第二十二章 四边形
1.了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.
4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理.
5.探索并掌握三角形的中位线定理.
1.在本章知识的探究与深化的过程中,提高学生的合情推理与演绎推理的能力.
2.在探索图形的性质与判定定理的活动过程中,进一步建立空间观念.
1.通过经历运用图形变换探索图形性质的过程,体验数学研究和发现的过程,并能得出正确的结论.
2.通过逆命题猜想、操作验证、逻辑推理证明的过程,体验数学研究和发现的过程,学会数学思考的方法.
3.进一步培养学生的数学说理能力与习惯,并要求学生能熟练书写规范的推理格式.
1.本章的内容、地位和作用
本章内容包括三个方面:基础知识——四边形、特殊四边形以及多边形的有关概念,平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理,三角形的中位线定理;基本方法——探索图形性质的基本方法(观察、试验、作图、变换、推理等);推理——合情推理与演绎推理,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等方法,发现问题,提出问题及从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则进行证明和计算.
在知识方面,四边形是最基本的平面图形之一,是三角形有关内容的进一步发展,也是学生继续学习空间与图形等其他内容的基础.
在几何知识研究方法与过程方面,把图形变换作为有效的工具,充分体现了图形变换在研究图形性质和判定中的作用.
在推理能力训练方面,理解两种推理功能不同.二者相辅相成:合情推理用于探索思路,发现结论;演绎推理用于证明结论,在解决问题的过程中,逐步掌握两种推理的运用.
2.本章内容呈现方式及特点.
(1)以学生已经掌握的三角形有关知识以及图形变换(轴对称、平移、旋转,特别是中心对称)等有关几何事实为基础,通过观察、操作、思考和交流等数学活动,获得几何概念、性质定理、判定定理,培养学生推理的意识和能力.
(2)根据本章内容的特点,采用“先特殊的多边形(四边形),再一般的多边形”的编排思路,在呈现方式上,摒弃“结论——例题——练习”的陈述模式,改用“问题——探究——发现——证明”的探究模式,并采用多种探究方法.
(3)将合情推理与演绎推理紧密结合起来,把推理能力的培养建立在可操作的环节上.
(4)本章特别强调图形性质和判定的探索过程,而不是简单地得到四边形、特殊四边形的有关性质和判定的结论.
(5)在呈现具体内容时,教材力图为学生提供生动有趣的现实情境,通过各种活动,充分挖掘特殊四边形的中心对称性和轴对称性.这种设计,旨在进一步深化学生对四边形性质定理和判定定理的理解,以及对识图、简单画图等操作技能的掌握,进一步丰富学生的数学活动经验,有意识地培养学生积极的情感态度,并促进其形成良好的数学观,
【重点】
1.理解和掌握平行四边形的性质定理和判定定理以及特殊平行四边形的性质和判定方法.
2.多边形的内角和与外角和.
【难点】
平行四边形的性质定理与判定定理的综合应用.
1.教学活动的组织要根据本章的具体内容和呈现方式的特点,以学生的生活经验和已有的数学活动经验(包括操作经验)为基础,注意题材选取的灵活性(既可以充分利用教材中已有的题材,也可以根据实际创设更现实、更有趣的问题情境),充分展开学生的活动,通过图形性质的探究过程,培养学生的抽象概括能力和推理能力.
2.应特别关注学生的探索精神的培养.要有意识地引导学生自觉地表达对有关概念、结论的理解,自觉地用自己的语言说明操作的过程,并利用说理和简单的推理印证结论的真实性.
3.应注意图形变换的工具性作用.充分利用图形的平移、旋转(特别是中心对称)和轴对称来探究图形的性质和判定方法.
4.注意合情推理与演绎推理地有机结合.要有意识地培养学生有条理的思考、表达和交流,使学生体会证明的过程要步步有据,使学生逐步掌握几何推理的基本步骤和综合法证明的格式.
5.关注学生的合作与交流.在课堂上给学生自主、合作的活动机会,逐步培养学生的团体合作和竞争意识,发展交往与审美的能力,强调合作动机和个人责任.
6.加强对关键问题与困难环节的引导与指导,增强学生的兴趣和信心.
22.1平行四边形的性质
2课时
22.2平行四边形的判定
2课时
22.3三角形的中位线
1课时
22.4矩形
2课时
22.5菱形
2课时
22.6正方形
1课时
22.7多边形的内角和与外角和
1课时
回顾与反思
1课时
22.1 平行四边形的性质
1.经历平行四边形概念的形成过程和性质的探究过程,体会平移、中心对称等图形变化在研究平行四边形及其性质中的作用.
2.通过旋转等操作活动体会平行四边形的中心对称性.
3.探索并掌握平行四边形的性质.
通过证明平行四边形的性质定理的过程,进一步理解几何证明的意义.
在操作、探究等数学活动中,提高学生的探究能力,增强交流与合作的意识.
【重点】
平行四边形的性质的探索.
【难点】
平行四边形的性质的探究和应用.
第课时
通过运用图形的变化探索并掌握平行四边形的有关概念和特征.
1.体验数学研究和发现的过程,并得出正确的结论.
2.进一步体验一些变换思想,发展合情推理,进一步学习有条理地思考与表达,培养学生的探索能力与合作交流的习惯.
3.尝试从不同角度寻求解决问题的多种方法,提高解决问题的能力.
感受数学学习的乐趣,增加学习数学的兴趣和自信心.
【重点】
平行四边形的概念和特征.
【难点】
探索和掌握平行四边形的性质.
【教师准备】 课件1~6.
【学生准备】 刻度尺.
导入一:
你知道为什么用正方形地面砖铺地吗 伸缩门为什么能像松紧带似的折叠吗
更有趣的是蜜蜂蜂房是严格的六角形柱状体,它的一端是平整的六角形开口,另一端是封闭的六角菱形的底,由三个相同的特殊的平行四边形组成,组成底盘的特殊的平行四边形的钝角为109度28分,锐角为70度32分,这样既坚固又省料,你想知道为什么如此神奇吗 请跟我一起走进平行四边形的课堂去探索吧!
[设计意图] 从生活实际出发,创设情境,提出问题,激发学生强烈的好奇心和求知欲.学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程.
导入二:
问题:什么叫做平行四边形 它有什么性质
回答1:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
回答2:平行四边形的对边平行,相邻的内角互为补角.
如图所示,平行四边形用符号“ ”表示,平行四边形ABCD记作“ ABCD”,读作“平行四边形ABCD”.
学生回答,师生共同评价,教师要强调平行四边形的符号记法,并板书示范.
[设计意图] 通过简单的提问唤起学生对平行四边形的回忆,至于性质并不要求学生表达如何准确,更多的是为本节课指明方向.
导入三:
问题1:同学们,你们观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗
学生根据自己的生活经验,可能回答:平行四边形、矩形、四边形……
教师:太阳光线属于平行光线,窗口投在地面上的影子通常是平行四边形.
问题2:爱动脑筋的小刚观察到平行四边形的影子有一种对称的美,他说只要量出一个内角的度数,就能知道其余三个内角的度数;只需测出一组邻边的长,便能计算出它的周长,这是为什么呢
通过本节课的学习,大家就能明白其中的道理.今天,我们共同研究平行四边形及其性质.
[设计意图] 通过观察平行光线在室内的投影,让学生感受到平行四边形与生活实际紧密相连;同时,把思维兴奋点集中到要研究的平行四边形上来,为下面学习新知识创造了良好开端.
[过渡语] 从本节开始,我们将进一步认识一些特殊的四边形,并探究这些四边形的一些基本性质和判定方法.首先我们来确定一下平行四边形的性质.
活动 平行四边形的性质的探究
思路一
1.创设问题情境
【课件1】 在我们的周围存在着许多四边形,观察下列图片,从中找出四边形,并就它们的共同特性和不同特性,和大家交流你的看法.
我们知道,平行四边形是我们生活中常见的一种图形,它有着十分和谐的对称美,四边形就在我们身边并与我们的生活息息相关.
2.知识形成
(1)让学生交流说出生活中见到的平行四边形.
(2)拿出一张坐标纸,画线段AB和直线PQ,学生动手操作:把AB沿着PQ方向平移到CD位置.
(3)学生对(2)操作的思考:四边形ABCD是一个怎么样的四边形 根据平移的原则,AB与CD,AD与BC的位置关系如何
概括:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
[知识拓展] 定义具有双重性,具备“两组对边分别平行”的四边形才是“平行四边形”.反过来,“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质.平行四边形的定义既是平行四边形的一种性质,也是平行四边形的一种判定方法.
【思考】
(1)要识别一个图形是否是平行四边形,目前的方法有几个
(2)平行四边形应该有几组对边平行
3.一起探究
【课件2】 (1)在半透明的纸上画一个 ABCD,再复制一个,将两个图形完全重合,用大头针钉在中心处,使下面的图形不动,将上面的图形绕中心O旋转180°,这两个图形能完全重合吗 平行四边形是不是中心对称图形 如果是中心对称图形,哪个点是它的对称中心 被对角线分成的三角形中,关于点O成中心对称的图形有几对
(2)在 ABCD中,你发现有哪些相等的边或角,请你写出来.
这一过程,教师要深入到学生中进行指导、点拨,及时总结学生的发现,教学环节可按步骤进行.
总结:(1)平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.
(2)平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.
请同学们先来证明平行四边形的对边相等、对角相等.
已知:如图所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证:(1)AD=CB,AB=CD.
(2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA.
证明:如图所示,连接BD,在△ABD和△CDB中,
∵AD∥CB,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
又∵BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠DCB.
∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,
即∠ABC=∠CDA.
平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等,对角相等.
思路二
1.拼图游戏
【课件3】 你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出四边形吗
学生动手操作,教师观察,请学生代表将拼出的不同形状的四边形展示在黑板上.
[设计意图] 通过拼图游戏,让学生经历平行四边形概念的探究过程,自然而然地形成平行四边形的概念,符合学生的认知规律,避免以往概念教学的机械记忆,同时培养学生的探究意识,拓展学生思维的广阔性.
