(共9张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
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检测反馈
1
认识三角形（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
1.下图中有几个三角形 将找到的三角形表示出来.
2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
观察图中的五个三角形并测量,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
(1)(4)(5)的三边都不相等.(2)有两边相等的是等腰三角形.(3)三边都相等的是等边三角形.
等腰三角形、等边三角形的定义.等边三角形也叫正三角形.等腰三角形的边与角都有特定的名称,相等的两边叫腰,不等的边叫底.腰和底的夹角叫底角,两腰的夹角叫顶角.
认识等腰三角形和等边三角形
三角形按边共分两大类.
等腰三角形与普通三角形;等腰三角形里分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.
三角形按边分类：
三角形三边之间的关系
【情境探究】
(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢 说明你的理由.
C
A
B
(2)利用你得到的结论填空:
AB+AC BC.
AB+BC AC.
AC+BC AB.
(3)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么
结论:三角形任意两边之和大于第三边.
1.等腰三角形的两个底角相等,等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60°.
2.三角形两边之和大于第三条边可以根据“连接两点的所有线中,线段最短”得出.这里的“两边”泛指三角形的任意两边.
[知识拓展]
有两根长度分别为5
cm和8
cm的木棒,用长度为2
cm的木棒与它们能摆成三角形吗 为什么 长度为13
cm的木棒呢
取长度为13
cm的木棒时,由于8+5=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
解:取长度为2
cm的木棒时,由于2+5=7,小于8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.
检测反馈
1.下列长度的三条线段,不能构成三角形的是
( )
A.3
cm,8
cm,4
cm
B.4
cm,9
cm,6
cm
C.15
cm,20
cm,8
cm
D.9
cm,15
cm,8
cm
解析:由三角形的三条边的关系可知,3+4=7,小于8,不符合题意,故选项A不能构成三角形.故选A.
A
2.现有四根木棒,长度分别为4
cm,6
cm,8
cm,10
cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:共有4种方案:①取4
cm,6
cm,8
cm,能构成三角形;②取4
cm,8
cm,10
cm,能构成三角形;③取4
cm,6
cm,10
cm,不能构成三角形,此种情况不成立;④取6
cm,8
cm,10
cm,能构成三角形.所以有3种方案符合要求.故选C.
C
3.若等腰三角形一边长为7
cm,另一边长为5
cm,则第三边长为
.
解析:若腰长为7
cm,另一边长为5
cm,7+5=12,大于7,则第三边长为7
cm;若腰长为5
cm,另一边长为7
cm,5+5=10,大于7,则第三边长为5
cm.故填7
cm或5
cm.
7
cm或5
cm
解:(1)因为7+5=12,12大于11,所以能摆成三角形. (2)因为5+4=9,9大于8,所以能摆成三角形. (3)因为4+3=7,7=7,所以不能摆成三角形.
4.下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗
(1)7
cm,5
cm,11
cm;
(2)5
cm,8
cm,4
cm;
(3)4
cm,3
cm,7
cm.
解析:只要满足两条较短线段之和大于最长边就能构成三角形.(共14张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
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3
探索三角形全等的条件（第1课时）
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问题思考
小明家新买了房子,他爸爸想装一面三角形的玻璃
,木工师傅打好了框架,爸爸要去玻璃店裁一片玻璃
,就问小明:“你已经是七年级的学生了,你能用最简单的办法去裁一面这样的三角形的玻璃吗 ”小明仔细想了想,就对爸爸说出了他的想法.爸爸说他回答得很好,聪明的你知道小明是怎么说的吗
三角形全等的条件
【活动内容1】
若只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗
一画:按照下面给出的一个条件各画出一个三角形.
(1)三角形的一条边长是3
cm;
(2)三角形的一个角为45°.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.
三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.
1.只给定一条边画三角形时,不一定全等.画出一边长为3
cm的三角形,但是都不全等.
2.只给定一个角画三角形时,不一定全等.画出一个角是45°的三角形,也不全等.
结论:只给出一个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.
【活动内容2】 如果给出两个条件,画出的三角形是否全等
【问题】 给出两个条件,请同学们讨论,画出的三角形有几种情况？
有三种情况,已知一边一角、两边或两角.
一画:
(1)三角形的一个内角为30°,一条边为3
cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°;
(3)三角形的两条边分别为4
cm,6
cm.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.
三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.
结果展示:
(1)画出的三角形几乎都不一样.
(2)画出的三角形的两个内角分别是30°和50°,画的三角形形状一样,但大小不一样.
(3)画出的三角形的两边分别为4
cm,6
cm,所画出的三角形也不全等.
归纳:只给出两个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.
【活动内容3】 如果给出三个条件,画出的三角形是否全等.
【问题】 我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.那么给出三个条件时,又会怎样呢 有几种情况
四种可能“三个角、三条边、两角一边、两边一角”.
【问题】 已知一个三角形的三个内角分别是40°,60°,80°,画出这个三角形,与同伴比较是否全等.
画法指导:
1.用刻度尺画线段AB=7
cm.
2.以A为圆心,4
cm为半径作弧.
3.以B为圆心,5
cm为半径作弧,与前弧交于点C.
4.连接AC,BC.
三角形ABC就是所求.
三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”
在△ABC和△A'B'C'中,
所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等 试说明理由.
解:△ABC≌△DCB.
理由:在△ABC和△DCB中,
因为AB=CD,AC=BD,BC=BC,
所以△ABC≌△DCB.
【跟踪练习】
如图所示,D,F是线段BC上的两点,AB=EC,AF=ED,要使△ABF≌△ECD,还需要条件
.
BF=CD或者BD=CF.
三角形稳定性的认识
1.准备若干长度适中的小木条,用其中三根木条钉成一个三角形的框架,它的形状和大小是固定的吗 如果用四根小木条钉成的框架形状和大小固定吗
2.你能用所学知识解释三角形的稳定性吗
3.你能举几个应用三角形稳定性的例子吗
[知识拓展] 利用判定方法1(SSS)时,要注意必须满足三边对应相等时,两个三角形全等,只有一边或两边对应相等的两个三角形不一定全等.
由三条边对应相等的两个三角形全等可知,只有三条边的长度确定了,这两个三角形的大小和形状就确定了,这就是三角形的稳定性,三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的运用.
检测反馈
1.如图所示,已知AD=BC,要使△ABC与△BAD全等,需添加什么条件 请说明理由.
解:添加AC=BD,
因为在△ABC和△BAD中,
所以△ABC≌△BAD(SSS).
2.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的点,BE=DE.试判断:
(1)图中哪些三角形全等 请说明理由;
(2)图中哪些角相等
(2)相等的角有:∠BAE=∠DAE,∠ABE=∠ADE,
∠AEB=∠AED,∠BCE=∠DCE,∠BEC=∠DEC,∠EBC=∠EDC,∠ADC=∠ABC.
解:(1)因为AD=AB,DC=BC,AC=AC,所以△ADC和△ABC全等,因为AD=AB,DE=BE,AE=AE,所以△ADE和△ABE全等,同理△CDE和△CBE全等.
3.如图所示,当AB=CD,BC=DA时,图中的△ABC与△CDA是否全等 并说明理由.
解:△ABC≌△CDA.
理由如下:在△ABC和△CDA中,
因为
所以△ABC≌△CDA(SSS).
4.如图所示,已知线段AB,CD相交于点O,AD,CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明∠A=∠C.
解:连接OE,如图所示,
在△EAO和△ECO中,
所以△EAO≌△ECO(SSS).
所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等).(共10张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
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1
认识三角形（第1课时）
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问题思考
同学们喜欢看美丽的图画吗 下面请同学们欣赏几幅优美的画面,找一找这几幅图中有什么共同点.
观察下面屋顶的结构:
出示问题:
(1)你能从左图中找出4个不同的三角形吗 与你的同伴交流各自找到的三角形.
(2)这些三角形有什么共同的特点
归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)
不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形可以用符号“△”表示,顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC.有时△ABC的三边也用a,b,c表示.顶点A所对的边BC用a表示,边AC,边AB分别用b,c表示.
认识三角形及其基本要素
【即时训练】
根据右图填空:
(1)图中共有 个三角形,它们是 ;
(2)以AD为边的三角形有 ;
(3)在△ABD,△ABE,△ABC中∠B的对边分别是 .
请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说的有道理.
三角形蓝和三角形红见面了.
蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”
红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”
同学们,它们谁说的有道理
在小学的时候我们用量角器量三角形的各角度数和用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和是180°”的结论.现在,我们只撕下三角形的一个角,同样可以得到一样的结论,看看小明的做法,你能说出其中的道理吗
(3)如图(3)所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b所夹的角为∠4,∠3与∠4有什么大小关系 为什么 现在你能够确定三角形的内角和了吗
(1)剪一个三角形纸片,如图(1),它的三个内角分别为∠1,∠2,∠3.
(2)将∠1撕下,按图(2)所示进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合,此时∠1的另一条边b与∠3的边a平行吗 为什么
在图(3)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行同位角相等可知∠3=∠4,因为∠2,∠1,∠4组成一个平角,所以∠2+∠1+∠4=180°,由于三角形的三个角分别与∠2,∠1,∠4相等,所以可以得到三角形的内角和等于180°.
在图(2)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行,同旁内角互补可知∠2+∠1+∠3=180°,所以可以得到三角形的内角和等于180°.
结论:三角形三个内角的和等于180°.
过A点作EF∥BC,根据两直线平行内错角相等知∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠3=180°,所以∠BAC+∠B+∠C=180°.
三角形分类
图（1）
观察图(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角 男孩呢 试着说说理由.
图(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角 将所得的结果与图(1)的结果进行比较.
三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
如图所示.
通常我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.根据三角形的内角和等于180°,可知∠A+∠B+∠C=180°,又因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,由此可知直角三角形的两个锐角互余.
[知识拓展] 在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角三角形都有锐角.直角三角形两个锐角互余.
检测反馈
解析:共有6个,分别为△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.故选D.
1.如图所示,三角形的个数是
( )
A.3
B.4
C.2
D.6
D
2.如图所示,以∠C为内角的三角形有 和 ,在这两个三角形中,∠C的对边分别为 和 .
AB
△ACD
△ACB
AD
4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=20°,则△ABC是
三角形.
3.直角三角形的一个锐角为70°,另一个锐角为 .
解析:根据直角三角形两锐角互余得到另一锐角为20°.故填20°.
20°
锐角等腰(共11张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
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4
用尺规作三角形
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新
知
问题思考
我们把用没有刻度的直尺和圆规作图,简称为尺规作图.
问题1
尺规作图的工具是 .
问题2
我们已经会用尺规作哪些几何图形
作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角……
已知三角形的两边及其夹角,求作三角形
已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
1.作一条线段BC,使BC=a.
2.以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.
3.在射线BD上截取线段BA=c.
4.连接AC.
△ABC就是所求作的三角形.
【思考】还有没有其他的作法呢
有,先作一个角等于已知角,然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段,从而作出三角形.
作三角形的顺序①边
夹角
边
作三角形的顺序②
已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形
已知:∠α,∠β,线段c.
求作:△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
【思维导航】
(1)在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.
(2)把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.
(3)用 证明两个三角形全等.
作法提示:(学生叙述步骤;方法不唯一)
(1)作 =∠α;
(2)在射线 上截取线段 =c;
(3)以 为顶点,以 为一边,作∠ =
∠β, 交 于点 ,△ABC就是所求作的三角形.
已知三角形的三条边,求作这个三角形
如图所示,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.
作法:
(1)作一条线段BC=a;
(2)分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于A点;
(3)连接AB,AC,△ABC就是所求作的三角形.
已知:线段a,b.
求作:△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.
先画一条线段等于a,再以其两个端点为圆心,分别以2a和b的长为半径画弧,其交点就是三角形的另一个端点.
根据已知条件画三角形的一般步骤吗
(1)确定作图的第一步是画边还是角,有时方法不唯一,但有难易之分,要注意把握.
(2)根据确定的作图方法按步骤进行作图.
(3)必要时对自己所画的图形的正确性进行说明.
检测反馈
1.利用尺规不能唯一作出的三角形是
( )
A.已知三边
B.已知两边及夹角
C.已知两角及夹边
D.已知两边及其中一边的对角
解析:已知两边及其中一边的对角不能说明两个三角形全等.故选D.
D
2.下面各组中的三条线段,能围成三角形的是
( )
A.3厘米、2厘米、5厘米
B.4厘米、3厘米、8厘米
C.9厘米、3厘米、3厘米
D.5厘米、5厘米、4厘米
解析:A.因为3+2=5,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;B.因为4+3=7,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;C.因为3+3=6,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;D.满足三角形任意两边之和大于第三边,能组成三角形,符合题意.故选D.
D
3.已知:线段a,b,求作:等腰三角形ABC,使AB=BC=a,AC=b.
解:如图所示.①作射线AD,在射线AD上截取AC=b.②分别以A,C为圆心,a为半径作弧,两弧交AC上方于点B.③连接AB,BC.△ABC即为所求.
4.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α.且这两角的夹边等于2a.
解:如图所示,(1)画∠CAB=∠α;
(2)画AB=2a;
(3)画∠CBA=2∠α;
△ABC为所求三角形.第四章 三角形
1.理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线.
2.了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形.
3.会证明三角形内角和等于180°,了解三角形外角的性质.
4.了解图形的全等,理解全等三角形的概念和性质,经历探索三角形全等条件的过程,掌握两个三角形全等的条件,能应用三角形的全等解决一些实际问题.
5.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下,能够利用尺规作出三角形.
1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.
2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步发展初步的演绎推理能力和有条理表达的能力.
1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.
2.感受数学来源于生活又服务于生活,激发学习数学的兴趣.
3.使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点.
三角形是最简单、最基本的几何图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他图形的基础,在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.
学生在前面学习“相交线和平行线”的过程中,积累了一些初步的数学活动经验,空间观念、几何直观与推理能力得到了初步的培养,这都为三角形的学习提供了有力的条件.本章的设计在总体上来看需要学生掌握以下内容:在生动的问题情境、丰富的数学活动中,理解三角形的有关概念;在动手动脑的数学活动中,探索三角形全等的条件,感悟数学的分类思想;以直观认识为基础进行简单的说理,将几何直观与简单说理相结合,逐步而又恰当地提高学生数学推理能力,借助三角形和全等三角形的有关结论解决一些简单的实际问题.为此,教材本章安排了5节内容:
第1节“认识三角形”,介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段,以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质.
