(共11张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第三
章
变量之间的关系
学习新知
检测反馈
3
用图象表示的变量间关系（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
【活动内容1】
问题1
我们已经学习了哪几种表示变量之间关系的方法
质量x(千克)
0.5
1
2
3
…
总价y(元)
15
25
…
问题2
某种西瓜子每千克10元,小明购买西瓜子的总价y(元)与购买的质量x(千克)之间有什么关系
(1)用表格的形式表示总价y与质量x的关系:
(2)试写出y与x的关系式: .
(3)在下面的图象中选出一个能够正确表示总价y与质量x的关系的图象是
( )
【活动内容2】
恰值清明假期,小强一家前去踏春,兴之所至,小强用学过的变量的知识绘了一幅图(如下)来表示他们当天的行程.其中横轴表示当时的时刻t(时间),纵轴表示他们与家的距离s(千米).
【问题】 同学们,你能想象出他们一天的活动情境吗
从图象到实际问题
汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的,下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间 它的最高时速是多少
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶 时速分别是多少
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况 尝试给出一个合理的解释,并与同伴交流.
(4)哪一段时间速度变化得最快 哪一段时间速度变化得最慢
(5)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分,它的最高时速是90千米/时.
(2)在2分到6分,18分到22分之间汽车匀速行驶,速度分别是30千米/时和90千米/时.
(3)汽车处于静止状态,可能遇到了红绿灯.
(4)汽车在大约22分到24分速度变化最快,在大约10分到18分速度变化最慢.
(5)一辆汽车出发开始2分钟速度越来越快,然后匀速行驶了4分钟,快到十字路口时遇见红灯,停了下来.绿灯亮后汽车逐渐加速,大约8分钟后,汽车保持匀速行驶了4分钟,快到目的地时减速,慢慢停了下来.
根据情境选择对应的图象.
小华同学接到通知,她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文章,录入一段时间后因事暂停,过了一会儿,小华继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x,录入字数为y.
【问题】 下面哪个图能大致反映y与x的关系 说说你的理由.
图象表示变量关系应用
某种油箱容量为60升的汽车,加满汽油后,汽车行驶时油箱的油量Q(升)随汽车行驶时间t(时)变化的关系式为Q=60-
6t.
(1)请完成下表:
汽车行驶时间t/小时
0
1
2
4
6
油箱的油量Q/升
60
(2)汽车行驶5小时后,油箱中油量是 升;
(3)若汽车行驶中油箱油量为12升,则汽车行驶了 小时;
(4)下面能够反映此变化过程中Q与t的关系的图象是 .(填序号)
[知识拓展]
在应用“路程——时间”和“速度——时间”这两种类型图象时,一定要区分横轴和纵轴所表示的具体意义,不要混用.
“s-
t”型图象:这种类型的图象是s随t的变化而变化,如图(1)所示:
①表示物体匀速运动;②表示物体停止运动;③表示物体反向运动直至回到原地.
“v-
t”型图象:这种类型的图象是v随t的变化而变化,如图(2)所示:
①表示物体从静止开始加速运动;②表示物体匀速运动;③表示物体减速运动到停止.
检测反馈
1.夏天到了,某小区准备开放游泳池,物业管理处安排一
名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗.该工人先只打开一个进水管,
蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗,一段时间后,再同时打开两
个出水管将池内的水放完,随后将两个出水管关闭,并同时打开两个进
水管将水蓄满.已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度
相同.从工人最先打开一个进水管开始,所用的时间为x,游泳池内的蓄
水量为y,则下列各图中能够反映y与x的关系的大致图象是( )
解析:整个变化过程分为四个阶段,蓄水、清洗、放水、蓄水,清洗时蓄水量不变,并且第二次蓄水比第一次蓄水速度要快.故选C.
C
2.小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会儿报后,继续散步了一段时间,然后回家.如图所示,描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的关系.根据图象,下列信息错误的是
( )
A.小明看报用时8分钟
B.公共阅报栏距小明家200米
C.小明离家最远的距离为400米
D.小明从出发到回家共用时16分钟
解析:小明看报时间是从第4分钟到第8分钟,应该是4分钟.故选A.
A
3.下面图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一段时间后,又走到文具店去买笔,然后散步回家,其中x(分)表示时间,y(千米)表示张强离家距离.
(1)体育场离张强家多远 张强从家到体育场用了多少时间
(2)体育场离文具店多远
(3)张强在文具店逗留了多少时间
(4)张强从文具店回家的平均速度是多少
解:(1)2.5千米,15分钟.
(2)2.5-
1.5=1(千米).
(3)65-
45=20(分).
(4)1.5÷(100-
65)=
(千米/分).(共10张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第三
章
变量之间的关系
学习新知
检测反馈
3
用图象表示的变量间关系（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
5月6日
5月4日
5月5日
同学们都知道有一种禽流感病毒叫做H7N9,被病毒感染后第一特征就是发烧,下面是一位H7N9病人从5月4日6时起的体温记录图.
【问题】 观察图象,你能得到哪些信息 你能回答下面的问题吗
(1)护士每隔 小时给病人量一次体温;
(2)该病人在5月5日0时体温是 摄氏度;
(3)从这位病人的体温记录图上可以看出,这位病人的病情是好转还是恶化
由图象可以得出:(1)护士每隔6小时给病人量一次体温;(2)该病人在5月5日0时体温是39.2摄氏度;(3)病情应该是好转了.
气温的变化
请你根据下图,与同伴讨论某地某天温度变化的情况.
(1)上午9时的温度是多少 12时呢
(27
℃;31
℃)
(2)这一天的最高温度是多少 是在几时达到的 最低温度呢
(15时最高,是37
℃;3时最低,是23
℃)
(6)你能预测次日凌晨1时的温度吗 说说你的理由.
(3)这一天的温差是多少 从最低温度到最高温度经过了多长时间
(14
℃;12小时)
(4)在什么时间范围内温度在上升 在什么时间范围内温度在下降
(3时到15时温度在上升;0时到3时、15时到24时温度在下降)
(A点表示21时的温度为31
℃,B点表示0时的温度为26
℃)
(5)图中的A点表示的是什么
(根据图象的变化趋势和前一天凌晨时温度进行预测)
骆驼身上的数学
骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化.下面是骆驼的体温随时间变化的图象,我们根据它来分析变量之间的关系.
(图中25时表示次日凌晨1时)
(1)一天中,骆驼体温的变化范围是什么 它的体温从最低上升到最高需要多少时间
(2)从16时到24时,骆驼的体温下降了多少
(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升 在什么时间范围内骆驼的体温在下降
(4)你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗 其他时刻呢
(5)A点表示的是什么 还有几时的温度与A点所表示的温度相同
问题提示:
(1)35
℃~40
℃,它的体温从最低上升到最高需要12小时.
(2)从16时到24时,骆驼的体温下降了3
℃.
(3)每天4时到16时体温在上升,0时到4时、16时到24时体温在下降.
(4)第二天8时骆驼的体温与第一天8时的体温相同;第二天骆驼的体温与第一天相同时刻的体温相同.
(5)A点表示的是12时的温度;20时的温度还有次日12时和20时的温度与A点所表示的温度相同.
图象表示两个变量之间关系的应用
海水受日月的引力而产生潮汐现象,早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.下面是某港口从0时到12时的水深情况.
(1)大约什么时刻港口的水最深 深度约是多少
(2)大约什么时刻港口的水最浅 深度约是多少
(3)在什么时间范围内,港口水深在增加
(4)在什么时间范围内,港口水深在减少
(5)A,B两点分别表示什么 还有几时水的深度与A点所表示的深度相同
(6)说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.
(1)在凌晨3时港口水最深,深度约为7.5
m.
(2)上午9时港口水最浅,深度约为2.5
m.
(3)在凌晨0时到3时,上午9时到12时,港口的水深在增加.
(4)凌晨3时到上午9时,港口的水深在减少.
(5)A点表示上午6时港口的水深为5
m,B点表示中午12时港口的水深约为4.3
m,0时水的深度与A点所表示的深度相同.
(6)凌晨0时到3时水深在增加;凌晨3时到上午9时水深在降低;上午9时到12时水深又开始增加.
1.如图所示的是护士统计一位甲型H7N9流感疑似病人的体温变化图,这位病人在16时的体温约是
( )
A.37.8
℃
B.38
℃
C.38.7
℃
D.39.1
℃
检测反馈
解析:观察图象知15时~18时该病人的体温从38.5
℃逐渐上升到39.2
℃,而16时接近38.7
℃.故选C.
C
2.根据生物学研究结果,青春期男女生身高增长速度呈现如下图所示的规律,根据图象回答下列问题:
(1)男生在 岁时身高增长速度最快;
(2) 岁以后女生身高增长的速度总比男生慢.
11
13
3.如图所示,这是某地区初冬某一天的气温随时间变化的图象,根据图象回答,在这一天中:
(1)t= 时,气温最高,最高气温T= ℃;
(2)t= 时,气温最低,最低气温T= ℃;
(3)在
时间段中,气温持续下降;
(4)t=
时,气温达6
℃;
(5)A点表示
.
10时气温达6
℃
16
9
4
-
4
16至24时和0至4时
10,22(共12张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第三
章
变量之间的关系
学习新知
检测反馈
2
用关系式表示的变量间关系
学
习
新
知
问题思考
夏天到了,小明的妈妈让小明到鞋店去买双凉鞋,小明心想,何不用刻度尺量量自己的脚有多长,再去鞋店 结果小明用刻度尺量得自己的脚长25厘米,就急忙去了鞋店,老板问小明:你穿多大的鞋 小明顺口说:我穿二五的.鞋店老板愕然,对小明说:你怎么穿这么小的码呀!小明说:我来之前,在家刚量完,是25厘米.这么一说,老板恍然大悟,对小明说:我问你穿的“码”数,你告诉我的却是“厘米”数.鞋店老板喜欢和学生经常讨论数学问题,他心想,何不让小明找出“码”数与“厘米”数的关系式.于是,他告诉了小明:你观察下表,如果你能找出“码”数与“厘米”数的关系来,我就送你一双鞋.
问题1
如果设鞋子的“厘米”数为x,“码”数为y,那么自变量和因变量分别是什么
问题2
当“厘米”数每增加0.5厘米,“码”数怎样变化
问题3
随意给出一个“厘米”数,如何快速找到所对应的“码”数呢
厘米x和码y之间的等量关系y=2x-
10.
厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
码
34
35
36
37
38
39
变化的三角形
【问题】 三角形ABC底边BC上的高是6
cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,仔细观察三角形面积的变化.
(3)当底边长从12
cm变化到3
cm时,三角形的面积从 cm2变化到 cm2;
(1)在三角形ABC变化的过程中,自变量、因变量各是什么
(2)如果三角形的底边长为x(cm),那么三角形的面积y(cm2)可以表示为 ;
(4)完成下表.
x/cm
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y/cm2
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法,利用关系式(如y=3x),我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
y=3x表示了三角形底边长x和三角形面积y之间的关系,它是变量y随x变化的关系式.
表格和关系式对比
1.y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系,它是因变量y随自变量x变化的关系式.
2.关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.
【归纳总结】
关系式法的优点.
利用表格表示的变量间关系虽能直观地知道因变量和自变量间的对应关系,但是不够全面,不能找出对于任意一个自变量的值所对应的因变量的值.
关系式表示两变量关系的应用
如图所示,圆锥的高是4
cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么
(2)如果圆锥的底面半径为r(cm),那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系为 ;
(3)当底面半径由1
cm变化到10
cm时,圆锥的体积由
cm3变化到
cm3.
自变量为圆锥的底面半径,因变量为圆锥的体积
【议一议】
你知道什么是“低碳生活”吗 “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量,从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为
,其中的字母表示的意义为:
;
(2)在上述关系式中,耗电量每增加1
kW·h,二氧化碳排放量增加
,当耗电量从1
kW·h增加到100
kW·h时,二氧化碳排放量从
增加到
;
y=0.785x
y表示二氧化碳的排放量(kg),x表示的是耗电量(kW·h)
0.785
kg
0.785
kg
78.5
kg
(3)小明家本月大约用电110
kW·h、天然气20
m3、自来水5
t、耗油75
L,请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
(提示:根据上面的排碳计算公式,用电排放的二氧化碳数量为0.785×110=86.35(kg);用天然气排放的二氧化碳数量为20×0.19=3.8(kg);用自来水排放的二氧化碳数量为5×0.91=4.55(kg);开私家车耗油排放的二氧化碳数量为75×2.7=202.5(kg).以上各项相加得297.2
kg.即小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2
kg)
4.在一些问题中,自变量只能取某个范围内的值.例如,在解决关于三角形面积的问题时,自变量只能为正数.