【课件4】 观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系 说说你的理由.
【师生活动】 结合拼出的这个特殊的四边形,给出平行四边形的定义.
[设计意图] 渗透类比思想.在比较中学习,能够加深学生对平行四边形概念的理解.
问题:黑板上展示的图形中,哪些是平行四边形
学生对黑板上拼出的四边形进行识别.
教师强调定义的两个作用:一是可以判定一个四边形是不是平行四边形;二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质.
根据定义画一个平行四边形.
教师画图示范,结合图形介绍平行四边形的对边、对角、对角线等元素及平行四边形的记法、读法.
[设计意图] 鼓励学生学习方式的个性化,满足学生的多样化学习需求,做到既着眼于共同发展,又关注到个性差异.
2.探究平行四边形的性质
(1)活动要求:
①请你适当利用材料袋里的学具;
②可以采用度量、平移、旋转、折叠、拼图等方法;
③通过小组内合作,探究平行四边形有哪些性质.
大家先看清要求,再动手操作,结论写在记录板上.
(2)学生利用学具(全等的三角形纸板、平行四边形纸板各一对,刻度尺,量角器,图钉)小组内合作探究,教师以合作者的身份深入到各小组中,了解学生的探究过程并适当予以指导.
(3)汇报:学生展示试验过程,相互补充探究出的结论,教师要引导学生将探究出的结论按照边、角进行归类梳理,使知识的呈现具有条理性.
(4)请大家思考一下,利用我们以前学习的几何知识通过说理能验证这三个结论吗
【教师小结】 连接平行四边形的对角线,是我们常作的辅助线,它构造出两个全等的三角形,从而将四边形问题转化为熟悉的三角形问题,充分体现了由未知转化为已知,由繁化简的数学思想.
(5)平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等,对角相等.
【教师小结】 我们用不同的方法,从不同的角度,通过试验、说理得到了平行四边形的性质,它为我们得到线段相等、角相等提供了新的方法和依据.
[设计意图] 小组合作探究结果的展示,从多个方面完善了学生对平行四边形性质的认识,大大提高了学习效率;更为重要的是在这一过程中,不但完成了学习任务,而且还学会了与人交流沟通的本领.真正体现了新课程理念中“以人为本,促进学生终身发展”的教学理念.
解决课前提出的实际问题:
某时刻小刚用量角器量出地面上平行四边形影子的一个内角是60°,就说知道了其余三个内角的度数;又用直尺量出一组邻边的长分别是40
cm和55
cm,便胸有成竹地说能够计算出这个平行四边形的周长.你知道小刚是如何计算的吗 这样计算的根据是什么
[设计意图] 回顾导入中的问题,体现了教学的连贯性,也体现出数学知识的实用性,学以致用的体验使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.开放性的命题培养了学生思维的严谨性、发散性、灵活性.
3.性质的应用
【课件5】 已知:如图所示, ABCD的周长为22
cm,△ABD的周长为18
cm,求对角线BD的长.
分析:求对角线BD的长,要先利用平行四边形的对边相等的性质,得到AD=BC,AB=DC,然后根据 ABCD的周长和△ABD的周长进行推理.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=DC.
由已知条件,得
2(AB+AD)=22,
∴AB+AD=11.
又∵AB+AD+BD=18,
∴BD=18-11=7.
【课件6】 (教材第128页例1)已知:如图所示,在 ABCD中,∠B+∠D=260°,求∠A,∠C的度数.
分析:根据平行四边形的对角相等进行求解.
解:在 ABCD中,
∵∠B=∠D,∠B+∠D=260°,
∴∠B=∠D==130°.
又∵AD∥CB,
∴∠A=180°-∠B=180°-130°=50°.
∴∠C=∠A=50°.
[设计意图] 通过例题的讲解,让学生进一步理解和掌握平行四边形的性质,并能正确地加以应用.
平行四边形的相关知识:
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
表示方法
平行四边形ABCD记作: ABCD
对称性
中心对称图形,它的对称中心是对角线的交点
性质
边
两组对边分别平行
两组对边分别相等
角
两组对角分别相等
邻角互补
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中的全等三角形的对数为
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在△AOD和△COB中,∴△AOD≌△COB(SAS).同理可得△AOB≌△COD(SAS).在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB(SSS).同理可得△ACD≌△CAB(SSS).共有4对全等三角形.故选D.
2.如图所示, ABCD中,AE平分∠BAD,若CE=3
cm,AB=4
cm,则 ABCD的周长是
( )
A.20
cm
B.21
cm
C.22
cm
D.23
cm
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=DC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB=4
cm,∴BC=BE+CE=7
cm,∴ ABCD的周长=2(AB+BC)=2(4+7)=22(cm).故选C.
3.在 ABCD中,若∠B=4∠A,则∠D等于
( )
A.18°
B.36°
C.72°
D.144°
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠B=4∠A,∴∠A+4∠A=180°,解得∠A=36°,∴∠B=144°,∴∠D=144°.故选D.
4.如图所示,在 ABCD中,下列结论一定正确的是
( )
①∠1+∠2=180°;
②∠2+∠3=180°;
③∠3+∠4=180°;
④∠2+∠4=180°.
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
解析:∵∠1和∠2是邻补角,∴∠1+∠2=180°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠2=∠4,∠2+∠3=180°,∠3+∠4=180°,∴正确的有①②③.故选A.
5.(2016·孝感中考)在 ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为
( )
A.3
B.5
C.2或3
D.3或5
图(1)
图(2)
解析:第一种情况:如图(1)所示,在 ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD.∵EF=2,∴BC=BE+EF+CF=2AB+EF=8,∴AB=3.第二种情况:如图(2)所示,在 ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD.∵EF=2,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8,∴AB=5.综上,AB的长为3或5.故选D.
6.一个平行四边形的周长为70
cm,相邻两边长度的差是5
cm,则这个平行四边形较长边的长为 cm.
解析:设该平行四边形的两边长分别为x
cm,y
cm,且x>y,根据题意,得解得则这个平行四边形较长边的长为20
cm.故填20.
7.用40
cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3∶2,则较长边的长为 cm.
解析:设较长边的长为3x
cm,则另一边的长为2x
cm.根据题意,得2(2x+3x)=40,解得x=4,∴较长边的长为3×4=12(cm).故填12.
8.如图所示,在 ABCD中,E是CD的中点,AE的延长线与BC的延长线相交于点F.
求证BC=CF.
解析:先证明△ADE≌△FCE,得出AD=CF,再根据平行四边形的性质可知AD=BC,继而得出结论.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.
∴BC=CF.
第1课时
活动 平行四边形的性质的探究
一、教材作业
【必做题】
1.教材第119页练习第1,2题.
2.教材第119页习题A组第1,2,3,4题.
【选做题】
教材第119页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在 ABCD中,已知AD=12
cm,AB=8
cm,AE平分∠BAD交BC边于点E,则CE的长等于
( )
A.8
cm
B.6
cm
C.4
cm
D.2
cm
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,在 ABCD中,BM是∠ABC的平分线交CD于点M,且MC=2, ABCD的周长是14,则DM等于
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图所示, ABCD中,CE平分∠BCD.若BC=10,AE=4,则 ABCD的周长是
( )
A.28
B.32
C.36
D.40
4.(2016·福州中考)平面直角坐标系中,已知 ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),则点D的坐标是
( )
A.(-2,1)
B.(-2,-1)
C.(-1,-2)
D.(-1,2)
5.在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是
( )
A.1∶2∶3∶4
B.1∶2∶1∶2
C.1∶1∶2∶2
D.1∶2∶2∶1
6.在 ABCD中,∠B-∠A=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别是
( )
A.95°,85°,95°,85°
B.85°,95°,85°,95°
C.105°,75°,105°,75°
D.75°,105°,75°,105°
【能力提升】
7.在 ABCD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为 .
8.已知:如图所示,点E,F分别为 ABCD的边BC,AD上的点,且∠1=∠2.求证AE=CF.
(第8题图)
(第9题图)
9.如图所示,在 ABCD中,点E在边BC上,点F在BC的延长线上,且EF=AD.求证∠BAE=∠CDF.
10.如图所示,将平行四边形ABCD的边AB延长至点E,使AB=BE,连接BD,EC.求证△ABD≌△BEC.
【拓展探究】
11.如图所示,在 ABCD中,BE平分∠ABC且交边AD于点E,如果AB=6
cm,BC=10
cm,试求:
(1) ABCD的周长;
(2)求DE的长.
(第11题图)
(第12题图)
12.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点E,A,C,F在同一直线上,且AE=CF.求证BE=DF.
13.如图所示,在 ABCD中,点E是DC的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证△ADE和△CEF的面积相等;
(2)若AB=2AD,试说明AF恰好是∠BAD的平分线.
【答案与解析】
1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=12
cm,AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB=8
cm,∴CE=BC-BE=4
cm.)
2.C(解析:∵BM是∠ABC的平分线,∴∠ABM=∠CBM.∵AB∥CD,∴∠ABM=∠BMC,∴∠BMC=∠CBM,∴BC=MC=2.∵ ABCD的周长是14,∴BC+CD=7,∴CD=5,则DM=CD-MC=3.)
3.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=10,AB=DC,AD∥BC,∴DE=AD-AE=6,∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DC=DE=6,∴ ABCD的周长=2(DC+BC)=2(6+10)=32.)
4.A(解析:∵A(m,n),C(-m,-n),∴点A和点C关于原点对称,∵四边形ABCD是平行四边形,∴点D和点B关于原点对称,∵B(2,-1),∴点D的坐标是(-2,1).故选A.)
5.B(解析:由于平行四边形的对角相等,所以对角的比值数应该相等,其中A,C,D都不满足,只有B满足.)
6.D(解析:设∠A的度数为x,则有(180°-x)-x=30°,解得x=75°,所以∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别是75°,105°,75°,105°.)