第2节“图形的全等”、第3节“探索三角形全等的条件”,在认识全等图形的基础上,理解全等三角形的概念和性质,接着通过所设计的一系列的实践活动,探索三角形全等的条件.
第4节“用尺规作三角形”、第5节“利用三角形全等测距离”,教材以用尺规作三角形和利用三角形全等测距离,体现全等三角形的应用.
教材中关于推理过程的描述,采用符合自然语言习惯的文字加符号的方式,一方面是降低学习难度,另一方面也为八上学习证明(演绎推理的形式化表述)做铺垫.
通过本章的学习,学生推理意识的树立以及推理经验的积累,为今后学习证明打下基础,在今后的学习中,学生将在直观认识和简单说明理由的基础上,学习从几个基本事实出发,进行比较严格的证明.
【重点】 掌握三角形最基本的性质,探索并掌握两个三角形全等的条件,会利用三角形全等测距离.
【难点】 探索三角形全等的条件和运用三角形全等解决问题以及它的说理过程.
1.本章对三角形认识的教学目标与第一学段获得对简单平面图形的直观经验有所不同,应使学生通过观察、操作、推理等手段认识三角形.在如落实“三角形任意两边的和大于第三边”“三角形内角和是180°”等具体目标时,不仅要求学生积极参与各种形式的实践活动,而且要积极引导学生对活动过程和结果进行判断分析、推理思考和抽象概括,让学生在学习知识的过程中提高能力.
2.重视实践活动,让学生在探索中获取知识.教学时,应给予学生充分的时间和空间,通过观察、操作、有条理的思考、推理和交流,经历从现实空间抽象出几何图形、探索图形性质及其变化规律的过程,获得对图形的认识,发展空间观念.
3.促进教学中的数学交流.教师要重视为学生创设交流的情境,提供“数学对话”的机会,鼓励学生用耳、用口、用眼、用手去表达自己的思想和接受他人的思想.这样的过程有助于培养学生的参与意识,学会用不同的方式探索、思考解释问题,不断提高自己的思维水平.
4.注重教具、学具和现代教学手段的运用,加强教学的直观性.几何图形的直观性为各种教学手段的运用提供了广阔的空间,利用各种教具、学具和现代教学技术,可以使学生认识和探索图形的过程更具有趣味性和挑战性,也是进一步发展学生空间观念和实践能力的有效途径.但在运用各种教学手段时,要注意切合实际,易操作而有实效.一些农村学校由于经济困难,不能配备丰富多彩的教学用具,教师必须因地制宜充分挖掘当地资源,积极发动学生制作.学生在制作过程中不但可以激发学习的兴趣而且可以加深对图形的认识.
5.对全等三角形概念分析的建议.通过图片的展示,使学生认识到全等形在生活中是广泛存在的,并鼓励学生自己归纳它们的共同特征,引出全等形和全等三角形的概念.教学时应鼓励学生通过观察,用自己的语言概括出全等三角形对应元素的确定方法,教师同时运用多媒体技术演示对应元素的确定方法,引导学生总结在这个过程中需注意的问题和其中的规律.
6.对全等三角形性质的教学建议.通过学生对全等三角形的观察,合作交流,从而得出找全等三角形的对应边、对应角的性质,性质的熟练应用应该在能准确地判断全等三角形的对应元素的基础上.在教学过程中,适当引导学生总结通过全等三角形的性质证明线段相等和角相等的常用方法.
7.探索三角形全等的条件是本章的重点内容,教学时应先用设问形式创设问题情境,设计一系列实践活动,遵循启发式教学原则,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,真正把学生放到主体位置,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验,为以后的证明打下基础.
1 认识三角形
4课时
2 图形的全等
1课时
3 探索三角形全等的条件
3课时
4 用尺规作三角形
1课时
5 利用三角形全等测距离
1课时
回顾与思考
1课时
1 认识三角形
1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.认识等腰三角形,会按边对三角形分类,掌握三角形三边的关系.
3.正确理解三角形的角平分线、中线、高线的概念.
4.画出任意三角形的高.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
在学生观察、操作、思考和交流的过程中,丰富学生的知识,激发学生进一步探索知识的激情,同时发展他们的空间观念.
【重点】
1.三角形三边关系的探究和归纳.
2.了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.
3.三角形高线的概念,会画任意三角形的高.
【难点】
1.三角形的中线,角平分线的定义及其性质的应用.
2.画钝角三角形、夹钝角的两边上的高和掌握三角形高的应用.
第课时
1.掌握三角形的概念,能用适当的符号表示三角形以及这些基本元素.
2.经历实验活动的过程,得出“三角形内角和等于180°”,能应用三角形内角和来解决一些简单的求三角形内角和问题.
3.会按角的大小关系对三角形分类;能从所给出的已知角中,判断出三角形的形状.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理和有条理地表达能力.
让学生在数学活动中通过相互间的合作与交流,获得必需的数学知识,激发学习兴趣,培养学生的相互协作意识及数学表达能力.
【重点】 探究发现和验证“三角形的内角和是180°”这一规律的过程,并归纳总结出规律.
【难点】 发展推理能力和有条理地表达能力.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P81~83.
导入一:
[过渡语] 同学们喜欢看美丽的图画吗 下面请同学们欣赏几幅优美的画面,找一找这几幅图中有什么共同点.
多媒体展示:
[处理方式] 三角形是最简单的多边形,是一种在我们生活中应用很广泛的图形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见,那么今天我们就来认识它.
[设计意图] 通过欣赏三角形有关的图片,创设一种宽松、和谐的学习氛围,让学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.使学生能从生活中抽象出几何图形,感受到我们生活在几何图形的世界之中.培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,学生能很好地找出生活中的三角形的实例,如植物的三角形刺,还有图片中的房屋结构、热带鱼的形状、战机的外形等,这些充分体现了学生走进生活、感受数学的高涨热情,在课堂上用源于学生身边的事物抽象出的三角形视频和图片展开教学,从而更大地激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
【活动内容】 (多媒体出示)
猜谜语:“形状似如山,稳定性能坚.三竿首位连,学问不简单.”(打一图形名称)欣赏图片认识生活中的三角形.
[处理方式] 教师播放幻灯片,学生猜出谜底后欣赏图片,认识生活中的三角形,从而引出新课.引导性语言:三角形是最简单的多边形,在生产实践、科学研究和社会生活中随处可见.它不仅是研究其他多边形的基础,在解决实际问题中也有广泛的应用.因此,探索和掌握它的基本性质对于更好地认识现实世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的.
[设计意图] 利用学生感兴趣的猜谜语和熟悉的生活图片入手,贴近学生的生活,培养学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣,这也为新课的学习做好铺垫.
[过渡语] 三角形是一种最常见的几何图形之一.同学们,还记得三角形有哪些要素吗 下面让我们一起探个究竟.
探究活动1 认识三角形及其基本要素
思路一
观察下面屋顶的结构:
出示问题:
(1)你能从左图中找出4个不同的三角形吗 与你的同伴交流各自找到的三角形.
(2)这些三角形有什么共同的特点
[处理方式] 学生自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点).不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形可以用符号“△”表示,顶点是A,B,C的三角形,记作△ABC.有时△ABC的三边也用a,b,c表示.顶点A所对的边BC用a表示,边AC,边AB分别用b,c表示.
通过自学知道三角形ABC有三个角,分别为∠A,∠B,∠C.三条边分别为AB,BC,AC.三个顶点分别是A,B,C.
[设计意图] 通过学生的自主学习及回答问题,引导学生归纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)等基础知识,体会用符号表示三角形的必要性,培养了学生自学、观察、分析能力及归纳总结的能力.
【即时训练】
根据右图填空:
(1)图中共有 个三角形,它们是 ;
(2)以AD为边的三角形有 ;
(3)在△ABD,△ABE,△ABC中∠B的对边分别是 .
[设计意图] 通过知识反馈进一步认识了三角形及其基本要素,巩固了三角形的表示法.
思路二
[过渡语] 请同学们打开课本81页,独立思考,完成以下问题,并与同伴交流.
(1)三角形的概念:
由不在 的三条线段 相接所组成的图形叫做 .
(2)理解三角形的构成要素及符号表示:
三角形有 条边, 个内角和 个顶点.“三角形”可以用符号 表示,如图中顶点是A,B,C的三角形,记作 .△ABC的三边为 ,有时也用 来表示.
[处理方式] 学生自主学习,在导学案上完成后再展示说明,学生之间互相补充.教师适时点评,强调三角形的概念要任意三条线段:
(1)不在同一直线上;
(2)首尾顺次相接.
[设计意图] 本活动的设计意在引导学生通过自主学习、
合作交流,对三角形的概念从感性认识上升到理性认识.
【即时训练】
图中有 个三角形,它们分别是 .
探究活动2 三角形的内角和
思路一
[过渡语] 请你来当法官:仔细阅读三角形红和三角形蓝的对话,看看谁说的有道理.
三角形蓝和三角形红见面了.
蓝炫耀地说:“我的面积比你大,所以我的内角和也比你大!”
红不服气地说:“那可不好说噢,你自己量量看!”
同学们,它们谁说的有道理
在小学的时候我们用量角器量三角形的各角度数和用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和是180°”的结论.现在,我们只撕下三角形的一个角,同样可以得到一样的结论,看看小明的做法,你能说出其中的道理吗
(1)剪一个三角形纸片,如图(1),它的三个内角分别为∠1,∠2,∠3.
(2)将∠1撕下,按图(2)所示进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合,此时∠1的另一条边b与∠3的边a平行吗 为什么
(3)如图(3)所示,将∠3与∠2的公共边延长,它与b所夹的角为∠4,∠3与∠4有什么大小关系 为什么 现在你能够确定三角形的内角和了吗
[处理方式] 在图(2)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行,同旁内角互补可知∠2+∠1+∠3=180°,所以可以得到三角形的内角和等于180°.
在图(3)中,根据内错角相等两直线平行可知∠1的另一条边b与∠3的边a平行,根据两直线平行同位角相等可知∠3=∠4,因为∠2,∠1,∠4组成一个平角,所以∠2+∠1+∠4=180°,由于三角形的三个角分别与∠2,∠1,∠4相等,所以可以得到三角形的内角和等于180°.结论:三角形三个内角的和等于180°.
教师引导过A点作EF∥BC,根据两直线平行内错角相等知∠1=∠B,∠2=∠C.又因为∠1+∠2+∠3=180°,所以∠BAC+∠B+∠C=180°.
[设计意图] 通过小组讨论、直观教具演示等手段,激发了学生学习的兴趣,另一方面使学生通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
思路二
以4人合作小组为单位,充分利用课前准备的任意三角形纸片,探索验证三角形内角和为180°的方法.然后各小组选派代表展示设计的方案并陈述理由.
[处理方式]
1.可让学生合作探究,教师到各小组巡回指导,参与他们的讨论.
2.鼓励学生提出疑问,但是并不急于评判他们的答案,而是有针对性的启发和指导,引导学生在操作中自觉思考.
3.让学生们主动思考能否利用平行线的有关事实说明理由.
4.让学生展示不同的验证方法.
[设计意图] 充分利用学生已有的知识和经验,并通过多角度思考、分析、说理、操作加深学生对三角形内角和为180°的理解,从而突出和解决了本节课的重点,同时在教学中注重在直观操作的基础上进行简单的推理,使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程,为今后的几何证明打下基础.
探究活动3 三角形分类
[过渡语] 下面我们共同做一个猜角的游戏,观察图(1)中的女孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角 男孩呢 试着说说理由.
(学生带着浓厚的兴趣来完成游戏,完成后让学生先在小组内讨论交流)
图(2)中的男孩所拿的三角形被遮住的两个内角是什么角 将所得的结果与图(1)的结果进行比较.
[处理方式] 根据上面的问题我们把三角形按角的大小分为三类:(1)锐角三角形;(2)直角三角形;(3)钝角三角形.自学并讨论怎样判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形,直角三角形有什么特殊的表示法 它的两个锐角之间有什么关系 它的三条边的名称是什么
经过自学和讨论知道了三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
如图所示.
通常我们用符号“Rt△ABC”表示直角三角形ABC.把直角所对的边称为直角三角形的斜边,夹直角的两条边称为直角边.根据三角形的内角和等于180°,可知∠A+∠B+∠C=180°,又因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°,由此可知直角三角形的两个锐角互余.
[设计意图] 通过在游戏中对问题的解决,使学生有成就感,树立了学好数学的信心.特殊三角形的特殊性质与其形状有关——直角三角形两个锐角互余.通过对三角形分类的学习,使学生了解数学分类的基本思想.当只露出一个内角为锐角时,引导学生发现三种情况都是可以的,即两个锐角,一个锐角一个直角,一个钝角一个锐角,从而使学生初步体会反证法的思想,为后面进一步研究反证法奠定基础.
[知识拓展] 在一个三角形中,如果有一个角是钝角(或直角),这个三角形就是钝角(或直角)三角形,但是在知道一个三角形的一个角是锐角时,却不能断定它是锐角三角形,因为任何三角形,包括钝角三角形和直角三角形都有锐角.直角三角形两个锐角互余.
1.三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2.三角形三个内角的和等于180°.
3.三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形,有一个内角是直角的三角形是直角三角形,有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形.
4.直角三角形的两个锐角互余.
1.如图所示,三角形的个数是
( )
A.3
B.4
C.2
D.6
解析:共有6个,分别为△ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC.故选D.
2.如图所示,以∠C为内角的三角形有 和 ,在这两个三角形中,∠C的对边分别为 和 .
答案:△ACD △ACB AD AB
3.直角三角形的一个锐角为70°,另一个锐角为 .
解析:根据直角三角形两锐角互余得到另一锐角为20°.故填20°.
4.在△ABC中,∠A=80°,∠B=20°,则△ABC是 三角形.
