第四章 因式分解
1.经历将一个多项式分解成几个整式乘积的形式的过程,体会因式分解的意义,发展运算能力.
2.能用提公因式法和公式法分解因式.
认识整式乘法与因式分解的关系,体会数学知识之间的相互联系.
1.进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理地思考及语言表达能力.
2.养成认真勤奋、严谨求实的科学态度.
因式分解是整式的一种重要的恒等变形,它和整式乘法运算有着密切的联系,是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础.学生已有的因数分解、整式乘法运算的学习经验是本章学习的基础.
本章在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?对于第二个问题,只学习提公因式法与公式法(平方差公式与完全平方公式)这两种方法.本章教科书尽可能帮助学生从几何角度理解代数的含义,发展学生的类比思想以及从特殊到一般的思考问题的方法,帮助学生体会数学知识之间的联系.为此,教科书通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会因式分解的意义和因式分解的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识.
具体地,本章设计了3节内容.
第1节“因式分解”,先利用993-99的例子突出与因数分解的类比,体会因式分解的必要性,然后用几何图形的拼图解释因式分解,在了解因式分解概念的基础上,体会因式分解与整式乘法的关系.
第2节“提公因式法”,它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则.对于学生来说,难点是怎样在多项式的各项中发现公因式,为此,教科书让学生从简单的多项式ab+bc的各项中发现相同因式入手,由浅入深地体会如何寻找公因式,并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项,形成基本技能.
第3节“公式法”,其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式的式子及其特点.学生初学时的一个难点是如何根据一个多项式的形式与特点选择运用恰当的公式.为此,教科书将这两个公式编成两课时,分开教学.
需要说明的是,根据《标准》的要求,本章教科书介绍了最基本的因式分解的方法:提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式).教学中应把握好这一要求,不要刻意提高要求、增加难度,另外,教科书通过设置恰当的、有一定梯度的题目,关注了学生知识技能的掌握和不同层次学生的需求.
【重点】
1.探索分解因式的方法.
2.会用提公因式法把多项式分解因式.
3.会用公式法把多项式分解因式.
【难点】
1.因式分解的概念的理解.
2.确定多项式的公因式.
3.确定合适的方法分解因式.
1.要引导学生多角度理解因式分解的意义.
(1)类比因数分解理解因式分解.通过类比数式993-99的分解过程,帮助学生认识多项式a3-a的分解.
(2)通过拼图帮助理解因式分解.通过拼图前后图形的面积不变,可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为(x+1)2的合理性,以直观形象的方式,促进学生对因式分解的理解.教师要引导学生用自己的语言说明变形过程.
(3)对比整式乘法加深理解因式分解.通过对整式乘法运算与因式分解的对比,充分感受两者之间互为逆过程的关系.
2.要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.
对于因式分解概念的教学,要让学生通过观察、对比整式乘法运算与因式分解,归纳概括出整式乘法运算与因式分解互为逆过程的关系.在学生经历探索因式分解方法的过程中,更要注重发展学生的观察、发现、归纳、概括等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法运算的再认识.在教学中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富的问题情境,留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出因式分解的方法.
3.要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解,培养学生逆向思考问题的习惯.
因式分解与整式乘法之间具有互为逆过程的关系.在因式分解概念的教学中,要重视运用这种关系进一步加深对因式分解的理解,在探索因式分解的方法的过程中,教师要坚持运用这种关系更好地促进学生领会提公因式法分解因式与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系,领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系,进一步巩固“因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验”,从而培养学生的逆向思维.
4.保证基本的运算技能,避免复杂的题型训练.
运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标.由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中还可以继续巩固,因此教学中要依据教科书的要求,适当地分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过于烦琐的运算,不要过分追求题目的数量和难度.另外,本章只要求在有理数范围内因式分解,教学要遵循《标准》和教科书的要求.
1 因式分解
1课时
2 提公因式法
2课时
3 公式法
2课时
回顾与思考
1课时
1 因式分解
1.使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念.
2.认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法.
1.通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.
2.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力.
培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度.
【重点】 因式分解的概念.
【难点】 理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习有关整式乘法的知识.
导入一:
【问题】 简便运算.
(1)736×95+736×5;
(2)-2.67×132+25×2.67+7×2.67.
[设计意图] 观察实例,分析两个问题的共同属性:解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉.这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新课,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础.
导入二:
【问题】 (1)993-99能被99整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.
因为993-99=99×992-99×1=99(992-1),
所以993-99能被99整除.
(2)993-99能被100整除吗?为了回答这个问题,你该怎样做?把你的想法与同学交流.
小明是这样做的:
993-99=99×992-99×1
=99(992-1)
=99×9800
=99×98×100,
所以993-99能被100整除.
[设计意图] 以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义.这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点.
一、因式分解的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)前面问题中解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式.如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个常数,则:
a3-a=a·a2-a·1
=a·(a2-1)
=a·(a+1)(a-1)
=(a-1)·a·(a+1).
(1)你能理解吗?你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?
(2)这样变形是为了达到什么样的目的?
像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
[设计意图] 从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)·a·(a+1),这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识.
思路二
[过渡语] 前面我们研究了数字的情况,下面我们看教材第92页做一做,关于字母的情况.
观察下面的拼图过程,写出相应的关系式.
解答:(1)ma+mb+mc=m(a+b+c).
(2)x2+2x+1=(x+1)2.
像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.
[设计意图] 以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值.学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励.要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是因式分解,我们通过下面的几个例题来看看同学们理解得怎么样.
(教材做一做)计算下列各式:
(1)3x(x-1)= ;?
(2)m(a+b-1)= ;?
(3)(m+4)(m-4)= ;?
(4)(y-3)2= .?
根据上面的算式进行因式分解:
(1)3x2-3x=( )( );
(2)ma+mb-m=( )( );
(3)m2-16=( )( );
(4)y2-6y+9=( )( ).
思考:因式分解与整式乘法有什么关系?举例说明.
[设计意图] 通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立.由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维.
[知识拓展] 对于因式分解应注意以下几点:(1)分解的对象必须是多项式;(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;(3)要分解到不能分解为止.
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式.
2.因式分解与整式乘法是互逆过程.
3.因式分解要注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式;
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;
(3)要分解到不能分解为止.
1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是 ( )
A.x2-x-2=x(x-1)-2
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.x2-4=(x+2)(x-2)
D.x2-=
解析:主要考查因式分解的概念.故选C.
2.下列各式因式分解正确的是 ( )
A.a+b=b+a
B.4x2y-8xy2+1=4xy(x-2y)+1
C.a(a-b)=a2-ab
D.a2-2ab+2a=a(a-2b+2)
解析:主要考查因式分解的概念.故选D.
3.把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做因式分解.?
答案:几个整式的积
4.因式分解与整式乘法的关系是 .?
答案:互为逆过程
5.计算×13-×6+×2的结果是 .?
解析:利用因式分解可以简化计算.原式=×(13-6+2)=×9=7.故填7.
1 因式分解
一、因式分解的概念
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第93页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第94页习题4.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(柳州中考)下列式子是因式分解的是 ( )
A.x(x-1)=x2-1
B.x2-x=x(x+1)
C.x2+x=x(x+1)
D.x2-x=(x+1)(x-1)
2.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是 ( )
A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x
B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10
C.x2-8x+16=(x-4)2
D.(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)
3.观察下面计算962×95+962×5的过程,其中最简单的方法是 ( )
A.962×95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200
B.962×95+962×5=962×5×(19+1)=962×(5×20)=96200
C.962×95+962×5=5×(962×19+962)=5×(18278+962)=96200
D.962×95+962×5=91390+4810=96200
【能力提升】
4.计算(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解.