7.55°或35°(解析:第1种情况:当E点在线段AD上时,如图(1)所示,∵BE是AD边上的高,∠EBD
图(1)
图(2)
=20°,∴∠ADB=90°-20°=70°.∵AD=BD,∴∠A=∠ABD==55°.第2种情况:当E点在AD的延长线上时,如图(2)所示,∵BE是AD边上的高,∠EBD=20°,∴∠BDE=70°.∵AD=BD,∴∠A=∠ABD=∠BDE=×70°=35°.故填55°或35°.)
8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠1,∵∠1=∠2,∴∠DAE=∠2,∴AE∥CF.∵AF∥EC,∴四边形AECF是平行四边形,∴AE=CF.
9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCF.又∵EF=AD,∴BC=EF,∴BE=CF.在△ABE和△DCF中,∴△BAE≌△CDF(SAS),∴∠BAE=∠CDF.
10.证明:在平行四边形ABCD中,AD=BC,AB=CD,AB∥CD,则BE∥CD.又∵AB=BE,∴BE=DC,∴四边形BECD为平行四边形,∴BD=EC.在△ABD与△BEC中,
∴△ABD≌△BEC(SSS).
11.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,AB=6
cm,BC=10
cm,∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×16=32(cm). (2)在平行四边形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠AEB,即AB=AE.∴DE=AD-AE=10-6=4(cm).
12.证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC=AD,BC∥AD,∴∠BCA=∠DAC.又∵AE=CF,∴EC=AF.在△BCE和△DAF中,∴△BCE≌△DAF(SAS),∴BE=DF.
13.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠F.∵点E是DC的中点,∴CE=DE.在△AED和△FEC中,∴△AED≌△FEC(AAS),∴△ADE和△CEF的面积相等. (2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC.由(1)知△AED≌△FEC,∴AD=CF,∴AD=BC=CF.∵AB=2AD,∴AB=2BC=BF,∴∠BAF=∠F.又∵∠DAE=∠F,∴∠BAF=∠DAE,即AF是∠BAD的平分线.
在导入部分,通过对生活中的几幅精美图片的欣赏,让学生由最熟悉的生活场景入手,使学生体会到数学无处不在,增强了学生的感性认识,从而激发了学生的学习热情.通过采用探究式的教学方法,把课堂的自主权交给学生,让学生真正成为课堂的主人,充分体现了学生的主体作用,尤其在拼接平行四边形的过程中,对学生进行分组,让学生自己动手,自己归纳结论,突出了重点并突破了难点.通过合作交流的学习方式,培养学生的实际操作能力和互助的学习技能,同时提高了学生的学习热情,把枯燥乏味的数学教学活动转变为生动有趣的小组学习活动,更加有利于学生对知识的理解和掌握,在此过程中,更注重学生数学解题思维能力的培养,充分体现了教师引导下的学生主体地位,符合新课标的要求,更有利于教学相长.
对学生在解题过程中说理能力方向强调得不够.
八年级学生对平面图形的认识能力刚刚形成,抽象思维还不够,学习几何知识处于现象描述和说理的过渡时期.因此,对这部分内容的学习,要引导学生学会用准确的符号语言进行正确的说理.而教师在教学中,由于时间紧,所以这部分知识过渡较快,可能对于基础比较差的学生有一定的困难.在例题讲解中,时间把握的不是很到位,显得有点仓促.在分析例题的时候,基本上没有详细解答,只是简单分析了一下题意,没有很好地进行板书和照顾基础稍微弱一点的学生.
教师在几何问题的教学中,要注意符号语言的正确书写和语言的逻辑性,能板书示范的教师要进行示范,以规范学生的做题步骤,体现讲题说理的重要性.加强练习,互相讲评,强调学生做题每一步的合理性.另外在例题的讲解上,应该掌握好时间,让学生能够彻底掌握.
练习(教材第119页)
1.解: ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(3+2)=10.
2.提示:根据平行四边形的对角相等及平行线的性质,可证△ABC是等腰三角形,则 ABCD的周长=4AB=12.
3.解:∠C=∠A=180°×=100°.
习题(教材第119页)
A组
1.解:在 ABCD中,∠A+∠B=180°,∠A-∠B=40°,所以∠A=110°,∠B=70°,∠C=110°,∠D=70°.
2.解:如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°,所以∠A+∠B+∠C+∠D=180°+180°=360°,即平行四边形ABCD的内角和为360°.
3.解:在 ABCD中,∵AD∥BC,∴∠B=∠EAD=
46°.∵CE⊥BA,∴∠BEC=90°,∴∠BCE=90°-∠B=44°.∵∠B=∠D,∴∠D=46°.
4.解:AE=CF.证明如下:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.
B组
1.证明:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠F=∠CDE.∵E为BC的中点,∴BE=CE.在△BEF和△CED中,∴△BEF≌△CED(AAS).∴BF=CD.又∵AB=CD,∴BF=
AB,∴点B为AF的中点.
2.证明:在 ABCD中,AB=CD,∠B=∠D,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.
(2016·益阳中考)如图所示,在 ABCD中,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,连接AF,CE.求证AF=CE.
〔解析〕 首先证明AE∥CF,再证△ABE≌△CDF,得到AE=CF,根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形,由平行四边形的性质可得AF=CE.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
∴AE=CF.
∵AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF=CE.
(2016·永州中考)如图所示,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证BE=CD;
(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.
解析:(1)由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠BEA,从而得出AB=BE,即可证得BE=CD.(2)先证明△ABE是等边三角形,得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理求出BF,由证明△ADF≌△ECF,得出△ADF的面积=△ECF的面积,因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE·BF,即可得出结果.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,
∴∠AEB=∠DAE.
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE,∴BE=CD.
解:(2)∵AB=BE,∠BEA=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=4.
∵BF⊥AE,
∴AF=EF=2,
∴BF===2.
∵AD∥BC,
∴∠D=∠ECF,∠DAF=∠E.
在△ADF和△ECF中,
∴△ADF≌△ECF(AAS),
∴△ADF的面积=△ECF的面积,
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE·BF=×4×2=4.
第课时
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合应用平行四边形的性质进行计算和证明.
1.根据平行四边形的性质进行计算和证明,通过观察、试验、归纳、证明,培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
2.学生亲自经历探索平行四边形有关性质的过程,在解决问题的过程中,培养学生“应用数学”的能力.
在应用所学知识解决问题的过程中,培养学生独立思考的习惯,在数学学习活动中获得成功的体验.
【重点】
平行四边形的对角线互相平分及其应用.
【难点】
综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】 课件1~7.
【学生准备】 复习平行四边形的相关知识.
导入一:
【课件1】 小明用几根小棒搭成一个有两条对角线的平行四边形,他先找到一根长6
cm与一根长8
cm的小棒作为平行四边形的两条对角线,然后他又找到了长分别为5
cm,8
cm,12
cm的三种小木棒,其中有几种小棒可以用来作为平行四边形的边 为什么 你自己动手搭一搭,如果一根小棒可以用来作为这个平行四边形的一边,那么它的长度应该在什么范围内
[设计意图] 通过实际的小问题,让学生通过动手操作、猜测,得出结论,紧接着设下悬念,进入本节课的学习.
导入二:
回答下列问题:
(1)平行四边形的边之间有什么关系 角之间有什么关系
(平行四边形的对边平行且相等,平行四边形的对角相等,邻角互补.)
(2)平行四边形除了边和角之外还有其他的研究对象吗 还有没有其他的性质呢
(提示:画出平行四边形.)
(3)平行四边形的对角线之间有什么关系
(提示:连接对角线)
学生随着教师的提问独立思考,交流讨论.
猜测:平行四边形的对角线互相平分.
[设计意图] 从平行四边形的边和角两个方面考查平行四边形的性质,引出是否还有其他性质这个问题.在教师的引导下画出图形,使得教学过程流畅自然,鼓励学生大胆猜测,培养直觉思维.
活动1 平行四边形对角线的性质
思路一
1.知识回顾
(1)什么是平行四边形
(2)平行四边形的边、角有何特征
(3)如何得出平行四边形的边与角的性质
2.知识形成
请学生观察如图所示的平行四边形ABCD.
(1)由图可以发现平行四边形的边与角的关系.
即AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠CDA.
(2)寻找OA和OC,OB和OD的长度之间的数量关系.
问:能用什么方法证明你的结论
①用刻度尺分别量出OA和OC,OB和OD的长度,并进行比较;
②用折叠的方法;
③复制平行四边形ABCD,用上一节的办法将OA绕着对角线的交点旋转180°后与OC重合,同理OB与OD重合.
结论:平行四边形的对角线互相平分.
推理格式:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
【课件2】 已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD.
∴OA=OC,OB=OD.
平行四边形的性质定理:平行四边形的对角线互相平分.
[设计意图] 在几何教学中用文字语言表述一件事相对比较容易,但用符号语言表述对学生来说还是有些生疏,教师在教学中随时引导学生用符号语言来描述某种数学现象,提升学生的数学语言表述能力.
[知识拓展] (1)把四边形问题转化为三角形问题是解决四边形问题的常用方法之一,而连接对角线是转化时常用的一种辅助线作法.(2)平行四边形是特殊的四边形,因此除了上述我们学过的性质之外,还具有一般四边形的性质:四边形的不稳定性,四边形的内角和、外角和都等于360°.
活动2 例题讲解
[过渡语] 到目前为止,平行四边形的性质研究就告一段落了,我们不仅从边与角两方面考查了平行四边形的性质,还考查了它的对角线的特点,现在我们就可以利用这些知识点来解决问题了.
思路一
【课件3】
(教材第120页例2) 已知:如图所示,O为 ABCD两条对角线的交点,AC=24
mm,BD=38
mm,BC=28
mm,求△OAD的周长.
分析:根据平行四边形的对角线互相平分和平行四边形的对边相等即可得出结论.
让学生先自己独立完成,指一名学生板演,然后集体讲评.
解:在 ABCD中,
∵AC=24
mm,BD=38
mm,
∴AO===12(mm),
DO===19(mm).
又∵BC=28
mm.
∴AD=BC=28
mm.
∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).
【课件4】
(教材第120页例3) 已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,交DA于点E,交BC于点F.
求证OE=OF,AE=CF,DE=BF.
分析:可以根据三角形全等的知识,先证△AOE≌△COF,从而得到OE=OF,AE=CF,再根据AD=CB,即可得到DE=BF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD相交于点O,
∴OA=OC,∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,AE=CF.
又∵AD=CB,
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.
【课件5】 若例3中的条件都不变,将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图所示,例3的结论是否成立 说明你的理由.
思路二
【课件6】 如图所示,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求BC,CD,AC,OA的长以及 ABCD的面积.
变式1:你能求出OB的长吗
变式2:图中△AOB,△BOC和△COD,△AOD的面积相等吗
【教师活动】 教师指导学生对例题进行分析,引导探索解题思路和步骤.对于变式1和变式2,要让学生讨论、交流各自的想法,达成共识,然后完成解题步骤.
【学生活动】 学生在交流的过程中,要充分说明理由,并互相补充.
[设计意图] 通过例题,让学生学会如何分析问题,如何用符号语言书写解题步骤,突破用几何语言书写的难点.
【课件7】
1.平行四边形的性质:
图形
边
角
对角线
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
注意:利用平行四边形的性质可以证明线段相等、角相等及两直线平行等结论.
2.平行四边形的性质口诀:
平行四边形,形状不稳定;
平行四边形,对角定相等;
平行四边形,对边也相等;
注意对角线,互相能平分.
1.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中全等三角形的对数为
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在△AOD和△COB中,∴△AOD≌△COB(SAS);同理可得△AOB≌△COD(SAS);在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB(SSS);同理可得△ACD≌△CAB(SSS).∴图中共有4对全等三角形.故选D.
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,平行四边形的一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为
( )
A.4
B.14C.12D.8解析:∵BC=10,AC=6,∴OC=AO=3,BD=2OB,∴10-33.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是
( )
A.AO=OD
B.AO⊥OD
C.AO=OC
D.AO⊥AB
解析:根据平行四边形的对角线互相平分,可知选C.
(第3题图)
(第4题图)
4.(2016·泸州中考)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是
( )
A.10
B.14
C.20
D.22
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6.∵AC+BD=16,∴AO+BO=8,∴△ABO的周长是14.故选B.
5.如图所示, ABCD的周长为20
cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△CDE的周长为
( )
A.6
cm
B.8
cm
C.10
cm
D.12
cm
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC.∵ ABCD的周长为20
cm,∴AD+DC=10
cm.又∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10(cm).故选C.
6.如图所示,在 ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF,
分别交DA的延长线和BC的延长线于点E,F,交AB,CD于点M,N.
(1)观察图形找出一对全等三角形,并加以说明;
(2)在(1)中你所找出的全等三角形中,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样变换得到的
解:(1)答案不唯一,如:①△DOE≌△BOF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠FBD,∠E=∠F.
由题意知OD=OB,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
②△BOM≌△DON.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠MBO=∠NDO,∠BMO=∠DNO.
由题意知BO=DO,
∴△BOM≌△DON(AAS).
(2)(答案不唯一)△BOM绕点O旋转180°得到△DON.
7.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN是过O点的直线,交BC于M,交AD于N,BM=2,AN=2.8,求BC和AD的长.
解析:根据平行四边形的性质得OA=OC,根据平行线的性质,得∠OAN=∠OCM,结合对顶角相等即可证明△AON≌△COM,则AN=CM=2.8,最后求解.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAN=∠OCM.
在△AON与△COM中,
∴△AON≌△COM.
∴AN=CM=2.8.∴BC=AD=4.8.
第2课时
活动1 平行四边形对角线的性质
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第121页练习第1,2题.
2.教材第121页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第122页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中的全等三角形共有
( )
A.5对
B.6对
C.7对
D.8对
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知△BOC与△AOB的周长之差为3, ABCD的周长为26,则BC的长为
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
3.(2016·丽水中考)如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为
( )
A.13
B.17
C.20
D.26
(第3题图)
(第4题图)
4.如图所示, ABCD的对角线交于点O,下列结论错误的是
( )
A.△AOB≌△BOC
B.△AOB≌△COD
C. ABCD是中心对称图形
D.△AOB与△BOC的面积相等
5.如图所示,P是 ABCD的边AD上一点.已知S△ABP=3,S△PDC=2,那么平行四边形ABCD的面积是
( )
A.6
B.8
C.10
D.无法确定
(第5题图)
(第6题图)
6.如图所示, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,且AC⊥AB,已知AC=10,BD=26,那么 ABCD的面积为 .
【能力提升】
7.如图所示,过平行四边形ABCD的对角线交点O的直线交AD于E,交BC于F,若AB=5,BC=6,OE=2,那么四边形EFCD的周长是
( )
A.16
B.15
C.14
D.13
(第7题图)
(第8题图)
8.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F,求证:OE=OF.
【拓展探究】
9.下面是小明作业中对一道题的解答以及老师的批阅:
如图所示, ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,OF⊥BC,垂足分别是E,F.
求证OE=OF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,OA=OC.
∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).
∵∠1=∠2(对顶角相等),
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
小明认为自己正确说明了问题,但老师却在答案中画了一条线,并打了“ ”请你指出其中的问题,并给出正确解答.
10.探究规律:如图所示,已知 ABCD,试用三种方法将它分成面积相等的两部分.由上述方法,你能得到什么一般性的结论
【答案与解析】
1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,AB=CD,AD=BC.在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB(SSS).同理△ABC≌△CDA.在△AOD和△COB中,∴△AOD≌△COB(SAS).同理△AOB≌△COD,∴∠ABO=∠CDO.∵CF⊥BD,AE⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,∠AEB=∠CFD=90°.在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS).在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).同理△ADE≌△CBF.)
2.D(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.∵ ABCD的周长为26,∴BC+AB=13,① ∵△BOC与△AOB的周长之差为3,∴(OB+OC+BC)-(OA+OB+AB)=3,即BC-AB=3,② 由①+②,得2BC=16,∴BC=8.)
3.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,∴△OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17.故选B.)
4.A(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∴△AOB的面积=△BOC的面积,∴选项D正确;平行四边形是中心对称图形,∴选项C正确;在△AOB和△COD中,∴△AOB≌△COD(SAS),∴选项B正确,选项A错误.)
5.C(解析:∵P是 ABCD的边AD上一点,∴S△PBC=,∴+=S平行四边形ABCD,∵=3,=2,∴S平行四边形ABCD=(3+2)×2=10.)
6.120(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC=5,OB=BD=13,∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,∴AB===12,∴ ABCD的面积=AB·AC=12×10=120.)
7.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,AB=CD=5,OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AEO和△CFO中,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴AE=CF,OE=OF=2,∴DE+CF=DE+AE=AD=6,∴四边形EFCD的周长=EF+FC+CD+DE=2+2+6+5=15.)
8.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO.在△DFO和△BEO中,∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF.
9.解:其中的问题是:题中并没有说明OE,OF在一条直线上,所以并不知道∠1和∠2为对顶角.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,OD=OB,∴∠3=∠4.又∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠DEO=∠BFO=90°,∴△DOE≌△BOF,∴OE=OF.
10.解:(答案不唯一)如图所示.过平行四边形的对称中心在任作一条直线都可以将这个平行四边形的面积分成相等的两部分.
学生明确了对角线的定义后,通过度量猜想两条对角线之间的数量关系,有些学生很自然地猜想到对角线互相平分这一性质,教师展示两个全等的平行四边形,将它们的中心重合,并将中心处钉在一起,然后旋转其中一个,两个原本重合的平行四边形还会重合,让学生不但巩固前面两个性质,而且同时发现新性质.动手操作比较直观,学生容易理解.另外在证明的过程中,能联想到全等三角形的有关知识.
在教学过程中,学生的推理过程书写的不好,学生的语言逻辑性还有待加强.有的学生心里清楚解题时所采用的性质和方法,但书写起来感觉很吃力.
对于性质的应用,教师要强化格式.例题的讲解过程中,教师要规范步骤,并让学生说出每一步的依据,使学生的证明有法可依,有据可寻,明晰来龙去脉.应该让学生自己尝试书写,并要求在练习中写出每一步的依据,要加强练习,强化说理的要求.
练习(教材第121页)
1.解:△AOB的周长=OA+AB+OB=AC+AB+BD=3+4+5=12.∵AO=3,BO=4,AB=5,∴∠AOB=90°,即AC⊥BO,又∵AO=OC,∴AB=BC=5,∴AD=BC=5,∴△AOD的周长=OA+OD+AD=AC+BD+AD=3+4+5=12.
2.解:S阴影=S ABCD=12.
习题(教材第121页)
A组
1.解:
∵ ABCD的周长是38,∴AB+AD=19,∵△AOD与△AOB的周长之差是5,∴AD-AB=5.∴AB=7.
2.解:在 ABCD中,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵∠ABE=∠EBC,∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=2,∵E是AD边上的中点,∴AD=2AE=4.∴ ABCD的周长为2(AB+AD)=12.
3.证明:在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴AO=CO,∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°,在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF.
B组
1.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=DO,AO=CO,∵M是OA的中点,N是OC的中点,∴OM=AO,ON=CO,∴OM=ON.在△BOM和△DON中,
∴△BOM≌△DON(SAS),∴BM=DN,∠MBO=∠NDO,∴BM∥DN.
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB,AD∥BC,∴∠EDF=∠C,∵AD=DE,∴DE=CB.在△DEF和△CBF中,∴△DEF≌△CBF(AAS),∴DF=FC.
平行四边形的性质定理3:平行四边形的对角线互相平分.
注意:
(1)平行四边形是中心对称图形,其对称中心是两条对角线的交点,所以对角线都经过对称中心,并且被对称中心平分.
(2)互相平分指两条线段有公共的中点,如线段AC与BD交于点O,若OA=OC,OB=OD,则AC与BD互相平分.
(3)平行四边形这一性质可通过证明三角形全等得到.