答案:锐角等腰
第1课时
探究活动1 认识三角形及其基本要素
探究活动2 三角形的内角和
探究活动3 三角形分类
一、教材作业
【必做题】
教材第84页习题4.1知识技能第1,2,3题.
【选做题】
教材第84页习题4.1问题解决第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三角形三个内角中,锐角最多可以是
( )
A.0个 B.1个
C.2个
D.3个
2.如图所示,△ABC中,∠A=60°,∠C=80°,∠B= .
3.如图所示,AD⊥BC,∠1=40°,∠2=30°,则∠B= ,∠C= .
4.在空白处填入“锐角”“直角”或“钝角”.
(1)如果三角形的三个内角都相等,那么这个三角形是 三角形;
(2)如果三角形的两个内角都小于40°,那么这个三角形是 三角形.
【能力提升】
5.(2015·菏泽中考)将一副直角三角尺按如图所示方式放置,若∠AOD=20°,则∠BOC的大小为
( )
A.140°
B.160°
C.170°
D.150°
6.如图所示,已知△ABC中,∠1=27°,∠2=85°,∠3=38°,求∠4的度数.
【拓展探究】
7.一个零件的形状如图所示,按规定∠A等于90°,∠B和∠C分别等于32°和21°.检验工人只量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,请你说明零件不合格的理由.
【答案与解析】
1.D(解析:根据三角形内角和为180度可知在直角三角形和钝角三角形中都只有2个锐角,而锐角三角形的三个内角都是锐角.故选D.)
2.40°(解析:根据三角形内角和为180度可知∠B=180°-
60°-
80°=40°.)
3.50° 60°(解析:因为AD⊥BC,所以△ABD和△ACD分别为直角三角形,所以∠B=90°-
40°=50°,∠C=90°-
30°=60°.)
4.(1)锐角 (2)钝角
5.B(解析:因为将一副直角三角尺按如图所示方式放置,∠AOD=20°,所以∠COA=90°-
20°=70°,所以∠BOC=90°+70°=160°.故选B.)
6.解:由三角形内角和公式可求出∠ACB=180°-
∠1-
∠3=115°,由∠BCD为∠ACB的补角,得∠BCD=180°-
∠ACB=65°,∠CFD与∠2是对顶角,所以∠CFD=∠2=85°,再根据三角形内角和公式得∠4=180°-
∠BCD-
∠CFD=30°.
7.解:延长CD交AB于E,则∠DEB=180°-
∠DEA=∠A+∠C=111°,∠BDC=180°-
∠BDE=∠DEB+∠B=143°,即合格零件的∠BDC应为143°,而此零件这个角为148°,因此可以判定这个零件不合格.
1.注意把握说理要求的度,只要求口头说明,不要求书面证明,鼓励他们用自己的语言进行讲述.
2.在教学过程中学生在教师创设的情境下,自己动手操作、动脑思考、动口表达、探索未知领域、寻找客观真理、成为发现者,学生自始至终地参与这一探索过程,发展了学生的创新精神和实践能力.通过有条理地表达三角形内角和为180°的推理过程,为今后的几何证明打下基础.
处理探究“三角形三个内角的和等于180°”时操作说理有点仓促,不应怕学生说错,要注意课堂的生成.自主学习时间过短,应注意自主的实效性.
应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视,可以激励学生课后继续探究,将课内学习延伸到课外,不断开阔学生的视野.
随堂练习(教材第83页)
1.解:如图所示.
2.解:(1)直角三角形. (2)锐角三角形也是等腰三角形. (3)钝角三角形.
习题4.1(教材第84页)
知识技能
1.提示:∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°.
2.(1)锐角 (2)直角 (3)钝角
3.提示:60°.
4.解:(1)有3个直角三角形.分别是Rt△ABC,Rt△ACD,Rt△BCD.Rt△ABC的直角边为AC,BC,斜边为AB;Rt△ACD的直角边为AD,CD,斜边为AC;Rt△BCD的直角边为CD,BD,斜边为BC. (2)∠1和∠A互余;∠2和∠A相等.
问题解决
5.提示:∠ACB=40°.当轮船距离灯塔C最近时,∠ACB=60°.
在小学数学学习的基础上,本课从探索三角形的概念入手,具体介绍三角形的有关概念,通过熟悉的情境,找出熟悉的图形并进行交流,感悟需要用符号来表示三角形,体会用符号来表示三角形的必要性.通过学习小组的交流活动,引导学生探究出按角将三角形分类,渗透分类的思想.通过让学生拼图、说理等活动让学生探究出三角形的内角和为180°,进一步通过简单的推理得出“直角三角形的两个锐角互余”,使学生感觉知识的形成很自然,激发学生学好数学的勇气;学生在教师的引导下,先自主学习,再合作交流,在感悟中逐步提高对三角形的认识.
第课时
1.让学生认识等腰三角形,会按边对三角形分类;掌握三角形三边的关系.
2.能运用三边关系解决生活中的实际问题.结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.
通过观察、操作、推理、交流等活动,发展学生的空间观念,推理能力和有条理的表达能力.
学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.
【重点】 三角形三边关系的探究和归纳.
【难点】 应用三角形的三边关系解决简单的实际问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P85~86.
导入一:
[过渡语] 上节课我们对三角形有了初步认识,按三角形内角的大小把三角形进行分类,仔细想一想,完成下面的问题.
1.下图中有几个三角形 将找到的三角形表示出来.
2.观察下面的三角形,并把它们的标号填入相应的椭圆框内.
[处理方式] 第一题让三名学生到黑板板演,其他学生在练习本上完成.教师巡视,适时点拨,防止遗漏或重复.学生完成后及时点评,借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正.
三角形除了按角进行分类之外,还可以怎么分 试一试.
[设计意图] 学生能够根据上节课的内容,将所给的三角形按角进行分类,及时检查学生对上节课内容的掌握情况,又通过复习引起学生回忆,为本节学习提供铺垫和思想基础.
导入二:
[过渡语] 上节课,我们学习了三角形的定义,哪位同学来说一下三角形的定义是什么
[处理方式] 学生思考,并说出三角形的定义.师出示三道题目.
1.在右图中你能用符号表示三角形吗
2.右图中的三角形的三个顶点分别是 ,三条边分别是 ,三个内角分别是 .
3.观察下面的三角形,这些三角形能不能按边长分类呢
[设计意图] 本活动在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法,做到不重复、不遗漏.
[过渡语] 三角形除了可以按角分类之外,按边长分有什么分法吗 如何分 想一想、试一试.
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
思路一
如图所示.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC.
探索:
问题1
AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点 (学生讨论)
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.
当三角形的三条边都相等时,它是什么三角形
(等边三角形)
问题2
从定义上你能看出等腰三角形与等边三角形的关系吗 如果把三角形按边分类应该怎样来划分
三角形按边分类:
三角形
[处理方式] 问题1学生先动手实验,然后对所得到的图形进行讨论,教师则通过课件展示出等腰三角形和等边三角形定义及有关概念,学生记忆.同时引出本节课课题“认识三角形2”.问题2先让小组讨论,教师补充,最后由教师课件展出三角形按边分类.
[设计意图] 通过对等腰三角形的认识,引出等腰三角形的定义以及三角形按边分类,进一步体现数学分类的思想.
思路二
[过渡语] 观察图中的五个三角形并测量,你能发现它们各自的边长之间有什么关系吗
[处理方式] 教师安排分组测量,并将学生给出的测量结果出示在课件上.(1)(4)(5)的三边都不相等.(2)有两边相等的是等腰三角形.(3)三边都相等的是等边三角形.
板书等腰三角形、等边三角形的定义.等边三角形也叫正三角形.等腰三角形的边与角都有特定的名称,相等的两边叫腰,不等的边叫底.腰和底的夹角叫底角,两腰的夹角叫顶角.
三角形按边共分两大类.
等腰三角形与普通三角形;等腰三角形里分为底边和腰不相等的等腰三角形与等边三角形.
[处理方式] 课件展示.
三角形
[设计意图] 通过设置这些动手测量,共同探讨的活动,既满足了学生的探究欲望,也让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识,体验到了成功.将三角形按边分类,在于渗透分类的数学思想,使学生在操作的过程中感悟分类的方法.
探究活动2 三角形三边之间的关系
思路一
【情境探究】
(1)元宵节的晚上,房梁上亮起了彩灯,装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢 说明你的理由.
[处理方式] 可让学生在小组中讨论交流,引导学生进行观察、测量,然后选代表进行回答.
(2)利用你得到的结论填空:
AB+AC BC.
AB+BC AC.
AC+BC AB.
(3)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系 为什么
[处理方式] 让学生在小组中讨论交流,教师可引导学生各自画一个三角形,然后进行测量,从而得出结论:三角形任意两边之和大于第三边.
说明:学生在考察两边之和与第三边的数量关系时,可能对具体的三角形采用测量方法,教师应予以肯定,但是又不要停留在几何直观和操作测量阶段,此时可以提出问题,将学生对问题的思考引向深入.教师可以这样的提出问题:你的结论是通过测量几个三角形得出的 对任意一个三角形,你能肯定它的任意两边之和都大于第三边吗 能说明你的理由吗 从而将学生对问题的思考从特殊推广到一般,从直观提升到推理.在探究过程中,可设置必要的过渡,引导学生回忆所学过的“两点之间线段最短”的结论,并鼓励他们利用这个结论说明自己的发现.对三角形三边之间的数量关系,教师要引导学生注意结论中“任意”二字的含义.
[设计意图] 通过设计“比较彩灯电线长度”的情境,目的是引出三角形三边之间数量关系的问题.
思路二
【测量探究】
分别量出下面三个三角形的三边长度,并填入空格内.
(1)a= ,b= ,c= .
(2)a= ,b= ,c= .
(3)a= ,b= ,c= .
根据你的测量结果,计算三角形的任意两边之差,并与第三边比较,完成填空:
(1)a-
b c,c-
b a,c-
a b.
(2)b-
a c,c-
a b,b-
c a.
(3)a-
c b,a-
b c,b-
c a.
你能得到什么结论 再画一些三角形试一试.
[处理方式] 学生在小组中进行测量,计算,并讨论交流,得出结论:三角形任意两边之差小于第三边.教师可参与到学生的讨论中,适当给学生引导.
说明:对于三角形任意两边之差与第三边的数量关系,学生只要能通过测量、比较等操作活动,归纳得出结论即可,不必运用不等式的性质进行说明.但教师可以在引导学生对结论进行验证的基础上,指出这个结论对一般三角形也是成立的.
[设计意图] 在测量过程中培养学生合作交流意识,在交流中认识三角形三边差的关系.
思路三
【实验探究】 (多媒体展示)
准备好长度分别为:4
cm,6
cm,10
cm,12
cm的小棒各一根.
实验要求:
1.任意选三根小棒首尾相连,看能否围成三角形.
2.把任意两边的长度加起来,再与第三边进行比较.(用式子表示)
3.小组讨论,你发现了什么
4.将实验结果填写在探究报告单上.
[处理方式] 学生以小组为单位进行动手操作,并通过讨论交流进一步验证三角形三边之间的数量关系,然后选代表进行解答.
[设计意图] 通过实验探究让学生在实验、操作中进一步验证所得到的结论,丰富学生对三角形三边之间的数量关系的体验和理解,并使学生在自主活动和相互交流中获得知识,体验乐趣.
[知识拓展]
1.等腰三角形的两个底角相等,等边三角形是特殊的等腰三角形,三个角都是60°.
2.三角形两边之和大于第三条边可以根据“连接两点的所有线中,线段最短”得出.这里的“两边”泛指三角形的任意两边.
例题讲解
有两根长度分别为5
cm和8
cm的木棒,用长度为2
cm的木棒与它们能摆成三角形吗 为什么 长度为13
cm的木棒呢
〔解析〕 可让学生独立完成,选两个代表在黑板板书,并让他们进行讲解.
解:取长度为2
cm的木棒时,由于2+5=7,小于8,出现了两边之和小于第三边的情况,所以它们不能摆成三角形.
取长度为13
cm的木棒时,由于8+5=13,出现了两边之和等于第三边的情况,所以它们也不能摆成三角形.
1.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.三角形按边分为:
三角形
3.三角形任意两边之和大于第三边.
4.三角形任意两边之差小于第三边.
1.下列长度的三条线段,不能构成三角形的是
( )
A.3
cm,8
cm,4
cm
B.4
cm,9
cm,6
cm
C.15
cm,20
cm,8
cm
D.9
cm,15
cm,8
cm
解析:由三角形的三条边的关系可知,3+4=7,小于8,不符合题意,故选项A不能构成三角形.故选A.
2.现有四根木棒,长度分别为4
cm,6
cm,8
cm,10
cm,从中任取三根木棒,能组成三角形的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:共有4种方案:①取4
cm,6
cm,8
cm,能构成三角形;②取4
cm,8
cm,10
cm,能构成三角形;③取4
cm,6
cm,10
cm,不能构成三角形,此种情况不成立;④取6
cm,8
cm,10
cm,能构成三角形.所以有3种方案符合要求.故选C.
3.若等腰三角形一边长为7
cm,另一边长为5
cm,则第三边长为 .
解析:若腰长为7
cm,另一边长为5
cm,7+5=12,大于7,则第三边长为7
cm;若腰长为5
cm,另一边长为7
cm,5+5=10,大于7,则第三边长为5
cm.故填7
cm或5
cm.
4.下面分别是三根小木棒的长度,用它们能摆成三角形吗
(1)7
cm,5
cm,11
cm;
(2)5
cm,8
cm,4
cm;
(3)4
cm,3
cm,7
cm.
解析:只要满足两条较短线段之和大于最长边就能构成三角形.
解:(1)因为7+5=12,12大于11,所以能摆成三角形. (2)因为5+4=9,9大于8,所以能摆成三角形. (3)因为4+3=7,7=7,所以不能摆成三角形.
第2课时
探究活动1 认识等腰三角形和等边三角形
探究活动2 三角形三边之间的关系
例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第86页习题4.2知识技能第1题;问题解决第2题.
【选做题】
教材第86页习题4.2问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.等腰三角形两边长为9和5,则这个三角形的周长是 .
2.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数,满足这些条件的三角形共有 种,当c= 时,所作出的三角形的周长最长.