[知识拓展]
1.关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式.
2.利用关系式表示变量之间的关系,最大的优点在于能比较方便地求出自变量为任意一个值时,相对应的因变量的值.利用表格表示变量之间的关系时,对于表中没有给出的相应值,在需要时往往只能估计,很难达到足够的精确度,使用关系式则没有这样的缺点.
3.利用关系式求因变量的值时,实际上就是求代数式的值.
检测反馈
解析:由题意可知因变量y与自变量t之间的关系式为y=8+2(t-
3),其中t≥3,整理可得y=2t+2(t≥3).故选C.
1.从A地向B地拨打国际长途电话,3分钟内(包括3分钟)收费8元,以后每增加1分钟加收2元,当通话时间t≥3分钟时,电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式为
( )
A.y=8(t-
3)(t≥3)
B.y=t+5(t≥3)
C.y=2t+2(t≥3)
D.y=2t+8(t≥3)
C
2.在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以近似地用T=10-
来表示,根据这个关系式,当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T值.
解:将d=0,200,400,600,800,1000分别代入T=10-
,可得T=10,
,
,6,
,
.
解:把y=90,125,195,265,370,475分别代入y=35x+20,可得x=2,3,5,7,10,13.
3.地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化,在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示,当y=90,125,195,265,370,475时,计算相应的x值.(共12张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第三
章
变量之间的关系
学习新知
检测反馈
1
用表格表示的变量间关系
学
习
新
知
问题思考
猜猜看:他是谁
小车下滑实验
【活动内容1】
直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
王波学习小组利用同一块木板,测量小车从不同高度下滑的时间.
【问题】支撑物的高度不同,小车下滑的时间有怎样的变化
图(1)小车下滑的时间较长,图(4)小车下滑的时间较短.从图(1)到图(4),随着支撑物的增高,小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变,因此支撑物的高度越高,木板就越陡,小车下滑的时间就越短.
支撑物高
度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑
时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
小组根据实验得出如下数据:
【活动内容2】
数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
根据上表中数据,你能回答下列问题吗
(1)支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间是多少
(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么
(3)h每增加10
cm,t的变化情况相同吗
(4)估计当h=110
cm时,t的值是多少 你是怎样估计的
(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化 哪些量始终不发生变化
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
(1)支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间是1.59
s.从表格中直接可以查出.
(2)t随着h的增大而减少.支撑物的高度越高,下滑的时间就越短.
(3)h每增加10
cm,t的变化情况不相同.通过计算,可得到h每增加10
cm,t的变化量依次减少1.23
s,0.55
s,0.32
s,0.24
s,0.18
s,0.12
s,0.09
s,0.09
s,0.06
s.因此h每增加10
cm,t的变化情况不相同,但是随着h的变化,t的变化量逐渐变小.(将t的变化量展现出来)
(5)随着支撑物高度h的变化,下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.
(4)当h=110
cm时,t的值大约为1.30
s;当h=110
cm时,又比h=100
cm增加10
cm,根据t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06
s或等于0.06
s,故可估计t的减少量为0.05
s,因此t的值大约为1.35-
0.05=1.30(s).
变量、自变量、因变量、常量等概念
理解:①在变化过程中,若有两个变量x和y,其中y随着x的变化而发生变化,我们就把x叫自变量,y叫因变量.始终不变的量叫做常量.②利用在变化过程中,两个变量的因果关系,确定自变量和因变量.③借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.④在利用表格表示变量之间的关系时,通常自变量在表格的第一行,而因变量则在第二行.
用表格表示两变量之间关系的应用
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
先独立完成下列问题,然后小组内交流.
1.我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿):
(1)上表反映了 和
两个变量之间的关
系, 是自变量,
是因变量.
(2)如果用x表示时间,y表示我国人口数量,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么
(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的
(从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口增加1.5亿左右.但最后10年的增加量大约只有0.76亿.(答案合理即可)
时间
人口数量
时间
人口数量
随着x的增加，y也增加.
时间x/分钟
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力/y
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间有如下的关系(其中0≤x≤30).
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少
(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用的时间是多少时,学生的接受能力最强
解:(1)提出概念所用的时间和学生的接受能力之间的关系.提出概念所用的时间是自变量,学生的接受能力是因变量.
(2)59.
(3)13分钟.
[知识拓展]
1.在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量.
2.一般地,在一个变化过程中,主动变化的量是自变量,受其他量影响而发生变化的量是因变量.
3.自变量和因变量是相对的,一个量在某一变化过程中是自变量,而在另一变化过程中可能是因变量.
4.常量和变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.
5.因变量的数值与自变量的数值必须一一对应.
检测反馈
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
8
电话费/元
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
4.8
1.下表是丽丽给姥姥打长途电话的几次收费记录:
(1)上表反映了 与 之间的变化关系,其中 是自
变量, 是因变量；
(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的增加,y的变化趋势是
;
(3)丽丽打了5分钟电话,应该付 元的电话费；
(4)你能帮助丽丽预测一下,如果打10分钟电话,那么需付 元电话费;
(5)你能知道每打1分钟电话,需要付多少元电话费吗 电话费与打电话的时间有怎样的关系
每分钟0.6元,电话费=0.6×时间.
时间
电话费
时间
电话费
不断增加
3.0
6.0
排数
1
2
3
4
座位数
60
64
68
72
2.某电影院地面的一部分是扇形,座位按下列方式设置:
(1)上述哪些量在变化 自变量和因变量分别是什么
(2)第5排、第6排各有多少个座位
(3)第n排有多少个座位 请说明你的理由.
解:(1)排数和座位数在变化,排数是自变量,座位数是因变量.
(2)第5排有76个座位,第6排有80个座位.
(3)第n排有60+4(n-
1)=(4n+56)个座位,每一排比前一排多4个座位.第三章 变量之间的关系
1.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量与因变量.
2.从表格、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言表达,培养有条理的思考和表达的能力.
3.根据具体问题,选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.
4.能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.
1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,进一步培养符号感和抽象思维.
2.经历从图象中分析变量之间关系的过程,体会变量之间的关系,结合具体情境,理解图象上的点表示的意义.
1.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的乐趣,发展对数学更高层次的认识.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的乐趣.
3.体验从运动变化的角度认识数学对象的过程,培养对数学的认识.
本章对于学生来说是一章全新的知识,主要是从数学的角度研究变量和变量之间的关系,将有助于人们更好地认识现实世界、预测未来.同时,研究现实世界中的变化规律,也使学生从常量的世界进入了变量的世界,开始接触一种新的思维方式.我们知道,函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.本套教材对函数的学习不是一蹴而就的,而是遵照循序渐进、螺旋上升的原则进行设计.
在七年级上册中,教材已经在代数式求值、探索规律等地方渗透了变化的思想,而本章则是第三学段第一次集中讨论变量之间的关系.本章通过大量学生感兴趣的日常生活或其他学科中的问题(如骆驼的体温、潮汐的涨落),使他们体会变量和变量之间相互依赖的关系,感受数学的应用价值.本章还通过分析用表格、关系式和图象所表示的变量间关系的活动,使学生初步理解并尝试用数学的方法描述变量之间的关系.学生通过本章中对变量间关系的学习,将为以后顺利过渡到函数学习打下基础.
为了发展学生对函数思想的理解,必须使他们对变量间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此教材在第1节中通过探讨小车下滑时间的活动,使学生初步体会变量之间的相依关系,并用表格来表示变量之间的关系.使学生学习如何从表格中获取信息,发展他们通过数据分析进行预测和解决问题的能力.在学生已经学会计算一些图形的面积和体积的基础上,教材在第2节讨论由底边长(或半径、高)的变化引起的面积(或体积)的变化,并由此引出运用关系式表示变量之间的关系.然后运用形象的“机器输入输出图”,渗透自变量和因变量值的对应思想,为以后理解函数的概念做铺垫.“排碳计算公式”内容的设计是为了将生活中变量之间关系的表达转化为数学上的关系式表达.在第3节第1课时中,通过学生所熟悉的气温变化图,引入变量之间关系的第三种表示方法——图象.图象表示因其直观性有着其他表示方式所不能替代的作用,它是将关系式和数据转化为图形形式,是“看见”相应的变化规律的途径之一.因此,本章在第3节第2课时中特别又对图象所表示的变量之间的关系进行了讨论,让学生用语言描述图象所表示的变化过程,加强他们对图象表示的理解,发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.
概括起来说,第1节是本章的起始课,除给出变量、常量的概念,还给出变量之间关系的第一种表示方式——表格表示法.第2节给出变量之间关系的第二种表示方式——关系式表示法.第3节给出变量之间关系的第三种表示方式——图象表示法,并力图与表格表示法、关系式表示法进行联系,但不要求学生画图象.
【重点】 能根据表格中的数据、关系式中的变量、图象上的点来获取信息,明确自变量、因变量所表示的实际意义.
【难点】 三种表示变量之间关系的方法之间的联系,能从具体问题中获取变量之间的关系.
1.本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量,讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系,并解决一些问题和进行预测.因此在教学中,教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系,而不是形式地讨论变量的有关概念.教师可以充分利用教科书中提供的问题,也可以创设新的情境,或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论.
2.运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律,是本章学习的主要目标之一.而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程,在探索活动中理解变量之间的相依关系,并尝试用语言和符号去刻画.例如,在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时,教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息,运用自己的语言进行描述,并与同伴进行交流.有条件的地方,教师可以让学生亲自实践这个实验或实践其他可操作性的实验,使他们获得变量之间关系的直观体验,并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式.
3.注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用语言进行表达.前面已经提到,为了发展学生对变量之间关系的理解,必须使他们对变量之间关系的多种表示——表格表示、关系式表示、图象表示有相当丰富的经历.因此,教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例.在学生讨论这些例子时,教师要留给他们充分思考的时间,鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息,并运用自己的语言进行表述.当学生运用语言进行表述时,教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述,只要学生能大致描述出变量之间的关系即可.
4.在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解.在考查学生对变量之间关系的理解时,应关注学生是否能够感受周围世界中的变量,是否能够发现变量之间互相依赖的关系;关注学生是否能从表格和图象中获取信息,并由此进行预测;关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等.评价时应提供具体的问题情境,从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发.避免形式化地对两个变量之间关系的三种表达形式进行讨论.
5.在本章的学习中,好多信息都是由学生花费了较多的时间从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动中获得的,这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值.因此,对上述活动过程教师应给予学生大量支持与鼓励,而不是直接将结论告诉学生.教学时教师应从以下几方面对学生加以关注:从事活动的投入程度;从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性;对具体情境中变量之间关系的敏感性;运用语言描述变量之间关系的合理性等.
1 用表格表示的变量间关系
1课时
2 用关系式表示的变量间关系
1课时
3 用图象表示的变量间关系
2课时
回顾与思考
1课时
1 用表格表示的变量间关系
1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号感.
2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间关系的例子.
3.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测.
经历实验、操作、观察、猜想、交流等获取信息的过程,体会我们生活在一个变化的世界中,进一步理解变量之间的关系,从表格中获取两个变量之间关系的有关信息.
激发学生学习数学的兴趣,认识到现实生活中蕴含着大量两个变量之间关系的有关问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学方法予以解决.
【重点】 通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念,能从表格中发现变量之间的变化关系,并能用自己的语言描述出来.
【难点】 对表格中的数据作出分析和预测,用变量之间变化的思想描述我们所生活的世界中的变化.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P62~63.
导入一:
前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上,这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影,从小到大,她的每一步都有爸爸陪伴,每张照片都有那一年的故事,触动心灵!孩子茁壮成长,父母日渐老去.
[处理方式] 通过上面的例子,我们感到:我们生活在一个变化的世界中.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来,这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系.