平行四边形与坐标
在平面直角坐标系中,
(1)确定下列各点:A(-3,0),B(3,0),C(0,4);
(2)若以A,B,C为顶点,作一个平行四边形,试写出第四个顶点的位置坐标,你的答案唯一吗
(3)求出这个平行四边形的面积.
〔解析〕 (1)根据点的坐标在平面直角坐标系中描出即可;(2)符合条件的点有三个,描出点后求坐标即可;(3)根据点的坐标得出AB,OC的长,根据平行四边形的面积公式求出即可.
解:(1)如图所示.
(2)答案不唯一.
由图可知共有3个符合条件的点,D的坐标是(6,4)或(-6,4)或(0,-4).
(3)∵A(-3,0),B(3,0),C(4,0),
∴AB=3+3=6,OC=4,
∴平行四边形的面积=AB×OC=6×4=24.
[解题策略] 本题考查了坐标系中点的描法和平行四边形的性质,关键是找出符合条件的三种情况.同时培养学生的理解能力、观察图形的能力和分类讨论思想的应用.
22.2 平行四边形的判定
1.经历平行四边形判定定理的探究过程,在活动中发展学生的合情推理能力.
2.在探索平行四边形的判定定理的基础上,会证明平行四边形的判定定理,在证明的过程中,进一步提高学生推理证明的能力.
3.掌握平行四边形的判定定理.
1.培养学生的动手实践能力及丰富的想象力,积累数学活动经验,增强学生的创新意识.
2.使学生学会将平行四边形的相关问题转化为三角形的问题来解决,渗透化归的思想.
1.发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯,激发学生学习数学的兴趣和热情.
2.通过探究式学习,开拓学生的思路,提高学生的思维能力.
3.在与他人的合作过程中,培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,培养学生的合作意识和团队精神.
【重点】
平行四边形的判定定理.
【难点】
平行四边形的判定定理的应用.
第课时
1.运用类比的方法,通过学生的合作探究,得出平行四边形的判定方法.
2.理解平行四边形的判定方法,并学会简单运用.
1.通过类比、观察、试验、猜想、验证、推理等教学活动,进一步提高学生的动手能力、合情推理能力;使学生学会将平行四边形的问题转化为三角形的问题,渗透化归意识.
2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.通过对平行四边形判定方法的探究,提高学生解决问题的能力.
通过对平行四边形判定方法的探究和运用,使学生感受数学思考过程中的合理性、数学证明的严谨性,认识事物的相互联系、相互转化,学会用辩证的观点分析事物.
【重点】
平行四边形的判定方法的探究、运用以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
【难点】
对平行四边形的判定方法的证明以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
【教师准备】 课件1~2.
【学生准备】 复习平行四边形的性质.
导入一:
1.什么叫做平行四边形 平行四边形有什么性质
(学生口答,教师板书.)
2.将以上的性质定理,分别用命题的形式叙述出来.
(如果……那么……)
根据平行四边形的定义,我们研究了平行四边形的其他性质,那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢 除了定义还有什么方法 平行四边形的性质定理的逆命题是否成立
[设计意图] 复旧导新,通过对平行四边形的性质的复习,使学生对性质有进一步的了解,同时引发疑问——平行四边形的性质定理的逆命题是否成立,使学生带着疑问进入本节课的学习之中.
导入二:
在学习平移时,我们通过探究发现,平移时对应点的连线平行且相等(如图中AA'∥BB'∥CC'且AA'=BB'=CC').你明白它的道理了吗
通过本节课的学习,你一定能说明其中的道理!
[设计意图] 从生活中的实例发现数学,激发学生的学习兴趣.
导入三:
教师在黑板上画出平行四边形的图形.
问题1:请找出图中相等的线段与相等的角.它们为什么相等
(AB=CD,AD=BC;∠A=∠C,∠B=∠D.)
问题2:如图所示.连接AC,BD相交于点O,AO与CO有什么数量关系 BO与DO呢
(AO=CO,BO=DO.)
我们看到,平行四边形的性质可以用来证明线段相等、角相等以及两直线平行.
问题3:怎样判断一个四边形是否是平行四边形呢
[设计意图] 通过复习提问,既可以帮助学生联系旧知识,又可以为本节课顺利进行做好铺垫,自然引出本节课题.
活动1 判定定理的探究
[过渡语] 我们已经知道平行四边形的对边相等、对角相等,对角线互相平分.反过来,对边相等(或对角相等,或对角线互相平分)的四边形是不是平行四边形 下面我们一起来探究.
思路一
阅读教材第123~124页,回答下列问题:
1.你知道平行四边形的判定方法吗 如何表示
(定义法):两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言表达定义法:
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
解析:一个四边形只要其两组对边分别平行,则可判定这个四边形是一个平行四边形.
设问:若一个四边形有一组对边平行且相等,则能否判定这个四边形也是平行四边形呢
2.画两条互相平行的直线,在这两条直线上分别截取线段AB=CD.将线段AB沿BC方向平移,线段AB与CD能不能重合 你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形
由此,你发现了什么结果
总结:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
设问:我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢
(让学生找出题设、结论,然后写出已知、求证及证明过程.)
小结:平行四边形的判定方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
前提:一个四边形有一组对边平行且相等.
结论:这个四边形是一个平行四边形.
如图所示,用几何语言表述为:
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.求证四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形,只能通过证四边形的两组对边分别平行,即利用平行四边形的定义加以证明.
证明:如图所示,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
思路二
如图所示,作一个有一组对边平行且相等的四边形.(可以利用格点图,作一个这样的四边形.)
步骤:
1.任意画两条平行线m,n.
2.在直线m,n上分别截取AB,CD,使AB=CD.
3.分别连接点B,C和点A,D,即得到一组对边平行且相等的四边形.
观察你所画的图形,它是平行四边形吗
我们发现这样画的四边形是平行四边形.
下面用演绎推理证明上述猜想.
如图所示,指导学生连接AC,利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以证明.
由此,我们得到平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
[设计意图] 通过观察和感受让学生明确平行四边形的判定定理的得出过程,培养学生的探究能力,激励学生的探究欲望.
[知识拓展] 在平行四边形的判定定理中,平行且相等必须同时适用于同一组对边,这个四边形才是平行四边形.一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
活动2 例题讲解
[过渡语] 利用平行四边形的判定定理可以解决一些问题.
【课件1】
(教材第124页例1)已知:如图所示,在 ABCD中,E为BA延长线上一点,F为DC延长线上一点,且AE=CF,连接BF,DE.
求证四边形BFDE是平行四边形.
提出问题:
(1)现在我们学了哪些判定平行四边形的方法
(2)例题的证明应采用哪种判定方法
引导学生分析得出:利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
又∵AE=CF,
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF,且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
【课件2】
(教材第124页例2)求证:平行线间的距离处处相等.
已知:如图所示,EF∥MN,A,B为直线EF上任意两点,AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C.
求证AD=BC.
(1)想一想:两条平行线间的距离指的是什么
(平行线间所作垂线段的长度)
(2)指导学生写出已知、求证、证明.
证明:∵AD⊥MN,BC⊥MN,
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN,
∴四边形ADCB是平行四边形.
∴AD=BC.
[设计意图] 进一步巩固应用平行四边形的判定方法,通过讲题说理,规范书写解题步骤.
定理:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.定理包含两个条件:
(1)对边平行;(2)对边相等.
2.本节知识的符号语言:
在四边形ABCD中,
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的对边相等、对角相等以及它的判定是我们证明直线平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两条直线平行、两条线段相等两个角相等,可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.
运用定义,也可以判定某个四边形是平行四边形,这是常用的方法.不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定方法还简单.
1.(2016·绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是
( )
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
解析:∵只有②③中两个角的两边互相平行,∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
B.AB∥CD,AD=BC
C.∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°
D.AB∥CD,AB=CD
解析:∵∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,A选项正确;∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不一定是平行四边形,B选项不正确;∵∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,C选项正确;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,D选项正确.故选B.
3.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AD=BC
B.AC=BD
C.∠A=∠C
D.∠A=∠B
解析:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,当∠A=∠C时,有∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
4.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断四边形是平行四边形的是
( )
A.4∶3∶2∶1
B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2
D.3∶2∶2∶1
解析:由平行四边形的两组对角分别相等,知只有选项B能判定是平行四边形.故选B.
5.如图所示,在平面直角坐标系中,以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
( )
A.(3,1)
B.(-4,1)
C.(1,-1)
D.(-3,1)
解析:如图所示:以AC为对角线,可以画出 AFCB,F(-3,1);以AB为对角线,可以画出 ACBE,E(1,-1);以BC为对角线,可以画出 ACDB,D(3,1).故选B.
6.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD=BC,∠D=∠DCE.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:由“内错角相等,两直线平行”得出AD∥BC,再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.
证明:∵∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
7.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证四边形ABCD为平行四边形.
解析:首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD,再由条件AB∥CD,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
∴∠AEB=∠DFC.
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
8.如图所示,在边长为1的小正方形网格中,三角形的三个顶点均落在格点上.以三角形的其中两边为边画一个平行四边形,并在顶点处标上字母A,B,C,D.
解析:过A点作AB∥CD,且AB=CD,即可得到平行四边形ABCD.
解:如图所示,四边形ABCD为平行四边形.(答案不唯一)
9.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,从而推出AD∥BC,AB∥CD,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可.
证明:∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,
∴∠CAD=∠ACB,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AD∥BC,DF∥BE,AE=CF.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解析:(1)根据“ASA”证明△AFD≌△CEB;(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB,由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论.
证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2.
∵DF∥BE,∴∠3=∠4.
又AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△AFD与△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(ASA).
(2)由△AFD≌△CEB,得AD=CB.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
第1课时
活动1 判定定理的探究
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第125页练习第1,2题.