3.一个三角形的两边长分别为4和8,则第三边长x的取值如何
【能力提升】
4.若△ABC的三边为a,b,c,化简|a+b+c|+|a-
b-
c|.
【拓展探究】
5.如图所示,已知A,B两个村在河的同侧,要在河边建一个水站向两个村供水,为了使水站到两村距离之和最小,则水站应该建在哪里
【答案与解析】
1.19或23(解析:根据等腰三角形的性质,分两种情况:①当腰长为5时,②当腰长为9时,解答出即可.根据题意,①当腰长为5时,周长=5+5+9=19;②当腰长为9时,周长=9+9+5=23.)
2.5 9(解析:根据三边关系可得7-
33.解:由三角形的三边关系可知:8-
4小于第三边长x小于8+4,即4小于第三边长x小于12.
4.解:因为a,b,c为△ABC的三条边,所以a+b+c大于0,
a-
b-
c=a-
(b+c)小于0,所以|a+b+c|+|a-
b-
c|=a+b+c-
a+b+c=2b+2c.
5.解:作A点关于直线的对称点C,连接CB与直线的交点即为水站的位置.
在验证三边和差时充分调动了学生的积极性,通过自主探究、合作交流,授之以“渔”体现新课程的教学要求,在实践中总结了结论,学生能印象深刻,为理论的应用奠定基础.
应用中设计了多个生活情境,让学生在现实情境中体验和应用数学,激发学生学习数学的兴趣,培养了学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质,从而更大地激发了学生学习数学的兴趣.
探索三边关系时,应让学生充分操作、观察、交流.教师不应让组长的标准答案掩盖了其他组员的困惑.
应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生回答代替其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.平时要多注重学生几何语言的培养,多让学生在生活中发现数学、学习数学.
随堂练习(教材第86页)
1.解:不可以是8和2.因为8=3+5,2=5-
3,不符合三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.解:由题意可知,c>4-
2且c<4+2,即2习题4.2(教材第86页)
知识技能
1.提示:(1)能. (2)不能. (3)能. (4)不能.
问题解决
2.提示:9
cm.
3.解:因为两边之差
<第三边<两边之和,所以9-
3<第三边<9+3,即6<第三边<12.
又因为第三边长度为奇数,所以第三边的长度可能是7
cm,9
cm,11
cm.
一个等腰三角形的两条边长分别是10
cm和5
cm,求这个三角形的周长.
〔解析〕 在给出的条件中,没有确定等腰三角形的腰和底,所以10
cm长的边既可能是底,也可能是腰,于是本题有两解.
解:(1)当腰长10
cm时,则底长5
cm,等腰三角形的周长是25
cm.
(2)当底长10
cm时,则腰长5
cm,然而两腰之和等于底边(5+5=10),所以此三角形不存在.
答:这个三角形的周长是25
cm.
[解题策略] 让学生自己先做,老师再用屏幕投影出示解题步骤,让学生对照答案自己订正,老师应对易错点加以强调,以加深学生的印象,达到巩固的目的.
第课时
1.正确理解三角形的角平分线、中线的概念.
2.能正确画出三角形的角平分线及中线,经历三角形的角平分线、中线性质探究的过程,知道三角形的角平分线、中线的性质.
3.通过对三角形有关概念的学习,提高学生对概念的辨析能力和画图能力.
通过学生观察、想象、动手做、交流等活动,培养学生探索发现能力、观察能力、动手操作能力和有条理的表达能力.
在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,产生对数学的好奇心,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”,通过问题的发现与解决,使学生有成就感,加强学生学好数学的信心.
【重点】 了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线.
【难点】 三角形的中线、角平分线的定义及其性质的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P87~88.
导入:
[过渡语] 我们在看文艺节目的时候,总会有一些杂技节目,我们在感叹节目精彩的同时,也被杂技演员高超的技艺,尤其是他们超强的平衡能力所折服震撼.同学们现在看老师利用一支铅笔就可以支起一个三角形(演示),你能做到吗 这就是本节课我们将要探究的问题.
[处理方式] 教师通过展示多媒体课件,从视觉上提高学生的兴奋点,激发学生兴趣.而后面的自己动手演示顶三角形的纸片,更是将学生的好奇心再一次激起,为后面的探究新知做了很好的铺垫,学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.
[设计意图] 一堂新课的引入是老师与学生课堂交往活动的开始,是学生学习新知识的心理铺垫,是拉近师生之间的距离,破除疑难心理、乏味心理的关键.一个成功的引入,是让学生感觉到他熟知的生活,可使学生迅速投入到课堂中来,对知识在最短的时间内产生极大的兴趣和求知欲,接下来教学活动将成为他们一种开心快乐的游戏.
[过渡语] 同学们,你们想知道老师是如何做到的吗 下面就一起来学习三角形的其他有关的概念.
探究活动1 三角形的中线概念
思路一
【活动内容】 复习线段的中点定义和确定线段中点的方法,阅读课本完成自学,得出三角形中线的定义和三角形中线的作法.(多媒体出示)请阅读课本P87内容,思考解决下列问题:
问题1
什么是三角形的中线 它与线段的中点有什么区别与联系
问题2
如何得到三角形的中线
问题3
三角形的三条中线有怎样的位置关系
[处理方式] 学生阅读课本,思考教师在课件中提出的三个问题,遇到困难的同学可做好标记以备作为问题进行合作交流.学生以口答的形式回答教师提出的问题.
小组展示自学成果:
(1)定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形中线是条线段(如图线段AD);线段的中点是一个点.
(2)几何表达:
因为AD是三角形ABC的中线,所以BD=DC=BC或BC=2BD=2DC.
(3)学生代表说出并演示如何画三角形的中线,对利用折纸得出三角形中线的同学可以引导进行展示.
[设计意图] 借助线段中点的定义,让学生类比自学得到中线的定义,比较容易接受,对于三角形的中线可以通过折纸得到这种方法没有进行特别指出与要求,只是有学生提出就展示一下而已.
思路二
[过渡语] 你还记得什么是线段的中点吗 那么你知道什么是三角形的中线吗
[处理方式] 三角形的中线的概念比较抽象,此处采取直接给出定义,引导几何语言的表达方法,明确三角形的中线是线段,分析线段的两个端点.进一步拓展使学生知道三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.
把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
几何表达:因为AE是△ABC的中线,所以BE=EC=BC.
[设计意图] 通过回顾中点的定义,让学生类比得到中线的定义,要比直接给出中线的定义学生更容易接受,同时进一步培养学生类比的思想.
探究活动2 三角形的中线的性质及重心
议一议:
(1)在纸上任画一个锐角三角形,并画出它的三条中线,它们有怎样的位置关系 与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 折一折,画一画,并与同伴进行交流.
老师用铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的 .
练一练:
如图所示,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的中点.
(1)AB边上的中线是 ,BC边上的中线是 ,AC边上的中线是 .
(2)因为BE是中线,所以 = = .
因为CF是中线,所以AB=2 =2 .
〔答案〕 (1)CF AD BE (2)AE EC AC
AF BF
[处理方式] 以线段的中点知识类比出三角形的中线知识,在复习旧知识的过程中引出新知识,体现数学知识之间的相互联系,把课堂大量的时间和空间留给学生,让他们开展有针对性的数学探究活动,在活动中,鼓励学生积极开动脑筋,从不同的途径探索解决问题的方法.
结论:三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)
[设计意图] 通过这样的方式学数学,可以有助于学生建立自己的知识体系,将新知识更好地融入到已有的知识体系中,形成网络;学生的动手过程不但得出三角形中线的性质,而且学生也发现了书上没有直接给出的性质,如中线分成的两个三角形的周长关系、面积关系以及三角形三条中线交点与三角形的位置关系等,实现了学生自己学数学的目的,同时让学生体会实际操作可以把抽象的数学直观化具体化.
探究活动3 三角形角平分线及性质
【问题】 请同学们仿照三角形的中线的定义给三角形的角平分线下定义.
[处理方式] 三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以完全通过类比获得,让学生自己在课堂上实现类比学习,进一步体现了自主学习的目的.
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
几何表达:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠1=∠2=∠BAC.(或∠BAC=2∠1=2∠2)
做一做:
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1)你能分别画出这三个三角形的角平分线吗
(2)你能用折纸的办法得到它们吗
(3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系
将你的结果与同伴进行交流.
[处理方式] 画出三角形的角平分线的时候多数同学是用量角器量取的,几乎没有学生用折纸的方法得到,因而单独提出第二个问题,引导学生思考用折纸的方法得到三角形的角平分线,并让学生演示折纸如何得到三角形的角平分线.
【学生活动】
(1)通过作图发现猜想是正确的,三角形的三条角平分线交于一点,如图所示.
(2)通过折纸的方法来验证:三角形的三条角平分线交于一点,并且这个点在三角形的内部.
(多媒体展示)
多媒体展示:把三角形一个内角的两边重合得到的.
总结:你们表现得真棒!通过以上验证我们可以得出结论:
三角形的三条角平分线交于一点.(教师板书并强调:交点在三角形内部)
[设计意图] 三角形的角平分线定义和性质是在三角形的中线知识学习后进行的,可以让学生通过类比获得,进一步体现了自主学习的目的.采用合作探究学习的方式,让学生经历“猜想-
验证-
得出结论”的过程.这样的主动学习过程,既可以体现数学学习的特殊过程,又可以调动学生学习的热情,相互交流,充分表达自己的想法,相互取长补短.
[知识拓展] 角的平分线是射线,而三角形的角平分线,无论是其中哪个内角的平分线都是线段.
三角形的中线,角平分线都交于一点,其中三角形的中线交于一点,这点叫做三角形的重心.
1.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
2.三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)
3.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
4.三角形的三条角平分线交于一点.(交点在三角形内部)
1.如图所示,D,E分别为△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法中不正确的是
( )
A.DE是△BDC的中线
B.图中∠C的对边是DE
C.BD是△ABC的中线
D.AD=DC,BE=EC
解析:因为E为△ABC的边BC的中点,所以点E也是△BDC的边BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故A正确;图中∠C的对边有三种可能,是DE,BD,AB,故B错误;因为D为△ABC的边AC的中点,所以BD是△ABC的中线,故C正确;因为D,E分别为△ABC的边AC,BC的中点,所以AD=DC,BE=EC,故D正确.故选B.
2.如图所示,BD平分∠ABC,DE∥BC,且∠D=30°,则∠AED的度数为
( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
解析:因为DE∥BC,∠D=30°,所以∠DBC=30°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=30°,所以∠ABC=60°,又因为DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数.
解:因为AD是∠BAC的平分线,∠BAC=68°,所以∠BAD=∠DAC=34°,又因为∠B=36°,所以∠ADB=180°-
34°-
36°=110°.
4.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,已知DE=2
cm,求BD,BE,BC的长.
解:因为AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,所以BD=CD=2DE=4
cm,所以BE=BD+DE=6
cm,所以BC=2BD=8
cm.
第3课时
探究活动1 三角形的中线概念
探究活动2 三角形的中线的性质及重心
探究活动3 三角形角平分线及性质
一、教材作业
【必做题】
教材第88页习题4.3知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第89页习题4.3问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.三角形的三条中线、三条角平分线都是
( )
A.直线
B.射线
C.线段
D.射线或线段
2.如图所示,BD,AE分别是△ABC的中线、角平分线,AC=10
cm,∠BAC=70°,则AD= ,∠BAE= .
3.如图所示,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,填空:
(1)BE= = ;
(2)∠BAD= = .
4.如图所示,AD是△ABC的BC边上的中线,DE是△ADC的AC边上的中线,若△ABC面积等于4,求△ADE的面积.
【能力提升】
5.如图所示,在△ABC中,CD是中线,已知BC-
AC=5
cm,△DBC的周长为25
cm,求△ADC的周长.
【拓展探究】
6.如图所示,在△ABC中,∠ABC=40°,AD,CD分别平分∠BAC,∠ACB,求∠ADC的度数.
【答案与解析】
1.C(解析:由三角形的中线、角平分线定义可知三角形的三条中线、三条角平分线都是线段.故选C.)
2.5
cm 35°(解析:因为BD是△ABC的中线,AC=10
cm,所以AD=5
cm,因为AE是△ABC的角平分线,∠BAC=70°,所以∠BAE=35°.)
3.(1)EC BC (2)∠DAC ∠BAC(解析:因为AE是△ABC的中线,所以BE=EC=BC,因为AD是△ABC的角平分线,所以∠BAD=∠DAC=∠BAC.)
4.解:因为AD是△ABC的BC边上的中线,△ABC面积等于4,所以△ABD面积等于△ADC面积等于2.又因为DE是△ADC的AC边上的中线,所以△ADE的面积等于△CDE的面积等于1.
5.解:因为CD是中线,所以AD=BD,所以△DBC的周长-
△ADC的周长=(BC+BD+CD)-
(AC+AD+CD)=BC-
AC,因为BC-
AC=5
cm,△DBC的周长为25
cm,所以25-
△ADC的周长=5,解得△ADC的周长=20
cm.
6.解:∠DAC+∠DCA=×(180°-
40°)=70°,∠ADC=180°-
(∠DAC+∠DCA)=180°-
70°=110°.
让学生在现实情境中体验和理解数学,激发学生学习数学的兴趣.在活动中自主探究以及与同伴交流,有条理地进行思考和表达思考的过程,获得分析问题的经验和解决问题的能力.老师充分做好活动的策划者、引导者的角色.活动中师生互动、生生互动,形成了一个立体信息交流网络.重视数学知识的生活化、应用化.
对教材的处理和教学过程中学生的学法一定注意灵活选取,让不同层次的学生要采用不同的方法,获得不同的数学体验和不同的收获.学生对说理过程的书写不够条理与规范,教师在课下应加强训练指导.
从学生的实际出发,引导他们学知识、用知识,给学生提供一个展示所学的舞台.培养学生应用数学知识解决实际问题的能力,激发学生持续学习的动力.
随堂练习(教材第88页)
1.(1)∠DAC ∠BAC (2)EC
2.解:在△ABC中,∠ABC=180°-
∠A-
∠C=58°,∠ABD=∠ABC=29°.