[设计意图] 通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣,在学生熟悉的情境中自然地引入本章的内容,学生感到亲切、贴近生活,乐意去学习探究,又通过具体的情境,让学生对本章学习研究的内容有个大致的了解,目的性较强,直接指向本节课所要学习的内容.
导入二:
猜猜看:他是谁
[处理方式] 让学生观察交流,感受身边的日常变化.
[设计意图] 通过具体情境激发学生的学习兴趣,让学生观察图片作为课堂教学的引入,通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化,培养学生善于观察的能力,让学生感受事物的变化,进而引向本节课所要学习的内容.
探究活动1 小车下滑实验
思路一
【活动内容1】
直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
下面我们来观察一个小车下滑实验:(课件出示)
王波学习小组利用同一块木板,测量小车从不同高度下滑的时间.
【问题】 支撑物的高度不同,小车下滑的时间有怎样的变化 (如上图)
[处理方式] 课件演示小车从不同高度下滑的实验.
讨论得出:
图(1)小车下滑的时间较长,图(4)小车下滑的时间较短.从图(1)到图(4),随着支撑物的增高,小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变,因此支撑物的高度越高,木板就越陡,小车下滑的时间就越短.
【活动内容2】
数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系.
小组根据实验得出如下数据:
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
根据上表中数据,你能回答下列问题吗
(1)支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间是多少
(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么
(3)h每增加10
cm,t的变化情况相同吗
(4)估计当h=110
cm时,t的值是多少 你是怎样估计的
(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化 哪些量始终不发生变化
[处理方式] 先小组讨论后,汇报交流,师引导学生根据表格中数据进行适当的运算,通过观察分析这些计算结果,得出相应的结论,让学生了解这是利用表格分析变化关系、预测变化趋势的一种常用的方法.得出答案:
(1)支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间是1.59
s.从表格中直接可以查出.
(2)t随着h的增大而减少.支撑物的高度越高,下滑的时间就越短.
(3)h每增加10
cm,t的变化情况不相同.通过计算,可得到h每增加10
cm,t的变化量依次减少1.23
s,0.55
s,0.32
s,0.24
s,0.18
s,0.12
s,0.09
s,0.09
s,0.06
s.因此h每增加10
cm,t的变化情况不相同,但是随着h的变化,t的变化量逐渐变小.(将t的变化量展现出来)
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
(4)当h=110
cm时,t的值大约为1.30
s;当h=110
cm时,又比h=100
cm增加10
cm,根据t的变化量的变化趋势可以发现t的减少量要小于0.06
s或等于0.06
s,故可估计t的减少量为0.05
s,因此t的值大约为1.35-
0.05=1.30(s).
(5)随着支撑物高度h的变化,下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.
思路二
[过渡语] 我们来看一个实验,随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间有何变化
【活动内容】
探究小车下滑的时间随高度变化的情况.
[处理方式] 请两名同学到前面来进行实验.其他每组同学记录实验数据.(拿出实验器材:小车、木板、秒表、调节高度的装置,找两名学生到前面来进行实验,说明实验的目的及步骤)根据实验数据师生共同讨论,得出问题答案.
猜想:随着小车的下滑高度的增加,小车下滑的时间逐渐减小.
师:那么事实是不是这样呢 我们就来验证一下,让小车从不同的高度滑下,用秒表记录下每次小车下滑的时间,看看有何规律.把实验数据填入下表:
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
将实验的数据填入表格.
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
师:支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间是多少
生:支撑物高度为70
cm时,小车下滑时间为1.59
s.
师:如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么
生:随着h逐渐变大,t逐渐变小.
师:h每增加10
cm,t的变化情况相同吗 为什么
生:不相同.因为我是通过计算得到的,h每增加10
cm,t的变化量依次减少1.23
s,0.55
s,0.32
s,0.24
s,0.18
s,0.12
s,0.09
s,0.09
s,0.06
s.(如下表:教师此时展示差值表,便于学生分析回答问题)因此h每增加10
cm,t的变化情况是不相同的,但是随着h的变化,t的变化量逐渐变小.
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
师:估计当h=110
cm时,t的值是多少 你是怎样估计的
生:当h=110
cm时,t的值可能是1.30
s,从表格中可以看出当小车的高度从90
cm上升到100
cm时,时间减少了0.06
s,而且随着高度的增加,时间减少的越来越少,所以当小车的高度从100
cm上升到110
cm时,时间最多减少0.06
s,所以我认为减少0.05
s比较合适,所以我认为h=110
cm时,t的值可能是1.30
s.
师:这位同学回答得很好.我们推测估计时,要根据表中的数据进行分析整理,然后作出合理的回答.(教师可说明答案是1.29
s至1.35
s中的任意一个值)
师:随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化 哪些量始终不发生变化
生:随着支撑物高度h的变化,小车下滑的时间t会发生变化,小车下滑的路程没有发生变化.
[设计意图] 通过小车下滑的实验,让学生参与到收集数据的实验过程中,借助于数据感受具体的变化及其中蕴含的规律;亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少.体会这一过程中变化的量,为变量、自变量、因变量、常量这些概念的引入打下基础.同时鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格中获取信息的能力.
探究活动2 变量、自变量、因变量、常量等概念
[过渡语] 在小车下滑过程中既有不变的量,也有变化的量,而在变化的量中,由于其中一个量变化,一般会造成另外一个量变化,这些量有相应的名称,请同学们看课本63页相关内容,明确各自的名称.
[处理方式] 学生看课本63页相关内容,明确变量、自变量、因变量、常量的意义.理解:①在变化过程中,若有两个变量x和y,其中y随着x的变化而发生变化,我们就把x叫自变量,y叫因变量.始终不变的量叫做常量.②利用在变化过程中,两个变量的因果关系,确定自变量和因变量.③借助表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.④在利用表格表示变量之间的关系时,通常自变量在表格的第一行,而因变量则在第二行.
[设计意图] 为更好地感受变量之间的关系;通过小车下滑实验进一步积累感性认识,进一步体会在具体的情境中,变量之间的依存关系和变化关系,既能激起学生学习的兴趣,又为知识的直接概括积累了材料,在此基础上通过学生看书自学,明确各自意义,再通过回顾前置实验巩固概念,符合学生的认知规律,最后点题,明确表格是表示变量之间关系的一种常用方法.
探究活动3 用表格表示两变量之间关系的应用
[过渡语] 前面我们一起研究了用表格表示两变量之间的关系,你能从变化的事件中找到自变量、因变量吗
【活动内容】
先独立完成下列问题,然后小组内交流.
1.我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿):
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
(1)上表反映了 和 两个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.
(2)如果用x表示时间,y表示我国人口数量,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么
(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的
[处理方式] 引导学生观察表格中的数据变化,发现变量的整体变化趋势;利用变量之间的因果关系,区分出自变量和因变量.通过计算人口数量随年份的增加量,根据增加量的变化,得出人口数量随时间的变化关系.
解:(1)时间 人口数量 时间 人口数量
(2)随着x的增加,y也增加.
(3)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口增加1.5亿左右.但最后10年的增加量大约只有0.76亿.(答案合理即可)
2.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间有如下的关系(其中0≤x≤30).
时间x/分钟
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力/y
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少
(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用的时间是多少时,学生的接受能力最强
[处理方式] 引导学生观察表格中的数据变化,发现变量间的变化关系和变化趋势.
解:(1)提出概念所用的时间和学生的接受能力之间的关系.提出概念所用的时间是自变量,学生的接受能力是因变量.
(2)59.
(3)13分钟.
[设计意图] 利用不同的问题情境,使学生感受到变量之间的依赖关系和变化关系,理解变量、自变量、因变量的概念,能根据表格中的数据,对变量进行分析和预测,达到掌握知识的目的;新颖的问题情境,能够吸引学生积极地参与学习;简单口述,既能训练学生的思维能力和语言表达能力,又可以节省时间,起到提高学习效率的作用.
[知识拓展]
1.在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量.
2.一般地,在一个变化过程中,主动变化的量是自变量,受其他量影响而发生变化的量是因变量.
3.自变量和因变量是相对的,一个量在某一变化过程中是自变量,而在另一变化过程中可能是因变量.
4.常量和变量是相对的,在不同的研究过程中,二者可以相互转化.
5.因变量的数值与自变量的数值必须一一对应.
1.变量、常量、自变量、因变量的定义.
2.借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
1.下表是丽丽给姥姥打长途电话的几次收费记录:
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
8
电话费/元
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
4.8
(1)上表反映了 与 之间的变化关系,其中 是自变量, 是因变量;
(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的增加,y的变化趋势是 ;
(3)丽丽打了5分钟电话,应该付 元的电话费;
(4)你能帮助丽丽预测一下,如果打10分钟电话,那么需付 元电话费;
(5)你能知道每打1分钟电话,需要付多少元电话费吗 电话费与打电话的时间有怎样的关系
解:(1)时间 电话费 时间 电话费 (2)不断增加 (3)3.0 (4)6.0 (5)每分钟0.6元,电话费=0.6×时间.
2.某电影院地面的一部分是扇形,座位按下列方式设置:
排数
1
2
3
4
座位数
60
64
68
72
(1)上述哪些量在变化 自变量和因变量分别是什么
(2)第5排、第6排各有多少个座位
(3)第n排有多少个座位 请说明你的理由.
解:(1)排数和座位数在变化,排数是自变量,座位数是因变量.
(2)第5排有76个座位,第6排有80个座位.
(3)第n排有60+4(n-
1)=(4n+56)个座位,每一排比前一排多4个座位.
1 用表格表示的变量间关系
探究活动1 小车下滑实验
探究活动2 变量、自变量、因变量、常量等概念
一、教材作业
【必做题】
教材第63页习题3.1知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第64页习题3.1问题解决第4,5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里水的温度随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是
( )
A.太阳光强弱
B.水的温度
C.所晒时间
D.热水器的容积
2.据世界人口组织公布,地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势,即随时间的变化,地球上的人口数量在逐渐增加,如果用t表示时间,y表示人口数量,那么 是自变量, 是因变量.
3.某条河受暴雨袭击,某一天此河的水位记录如下表:
时间/时
0
4
8
12
16
20
24
水位/米
2
2.5
3
4
5
6
8
(1)上表反映了 与 之间的关系,其中 是自变量, 是因变量;
(2)12时的水位是 ;
(3) 这个时段水位上升最快.
【能力提升】
4.某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下表所示,用户5月份交水费45元,则所用水为 方.
月用水量
不超过12方部分
超过12方不超过18方部分
超过18方部分
收费标准/(元/方)
2
2.5
3
5.苹果熟了,小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果.已知销售数量x与售价y的关系如下:
销售数量x/千克
1
2
3
4
5
售价y/元
2.1
4.2
6.3
8.4
10.5
(1)上表反映了 和 两个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量;
(2)根据表格中的数据,售价y是随销售数量x的变化而 的;
(3)估计当x=15时,y的值是 .
【拓展探究】
6.下表是某冰箱厂2015年前半年每个月的产量:
x/月
1
2
3
4
5
6
y/台
10000
10000
12000
13000
14000
18000
(1)根据表格中的数据,你能否根据x的变化,得到y的变化趋势
(2)根据表格你知道哪几个月的月产量相同 哪个月的月产量最高
(3)求2015年前半年的平均月产量是多少.
【答案与解析】
1.B(解析:由题意可知,水的温度随着所晒时间的变化而变化,所晒时间是自变量,水的温度是因变量.故选B.)
2.时间(或t) 人口数量(或y)
3.(1)时间 水位 时间 水位 (2)4米 (3)20至24时
4.20(解析:由题意得5月份用水量超过18方,设超过的部分为x方,由题意列方程为12×2+6×2.5+3x=45,解得x=2,所以5月份用水量为20方.)
5.(1)销售数量 售价 销售数量 售价 (2)变化 (3)31.5
6.解:(1)随着月份x的增大,月产量y正在逐渐增加. (2)1月、2月两个月的月产量相同,6月份月产量最高. (3)(10000+10000+12000+13000+14000+18000)÷6≈12833(台).故2015年前半年的平均月产量约为12833台.
