第二章 相交线与平行线
1.结合具体情境,理解对顶角、互为余角、互为补角的概念,探索并掌握对顶角相等,理解垂线、垂线段等概念,掌握“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”的基本事实,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线,了解垂线段最短的性质,了解点到直线距离的意义并会度量点到直线的距离.
2.理解平行线的概念,了解平行公理及其推论,会用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线;会识别同位角、内错角、同旁内角;探索并掌握平行线的性质和判定方法,会度量两条平行线之间的距离.
3.会用尺规作一个角等于已知角,能利用尺规作角的和、差、倍,并掌握作图步骤和作图语言的叙述及作角的综合应用,能够通过尺规设计并绘制简单的图案,同时在尺规作图过程当中,积累数学活动经验,培养动手能力和逻辑分析能力.
4.能初步应用本章所学的知识对图形进行简单的说理、解释生活中的现象及解决简单的实际问题,体会研究几何图形的意义.
1.理解本章学过的关于描述图形形状和位置关系的语句,会用语句描述简单的图形,会根据描述的语句画出图形,能结合一些具体内容进行说理,初步养成言之有据的习惯.
2.注意观察实物、模型和图形,通过观察、归纳、对比来寻找图形的位置关系和数量关系,从而发现图形的性质.
1.在观察、操作、想象、说理、交流的过程中,发展空间观念,初步形成积极参与数学活动、与他人合作交流的意识,激发学生对空间与图形的兴趣.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.通过一题多变,一题多解,多解归一的练习,让学生学会挖掘题目资源,用发展的眼光看问题,观察运动中的异同,揭示知识间的内在联系.
根据《标准》的要求,图形与几何部分的整体教学目标确定为:在探索、发现、确认、理论验证图形实质的过程中,借助几何直观,把复杂的数学问题变得简明、形象,发展空间观念和推理能力.
基于《标准》的要求和学生的实际,本章设计的总体思路是:在生动的问题情境和丰富的数学活动中,探索相交线、平行线的有关事实;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单推理相结合,发展空间观念的推理能力;借助平行的有关结论解决一些简单的实际问题.
为此,教科书共安排了4节内容.
第1节“两条直线的位置关系”,首先从反映生活中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手,提出两条直线的两种位置关系(相交与平行),接着介绍对顶角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角及其基本结论.
第2节“探索直线平行的条件”、第3节“平行线的性质”,教科书通过设置观察、操作等探究活动,按照“先探索直线平行的条件,再探索平行线的性质”顺序呈现、展开平行线的有关内容.其中,在探索直线平行条件中自然引入“三线八角”,并试图在探索性质和解决问题过程中,加深对直线平行的理解,进一步发展学生的空间观念.
第4节“用尺规作角”,在七年级上册“用尺规作一条线段等于已知线段”的基础上,学习“用尺规作一个角等于已知角”,用规范的尺规作图语言加以叙述,给出了尺规作图的范例.
【重点】
1.掌握平行线的条件及平行线的特征,并会运用它们说理.
2.进一步熟悉和掌握几何语言,能用几何语言说明图形.
【难点】 能根据几何图形按照题目要求灵活的说理.
1.本章知识点在内容呈现上充分体现认知过程,给学生提供探索与交流的时间和空间.强调学生通过“做数学”来学习数学是本章教科书的一个突出特点.在内容处理上,加强了实验几何的成分,将实验几何与论证几何有机结合.对于几何中的结论,多是采用先让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做实验等活动,探索发现几何结论,然后再对结论进行说明、解释或论证,为由实验几何到论证几何的过渡做好铺垫,在教学时应充分注意这一点.
2.对于本章中的一些概念、性质、公理和定理,教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目,让学生通过探索活动来发现结论,经历知识的“再发现”过程,在探究活动的过程中发展创新思维能力,改变学生的学习方式.
3.注意加强直观性.密切联系实际,体验知识的形成和应用过程,以实际问题为出发点和归宿是这一章教学中特别关注的问题.几何图形是从实际中抽象出来的,所以几何图形的定义、性质都是比较抽象的,这一点对于学生来说有一定的困难.为了减少学生学习的困难,在学习这一章时,注意加强了直观教学,使教学内容尽量贴近学生的生活.
4.循序渐进地安排技能训练.这一章的教学,除了要学习一些数学知识以外,还担负着一些技能和能力的培养和训练的任务.这既有几何语言、图形方面的,也有说理、推理方面的.这些内容,都是进一步学习空间与图形知识的基础.教科书在这方面也是作了精心安排,在教学时应当注意按照由简单到复杂、由模仿到独立操作的顺序,逐步提高要求.
5.有意识地培养学生有条理地思考和表达.对于推理能力的培养,按照“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等不同层次分阶段逐步加深地安排.本章对于推理的要求还处在入门阶段,只是结合知识的学习,识图、画图、几何语言的训练从“说理”过渡到“简单推理”.各个过程中,都没有采用“已知…,求证…,证明…”的形式,而是用说理的方式展示推理的过程,但强调让学生经历推理的过程,感受推理论证的作用,使说理、推理作为观察、实验、探究得出结论的自然延续.因此教学中要注意准确把握教学要求,对推理能力的培养要有一个循序渐进、逐步提高的过程,要鼓励学生用自己的语言说明理由,在书写格式上不作统一要求,可以用自然语言,可以结合图形进行说明,可以用箭头等形式表明自己的思路,也可以用数学符号语言表示说理、简单推理的过程,等等.总之,要注意逐步提高、不要急于要求学生用数学符号语言书写,不能操之过急.
1 两条直线的位置关系
2课时
2 探索直线平行的条件
2课时
3 平行线的性质
2课时
4 用尺规作角
1课时
回顾与思考
1课时
1 两条直线的位置关系
1.通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些实际问题.
1.引出对顶角的概念和“对顶角相等”的结论,并用结论来解决相关问题.
2.从丰富的生活情境中抽象出几何模型,引入余角、补角及它们的性质.
1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.
2.由实际问题引入,增强学生学习数学的兴趣,体会数学来源于生活又服务于生活,通过对对顶角的辨别,培养学生的批判性思维.
【重点】
1.对顶角定义和对顶角相等.
2.余角、补角和它们的性质.
【难点】 同角或等角的余(补)角相等性质的应用.
第课时
在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义,知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等,并能解决一些实际问题.
经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.
激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.
【重点】 了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题.
【难点】 应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P38~39.
导入一:
[过渡语] 在2013年3月17日,世界斯诺克球员巡回赛总决赛1/4决赛,中国选手丁俊晖以4比3绝杀马克·艾伦后晋级四强;他打出三杆过百,其中更有一杆147分,打出个人职业生涯中的第五杆满分.不仅为个人取得了荣誉,更为我们国家争取了荣誉.斯诺克台球运动是一项技术性很高的运动,其中包含了很多数学知识.你想知道吗?本节课我们就共同学习相关的知识.【版权所有：21教育】
[设计意图] 利用相关的台球体育赛事新闻创设情境,吸引了学生的注意力,引发好奇心,感受数学知识在生活中的应用,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,为新课的学习做好情感及心理的铺垫.并适时对学生进行集体主义教育,从小树立集体荣誉感.
导入二:
我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着大量的直线、射线、线段.下面我们就来欣赏一组生活中的图片.
[处理方式] 同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的,有些是相交的.由其中一个小组作展示,其余同学作补充.教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位置关系相关的知识.
[设计意图] 通过学生熟悉的实物图片让学生发现数学知识,明白本节课要学习的主要内容.
[过渡语] 我们的周围有好多线条,它们有的平行,有的相交,有的垂直,我们这节课将一起研究同一平面内的两条直线的位置关系.
探究活动1 两条直线的位置关系
思路一
同学们认真观察这些来自生活的图片,你有什么发现?(学生观察,与同伴交流)
[处理方式] 在教师的引导下先由学生理解“同一平面内”的含义,再让学生找出图中同一平面内的两条直线的位置关系.由学生进行补充说明.
【知识归纳】 在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种.若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.(教师强调关键词:同一平面、只有一个公共点、不相交)
[设计意图] 从学生身边熟悉的图形出发,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,体会数学与生活的联系,引起学生学习的兴趣.通过师生互动,生生互动,增加学生之间的凝聚力.在相互探讨中激发学生学习的积极性,亲身经历提炼有关数学信息的过程,总结出同一平面内两条直线的基本位置关系,提高课堂效率.为新课的学习做好铺垫.
思路二
[过渡语] 我们在七年级上册学习了直线和直线的表示方法,请同学们在纸上画两条直线,并用字母表示.(教师展示部分学生所画的图)21·cn·jy·com
师:以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?
生:可以分为两类.分别为相交和平行.
师:但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢?
生:因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线.
师:这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系.
师:通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种.但是在说两条直线的位置关系时,我们应强调什么问题呢?
生:必须在同一平面内.
师:很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢?
生:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线.
生:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
师:下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出图片中的相交线和平行线)
师:你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗?(学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、教室的墙等等)
[设计意图] 让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步地理解平行线、相交线的概念.
探究活动2 对顶角的定义与性质
[过渡语] 两条直线相交,会形成怎样的角呢?
【活动内容】 观察下面两个图形,思考以下几个问题.
问题1
观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系,大小有何关系,为什么?
问题2
剪子在剪东西的过程中,∠1和∠2还保持相等吗?∠3和∠4呢?你有何结论?
[处理方式] 学生观察总结之后,教师予以补充确定.得到对顶角的概念和性质.
【归纳总结】 如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角.对顶角有如下性质:对顶角相等.
【即时练习】(多媒体显示)
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( )
〔答案〕 D
2.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的iiiiiiiiiiiiiii度数.你能说出所量角是多少度吗?为什么?
〔答案〕 40°,理由:对顶角相等.
[设计意图] 通过创设生动有趣的活动情境,为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的活动素材,使学生在自主学习的过程中,学会对顶角的概念及其性质.同时通过有效的数学探究活动,使学生经历数学的发生、发展过程,概括归纳得到猜想和规律,并加以验证,也积累了数学活动的经验.利用学习过的有关事实解决实际问题,体会数学在生活中的应用,进一步巩固了对顶角的概念及其性质,激发学生的学习兴趣.