习题4.3(教材第88页)
知识技能
1.解:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠BAC=30°.又因为∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠B=45°,所以∠ADB=105°.
2.解:三角形的一条中线将这个三角形分成两个三角形,这两个三角形的面积相等.
问题解决
3.解:因为∠A=62°,∠B=74°,所以∠ACB=180°-
62°-
74°=44°.因为CD是∠ACB的平分线,所以∠ACD=∠BCD=∠ACB=22°.又因为DE∥BC,
所以∠EDC=∠BCD=22°.
本节主要是学习三角形的中线、角平分线以及重心的概念,教学中充分的发挥学生的动手操作能力,利用了折纸和画图等方法认识了解它们,并通过这些操作让学生发现中线、角平分线的性质,使学生具有了初步的推断说理能力.本节课采用“自主探究、合作交流”的方式组织教学,让学生在自主探索与合作交流相结合的方式下进行学习.
第课时
1.经历折纸、画图等活动了解三角形高线的概念,画出任意三角形的高.
2.了解三角形的三条高所在直线交于一点.
通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力.
通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活.
【重点】 三角形高线的概念,会画任意三角形的高.
【难点】 画钝角三角形夹钝角的两边上的高和三角形高的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P88~90.
导入一:
[过渡语] 同学们,我们从现实生活中寻找到了好多三角形的踪影,从房梁上发现了一些三角形中特殊的线段——三角形的中线和角平分线,并通过折纸等方式画出它们,还熟练地运用其解决了很多问题.这一节课我们将继续寻找三角形房梁中的特殊线段.
谁能说说:立柱和横梁之间有什么特殊的位置关系
[处理方式] 由学生口答完成.(用三角尺的直角对准图形进行重叠演示来验证)
[设计意图] 从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫作用.
导入二:
[过渡语] 同学们,猜猜看,在三角形中除了三角形的中线、角平分线,还有没有其他的线段 你还记得什么是垂线吗 下面我们一起看看什么是三角形的高线.
【活动内容】
1.什么是三角形的中线
2.什么是三角形的角平分线
3.垂线的定义是什么
4.如何过直线外一点画已知直线的垂线 如何过点A作AF⊥BC
[处理方式] 1,2,3题由学生口答,4题用三角尺,根据放、靠、推、画的步骤可以画出.巡视,指导后,课件演示画法并说明,这种作法实际上就是“过直线外一点作已知直线的垂线”,如图,就是过点A作直线BC的垂线,可借助三角尺完成,仅取垂线段AF而已.
[设计意图] 让学生先回忆上一节课三角形的中线和角平分线以及过一点如何作一条直线的垂线,一是可将所学习的三角形的中线、角的平分线联系起来,掌握它们的本质特征,又为高线的引入做好铺垫;二是渗透运动的观点,使学生感知用运动的观点看问题.动手画图,课件演示,加深对画法的理解和掌握,同时也为后继学习作三角形的高埋下伏笔.
[过渡语] 下面请大家根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,2分钟后看看谁收获多多,又是谁两手空空.
探究活动1 三角形的高线概念
思路一
看谁完成得又快又好.
1.从三角形的一个顶点向 作垂线,顶点和 之间的 叫做三角形的高线,简称三角形的高.
2.三角形的高是一条
( )
A.直线
B.射线
C.线段
D.不确定
3.如图所示,线段AF是BC边上的高,因为AF是BC边上的高,所以 ⊥ ,所以∠ =∠ .
4.如图所示,CD是△ABC的高,且CD=5,S△ABC=25,则AB= .
[处理方式] 给学生两分钟时间,学生根据新课导入问题自学课本89页做一做之前部分,带着问题进行自主探究;教师前后巡视,提示学生找出重点字句.检查他们对于新课导入问题的完成情况.对个别没有自学意识等待老师“授之以鱼”的学生进行鼓励:本节课知识并不难,你只要认真看、大胆说,这节课最棒的肯定是你.
[设计意图] 从房梁中的三角形回顾导入,水到渠成,给其足够的信心,培养积极兴趣,通过问题导学的方式让学生带着问题自主探究归纳总结三角形的高.以便更顺利地解决下面问题,为本节课的学习起统领铺垫作用.
思路二
如图所示的三角形的房梁,立柱与横梁有什么特殊的位置关系呢
[处理方式] 抽象出数学图形并出示,立柱与横梁互相垂直.当立柱AF与横梁BC垂直时,我们通常也说立柱AF是这个三角形房梁的高.通过刚才作三角形的高和房梁的高,我们可以知道AF这条线段就是三角形的高.三角形的高可以准确地叙述为:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.(课件出示)三角形的高线是垂线段,是三角形的一个顶点和过它向对边所在的直线作垂线的垂足之间的线段.表示法:AF⊥BC,则AF是△ABC的BC边上的高;AF是△ABC的BC边上的高,则AF⊥BC,所以∠BFA=∠AFC=90°.
[设计意图] 通过动态运动使学生感知到高线是具有特殊位置的线段,又通过房梁的立柱更直观地感受到三角形高的意义,在丰富的感性材料的基础上,学生比较容易接受三角形高的意义,但理解不准确,对概念的叙述不准确,通过逐步引导,使学生渐渐认识到数学语言的准确性和简洁性,利用引导鼓励学生自说与教师直接告诉相结合,既起到训练学生使用数学语言的能力,又节省不必要的时间浪费.
探究活动2 锐角三角形的高线
思路一
利用你的锐角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢 小组讨论交流.
[处理方式] 过顶点B,C也可以作高,还可以作三角形的两条高线(在原图中作高BD和CE).如图所示.AF是△ABC的BC边上的高;BD是△ABC的AC边上的高;CE是△ABC的AB边上的高.
结论:锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.
[设计意图] 通过让学生动手操作、画图等活动,掌握锐角三角形高的意义、作法和性质;让学生经历操作实践的过程,发现知识、学习知识、掌握知识;这样既让学生感受到知识的形成过程,印象深刻,同时也提高了学生的实际操作能力.
思路二
[过渡语] 大家还记得“过直线外一点画已知直线的垂线”吗 选出一名同学用直角三角板来画.一放二靠三推四画.到黑板演示.
拿出你准备的锐角三角形,过它的一个顶点A,你能画出它的对边BC的垂线吗 试试看,你准行!
[处理方式] 做一做:每人拿准备好的一个锐角三角形纸片,尝试画这个三角形的高.生用三角板或量角器试着画出高.师巡视学生画的情况,强调指出:千万不要忘记标明:垂直的符号和垂足的字母.最后选一名同学到黑板板演画出锐角三角形的三条高.学生走到黑板前拿着三角尺演示,其他学生目光跟随着,教师及时表扬:这位同学画得非常漂亮!除了用三角尺画高,你还有别的方法吗
你能用折纸的方法得到它吗 试一试!生动手折叠,小组内互相交流折叠方法.师多媒体展示折纸的方法:对折三角形的一边,使这边所在的直线重合,调整折痕的位置,使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合,折痕就是这条边上的高.和学生一起实物演示,引导学生仔细观察锐角三角形的三条高,你发现什么秘密了吗 这三条高之间有怎样的位置关系 将你的结果与同伴交流交流.教师根据学生的口述,用多媒体展示相关内容并强调各内容的关键词.
[设计意图] 让学生先回忆过一点如何作一条直线的垂线,为下面作三角形的高线做准备.培养学生善于找到新知识与旧知识的联系,体会学习是一个连续的过程.通过用三角尺或折纸的方法画出锐角三角形的三条高,并总结性质,从而发展学生空间观念,培养动手能力.
探究活动3 直角三角形的高线
再利用你的直角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你还能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢
[处理方式] 小组讨论交流.
画一个直角三角形,并尝试画出它的高(教师巡视,学生讨论直角三角形的高).直角三角形也有三条高,如Rt△ABC的三条高分别是AC,BC,BD,即AB是BC边上的高,BC是AB边上的高,BD是AC边上的高.直角三角形有一条高在三角形的内部,另外两条高分别是直角三角形的两条直角边;这三条高也相交于一点,这个交点不在三角形的内部,而与这个直角三角形的直角顶点重合.
结论:直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.
[设计意图] 直角三角形的高,特别是两直角边上的高,学生掌握是难点,因此让学生充分讨论交流,教师适时引导,通过对比,联系三角形高的意义,确认直角三角形高的特殊性,进而总结三条高相交于一点的性质.
探究活动4 钝角三角形的高线
再利用你的钝角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你还能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢 小组讨论交流.
[处理方式] (小组讨论,钝角三角形高的作法)
画一个钝角三角形,并尝试作出它的高.
(巡视引导)如图,它们分别是:AD,BE,CF.为了更准确地说明,我们可以这样叙述:AD是△ABC边BC上的高,BE是△ABC边AC上的高,CF是△ABC边AB上的高.
通过图形可以看出,它们不交于一点(课件演示,延长三条高相交于点O).三条高所在的直线相交于一点.
钝角三角形的三条高线,有一条在三角形的内部,另外两条在三角形的外部,我们可以通过画图得到它,虽然这三条高不相交于一点,但是,这三条高线所在的直线相交于一点,这个交点在三角形的外部,这样的话我们综合锐角三角形、直角三角形的高线的性质,可以得出:三角形的三条高所在的直线交于一点.
[设计意图] 钝角三角形的高及性质,学生更感困难,充分让学生动手画图,小组讨论,展示交流,紧扣三角形高的意义和过一点作已知直线的垂线的方法,再加上教师的点拨,多种感知活动交错进行,达到掌握知识的目的,同时联系对比三种三角形的高线的位置,概括三角形高线的性质,有利于提高学生的概括能力和表达能力.
[知识拓展] 任何三角形的角平分线都在三角形的内部,高却不同,直角三角形和钝角三角形的高都有一条高在其内部,直角三角形另外两条高在边上,钝角三角形的另外两条高在三角形的外部.
1.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
2.锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.
3.直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.
4.钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
解析:三角形三条高的交点的位置与其形状有关.在三角形内是锐角三角形,在三角形外是钝角三角形,在顶点是直角三角形.故选B.
2.三角形的三条高相交于一点,此点一定在
( )
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D.不能确定
解析:锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点;钝角三角形的三条高的交点在三角形外部.所以A,B,C三种情况都有可能.故选D.
3.如图所示的是一个直角三角形,底边长10,对应的高是 ;底边长8,对应的高是 ;底边长6,对应的高是 .
解析:如图可知底边长10,对应的高是4.8;底边长8,对应的高是6;底边长6,对应的高是8.
答案:4.8 6 8
第4课时
探究活动1 三角形的高线概念
探究活动2 锐角三角形的高线
探究活动3 直角三角形的高线
探究活动4 钝角三角形的高线
一、教材作业
【必做题】
教材第91页习题4.4知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第91页习题4.4问题解决第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,虚线部分是小刚作的辅助线,则你认为线段CD为
( )
A.边AC上的高
B.边BC上的高
C.边AB上的高
D.不是△ABC的高
2.下列关于三角形的高的说法正确的是
( )
A.直角三角形只有一条高线
B.钝角三角形的高线都在三角形的外部
C.只有一条高线在三角形内的三角形一定是钝角三角形
D.锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内部
3.如图所示,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点,求∠ABE,∠ACF和∠BHC的度数.
【能力提升】
4.如图所示,△ABC的两条高线AD,BE交于点F,∠BAD=45°,∠C=60°,求∠BFD的度数.
【拓展探究】
5.如图所示,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,且CD,BE交于一点P,若∠A=50°,求∠BPC的度数.
【答案与解析】
1.C(解析:由三角形高线的定义可知线段CD为边AB上的高.故选C.)
2.D(解:任意三角形都有三条高,故A错误;钝角三角形的高线有两条在三角形的外部,一条在三角形的内部,故B错误;只有一条高线在三角形内的三角形可能是钝角三角形,也可能是直角三角形,故C错误;锐角三角形的高线的交点一定在三角形的内部,故D正确.故选D.)
3.解:因为在△ABC中,∠ABC=66°,∠ACB=54°,所以∠A=180°-
66°-
54°=60°,又因为BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,所以∠AEB=∠AFC=90°,所以∠ABE=∠ACF=30°,在△BHC中,∠HBC=66°-
30°=36°,∠HCB=54°-
30°=24°,所以∠BHC=180°-
36°-
24°=120°.
4.解:因为AD,BE是△ABC的两条高线,所以∠ADB=∠BEC=90°,故∠EBC=180°-
90°-
∠C=90°-
60°=30°,而∠BFD=180°-
∠ADB-
∠EBC=90°-
30°=60°.
5.解:因为∠A=50°,BE⊥AC,所以∠ABE=90°-
50°=40°,又因为CD⊥AB,所以∠BPC=180°-
∠BPD=90°+∠ABE=130°.
用动态演示复习三角形的中线和角平分线的概念和性质,学生很容易联想到三角形的高,引入三角形高的概念顺其自然,在探究三角形的高的性质时,特别是直角三角形和钝角三角形,让学生充分交流、讨论、展示、操作,达到眼、耳、手、口、脑多种感官参与学习活动,在感官的基础上,概括和总结性质,然后再加以应用,符合学生的认知规律,对于难点,适时进行讲解、点拨、启发、诱导,及时进行反馈矫正.
对学生数学语言的使用和训练还有些欠缺,有一些还是直接给出的,有时对学生不准确的语言默认,顺其自然.
学生动手折纸、画图时耗费的时间较多,致使后面的教学时间比较紧张,对学生的个性差异关注不足.
加强对数学语言训练的力度,初步让学生感知到数学语言的准确性和简洁性,学会用准确的数学语言进行表述和画图;加大巩固训练的力度,设计形式多样的题目,训练学生的思维;对学生操作、折纸、画图进一步整合,努力提高课堂教学效率.
随堂练习(教材第90页)
1.解:图(1)错,高线应为实线.图(2)错,高线应为过点A作CB延长线的垂线段.
习题4.4(教材第91页)
知识技能
1.AF CE CE BE CD AC
问题解决
3.提示:设缺的这个角的顶点为C,作AC边上的高BE,作BC边上的高AD,设AD与BE的交点为H,过点H作AB的垂线,就是所求作的直线.(答案不唯一)
如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE为∠BAC的平分线,且∠B=36°,∠C=68°.求∠DAE的度数.