用学生比较熟悉而又感兴趣的具体问题情境和实例展开知识的学习和探究,学生能积极、主动地参与知识的学习过程;学生充分地交流讨论,较好地训练了学生的语言表达能力和对知识的理解能力;学生主动参与实验,亲身感受变量之间的变化关系,印象深刻,理解到位;通过口答叙述,小组讨论达成共识,再进行交流展示,既节省了时间,又达到了目标.整体来看,学生积极参与,踊跃发言,对变量、自变量、因变量的理解较好,对表格表示的变量间的关系,有一个比较清楚的了解,对数据的分析和预测比较客观、合理.
由于本节知识点较少,也较为简单,在设计教学过程的时候,比较松散,学生训练的题目较少,特别对表格中的数据变化有一定规律的题目训练不够,对数据变化的情况学生叙述不够准确、客观,教师的引导不够到位,学生使用数学语言的能力还要进一步加强.
加强对数学语言训练的力度,结合具体的问题情境训练学生语言表达的准确性和简洁性;设计灵活多样而新颖的题目,加强对学生理解知识能力的训练,同时结合具体题目做好渗透,为下一节的学习做好铺垫;增大课堂容量,采取更加灵活的方式,加大训练的强度,增加训练的效果.
随堂练习(教材第63页)
1.解:如气温随时间的变化,脉搏随运动强度的变化,作物的高度随种植时间的变化等.(答案不唯一)
2.解:(1)氮肥的施用量和土豆产量之间的关系;氮肥的施用量是自变量,土豆产量是因变量. (2)32.29
t,15.18
t. (3)如可以回答氮肥的施用量为336
kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量最高;还可以回答氮肥的施用量为259
kg/hm2时比较适宜,因为此时土豆的产量与施用量为336
kg/hm2时差不多,而又可以节约肥料.合理即可. (4)这里主要关注的是对变化过程的大致刻画,答案只要合理即可.
习题3.1(教材第63页)
知识技能
1.解:如下表所示.
时间/年
1600
1830
1930
1960
1974
1987
1999
2011
世界人口/亿
5
10
20
30
40
50
60
70
由表格可以看出世界人口随时间的推移,增长越来越快.
2.解:(1)年龄和体重在发生变化,年龄是自变量,体重是因变量. (2)如下表所示.
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/kg
3.5
7
10.5
14
21
31.5
(3)刚出生的婴儿体重增长快,以后至10周岁体重也随着年龄的增长而增长,但增长的速度明显放慢.
问题解决
4.解:(1)老花镜的度数越大,镜片与光斑的距离越小. (2)140度~150度(估计的度数接近即可).
5.解:(1)反映了海拔高度与空气含氧量之间的关系.海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量. (2)299.3
g/m3,182.08
g/m3.
(3)大约为150.66
g/m3(合理即可)
.
奥运会的年份与届数如下表所示,表中n的值等于
( )
年份
1896
1900
1904
…
2012
届数
1
2
3
…
n
A.28
B.29
C.30
D.31
〔解析〕 年份是自变量,届数是因变量,根据数据可得二者的变化规律:第1届相应的举办年份=1896+4×(1-
1)=1892+4×1=1896;第2届相应的举办年份=1896+4×(2-
1)=1892+4×2=1900;第3届相应的举办年份=1896+4×(3-
1)=1892+4×3=1904;…;第n届相应的举办年份=1896+4×(n-
1)=1892+4n.根据规律代入相应的年份即可算出届数.令1892+4n=2012,解得n=30.故选C.
[解题策略] 此题主要考查了数字的变化,解题关键是弄清题意,根据题目中给出的规律列出代数式.本题每届举办年份比上一届举办年份多4.
2 用关系式表示的变量间关系
1.经历探索某些图形中变量之间的关系的过程,进一步体会一个变量对另一个变量的影响,发展符号感.
2.能根据具体情境,用关系式表示某些变量之间的关系.
3.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
1.如何将生活中的实际问题转化为数学问题.
2.如何用数学方法解决实际生活中的问题.
培养学生动手的能力,探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力.通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法.
【重点】 通过用关系式表示变量之间的关系,体会变量之间的数值对应关系.
【难点】 将具体问题抽象成数学问题并将它用关系式表示出来.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P66~67.
导入一:
【活动内容】
复习用表格表示两个变量之间的关系.
【问题】 随着手机的普及,现代人们的通信越来越便捷.打电话要交话费,下表是某同学家长调取的几次通话时间和相应通话费用:
通话时间/分钟
1
2
3
4
5
6
通话费用/元
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
(1)你能说出表格中的两个变量哪一个是自变量,哪一个是因变量吗
(2)随着通话时间的增加,通话费用是如何变化的
(3)如果用字母x表示通话时间,用字母y表示通话费用,你能用字母表示它们之间的关系吗
[处理方式] 通过熟悉的事物让学生回顾上节课所学,理解变量、自变量、因变量、常量等概念;看懂表格,准确得出信息,独立完成解答.(板书课题:2 用关系式表示的变量间关系)
[设计意图] 电话是现代生活中最常见的通信工具,通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣,既复习了上节课用表格表示变量间的关系,又引出了关系式的概念并进行了简单的应用,让学生初步经历了用关系式表示变量间的关系,培养学生学习数学、应用数学的意识.
导入二:
夏天到了,小明的妈妈让小明到鞋店去买双凉鞋,小明心想,何不用刻度尺量量自己的脚有多长,再去鞋店 结果小明用刻度尺量得自己的脚长25厘米,就急忙去了鞋店,老板问小明:你穿多大的鞋 小明顺口说:我穿二五的.鞋店老板愕然,对小明说:你怎么穿这么小的码呀!小明说:我来之前,在家刚量完,是25厘米.这么一说,老板恍然大悟,对小明说:我问你穿的“码”数,你告诉我的却是“厘米”数.鞋店老板喜欢和学生经常讨论数学问题,他心想,何不让小明找出“码”数与“厘米”数的关系式.于是,他告诉了小明:你观察下表,如果你能找出“码”数与“厘米”数的关系来,我就送你一双鞋.
厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
码
34
35
36
37
38
39
问题1
如果设鞋子的“厘米”数为x,“码”数为y,那么自变量和因变量分别是什么
问题2
当“厘米”数每增加0.5厘米,“码”数怎样变化
问题3
随意给出一个“厘米”数,如何快速找到所对应的“码”数呢
[处理方式] 问题1,2由学生口答,问题3由于上学期学习探索规律的时候,探索过这样的问题,引导学生找到厘米x和码y之间的等量关系y=2x-
10.
[设计意图] 通过生活情境激发学生利用数学解决生活问题的欲望,由于上学期学习过探索规律,能理解它们的数量关系,但是从变量的角度来理解,又体现了表示变量间关系的一种方法,使学生又有了新的认识.
[过渡语] 我们能用表格的形式反映出两个变量之间的关系,还能不能用另一种形式表达呢
探究活动1 变化的三角形
【问题】 三角形ABC底边BC上的高是6
cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时,仔细观察三角形面积的变化.
(1)在三角形ABC变化的过程中,自变量、因变量各是什么
(2)如果三角形的底边长为x(cm),那么三角形的面积y(cm2)可以表示为 ;
(3)当底边长从12
cm变化到3
cm时,三角形的面积从 cm2变化到 cm2;
(4)完成下表.
x/cm
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
y/cm2
[处理方式] 鼓励学生大胆去讨论、思考、尝试,教师及时点拨、评价学生探索的结果,帮助学生认识自我,建立信心.
y=3x表示了三角形底边长x和三角形面积y之间的关系,它是变量y随x变化的关系式.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法,利用关系式(如y=3x),我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
[设计意图] 利用多媒体课件展示三角形的变化,让学生直观地感受两个变量,引导学生对关系式进行猜测、探究,提高学生的兴趣,帮助学生增强信心.利用关系式计算并进行填表,让学生体会关系式的优点:字母的广泛性.感受自变量和因变量的数值对应关系.
探究活动2 表格和关系式对比
思路一
【活动内容】
小组内交流两种表示变量关系的方法的异同.
【归纳总结】
1.y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系,它是因变量y随自变量x变化的关系式.
2.关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.
关系式法的优点.
利用表格表示的变量间关系虽能直观地知道因变量和自变量间的对应关系,但是不够全面,不能找出对于任意一个自变量的值所对应的因变量的值.
[处理方式] 教师总结学生的探究成果,给出关系式法的名称,并指出关系式法的优点和利用方法,链接知识点——求代数式的值,从而降低新知识的难度.
思路二
【活动内容】
仔细理解两种表示变量关系的方法,并完成下表.
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系,各有优点.具体见表格:
优点
缺点
二者关系
表格
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势
变量的取值个数有限,估计时比较粗略
(1)利用表格可以写出关系式;(2)利用关系式可以列表格
关系式
准确反映两个变量间的关系;已知一个变量的值,可以求出另一变量的值
变量间的对应关系不太直观
[处理方式] 加强师生、生生、组内、组间的交流合作.
[设计意图] 通过对比两种方法表示变量间的关系,总结归纳每种方法的优点和缺点,加深了学生对这两种表示变量间关系的方法的理解,对所学内容及时地回顾,有利于知识系统化,发展学生的辩证唯物主义.
探究活动3 关系式表示两变量关系的应用
【做一做】
如图所示,圆锥的高是4
cm,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥的体积也随之发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么
(参考答案:自变量为圆锥的底面半径,因变量为圆锥的体积)
(2)如果圆锥的底面半径为r(cm),那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系为 ;
(3)当底面半径由1
cm变化到10
cm时,圆锥的体积由 cm3变化到 cm3.
[处理方式] 学生分小组进行探究活动,完成三个问题后在小组内进行交流、讨论.教师巡视指导学生解答,及时进行点拨,提示圆锥体积公式,最后公布答案.
[设计意图] 在三角形面积探索的基础上,进行圆锥体积变化的探索,进一步熟悉用关系式表达变量之间的关系.
【议一议】
你知道什么是“低碳生活”吗 “低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量,从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式.
(1)用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为 ,其中的字母表示的意义为: ;
(y=0.785x,y表示二氧化碳的排放量(kg),x表示的是耗电量(kW·h))
(2)在上述关系式中,耗电量每增加1
kW·h,二氧化碳排放量增加 ,当耗电量从1
kW·h增加到100
kW·h时,二氧化碳排放量从 增加到 ;
(耗电量每增加1
kW·h,二氧化碳排放量增加0.785
kg,当耗电量从1
kW·h增加到100
kW·h时,二氧化碳排放量从0.785
kg增加到78.5
kg)
(3)小明家本月大约用电110
kW·h、天然气20
m3、自来水5
t、耗油75
L,请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
(提示:根据上面的排碳计算公式,用电排放的二氧化碳数量为0.785×110=86.35(kg);用天然气排放的二氧化碳数量为20×0.19=3.8(kg);用自来水排放的二氧化碳数量为5×0.91=4.55(kg);开私家车耗油排放的二氧化碳数量为75×2.7=202.5(kg).以上各项相加得297.2
kg.即小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2
kg)
[处理方式] 学生观察图形中的排碳计算公式,熟悉等量关系和单位,可能对低碳生活有新的认识.
[设计意图] “低碳生活”对于七年级的学生来说还很陌生,通过对“低碳生活”的知识的学习,不仅拓展了学生的知识视野,也发展了学生数学表达的能力,如用字母表示变量,把语言表示转化为关系式等,同时也发展了学生的社会责任感.跟踪练习的设置,不仅是对关系式表示变量间关系的练习,也丰富了学生的知识,更为学生对比表格法和关系式法表示变量间的关系提供了例子.
[知识拓展]
1.关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式.
2.利用关系式表示变量之间的关系,最大的优点在于能比较方便地求出自变量为任意一个值时,相对应的因变量的值.利用表格表示变量之间的关系时,对于表中没有给出的相应值,在需要时往往只能估计,很难达到足够的精确度,使用关系式则没有这样的缺点.
3.利用关系式求因变量的值时,实际上就是求代数式的值.
4.在一些问题中,自变量只能取某个范围内的值.例如,在解决关于三角形面积的问题时,自变量只能为正数.
1.我们一共学习了两种表示变量间的关系的方法:表格和关系式.
2.表格和关系式在表示变量间关系时各有优点和缺点.