探究活动3 补角、余角的定义及性质
[过渡语] 通过对顶角的概念,我们知道两条直线相交所成的四个角中,不相邻的两个角是对顶角,那么相邻的两个角叫什么角呢?
1.补角和余角的定义.
【问题】
1.在右图中,∠1与∠3有什么数量关系?
2.请同学们按下面的要求画图.
(1)画出两个角,使它们的和为90°.
(2)画出两个角,使它们的和为180°.
[处理方式] 针对问题2,学生思考后画图,教师巡视,选择学生展示所画图形,并作出补充.
展示(1):和为90°的两个角.
展示(2):和为180°的两个角.
【归纳总结】
补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.
(补充)两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.
余角定义:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角.
[处理方式] 学生动手画图,并相互交流结果.展示学生问题2的答案,教师并作补充,选择有代表性的图形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°(①②③)或180°(④⑤).特别是图③,利用了对顶角画出两个45°角,使它们的和等于90°,让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.
[设计意图] 通过动手画图,可以加深学生对概念的理解,在相互交流中,初步形成评价与反思的意识,在相互补充、相互学习中,体验“互补、互余”仅仅表明了两个角的度量关系,并没有限制角的位置关系,在合作交流中,获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立自信心,可以更好地掌握新知识.在集体展示时给部分同学展示的机会,可以极大地调动这部分学生的学习热情.
【即时练习】(多媒体显示)
下列说法中,正确的有 .(填序号)?
①已知∠A=40°,则∠A的余角=50°;②若∠1+∠2=90°,则∠1和∠2互为余角;③若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2和∠3互为补角;④若∠A=40°26',则∠A的补角=139°34';⑤一个角的补角必为钝角;⑥一个锐角的补角比这个角的余角大90°.21世纪教育网版权所有
[设计意图] 这是针对学生的易错点而改编的一组判断题,这种形式能引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握.
2.补角和余角的性质.
[过渡语] 台球中也蕴含着我们学习的大量知识,看下面的问题.
如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:
(1)有哪些角互为补角?有哪些角互为余角?
(2)∠3与∠4有什么关系?为什么?
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系?为什么?
【归纳总结】 同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
[处理方式] 学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程.本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的,前一个问题为下一个问题做好铺垫.在学习的过程中,时刻不能忘记学生是主体,一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发,问题环节设计跨越性不能太强,让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦;教师要充分发散学生的思维,鼓励学生各抒己见,敢于质疑;上课要渗透合情说理的方法,进一步培养学生的推理能力.
[设计意图] 先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论.
【即时训练】(多媒体显示)
1.因为∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1= ,理由是 .?
〔答案〕 ∠3 同角的余角相等
2.因为∠1+∠2=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1= ,理由是 .?
〔答案〕 ∠3 同角的补角相等
3.(1)画一个直角三角形ABC,使∠C=90°,如图(1)所示,则∠A是∠B的 .?
(2)在(1)的基础上,作∠CDA=90°,如图(2)所示,则∠A的余角有哪几个?为什么?请找出互补的角,并说明理由.
解:(1)余角
(2)因为∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,所以∠A的余角为∠ACD,∠B.因为∠ADC+∠BDC=180°,所以∠ADC和∠BDC互为补角.
[设计意图] 通过练习,即时巩固所学知识,提高学生用数学解决实际问题的能力.
[知识拓展]
1.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种,相交时两条直线只有一个公共点,平行指的是两条直线平行,而不是线段或射线.
2.对顶角必须具备的两个要素:①有公共顶点;②两边互为反向延长线.
3.互为余角、互为补角是指两个角之间的关系,是成对出现的.两角互为补角并不一定一个是钝角一个是锐角,也有可能是两个直角.
(1)相交线的定义.
(2)平行线的定义.
(3)对顶角的定义及性质.
(4)互为余角、互为补角的定义及性质.
1.如图所示,直线AB与CD交于点O,∠EOD=90°,回答下列问题:
(1)∠AOE的余角是 ,补角是 .?
(2)∠AOC的余角是 ,补角是 ,对顶角是 .?
答案:(1)∠BOD和∠AOC ∠BOE (2)∠AOE ∠AOD和∠BOC ∠BOD
2.如图所示,点O在直线AB上,∠DOC和∠BOE都等于90°.请找出图中互余的角、互补的角、相等的角.
解:互余的角:∠AOD和∠EOD,∠EOD和∠EOC,∠EOC和∠COB,∠AOD和∠BOC;
互补的角:∠AOD和∠BOD,∠AOE和∠BOE,∠AOC和∠BOC,∠AOC和∠DOE,∠EOC和∠BOD;
相等的角:∠AOD=∠EOC,∠EOD=∠BOC.
3.如图所示,小颖想测量一堵拐角高墙在地面上所成的角∠AOB的度数,人不能进入围墙内,你能帮小颖想出简单的测量方法吗?请简述你的方法,并说明理由.
解:延长BO到C,测量出∠AOC的度数,在用180度减去∠AOC的度数,即可得出∠AOB的度数.理由:∠AOC和∠AOB互为补角.(答案不唯一)
4.如图所示,点O在直线AB上,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,请找出∠COD的余角和补角,并说明理由.
解:因为OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,
所以∠BOC=∠COD,∠DOE=∠AOE,
所以∠EOC=∠EOD+∠DOC=90°.
所以∠COD的余角是∠DOE,∠AOE,∠COD的补角是∠AOC.
第1课时
探究活动1 两条直线的位置关系
探究活动2 对顶角的定义与性质
探究活动3 补角、余角的定义及性质
一、教材作业
【必做题】
教材第40页习题2.1知识技能第1题.
【选做题】
教材第40页习题2.1问题解决第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果∠α+∠β=90°,而∠β与∠γ互余,那么∠α与∠γ的关系为 ( )
A.互余 B.互补
C.相等 D.不能确定
2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是 ( )
3.如图所示,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠BOM等于 ( )
A.38° B.104° C.142° D.144°
【能力提升】
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,且∠1=∠2.
(1)指出∠1的对顶角;
(2)若∠2和∠3的度数比是2∶5,求∠4和∠AOC的度数.
5.已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的余角.
【拓展探究】
6.如图所示,点O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.
(1)若∠BOC=50°,试探究∠FOE的度数;
(2)若∠BOC为任意角α(0°<α<180°),则∠FOE的度数是多少?
【答案与解析】
1.C(解析:因为∠β与∠γ互余,所以∠β+∠γ=90°,又因为∠α+∠β=90°,所以∠α=∠γ.故选C.)
2.C(解析:A.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角;B.∠1与∠2没有公共顶点,不是对顶角;C.∠1与∠2的两边互为反向延长线,且有公共顶点,是对顶角;D.∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边不在同一条直线上,不是对顶角.故选C.)
3.C(解析:因为∠BOD=76°,所以∠AOC=∠BOD=76°,因为射线OM平分∠AOC,所以∠AOM=∠AOC=×76°=38°,所以∠BOM=180°- ∠AOM=180°- 38°=142°.故选C.)
4.解:(1)∠1的对顶角是∠AOC. (2)因为∠1=∠2,∠2和∠3的度数比是2∶5,所以∠1∶∠2∶∠3=2∶2∶5,设∠2=2x,则∠1=2x,∠3=5x,由题意得2x+2x+5x=180°,解得x=20°,所以∠1=40°,∠2=40°,∠3=100°,根据对顶角相等,得∠4=∠BOC=∠2+∠3=140°,∠AOC=∠1=40°.
5.解:设这个角为x,则180°- x+10°=3(90°- x),解得x=40°,所以90°- 40°=50°.所以这个角的余角为50°.
6.解:(1)因为∠BOC=50°,所以∠AOC=180°- 50°=130°,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=65°,∠COF=∠COB=25°,所以∠EOF=65°+25°=90°. (2)因为∠BOC=α,所以∠AOC=180°- α,因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠EOC=∠AOC=90°- α,∠COF=∠COB=α,所以∠EOF=90°- α+α=90°.所以∠EOF=90°.
本课时注重创设“开放”的教学环境,引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会知识的重要性和在生活中的广泛应用.通过课堂开放,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,同时也为学生搭建了一个充分展示自我的舞台,在活动中提高与他人合作交流的能力,激发了学生的潜能,使学生成为课堂的主人,提高了学生分析问题、解决问题的能力.【来源：21cnj*y.co*m】
讨论时,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
再教时应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,教师可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.
随堂练习(教材第39页)
解:40°,对顶角相等.
习题2.1(教材第40页)
知识技能
1.解:因为∠1=38°,所以∠3=38°(对顶角相等),∠2=180°- ∠1=180°- 38°=142°.因为∠4=∠2,所以∠4=142°.
数学理解
2.解:互为补角的两个角不可以都是锐角,也不可以都是钝角,可以都是直角.
问题解决
3.提示:∠1=32°.
4.提示: 60°或120°.
联系拓广
5.提示:不是.
1.怎样理解互为余角和互为补角?
余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系.即如果两个角互为余角,那么它们的和为90°;如果两个角互为补角,那么它们的和为180°.
强调两个角中,一个角是另一个角的余角,或者两个角互为余角.补角同样如此.
另外,对余角和补角有两个非常重要且常用的结论:同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等.
2.怎样理解对顶角的特点和性质?
特点:(1)有公共顶点;
(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
性质:对顶角相等.
3.互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关.
如图所示,将一个长方形纸片沿着直线EF折叠,点A落在点A'处;再沿着GE折叠,顶点B落在EA'上的B'点处.∠FEA'与∠GEB'互余吗?为什么?
〔解析〕 要判断∠FEA'与∠GEB'是否互余,需要求出∠A'EF+∠B'EG是否为90°,由已知可得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,所以不难得出结论.
解:由已知得∠AEF=∠A'EF,∠BEG=∠B'EG,而∠AEF+∠A'EF+∠BEG+∠B'EG=180°,
所以∠A'EF+∠B'EG=90°,
由互为余角定义可知∠A'EF与∠B'EG互为余角.
第课时
1.会用符号表示两直线垂直,并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线.
2.通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的有关性质,会进行简单的应用.