2.教材第125页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第125页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是:∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为
( )
A.1∶2∶3∶4
B.1∶4∶2∶3
C.1∶2∶2∶1
D.1∶2∶1∶2
2.在下列四个选项中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AB=CD,AD∥BC
B.AB∥DC,∠A=∠B
C.AB∥DC,AD=BC
D.AB∥DC,AB=DC
3.将两个不等边的全等三角形纸片,在桌面上用各种不同的方法拼四边形,在这些拼成的四边形中,是平行四边形的共有
( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4.如图所示的是由六个全等的正三角形拼成的图形,图中平行四边形的个数是
( )
A.4个
B.6个
C.8个
D.10个
(第4题图)
(第5题图)
5.如图所示,AE∥BD,BE∥DF,AB∥CD,下面给出四个结论:
(1)四边形ABDC是平行四边形;(2)BE=DF;(3)S四边形ABDC=S四边形BDFE;(4)BD=CE.
其中正确的有
( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6.如图所示,△ABC是等边三角形,P是三角形内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为18,则PD+PE+PF等于
( )
A.18
B.9
C.6
D.条件不够,不能确定
(第6题图)
(第7题图)
7.如图所示,线段a,b,c的端点分别在直线l1,l2上,则下列说法中正确的是
( )
A.若l1∥l2,则a=b
B.若l1∥l2,则a=c
C.若a∥b,则a=b
D.若l1∥l2,且a∥b,则a=b
【能力提升】
8.如图所示,在6×6的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,在正方形网格中找到格点D,使以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,并画出所有符合要求的平行四边形.
(第8题图)
(第9题图)
9.如图所示,在 ABCD中.
(1)若点E,F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.求证BE=DF.
(2)若BE平分∠ABC且交边AD于点E,如果AB=6
cm,BC=10
cm,试求线段DE的长.
【拓展探究】
10.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24
cm,BC=30
cm,点P从点A向点D以1
cm/s的速度运动,到点D处停止.点Q从点C向点B以2
cm/s的速度运动,到点B处停止.直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形,分别为四边形ABQP和四边形PQCD,则当P,Q两点同时出发,几秒后所截得的两个四边形中,其中一个四边形为平行四边形
【答案与解析】
1.D(解析:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,所以∠A和∠C是对角,∠B和∠D是对角,对角的份数应相等.只有选项D符合.)
2.D(解析:根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知选项D正确.)
3.B(解析:如图所示:有 ABCD, BDCF, BDEC,共3个.)
4.B(解析:如图所示,可知,EF∥AD∥BC,ED∥FC∥AB,CD∥BE∥AF,有ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD,∴四边形EDGF,四边形EDCG,四边形FGBA,四边形GCBA,四边形EGAF,四边形CDGB均是平行四边形,共6个.)
5.B(解析:由已知可得,四边形ABDC和四边形BDFE都是平行四边形,故(1)(2)正确;又因为四边形ABDC和四边形BDFE同底同高,所以面积相等,故(3)正确;BD=AC=EF与CE不一定相等,故(4)错误.)
6.C(解析:如图所示,延长EP交AB于点G,延长DP交AC于点H,∵PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,∴四边形AFPH、四边形PDBG均为平行四边形,∴PD=BG,PH=AF.又∵△ABC为等边三角形,∴△FGP和△HPE也是等边三角形,∴PE=PH=AF,PF=GF,∴PE+PD+PF=AF+BG+FG=AB=6.)
7.D(解析:∵l1∥l2,a∥b,∴四边形是平行四边形,∴a=b.)
8.解:如图所示.
9.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵点E,F分别是边AD,BC的中点,∴DE=AD,BF=BC,∴DE=BF,∴四边形BFDE是平行四边形,∴BE=DF. (2)解:∵AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=6
cm,∴DE=AD-AE=BC-AB=10-6=4(cm).
10.解:设当P,Q两点同时出发t秒后,四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形.根据题意可得:AP=t
cm,PD=(24-t)
cm,CQ=2t
cm,BQ=(30-2t)
cm,若四边形ABQP是平行四边形,则AP=BQ,∴t=30-2t,解得t=10,∴10秒后四边形ABQP是平行四边形;若四边形PQCD是平行四边形,则PD=CQ,∴24-t=2t,解得t=8,∴8秒后四边形PQCD是平行四边形.综上,当P,Q两点同时出发8秒或10秒后,四边形PQCD或四边形ABQP是平行四边形.
首先,在教学过程中教师让学生明确平行四边形的定义既是它的性质之一,又是它的判定方法之一,简单明了地引入课题.
其次,让学生亲身经历探究平行四边形的判定定理的过程,也是一个数学建模的过程和进一步培养学生简单的推理能力和图形迁移能力的过程.在推理证明的过程中,让学生体验了“发现”知识的快乐,变被动接受为主动探究.通过学生的互相交流,让学生自己完成其推理论证的过程.证明命题是一个难点,因此采用先独立思考、小组内合作、再由教师引导,把证明平行四边形的问题逐步转化为证明两条直线平行、两个角相等、两个三角形全等.体现化归的思想.也使学生有一个自我矫正的过程,突破了难点.
有些环节中处理得不是很好,在定理的应用练习中,出发点是好的,但花费的时间较多,导致新课讲授的时间较少.探索判定定理时,安排了学生在练习本上写,老师巡视,最后评讲,其实最好是让学生板演.最后的练习讲评中时间不充裕,导致对习题给予的是引导与提示,没有充分时间留给学生思考.
课堂教学的过程中要控制好时间,每一步的时间分配要合理,特别是对定理的探讨过程,教师要留给学生充分的时间,让学生去探讨和发现,每一步都要让学生得以理解和掌握,切忌一带而过,做到步步扎实.
练习(教材第125页)
1.解:是.由两组对角相等,可得每组邻角互补,由此得到两组对边互相平行,所以是平行四边形.
2.解:是.理由如下:方法1:因为两个三角形全等,所以AB=CD,因为∠ABD=∠BDC=30°,所以AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形.方法2:因为两个三角形全等,所以AB=CD,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.方法3:因为∠ABD=∠CDB=30°,∠ADB=∠CBD=90°,所以AB∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
习题(教材第125页)
A组
1.解:猜想:AC和EF互相平分.证明如下:连接AF,CE.在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∵BE=DF,∴AE=CF.又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AC和EF互相平分.
2.证明:∵△ABC绕BC的中点O旋转180°得到△DCB,∴AB=DC,BD=CA,∴四边形ABDC是平行四边形.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF,同理可证AF=CE.∴四边形AECF是平行四边形.
B组
1.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵∠EFB=60°,∴∠B=∠EFB,∴EF∥BC.又∵EF=DC,∴四边形EDCF是平行四边形.
2.证明:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF,∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠DAE=∠BCF=90°,在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AD=BC,又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
重难点突破建议
我们知道,如果一个事物w具有性质A,那么在寻找w时,就可以把性质A作为一个先决条件来思考:不具有性质A的肯定不是w,具有性质A的才可能是w(虽然不能肯定是).这便是数学中为什么常常以“性质”作为“判定”条件,以及常常是先学习某类图形的性质,而后再去学习图形的判定的原因所在.具体到本节课,就是从平行四边形的性质,去探究平行四边形的判定方法.
本节课要完成判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的探究与证明,并展示这一定理的初步应用.
1.这一判定定理的教学重点仍在于两个环节:一是怎样发现的 二是如何证明的 落实这个过程可按如下安排进行:
(1)从研究平行四边形的性质入手,平行四边形的性质可以分为三类:关于边的、关于角的和关于对角线的.关于边的性质,最突出的就是“对边平行且相等”,现在就来考虑:具有对边平行且相等的四边形是否一定是平行四边形
(2)按教材中“一起探究”的设计来展开.首先引导学生画图,得到符合“对边平行且相等”的四边形,通过观察,猜想它应是平行四边形,最后推理论证是平行四边形.证明它是平行四边形,需要证明另一组对边也平行,这个结论可通过内错角相等两直线平行来实现,从而需作对角线为辅助线来构造全等三角形.
2.对于教材中的例1.
(1)重点仍是“证明四边形BFDE是平行四边形的方法是什么呢 ”.
(2)进一步探究四边形BFDE是怎样的四边形
(平行四边形是中心对称图形)
3.对于教材中的例2.
借助平行四边形的判定和性质得出“平行线间的距离处处相等”,这个结论在以后常用到,学生应理解和记忆.
如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证△ABE≌△CDF;
(2)连接BF,DE,试判断四边形BFDE是什么样的四边形 写出你的结论并予以证明.
〔解析〕 (1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF;(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE=FC,BE=DF,再利用已知得出△ADE≌△CBF,进而得出DE=BF,即可得出四边形BFDE是平行四边形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.
∴∠BAC=∠DCA.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠DFC=90°.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS).
解:(2)四边形BFDE是平行四边形.
证明如下:∵△ABE≌△CDF,
∴AE=FC,BE=DF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
如图所示,已知点A,C在EF上,AD∥BC,DE∥BF,AE=CF.
(1)求证四边形ABCD是平行四边形;
(2)直接写出图中所有相等的线段(AE=CF除外).
〔解析〕 (1)由△ADE≌△CBF,得AD=CB,从而得出四边形ABCD是平行四边形;(2)由全等三角形的性质和平行四边形的性质易得出结果.
证明:(1)∵AD∥BC,DE∥BF,
∴∠DAC=∠BCA,∠E=∠F,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴AD=CB.
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
解:(2)AD=BC,EC=AF,ED=BF,AB=DC.
第课时
掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形和有两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这两个判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算.
1.经历平行四边形的判定条件的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法;并在与他人交流的过程中,合理清晰地表达自己的思维过程.
2.在拼、摆平行四边形的过程中,培养学生的动手实践能力及想象力,积累数学活动经验,增强学生的创新意识.
1.在做“数学试验”的过程中,让学生主动参与探索的活动.
2.通过探索式学习,开拓学生的思路,提高学生的思维能力.
3.在与他人的合作过程中,培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,培养学生的合作意识和团队精神.
【重点】
理解并掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理.
【难点】
判定定理的证明方法及运用.
【教师准备】 课件1~3.
【学生准备】 复习平行四边形的性质及判定方法.