3.书写关系式时应注意:
(1)涉及图形的面积或体积时,写关系式是利用面积或体积公式;
(2)关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边,含有自变量的代数式写在等号的右边;
(3)已知一个变量的值求另一个变量的值时,就是代入关系式求值,一定要分清自变量和因变量.
1.从A地向B地拨打国际长途电话,3分钟内(包括3分钟)收费8元,以后每增加1分钟加收2元,当通话时间t≥3分钟时,电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系式为
( )
A.y=8(t-
3)(t≥3)
B.y=t+5(t≥3)
C.y=2t+2(t≥3)
D.y=2t+8(t≥3)
解析:由题意可知因变量y与自变量t之间的关系式为y=8+2(t-
3),其中t≥3,整理可得y=2t+2(t≥3).故选C.
2.在地球某地,温度T(℃)与高度d(m)的关系可以近似地用T=10-
来表示,根据这个关系式,当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时,计算相应的T值.
解:将d=0,200,400,600,800,1000分别代入T=10-
,可得T=10,,,6,,.
3.地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化,在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式y=35x+20来表示,当y=90,125,195,265,370,475时,计算相应的x值.
解:把y=90,125,195,265,370,475分别代入y=35x+20,可得x=2,3,5,7,10,13.
2 用关系式表示的变量间关系
探究活动1 变化的三角形
探究活动2 表格和关系式对比
探究活动3 关系式表示两变量间关系的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第68页习题3.2知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第68页习题3.2数学理解第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,圆柱的底面半径为1
cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)如果圆柱的高为x(cm),那么圆柱的体积V(cm3)与x的关系式为 ;
(3)当圆柱的高由2
cm变化到4
cm时,圆柱的体积由 cm3变化到 cm3;
(4)当圆柱的高每增加1
cm时,它的体积增加 cm3.
2.王刚同学用30元钱买笔记本,没有剩余,写出购买总数a(本)与单价n(元)的关系式.
3.将若干张长为20
cm、宽为10
cm的长方形白纸按下图所示的方法粘起来,黏合部分的宽为2
cm.
(1)求4张白纸黏合后的总长度;
(2)设x张白纸黏合后的总长度为y
cm,写出y与x之间的关系式;
(3)当x=20时,求y的值.
【能力提升】
4.下面的表格列出了一个实验的统计数据,表示皮球从高处落下时,弹跳高度b与下降高度d的关系,下面能表示这种关系的式子是
( )
d
50
80
100
150
b
25
40
50
75
A.b=d2
B.b=2d
C.b=
D.b=d+25
5.声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x(℃)之间存在如下关系:y=x+331.
(1)当气温x=15
℃时,声音的速度y= m/s;
(2)当气温x=20
℃时,某人看到烟花燃放5
s后才听到声音响,则此人与燃放的烟花所在地相距 m.
【拓展探究】
6.某移动通信公司开设了两种通信业务,“全球通”:使用时首先缴50元月租费,然后每通话1分钟,付话费0.4元;“动感地带”:不缴月租费,每通话1分钟,付话费0.6元(本题的通话均指市内通话).若一个月通话x分钟,两种方式的费用分别为y1元和y2元.
(1)分别写出y1,y2与x之间的关系式;
(2)一个月内通话多少分钟,两种移动通信费用相同
(3)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种移动通信合算些
【答案与解析】
1.(1)圆柱的高 圆柱的体积 (2)V=πx (3)2π 4π (4)π
2.解:关系式为a=.
3.解:(1)20+18×3=74(cm). (2)y=18x+2. (3)当x=20时,y=362.
4.C(解析:由题目中自变量与因变量的一一对应关系可以得出b=.)
5.(1)340 (2)1715
6.解:(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x. (2)令y1=y2,即50+0.4x=0.6x,解得x=250,当每个月通话250分钟时,两种移动通信费用相同. (3)当x=300时,y1=170,y2=180,y1在教师引导下,让学生在实际问题中发现问题,从数学角度去观察、思考、解决问题.学生基本上能准确地找到自变量和因变量,对单个自变量的数值可以找到相应的因变量的值.但是对于自变量由一个值变化到另一个值时,找随之而变化的因变量的值,有部分学生感到难以理解.
对知识的启发引导、学生交流合作还有欠缺,对困难学生的帮助和指导还不到位,小组合作学习的实效性有待进一步加强.
对于自变量由一个值变化到另一个值时,找随之而变化的因变量的值,讲解时再细致一些.
随堂练习(教材第67页)
1.解:在解决问题的过程中,可以使用计算器,并保留两位小数.
高度d/m
0
200
400
600
800
1000
温度T/℃
10.00
8.67
7.33
6.00
4.67
3.33
2.解:家用自来水每增加1
t,二氧化碳排放量增加0.91
kg,当自来水使用量从1
t增加到5
t时,二氧化碳排放量从0.91
kg增加到4.55
kg.(答案不唯一)
习题3.2(教材第68页)
知识技能
1.解:当x=2时,y=90;当x=3时,y=125;当x=5时,y=195;当x=7时,y=265;当x=10时,y=370;当x=13时,y=475.
2.解:(1)自变量是圆锥的高,因变量是圆锥的体积.
(2)V=πh (3)π π
数学理解
3.解:(1)y=(x+15)·8=4x+60. (2)如下表所示. (3)当x每增加1时,y的值增加4. (4)当x=0时,y=×15×8=60,此时它表示三角形的面积.
x
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
y
76
80
84
88
92
96
100
104
108
112
116
李大爷要围一个长方形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的关系式是
( )
A.y=-
2x+24(0B.y=-
x+12(0C.y=2x-
24(0D.y=x-
12(0〔解析〕 由题意得2y+x=24,故可得y=-
x+12(0[解题策略] 此题考查了根据实际问题列关系式的知识,属于基础题,解答本题的关键是根据三边总长应恰好为24米列出等式.
为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的.某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费;超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年3,4月份的用水量和水费如下表所示:
月份
用水量/立方米
收费/元
3
5
7.5
4
9
27
设某户月用水量为x立方米,应交水费y元.
(1)求a,c的值,并写出用水不超过6立方米和超过6立方米时,y与x之间的关系式;
(2)若该户5月份的用水量为8立方米,求该户5月份的水费是多少元.
〔解析〕 (1)依照题意,当x≤6时,y=ax;当x>6时,y=6a+c(x-
6),分别把对应的x,y值代入求解可得关系式;(2)当x=8时,代入对应的关系式求值即可.
解:(1)当x≤6时,y=ax;
当x>6时,y=6a+c(x-
6),
由已知,得7.5=5a,① 27=6a+3c,②
由①得a=1.5,把a=1.5代入②得c=6,
所以当x≤6时y=1.5x,当x>6时,y=9+6(x-
6)=6x-
27.
(2)将x=8代入y=6x-
27得y=6×8-
27=21(元).即该户5月份的水费是21元.
3 用图象表示的变量间关系
1.能够从图象中分析变量之间的关系,明确图象上点所表示的意义,会利用图象找到准确的信息.
2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示.
3.培养学生的观察能力,根据对图象预测的能力,分析能力,动手操作能力,发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
能利用图象对所研究的对象过去的情况作一个回顾,对未来的情况作一个预测;领悟数形结合思想,培养学生的观察能力和联想能力.
1.进一步体会数学与现实生活的密切联系,鼓励学生大胆、合理地解释实际情境,为学习数学树立信心,提高兴趣.并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神.
2.让学生体会数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学应用意识.
【重点】 能够从图象中分析变量之间的关系,明确图象上的点所表示的意义,会利用图象找到准确的信息.
【难点】 能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示.
第课时
1.能从图象分析变量之间的关系,找出自变量、因变量,加深对图象表示的理解.
2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示.
3.能够从图象中分析变量之间的关系,明确图象上点所表示的意义,会利用图象找到准确的信息.
1.通过温度随时间变化的实际情境,进一步经历从图象中分析变量之间关系的过程,加深对图象表示的理解.
2.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力.并用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象.
1.让学生体会数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学应用意识.
2.进一步体会数学与现实生活的密切联系,并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神.
【重点】 结合具体情境,能从图象中获取变量之间关系的信息,理解图象上的点所表示的意义.
【难点】 能从图象中获取变量之间关系的信息,并能用语言进行描述.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P69~70,收集生活中常见的图象反映变化过程的例子.
导入一:
[导入语] 同学们都知道有一种禽流感病毒叫做H7N9,被病毒感染后第一特征就是发烧,下面是一位H7N9病人从5月4日6时起的体温记录图.
【问题】 观察图象,你能得到哪些信息 你能回答下面的问题吗
(1)护士每隔 小时给病人量一次体温;
(2)该病人在5月5日0时体温是 摄氏度;
(3)从这位病人的体温记录图上可以看出,这位病人的病情是好转还是恶化
[处理方式] 先由学生讨论得出答案,教师适时进行点拨,向学生明确怎么从图象中获取信息.
归纳总结:由图象可以得出:(1)护士每隔6小时给病人量一次体温;(2)该病人在5月5日0时体温是39.2摄氏度;(3)病情应该是好转了.
[设计意图] 一方面利用大家关心的社会问题创设问题情境,激发学生的学习兴趣,调动学生的积极性与主动性.另一方面学生在七年级上学期已经学习了折线统计图,了解折线统计图的特征,会利用折线统计图解决实际问题,设计这样一个实际问题让学生体会变量之间的关系,为本课时的学习做好铺垫.自然而然地引入课题.
导入二:
结合前面所学知识完成以下各题.
1.给定自变量x与因变量y的关系式:y=-
4x+8,填表:
x
-
1
0
2
3
y
[处理方式] 学生独立完成,小组内互相修正.
x
-
1
0
2
3
y
12
8
0
-
4
2.假设圆柱的高是2
cm,当圆柱的底面半径由小到大变化时:
(1)圆柱的体积如何变化 在这个变化中,自变量、因变量分别是什么
(2)如果圆柱底面半径为r(cm),那么圆柱的体积V可以表示为 .
(3)当r由1
cm变化到10
cm时,V由 变化到 .
[处理方式] 学生合作交流完成.
[设计意图] 通过这个环节的复习,唤醒学生的记忆——前面学习的两种表示变量间关系的方法:表格法和关系式法,为本课时的新知学习做好铺垫.
[过渡语] 生活中我们经常遇到用图象表示两个变量之间关系的问题,本课时我们将系统性研究怎么样从图象中获取信息.
探究活动1 气温的变化
【活动内容】
请你根据下图,与同伴讨论某地某天温度变化的情况.
(1)上午9时的温度是多少 12时呢 (27
℃;31
℃)
(2)这一天的最高温度是多少 是在几时达到的 最低温度呢 (15时最高,是37
℃;3时最低,是23
℃)
(3)这一天的温差是多少 从最低温度到最高温度经过了多长时间 (14
℃;12小时)
(4)在什么时间范围内温度在上升 在什么时间范围内温度在下降 (3时到15时温度在上升;0时到3时、15时到24时温度在下降)
(5)图中的A点表示的是什么 B点呢 (A点表示21时的温度为31
℃,B点表示0时的温度为26
℃)
(6)你能预测次日凌晨1时的温度吗 说说你的理由.(根据图象的变化趋势和前一天凌晨时温度进行预测)
[处理方式] 此环节作为导入新课不易浪费过多时间,教师以引导为主,让学生通过思考、小组讨论,循序渐进地感受到用图象表示变量之间的关系的必要性,让看似简单的数学内容丰富起来.
[设计意图] 让学生去体会温度这个变量和时间这个变量的关系,通过一系列的问题去体会到用图象表示变量之间的关系清晰明了,从而总结出如何用图象表示变量之间的关系.探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用,先独立思考,使学生初步解决问题,再让学生通过小组之间的讨论交流,深化对问题的理解,发展学生合作交流能力、解决问题的能力和有条理的表达能力.
【归纳总结】 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法,它的特点是非常直观.在用图象表示变量之间关系时,通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
探究活动2 骆驼身上的数学
【活动内容】
骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化.下面是骆驼的体温随时间变化的图象,我们根据它来分析变量之间的关系.