3.初步尝试进行简单的推理.
经历从生活中提炼、动手操作、观察交流、猜想验证、简单说理等活动,进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力.善于举一反三,学会运用类比、数形结合等思想方法理解新知识.
激发学生学习数学的兴趣,体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理,在解决实际问题的过程中了解数学的价值,通过“简单说理”体会数学的抽象性、严谨性.
【重点】 会用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质.
【难点】 从实际生活中感知垂线的性质以及体会点到直线的距离的意义,并能用准确的数学语言加以描述.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 三角尺、长方形纸片、方格纸.
导入:
问题1
同一平面上的两条直线有哪些位置关系?你能找到生活中的一些实例吗?
问题2
同一平面上的两条直线相交,一条直线不动,另一条直线转动时,观察特殊的位置关系.
[处理方式] 问题1由学生口答完成,在观察教室周围的基础上找到一些相交的线段,并发现其中相交的特殊情况,即两条直线相交,形成直角.在学生充分体会完成后,提炼出数学图形.问题2教师引导学生转动模型(钉在一起的两张长方形纸条,用纸条模拟直线),由直观形象的演示过渡到抽象的直线表示,从而导入新课的学习,教师同时板书课题.
[设计意图] 数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”;利用动态演示激发学生的学习热情,调动学生的参与意识,为下一部分的探究实践做好充分的准备和铺垫.
探究活动1 垂直的定义
思路一
【活动内容】
在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系?说说看.21教育网
[处理方式] 引导学生发现其中相交的直线所成的夹角是90°.如何验证它们的夹角是90°呢?直接在屏幕上演示用三角尺或量角器验证直角的过程.
(几何画板)演示自制教具,要求学生观察当一根木条绕着另一根木条旋转时的变化情况,并用数学语言进行描述:两条直线相交成四个角,当一个角等于90°时两直线的特殊位置关系是什么.
【知识归纳】 两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.
教师板书:如果用a,b表示两条互相垂直的直线,可以记作a⊥b,垂足为O.
如果用AB,CD表示两条互相垂直的直线,可以记作AB⊥CD,其中点O是垂足.
强调:(1)在垂直的定义中要强调只有一个角是直角就可以了,不必说四个角都是直角,因为其他三个直角都可推出来.
(2)互相垂直是对两条直线而言的.因此,说到垂直,一定是指两条直线的位置关系.
(3)定义具有双重性,既是垂直的判定定理,也是垂直的性质定理,在具体应用时要注意书写格式.
【即时训练】
1.找出下图中互相垂直的线段.
2.你能说说我们身边存在的垂直线段吗?
[设计意图] 从身边熟悉的图形出发,在比较中发现新知,加深学生对垂直的直观的感性认识,培养学生从感性到理性的认知方式.并通过练习即时巩固新知.
思路二
[过渡语] 两条直线之间的位置关系有两种:相交和平行,观察下面的图片(多媒体出示),你能找出其中相交的线吗?它们有什么特殊的位置关系?与同伴交流.
[处理方式] 学生观察图片,进行小组讨论,教师选取学生代表到屏幕前指出说明.
[设计意图] 数学来源于生活,引导学生从身边熟悉的图形出发,既复习了上一课时的知识点——两条直线的位置关系,又体会到生活中大量存在特殊的相交线——互相垂直的直线,在比较中发现新知,加深了学生对垂直的感性认识,感受垂直“无处不在”,使学生充分体验到现实世界的美来源于数学的美,在美的享受中进入新知识的殿堂.通过亲身经历提炼有关数学信息的过程,可以让学生在直观有趣的问题情境中抽象出有价值的数学模型,然后利用现代化教学手段加强直观教学,激发学生的学习热情,调动学生的参与意识.
【知识归纳】 两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.通常用“⊥”表示两直线垂直.
师(边画图边板书):如图(1)所示,直线AB与直线CD垂直,记作AB⊥CD;如图(2)所示,直线l与直线m垂直,记作l⊥m.其中,点O是垂足.
师:你能在生活中找到互相垂直的线段吗?(学生各抒己见,列举生活中互相垂直的线段)
探究活动2 垂线的画法
【活动内容1】
1.你能利用三角尺画出两条互相垂直的直线吗?
2.如何判断你所画的两条直线互相垂直?
3.你能用一张长方形的纸折出两条折痕,使它们垂直吗?
4.你能分别过直线上一点和直线外一点分别画已知直线的垂线吗?
[处理方式] 学生动手画图、操作、互相交流结果,教师巡视,帮助有困难的学生,并引导学生总结出利用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法.
引导归纳出:利用三角尺过直线外一点画直线的垂线的方法分为三步:
(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合.
(2)让三角尺的另一直角边过已知点.
(3)沿着已知点所在的直角边画出直线.
[设计意图] 学生分组讨论、交流和合作,并动手操作画图,训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题,并为培养学生的创新意识提供了机会.一方面加强学生动手操作的能力,同时也培养了学生的合作精神;另一方面,让学生经历知识形成的过程,更能深刻理解垂直、垂线的概念.
【活动内容2】
如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗?说出你的画法和理由.方格纸上每一条横线和竖线都是互相垂直的,我们可以利用格线来画出两条互相垂直的直线.对于不与格线重合的直线怎么用直尺(不带刻度)画直线l的垂线?(如图(1)所示)
[处理方式] 师生合作:(1)把直线l在方格纸中的部分看成边长为3×2的长方形的对角线(如图(2)所示).(2)经过A点在方格纸中寻找边长为2×3的长方形(如图(3)所示),过A点画该长方形的对角线a(说明:将方格纸中小正方形的边长看成1,长方形两个相对顶点连成的线段叫做长方形的对角线),直线a就是所要画的直线l的垂线.
[设计意图] 借助不同的工具、不同的方法来解决,让学生的思维得到充分发散,引导学生透过现象看本质.课改理念之一就是改变学生被动的学习方式,让学生积极主动地投身于“做数学”中.本环节的设置,将问题更加生动形象地呈现在学生面前,让学生在经历思考、实践、猜想、动手验证等过程,不仅加深对“垂直”的理解,而且感受到“做数学”的乐趣,从而享受学习的过程.
探究活动3 垂线段和点与直线的距离
【活动内容1】
如图(1)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条?如图(2)所示,如果点A在直线l外呢?动手画一画,与同伴交流.
结论:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【活动内容2】
如图(1)所示,点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足.点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么?
结论:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.如图(2)所示,过点A作l的垂线,垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离.
【活动内容3】
体育课上老师是怎样测量跳远成绩的?能说出其中的道理吗?与同伴交流.
[处理方式] 在学生充分实践的基础上,让学生深入思考垂直的性质,最好能让学生自己得出有关垂直的两条性质,这是本课时的难点,首先通过让学生画“点和直线的位置关系”,让学生在直观中抽象出“点在直线上和点在直线外”这一数学模型,这是分散难点的有效途径,让学生在看似“盲目”的探究中发现问题的本质,增加继续探究的勇气.问题的设置是由易到难、由直观画图到理性思考的过程.
探究活动4 垂线的应用
[过渡语] 刚才我们研究了垂直的定义、垂线的画法以及垂线的相关性质,你能利用它们解决下列问题吗?老师相信你们一定是最棒的!
如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,垂足为O,∠EOD=40°,则∠BOC= .?
〔解析〕 因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°,又因为∠EOD=40°,所以∠DOB=90°- 40°=50°,所以∠BOC=180°- ∠DOB=180°- 50°=130°.故填130°.
(补充)如图所示,一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的两所学校.
(1)汽车行驶时,会对公路两旁的学校造成一定的噪音影响.当汽车行驶到何处时,分别对两个学校影响最大?在图中标出来.
(2)当汽车由A向B行驶时,在哪一段上对两个学校影响越来越大?在哪一段上对两个学校影响越来越小?
(3)在哪一段上对M学校影响逐渐减小而对N学校影响逐渐增大?(用文字表达)
[处理方式] 学生在画图操作的过程中,教师来回巡视,及时发现学生的问题图形,在解决问题时把这些错图或不规范的图实物投影到黑板上,根据学生的课堂表现随时调整独立思考和合作交流的学习过程.例题让学生独立思考,独立写出推理过程,教师巡视,适时点拨.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.因为没有系统的学习推理过程,只要学生解释合理即可.教师给出规范的推理过程,让学生体会数学符号语言的简洁和魅力.再通过补充练习进行巩固.
[知识拓展]
1.垂直是相交线的特殊情况,两条线段垂直、两条射线垂直都是指它们所在的直线互相垂直.
2.画一条线段的垂线时,就是画它所在的直线的垂线.
3.点到直线的距离是指垂线段的长度,若点在直线上,我们认为点到直线的距离为零.
1.垂直定义:两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直.其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
2.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
3.直线外一点与已知直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
4.点到直线的距离:点到垂足之间垂线段的长度.
1.如图所示,污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ,应如何铺设,才能使排水管道最短,请你画出铺设管道的路线.并请你思考为什么这样画.
解:根据垂线段最短的性质,过A点作PQ的垂线,垂足为B,线段AB即为所求.
2.如图所示,请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板ABCD剪成一个长方形纸板.
解:分别过A,D作BC的垂线AE,DF,垂足分别为E,F,过D作DF的垂线DG,交AE于G,沿AE,DF,DG剪开,四边形EFDG即为所求.(方法不唯一).
第2课时
探究活动1 垂直的定义
探究活动2 垂线的画法
探究活动3 垂线段和点与直线的距离
探究活动4 垂线的应用
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第43页习题2.2知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第43页习题2.2问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·济南中考)如图所示,OA⊥OB,∠1=35°,则∠2的度数是 ( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
2.如图所示,∠BAC=90°,AD⊥BC,则下列的结论中正确的有 ( )
①点B到AC的垂线段是线段AB;②线段AC是点C到AB的垂线段;③线段AD是点D到BC的垂线段;④线段BD是点B到AD的垂线段.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示,点A,B,C在一条直线上,已知∠1=53°,∠2=37°,则CD与CE的位置关系是 .?
【能力提升】
4.老师在黑板上任意画了两条直线AB,CD相交于点O,还作了∠BOC的平分线OE和CD的垂线OF(如图所示),量得∠BOD∶∠BOE=2∶3,小颖同学马上就知道∠AOF等于 .?