导入一:
提出问题:
1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,需要什么条件
2.用所学的其他判定方法判定一个四边形是平行四边形的条件是什么
3.平行四边形的两组对边分别相等,平行四边形的对角线互相平分,它们的逆命题如何表达 是否是真命题
[设计意图] 复旧引新,激发学生的学习兴趣,为下面的探究埋下伏笔.
导入二:
1.我们已经学习过哪几种判定平行四边形的方法
2.这些判定定理与平行四边形的性质有什么联系
3.在练习本上画两组对边分别相等的四边形或对角线互相平分的四边形,观察这样的四边形是否是平行四边形
[设计意图] 让学生动手操作,进行观察、猜想,从而得出结论,让学生体会知识的形成过程,加强认识.
活动1 判定定理的探究
思路一
1.观察与思考
[过渡语] 下面我们共同来看一下小亮和小芳的做法.
【课件1】 小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形.
小亮的做法:用4根木条搭成如图所示的四边形,其中AB=CD,AC=BD.
小芳的做法:画两条直线相交于点O,截取OA=OC,OB=OD;连接AB,BC,CD,DA,得到四边形ABCD.
提出问题:
(1)小亮的做法满足怎样的条件
(2)小芳的做法又具备怎样的条件
(3)观察,你认为他们得到的四边形是平行四边形吗
学生观察后发现:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2.证明
怎样证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形
老师指导学生画图,写出已知、求证.
想一想:可采用我们学过的哪种平行四边形的判定方法进行证明
学生思考后得出:利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以证明.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图所示,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB.
∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
∴AB∥CD,AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.做一做
证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
想一想:这个命题的前提是什么,结论又是什么
已知:如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证四边形ABCD是平行四边形.
分析:证明这个四边形的方法有哪些
学生讨论得到的方法有:(1)两组对边分别平行:(2)一组对边平行且相等;(3)两组对边分别相等.
板书证明过程.
4.归纳
归纳平行四边形的判定定理:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
引导学生讨论:
(1)要判定一个四边形是平行四边形,若从边入手,你有哪些方法 这些方法有什么异同
(2)要判定一个四边形是平行四边形,若从对角入手,你如何去做
(3)要判定一个四边形是平行四边形,若从对角线入手,又应该怎样解答
[设计意图] 让学生在学习过程中能及时思考,培养良好的学习习惯,训练学生灵活运用新知识的能力,把所学的知识加以升华,经过知识的迁移,巩固判定方法,培养学生的逻辑思维能力.
思路二
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
在网络纸中画两组对边分别相等的四边形,猜想这样的四边形是否是平行四边形
教师讲解画图过程,让学生观察.
引导学生归纳:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即在四边形ABCD中,因为AB=CD,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形(根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明).
教师引导学生画图,写出已知、求证,并进行证明.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证四边形ABCD是平行四边形.
分析:要判定这个四边形是平行四边形,可分别从“定义”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”考虑.
板书证明过程.
归纳小结
判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
推理格式可以写成:∵AB=CD,AD=CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.对角线互相平分的四边形是平行四边形
操作展示:将两根细木条AC,BD的中点重叠,用小钉钉在一起,再用橡皮筋连接木条的四个顶点,做成一个四边形ABCD,如图所示.
然后转动两根木条,思考:四边形ABCD总是平行四边形吗
交流讨论:
(1)转动前、后的四边形其对角线有什么特点
(2)转动前、后的四边形的形状有什么共同的特点
(3)通过目测或简单的测量验证各自的发现和猜想.
教师归纳:对角线互相平分的四边形是平行四边形,其推理格式可以写成:
在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,因为OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形.
怎样证明这个结论呢
分析:借助三角形全等,利用前面学过的几种判定定理进行证明.
板书证明过程.
[设计意图] 通过画图、操作,达成共识,培养学生探究、结论的兴趣,同时也活跃了课堂气氛,激发了学生的学习热情.
活动2 例题讲解
【课件2】
(教材第127页例3)已知:如图所示, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点.
求证四边形EBFD是平行四边形.
分析:由题意可得OB=OD,OA=OC,再由OE=OA,OF=OC得出OE=OF,可证明四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
【课件3】
在教材第127页例3的条件下,如果E,F分别是OA,OC的中点,请你谈谈:
(1)点E,F分别在OA,OC上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形
(2)点E,F分别在OA,OC的延长线上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形
组织学生讨论,说理.
[设计意图] 进一步巩固学生对“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理的理解,同时通过知识的迁移,巩固判定方法,培养学生的逻辑思维能力.
[知识拓展] 平行四边形的五种判定方法:
(1)定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(5)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
可用表格概括如下:
已知条件
选择的判定方法
边
一组对边相等
(2)(3)
一组对边平行
(1)(3)
角
一组对角相等
(5)
对角线
(4)
这五种判定方法分别从边、角、对角线三个方面来判定,各有妙处,我们应该仔细观察题目中所给出的条件,选择合适的判定方法来进行解答.在这五种方法中,有一种与对角线有关,一种与对角有关,其他三种与边有关,这五种判定方法还与平行四边形的性质相呼应,要注意它们的区别和联系.
1.平行四边形的判定与性质:
2.在判定平行四边形时,如有对角线相交可考虑用关于对角线的判定方法,有时需要添加辅助线,即连接对角线,当已知条件给出四边形的对边时,可考虑采用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定方法.
1.(2016·湘西中考)下列说法错误的是
( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
解析:一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形.故选D.
2.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
①再加上条件“BC=AD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
③再加上条件“AO=CO”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和②
B.①③和④
C.②和③
D.②③和④
解析:∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,∴①不正确;∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正确;∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=CO,∴BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;∵∠DBA=∠CAB,∴AO=BO,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=BO,∴CO=DO,∴四边形ABCD不一定是平行四边形,∴④不正确.故选C.
3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为
( )
A.6
B.12
C.20
D.24
解析:在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE===5.∵AC=10,∴AE=CE=5,∵BE=DE=3,∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC·BD=4×(3+3)=24.故选D.
(第3题图)
(第4题图)
4.如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=10
cm,BC=30
cm,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.求证四边形BDFC是平行四边形.
解析:根据同旁内角互补两直线平行可得BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“AAS”证明△BEC和△FED全等,根据全等三角形的对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,∴∠CBE=∠DFE.
又∵E是边CD的中点,∴CE=DE.
在△BEC与△FED中,
∴△BEC≌△FED(AAS),∴BE=FE.
∴四边形BDFC是平行四边形.
5.如图所示,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使得CF=BC,连接CD,DE,EF.
(1)求证四边形CDEF是平行四边形;
(2)若四边形CDEF的面积为8,求△DBC的面积.
解析:(1)欲证明四边形CDEF是平行四边形,只需证得DE∥CF,DE=CF即可;(2)在四边形CDEF与△DBC中,CF=BC,且它们的高相等,即可求出△DBC的面积.
证明:(1)∵在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE∥BC且DE=BC.
又∵CF=BC,∴DE=CF.
∴四边形CDEF是平行四边形.
解:(2)∵DE∥BC,
∴四边形CDEF与△DBC的高相等,设为h.
∵CF=BC,
∴=BC·h=CF·h=8,
6.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,点E,F在AC上,且AF=CE.求证四边形BEDF是平行四边形.
解析:连接BD交AC于点O,首先由AB=CD,BC=AD,可得四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,再由AF=CE可得EO=FO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形.
证明:连接BD交AC于点O,
∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AF=CE,
∴AF-AO=CE-CO,即EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形.
7.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .
求证:四边形ABCD是 四边形.
(1)补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
解析:(1)命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”,结论是“这个四边形是平行四边形”,根据题设和结论可得已知和求证.(2)连接BD,利用“SSS”证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,进而可得AD∥CB,AB∥CD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形;(3)把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形的两组对边分别相等.
解:(1)已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)证明:连接BD,在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为:平行四边形的两组对边分别相等.
8.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证四边形ADCE是平行四边形.
解析:首先利用“AAS”得出△AOD≌△COE,进而得出DO=EO,即可得出四边形ADCE是平行四边形.
证明:∵CE∥AB,∴∠ADE=∠CED.
在△AOD与△COE中,
∴△AOD≌△COE(AAS),∴OD=OE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
第2课时
活动1 判定定理的探究
活动2 例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第128页练习第1,2题.
2.教材第128页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第129页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列四个条件:①AE=CF;②DE=BF;③∠ADE=∠CBF;④∠ABE=∠CDF.其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,在 ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中的平行四边形共有
( )
A.2个
B.4个
C.6个
D.8个
3.现有长为5,5,7的三根木棍,要想钉一个平行四边形的木框,则选用的第四根木棍的长度应该为
( )
A.5
B.7
C.2
D.12
4.刘师傅给用户加工平行四边形零件.如图所示,他要检查这个零件是否为平行四边形,用下列方法不能检查的是
( )
A.AB∥CD,AB=CD
B.AB∥CD,AD=BC
C.AB∥CD,AD∥BC
D.AB=CD,AD=BC
5.已知A,B,C,D在同一平面内,且:①AB∥CD,②AB=CD,③BC∥AD,④BC=AD.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有
( )
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
6.在正方形网格中,每个小方格的边长都相等,A,B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,则以A,B为顶点的网格平行四边形的个数为
( )
A.6个
B.8个
C.10个
D.12个
(第6题图)
(第7题图)
【能力提升】
7.(2016·张家界中考)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
8.已知四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,能否得到四边形ABCD是平行四边形的结论 试一试,(至少写3组,任选一组给出理由).①AB=CD;②AB∥CD;③BC∥AD;④BC=AD;⑤∠A=∠C.
9.如图(1)所示的是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器,其工作原理如图(2)所示.雨刷EF⊥AD,垂足为A,AB=CD且AD=BC,这样能使雨刷EF在运动时,始终垂直于玻璃窗下沿BC,请证明这一结论.