(图中25时表示次日凌晨1时)
(1)一天中,骆驼体温的变化范围是什么 它的体温从最低上升到最高需要多少时间
(2)从16时到24时,骆驼的体温下降了多少
(3)在什么时间范围内骆驼的体温在上升 在什么时间范围内骆驼的体温在下降
(4)你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗 其他时刻呢
(5)A点表示的是什么 还有几时的温度与A点所表示的温度相同
(6)你还知道哪些关于骆驼的趣事 与同伴进行交流.
[处理方式] 学生小组内交流,对于学生发现的信息,教师及时予以鼓励.
问题提示:
(1)一天中,骆驼体温的变化范围是35
℃~40
℃,它的体温从最低上升到最高需要12小时.
(2)从16时到24时,骆驼的体温下降了3
℃.
(3)每天4时到16时体温在上升,0时到4时、16时到24时体温在下降.
(4)第二天8时骆驼的体温与第一天8时的体温相同;第二天骆驼的体温与第一天相同时刻的体温相同.
(5)A点表示的是12时的温度;20时的温度还有次日12时和20时的温度与A点所表示的温度相同.
[设计意图] 能够让学生从图象中找到变量并发现变量之间的关系,会利用图象准确回答相关的问题,并清楚图象上的点所表示的内容.
探究活动3 图象表示两个变量之间关系的应用
海水受日月的引力而产生潮汐现象,早晨海水上涨叫做潮,黄昏海水上涨叫做汐,合称潮汐.潮汐与人类的生活有着密切的联系.下面是某港口从0时到12时的水深情况.
(1)大约什么时刻港口的水最深 深度约是多少
(2)大约什么时刻港口的水最浅 深度约是多少
(3)在什么时间范围内,港口水深在增加
(4)在什么时间范围内,港口水深在减少
(5)A,B两点分别表示什么 还有几时水的深度与A点所表示的深度相同
(6)说一说这个港口从0时到12时的水深是怎样变化的.
[处理方式] 学生独立完成并汇报答案,教师公布答案供学生参考:
(1)在凌晨3时港口水最深,深度约为7.5
m.
(2)上午9时港口水最浅,深度约为2.5
m.
(3)在凌晨0时到3时,上午9时到12时,港口的水深在增加.
(4)凌晨3时到上午9时,港口的水深在减少.
(5)A点表示上午6时港口的水深为5
m,B点表示中午12时港口的水深约为4.3
m,0时水的深度与A点所表示的深度相同.
(6)凌晨0时到3时水深在增加;凌晨3时到上午9时水深在降低;上午9时到12时水深又开始增加.
[设计意图] 对本课时所学的内容加以巩固,对利用图象表示变量之间的关系加深理解.让学生感受数学与现实生活的密切联系,增强学生的数学应用意识,养成学会分析问题、解决问题的良好习惯.培养学生思考问题的全面性,提高学生的分析能力.
图象是我们表示变量之间关系的又一种方法.
特点:非常直观.
表示方法:通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量,用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量.
1.如图所示的是护士统计一位甲型H7N9流感疑似病人的体温变化图,这位病人在16时的体温约是
( )
A.37.8
℃
B.38
℃
C.38.7
℃
D.39.1
℃
解析:观察图象知15时~18时该病人的体温从38.5
℃逐渐上升到39.2
℃,而16时接近38.7
℃.故选C.
2.根据生物学研究结果,青春期男女生身高增长速度呈现如下图所示的规律,根据图象回答下列问题:
(1)男生在 岁时身高增长速度最快;
(2) 岁以后女生身高增长的速度总比男生慢.
答案:(1)13 (2)11
3.如图所示,这是某地区初冬某一天的气温随时间变化的图象,根据图象回答,在这一天中:
(1)t= 时,气温最高,最高气温T= ℃;
(2)t= 时,气温最低,最低气温T= ℃;
(3)在 时间段中,气温持续下降;
(4)t= 时,气温达6
℃;
(5)A点表示 .
答案:(1)16 9 (2)4 -
4 (3)16至24时和0至4时 (4)10,22 (5)10时气温达6
℃
第1课时
探究活动1 探究气温的变化
探究活动2 骆驼身上的数学
探究活动3 图象表示两个变量之间关系的应用
一、教材作业
【必做题】
教材第72页习题3.3知识技能第1题.
【选做题】
教材第73页习题3.3问题解决第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而变化,在这一问题中因变量是
( )
A.沙漠
B.体温
C.时间
D.骆驼
2.某市一周平均气温(℃)如图所示,下列说法不正确的是
( )
A.星期二的平均气温最高
B.星期四到星期日天气逐渐转暖
C.这一周最高气温与最低气温相差4
℃
D.星期四的平均气温最低
3.某H7N9疑似病人夜里开始发烧,早晨烧得很厉害,医院及时抢救后体温开始下降,到中午时体温基本正常.但是下午他的体温又开始上升,直到夜里他才感觉到身上不那么发烫,下面能较好地刻画出这位H7N9疑似病人体温变化的图象是
( )
4.心理学家研究发现,在一节45分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化,开始学生的注意力逐渐增强,中间学生的注意力保持稳定的状态,随后开始分散,经实验,学生的注意力指数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示.
(1)一位教师为了达到最好的上课效果,准备课前复习,要求学生的注意力指数至少达到30时,开始上新课,则他应该复习多长时间
(2)如果(1)中的这位教师本节新课内容需要22分钟,为了使学生的听课效果最好,那么这位教师能否在学生听课效果最好时,讲完新课内容
【能力提升】
5.某机动车出发前油箱内有油36
L,行驶若干小时后,途中在加油站加油若干升.油箱中余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)该机动车行驶几小时后加油
(2)中途加油 L.
【拓展探究】
6.图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的关系的图象.
(1)通话1分钟,要付多少电话费 通话5分钟,要付多少电话费
(2)通话多少分钟以内,所支付的电话费不变
(3)如果通话3分钟以上,电话费y(元)与时间t(分钟)的关系式是y=2.5+(t-
3),那么通话4分钟的电话费是多少元
【答案与解析】
1.B(解析:由题意知体温随时间的变化而变化,所以自变量是时间,因变量是体温.故选B.)
2.C(解析:由图象可知最高气温与最低气温相差8
℃.故选C.)
3.C(解析:整个变化过程分为四个阶段,升—降—升—降.故选C.)
4.解:(1)由图可以看出从第5分钟开始注意力指数达到30,所以应该复习5分钟. (2)注意力指数从第5分钟到第28分钟都在30以上,共计23分钟,所以能在学生听课效果最好时讲完新课内容.
5.解:(1)该机动车行驶5
h后加油. (2)中途加油24
L.
6.解:(1)根据图象,可知通话1分钟,要付2.5元电话费,通话5分钟,要付4.5元电话费. (2)根据图象,可知通话3分钟内,所支付的电话费一样多. (3)把t=4代入y=2.5+(t-
3),可得y=3.5.
本课时最大的特点是让学生通过自主探索而获取知识、发展能力.充分体现了学生自主探索的精神,学生在和谐民主的气氛中,提高了自身素质.探究的过程充分交给学生,让学生先自主探索再合作交流,学生参与度高;训练题的设计做到了灵活多变、联系实际,有教师命题,也有学生编题,取得了较好的效果.
习题的广度上还需要继续拓展,达标检测有待细化.
让学生自主收集材料,小组内自己开展活动,课堂容量会更大,学生接受的信息、题型会更广.
随堂练习(教材第70页)
解:(1)凌晨3时,水深7.5
m. (2)上午9时,水深2.4
m. (3)凌晨0时到3时,上午9时到12时. (4)凌晨3时到上午9时. (5)A点表示早晨6时港口的水深为5
m.B点表示中午12时港口的水深为4.3
m,0时水的深度与A点所表示的深度相同. (6)凌晨0时到3时水深在增加;凌晨3时到上午9时水深在降低;上午9时到中午12时水深又开始增加.
习题3.3(教材第72页)
知识技能
1.解:(1)给图中的各点标注字母略.图中从左到右各点分别表示13,14,15,16,17,18,19时水的深度. (2)从13时到16时,水深在逐渐增加;从16时到19时,水深在逐渐减少. (3)大约在13时50分到17时40分之间货轮可以进港.
问题解决
2.解:(1)2
h后,记忆保持量大约为40%. (2)A点表示15
h后,记忆保持量约为35%;在学习后1
h内遗忘的速度最快. (3)如不复习,一天后记忆保持量不足40%.由此认识到学习后只有及时复习,才能避免遗忘.
某城市为了节约用水,采用分段收费标准,某用户居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的关系如图所示,根据图象回答下列问题:
(1)该市自来水收费时,每户用水不足5吨时,每吨收费多少元 超过5吨时,超过的部分每吨收费多少元
(2)若某用户居民某月用水3.5吨,应交水费多少元 若某月交水费17元,该用户用水多少吨
解:(1)由图象可知:当x=5时,y=10,所以用水不足5吨时,每吨交水费2元,
当x=8时,y=20.5,故超过5吨部分每吨交水费=3.5(元).
(2)因为x=3.5<5,所以y=3.5×2=7(元);若交17元水费,则用水5+=7(吨).
[解题策略] 利用图象解决相关问题,要求学生要有较强的读图能力,提取有用信息的能力.此题需要学生看懂前5吨和5吨后的收费标准不一样,正确获取信息是解决本题的关键.
第课时
1.能从图象分析变量之间的关系,加深对图象表示的理解.
2.能对实际情境中所蕴涵的变量之间的关系借助图象表示.
3.经历从图象中分析变量之间关系的过程,进一步体会变量之间的关系,结合具体情境,理解图象上的点所表示的意义.
1.通过速度随时间变化的实际情境,进一步经历从图象中分析变量之间关系的过程,加深对图象表示的理解.
2.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力,并用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象.
1.让学生体会数学与实际生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣,培养学生的数学应用意识.
2.进一步体会数学与现实生活的密切联系,并在学习新知识的过程中培养学生团结协作的精神.
【重点】 从图中分析变量之间的关系,同时获取相关信息并能用语言进行描述.
【难点】 能借助图象表示实际情境中所蕴涵的变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P73~74.
导入一:
【活动内容1】
问题1
我们已经学习了哪几种表示变量之间关系的方法
问题2
某种西瓜子每千克10元,小明购买西瓜子的总价y(元)与购买的质量x(千克)之间有什么关系
(1)用表格的形式表示总价y与质量x的关系:
质量x(千克)
0.5
1
2
3
…
总价y(元)
15
25
…
(2)试写出y与x的关系式: .
(3)在下面的图象中选出一个能够正确表示总价y与质量x的关系的图象是
( )
[处理方式] 三种表示变量之间关系的方法可让学生快速口答,然后学生独立完成问题2中的三个题目,教师出示答案,及时纠正.
[设计意图] 让学生通过表格、关系式、图象三种方法来表示西瓜子的总价y与购买的质量x之间的关系,旨在复习三种表示变量间关系的方法,并初步感受三种方法的优越性,为本节课的学习做好铺垫.
【活动内容2】
恰值清明假期,小强一家前去踏春,兴之所至,小强用学过的变量的知识绘了一幅图(如下)来表示他们当天的行程.其中横轴表示当时的时刻t(时间),纵轴表示他们与家的距离s(千米).
【问题】 同学们,你能想象出他们一天的活动情境吗
[设计意图] 培养学生从图象中获取信息的能力,又锻炼了学生的语言表达能力.
导入二:
[过渡语] 到目前为止,我们已经学习了用哪些方法来表示变量之间的关系 能否用所学知识解决以下几个问题
问题1
下表所列为一商店薄利多销的情况,某种商品的原价为450元,随着降价的幅度变化,日销量(单位:件)随之发生变化:
降价/元
5
10
15
20
25
30
30
日销量/件
718
787
845
895
937
973
1000
在这个表中反映了 和 两个变量之间的关系, 是自变量, 是因变量.
问题2
某出租车每小时耗油5升,若t小时耗油q升,则自变量是 ,因变量是 ,q与t的关系式是 .
问题3
汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的.下面的图象分别表示一辆汽车速度变化的情况.
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系 自变量、因变量分别是什么
(2)你能从图中获得哪些信息
(3)请用自己的语言描述这辆汽车的行驶情况.
[处理方式] 学生回答所学过的三种表示变量关系的方法,问题1,2由学生口答,教师适时提醒自变量和因变量的特点.问题3先让学生找到自变量和因变量,师引导学生分析“下降的线”“水平的线”“上升的线”分别代表什么含义.