5.如图所示,OA⊥OB,OB平分∠MON,若∠AON=120°,求∠AOM的度数.
【拓展探究】
6.如图所示,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB于O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.
【答案与解析】
1.C(解析:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,即∠2+∠1=90°,因为∠1=35°,所以∠2=55°.故选C.)
2.C(解析:①②④说法正确;③说法错误,线段AD是点A到BC的垂线段.故选C.)
3.互相垂直(解析:因为∠1=53°,∠2=37°,所以∠1+∠2=90°,因为点A,B,C在一条直线上,所以∠1+∠DCE+∠2=180°,所以∠DCE=90°,所以CD与CE互相垂直.故填互相垂直.)
4.45°(解析:因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOE,因为∠BOD∶∠BOE=2∶3,所以设∠BOD=2x,则∠BOE=3x,∠BOC=6x,因为∠COD=180°,所以2x+6x=180°,所以x=22.5°,所以2x=45°,所以∠DOB=45°,所以∠AOC=∠BOD=45°,因为OF⊥CD,所以∠AOF=90°- ∠AOC=45°.故填45°.)21·世纪*教育网
5.解:因为OA⊥OB,所以∠AOB=90°,因为∠AON=120°,所以∠BON=120°- 90°=30°,因为OB平分∠MON,所以∠MOB=∠NOB=30°,所以∠AOM=90°- 30°=60°.
6.解:(1)因为OM⊥AB,所以∠1+∠AOC=90°.又∠1=∠2,所以∠2+∠AOC=90°,所以∠NOD=180°- (∠2+∠AOC)=180°- 90°=90°. (2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,所以∠AOC=90°- 30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°,故∠MOD=90°+∠BOD=150°.
本课时用生活中的图片引导学生获得新知,让学生感到“数学源于生活,又高于生活”.通过让学生演示模型、动手画图等活动,使他们经历知识形成的过程,激发了学习兴趣,并加深了对知识的理解.
部分学生在新知探究过程中存在困难,教师要加大关注力度.
让学生动手画垂线时,充分发挥学生的主观能动性,先让学生画图,引导学生总结垂线的性质,再让学生举出生活中类似的例子以便加深对知识的理解.
随堂练习(教材第43页)
1.解:如图所示.
2.解:图(1)中OA⊥OC,OB⊥OD.图(2)中BC⊥AC,AC⊥EC,AC⊥BE,DC⊥BC,DC⊥EC,DC⊥BE,DA⊥BC,DA⊥CE,DA⊥BE.
习题2.2(教材第43页)
知识技能
2.解:互相平行的街道:东直门外大街与建国门外大街;东二环与东三环、东四环.互相垂直的街道:东二环与建国门外大街,东三环与建国门外大街,东四环与建国门外大街;东直门外大街与东二环,东直门外大街与东三环,东直门外大街与东四环.
问题解决
3.解:如图所示,理由如下:在D点处开沟.因为垂线段最短.
如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,OE⊥AB,OF平分∠AOD,∠COE=28°.求∠AOC和∠DOF的度数.
〔解析〕 由已知可求出∠BOC=90°+28°=118°,再根据补角定义可求出∠AOC的度数;根据对顶角相等可求出∠AOD=∠BOC=118°,再由OF平分∠AOD,可求出∠DOF的度数.
解:因为OE⊥AB,所以∠BOE=90°,
所以∠BOC=∠BOE+∠COE=90°+28°=118°,
所以∠AOC=180°- ∠BOC=180°- 118°=62°.
因为∠AOD=∠BOC,所以∠AOD=118°,
因为OF平分∠AOD,
所以∠DOF=∠AOD=×118°=59°.
2 探索直线平行的条件
1.经历观察、操作、想象、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题.
3.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
1.通过转动木条,直观认识同位角相等,两直线平行,并用其解决问题.
2.通过问题情境进一步探索两直线平行的条件,得到内错角相等或同旁内角互补,两直线平行.
利用已有条件探索两直线平行的条件,对学生进行事物间相互联系、相互区别的辩证唯物主义教育.
【重点】 两直线平行的条件.
【难点】 正确识别同位角、内错角、同旁内角.
第课时
1.能正确识别同位角,并能利用“同位角相等,两直线平行”解决一些实际问题.
2.会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
1.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.www-2-1-cnjy-com
2.经历探索直线平行的条件的过程,掌握直线平行的条件,并能解决一些问题.
使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系,激发学生的求知欲,感受与他人合作的重要性.
【重点】 掌握“同位角相等,两直线平行”,并能用其解决一些问题.
【难点】 在较复杂的图形中识别同位角.
【教师准备】 多媒体课件、直尺、三角尺、三根钉在一起的活动木条.
【学生准备】 每个同学准备一张不规则的白纸、三根钉在一起的活动木条(木条可用纸条代替).预习教材P44~45.
导入一:
【活动内容1】
观察“两条直线的位置关系”的图片.
[处理方式] 学生观察图片,提炼出数学图形,然后小组合作交流来说明两条直线的位置关系.
【活动内容2】
在日常生活中,人们经常用到平行线.如图,装修工人正在向墙上钉木条.如果木条b与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所成的角为多少度时,才能使木条a与木条b平行?
你知道其中的理由吗?
如果木条b不与墙壁边缘垂直呢?
[处理方式] 小组之间交流讨论,然后试着回答,最后教师纠正并提出问题“两条直线平行需要什么条件”让学生继续思考.
[设计意图] 通过活动1让学生感受两条直线的位置关系,活动2能够激发学生探索两条直线平行所需条件的欲望,为接下来学生积极思考、努力探索打下了良好的基础.
导入二:
[过渡语] 在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,分别是相交和平行.
师:如图所示,我们已经学习了两条直线相交所构成的四个角的关系,你能说出来吗?
生:∠1与∠2是对顶角,且∠1=∠2;∠3与∠4也是对顶角,且∠3=∠4.∠1与∠3互为补角,即∠1+∠3=180°;∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4都是互为补角.
【问题】 如图所示,直线a与直线b的位置关系是什么?什么叫两条直线平行?
(直线a与直线b平行.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线)
[处理方式] 学生回答问题,教师强调关键词“同一平面内”“不相交”.
[设计意图] 回顾平面内两条直线的位置关系以及“两线四角”的关系,为本节课的“三线八角”及两直线平行条件的探索做好铺垫,从已有的知识出发,逐渐过渡到新知识的学习,梯度小,便于学生接受.
【活动内容】
每幅图中的直线a与直线b平行吗?你能验证吗?
生:直线a与直线b不平行,图(1)中直线a,b看起来越往下越窄,图(2)中直线a,b中间略凹,图(3)中直线a,b中间略凸,延长下去会相交,不平行.
生:我看直线a与直线b平行.
师:我们不能这样争论,你们能说出各自的理由吗?你能想办法验证吗?
生:用平行线的意义,把直线a与直线b延长后再观察.
师:①去掉背景线后观察;②将直线a与直线b延长,再观察.
生:原来它们是平行的.
师:三组直线看上去似乎不平行,其实它们分别都是平行的,这是由于背景造成的视觉误差,所以仅凭观察来判断直线的平行关系是不够的,“眼见不一定为实”,用平行线的定义去验证比较麻烦,也不一定可靠,因此我们需要进一步寻求证据和判别方法,本节课老师将和同学们一起来探索直线平行的条件.
[设计意图] 从学生的直观感觉,引起视觉与知识的冲突,对“眼见为实”产生怀疑,既激发学生进一步探求知识的兴趣和热情,又为理性分析和解决问题埋下伏笔;遵循学生的认知规律,自然引入知识,学生很容易沿着探索知识的过程进行探索和发现.
探究活动1 探索两直线平行的条件
思路一
(1)猜想.
【活动内容】 如图所示,让木条b与黑板边缘垂直,怎样再粘一根木条a,使木条a与木条b平行?
[处理方式] 教师在黑板上粘贴一根木条b,使之与黑板边缘垂直,让学生到黑板上再粘贴一根木条,使木条a与木条b平行,观察木条a与黑板边缘的关系.
追问:如果木条b不与黑板边缘垂直,怎样使木条a与木条b平行呢?
[设计意图] 在黑板粘木条的意图就是调动学生注意力,激发起好奇心和求知欲.要求学生现场操作,就是把实际问题直接搬到教室,达到了事半功倍的效果,学生也很自然地进入学习状态.设计木条与边缘垂直这一特殊情况,让学生通过生活经验来解决;教师紧接着提出:如果木条b不与黑板边缘垂直呢?实现了由特殊到一般的过渡,点击重点,自然转入通过探索角的关系研究直线平行,将学生的思维引向深入.
(2)实验.
【活动内容】
学生拿出课前制作的学具.三根木条相交成∠1,∠2,固定木条b,c,转动木条a.
教师课件出示探索问题:
1.在木条a的转动过程中,观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系,你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化?
2.木条a何时与木条b平行?
[处理方式] 学生通过动手操作,进行组内讨论,然后让学生展示自己的发现:∠1与∠2的大小关系为三种:∠2小于∠1;∠2等于∠1;∠2大于∠1.在这三种情况下,木条a与木条b的位置关系为:∠2<∠1时,a与b相交;∠2=∠1时,a与b平行;∠2>∠1时,a与b相交.
【追问】 如果改变∠1的大小,按照上面的方式再做一做.∠1与∠2的大小满足什么关系时,木条a与木条b平行?
[设计意图] 设置了转动木条的活动,让学生亲自动手操作,目的是让学生通过观察,直观认识到:只有∠1=∠2时,木条a与木条b才平行的结论.通过让学生实验、小组讨论、交流互动,从而培养学生勤动手动脑、归纳的能力.这样设计是让学生参与了探索发现知识的全过程,不仅培养了学生的探究能力,还为下面探究同位角的特征做好铺垫.之后教师提出:改变∠1的大小,按照上面的方式再做一做.体现了由特殊到一般的过渡,也进一步验证了刚才的发现.
(3)归纳.