(1)(x-2)(x-1)= ;?
(2)3x(x-2)= ;?
(3)(x-2)2= ;?
(4)3x2-6x=( )( );?
(5)x2-4x+4=( )( );?
(6)x2-3x+2=( )( ).?
【拓展探究】
5.下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?请说明理由.
(1)a(x+y)=ax+ay;
(2)x2+2xy+y2-1=x(x+2y)+(y+1)(y-1);
(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);
(4)x2+2+=;
(5)2a3=2a·a·a.
【答案与解析】
1.C(解析:因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解.故选C.)
2.C(解析:根据因式分解的概念可知只有C是因式分解.故选C.)
3.A(解析:利用因式分解进行计算比较简单.故选A.)
4.(1)x2-3x+2 (2)3x2-6x (3)x2-4x+4 (4)3x x-2 (5)x-2 x-2 (6)x-2 x-1(解析:利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答.)
5.解:因为(1)(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;(5)中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解.只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解.
本节课以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法.在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识.主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后来教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识.
本课的设计过多强调学生用高度抽象的语言来描述概念.在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成.
注意引导学生从几何的角度理解因式分解.最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节课的教学内容中.
随堂练习(教材第93页)
1.解:
2.解:(2)(4)是因式分解.因为(2)(4)满足因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式.
习题4.1(教材第94页)
1.解:
2.解:(2)(3)是因式分解.
3.解:原式=I(R1+R2+R3)=2.5×(24.2+36.4+39.4)=250.故代数式的值为250.
4.解:如右图所示.x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)·(x+1).
5.解:(1)原式=1999×(1999+1)=1999×2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除. (2)原式=×(16.9+15.1)=4,故16.9×+15.1×能被4整除.
学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础.由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生来说还比较生疏,接受起来还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生来说,寻求因式分解的方法是一个难点.
已知a=2,b=3,c=5.求代数式a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)的值.
解:当a=2,b=3,c=5时,
a(a+b-c)+b(a+b-c)+c(c-a-b)
=a(a+b-c)+b(a+b-c)-c(a+b-c)
=(a+b-c)(a+b-c)
=(a+b-c)2
=(2+3-5)2=0.
2 提公因式法
经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验.
自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练.
进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法.
【重点】 用提公因式法分解因式.
【难点】 确定多项式各项的公因式.
第课时
1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.
2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.
自主探索,合作交流.
1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.
2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.
【重点】 因式分解的概念及提公因式法的应用.
【难点】 正确找出多项式中各项的公因式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习有关乘法分配律的知识.
导入一:
【问题】 一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.
解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.
解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.
从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.
导入二:
【问题】 计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?
解法1:原式=-+==5.
解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.
解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.
一、提公因式法分解因式的概念
思路一
[过渡语] 上一节我们学习了什么是因式分解,那么怎样进行因式分解呢?我们来看下面的问题.
如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等号来连接,即:ma+mb+mc=m(a+b+c).
大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?
分析:等式左边的每一项都含有因式m,等式右边是m与多项式a+b+c的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.
由于m是左边多项式ma+mb+mc中的各项ma,mb,mc都含有的一个相同因式,因此m叫做这个多项式各项的公因式.
由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式.
总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
[设计意图] 通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.
思路二
[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看同学们谁先做出来.
多项式 ab+ac中,各项都含有相同的因式吗?多项式 3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢?
结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?
结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
[设计意图] 从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了因式分解的一种方法,现在我们尝试下利用这种方法进行因式分解吧.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)3x+x3;
(2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3c+ab;
(4)-24x3+12x2-28x.
〔解析〕 首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.
解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2).
(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2(x-3).
(3)8a3b2-12ab3c+ab
=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(4)-24x3+12x2-28x
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x2-3x+7).
【学生活动】 通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.
总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.
容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.
教师提醒:
(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;
(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;
(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.
[设计意图] 经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:
ma+mb+mc=m(a+b+c).
这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤:
(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;
(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;
(3)所有这些因式的乘积即为公因式.
1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是 ( )
A.-6ab2c B.-ab2
C.-6ab2 D.-6a3b2c
解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.
2.下列用提公因式法分解因式正确的是 ( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),错误;D.x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),错误.故选C.
3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是 ( )
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b-20a2b3+50a4b
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.
4.填空.
(1)5a3+4a2b-12abc=a( );?
(2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是 ;?
(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);?
(4)因式分解:km+kn= ;?
(5)-15a2+5a= (3a-1);?
(6)计算:21×3.14-31×3.14= .?
答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)k(m+n) (5)-5a (6)-31.4
5.用提公因式法分解因式.
(1)8ab2-16a3b3;
(2)-15xy-5x2;
(3)a3b3+a2b2-ab;
(4)-3a3m-6a2m+12am.
解:(1)8ab2(1-2a2b).
(2)-5x(3y+x).
(3)ab(a2b2+ab-1).
(4)-3am(a2+2a-4).
第1课时
一、提公因式法分解因式的概念
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第96页随堂练习.
【选做题】
教材第96页习题4.2.
二、课后作业
【基础巩固】
1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是 .?
2.(2014·淮安中考)因式分解:x2-3x= .?
3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy· .?
【能力提升】
4.把下列各式因式分解.
(1)3x2y-6xy;
(2)5x2y3-25x3y2;
(3)-4m3+16m2-26m;
(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.
【拓展探究】
5.分解因式:an+an+2+a2n.
6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.
【答案与解析】
1.2ab
2.x(x-3)
3.(2x2-3xy+4y2)
4.解:(1)3xy(x-2). (2)5x2y2(y-5x). (3)-2m(2m2-8m+13). (4)5x2y(3xy+1-4y2).
5.解:原式=an·1+an·a2+an·an=an(1+a2+an).
6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n·(n+1).
本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.
随堂练习(教材第96页)
解:(1)m(a+b). (2)5y2(y+4). (3)3x(2-3y). (4)ab(a-5). (5)2m2(2m-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).
习题4.2(教材第96页)
1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)8m2n+2mn=2mn·4m+2mn·1=2mn(4m+1). (3)a2x2y-axy2=axy·ax-axy·y=axy(ax-y). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2). (6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3). (8)-3ma3+6ma2-12ma=-(3ma3-6ma2+12ma)=-3ma·(a2-2a+4).
2.解:(1)m+m+m=m(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-yz=z·(x-y),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.
3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n-m-1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).
提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想——类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.
已知方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.
〔解析〕 将代数式分解因式,产生x-3y与2x+y两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.
解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3
=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]
=(x-3y)2(7y+2x-6y)
=(x-3y)2(2x+y).
由方程组可得原式=12×6=6.
第课时
1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.
2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).
3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.
1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.
2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.
3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.
通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点.
【重点】 用提公因式法把多项式分解因式.
【难点】 探索多项式因式分解方法的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习提公因式法分解因式的知识.
导入一:
【问题】 把下列各式分解因式:
(1)8mn2+2mn;
(2)a2b-5ab+9b;
(3)-3ma3+6ma2-12ma;
(4)-2x3+4x2-8x.
[设计意图] 回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤.
导入二:
上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.
[设计意图] 通过设问,创设情境,活跃了课堂气氛,学生对自己探讨、发现出来的知识很有成就感,学习的兴趣自然得到了提高.
例题讲解
[过渡语] 同学们,前面我们学习了提公因式法分解因式,下面我们来看几个例题.
(教材例2)把下列各式因式分解:
(1)a(x-3)+2b(x-3);
(2)y(x+1)+y2(x+1)2.