类比后板书总结:在行程问题中,“上升的线”表示因变量随自变量取值的增加而增加;“下降的线”表示因变量随自变量取值的增加而减小;“水平的线”表示因变量随自变量取值的增大而保持不变.
[设计意图] 温故而知新,帮助学生巩固所学知识.通过学生对简单图象的描述,让学生再次练习识图能力,感受因变量随自变量的变化而变化的关系,并初步理解“上升的线”“下降的线”“水平的线”分别代表的含义.
[过渡语] 在观察图象表示的变量之间关系的时候,首先要找到自变量和因变量,结合实际问题弄清楚在问题中表示的实际意义,避免出错.
探究活动1 从图象到实际问题
汽车在行驶的过程中,速度往往是变化的,下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况.
【问题】
(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间 它的最高时速是多少
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶 时速分别是多少
(3)出发后8分到10分之间可能发生了什么情况 尝试给出一个合理的解释,并与同伴交流.
(4)哪一段时间速度变化得最快 哪一段时间速度变化得最慢
(5)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
[处理方式] 让学生先独立解决,再合作交流.教师设计提示问题引导学生分析图象:
(1)“下降的线”“水平的线”“上升的线”分别表示什么意义
(2)图中共出现了几次水平的线 它们表示的速度分别是多少
(3)两条“上升的线”上升程度一样吗
在讨论问题(4)的时候让学生分别找到速度变化的时间和变化的数值,进而解决问题.
答案预设:
(1)汽车从出发到最后停止共经过了24分,它的最高时速是90千米/时.
(2)在2分到6分,18分到22分之间汽车匀速行驶,速度分别是30千米/时和90千米/时.
(3)汽车处于静止状态,可能遇到了红绿灯.(此处学生也有回答抛锚了,也有回答买东西等等,只要合理都给予肯定)
(4)汽车在大约22分到24分速度变化最快,在大约10分到18分速度变化最慢.
(5)一辆汽车出发开始2分钟速度越来越快,然后匀速行驶了4分钟,快到十字路口时遇见红灯,停了下来.绿灯亮后汽车逐渐加速,大约8分钟后,汽车保持匀速行驶了4分钟,快到目的地时减速,慢慢停了下来.
探究活动2 根据情境选择对应的图象.
小华同学接到通知,她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文章,录入一段时间后因事暂停,过了一会儿,小华继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x,录入字数为y.
【问题】 下面哪个图能大致反映y与x的关系 说说你的理由.
[处理方式] 留给学生充足的时间审题、眀意,小组讨论,推选代表展示.
[设计意图] 根据实际情境选择对应的图象是中考比较常见的题型,本环节设置让学生了解本节课知识在中考中呈现的方式,培养学生有目的有意识的识图,进而解决问题.
探究活动3 图象表示变量关系应用
某种油箱容量为60升的汽车,加满汽油后,汽车行驶时油箱的油量Q(升)随汽车行驶时间t(时)变化的关系式为Q=60-
6t.
(1)请完成下表:
汽车行驶时间t/小时
0
1
2
4
6
油箱的油量Q/升
60
(2)汽车行驶5小时后,油箱中油量是 升;
(3)若汽车行驶中油箱油量为12升,则汽车行驶了 小时;
(4)下面能够反映此变化过程中Q与t的关系的图象是 .(填序号)
[处理方式] 学生根据变量之间的信息,组内互相交流协商,教师给予适当帮助,小组选派代表讲解,最终对研究的问题进行决策.
[设计意图] 汽车行驶时油箱的油量随汽车行驶时间变化的关系用关系式、表格、图象来表示,让学生通过具体的事例,亲身体会三种表示方法的优缺点,在比较中培养学生选择最适当方式来表示实际情境中变量间关系的能力.
[知识拓展] 在应用“路程——时间”和“速度——时间”这两种类型图象时,一定要区分横轴和纵轴所表示的具体意义,不要混用.
“s-
t”型图象:这种类型的图象是s随t的变化而变化,如图(1)所示:
①表示物体匀速运动;②表示物体停止运动;③表示物体反向运动直至回到原地.
“v-
t”型图象:这种类型的图象是v随t的变化而变化,如图(2)所示:
①表示物体从静止开始加速运动;②表示物体匀速运动;③表示物体减速运动到停止.
三种表示两个变量间关系的方法比较.
优点
缺点
表格法
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势
变量的取值个数有限,估计时比较粗略
关系式
准确反映两个变量间的数量关系;已知一个变量的值,可以求出另一个变量的值
变量间的对应关系不太直观
图象法
能够直观地看出因变量随自变量变化的情况
变量间的对应关系不准确
1.夏天到了,某小区准备开放游泳池,物业管理处安排一名清洁工对一个无水的游泳池进行清洗.该工人先只打开一个进水管,蓄了少量水后关闭进水管并立即进行清洗,一段时间后,再同时打开两个出水管将池内的水放完,随后将两个出水管关闭,并同时打开两个进水管将水蓄满.已知每个进水管的进水速度与每个出水管的出水速度相同.从工人最先打开一个进水管开始,所用的时间为x,游泳池内的蓄水量为y,则下列各图中能够反映y与x的关系的大致图象是
( )
解析:整个变化过程分为四个阶段,蓄水、清洗、放水、蓄水,清洗时蓄水量不变,并且第二次蓄水比第一次蓄水速度要快.故选C.
2.小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会儿报后,继续散步了一段时间,然后回家.如图所示,描述了小明在散步过程中离家的距离s(米)与散步所用的时间t(分)之间的关系.根据图象,下列信息错误的是
( )
A.小明看报用时8分钟
B.公共阅报栏距小明家200米
C.小明离家最远的距离为400米
D.小明从出发到回家共用时16分钟
解析:小明看报时间是从第4分钟到第8分钟,应该是4分钟.故选A.
3.下面图象反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一段时间后,又走到文具店去买笔,然后散步回家,其中x(分)表示时间,y(千米)表示张强离家距离.
(1)体育场离张强家多远 张强从家到体育场用了多少时间
(2)体育场离文具店多远
(3)张强在文具店逗留了多少时间
(4)张强从文具店回家的平均速度是多少
解:(1)2.5千米,15分钟.
(2)2.5-
1.5=1(千米).
(3)65-
45=20(分).
(4)1.5÷(100-
65)=(千米/分).
第2课时
探究活动1 从图象到实际问题
探究活动2 根据情境选择对应的图象
探究活动3 图象表示变量关系应用
一、教材作业
【必做题】
教材第74页习题3.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第75页习题3.4数学理解第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一辆在高速公路上以150千米/时的速度匀速行驶的汽车,下列图象能大致刻画汽车的速度与时间的关系的是
( )
2.2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行.童童从家出发前往观看,先匀速步行至轻轨车站,等了一会儿,童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出,演出结束后,童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家.其中x表示童童从家出发后所用时间,y表示童童离家的距离.能反映y与x的关系的大致图象是图中的
( )
3.某同学从第一中学走回家,在路上他碰到两个同学,于是在文化宫玩了一会儿,然后再回家,下图中能较好地刻画出这位同学离家所剩的路程与时间的变化情况的是
( )
4.李明骑车上学,一开始以某一速度匀速行进,途中车子发生故障,只好停下来修车,车修好后,因怕耽误上学时间,于是加快速度行驶,在下面给出的示意图中(s为离家的距离,t为时间)符合以上情况的是
( )
【能力提升】
5.如图所示,射线甲、乙分别表示甲、乙两车所走路程s与时间t的关系图象,则两车速度的关系是
( )
A.甲比乙快
B.乙比甲快
C.甲、乙同速
D.不能判断
6.水滴进的玻璃容器如图所示(水滴的速度是相同的),那么水的高度是如何随着时间变化的 请选择匹配的示意图与容器.
【拓展探究】
7.某人骑车外出,所行的路程s(千米)与时间t(小时)的关系如图所示.
(1)有人说“3小时后已停止前进”,有人说“3小时后保持匀速前进”,哪个说法对
(2)第1个小时的速度与第3个小时的速度哪个快,你是如何看出的
【答案与解析】
1.C
2.A
3.B
4.D(解析:整个过程分为3段,中间修车在图象上是平行于x轴的一条线段.)
5.B(解析:由图象可知乙在单位时间内走的路程比甲要多.)
6.A—(3) B—(2) C—(1)
7.解:(1)3小时后已停止前进. (2)第1个小时的速度快,因为单位时间内走的路程多.
通过小组合作学习及课堂展示,为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解及思维的误区,以便指导今后的教学.
在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度.
随堂练习(教材第74页)
1.解:柿子在落地前下降的速度应该越来越快,因此正确的答案是(3).
2.(2)
习题3.4(教材第74页)
知识技能
1.解:表格从左往右依次填0,30,30,30,0,0,22.5,45,67.5,90,90,90,0.
2.解:第(3)幅能较好地刻画出亮亮今天体温的变化情况.
数学理解
3.解:开始是加速行驶,即速度越来越快;然后匀速行驶,即速度不变;最后减速行驶至速度为0,即停止.
4.解:第(3)幅图.
复习题(教材第76页)
知识技能
1.解:(1)表示日期与日平均温度之间的关系;日期是自变量,日平均温度是因变量. (2)11日的日平均温度最低,约是28
℃;12日的日平均温度最高,约是36
℃. (3)14,15,16日的日平均温度相同,约是35
℃. (4)点A表示13日的日平均温度,约是33
℃. (5)11日到12日升高,12日到13日略有降低,13日到14日升高约2
℃,14,15,16日持平,16日到17日下降约5
℃.
2.解:如下表所示.
月龄/月
1
2
3
4
5
6
体重/g
4200
4900
5600
6300
7000
7700
3.解:(1)反映的是年份与CO2释放量之间的关系.
(2)每隔10年,全球CO2的释放量都在增加.(答案不唯一)
数学理解
4.解:(1)C. (2)D. (3)A. (4)B.
5.解:在10岁之前男孩的平均身高略高于女孩;在10岁~14岁女孩的平均身高略高于男孩;在14岁之后男孩的平均身高明显高于女孩,且差距越来越大.
6.解:(1)反映了时间与速度之间的关系. (2)点A表示行驶3分钟时,速度为40
km/h;点B表示行驶到15分钟时,速度为0,即停止. (3)0分钟~3分钟速度越来越快;3分钟~6分钟速度不变;6分钟~7.5分钟速度在不断增加;7.5分钟~9分钟速度不变;9分钟~10.5分钟速度不断减小;10.5分钟~12分钟速度不变;12分钟~15分钟速度在不断减小,一直到0. (4)略.答案不唯一,合理即可.
7.解:(1)如下表所示.
时间/s
5
10
15
20
25
30
读数/℃
49.0
31.4
22.0
16.5
14.2
12.0
(2)比12.0
℃略低一点,但不会低于9.8
℃.
问题解决
10.解:(1)经过1
h,甲容器中的水温较高. (2)实验时的室温可能是20
℃. (3)甲容器的保温性能更好些.因为甲容器内的水的温度下降得较慢.
联系拓广
11.解:2
h内平均速度为=15(km/h),3
h内平均速度为=10(km/h),6
h内平均速度为=(km/h).
12.解:(1)表格从左往右依次填101.2,90.7,80.0,70.7,61.3,53.9,47.2,41.3,36.0. (2)随着海拔高度的增加,大气压强逐渐变小.
“龟兔首次赛跑”之后,输了比赛的兔子没有气馁,总结反思后,和乌龟约定再赛一场.如图所示的图象刻画了“龟兔再次赛跑”的情况(x表示乌龟从起点出发所行的时间,y1表示乌龟所行的路程,y2表示兔子所行的路程).有下列说法:①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米;②兔子和乌龟同时从起点出发;③乌龟在途中休息了10分钟;④兔子最终赢得了比赛.其中正确的说法是 .(把你认为正确说法的序号都填上)
〔解析〕 根据图象判断出路程和起止时间,再根据乌龟中途有路程不变的情况判断出休息时间,由最后到达终点的时间判断出兔子先到达终点.由图可知“龟兔再次赛跑”的路程为1000米,故①正确;乌龟出发40分钟后兔子出发,故②错误;③乌龟在中途休息了40-
30=10(分钟),故③正确;④兔子在第50分钟到达终点,乌龟在第60分钟到达终点,所以兔子赢得了比赛,故④正确.综上所述,正确的说法是①③④.故填①③④.