〔解析〕 先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数,再根据角平分线的性质求得∠CAE的度数,由垂直的性质可得∠ADB=90°,再根据三角形的内角和定理求得∠CAD度数,从而可以求得结果.
解:因为∠B=36°,∠C=68°,
所以∠BAC=180°-
∠ABC-
∠ACB=180°-
36°-
68°=76°,
因为AE为∠BAC的平分线,
所以∠CAE=∠BAC=38°.
因为AD⊥BC于D,
所以∠ADC=90°.
所以∠CAD=180°-
∠C-
∠ADC=180°-
68°-
90°=22°.
所以∠DAE=∠CAE-
∠CAD=38°-
22°=16°.
[解题策略] 解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角,且都等于大角的一半.
2 图形的全等
1.通过实例理解图形全等的概念和特征,并能识别图形的全等.
2.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.
1.借助具体情境和图案,经历观察、发现和实践操作叠合图形等过程,了解全等图形的概念与特征,掌握判断全等图形的方法.
2.通过欣赏、观察、动手操作,使学生体验数学的思想方法及数学的应用价值.
使学生感受合作的快乐与成功的喜悦,树立学习的信心,体会数学知识在现实生活中的应用价值.
【重点】 理解图形的全等与全等图形的特征,并能识别图形的全等.
【难点】 掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P92~94.
导入一:
[过渡语] 生活五彩缤纷,在丰富多彩的图形世界里,有的是相同的,有的是不相同的,有时图形的完全相同也会让你感受到美的享受、感受到美的乐趣.
请观察生活中的几组图片,这些图片有何特征 (多媒体出示)
[处理方式] 学生观察三组图片,可以回答出:图中两面五星红旗、两张图片、两张邮票,它们的形状、大小相同,能够完全重合.继而教师提出:你能再举出一些例子吗 学生就可以想到同一张底片洗出的相同尺寸的照片,形状、大小也是相同的.出示一组利用全等图形组成的图案.
引出本节课题:板书课题:图形的全等.
[设计意图] 利用生活中的全等形图片导入新课,让学生初步感知全等形的特点,这样不仅可以调动学生的积极性,也能让学生感受数学无处不在.
导入二:
[过渡语] 图形给大家带来了美好的视觉感受,一款和图形有关的小游戏也让人爱不释手.
[处理方式] 请同学们观察这些图片有何特征 教学中要充分让学生列举生活中的例子,并试着用一个名词概括这些例子.请大家想一想在你周围有没有全等的图形 请看我手里的照片,同一底片,相同的两张是全等的,不同的两张是不全等的.同一人的两只手掌,老师的手掌和学生手掌.
活动目的:设置有趣的生活图片,一组是实物图形,一组是几何图形.让学生通过观察,对全等图形有一个感性认识.
[过渡语] 上面我们欣赏了一组组实物图片,下面再请看一组几何图形:
探究活动1 全等图形的定义和性质
思路一
观察下列同一类的图形有什么特点
[处理方式] 学生思考后口答,这些图形中,同一类图形是完全一样的,即不仅要形状相同,而且要大小相等,如果把它们叠放在一起,它们就能重合.教师从而得出全等图形的定义.即:两个能够完全重合的图形称为全等图形.
【巩固训练】
下图中,(4)和(7),(5)和(10)为什么不是全等图形
全等图形的性质是形状和大小完全相同.(学生总结全等的特征,教师出示课件展示)
[处理方式] 让学生口答问题(4)和(7)两个图形面积相同,但形状不同,(5)和(10)两个图形形状相同,但大小不同.
教学中要充分让学生列举生活中的例子.
[设计意图] 让学生思维动起来,充分调动学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.
思路二
[过渡语] 请观察下面这组图形,它们还具刚才那几组图的特点吗 (多媒体出示)
教师板书:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
[处理方式] 教师提出这组几何图形中,有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们就能够完全重合.你能从图中找出这样的图形吗 学生可以找出两个小圆,两个锐角三角形完全一样.进而明确全等的概念.
[设计意图] 设置一组几何图形,让学生通过观察、思考,对全等图形有一个感性认识.同时使学生对全等的概念有了一个更清楚的理解——全等图形的形状和大小都相同.
问题1
你能说出生活中全等图形的例子吗
利用视频播放敦煌和科隆教堂的图案.
问题2
请观察下面三组图形,它们是不是全等图形 为什么 与同伴进行交流.
问题3
如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相同吗
教师板书:全等图形的形状和大小都相同.
[处理方式] 问题1,学生思考回答生活中的例子,观察三个利用全等设计的生活中的图案,观看播放敦煌和科隆教堂的图案的视频.感受全等在生活中的存在.问题2,学生思考并回答(1)中的两个图形形状相同,但大小不同;(2)中的两个图形面积相同,但形状不同;(3)中的两个图形不仅形状相同,大小也相同.问题3,学生明确,既然是全等图形,那么就能重合,形状与大小自然相同.
[设计意图] 学生在一个开放的环境下给出很多生活中的例子,从中获取了大量的信息.事实上,同学们通过观察都能看出全等图形的形状和大小都相同,这就是图形全等的性质.
探究活动2 全等三角形的有关概念及表示法
[过渡语] 知道了什么是全等形,那么你知道什么是全等三角形吗
思路一
【活动内容1】 全等三角形定义.
教师板书:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
如图(多媒体出示图).
△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等三角形.其中顶点A,D重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,它们是对应角.你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗
教师板书:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(教师强调如何用符号语言表示)
因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形的对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形的对应角相等).
【活动内容2】 全等三角形的表示.
△ABC与△DEF全等,记作:△ABC≌△DEF,读作:△ABC全等于△DEF,记两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
观察图中的全等三角形应怎样表示.
[处理方式] 利用Flash播放全等三角形的定义使学生明确对应顶点,对应边,对应角的含义.再根据图形说出对应顶点,对应边,对应角.由全等可知AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.学生还应明确全等的记法:△ABC≌△DEF.表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.提醒学生注意“全等于”与“≌”的区别.
[设计意图] 通过两个全等的三角形图片自然过渡到下一知识,用精心设计的问题进行活动,不断地制造思维兴奋点,再加上学生在学习过程中的活动,让学生脑、嘴、手动起来,充分调动了学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.
思路二
问题1
怎样的三角形是全等三角形
问题2
全等三角形的对应边和对应角有何关系
[处理方式] 根据全等图形的定义类比并动画演示得出全等三角形的定义,让学生口答出.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.比如,在图中,△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等的.其中顶点A,D重合,B,E重合,C,F重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,BC边与EF边重合AC边与DF边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,∠B与∠E重合,∠C与∠F重合,它们是对应角.全等三角形对应角相等,对应边相等.△ABC与△DEF全等,我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.常用几何语言表示:
如图所示,因为△ABC≌△DFE(已知),
所以AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),
∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).
问题3
怎样确定全等三角形的对应角、对应边呢
[处理方式] 小组之间先进行讨论回答,教师根据学生回答进行归纳总结(课件展示).
规律总结:确定对应角、对应边的方法.
1.找对应边的方法.
(1)有公共边的,公共边一定是对应边.
(2)全等三角形对应角所对的边是对应边.
(3)两个对应角所夹的边是对应边.
(4)两个全等的三角形中,一对最长的边是对应边,一对最短的边也是对应边.
2.找对应角的方法.
(1)有对顶角或公共角的,对顶角或公共角一定是对应角.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角.
(3)两条对应边所夹的角是对应角.
(4)两个全等的三角形中,一对最大的角是对应角,一对最小的角也是对应角.
探究活动3 全等三角形中重要线段之间的关系
【活动内容1】 议一议.
(1)教材图4
-
24是两个全等三角形,请画出一组对应边的高,测量这组高的长度,你有什么发现 全等三角形对应边的中线相等吗 还有哪些相等的线段 举例说明.
[处理方式] 学生分组画出一组对应边上的高、对应边的中线、对应边的角平分线然后测量发现结论.全等三角形对应边的高、对应边的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.
(2)如图(教材图4
-
24),已知△ABC≌△A'B'C',你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段D'E'
[处理方式] 首先用直尺和圆规找出D点的对应点D',E点的对应点E',再连接D'E'.
[设计意图] 让学生知道三角形的对应顶点,对应边和对应角,并指出其中的对应角和对应边.三角形中还有高线、中线、角平分线等特殊的线段的性质.学生找到对应边和对应角,并能正确解题,分析能力、表达能力得以提高.
【活动内容2】 做一做.
一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗 三个呢 四个呢
[处理方式] 小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:
变式:沿着图中的虚线,用两种方法将下面的图形划分成两个全等的图形.
[处理方式] 小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:
[知识拓展]
1.全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不关心图形所在的位置.
2.全等的两个图形,形状和大小是相同的,而且面积也相等,但是面积相等的两个图形不一定是全等图形.
3.全等三角形是全等图形的一种,两个全等三角形叠放在一起完全重合,完全重合的三角形是全等三角形.
4.表示全等时,对应顶点要写在对应的位置.
1.全等图形和全等三角形的概念:
全等图形:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.全等图形的性质、全等三角形的性质:
全等图形的性质:全等图形的形状和大小都相同.
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
3.全等三角形对应边上的高、对应边上的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.
1.若△ABC≌△DEF,且AB=4
cm,BC=5
cm,DF=3
cm,则AC的长为
( )
A.4
cm
B.5
cm
C.3
cm
D.2
cm
解析:因为△ABC≌△DEF,AC与DF是对应边,所以AC=DF=3
cm.故选C.
2.如图所示,△ABC≌△FED,且BC=ED.试说明AB∥EF,AD=FC.
解:因为△ABC≌△FED,且BC=ED,所以∠A=∠F,所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).因为△ABC≌△FED,所以AC=DF(全等三角形的对应边相等),所以AC-
DC=DF-
DC,即AD=FC.
3.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求△AEC各内角的度数.
解:因为△ABC≌△AEC,∠ABC与∠AEC,∠ACB与∠ACE,∠BAC与∠EAC是对应角,所以∠ABC=∠AEC,∠ACB=∠ACE,∠BAC=∠EAC,因为∠B=30°,∠ACB=85°,所以∠ABC=∠AEC=30°,∠ACB=∠ACE=85°,∠BAC=∠EAC=180°-
115°=65°.
图形的全等
探究活动1 全等图形的定义和性质
探究活动2 全等三角形的有关概念及表示法
探究活动3 全等三角形中重要线段之间的关系
一、教材作业
【必做题】
教材第95页习题4.5知识技能第1,2题.
【选做题】
教材第95页习题4.5知识技能第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如图所示,AC⊥BE,AC=EC,CB=CF,把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,则点E落在
( )
A.B点处
B.C点处
C.A点处
D.以上都不对
3.如图所示,△ABC≌△DCB,其中A和D是对应顶点,AC和DB是对应边,指出其他的对应边和对应角.对应边: ,对应角: .
4.如图所示,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小.
【能力提升】
5.如图所示,若△AOB≌△AOC,则∠ADC与∠AEB相等吗 说明理由.
【拓展探究】
6.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDC≌△EDB,求∠C的度数.
【答案与解析】
1.A(解析:因为BE=4,AE=1,所以AB=5,又因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE=5.)
2.C(解析:由AC⊥BE,AC=EC,CB=CF可知△ABC≌△EFC,又因为把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,所以点E落在A点处.)
3.AB与DC,BC与CB ∠A与∠D,∠ABC与∠DCB,∠ACB与∠DBC
4.解:因为∠A=43°,∠B=30°,所以∠AEB=107°,又因为△ABE≌△ACD,所以∠ADC=∠AEB=107°.
5.解:∠ADC=∠AEB.理由如下:因为△AOB≌△AOC,所以∠B=∠C,又因为∠DOB=∠EOC,所以∠BDO=∠CEO,故∠ADC=∠AEB.
6.解:因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠ADB=∠EDB=∠EDC,∠DEC=∠DEB=∠A,又因为∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°,∠DEB+∠DEC=180°,所以∠EDC=60°,∠DEC=90°.在△DEC中,∠EDC=60°,∠DEC=90°,所以∠C=30°.
1.放开学生的手脚,能够使每个学生都动起手进行分割全等图形,使每个学生都参与,培养了学生的动手习惯.
2.在设计中关注学生的人文价值和情感态度,强调知识的主动获得,鼓励学生的积极参与和探究信心的扶植,照顾到学生的年龄特点和已有经验水平,培养学生的主体意识和合作意识.
3.在培优补差方面,注意设计问题的层次性,由浅入深,逐步递进,从简单到复杂,逐渐开放,使不同层次的学生都有所收获,有所成功,充分体现新课程“面向全体,让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想.
分割全等图形的时候只是展示的学生的成果,学生的想法及做法没有完全展现.
充分利用多媒体把抽象的全等图形转化成易懂的知识展现给学生.可以多让学生举例说明生活中的全等图形.
随堂练习(教材第94页)
1.解:所有大三角形全等,找所有小三角形全等.找对应边和对应角略.
2.解:因为△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,所以∠E=∠B=30°,∠ACE=∠ACB=85°,∠CAE=180°-
30°-
85°=65°(全等三角形对应角相等).
习题4.5(教材第95页)
知识技能
1.解:全等图形有(1)和(8);(2)和(12);(4)和(9);(5)和(11).
2.解:∠A=∠B,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC.
3.解:因为△ABC≌△A'B'C',所以∠C'=∠C=25°,B'C'=BC=6
cm,A'C'=AC=4
cm.
问题解决
4.解:因为AC=0.2
m,所以BC=2AC=0.4
m,所以BD=7BC=2.8
m.
6.解:如图所示,可任选两种.
把下列各图分成若干个全等图形,请在原图上用虚线标出来.
解:如图所示.
【变式训练】
1.把一个正方形划分成四个全等的部分,这个问题对于各位同学来说易如反掌,图(1)和图(2)是小明和小彬的分划图,但请他们将正方形分成五个全等的部分时,他们一时感到为难,你会吗
解:如图所示.
2.如图所示,把这个“T”形图形分成四个全等的部分,试试看.