如图所示,两条直线AB,CD被第三条直线l所截,构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD,AB的上方,并且都在直线l的右侧,具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.∠3与∠4也是同位角.
【问题】 找出图中其他的同位角.这些同位角在位置上有什么共同特征?小组交流一下.
[处理方式] 学生互相交流,得出:∠5与∠6是同位角,这两个角在直线l的右侧,又分别在直线CD,AB的下方;∠7与∠8是同位角,这两个角分别在直线CD,AB的下方,并且在直线l的左侧.辨别同位角时要注意位置上的“同”字,在第三条直线的同旁,另两条直线的同方向.通过转动木条发现两直线平行的条件,最后让学生总结这一规律.
教师课件出示下面内容:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简称为:同位角相等,两直线平行.
用几何语言表示:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b.
(两直线平行,我们用“∥”表示.例如,直线a与直线b平行,记作a∥b)
[设计意图] 带领学生直观地认识同位角,这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求.在处理了“(1)猜测,(2)实验”这两个环节后,归纳得出“同位角相等,两直线平行”的结论也就水到渠成了.这样由浅入深,充分地让学生经历了解决问题的过程,较好地突出了重点.
思路二
[过渡语] 观察引例,完成以下内容.
【活动内容1】
解决课前导入一问题,如果木条b不与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所成的角是多少度时,才能使木条a与木条b平行?
【活动内容2】
利用纸条和图钉自己制作学具,如图所示,三张纸条相交成∠1,∠2,固定纸条b,c,转动纸条a,在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它与∠1的关系,你发现纸条a与纸条b的位置关系发生了什么变化?纸条a何时与纸条b平行?改变图中∠1的大小再试一试,与同学交流你的发现.
引导学生发现:当图中的∠2满足与∠1相等时,纸条a与纸条b平行.
【活动内容3】
通过操作和观察我们发现∠2=∠1时,纸条a与纸条b平行.我们把∠2与∠1这种位置关系的角称为同位角.请同学们思考什么是同位角,它有哪些特点?(教师可自制一段微课进行教学)
【活动内容4】
练一练:下列各图中,∠1和∠2为同位角的是 ( )
【活动内容5】
根据我们上面的讨论和操作,你能发现,当同位角有什么大小关系时,纸条a与纸条b平行?
【活动内容6】
练一练:如图所示,∠1=∠C,∠2=∠C,请找出图中互相平行的直线,并说明理由.
[处理方式] 1.通过问题的提出,让学生在理解问题的基础上,实际操作课前准备好的学具,通过与小组内成员的合作、交流、探究得知:在转动纸条a的过程中,看到∠1与∠2的大小关系为三种情况:大于、等于、小于;纸条a与纸条b的位置关系有两种情况:相交与平行;当∠1=∠2时,纸条a与纸条b平行.从而初步发现“同位角相等,两直线平行”这样一个数学事实.
2.引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题,画出“三线八角”的基本图形,并引导学生直观地认识同位角的概念:如图所示,直线AB,CD与直线l相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线l所截),构成八个角.∠1与∠2这两个角分别在直线CD,AB的上方,并且都在直线l的右侧,具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.辨别同位角时要注意位置上的两个“同”字,在第三条直线的同旁,被截两直线的同方向.从图中可知:∠1与∠2是同位角.所以可以这样说:同位角相等,两直线平行.
3.通过探索得到直线平行的条件:同位角相等.即平行线的判定:
同位角相等,两直线平行.
用几何语言表示:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b(同位角相等,两直线平行).
4.对于活动6,教师要给出规范解答.
解:AB∥CD,AC∥BD,
理由如下:
因为∠1=∠C(已知),
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
因为∠2=∠C(已知),
所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行).
[设计意图] 本环节共经历了三个过程.首先利用课本的实例,学生根据自己的生活经验得到:木条a也与墙壁边缘垂直时,才能使木条a与木条b平行.在此基础上提出新问题:如果木条b不与墙壁边缘垂直,那么木条a与墙壁边缘所成的角是多少度时,才能使木条a与木条b平行?进而将实际问题由特殊转化为一般,然后通过“转动纸条”的活动,让学生亲自动手操作,目的是让学生通过观察、想象,直观认识到“同位角相等,两直线平行”的结论.最后,再次引导学生将转动纸条的实际问题抽象为数学问题,画出“三线八角”的基本图形,并直观地认识同位角的概念,使概念的学习成为解决问题的需要,而没有孤立地处理这部分内容,这样处理能使知识自然纳入学生的学习需求,符合可接受性原则.进而探索得出“同位角相等,两直线平行”的结论也就水到渠成了.这样由浅入深,充分地让学生经历了解决问题的过程,较好地突出了重点,突破了难点.
探究活动2 同位角相等两直线平行的应用
1.链接.
【活动内容】
如何借助三角尺画平行线?按如下方法画出两条平行线,请说明其中的道理.
[处理方式] 教师引导学生回顾小学所学“推三角尺画平行线”的方法,然后教师课件展示右图,学生进行小组交流,总结具体做法:先画一条直线,用一个三角尺的一边与这条直线重合,然后把另一个三角尺紧靠第一个三角尺,推动第一个三角尺,这样再画一条直线.这叫“一落、二靠、三推、四画”,共四步.要求学生进一步说明为什么这样推三角尺就能画出平行线,和同伴交流一下.
[设计意图] 本环节先复习小学所学“推三角尺画平行线”的方法,然后让学生用新知识解释道理,体现了知识的连贯性.说理时教师鼓励学生用自己的语言说明,并逐步渗透用数学语言进行说理的能力.学生能够利用“同位角相等,两直线平行”的结论来解释“平移三角尺画平行线”方法的合理性,培养了学生利用知识解决问题的能力.
2.提升.
【活动内容1】
你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗?能画几条?动手画一画.
[处理方式] 学生先画图,然后让学生叙述做法:用三角尺的一直角边和已知直线AB重合,接着用另一个三角尺紧靠第一个三角尺,然后沿第二个三角尺平推第一个三角尺一直到点P,最后,过点P沿三角尺的边缘画出直线.所画的直线就与AB平行.进而教师引导学生得出:这样的直线只能作出一条.最后总结:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
【活动内容2】
如图所示,分别过点C,D画直线AB的平行线EF,GH,直线EF与直线GH有怎样的位置关系?动手画一画.
[处理方式] 学生动手用推三角尺的方法画图,然后观察思考总结.根据图形回答它们之间的关系,即EF∥AB,GH∥AB,则EF∥GH,得出平行于同一直线的两条直线互相平行.
教师课件出示下面内容:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
用几何语言表示:如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
[设计意图] 如何过直线外一点画已知直线的平行线,是本节课学生要重点掌握的内容.让学生自己动手画图,是为了使学生在实践中发现结论.通过画已知直线的平行线,在积累感性认识的基础上,逐步上升为理性认识,符合学生的认识规律,对于结论的总结和概括,可以训练学生的语言表达能力、合作交流能力.2-1-c-n-j-y
探究活动3 平行条件在实际问题中的应用
1.旗杆问题.
如图所示,你现在能解释两旗杆为什么是平行的吗?
2.木条问题.
如图(1)所示,让木条b与黑板边缘垂直,再粘一根木条a,使木条a与黑板边缘垂直,则木条a与木条b平行,如图(2)所示,如果木条b不与黑板边缘垂直,怎样使木条a与木条b平行呢?
[处理方式] 在第一个问题中,学生利用“两条直线平行”的条件,把路或地面看成直线c,两根旗杆可以看成垂直于地面的两条线段a与b.由垂直的定义可知∠1=∠2=90°,又因为∠1与∠2是同位角,所以a∥b.在第二个问题中,粘木条时保证∠1=∠2,就能保证b∥a.因为同位角相等,两直线平行.
[设计意图] 本环节,教师引导学生解释黑板粘木条的道理,解决一开始留下来的问题.使本节课从结构上前呼后应,达到有始有终,真正体现数学来源于生活又服务于生活的宗旨.用所学知识解释和解决生活中的问题,进一步激发学生的探究兴趣.本环节对于整节课教学目标的实现也起着非常重要的作用.第一,使学生对知识的理解与应用螺旋上升,达到较高要求;第二,帮助学生形成从实际问题中抽象出数学问题,得出结论,再用来解决实际问题的学习经验.
[知识拓展] 平行线的基本性质有两个:(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行于同一条直线的两条直线互相平行.性质(1)体现了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”.性质(2)体现了平行具有传递性.
1.同位角的定义.
2.判定两直线平行的条件:同位角相等,两直线平行.
3.平行性质:(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(2)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
1.如图所示,若∠1=42°,则∠2= 时,l1∥l2.?
解析:如图所示,∠3=180°- ∠1=138°,若l1∥l2,则∠2=∠3=138°.故填138°.
2.如图所示,回答问题.
(1)若∠B=∠FDC,则 ∥ ,理由是 ;?
(2)若∠C=∠EDB,则 ∥ ,理由是 .?
解析:准确识别同位角,运用两直线平行的判定条件解题.
答案:(1)AB DF 同位角相等,两直线平行 (2)AC DE 同位角相等,两直线平行
第1课时
探究活动1 探索两直线平行的条件
探究活动2 同位角相等两直线平行的应用
探究活动3 平行条件在实际问题中的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第46页习题2.3知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第46页习题2.3数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在所标注的角中,同位角是 ( )
A.∠1和∠2 B.∠1和∠3
C.∠3和∠4 D.∠2和∠3
2.在同一平面内,与已知直线l平行的直线有 条,过直线l外一点M与已知直线l平行的直线有 条.?
3.如图所示:
(1)如果已知∠1=∠E,那么可判定AC∥ ,理由是 ;?
(2)如果已知∠B=∠3,那么可判定 ∥ ,理由是 .?
4.四条直线a,b,c,d互不重合,如果a∥b,b∥c,c∥d,那直线a,d的位置关系为 .?
【能力提升】
5.如图所示,∠1=∠2=55°,∠3等于多少度?直线AB,CD平行吗?说明你的理由.
【拓展探究】
6.如图所示,已知直线AB,CD被直线EF所截,如果∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,那么MQ∥NP,试说明理由.21cnjy.com
【答案与解析】
1.B(解析:由同位角的定义可知∠1和∠3是同位角.故选B.)