[解题策略] 能从图象中获取信息是解决本题的关键,在识别图象表示的变量之间的关系时,要注意横、纵轴所表示的实际意义,确定自变量和因变量.
1.通过本章学习会探索具体情境中两个变量之间的关系,进一步发展符号感和抽象思维.能发现实际情境中的变量及其相互关系,并确定其中的自变量和因变量.
2.能从表格、关系式、图象中分析出某些变量之间的关系,并能用自己的语言进行表述,发展有条理地进行思考和表达的能力,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.
3.能从运动变化的角度解释生活中的数学现象,体验成就感,获得学习的快乐,发展对数学更高层次的认识.
通过知识的整合复习,提升对生活中变量数学模型的认识,提升分析问题和解决问题的能力.
培养学生观察生活、从生活中提取数学信息的意识.培养学生在探究问题过程中的合作精神.
【重点】 能从表格、图象中分析变量之间的关系,发展有条理地进行思考和表达的能力.
【难点】 运用表示变量之间关系的方法分析变量之间的关系,分析问题、解决问题,进行预测.
专题一 自变量和因变量
【专题分析】
在客观世界中存在着许多“成对”的变量,其中一个量随着另一个量的变化而变化,我们把主动变化的量叫做自变量,另一个量称为因变量.表示自变量与因变量之间关系的方法有三种:表格、关系式和图象.本章作为今后学习函数的基础和起点,在中考中多是间接关联考查.
△ABC的底边BC=8
cm,当BC边上的高AD从小到大变化时,△ABC的面积也随之变化.
(1)在这个变化过程中,自变量和因变量各是什么
(2)△ABC的面积y(cm2)与高x(cm)的关系式是什么
(3)用表格表示当x由5
cm变到15
cm时(每次增加2
cm),y的相应值;
(4)当x每增加2
cm时,y如何变化
〔解析〕 (1)△ABC的面积随高的变化而变化,因而高是自变量,△ABC的面积是因变量.(2)根据三角形的面积公式就可以得到.(3)已知x的值就可以求出相应的y的值,进而得到图表.(4)根据图表就可以得到当x每增加2
cm时,y的变化情况.
解:(1)在这个变化过程中,BC边上的高AD是自变量,△ABC的面积是因变量.
(2)y=·BC·x=×8·x=4x,即y与x之间的关系式是y=4x.
(3)列表格如下:
x/cm
5
7
9
11
13
15
y/cm2
20
28
36
44
52
60
(4)由(3)可看出,当x每增加2
cm时,y增加8
cm2.
[解题策略] 利用三角形的面积公式S=ah,可找出问题的突破口,体会高与面积之间的变化关系,几种表示变量关系的方法要学会灵活应用.
【针对训练1】 一个长方体的底面是一个边长为10
cm的正方形,它的高变化时,长方体的体积也随之变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是 ,因变量是 ;
(2)若长方体的高为h(cm),则长方体的体积V(cm3)与h的关系式为 ;
(3)当高由1
cm变化到8
cm时,长方体的体积由 cm3变化到 cm3.
〔答案〕 (1)长方体的高 长方体的体积 (2)V=100h (3)100 800
专题二 用表格表示的变量间关系
【专题分析】
依据表格提取数学信息是中考中经常出现的一种命题方式.在现实生活中经常用表格整理实验得出的数据,我们能从表格中获得变量之间关系的信息,必要时可以从自变量和因变量两个方面分别观察数据,寻找出自变量和因变量存在的关系,并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测,这是解决这类问题的关键.
一名同学在用弹簧做实验,在弹簧上挂上不同质量的物体后,弹簧的长度就会发生变化,实验数据如下表:
所挂物体的质量/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)弹簧不挂物体时的长度是多少 如果用x表示弹性限度内物体的质量,用y表示弹簧的长度,那么随着x的变化,y的变化趋势如何
(3)如果此弹簧最大挂重量为15
kg,你能预测当挂重为10
kg时,弹簧的长度是多少吗
解:(1)所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量.
(2)弹簧不挂物体时长度是12
cm,随着x的增大y的值逐渐增大.
(3)弹簧所挂质量每增加1
kg,弹簧的长度增加0.5
cm,所以当挂重为10
kg时,弹簧长度为17
cm.
【针对训练2】 果子成熟从树上落到地面,它落下的高度与经过的时间有如下的关系:
时间t/秒
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
…
高度h/米
5×0.25
5×0.36
5×0.49
5×0.64
5×0.81
5×1
…
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)请你列出果子落下的高度h(米)与时间t(秒)之间的关系式;
(3)如果果子经过2秒落到地上,那么请估计果子开始落下时离地面的高度是多少米.
解:(1)两个变量是时间和高度,其中时间是自变量,高度是因变量.
(2)h=5t2.
(3)果子开始落下时离地面的高度是20米.
专题三 用关系式表示的变量间关系
【专题分析】
用关系式表示的变量间关系经常是根据题目中的已知条件和两个变量之间的关系,利用公式、变化规律或者数量关系得到等式,在关系式中自变量和因变量的值是一一对应的,经常需要用到代数式求值解决问题.中考命题中经常考查反映变量关系的关系式,除了通过观察直接写出外,有的需要根据一定的条件计算后求得.
一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时,行驶的路程为s千米.
(1)上述哪些量在变化 自变量是什么 因变量是什么
(2)写出s与t之间的关系式;
(3)求该汽车行驶3.5小时的路程;
(4)一段公路全长350千米,这辆汽车行驶完全程需要多少小时
解:(1)时间t和路程s在变化,其中时间t是自变量,路程s是因变量.
(2)s=50t.
(3)当t=3.5时,s=50×3.5=175(千米).
(4)当s=350时,t=350÷50=7(小时).
【针对训练3】 东风商场文具部的某种毛笔每支售价为25元,书法练习本每本售价为5元.该商场为了促销制定了两种优惠方法,甲:买一支毛笔就赠送一本书法练习本;乙:按购买金额打九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支,书法练习本x(x>10)本.
(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式;
(2)购买同样多的书法练习本时,按哪种优惠方法付款更省钱
解:(1)y甲=25×10+5(x-
10)=5x+200.
y乙=(25×10+5x)×0.9=4.5x+225.
(2)当y甲=y乙时,即5x+200=4.5x+225,
解得x=50.
当x>50时,乙种更优惠;当x=50时,甲、乙相同;当x<50时,甲种更优惠.
专题四 用图象表示的变量间关系
【专题分析】
用图象表示的变量间关系比较直观,能很好地看出变化趋势,注意在图象中探索变量之间的关系的方法,明确横轴和纵轴各表示什么,单位也要注意.对于一个图中有多个图象的情况,还要注意图象右上角的标注.本专题是历年中考的常考点,多数是以解答题的方式出现.
小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书,下图反映了她们两人离开学校的距离与时间的关系.根据图象尝试解决提出的问题.
(1)小红与小兰谁先出发 谁先到达
(2)描述小兰离学校的距离与时间的变化关系;
(3)小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度分别是多少
(4)小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少
〔解析〕 这是一个s-
t图象,s表示离开学校的距离,t表示时间,由图象可以得出,小红和小兰不是同时出发,小红晚出发10分钟,中间没有停歇,50分钟后到达目的地;小兰先出发10分钟,20分钟后停歇30分钟,和小红同时到达目的地.
解:(1)小兰先出发,同时到达.
(2)前20分钟,随时间推移,离学校距离增大;20~50分钟,离学校距离不变;50~60分钟,随时间推移,离学校距离增大.
(3)前20分钟:2÷=6(千米/时);后10分钟:(5-
2)÷=18(千米/时).
(4)小红平均速度:5÷=6(千米/时);小兰平均速度:5÷1=5(千米/时).
【针对训练4】 某人驾车从A地上高速公路前往B地,中途在服务区休息了一段时间.出发时油箱中存油40升,到B地后发现油箱中还剩油4升,则表示出发后到B地油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间关系的大致图象是
( )
〔解析〕 从A地上高速公路到中途在服务区,油箱中所剩油逐渐减少,在服务区休息的这段时间,油箱中所剩油不变,从服务区到B地油箱中所剩油逐渐减少到4升,结合图象的意义,只有C符合要求.故选C.
专题五 数形结合思想
【专题分析】
数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,把数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决的一种数学思想.
如图所示,点P是等边三角形ABC的边上的一个做匀速运动的动点,其由点A开始沿AB边运动到B,再沿BC边运动到C为止,设运动时间为t,△ACP的面积为S,则表示S与t的关系的大致图象是
( )
〔解析〕 从动点的运动情况可知△ACP的面积逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小,顾可排除B,△ABC为等边三角形,点P做匀速运动,可得S与t之间的关系的大致图象是C.故选C.
[解题策略] 解决此类问题,注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段的变化情况,进而综合分析整体的变化情况.
【针对训练5】 向高为10
cm的容器中注水,注满为止,若注水量V(cm3)与水深h(cm)之间的关系的图象大致如右图所示,则这个容器是下列四个图中的
( )
〔解析〕 根据图象,可知注水量V(cm3)与水深h(cm)之间的关系是注水量V随着h的增大,增加的速度逐渐减慢,从容器中可以看出B符合.故选B.
【针对训练6】 如图①所示,底面积为30
cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”,现向容器中匀速注水,注满为止,在注水过程中,水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示.
试根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)圆柱形容器的高为 cm,匀速注水的水流速度为 cm3/s;
(2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15
cm2,则图②中a的值为 ;
(3)在(2)的条件下,“几何体”上方圆柱的高为 cm,底面积为 cm2.
〔解析〕 (1)根据图象得到圆柱形容器的高为14
cm,两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为11
cm,水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了42-
24=18(s),这段高度为14-
11=3(cm),设匀速注水的水流速度为x
cm3/s,则18·x=30·3,解得x=5,即匀速注水的水流速度为5
cm3/s.(2)“几何体”下方圆柱的高为a
cm,则a·(30-
15)=18·5,解得a=6.(3)由a=6可得“几何体”上方圆柱的高为11-
6=5(cm),设“几何体”上方圆柱的底面积为S
cm2,根据题意得5·(30-
S)=5·(24-
18),解得S=24,即“几何体”上方圆柱的底面积为24
cm2.
〔答案〕 (1)14 5 (2)6 (3)5 24
本章质量评估(时间:90分钟 满分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系:
x
0
1
2
3
4
5
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
下列说法不正确的是
( )
A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量
B.弹簧不挂重物时的长度为0
cm
C.物体质量每增加1
kg,弹簧长度y增加0.5
cm
D.所挂物体质量为7
kg时,弹簧长度为13.5
cm
2.某市大部分地区今年5月中下旬的天气情况是:前5天小雨,后5天暴雨.那么能反映该市主要河流水位变化情况的图象大致是
( )
3.打开某洗衣机开关,在洗涤衣服时(洗衣机内无水),洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间满足某种关系,其关系图象大致为
( )
4.小王利用计算机设计了一个程序,输入和输出的数据如下表:
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
那么,当输入数据8时,输出的数据是
( )
A.
B.
C.
D.
5.你一定知道乌鸦喝水的故事吧!一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水.但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x,瓶中水面的高度为y,下面能大致表示上面故事情节的图象是
( )
6.小颖从家出发,直走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用15分钟返回到家,下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是
( )
7.为了增强抗旱能力,保证今年夏粮丰收,某村新修建了一个蓄水池,这个蓄水池安装了两个进水管和一个出水管(两个进水管的进水速度相同)一个进水管和一个出水管的进出水速度如图(1)所示,某天0点到6点(至少打开一个水管),该蓄水池的蓄水量如图(2)所示,并给出以下三个论断:①0点到1点不进水,只出水;②1点到4点不进水,不出水;③4点到6点只进水,不出水.则一定正确的论断是
( )
A.①③
B.②③
C.③
D.①②
8.如图所示的是水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变),下列图象能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间的关系的是
( )
9.甲、乙两同学从A地出发,骑自行车在同一条公路上行