〔解析〕 (1)这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有x-3,因此可以把x-3作为公因式提出来.(2)这个多项式整体而言可分为两大项,即y(x+1)与y2(x+1)2,每项中都含有y(x+1),因此可以把y(x+1)作为公因式提出来.
解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).
(2)y(x+1)+y2(x+1)2
=y(x+1)[1+y(x+1)]
=y(x+1)(xy+y+1).
[设计意图] 引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.(1)题中很明显地表明多项式中的两项都存在着x-3,通过观察,学生较容易找到第(1)题的公因式是x-3,而第(2)题的公因式是y(x+1),找到它即能顺利地进行因式分解.
(教材例3)把下列各式因式分解:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
〔解析〕 虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出x-y与y-x互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,那么就可以出现公因式,即y-x=-(x-y).同样(m-n)3与(n-m)2也是如此.
解:(1)a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b).
(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2).
[设计意图] 有了前面所得的规律,学生容易观察到多项式中括号内符号不同的多项式部分,并把它们转化成符号相同的多项式,再把相同的多项式作为公因式提取出来.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式得出提取的公因式是多项式的方法与步骤.
(教材做一做)请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”,使等式成立:
(1)2-a= (a-2);?
(2)y-x= (x-y);?
(3)b+a= (a+b);?
(4)(b-a)2= (a-b)2;?
(5)-m-n= (m+n);?
(6)-s2+t2= (s2-t2).?
解:(1)2-a=-(a-2).
(2)y-x=-(x-y).
(3)b+a=+(a+b).
(4)(b-a)2=+(a-b)2.
(5)-m-n=-(m+n).
(6)-s2+t2=-(s2-t2).
[设计意图] 学生对于符号问题的解答有一定的困难,因而需要认真比较等号两边两个多项式符号上的异同,确定它们是互为相反数还是相等关系.通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而准确熟练地进行多项式的因式分解.
1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是 ( )
A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b)2
C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b)
解析:原式=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C.
2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得 ( )
A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)
解析:原式=(y-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1).故选C.
3.下列各式分解因式正确的是 ( )
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1)
D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)
解析:A.原式=2ac(5b2+3c+1),错误;B.原式=(a-b)2(a-b-1),错误;C.原式=(b+c-a)(x+y+1),错误.故选D.
4.当n为 时,(a-b)n=(b-a)n;当n为 时,(a-b)n=-(b-a)n.(其中n为正整数)?
解析:互为相反数的两数的偶次方相等,奇次方互为相反数.
答案:偶数 奇数
5.(2015·嘉兴中考)因式分解:ab-a= .?
解析:直接提取公因式a即可.ab-a=a(b-1).故填a(b-1).
6.把下列各式分解因式:
(1)15x(a-b)2-3y(b-a);
(2)(a-3)2-(2a-6);
(3)-20a-15ax;
(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).
解:(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).
(2)(a-3)(a-5).
(3)-5a(4+3x).
(4)-2q(m+n).
第2课时
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第98页随堂练习.
【选做题】
教材第98页习题4.3.
二、课后作业
【基础巩固】
1.观察下列各组整式,其中没有公因式的是 ( )
A.2a+b和a+b B.5m(a-b)和-a+b
C.3(a+b)和-a-b D.2x-2y和2
2.(2015·武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的是 ( )
A.a(a-2) B.a(a+2)
C.a(a2-2) D.a(2-a)
3.在括号内填上适当的式子:
(1)-x-1=-( );?
(2)a-b+c=a-( ).?
【能力提升】
4.把下列各式分解因式:
(1)2(a-3)2-a+3;
(2)3m(x-y)-2(y-x)2;
(3)18(a-b)2-12(a-b)3;
(4)6x(x+y)-4y(x+y);
(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).
【拓展探究】
5.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式得 ( )
A.(a-2)(m2+m) B.(a-2)(m2-m)
C.m(a-2)(m-1) D.m(a-2)(m+1)
6.(2015·潜江中考)已知3a-2b=2,则9a-6b= .?
7.若x+y=5,xy=2,则x2y+xy2= .?
8.已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.
【答案与解析】
1.A(解析:B.公因式是a-b;C.公因式是a+b;D.公因式是2.故选A.)
2.A(解析:原式=a·a-a·2=a(a-2).故选A.)
3.(1)x+1 (2)b-c
4.解:(1)2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-7). (2)3m(x-y)-2(y-x)2=3m(x-y)-2(x-y)2=(x-y)(3m-2x+2y). (3)18(a-b)2-12(a-b)3=6(a-b)2(3-2a+2b). (4)6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y). (5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c).
5.C(解析:m2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).故选C.)
6.6(解析:∵3a-2b=2,∴9a-6b=3(3a-2b)=3×2=6.故填6.)
7.10(解析:x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10.故填10.)
8.解:由4x2+7x+2=4得4x2+7x=2,∵-12x2-21x=-3(4x2+7x),∴-12x2-21x=-3×2=-6.
运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生在接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
遇到互为相反数的多项式处理得不太好.遇到互为相反数的项,先转化,再提公因式,转化原则:变后不变前、变偶不变奇、变少不变多.
因式分解和整式乘法运算是互逆的关系,所以备课时应让学生们自己将新旧知识前后比较,去理解,去寻找因式分解的方法.
随堂练习(教材第98页)
解:(1)(a+b)(x+y). (2)(x-y)(3a-1). (3)6·(p+q)(p+q-2). (4)(m-2)(a-b). (5)(x-y)(2x-2y+3). (6)m(m-n)(2n-m).
习题4.3(教材第98页)
1.解:(1)原式=(a-1)(x+7). (2)原式=3(b-a)2+6(b-a)=3(b-a)(b-a+2). (3)原式=(m-n)[2(m-n)-m]=(m-n)(2m-2n-m)=(m-n)(m-2n). (4)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y)=(x-y)3. (5)原式=(a2+b2)(m+n). (6)原式=6(a-b)2·3(a-b)-6(a-b)2·2b=6(a-b)2[3(a-b)-2b]=6(a-b)2(3a-5b). (7)原式=(2a+b)[(2a-3b)-3a]=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b). (8)原式=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=x(x+y)·(x-y-x-y)=x(x+y)(-2y)=-2xy·(x+y).
2.解:(1)原式=x(m-2)(10-3m),∵x=1.5,m=6,∴原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48. (2)原式=(2-a)2-6(2-a)=(2-a)[(2-a)-6]=(2-a)(-a-4)=-(2-a)(a+4).当a=-2时,原式=-[2-(-2)](-2+4)=-4×2=-8.
3.解:这三块草坪的总面积=(a+b)2+a(a+b)+(a+b)b=(a+b)(a+b+a+b)=(a+b)(2a+2b)=2(a+b)2(m2).
已知x2+x+1=0,求代数式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1的值.
〔解析〕 首先把整式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1通过提取公因式,分解为含有因式x2+x+1的形式,再将x2+x+1的值作为一个整体代入求解.
解:∵1+x+x2=0,
∴x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1
=x2004(x2+x+1)+x2001(x2+x+1)+…+x9(x2+x+1)+x6(x2+x+1)+x3(x2+x+1)+ x2+x+1
=(x2+x+1)(x2004+x2001+…+x6+x3+1)
=0.
实数a,b,c,x,y,z满足a〔解析〕 先根据已知条件 a解:∵a∴a-b<0,b-c<0,a-c<0,x-y<0,y-z<0,x-z<0,
∴P-Q=(ax+by+cz)-(ax+bz+cy)=(b-c)(y-z)>0,∴P>Q;
P-R=(ax+by+cz)-(ay+bx+cz)=(a-b)·(x-y)>0,∴P>R;
Q-S=(ax+cy+bz)-(bx+cy+az)=(a-b)·(x-z)>0,∴Q>S,∴P>S.