2.无数 一
3.(1)DE 同位角相等,两直线平行 (2)AB CD 同位角相等,两直线平行
4.a∥d(解析:由平行于同一直线的两条直线互相平行可得结论.)
5.解:因为∠2和∠3是对顶角,所以∠2=∠3,因为∠1=∠2=55°,所以∠1=∠3,所以∠3=55°,AB∥CD.
6.解:因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,所以∠BMN+∠1=∠DNF+∠2,即∠QMN=∠PNF,所以MQ∥NP.
本节课提供给学生充分进行数学活动和合作探究的机会,让学生在独立操作、思考的基础上进行合作研究,通过展示与交流,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力,让学生在主动、积极的氛围中,经历知识的产生、发展和形成的过程,培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力.
教师课堂的应变能力还需提高;同位角的识别需设计适当的练习.
教学过程中应给学生足够的时间,对学生的小组活动做出正确有利的评价.
随堂练习(教材第46页)
1.解:AB∥CD,EF∥GH.
2.解:AB∥CD.理由如下:如图所示,因为∠1=∠2=55°,∠1=∠3(对顶角相等),所以∠2=∠3,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
3.解:c与b相交.因为a∥b,c与a相交,所以c与b相交.
习题2.3(教材第46页)
知识技能
1.解:a∥b,m∥n.
2.解:答案不唯一,可水平作一组平行线,也可以垂直作一组平行线,也可以斜着画一组平行线.
数学理解
3.解:先任作一折痕,再将折痕两端对折,得到新的折痕,将新折痕两端再对折,第三条折痕与第一条折痕互相平行.(答案不唯一)
4.解:将工具的中间靠紧木棒,沿横着的两根木条即可画出平行线,调整时量出同位角,同位角相等,两直线平行.(答案不唯一)
5.解:A,B,C三点共线.
如图所示的是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是 .?
〔解析〕 由已知可得∠DCF=∠BAF,所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).故填同位角相等,两直线平行.
第课时
1.会识别由“三线八角”构成的内错角和同旁内角.
2.能利用内错角相等和同旁内角互补判定两直线平行.
1.经历探索直线平行条件的过程,掌握利用内错角相等、同旁内角互补判别直线平行的结论,并能解决一些问题.
2.经历观察、操作、想象、验证、交流等活动,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,进一步发展空间想象能力、推理能力和有条理表达的能力.
使学生在积极参与探索、交流的数学活动中,体验数学与实际生活的密切联系,激发学生的求知欲,感受与他人合作的重要性.
【重点】 会识别内错角、同旁内角;能用内错角相等、同旁内角互补判别两直线平行.
【难点】 在稍为复杂的图形中识别内错角和同旁内角.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 同组准备三块相同的含有30°角的三角尺.
导入一:
【活动内容1】
问题1
(课件出示)如图所示,直线a和直线b被直线c所截,出现八个角,你能指出图中所有的同位角吗?
问题2
两条直线被第三条直线所截,当所成的同位角满足怎样的关系时,两直线平行?
演示:旋转直线a,直至直线a与直线b平行,如右图,学生观察角的变化后得出结论
[处理方式] 点名学生回答∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8是同位角.问题2由学生总结后,教师进行补充说明.
当∠1=∠5时,a∥b;当∠2=∠6时,a∥b;
当∠3=∠7时,a∥b;当∠4=∠8时,a∥b.
即:当两条直线被第三条直线所截,如果所得到的一组同位角相等,那么这两条直线平行.
【活动内容2】
问题情境:(出示投影片)小明有一块小画板,他想知道它的上、下边缘是否平行,于是他在两个边缘之间画了一条线段AB,如图所示,小明身边只有一个量角器,他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行,你知道他是怎样做的吗?
【问题】 图中标注的∠1,∠2,∠3,∠4中有同位角吗?这些角具备怎样的关系时,才能知道上、下边缘是平行的?
[处理方式] 引导学生测量出∠1,∠2,∠3,∠4的大小,观察相互间的数量关系,探索除同位角外,还可以利用哪些角之间的关系判断直线是否平行.
[设计意图] 本环节先设计回顾同位角的相关知识,为后续揭示内错角、同旁内角做好准备;活动内容2通过这个情境引发学生认知冲突:不能用同位角的数量关系直接判断直线是否平行时,怎么办?从而很自然地引入课题,而且也渗透了解决问题的多种方法.提高学生的思维能力和思维品质,形成良好的学习习惯.
导入二:
师:上节课学习了“探索直线平行的条件”第1课时,哪位同学回答一下,如何说明两条直线平行呢?
生:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
师:学习之后,小明就想验证一下自己做的一块小木板的对边是否平行(如图所示).当他在两个边缘之间画了一条线段AB之后却发现,没有同位角了,这可把他难住了,同学们想不想帮助小明解决这个问题?
生:想.
师:学习完这节课的内容之后我们就能解决了,今天我们继续来学习“探索直线平行的条件”的第2课时.
[设计意图] 通过问题情境让学生知道上节课所学的“探索直线平行的条件”不能够解决生活中的所有有关两直线平行的题目,引出学生的好奇心,为本节课的学习做好铺垫.
探究活动1 探究内错角相等两直线平行
思路一
【活动内容1】
图中的∠4和∠5有什么特征?你能从图中再找到这种位置关系的角吗?
[处理方式] 引导学生独立分析得出:图中的∠3和∠6,∠4和∠5,分别在两条直线的内部,还在第三条直线的异侧.
总结:我们把具有这样位置的两个角称为内错角,具体来说,两条直线被第三条直线所截,例如∠4和∠5,它们在直线a与直线b的内部,而且分别位于直线c的异侧,把具有∠4和∠5这样位置关系的角称为内错角.同样∠3和∠6也是内错角.
分析:(结合图形说明)内错角的“内”“错”的含义.“内”是在两条直线的内部,“错”是在第三条截线的异侧.形成内错角的图形特征很像字母“Z”(或反置).
【活动内容2】
内错角满足怎样的关系时,两直线平行呢?
[处理方式] (课件演示)旋转上图中直线a,观察∠3和∠6,∠4和∠5的变化,直至∠4=∠5或∠3=∠6时,得出下图,此时直线a与直线b平行.得出结论:内错角相等,两直线平行.
【问题】 你能用所学的知识解释说明为什么内错角相等,两直线平行是正确的吗?(因为∠4与∠1是对顶角,所以∠4=∠1,当∠4=∠5时,实际上∠1=∠5,由同位角相等两直线平行可以得出结论)
总结:内错角相等,两直线平行.
【课件展示】 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行.
简称为:内错角相等,两直线平行.
用几何语言表述为:如图所示,因为∠1=∠2,所以a∥b.
【即时练习】
填空:如图所示,∠1和∠4是直线 与直线 被直线 所截的 角,如果∠1=∠4,那么 ∥ ;理由是 .?
∠2和∠3是直线 与直线 被直线 所截的 角,如果∠2=∠3,那么 ∥ ,理由是 .?
思路二
[过渡语] 图中∠6与∠2,∠1与∠5等这些角叫做同位角,那么∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角又叫什么呢?
【活动内容1】
内错角定义.
[处理方式] (1)教师提出问题,学生先自学,然后小组内交流.教师巡视并适时点拨指导,然后由学生展示自己的发现.
(2)师生共同总结:图中∠3与∠6,∠4与∠5这样位置关系的角,在两条被截直线的内部,在截线的两侧,位置是交错的,这样的角叫做内错角.教师解释内错角的“内”“错”的含义:“内”是在两条直线的内部,“错”是在第三条截线的异侧.形成内错角的图形特征很像字母“Z”(或反置).
【活动内容2】
内错角相等,两直线平行.
如图所示,直线a,b被直线c所截,∠2=∠3.直线a与直线b平行吗?试说明理由.
学生说明:因为∠3=∠2(已知),∠1=∠3(对顶角相等),
所以∠1=∠2(等量代换).
所以直线a∥b(同位角相等,两直线平行).
得到结论:两条直线被第三条直线所截,内错角相等,两直线平行.
探究活动2 探究同旁内角互补两直线平行
【问题】 如图所示,图中有同位角,也有内错角,那么图中的∠3和∠5是内错角吗?它们在位置上又有怎样的关系?
[处理方式] 找学生代表用自己的语言描述:它们不是内错角,虽然∠3和∠5在直线a与直线b的内部,但不在第三条直线c的异侧,而在第三条直线c的同侧,所以不是内错角.引导学生给这组角命名(根据自己的理解,随意命名).最终得出同旁内角的名字.
分析:(结合图形说明)构成同旁内角的图形特征很像字母“U”(侧放或倒置).
【问题】 ∠4和∠6是同旁内角吗?为什么?
(是,它们夹在直线a与直线b的内部,在截线c的同侧)
【问题】 同旁内角满足怎样的关系时,两直线平行?为什么?
[处理方式] 学生小组讨论,发现从图上看是一个锐角,一个钝角,猜想可能是互补的,最后通过理论验证得出结论:互补.因为∠3与∠1是互补的,如果∠3和∠5也互补,那么根据同角的补角相等,有∠1=∠5,所以可以得出两直线平行.
总结:同旁内角互补,两直线平行.
【课件展示】 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行.
简称为:同旁内角互补,两直线平行.
用几何语言表述为:如图所示,∠1+∠2=180°,所以a∥b.
[设计意图] 通过对内错角、同旁内角的观察,直观感受内错角和同旁内角在位置上的关系,便于学生识别,让学生探索内错角、同旁内角满足怎样的关系时,可以判定两直线平行,通过简单的推理和转化达到掌握知识的目的,不仅训练学生的思维能力,而且也提升了学生的语言表达能力及合作交流能力.
探究活动3 判定两直线平行条件的应用
1.观察右图并填空:
(1)∠1与 是同位角;?
(2)∠5与 是同旁内角;?
(3)∠2与 是内错角;?
(4)∠3与∠1是 角;?
(5)∠4与∠5是 角;?
(6)∠2与∠5是 角.?
2.当图中的各角分别满足下列条件时,你能指出哪两条直线平行吗?说明理由.