解:如图所示.
3 探索三角形全等的条件
1.掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件,了解三角形的稳定性.
2.能熟练运用“SSS”“ASA”“SAS”和“AAS”判定两个三角形是否全等以及在日常生活中的运用.发展学生有条理的表达能力.
3.经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程,发展交流能力和语言表达能力.
1.培养学生动手操作,探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程.
2.培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程.
通过多种手段的活动过程,让学生动手操作,激发学生学习的兴趣,并能通过合作交流解决问题,体会数学在现实生活中的应用,增强学生的自信心.
【重点】 掌握三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”条件.
【难点】 探索“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”定理及利用定理解决实际问题.
第课时
1.掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性.
2.在探索三角形全等条件及其运用的过程中,能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
使学生在自主探索三角形全等的过程中,经历画图、观察、比较、交流等过程,从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.
培养学生的空间观念,推理能力,发展有条理的表达能力,积累数学活动经验.
【重点】 利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等.
【难点】 利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P97~98.
导入一:
[过渡语] 前面我们研究了全等三角形,你还记得什么是全等三角形吗 全等三角形有怎样的性质 (出示两个全等三角形)
[处理方式] 能够完全重合的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等,对应角相等.
如果△ABC≌△DEF,那么AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
【问题】 我们学校准备制作形状和大小完全一样的三角形彩旗,把任务交给了同学们去完成,你知道怎么做才能保证这些三角形彩旗的形状和大小完全一样吗 即如何制作和如图的三角形全等的三角形
[处理方式] 只要把图(1)三角形放在彩色布上,如图(2)所示,然后沿着三角形的边剪下来就可以了.
能否只通过简单的几个条件,就画出与图(1)全等的图形呢 本节课就让我们共同来探索三角形全等的条件.
[设计意图] 通过问题情境的创设,引入了本课的课题,激发了学生的好奇心和求知欲,调动了学生的学习积极性,让学生知道数学知识无处不在,应用数学无时不有.符合“数学教学应从生活经验出发”的新课程标准要求.
导入二:
[过渡语] 小明家新买了房子,他爸爸想装一面三角形的镜子,木工师傅打好了框架,爸爸要去玻璃店裁一面镜子,就问小明:“你已经是七年级的学生了,你能用最简单的办法去裁一面这样的三角形的镜子吗 ”小明仔细想了想,就对爸爸说出了他的想法.爸爸说他回答得很好,聪明的你知道小明是怎么说的吗 学习了本节内容你就知道小明是怎样说的了.
[设计意图] 让学生经历将现实问题抽象成数学模型的过程.提出问题让学生思索,诱发新知识.这样就自然引入了今天的新课,因为它对现实意义有用,所以同学们更会认真去探索这节课的内容.
[过渡语] 如何根据条件来判断两个三角形全等呢
探究活动1 三角形全等的条件
思路一
【活动内容1】 若只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗
[处理方式] 多媒体出示:
一画:按照下面给出的一个条件各画出一个三角形.
(1)三角形的一条边长是3
cm;
(2)三角形的一个角为45°.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.
三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.(通过画一画,剪一剪,比一比的方式,在小组内进行交流,讨论,形成结论)
学生探究结果展示:
1.只给定一条边画三角形时,不一定全等.画出一边长为3
cm的三角形,但是都不全等.(利用实物展台展示)
只给定一条边:
2.只给定一个角画三角形时,不一定全等.画出一个角是45°的三角形,也不全等.(利用实物展台展示)
只给定一个角:
结论:只给出一个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.
【活动内容2】 如果给出两个条件,画出的三角形是否全等
【问题】 给出两个条件,请同学们讨论,画出的三角形有几种情况 (学生分组讨论)
[处理方式] 有三种情况,已知一边一角、两边或两角.
多媒体出示:
一画:
(1)三角形的一个内角为30°,一条边为3
cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°;
(3)三角形的两条边分别为4
cm,6
cm.
二剪:把所画的三角形分别剪下来.
三比:同一条件下作出的三角形与其他同学作的比一比,是否全等.
学生探究结果展示:
(1)画出的三角形几乎都不一样.(利用实物展台展示)
显然这三个三角形不全等.
(2)画出的三角形的两个内角分别是30°和50°,画的三角形形状一样,但大小不一样.(利用实物展台展示)
这两个三角形不能完全重合,因此也不全等.
(3)画出的三角形的两边分别为4
cm,6
cm,所画出的三角形也不全等.(利用实物展台展示)
归纳:只给出两个条件时,不能保证所画出的三角形一定全等.
[设计意图] 有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践,自主探究与合作交流是学习数学的重要方式.在这里一方面引导学生动手去画,另一方面鼓励学生合作交流.既让学生获得知识,培养学生的合作意识,调动学生的主观能动性,使学生积极主动地参与教学活动,对只有一个或两个条件得不到三角形全等有更直观的认识;又让学生获得方法,为后继的学习积累经验.
【活动内容3】 如果给出三个条件,画出的三角形是否全等.
【问题】 我们通过画图、观察、比较知道,只给出一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.那么给出三个条件时,又会怎样呢 有几种情况 (学生讨论、交流)
[处理方式] 四种可能“三个角、三条边、两角一边、两边一角”.
【问题】 已知一个三角形的三个内角分别是40°,60°,80°,画出这个三角形,与同伴比较是否全等.(学生重复上面的操作过程,一画、二剪,三比)
[处理方式] 通过画图我们发现“三个内角分别相等的两个三角形不一定全等”.
【问题】 如果所给的条件是三条边相等呢 如三角形三条边长分别是4
cm,5
cm,7
cm.
[处理方式] 教师做示范,学生跟着老师一步一步地作图,作完图后,同学之间把作成的三角形剪下来进行叠合在一起,看是否能够重合,或者把你作的三角形剪下来与老师作的三角形进行叠合在一起,看是否能够重合,从而得出结论.
画法指导:
1.用刻度尺画线段AB=7
cm.
2.以A为圆心,4
cm为半径作弧.
3.以B为圆心,5
cm为半径作弧,与前弧交于点C.
4.连接AC,BC.
三角形ABC就是所求.
结论:三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”,这就是三角形全等的条件.(板书:三边分别相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”)
在△ABC和△A'B'C'中,所以△ABC≌△A'B'C'(SSS).
[设计意图] 培养学生的合作意识、动手能力,让学生在作图的实践过程中,学会归纳概括,发现三角形全等的条件,有条理地表达自己的思考过程,并有意识地反思探索过程,获得分析问题的经验.
思路二
【活动内容】
一、想一想.
1.只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时,大家画出的三角形一定全等吗
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况 每种情况下作出的三角形一定全等吗 分别按照下面的条件做一做.
(1)三角形的一个内角为30°,一条边为3
cm;
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°;
(3)三角形的两条边分别为4
cm,6
cm.
二、议一议.
如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况
三、做一做.
1.已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗
2.已知一个三角形的三条边分别为4
cm,5
cm和7
cm,你能画出这个三角形吗 把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗
[处理方式] 对于只给出一个条件时结论是显而易见的.因此,只需学生想象此时的情况即可,无需实际画出三角形.当给出两个条件时,学生也不难得出结论,教学中让学生实际去画一画,感受反例的作用.这时学生发现两个条件都不能使结论成立,那么三个条件呢 引出议一议.由于三个条件的组合较多,所以先让学生组合一下条件.组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行,不重不漏.让学生在讨论的过程中体验分类的思想.讨论出结果后,本节课只研究三个角和三条边的情况,也就是做一做.对于已知三个内角的情况,学生能比较容易地举出反例.而对于已知三边的研究则是本节课的重点,也是难点.由于七年级学(共8张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
3
探索三角形全等的条件（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
1.已知AB=DC,AC=DB,那么∠A与∠D相等吗
2.已知AC=AD,BC=BD,试说明AB是∠DAC的平分线.
3.创设情境.
有一块三角形纸片撕去了一个角,要去剪一块新的,如果你手头没有测量的仪器,你能保证新剪的纸片形状、大小和原来的一样吗
【思考】 判别三角形全等是不是还有其他方法呢
角边角和角角边的探索
【活动内容1】 准备好60°角,80°角和2
cm的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形,再进行对比,看一看组成的三角形是否全等.
如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角边角”或简记为“ASA”.
用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,
所△ABC≌△DEF(ASA).
【活动内容2】 让学生拿出提前准备好的60°角,45°角和3厘米的线段,以小组为单位,进行操作拼接成三角形.
(1)如果60°角所对的边是3
cm,所组成的三角形是否全等
(2)如果45°角所对的边是3
cm,所组成的三角形是否全等
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角角边”或简记为“AAS”.
用符号语言表示为:
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(AAS).
如图所示,AB与CD相交于点O,O是AB的中点,∠A=∠B,△AOC与△BOD全等吗 为什么
通过读题思考你发现在△AOC和△BOD中有哪些边或角相等吗 它们能不能构成我们学过的“SSS”“AAS”“ASA”呢
解:△AOC≌△BOD.
理由是:因为O是AB的中点,
所以AO=BO.
在△AOC和△BOD中,
所以△AOC≌△BOD(ASA).
[知识拓展]
在利用“SSS”“ASA”“AAS”三种方法判定两个三角形全等时要注意什么
1.判定两个三角形全等的条件一定要具备三对“对应相等”.
2.要判定两个三角形全等时,边和角“对应相等”,而不是“分别相等”.即:两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序.
3.注意题目中隐含的条件,如:公共边.
检测反馈
1.如图所示,AB∥DE,CD=BF,若要使△ABC≌△EDF,还需补充的条件是
.(任填一个即可)
解析:因为AB∥DE,所以∠D=∠B,又因为CD=BF,所以FD=BC,所以要△ABC≌△EDF,只需再加∠A=∠E或∠ACB=∠DFE.故填∠A=∠E.(答案不唯一)
2.某人不慎将一块三角形的玻璃打碎为A,B,C三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是带碎片中的 块去.
∠A=∠E
C
3.如图所示,已知∠1=∠2,∠ABC=∠DCB,那么△ABC和△DCB全等吗
解:在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(ASA).
4.如图所示,∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD,△ABC和△ADE全等吗 为什么
解:△ABC≌△ADE.理由是:因为∠1=∠2,所以∠BAC=∠DAE,在△ABC和△ADE中,
所以△ABC≌△ADE(AAS).(共11张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
3
探索三角形全等的条件（第3课时）
学
习
新
知
问题思考
【活动内容1】
1.我们学过的三角形全等的条件有 , , .
“ASA”中“S”指 ;“AAS”中“S”指 .
2.如图所示,请填空:
(1)若AB=AC,请添加一个条件 ,使△ABD≌△ACD,根据是 .
(2)若∠BAD=∠CAD,请添加一个条件 ,使△ABD≌△ACD,根据是 .
【活动内容2】 如图,小颖作业本上画的三角形被墨迹污染,她想画出一个与原来完全一样的三角形,她该怎么办呢 利用我们已经学过的知识你能帮帮小颖吗
由图可知：只知道三角形的两边及一角，有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
边角边的探索
活动1:两边及其夹角
做一做:如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形的两条边分别为2.5
cm,3.5
cm,它们的夹角为40°,你能画出这个三角形吗 你画出的三角形与同伴画的一定全等吗
改变上述条件中的角度和边长,再试一试.
结论:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简称“边角边”或“SAS”.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF.
几何语言:
活动2:两边及其中一边的对角
议一议:如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角.比如两条边分别为2.5
cm,3.5
cm.长度为2.5
cm的边所对的角为40°,情况会怎样呢
小明和小颖按照所给条件分别画出了下图中的三角形,由此你发现了什么 与同伴进行交流.
结论:两边及其中一边的对角对应相等时,两三角形不一定全等.
填空:
如图所示,已知AD∥BC,AD=CB,要用边角边证明△ABC≌△CDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=CB(已知),二是 ,还需要一个条件
.
AC=AC
AD∥BC
如图所示,已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边证明△ABD≌△ACE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件: , ,还需要一个条件是
(这个条件可以证得吗).
解:AB=AC AD=AE ∠DAB=∠EAC
因为∠1=∠2,所以∠1+∠EAB=∠2+∠EAB,即∠DAB=∠EAC.
AB=AC
AD=AE
∠DAB=∠EAC
已知AD∥BC,AD=CB,AE=CF(如图所示).说明△ADF≌△CBA.
解:因为AD∥BC,
所以∠DAF=∠BCE,
又因为AE=CF,所以AF=CE,
在△ADF与△CBE中,
所以△ADF≌△CBE(SAS).
检测反馈
1.填空:
(1)如图所示,已知AO=DO,∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件:
,就可根据“SAS”说明△AOB≌△DOC;
(2)如图所示,已知∠AOB与∠DOC是对顶角,还需补充条件
和
,就可说明△AOB≌△DOC.
OB=OC
∠A=∠D
AO=DO
∠B=∠C
AO=DO
∠A=∠D
BO=CO
∠B=∠C
BO=CO
2.如图所示,已知∠B=∠DEF,BC=EF,现要说明△DEF≌△ABC.
若要以“SAS”为依据,还缺条件
;
若要以“ASA”为依据,还缺条件
;
若要以“AAS”为依据,还缺条件
.
AB=DE
∠DFE=∠ACB
∠A=∠D
3.如图所示,AB=AC,AE平分∠BAC.试说明∠DBE=∠DCE.
解:因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE.
又因为AB=AC,AE=AE,所以△ABE≌△ACE(SAS),
所以∠ABE=∠ACE.
因为∠BAD=∠CAD,AB=AC,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(SAS),所以∠ABD=∠ACD.
因为∠DBE=∠ABE-
∠ABD,∠DCE=∠ACE-
∠ACD,所以∠DBE=∠DCE.
4.如图所示,∠B=∠E,AB=EF,BD=EC.
(1)△ABC与△FED全等吗 为什么
(2)AC∥FD吗 为什么
解:(1)因为BD=EC,所以BC=DE,因为∠B=∠E,AB=EF,BC=DE,所以△ABC与△FED全等.