∴P最大.
3 公式法
经历平方差公式,完全平方公式逆向运算的推导过程,使学生理解用公式法因式分解的意义,掌握每个公式的特点,使学生熟练地运用公式法将多项式进行因式分解.
熟练掌握各个乘法公式的模式.观察多项式的项数,是二项的,有可能可用平方差公式;是三项的,则有可能可用完全平方公式,并且要正确确定公式中的项.
培养学生分析问题的能力,这种能力实质上是一种特殊技巧,需要通过学生自己的实践来获得.
【重点】 掌握因式分解的三个公式的特点,牢固地记住这些公式.
【难点】 根据要分解的多项式的形式和特点,熟练地运用公式进行因式分解.
第课时
1.理解平方差公式的本质:结构的不变性,字母的可变性.
2.会用平方差公式进行因式分解.
3.使学生了解提公因式法是因式分解首先考虑的方法,再考虑用公式法分解.
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程,发展学生的逆向思维,渗透数学的互逆、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的价值.
【重点】 掌握运用平方差公式分解因式的方法.
【难点】 用平方差公式分解因式;培养学生多步骤分解因式的能力.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习有关提公因式法分解因式的知识.
导入一:
【问题】 填空.
(1)(x+5)(x-5)= ;?
(2)(3x+y)(3x-y)= ;?
(3)(3m+2n)(3m-2n)= .?
它们的结果有什么共同特征?
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:
(1)x2-25= ;?
(2)9x2-y2= ;?
(3)9m2-4n2= .?
[设计意图] 学生通过观察、对比,把整式乘法中的平方差公式进行逆向应用,发展学生的观察能力与逆向思维能力.
导入二:
在前两节课中我们学习了因式分解的定义,即把一个多项式分解成几个整式的积的形式,还学习了提公因式法分解因式,即如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项不都含有相同的因式,是否就不能分解因式了呢?当然不是,只要我们记住因式分解是整式乘法的逆过程,就能利用这种关系找到新的因式分解的方法,本节课我们就来学习另外一种因式分解的方法——公式法.
[设计意图] 复习之前学过的知识后,提出疑问,直接引入新课,开门见山,激发学生的学习兴趣.
一、用平方差公式分解因式
请看乘法公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2. (1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是:
a2-b2=(a+b)(a-b). (2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.大家判断一下,第二个式子从左边到右边是否为因式分解?
符合因式分解的定义,因此是因式分解.
等式(1)是整式乘法中的平方差公式,等式(2)可以看做是因式分解中的平方差公式.
a2-b2是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差的形式,那么就可以用平方差公式分解因式,将多项式分解成两个整式的和与差的积.如:
x2-16=x2-42=(x+4)(x-4);
9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)·(3m-2n).
[设计意图] 让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征,并能利用相关结论进行实例练习.
二、例题讲解
[过渡语] 同学们,前面我们学习了用平方差公式分解因式,下面我们通过几个例题来巩固所学的知识.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)25-16x2; (2)9a2-b2.
解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).
(2)9a2-b2=(3a)2-=3a+b·3a-b.
(教材例2)把下列各式因式分解:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)2x3-8x.
解:(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n).
(2)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x+2)(x-2).
说明:教材例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;教材例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,教材例2的(2)是先提取公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.
[设计意图] 教师讲解例题,明确思维方法,给出书写范例.
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
我们已学习过的因式分解的方法有提公因式法和平方差公式法.如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提公因式,然后看是否符合平方差公式的结构特点,若符合则继续进行.
分解因式以后,若所含的多项式还可以继续分解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式都不能分解为止.
1.下列因式分解正确的是 ( )
A.x2+y2=(x+y)(x-y)
B.x2-y2=(x+y)(x-y)
C.x2+y2=(x+y)2
D.x2-y2=(x-y)2
解析:x2+y2不能在有理数范围内因式分解,x2-y2=(x+y)(x-y).故选B.
2.分解因式:a3-4a= .?
解析:a3-4a=a(a2-4)=a(a+2)(a-2).故填a(a+2)(a-2).
3.(2015·恩施中考)因式分解:9bx2y-by3= .?
解析:原式=by(9x2-y2)=by(3x+y)(3x-y).故填by(3x+y)(3x-y).
4.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y= .?
解析:因为x2-y2=69,所以(x+y)(x-y)=69,因为x+y=3,所以3(x-y)=69,所以x-y=23.故填23.
5.分解因式:(3a-2b)2-(2a+3b)2.
解:(3a-2b)2-(2a+3b)2
=[(3a-2b)+(2a+3b)][(3a-2b)-(2a+3b)]
=(3a-2b+2a+3b)(3a-2b-2a-3b)
=(5a+b)(a-5b).
第1课时
一、用平方差公式分解因式
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第100页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第100页习题4.4的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中能用平方差公式分解因式的是 ( )
A.4x2+y2 B.-a2+81
C.-25m2-n2 D.p2-2p+1
2.一个多项式分解因式的结果是(b3+2)(2-b3),那么这个多项式是 ( )
A.b2-4 B.4-b6
C.b6+4 D.4-b9
3.(2015·孝感中考)分解因式:(a-b)2-4b2= .?
4.(2015·鄂州中考)分解因式:a3b-4ab= .?
【能力提升】
5.在括号内填上适当的因式.
(1)36-9x2=9( )( );?
(2)16a2-1=( )( ).?
【拓展探究】
6.把下列各式分解因式:
(1)4x2-25y2; (2)x2y-y;
(3)4x2-(y-z)2; (4)(x+2)2-9.
【答案与解析】
1.B
2.B(解析:这个多项式是22-(b3)2=4-b6.故选B.)
3.(a+b)(a-3b)(解析:原式=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).故填(a+b)(a-3b).)
4.ab(a+2)(a-2)(解析:原式=ab(a2-4)=ab(a+2)(a-2).故填ab(a+2)(a-2).)
5.(1)2+x 2-x (2)4a+1 4a-1
6.解:(1)4x2-25y2=(2x+5y)(2x-5y). (2)x2y-y=y(x2-1)=y(x+1)(x-1). (3)4x2-(y-z)2=(2x)2-(y-z)2=(2x+y-z)(2x-y+z). (4)(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1).
本节课的教学设计借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生留有充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的转换过程,并能用符号合理地表示出分解因式的关系式,同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
课堂中的布局有待提高,以后应最大限度地发挥学生的主体作用.部分例题可以交给学生独立完成,不能完全由老师来操办.
有意识地培养学生逆向思考问题的习惯,不仅对提高解题能力有益,更重要的是可以改善学生学习数学的思维方式,有助于形成良好的思维习惯,激发学生的创新开拓精神,培养良好的思维习惯,提高学习效果、学习兴趣及思维能力和整体素质.
随堂练习(教材第100页)
1.(1)? (2)√ (3)? (4)?
2.解:(1)原式=(ab+m)(ab-m). (2)原式=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]=(m-a+n+b)(m-a-n-b). (3)原式=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]=(x+a+b-c)(x-a-b+c). (4)原式=81y4-16x4=(9y2)2-(4x2)2=(9y2+4x2)(9y2-4x2)=(9y2+4x2)(3y+2x)·(3y-2x).
3.解:剪去前正方形的面积为a2 cm2,剪掉的4个小正方形的面积和为4b2 cm2,所以剩余部分的面积为a2-4b2=(a+2b)(a-2b)(cm2).当a=3.6,b=0.8时,剩余部分的面积为(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=10.4(cm2).