(1)∠1=∠4;
(2)∠2=∠4;
(3)∠1+∠3=180°.
3.如图所示.
(1)若∠A=∠3,则 ∥ ;?
(2)若∠2=∠E,则 ∥ ;?
(3)若∠ +∠ =180°,则 ∥ ;?
(4)若 ,则BD∥CE.理由是 .?
4.摆一摆,说一说:
如图所示,三个相同的三角尺拼接成一个图形,请找出一组平行线,并说明理由.
(同组的同学用三角尺摆图,根据所摆的图形进行说明,注意语言叙述方式,用不同的方法来判断两直线平行)
[设计意图] 循序渐进逐步设计,体现练习的层次性;由结论的唯一性,到结论的开放性,训练了学生的思维能力,特别对于开放的题目,让学生充分发表意见,对各种结论进行说理探索,既训练了学生思维的深刻度,又提高了学生的语言表达能力,使不同类的学生都得到充分的发展.对于较为复杂的图形,可以引导学生将复杂的图形简单化,具体明确哪两条直线被第三条直线所截,同位角、内错角、同旁内角具备怎样的关系,再判断两条直线是否平行.特别是第4题,是很好的开放式思维训练的题目,通过学生摆一摆,说一说,互相交流,互相补充达到训练的目的.
[知识拓展] 到目前为止有五种方法判断两条直线平行:(1)定义法(不常用);(2)平行于同一直线的两条直线平行;(3)同位角相等,两直线平行;(4)内错角相等,两直线平行;(5)同旁内角互补,两直线平行.
1.内错角.
2.同旁内角.
3.用内错角和同旁内角判定两直线平行的方法:
内错角相等,两直线平行;
同旁内角互补,两直线平行.
1.如图所示,如果∠1=∠2,那么 ∥ ( ).?
如果∠2=∠3,那么 ∥ ( ).?
答案:c d 内错角相等,两直线平行 a b 同位角相等,两直线平行
2.如图所示,直线a,b都与直线c相交,则能判定a∥b的条件是 .?
解析:根据同位角相等,两直线平行,可填∠1=∠5或∠2=∠6或∠3=∠7或∠4=∠8;根据内错角相等,两直线平行,可填∠3=∠5或∠4=∠6;根据同旁内角互补,两直线平行,可填∠3+∠6=180°或∠4+∠5=180°.故可填∠1=∠5.
3.如图所示.
如果∠B=∠DCE,那么 ∥ ,理由是 ;?
如果∠D=∠DCE,那么 ∥ ,理由是 ;?
如果∠A+∠D=180°,那么 ∥ ,理由是 .?
答案:AB CD 同位角相等,两直线平行 AD BE 内错角相等,两直线平行 AB CD 同旁内角互补,两直线平行
第2课时
探究活动1 探究内错角相等两直线平行
探究活动2 探究同旁内角互补两直线平行
探究活动3 判定两直线平行条件的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第49页习题2.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第49页习题2.4数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·福州中考)下列图形中,由∠1=∠2能得到AB∥CD的是 ( )
2.如图所示,下列条件中不能判断直线a平行于直线b的是 ( )
A.∠3=∠5 B.∠2=∠6
C.∠1=∠2 D.∠4+∠6=180°
3.如图所示,直线DE,BC被直线AB所截,∠1与∠2是 角,∠1与∠3是 角,∠1与∠4是 角.?
【能力提升】
4.如图所示,∠3和∠4是直线 和 被直线 所截的 角;∠1和∠3是直线 和 被直线 所截的 角.若∠1=∠2,则 ∥ ( ).若∠1=45°,∠3=135°(已知),则AB∥DE( ).?
5.如图所示.
(1)因为∠1=∠C(已知),所以ED∥ ( ).?
(2)因为∠2=∠BED(已知),所以DF∥ ( ).?
(3)因为∠3=∠B(已知),所以 ∥ ( ).?
(4)因为∠2+∠AFD=180°(已知),所以 ∥ ( ).?
【拓展探究】
6.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,那么直线AB,CD的位置关系如何?为什么?
【答案与解析】
1.B(解析:选项A中的∠1和∠2是同旁内角;选项B中的∠1和∠2是内错角;选项C中的∠1和∠2是内错角,但不能判定AB与CD平行;选项D中的∠1和∠2是同旁内角.)
2.C(解析:∠1和∠2不是直线a,b被直线所截形成的同位角.)
3.内错 同旁内 同位
4.AC BC DE 内错 AB DE BC 同旁内 AB DE 同位角相等,两直线平行 同旁内角互补,两直线平行
5.(1)AC 同位角相等,两直线平行 (2)AB 内错角相等,两直线平行 (3)DF AB 同位角相等,两直线平行 (4)DE AC 同旁内角互补,两直线平行
6.解:直线AB,CD互相平行.理由如下:因为BE平分∠ABD(已知),所以∠ABD=2∠1.因为DE平分∠BDC(已知),所以∠BDC=2∠2.所以∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2).因为∠1+∠2=90°,所以∠ABD+∠BDC=180°.所以AB∥CD.
提供给学生充分进行数学活动和探索的机会,让学生在独立思考的基础上进行合作探究、对话与互动,通过展示与交流,培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力.让学生在主动、积极的氛围中,经历知识的产生、发展和形成的过程,培养学生的操作、观察、探究、合作、归纳的能力.
课堂的应变能力还需提高,留给学生思考的时间较少,对学生语言的引导和训练不够到位,今后教学中,要充分考虑到这一点.让学生在课堂上有更多的自主学习时间,让学生在实践活动中锻炼成长.
在分析的环节,注意兼顾到学生的差异,使不同层次的学生都能够得到充分的发展,那么课堂的效果会更好.
随堂练习(教材第48页)
1.(1)∠4 (2)∠3 (3)∠1
2.解:(1)a∥b.因为∠1=∠4,同位角相等,两直线平行. (2)m∥l.因为∠2=∠4,内错角相等,两直线平行. (3)n∥l.因为∠1+∠3=180°,同旁内角互补,两直线平行.
习题2.4(教材第49页)
知识技能
1.解:平行.理由:内错角相等,两直线平行.
2.解:AB∥CD.理由:因为∠DAB+∠CDA=180°,所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).AD∥BC.理由:因为 ∠1=∠ABC,所以AD∥BC(同位角相等,两直线平行).
数学理解
3.提示:都平行.三组看上去似乎不平行,其实是平行的,这是由于背景造成的视觉误差.
4.提示:同位角相等,两直线平行;或内错角相等,两直线平行;或同旁内角互补,两直线平行.
如图所示,回答问题.
(1)如果∠2=∠3,那么 ∥ ,理由是 ;?
(2)如果∠3=∠4,那么 ∥ ,理由是 ;?
(3)如果∠1与∠4满足条件 ,那么m∥n,理由是 ;?
(4)如果∠1+∠2=180°,那么 ∥ ,理由是 .?
〔答案〕 (1)m n 同位角相等,两直线平行 (2)a b 内错角相等,两直线平行 (3)∠1+∠4=180° 同旁内角互补,两直线平行 (4)a b 同旁内角互补,两直线平行
[解题策略] 解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
3 平行线的性质
1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索平行线的性质,掌握平行线的性质,并能解决一些问题.
通过测量、剪纸来探索平行线的性质,并能用平行线的一些性质解决一些问题.
通过对平行线的性质与判定两条直线平行的条件与结论的对比,渗透事物间的相互联系、相互区别的辩证唯物主义价值观.【出处：21教育名师】
【重点】 平行线的性质.
【难点】 如何选用平行线的性质解题.
第课时
1.经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力.
2.通过探索平行线的性质,掌握平行线的性质.
通过测量、剪纸等活动探索平行线的性质,并用规范的语言概括出来.
通过对平行线的性质与判定两条直线平行的条件与结论的对比,渗透事物间的相互联系、相互区别的辩证唯物主义价值观.
【重点】 平行线的性质.
【难点】 平行线性质的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P50~51.
导入一:
[过渡语] 前面我们已学过同位角、内错角、同旁内角的概念及两直线平行的条件,你知道了哪些判断两条直线平行的方法?
知识回顾.
【问题】 观察图形,回答下面问题:
(1)因为∠1=∠5(已知),
所以a∥b( ).?
(2)因为∠4=∠ (已知),?
所以a∥b(内错角相等,两直线平行).
(3)因为∠4+∠ =180°(已知),?
所以a∥b( ).?
[处理方式] 学生观察、思考,自行完成解答.教师引入新课.
[设计意图] 平行线的性质与判定直线平行的条件是互逆的,对初学者来说易将它们混淆,因此,复习判定直线平行的条件为后面学习性质做好准备.
导入二:
[过渡语] 同学们,生活中有哪些平行的直线?它们都有什么作用?
情境引入(多媒体出示).
(1)小亮不小心把家里的梯形玻璃块打碎了,还剩下梯形上底的一部分(如图所示).已经量得∠A=102°,∠C=106°,想一想,梯形另外两个角各是多少度?
提问:梯形中的四条边中哪两个边所在的直线是平行的?两直线平行,对于解决此问题有何帮助?这就需要我们先探究出两直线平行的性质.(板书:平行线的性质)
(2)如图所示,要设计一个弯形管道ABCD,使管道AB∥CD,∠ABC=120°,那么如何设计∠BCD的度数呢?
也就是说,如果给你两条平行直线,你能够得到什么?这就是我们本课时要学的平行线的性质.
[设计意图] 用学生感兴趣的实际问题(设疑)创设情境,导入新课,既激发了学生学习新知识的积极性和主动性,又让学生感知到数学知识来源于实际生活,又服务于生活.
[过渡语] 同学们,还记得如何判定两条直线平行吗?你能利用研究两条直线平行的方法,分析一下,两条直线平行有何特征吗?
探究活动1 探索平行线的性质
[过渡语] 下面我们来看一组平行线,思考问题.
思路一
问题1
请每位同学任意画直线a∥b,再任意画一条直线c与a,b相交(如图所示),用量角器量得图中八个角的度数,并填表:
角
∠1
∠2
∠3
∠4
度数
角
∠5
∠6
∠7
∠8
度数
[处理方式] 学生动手操作:画图、测量、填表.