(2)由(1)知△ABC与△FED全等,所以∠ACB=∠EDF,所以∠ACD=∠FDC,所以AC与FD平行.(共12张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
5
利用三角形全等测距离
学
习
新
知
问题思考
在抗日战争期间,为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军的碉堡,需要测出我军阵地到日军碉堡的距离.既不能过河测量又没有任何测量工具,我八路军战士为此绞尽脑汁,这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法,为成功炸毁碉堡立了一功.这位聪明的八路军战士的方法如下:
他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部;然后,他转过一个角度,保持刚才的姿势,这时,视线落在了自己所在岸的某一点上;接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡的距离.
你相信这个故事中的测量方法能够测量出我军与碉堡的距离吗？
分组活动,亲自体验这位战士的测量方法:一、三组在教室前走廊,其他组在室内,五组在黑板前.按这位战士的方法,找出走廊或教室中与你距离相等的两个点.在活动时,可用手掌或一个书本代替“帽檐”,
先确定好一个目标,再调整“帽檐”,使视线通过“帽檐”望去时恰好落在这个目标上,然后保持“帽檐”不动,转过一个角度再望出去,视线所落的位置即为第二个目标,最后大家利用步测等方法测出两个目标与你的距离,验证这位战士做法的合理性,并讨论交流解释其中的道理.
问题：1.同学们找到与你距离相等的两个点了吗 这位战士的做法合理吗
2.你能解释其中的道理吗
AC,EF表示这位战士,点B,D分别表示碉堡、岸上的某一点,由于身体与地面是垂直的,所以∠C=∠F=90°,因为视线是通过“帽檐”看目标的,“帽檐”保持不动,所以∠A=∠E,又AC=EF,即△ABC和△EDF中,
所以△ABC≌△EDF(ASA),所以BC=DF(全等三角形对应边相等).
这位战士的做法是合理的,这样可以估测出我军阵地到鬼子碉堡的距离.
这种方法实际上应用了全等三角形的知识.可用图来表示:
测池塘两端的距离
小丽和朋友们在上周末游览风景区时,看到了一个美丽的池塘,他们想知道最远两点A,B之间的距离,但是没有船,不能直接去测.手里只有一根绳子和一把尺子,他们怎样才能测出A,B之间的距离呢
请你设计一个可行的方案,画出设计图形,写出设计方案,并说明理由.
展示1:如图所示,在陆地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE并测量出它的长度即为AB的长.
理由:在△ABC和△DEC中,
所以△ABC≌△DEC(SAS),
所以AB=DE(全等三角形对应边相等).
展示2:如图所示,先作三角形ABC,再找一点D,使AD∥BC,并使AD=BC,连接CD,量CD的长即得AB的长.
理由:在△ABC和△CDA中,
所以△ABC≌△CDA(SAS),
所以AB=DC(全等三角形对应边相等).
展示3:如图所示,找一点D,使AD⊥BD,延长AD至C,使CD=AD,连接BC,量BC的长即得AB的长.
理由:在△ABD和△CBD中,
所以△ABD≌△CBD(SAS),所以AB=BC(全等三角形对应边相等).
展示4:如图所示,在地面上找到点E使EB⊥AB,延长BE到D,使ED=BE,过D作BD的垂线与AE的延长线交于C,量DC的长即得AB的长.
理由:在△ABE和△CDE中,
所以△ABE≌△CDE(ASA),所以AB=DC(全等三角形对应边相等).
[知识拓展]
利用三角形全等测距离的一般步骤:
(1)先明确实际问题可以由哪些知识来解决.
(2)根据实际问题抽象出图形.
(3)结合图形和题意分析已知条件,由已知想未知.
(4)找到已知与未知的关系,寻求恰当的解决途径,并表述清楚.
检测反馈
1.如图所示,山脚下有A,B两点,要测出这两点间
的距离.在地上取一个可以直接到达A,B两点的点O,连接AO并延长到C,使AO=CO,连接BO并延长到D,使BO=DO,连接CD.可以证△ABO≌△CDO,得CD=AB,因此,测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是
( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
解析:由AO=CO,BO=DO,∠AOB=∠COD,可知△ABO≌△CDO(SAS).故选D.
D
2.如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,可以证明△EDC≌△ABC,得ED=AB,因此,测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是
( )
A.SSS
B.ASA
C.SSA
D.SAS
解析:由∠ACB=∠ECD,CD=BC,∠ABC=∠CDE,可知△EDC≌△ABC(ASA).故选B.
B
3.如图所示,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:
①分别在BA和CA上取BE=CG;
②在BC上取BD=CF;
③量出DE的长a米,FG的长b米.
如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的,他的这种做法合理吗 为什么
解:这种做法合理.
理由:
在△BDE和△CFG中,
所以△BDE≌△CFG(SSS),
所以∠B=∠C.
4.要在池塘两侧A,B两处架桥,需测量A,B两点的距离.如图所示,找一个看得见A,B的点P,连接AP并延长到D,使PA=PD,连接BP并延长到C,使PC=PB,测得CD=35
m,就确定了AB也是35
m,说明其中的道理.
解:因为∠APB与∠DPC是对顶角,所以∠APB=∠DPC,
又因为PA=PD,PB=PC,所以△APB≌△DPC(SAS),
所以AB=CD=35
m(全等三角形对应边相等).(共8张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
1
认识三角形（第4课时）
学
习
新
知
问题思考
谁能说说:立柱和横梁之间有什么特殊的位置关系
三角形的高线概念
2.三角形的高是一条
( )
A.直线
B.射线
C.线段
D.不确定
看谁完成得又快又好.
1.从三角形的一个顶点向 作垂线,顶点和 之间的 叫做三角形的高线,简称三角形的高.
3.如图所示,线段AF是BC边上的高,因为AF是BC边上的高,所以 ⊥ ,所以∠ =∠ .
4.如图所示,CD是△ABC的高,且CD=5,S△ABC=25,则AB= .
锐角三角形的高线
利用你的锐角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢 小组讨论交流.
过顶点B,C也可以作高,还可以作三角形的两条高线(在原图中作高BD和CE).如图所示.AF是△ABC的BC边上的高;BD是△ABC的AC边上的高;CE是△ABC的AB边上的高.
结论:锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并相交于一点.
直角三角形的高线
再利用你的直角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你还能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢
直角三角形也有三条高,如Rt△ABC的三条高分别是AC,BC,BD,即AB是BC边上的高,BC是AB边上的高,BD是AC边上的高.直角三角形有一条高在三角形的内部,另外两条高分别是直角三角形的两条直角边;这三条高也相交于一点,这个交点不在三角形的内部,而与这个直角三角形的直角顶点重合.
结论:直角三角形有三条高,这三条高也相交于一点.
钝角三角形的高线
再利用你的钝角三角形纸片:
(1)你能画出这个三角形的高吗
(2)你还能用折纸的方法得到它吗
(3)这三条高之间有怎样的位置关系呢 小组讨论交流.
如图,它们分别是:AD,BE,CF.为了更准确地说明,我们可以这样叙述:AD是△ABC边BC上的高,BE是△ABC边AC上的高,CF是△ABC边AB上的高.
o
钝角三角形的三条高所在的直线相交于一点.
检测反馈
解析:锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点;钝角三角形的三条高的交点在三角形外部.所以A,B,C三种情况都有可能.故选D.
解析:三角形三条高的交点的位置与其形状有关.在三角形内是锐角三角形,在三角形外是钝角三角形,在顶点是直角三角形.故选B.
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
2.三角形的三条高相交于一点,此点一定在
( )
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一条边上
D.不能确定
B
D
3.如图所示的是一个直角三角形,底边长10,对应的高是 ;底边长8,对应的高是 ;底边长6,对应的高是 .
解析:如图可知底边长10,对应的高是4.8;底边长8,对应的高是6;底边长6,对应的高是8.
4.8
6
8(共11张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
1
认识三角形（第3课时）
学
习
新
知
问题思考
我们在看文艺节目的时候,总会有一些杂技节目,我们在感叹节目精彩的同时,也被杂技演员高超的技艺,尤其是他们超强的平衡能力所折服震撼.同学们现在看老师利用一支铅笔就可以支起一个三角形(演示),你能做到吗
三角形的中线概念
请阅读课本P87内容,思考解决下列问题:
问题1
什么是三角形的中线 它与线段的中点有什么区别与联系
问题2
如何得到三角形的中线
问题3
三角形的三条中线有怎样的位置关系
(2)几何表达:
因为AD是三角形ABC的中线,所以BD=DC=
BC或BC=2BD=2DC.
(1)定义:在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形中线是条线段(如图线段AD);线段的中点是一个点.
三角形的中线的性质及重心
议一议:
(1)在纸上任画一个锐角三角形,并画出它的三条中线,它们有怎样的位置关系 与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位置关系吗 折一折,画一画,并与同伴进行交流.
老师用铅笔支起三角形卡片的点就是三角形的 .
练一练:
如图所示,点D,E,F分别是边BC,AC,AB上的中点.
(1)AB边上的中线是 ,BC边上的中线
是 ,AC边上的中线是 .
(2)因为BE是中线,所以 = = .
因为CF是中线,所以AB=2 =2 .
CF
AD
BE
AE
EC
AF
BF
三角形角平分线及性质
【问题】请同学们仿照三角形的中线的定义给三角形的角平分线下定义.
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
几何表达:因为AD是△ABC的角平分线,所以∠1=∠2=
∠BAC.(或∠BAC=2∠1=2∠2)
做一做:
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1)你能分别画出这三个三角形的角平分线吗
(2)你能用折纸的办法得到它们吗
(3)在每个三角形中,这三条角平分线之间有怎样的位置关系
(1)通过作图发现猜想是正确的,三角形的三条角平分线交于一点,如图所示.
（2）通过折纸的方法来验证：三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点在三角形的内部．
4.三角形的三条角平分线交于一点.(交点在三角形内部)
课堂小结
1.把一条线段分成两条相等线段的点是线段的中点.在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
2.三角形的三条中线交于一点.这点称为三角形的重心.(交点在三角形的内部)
3.在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
检测反馈
1.如图所示,D,E分别为△ABC的边AC,BC的中
点,则下列说法中不正确的是
( )
A.DE是△BDC的中线
B.图中∠C的对边是DE
C.BD是△ABC的中线
D.AD=DC,BE=EC
解析:因为E为△ABC的边BC的中点,所以点E也是△BDC的边BC的中点,所以DE是△BDC的中线,故A正确;图中∠C的对边有三种可能,是DE,BD,AB,故B错误;因为D为△ABC的边AC的中点,所以BD是△ABC的中线,故C正确;因为D,E分别为△ABC的边AC,BC的中点,所以AD=DC,BE=EC,故D正确.故选B.
B
解析:因为DE∥BC,∠D=30°,所以∠DBC=30°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=30°,所以∠ABC=60°,又因为DE∥BC,所以∠AED=∠ABC=60°.故选B.
2.如图所示,BD平分∠ABC,DE∥BC,且∠D=30°,则∠AED的度数为
( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
B
3.如图所示,在△ABC中,∠BAC=68°,∠B=36°,AD是△ABC的一条角平分线,求∠ADB的度数.
解:因为AD是∠BAC的平分线,∠BAC=68°,所以∠BAD=∠DAC=34°,又因为∠B=36°,所以∠ADB=180°-
34°-
36°=110°.
4.如图所示,AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,已知DE=2
cm,求BD,BE,BC的长.
解:因为AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,所以BD=CD=2DE=4
cm,所以BE=BD+DE=6
cm,所以BC=2BD=8
cm.(共11张PPT)
七年级数学·下
新课标[北师]
第四章
三角形
学习新知
检测反馈
2
图形的全等
学
习
新
知
问题思考
请观察生活中的几组图片,这些图片有何特征
全等图形的定义和性质
观察下列同一类的图形有什么特点
两个能够完全重合的图形称为全等图形.
【巩固训练】
下图中,(4)和(7),(5)和(10)为什么不是全等图形
(4)和(7)两个图形面积相同,但形状不同,(5)和(10)两个图形形状相同,但大小不同.
全等三角形的有关概念及表示法
全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等三角形.其中顶点A,D重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,它们是对应角.你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗
A
B
C
D
E
F
△ABC与△DEF全等,记作:△ABC≌△DEF,读作:△ABC全等于△DEF,记两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形的对应边相等),∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形的对应角相等).
【活动内容2】 全等三角形的表示.
全等三角形中重要线段之间的关系
【活动内容1】 议一议.
(1)教材图4
-
24是两个全等三角形,请画出一组对应边的高,测量这组高的长度,你有什么发现 全等三角形对应边的中线相等吗 还有哪些相等的线段 举例说明.
(2)如图(教材图4
-
24),已知△ABC≌△A'B'C',你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段D'E'
用直尺和圆规找出D点的对应点D',E点的对应点E',再连接D'E'.
【活动内容2】 做一做.
一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗 三个呢 四个呢
答案如下图所示:
变式：沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分成两个全等的图形．
2.全等图形的性质、全等三角形的性质:
全等图形的性质:全等图形的形状和大小都相同.
全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
1.全等图形和全等三角形的概念:
全等图形:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
3.全等三角形对应边上的高、对应边上的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.
课堂小结
检测反馈
解析:因为△ABC≌△DEF,AC与DF是对应边,所以AC=DF=3
cm.故选C.
1.若△ABC≌△DEF,且AB=4
cm,BC=5
cm,DF=3
cm,则AC的长为
( )
A.4
cm
B.5
cm
C.3
cm
D.2
cm
C
2.如图所示,△ABC≌△FED,且BC=ED.试说明AB∥EF,AD=FC.
解:因为△ABC≌△FED,且BC=ED,所以∠A=∠F,所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).因为△ABC≌△FED,所以AC=DF(全等三角形的对应边相等),所以AC-
DC=DF-
DC,即AD=FC.
3.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求△AEC各内角的度数.
解:因为△ABC≌△AEC,∠ABC与∠AEC,∠ACB与∠ACE,∠BAC与∠EAC是对应角,
所以∠ABC=∠AEC,∠ACB=∠ACE,∠BAC=∠EAC,
因为∠B=30°,∠ACB=85°,
所以∠ABC=∠AEC=30°,∠ACB=∠ACE=85°,
∠BAC=∠EAC=180°-
115°=65°.