习题4.4(教材第100页)
1.解:(1)原式=(a+9)(a-9). (2)原式=(6+x)·(6-x). (3)原式=(1+4b)(1-4b). (4)原式=(m+3n)(m-3n). (5)原式=(0.5q+11p)·(0.5q-11p). (6)原式=(13x+2y)(13x-2y). (7)原式=(3ap+bq)(3ap-bq). (8)原式=.
2.解:(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m·(m+2n). (2)49(a-b)2-16(a+b)2=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)=(11a-3b)(3a-11b). (3)(2x+y)2-(x+2y)2=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]=(3x+3y)(x-y)=3(x+y)(x-y). (4)(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy). (5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)=3a(x+y2)·(x-y2). (6)p4-1=(p2+1)(p2-1)=(p2+1)(p+1)(p-1).
3.解:S环形=πR2-πr2=π(R2-r2)=π(R+r)(R-r).当R=8.45,r=3.45,π取3.14时,S环形≈3.14×(8.45+3.45)×(8.45-3.45)=3.14×11.9×5=186.83(cm2).答:它们所围成的环形的面积为186.83 cm2.
学生在上几节课的基础上,已经基本了解了整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系,在七年级的整式乘法运算的学习过程中,学生已经学习了平方差公式,这为今天的学习提供了必要的基础.学生对类比思想,数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础,本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.
是否存在一个满足下列条件的正整数,当它加上98时是一个完全平方数,当它加上121时是另一个完全平方数?若存在,请求出该数;若不存在,请说明理由.
解:假设存在这样的正整数m,
则由题意得
②-①得y2-x2=23.
所以(y+x)(y-x)=23.
则有四种情况:
解得
所以m=x2-98=121-98=23.
第课时
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义.
2.会用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(字母指数是正整数).
3.使学生清楚地知道提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行因式分解.
经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力.
1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.
2.通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识.
【重点】 掌握多步骤、多方法分解因式的过程.
【难点】 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习有关完全平方公式的知识.
导入一:
因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法.还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?
在前面我们不仅学习了平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,而且还学习了完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.本节课,我们就要学习用完全平方公式分解因式.
由因式分解和整式乘法的关系,大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢?
将完全平方公式倒写:
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
由此便得到用完全平方公式分解因式的公式.
[设计意图] 回顾完全平方公式,直入主题,将完全平方公式倒置得到新的分解因式的方法.
导入二:
1.什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2 ; (2)16m4-n4.
解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1).
(2)16m4-n4=(4m2)2-(n2)2
=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外,还有哪些公式?
解:有完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
[设计意图] 通过复习以前学过的知识自然地导入用完全平方公式分解因式.
一、用完全平方公式分解因式
[过渡语] 同学们,下面我们分析用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样,把完全平方公式反过来,就得到:
a2+2ab+b2=(a+b)2;
a2-2ab+b2=(a-b)2.
从上面的式子来看,两个等式的左边都是三项,其中两项符号为“+”,是一个整式的平方,还有一项符号可“+”可“-”,它是那两个整式乘积的2倍.凡具备这些特点的三项式,就是一个二项式的完全平方,将它写成平方形式,便实现了因式分解.
上面式子左边的特点:(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且这两项能写成数或式的平方的形式;(3)另一项是这两数或两式乘积的2倍.
上面式子右边的特点:这两数或两式和(或差)的平方.
用语言叙述为:两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.
由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.
[设计意图] 加深学生对完全平方式特征的理解,为后面的因式分解做铺垫.
二、例题讲解
[过渡语] 我们刚学习完用平方差公式分解因式,而用完全平方公式分解因式与前面学习的方法有相似之处,我们一起来体验一下吧.
(教材例3)把下列完全平方式因式分解:
(1)x2+14x+49;
(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
〔解析〕 首先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
解:(1)x2+14x+49
=x2+2×7x+72
=(x+7)2.
(2)(m+n)2-6(m+n)+9
=(m+n)2-2×(m+n)×3+32
=[(m+n)-3]2
=(m+n-3)2.
(教材例4)把下列各式因式分解:
(1)3ax2+6axy+3ay2; (2)-x2-4y2+4xy.
〔解析〕 对一个三项式,首先要仔细观察它是否有公因式,若有公因式,则应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.
解:(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
(2)-x2-4y2+4xy
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2.
[设计意图] 培养学生对完全平方公式的应用能力,让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式,也可以表示多项式.
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是:
(1)首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,那么再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式进行适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它因式分解.
(2)在选用完全平方公式分解因式时,关键是看多项式中的第二项的符号,若是正号,则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2;若是负号,则用公式a2-2ab+b2=(a-b)2.
1.下列各式是完全平方式的是 ( )
A.16x2-4xy+y2 B.m2+mn+n2
C.9a2-24ab+16b2 D.c2+2cd+d2
答案:C
2.把多项式3x3-6x2y+3xy2因式分解结果正确的是 ( )
A.x(3x+y)(x-3y) B.3x(x2-2xy+y2)
C.x(3x-y)2 D.3x(x-y)2
解析:多项式提取公因式后,利用完全平方公式分解即可.故选D.
3.下列多项式:①x2+xy-y2;②-x2+2xy-y2;③xy+x2+y2;④1-x+.其中能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
答案:D
4.若a+b=3,则2a2+4ab+2b2的值为 .?
解析:∵a+b=3,∴2a2+4ab+2b2=2(a+b)2=2×32=18.故填18.
5.(2015·温州中考)分解因式:a2-2a+1= .?
解析:a2-2a+1=a2-2·a·1+12=(a-1)2.故填(a-1)2.
6.分解因式:
(1)a2+8a+16; (2)1-4t+4t2.
解:(1)(a+4)2.
(2)(1-2t)2.
第2课时
一、用完全平方公式分解因式
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第102页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第103页习题4.5的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.把下列各式因式分解:
(1)25m2-80m+64; (2)4a2+36a+81;
(3)4p2-20pq+25q2; (4)16-8xy+x2y2.
【能力提升】
2.把下列各式因式分解:
(1)a2b2-4ab+4;
(2)a4-8a2b2+16b4.
【拓展探究】
3.把下列各式因式分解:
(1)m2n-2mn+1;
(2)7am+1-14am+7am-1.
【答案与解析】
1.解:(1)25m2-80m+64=(5m-8)2. (2)4a2+36a+81=(2a+9)2. (3)4p2-20pq+25q2=(2p-5q)2. (4)16-8xy+x2y2=(4-xy)2.
2.解:(1)a2b2-4ab+4=(ab-2)2. (2)a4-8a2b2+16b4=(a2-4b2)2=[(a+2b)(a-2b)]2=(a+2b)2(a-2b)2.
3.解:(1)m2n-2mn+1=(mn-1)2. (2)7am+1-14am+7am-1=7am-1(a2-2a+1)=7am-1(a-1)2.
本节课的设计尽量做到了平实无华,将新知教学层层深入,并进行了适当的巩固练习,每一个环节都让学生不感觉吃力,同时在例题讲解过程中注意了题型的变化,引导学生暴露出学习中的问题,这样易于激发学生学习的兴趣,使学生的思维不断被拓展,从而达到强化所学知识和提高能力的目的.
运算类型的课往往比较枯燥,学生容易产生浮躁的心理,不利于知识的掌握与运算能力的提高.
在教学过程中,要有意识地引导学生再熟悉乘法公式的来历以及乘法公式的结构,多注意培养学生认真观察的良好习惯.