问题2
请同学们根据测量结果回答下列问题:
(1)同位角∠1和∠5,它们有什么关系?
(2)图中还有其他同位角吗?它们的大小有什么关系?请展示你的发现.
(3)换另一组平行线试试,你能得到相同的结论吗?
(4)由此,你能得出什么结论?
[处理方式] 学生根据测量结果思考,回答问题,并用自己的语言归纳平行线的性质.教师引导用几何语言表达并板书.21教育名师原创作品
[归纳总结] 性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠1=∠5.
问题3
你是否还有其他方法能得到∠1和∠5相等?
[处理方式] 学生思考,动手操作,教师巡视并适当加以引导,归纳探索平行线的性质的多种方法.
问题4
(1)图中有几对内错角?它们的大小有什么关系?为什么?
(2)图中有几对同旁内角?它们的大小有什么关系?为什么?
[处理方式] 学生思考、猜想、测量,得到答案,教师巡视,适当加以引导,与学生共同归纳探索平行线的性质,并引导学生用几何语言表述性质.
[归纳总结] 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称为:两直线平行,内错角相等.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠4=∠5.
性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.
用几何语言表示:因为a∥b,所以∠3+∠5=180°.
[设计意图] 通过测量、猜想、验证,让学生首先在动手探索的过程中感知平行线的性质,然后再在性质1的基础上验证性质2,3的正确性,从而使学生对知识的认识从感性上升到理性.通过探索、交流等实践活动,使学生增强对图形的直观体验和性质的理解,培养了学生的动手画图能力、操作能力和推理能力.
思路二
实践出真知.
【活动内容】
先画出直线a∥b,并且被第三条直线c所截,任选一对同位角,用适当的方法,看看这一对同位角有什么关系,通过各个小组的相互交流,归纳出平行线的性质.
【汇报交流】 展示各个小组的实验过程及结果.
小组1:我们用度量的方法,通过度量可知,如果直线a∥b,那么∠1=∠2.
小组2:我们用裁剪拼接法,通过裁剪对比,可知如果直线a∥b,那么∠1=∠2.
师生提炼:我们可以总结出平行线的一个性质:
两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简称为:两直线平行,同位角相等.
生:我发现两直线平行,同位角相等与上节课所学的同位角相等,两直线平行是互逆的关系.
师:对,上节课所学的是直线平行的条件,今天我们探究的是平行线的性质.类似于同位角的情况,是否也有下面的两种情况:(1)两直线平行,内错角相等?(2)两直线平行,同旁内角互补?
小组3:我们也是通过测量、裁剪、对比、拼接的方法,同样得出上面的两种情况是正确的.
生:我认为可以通过“两直线平行,同位角相等”这个性质进行推理得到这两个结论.
如图所示,因为a∥b,所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等),
又因为∠1=∠2(对顶角相等),
所以∠2=∠4(等量代换),
即两直线平行,内错角相等.
因为a∥b,所以∠1=∠4(两直线平行,同位角相等),
因为∠1+∠3=180°(平角的定义),
所以∠4+∠3=180°(等量代换),
即两直线平行,同旁内角互补.
师:同学们太棒了!通过积极的探索我们得到了平行线的性质(多媒体出示):
1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
2.两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称为:两直线平行,内错角相等.
3.两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.
师:哪位同学可以用数学语言描述?
生:利用数学语言叙述平行线的这三条性质:
1.如图,如果直线a∥b,那么∠1=∠5;∠2=∠6;∠3=∠7;∠4=∠8.
2.如图,如果直线a∥b,那么∠4=∠5;∠3=∠6.
3.如图,如果直线a∥b,那么∠3+∠5=180°;∠4+∠6=180°.
[设计意图] 先让学生动手实践,发挥学生的主体性,再通过小组间的交流合作,由学生自己感悟出平行线的性质,充分说明学生是学习的主人.
探究活动2 平行线的判定与平行线的性质的异同
[过渡语] 平行线的判定与平行线的性质不同,平行线的判定是用来说明两条直线为什么是平行的,而平行线的性质是说明同位角、内错角、同旁内角之间的大小关系的.切记只有在两直线平行的条件下才有同位角、内错角相等,同旁内角互补,并不是所有的同位角、内错角都相等,同旁内角都互补.注意平行线的性质不要和平行线的判定混淆,通过下列表格,注意二者有何区别和联系.
教师课件出示:
平行线的特征
直线平行的条件
两直线平行,同位角相等
同位角相等,两直线平行
两直线平行,内错角相等
内错角相等,两直线平行
两直线平行,同旁内角互补
同旁内角互补,两直线平行
两直线平行
探究活动3 平行线的性质与判定的应用
【活动内容】
如图所示,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)∠1与∠3的大小有什么关系?∠2与∠4呢?
(2)反射光线BC与EF也平行吗?
[处理方式] 学生观察、思考,并用自己的语言叙述推理过程.教师巡视,帮助有困难的学生,再利用多媒体展示推理过程.
解:(1)因为AB∥DE,
所以∠1=∠3(两直线平行,同位角相等),
因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠1=∠3,
所以∠2=∠4(等量代换).
(2)因为∠2=∠4,
所以BC∥EF(同位角相等,两直线平行).
[设计意图] 本题提供了运用平行线的性质解释光的反射现象,激发了学生的学习兴趣,同时培养了学生的推理能力和表达能力,能运用平行线的性质和平行线的判定解决实际问题,为后面学习证明打下基础.要启发学生用推理的方法,进一步发展空间观念.
[知识拓展] 两条直线被第三条直线所截,必然存在同位角、内错角、同旁内角,但同位角、内错角不一定相等,同旁内角不一定互补,只有当两条直线平行时才成立.因此一定要注意条件“两直线平行”,否则“同位角、内错角相等,同旁内角互补”的结论不成立.
1.平行线的性质
(1)两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.
简称为:两直线平行,同位角相等.
(2)两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.
简称为:两直线平行,内错角相等.
(3)两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.
简称为:两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的性质应用
1.如图所示,已知a∥b,∠1=50°,求∠2,∠3,∠4的度数.
解:因为a∥b,
所以∠2=∠1=50°,∠3=∠1=50°,∠1+∠4=180°,
所以∠4=130°.
2.如图所示,已知∠3=∠4,∠1=47°,求∠2的度数.
解:因为∠3=∠4,
所以a∥b(同位角相等,两直线平行),
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又因为∠1=47°,所以∠2=47°.
3.如图所示,一辆汽车经过一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行.第一次拐的角∠B等于142°,第二次拐的角∠C是多少度?
解:因为AB∥CD,所以∠B=∠C,
又因为∠B=142°,所以∠C=142°.
4.如图所示,已知AB∥CD,BC∥DE,求∠B+∠D的度数.
解:因为AB∥CD,所以∠B=∠C,
又因为BC∥DE,
所以∠C+∠D=180°,
所以∠B+∠D=180°.
第1课时
探究活动1 探索平行线的性质
探究活动2 平行线的判定与平行线的性质的异同
探究活动3 平行线的性质与判定的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第51页习题2.5知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第51页习题2.5问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·重庆中考)如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若∠1=135°,则∠2的度数为 ( )
A.65° B.55° C.45° D.35°
2.(2015·泸州中考)如图所示,AB∥CD,BC平分∠ABD,若∠C=40°,则∠D的度数为 ( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
3.如图所示,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC,∠1=55°,则∠2的度数为 ( )
A.35° B.45° C.55° D.125°
4.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么两次拐弯的角度是 ( )
A.第一次右拐40°,第二次左拐140°
B.第一次左拐40°,第二次右拐40°
C.第一次左拐40°,第二次左拐140°
D.第一次右拐40°,第二次右拐40°
【能力提升】
5.如图所示,B,C,D在一条直线上,∠A=75°,∠1=53°,∠2=75°,求∠B的度数.
6.如图所示,已知∠1=∠2,则图中互相平行的线段有哪些?
【拓展探究】
7.如图所示,AB∥CD,CE平分∠BCD,∠DCE=18°,求∠B的度数?
【答案与解析】
1.C(解析:因为AB∥CD,∠1=135°,所以∠2=180°- 135°=45°.故选C.)
2.B(解析:因为AB∥CD,∠C=40°,所以∠ABC=40°,因为BC平分∠ABD,所以∠ABD=80°,所以∠D=100°.故选B.)
3.A(解析:如图所示,根据两直线平行,同位角相等,得∠3=∠1=55°.又AB⊥BC,所以∠2=180°- 90°- 55°=35°.故选A.)
4.B(解析:由画图可知,按选项A,C,D拐弯后的直线和原直线不平行.故选B.)
5.解:因为∠A=75°,∠2=75°,所以AB∥CE,所以∠B=∠1=53°.
6.解:因为∠1=∠2,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
7.解:因为CE平分∠BCD,∠DCE=18°,所以∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°,因为AB∥CD,所以∠B=∠BCD=36°.
本课时着重突出了平行线性质的探究过程.通过学生自主测量、猜想、验证,让学生在充分活动的基础上,自己发现结论,并用自己的语言来归纳,这样可以增强学生的学习兴趣和自信心.
在教学中,有意识、有计划地设计了教学活动,充分挖掘知识内涵,引导学生体会平行线的性质与两直线平行的条件之间的联系与区别,使学生体会数学知识间的密切联系.
由于课堂练习时间受限,指导和点拨的不够充足,导致学生的推理过程不够规范,讨论与合作的机会不够充分.
(1)对两直线不平行时同位角、内错角、同旁内角之间关系的探究有助于学生加深对平行线性质的理解,有助于区分平行线的性质与两直线平行的条件,再教时这方面有必要加强.
(2)在学生的自主探索、合作交流的过程中,应该留给学生充足的时间,不要由老师的包办代替了学生的思考.
(3)本课时设计的内容较为丰富,在实际使用时,可根据教学班的实际情况进行选取.
随堂练习(教材第51页)
解:如图所示,与∠1相等的角有∠2,∠3,∠4,∠5,∠6,∠7,∠8.与∠1互补的角有∠9,∠10,∠11,∠12,∠13,∠14,∠15,∠16.
习题2.5(教材第51页)
知
