（x）+b|≤对任意实数x∈[﹣1，1]都成立，
即有﹣≤f（x）+b≤，对任意实数x∈[﹣1，1]都成立．
当a≥1时，﹣≤b+a﹣，且≥b+a+，
即有a+b=0，即b=﹣a，a﹣b的范围是[2，+∞）；
当﹣1＜a≤时，可得﹣≤b+a3，且≥b+﹣a，
即有﹣≤b≤﹣，可得a﹣b的范围是（，]；
当＜a＜1时，可得﹣≤b+a3，且≥b+a+，
即有﹣1＜b＜﹣，可得a﹣b的范围是（，2]．
综上可得a﹣b的范围是（，+∞）．
　
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．
（1）若，求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），求|PA| |PB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）若，直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的普通方程，得t2﹣6t﹣16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；
（2）若直线l的斜率为2，且过已知点P（3，0），利用参数的几何意义求|PA| |PB|的值．
【解答】解：（1）由曲线：（θ为参数），可得C的普通方程是x2﹣y2=1…
当时，直线l的参数方程为（t为参数），
代入曲线C的普通方程，得t2﹣6t﹣16=0，…
则线段AB的中点对应的t=3，
故线段AB的中点的直角坐标为（）…
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得（cos2α﹣sin2α）tx2+6cosαt+8=0，…
则|PA| |PB|=||=||=…
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|（a＜3）．
（1）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x}，求a的值；
（2）若对 x∈R，f（x）+|x﹣3|≥1，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）利用f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|（a＜3）的图象关于直线x=对称，且f（x）≥4的解集为{x|x≤或x}，则有
+=a+3，由此求得a的值．
（2）由题意可得|x﹣a|+|x﹣3|≥1﹣|x﹣3|恒成立，求得左边的最小值3﹣a，和右边的最大值1，故有3﹣a≥1，由此求得a的范围．
【解答】解：（1）由已知易得函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|（a＜3）的图象关于直线x=对称，
又f（x）≥4的解集为{x|x≤或x}，则
+=a+3，即a=2．
（2）不等式f（x）+|x﹣3|≥1
恒成立，即|x﹣a|+|x﹣3|≥1﹣|x﹣3|恒成立，
由图象可知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|在x=3处取得最小值3﹣a，
而1﹣|x﹣3|在x=3处取得最大值为1，故3﹣a≥1，得a≤2．
　
2017年2月9日