随堂练习(教材第102页)
1.解:(1)(3)是完全平方式.(1)x2-x+=,(3)m2+3mn+9n2=.
2.提示:(1)(x-6y)2. (2)(4a2+3b2)2. (3)-(x+y)2. (4)(2-3x+3y)2.
习题4.5(教材第103页)
1.提示:(1)(xy-1)2. (2)(3-2t)2. (3)或(2y+1)2. (4)(5m-8)2. (5). (6)(ab-2)2.
2.解:(1)(x+y)2+6(x+y)+9=[(x+y)+3]2=(x+y+3)2. (2)a2-2a(b+c)+(b+c)2=[a-(b+c)]2=(a-b-c)2. (3)4xy2-4x2y-y3=y(4xy-4x2-y2)=-y·(4x2-4xy+y2)=-y(2x-y)2. (4)-a+2a2-a3=-(a-2a2+a3)=-a(1-2a+a2)=-a(1-a)2.
3.解:答案不唯一,如2x,-2x,x4.
4.解:能.设这两个连续奇数为2n-1和2n+1(n是整数),则(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1-2n+1)·(2n+1+2n-1)=2×4n=8n.因为n是整数,所以两个连续奇数的平方差能被8整除.
复习题(教材第104页)
1.提示:(1)7(x+3)(x-3). (2)a(a+1)(a-1). (3)3(a+b)(a-b). (4)-(3x+4y)(3x+2y). (5)(x-y)(a+b+c). (6)(m+n)(x-y+1). (7)(5x-3y)(5y-3x). (8)(a-b)3(a+b). (9)4x(y+z). (10)(x+y-7)2.
2.提示:(1)(ab+0.1)(ab-0.1). (2)y(x-y)2. (3)(4+2a+3b)(4-2a-3b). (4)(a+2)2(a-2)2. (5). (6)(ax+8)2. (7)(a+2b)2(a-2b)2. (8)(3+a+b)2.
3.解:(1)原式=(3x+2y)2.∵x=,y=-,∴原式=3×+2×2=32=9. (2)原式=+-=ab.∵a=-,b=2,∴原式=-×2=-.
4.解:(1)原式=2x+2或(2x+1)2. (2)原式=x2+3x+2+=x2+3x+=x+2.
5.解:∵257-512=52×7-52×6=(57+56)×(57-56)=56×6×56×4=120×511,∴257-512能被120整除.
6.解:∵x+y=1,∴x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)=(x+y)2=×12=.
7.解:(1)原式=32013(3-1)=2×32013. (2)原式=(-2)100×[(-2)+1]+299=2100×(-1)+299=299×[(-2)+1]=-299.
8.解:需要混凝土的体积为πl-πl=πl·≈3.14×300×+×=3.14×300×60×15=847800(cm3),847800 cm3≈0.85 m3.大约需0.85 m3混凝土.
9.解:∵正方形的面积是9x2+6xy+y2(x>0,y>0),9x2+6xy+y2=(3x+y)2,∴正方形的边长的代数式为3x+y.
10.解:∵x2+2x+1=(x+1)2≥0,∴当x=-1时,多项式x2+2x+1可以取最小值,最小值为0.
11.解:设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm.依题意,得方程组化简为解此方程组得x=32,y=8.所以正方形Ⅰ的边长为32 cm,正方形Ⅱ的边长为8 cm.
12.解:△ABC是等腰三角形.理由如下:∵a2-b2+ac-bc=(a+b)(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=0,a+b+c≠0,∴a-b=0,即a=b,∴△ABC是等腰三角形.
13.解:∵要使100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,也就是要使(10x)2-kxy+(7y)2是一个完全平方式,∴-kxy=2·10x·7y或-kxy=-2·10x·7y,∴k=±140.
14.解:248-1=(224)2-1=(224+1)(224-1)=(224+1)(212+1)(212-1)=(224+1)(212+1)·(26+1)(26-1)=(224+1)(212+1)(26+1)(23+1)·(23-1).其中(26+1)=65,(26-1)=63.因此这两个数是65,63.
15.(1) (2) (3) 原式=.
学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式,将其逆用就是本节课所涉及的主要知识.对于公式逆用,学生已经不是第一次接触了,在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程,应该说是比较熟悉的.通过上节课的学习,学生积累了一定的学习经验.本节课的学习模式与上节课基本相同:公式逆用,分析公式的结构特征,整体换元进行因式分解,同时要求分解彻底.这些活动采用的方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法,学生有较好的活动经验.
分解因式:4a2b2-(a2+b2-c2)2.
解:原式=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
=[(a+b)2-c2][c2-(a+b)2]
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a+b)(c-a-b)
=-(a+b+c)2(a+b-c)2.
易错点 对分解因式的方法掌握得不够彻底
分解因式:36x2-36x+9.
错解:36x2-36x+9=(6x-3)2.
错因分析:分解时没有首先考虑提取公因式,导致分解不彻底.
正解:36x2-36x+9=9(4x2-4x+1)=9(2x-1)2.
分解因式:9a2-4b2.
错解:9a2-4b2=(3a-2b)2.
错因分析:将平方差公式与完全平方公式混为一谈,从而出现张冠李戴的现象.
正解:9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b).
分解因式:-3m2n+6mn-3n.
错解:-3m2n+6mn-3n=3n(-m2+2m-1).
错因分析:首项中的负号没有提出,造成分解不彻底.
正解:-3m2n+6mn-3n=-3n(m2-2m+1)=-3n(m-1)2.
分解因式:a2-ab+b2.
错解:a2-ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
错因分析:将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆.
正解:a2-ab+b2=(a2-2ab+b2)=(a-b)2.
1.使学生进一步理解因式分解的意义及几种因式分解的常用方法.
2.提高学生因式分解的基本运算技能.
3.使学生能熟练地综合运用几种因式分解的方法.
1.发展学生对因式分解的应用能力,培养寻求解决问题的策略意识,提高解决问题的能力.
2.注重学生对因式分解的理解,发展学生分析问题的能力和推理能力.
1.通过对因式分解问题的练习,提高学生观察、分析问题的能力,培养学生的开放意识.
2.通过认识因式分解在实际生活中的应用,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力.
【重点】 几种因式分解方法的具体应用.
【难点】 几种因式分解方法的综合应用.
专题一 因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解.
(1)因式分解专指多项式的恒等变形,即等式的左边必须是多项式.
(2)因式分解的要求:分解的结果要以积的形式表示;每个因式必须是整式;因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
(3)因式分解与整式乘法是互逆变形.如果把整式乘法看做是一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程;如果把多项式的因式分解看做是一个变形过程,那么整式乘法就是它的逆过程.
【专题分析】
因式分解是一种多项式的恒等变形,甚至可以理解为是单项式乘多项式、多项式乘多项式的逆运算.在中考命题中通常结合其他知识在运算中进行考查,单独考查的主要题型是选择题和填空题,分值一般不高.
已知x2-2x+k=(x-1)2,试求k的值.
〔解析〕 把已知等式的右边利用整式的乘法公式展开,然后移项、合并同类项即可求得k的值.
解:因为x2-2x+k=(x-1)2,
所以x2-2x+k=x2-2x+1,
移项得x2-2x+k-x2+2x=1,
合并同类项,得k=1.
[易错提示] 在展开等式的右边时,不要漏掉x与1的乘积的2倍,即(x-1)2≠x2-1.
【针对训练1】 若mx+A能分解为m(x-y+2),则A= .?
〔解析〕 因为mx+A=m(x-y+2)=mx-my+2m,所以A=-my+2m.故填-my+2m.
专题二 提公因式法
我们把多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式的公因式.
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
【专题分析】
提公因式法是因式分解的基本方法之一.中考中单独考查这种分解方法的试题较少,多是渗透在其他知识的考查中,特别是运算和化简的过程之中.
因式分解:4a2(m-n)+2b(n-m)-6c(n-m).
〔解析〕 本题初看不能用提公因式法分解因式,因为各项中找不出相同的因式,但如果将个别项变形,就会发现各项的公因式为2(m-n).
解:4a2(m-n)+2b(n-m)-6c(n-m)
=4a2(m-n)-2b(m-n)+6c(m-n)
=2(m-n)(2a2-b+3c).
【针对训练2】 把2a(x-y)+6b(y-x)因式分解.
〔解析〕 多项式可看成2a(x-y)与6b(y-x)两项.其中x-y与y-x互为相反数,可将6b(y-x)变形为-6b(x-y),则2a(x-y)与-6b(x-y)的公因式为2(x-y).
解:原式=2a(x-y)-6b(x-y)=2(x-y)(a-3b).
[易错提示] 提公因式法可以描述为am+bm+cm=m(a+b+c),这里的m要从字母代数、代式的整体思想上去认识,它既可以表示一个单项式,也可以表示一个多项式,在找多项式的公因式时,以下变形要特别注意:①(a-b)n=(b-a)n,n为偶数;②(a-b)n=-(b-a)n,n为奇数;③a-b=-(b-a).
专题三 公式法
如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法.
(1)平方差公式:a2-b2=(a-b)(a+b),其特点是:左边是两个数(或式)a,b的平方差,右边是这两个数(或式)的和与差的乘积.根据等式左边的特点可知运用公式的条件为:①所给的多项式有两项;②两项符号相反;③这两项分别可以化为一个数(或整式)的平方形式.
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,其特点是:左边首尾两项是两个数(或式)的平方,而中间的一项是这两个数(或式)的乘积的2倍,其符号可正可负,右边为两数(或式)的和或差的平方.根据等式左边的特点可知运用公式的条件是:①所给的多项式为三项;②其中有两项符号相同,并且这两项可化为两数(或整式)的平方;③另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
【专题分析】
公式法是因式分解的另一种基本方法.中考中单独考查这种分解方法的试题较少,多是渗透在其他知识的考查中,特别是运算和化简的过程之中. 在因式分解中,完全平方公式也是应用较多的一个公式,在中考中出现的频率较高,特别是近几年,它正逐渐成为中考的热点之一,应重点掌握.
运用平方差公式因式分解:64(a-b)2-4(a+b)2.
〔解析〕 运用平方差公式因式分解的关键是找准公式中的“a”和“b”,另外注意分解因式要彻底,要分解到每个因式都不能再分解为止.
解:64(a-b)2-4(a+b)2
=[8(a-b)]2-[2(a+b)]2
=[8(a-b)+2(a+b)][8(a-b)-2(a+b)]
=(10a-6b)(6a-10b)
=4(5a-3b)(3a-5b).
【针对训练3】 分解因式: 81(a+b)2-4(a-b)2.
解:原式=[9(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[9(a+b)+2(a-b)][9(a+b)-2(a-b)]
=(11a+7b)(11b+7a).
[规律方法] 对于平方差公式要注意它的特点:公式的左边为两个数的平方的差,公式的右边为这两个数的和与这两个数的差的积,其中的a,b既可以是单项式,也可以是多项式,只要符合平方差公式特点的二项式,都可以运用平方差公式来因式分解.
运用完全平方公式因式分解:(a+b)2+10(a+b)+25.
〔解析〕 用完全平方公式分解因式的关键是找出符合条件的“a”和“b”.题中给出的多项式符合完全平方式的特征,其中“a”=a+b,“b”=5.
解:(a+b)2+10(a+b)+25
=(a+b)2+2×(a+b)×5+52
=(a+b+5)2.
【针对训练4】 因式分解:x3y3-2x2y2+xy.
解:x3y3-2x2y2+xy
=xy(x2y2-2xy+1)
=xy(xy-1)2.
专题四 因式分解的应用
【专题分析】
因式分解是整式乘法的逆向变形,是代数式恒等变形的一种最基本的、行之有效的方法之一,在有理数计算、代数式的化简求值、解方程、不等式及恒等式的证明等诸多方面起着重要作用.
39992+3999能被4000整除吗?
〔解析〕 可以借用因式分解的方法. 39992+3999可化成3999(3999+1),也可以认为是乘法分配律的逆运用.
解:因为39992+3999
=3999(3999+1)
=3999×4000,
所以39992+3999能被4000整除.
【针对训练5】 计算:1998+19982-19992.
〔解析〕 此题中后两项如果直接平方,计算量太大,所以要考虑用因式分解进行变形,但此题中的三项式没有公因式,不妨先将前两项提取公因式1998,得到1998(1+1998)-19992,显然,变形后所得的二项式又有公因式1999,可再提取公因式1999.
解:1998+19982-19992
=1998(1+1998)-19992
=1998×1999-19992
=1999(1998-1999)
=1999×(-1)
=-1999.
[规律方法] 在进行因式分解时要理解因式分解的意义,注意因式分解的要求.因式分解与整式乘法互为逆运算.在实际计算中,有时利用因式分解会使计算简化.在一些公式的变形化简中有时也用到因式分解.
将一条400 cm长的金色彩带剪成两段,恰好可用来镶嵌两张大小不同的正方形壁画的边(不计算接头处),已知两张壁画的面积相差4000 cm2.这条金色彩带应剪成多长的两段?
〔解析〕 本题中的两个正方形壁画的边长均为未知数,可分别设出来得到方程组.初看方程组是一个二元二次方程组,好像无法可解,但利用因式分解和整体代入可达到对方程组进行降次和化简计算的目的.
解:设较大正方形的壁画边长为x cm,较小正方形的边长为y cm,
根据题意,得
整理得
把②代入①,得x-y=40③,
由②+③,得x=70.
由②-③,得y=30.
4×70=280(cm),4×30=120(cm),
所以这条金色彩带应剪成280 cm和120 cm长的两段.
【针对训练6】 王师傅铸造了如右图所示的一种零件,在边长为10 cm的正方形内部有四个大小不同的圆,它们的直径分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,他想知道阴影部分的面积,请你帮他算一算(π取3.14).
〔解析〕 机械制造的关键是零件,而零件的设计和制造都需要经过严密的计算,这些计算有时很繁杂,若合理采用一些方法,会使计算大大简化,用提公因式法分解因式就是常用的方法之一.
解:S阴影=S正方形-SⅠ-SⅡ-SⅢ-SⅣ
=102-π·-π·-π·-π·
=100-π
=100-π
≈100-7.5×3.14
=76.45(cm2).
答:阴影部分的面积约是76.45 cm2.
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(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是 ( )
A.(a+3)(a-3)=a2-9
B.a2-b2=(a+b)(a-b)
C.a2-4a-5=a(a-4)-5
D.m2-2m-3=m
2.下列各式的分解因式:①100p2-25q2=(10+5q)(10-5q);②-4m2-n2=-(2m+n)(2m-n);③x2-6=(x+3)(x-2);④-x2-x+=-.其中正确的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列各式中,能用完全平方公式因式分解的是 ( )
A.(x+y)(y-x)-4xy
B.a2-2ab+4b2
C.4m2-m+
D.(a+b)2-2a-2b+1
4.当n是整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是 ( )
A.2的倍数 B.4的倍数
C.6的倍数 D.8的倍数
5.设M=a(a+1)(a+2),N=a(a-1)(a+1),那么M-N等于 ( )
A.a2+a B.(a+1)(a+2)
C.a2+a D.(a+1)(a+2)
6.(2015·台州中考)把多项式2x2-8分解因式,结果正确的是 ( )
A.2(x2-4) B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2) D.2x
7.若多项式(2x)n-81能分解成(4x2+9)(2x+3)·(2x-3),则n等于 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.(来宾中考)分解因式x2-4y2的结果是 ( )
A.(x+4y)(x-4y) B.(x+2y)(x-2y)
C.(x-4y)2 D.(x-2y)2
9.如图(1)所示,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个长方形(如图(2)所示),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是 ( )
A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
10.三角形的三边a,b,c满足a2(b-c)+b2c-b3=0,则这个三角形的形状一定是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共32分)
11.利用因式分解计算.
(1)16.8×+7.6×= ;?
(2)1.222×9-1.332×4= ;?
(3)5×998+10= .?
12.若x2-6x+k是关于x的完全平方式,则k= .?
13.(2015·黄石中考)分解因式:3x2-27= .?
14.若x-y=5,xy=6则x2y-xy2= ,2x2+2y2= .?
15.若x+y+z=2,x2-(y+z)2=8,则x-y-z= .?
16.已知P=3xy-8x+1,Q=x-2xy-2,当x≠0时,3P-2Q=7恒成立,则y的值为 .?
17.已知|x-2y-1|+(x2+4xy+4y2)=0,则x+y= .?
18.甲、乙两位同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则a= ,b= .?
三、解答题(共58分)
19.(8分)把下列各式因式分解:
(1)a3-2a2b+ab2;
(2)-a3+15ab2-9ac2;
(3)m2(m-1)-4(1-m)2;
(4)-16x2.
20.(8分)利用因式分解进行计算.
(1)(-2)2001+(-2)2002-22001;
(2)(255+511)÷30.
21.(10分)已知x=6.61,y=-3.39,求(x-y)(x2+3xy+y2)-5xy(x-y)的值.
22.(10分)(1)1993-199能被198整除吗?能被200整除吗?说明你的理由.
(2)试说明当n为正整数时,n3-n的值必为6的倍数.
23.(10分)已知m,n互为相反数,且满足(m+4)2-(n+4)2=16,求m2+n2-的值.
24.(12分)先阅读第(1)题的解答过程,然后再解第(2)题.
(1)已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值.
解法1:设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),
则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.
比较系数得解得
∴m=.
解法2:设2x3-x2+m=A(2x+1)(A为整式),
由于上式为恒等式,为方便计算取x=-,则有2×-+m=0,故m=.
(2)已知x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2,求m,n的值.
【答案与解析】
1.B
2.A(解析:100p2-25q2=(10p+5q)(10p-5q),①错误;-4m2-n2=-(4m2+n2),②错误;x2-6=(x+)(x-),③错误;-x2-x+=-,④错误.故选A.)
3.D(解析:A.(x+y)(y-x)-4xy=y2-x2-4xy,不符合完全平方式的特征,故此选项错误;B.a2-2ab+4b2不符合完全平方式的特征,故此选项错误;C.4m2-m+不符合完全平方式的特征,故此选项错误;D.(a+b)2-2a-2b+1=(a+b)2-2(a+b)+1=(a+b-1)2,符合完全平方公式,故此选项正确.故选D.)
4.D(解析:(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=8n,则当n是整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.故选D.)
5.A(解析:M-N=a(a+1)(a+2)-a(a-1)·(a+1)=a(a+1)[(a+2)-(a-1)]=·a(a+1)×3=a(a+1)=a2+a.故选A.)
6.C(解析:2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2).故选C.)
7.B(解析:(4x2+9)(2x+3)(2x-3)=(4x2+9)·(4x2-9)=16x4-81,所以(2x)n=16x4,所以n=4.故选B.)
8.B
9.D(解析:第一个图形中阴影部分的面积的计算方法是用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积,等于a2-b2;第二个图形的阴影部分是一个长是a+b,宽是a-b的长方形,面积是(a+b)(a-b).这两个图形的阴影部分的面积相等.故选D.)
10.A(解析:因为a2(b-c)+b2c-b3=a2(b-c)+b2(c-b)=(a2-b2)(b-c)=(a+b)(a-b)(b-c)=0,所以a=b或b=c或a=b=c,所以三角形一定是等腰三角形.故选A.)
11.(1)7 (2)6.32 (3)5000(解析:(1)原式=16.8×+7.6×2×=×(16.8+7.6×2)=×32=7.(2)原式=(1.22×3)2-(1.33×2)2=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)=6.32×1=6.32.(3)原式=5×998+5×2=5×(998+2)=5000.)
12.9
13.3(x+3)(x-3)(解析:原式=3(x2-9)=3(x+3)(x-3).故填3(x+3)(x-3).)
14.30 74(解析:∵x-y=5,xy=6,∴x2y-xy2=xy(x-y)=6×5=30,2x2+2y2=2(x2+y2)=2(x-y)2+4xy=2×52+4×6=74.)
15.4(解析:∵x2-(y+z)2=8,∴(x-y-z)(x+y+z)=8,∵x+y+z=2,∴x-y-z=4.故填4.)
16.2(解析:3P-2Q=3(3xy-8x+1)-2(x-2xy-2)=13xy-26x+7,∵3P-2Q=7恒成立,∴13xy-26x+7=7,∴13xy-26x=0,∴13x(y-2)=0,∵x≠0,∴y-2=0,∴y=2.故填2.)
17.(解析:已知可化为|x-2y-1|+(x+2y)2=0,所以有即解得所以x+y=-=.故填.)
18.6 9(解析:根据题意,甲看成的式子是(x+2)·(x+4)=x2+6x+8,因为甲看错了b,所以a=6;乙看成的式子是(x+1)(x+9)=x2+10x+9,因为乙看错了a,所以b=9.)
19.解:(1)a3-2a2b+ab2=a(a2-2ab+b2)=a(a-b)2. (2)-a3+15ab2-9ac2=-a(a2-15b2+9c2). (3)m2(m-1)-4(1-m)2=(m-1)·(m2-4m+4)=(m-1)(m-2)2. (4)(x2+4)2-16x2=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x-2)2(x+2)2.
20.解:(1)原式=-22001+22002-22001=22001×(-1+2-1)=0. (2)原式=(510+511)÷30=510×(1+5)÷30=510×6×=59.
21.解:(x-y)(x2+3xy+y2)-5xy(x-y)=(x-y)(x2+3xy+y2-5xy)=(x-y)(x2-2xy+y2)=(x-y)(x-y)2=(x-y)3.把x=6.61,y=-3.39代入上式得(6.61+3.39)3=1000.
22.解:(1)1993-199=199(1992-1)=199×(199+1)×(199-1)=199×200×198,所以1993-199能被198,200整除. (2)n3-n=n(n2-1)=n(n+1)(n-1),因为n为正整数,n-1,n,n+1为三个连续的整数,所以必有2的倍数和3的倍数,所以n(n+1)(n-1)必是6的倍数.
23.解:∵m,n互为相反数,∴(m+4)2-(n+4)2=(m+4+n+4)(m+4-n-4)=(m+n+8)(m-n)=8(m-n),∴8(m-n)=16,即m-n=2.根据题意建立方程组,得解得∴m2+n2-=1+1+1=3.
24.解:(用解法2的方法求解)设x4+mx3+nx-16=A(x-1)(x-2)(A为整式),由于这个式子为恒等式,为方便计算,取x=1,得1+m+n-16=0,① 取x=2,得16+8m+2n-16=0,②
由①②得m=-5,n=20.