【拓展探究】
10.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=12
cm,点E在线段BO上从点B开始以1
cm/s的速度运动,点F在线段OD上从点O开始以2
cm/s的速度运动.若点E,F同时运动,且当点F运动到点D时,点E,F同时停止运动,设运动时间为t
s,当t为何值时,四边形AECF是平行四边形
【答案与解析】
1.B(解析:由平行四边形的判定方法可知:若四边形的对角线互相平分,可证明这个四边形是平行四边形,②不能证明对角线互相平分,只有①③④可以.)
2.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=BE=DF=FC,∴四边形ADEF是平行四边形,四边形EDFB是平行四边形,四边形BEFC是平行四边形,四边形ABCD是平行四边形,∴共有4个.)
3.B(解析:∵平行四边形的对边相等,∴选用的第四根木棍的长度应该与长度是7的木棍一样长,即第四根木棍的长度应该为7.)
4.B(解析:A.由AB∥CD,AB=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确;B.由AB∥CD,AD=BC,可知四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是等腰梯形,故本选项错误;C.由AB∥CD,AD∥BC,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形,即可判定四边形ABCD是平行四边形;故本选项正确,D.由AB=CD,AD=BC,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,即可判定四边形ABCD是平行四边形,故本选项正确.)
5.C(解析:可以有四种:①与②,③与④,①与③,②与④都能判定四边形是平行四边形.)
6.D(解析:如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB为边的网格平行四边形有6个,以AB为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个.)
7.解:四边形ABFC是平行四边形.理由如下:∵AB∥CD,∴∠BAE=∠CFE.∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE(AAS).∴AE=EF.又∵BE=CE,∴四边形ABFC是平行四边形.
8.解:(答案不唯一)①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定;②③组合可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定;①④组合可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定.
9.证明:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.又∵EF⊥AD,∴EF⊥BC.
10.解:若四边形AECF为平行四边形,则AO=OC,EO=OF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴BO=OD=6
cm,∴EO=6-t,OF=2t,∴6-t=2t,解得t=2,∴当t为2
s时,四边形AECF是平行四边形.
教师首先复行四边形的定义和性质,唤起学生对已有知识的回忆,接着通过探究逆命题的真假直接引出本节课的学习内容和任务.同时,让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系,为平行四边形的性质和判定的综合运用做了铺垫.教材中学行四边形的判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.在整个教学过程中,以学生看、画、摆、想、议、练为主体,教师在学生仔细观察、类比、想象的基础上加以引导点拨.判定方法是学生自己探讨发现的,因此,用起来更加得心应手.在证明命题的过程中,学生自然将判定方法进行对比和筛选,或对一题进行多解,便于发散思维,不把思路局限在某一判定方法上.
首先,由于学生不熟悉,课件不充分等原因,造成在教学过程中时间过于紧张,使得教学中的部分环节没能得以体现.如:学生的板演等,这对课堂教学效果造成了一定的影响.另外从典型例题到能力训练题,并不理想,没有紧扣“平行四边形的判定”而进行变式训练,学生对“大家谈谈”的内容讨论不够充分.
本节课的核心问题是平行四边形的判定方法的选择.教学中的典型例题几乎覆盖了所有判定方法,要引导学生对各种方法进行合理分析,既可以牢固记住这些方法,又可以进行对比,理清它们的联系和区别,同时提升解题能力,避免“题海战术”.对于“课件”中的变式训练一定要让学生画出图形,进行充分地研讨和探究,注重讲题说理.
练习(教材第128页)
1.解:①③;①④;②④;②③;⑤⑥.
2.提示:可根据“AAS”证明△ADE≌△CBF,得DE=BF.又因为DE∥BF,所以四边形DEBF是平行四边形.
习题(教材第128页)
A组
1.证明:连接AF,CD,∵E是AC的中点,∴AE=CE,又∵EF=DE,∴四边形ADCF是平行四边形,∴AD∥CF,且AD=CF.∵D是AB的中点,∴AD=BD,∴BD=CF,∴四边形BCFD是平行四边形.
2.解:画出的平行四边形分别为 ABDC, ABCE, AFBC,如图所示.
3.解:在AD上取一点F,使AF=CE,则四边形AECF是平行四边形.理由如下:在 ABCD中,AD∥BC,∵AF=CE,∴四边形
AECF是平行四边形.
B组
1.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,∵BL=DN,∴AN=CL.在△ANK和△CLM中,∴△ANK≌△CLM(SAS).∴NK=LM.同理可证MN=KL.∴四边形KLMN是平行四边形.
2.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,BO=DO,AD∥BC,∴∠OBF=∠ODE.在△BOF和△DOE中,
∴△BOF≌△DOE(ASA).∴OF=OE.∵G是OA的中点,H是OC的中点,∴OG=AO,OH=OC.∴OG=OH.又∵OF=OE,∴四边形EGFH是平行四边形.
平行四边形的判定方法
1.判定方法
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
我们已经知道,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,它既是定义、性质,又可以作为一个判定方法,是其他判定方法的基础.定义的双重性在解决实际问题时经常用到,注意认真领会.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
这是判定平行四边形的一种重要方法,通过两组相等的线段推导平行关系,这在以后的解题中将会经常遇到.
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
这是利用角的关系来判定平行(共17张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.3
三角形的中位线
学
习
新
知
问题思考
A,B两地被一建筑物隔开不能直接到达,A,B两地的距离应如何测量 通过本节课的学习我们将有一种新的方法来测量A,B两地的距离.
方法:先选定能直接到达A,B两地的点C,再分别取AC,BC的中点D,E,量出DE的长,就可以求出A,B两地的距离,你知道其中的道理吗
活动1 三角形的中位线
在三角形ABC中,若D是BC的中点,则AD是三角形ABC的中线.若E,F分别是AB,AC的中点,则EF是三角形的中位线.
1.如何用语言表述三角形的中位线
2.一个三角形有几条中位线 请指出来.
三角形的中线与三角形的中位线的区别:
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段.三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
【观察猜想】
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,那么它与第三边具有怎样的数量关系和位置关系呢
如图所示,DE为△ABC的中位线,DE与BC具有怎样的数量关系和位置关系呢
方法一(测量法):
1.任意画一个三角形并画出它的一条中位线.
2.分别量出中位线和第三边的长度.
3.量出所画图形中一组同位角的度数.
4.你发现了什么
方法二(裁剪拼接法):
1.剪一个三角形,记作△ABC.
2.分别找到边AB和AC的中点D,E,连接DE.
3.沿DE把△ABC剪成两部分.
4.把剪成的两部分图形重新拼接.
5.新拼接的四边形是什么特殊的四边形
拼接的过程如图所示,将△ADE绕点E旋转180°后得到△CFE,于是拼接成四边形BCFD,那么四边形BCFD是什么特殊的四边形呢 试着说明理由.
思考:DE与BC之间的位置关系和数量关系是怎样的
三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
图所示,在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,AC=12,BC=16.求四边形DECF的周长.
分析:可由三角形的中位线定理得到DF∥EC,DE∥FC,从而证出四边形DECF是平行四边形,然后根据平行四边形的性质求解.
解:∵D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,
∴DF∥EC,DE∥FC,
∴四边形DECF是平行四边形,
∴CE=DF=
BC=8,
CF=DE=
AC=6,
∴所求四边形DECF的周长为28.
(教材第131页例题)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,P为对角线BD的中点,M为DC的中点,N为AB的中点.
求证△PMN是等腰三角形.
分析:要证△PMN是等腰三角形就是要证三条边中有两条边相等,可借助三角形的中位线定理进行证明.
证明:在△ABD中,∵N,P分别为AB,BD的中点,
∴PN=
AD.同理PM=
BC.
又∵AD=BC,∴PN=PM.
∴△PMN是等腰三角形.
分析:因为四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造利用“三角形的中位线定理”的基本图形后,此题便可得证.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接AC(如图所示),
∵G,H分别是CD,DA的中点,
∴HG∥AC,HG=
AC(三角形的中位线定理).
同理EF∥AC,EF=
AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
【结论】 顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
检测反馈
1.(2016·厦门中考)如图所示,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是
( )
A.EF=CF
B.EF=DE
C.CFD.EF>DE
解析:∵DE是△ABC的中位线,∴E为AC的中点,∴AE=EC.∵CF∥BD,∴∠ADE=∠F.在
△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=FE.故选B.
B
2.(2016·河南中考)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为
( )
A.6
B.5
C.4
D.3
解析:∵在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,∴BC=6.又∵DE垂直平分AC交AB于点E,∴DE是△ACB的中位线,∴DE=
BC=3.故选D.
D
3.(2016·陕西中考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为
( )
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AC=
=10,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BM,DE=
BC=3,
∴∠EFC=∠FCM.∵∠FCE=∠FCM,∴∠EFC=∠ECF,
∴EC=EF=
AC=5,∴DF=DE+EF=3+5=8.故选B.
B
4.如图所示,平行四边形ABCD中,AD=10,点P为BC上任意一点,分别连接AP,DP,E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,则EF+GH的值为
( )
A.10
B.5
C.2.5
D.无法确定
解析:在平行四边形ABCD中,BC=AD=10.∵E,F,G,H分别为AB,AP,DP,DC的中点,∴EF是△ABP的中位线,GH是△DPC的中位线,∴EF+GH=
BP+
PC=
BC=5.故选B.
B
5.如图所示,等边三角形ABC的边长是2,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=
BC,连接CD和EF.
(1)求证DE=CF;
(2)求EF的长.
解析:(1)直接利用三角形的中位线定理得出DE=
BC,进而得出DE=FC;(2)利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理求出EF的长.
证明:(1)∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC,且DE=
BC.
∵延长BC至点F,使CF=
BC,
∴DE∥FC,即DE=CF.
解:(2)∵DE∥FC,
∴四边形DEFC是平行四边形,
∴DC=EF.
∵D为AB的中点,AB=2,
∴AD=BD=1,CD⊥AB.
在Rt△CBD中,BC=2,
∴DC=EF=
6.在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D,过点D作DE∥AC,交AB于E.
(1)求证AE=DE;
(2)若AB=8,求线段DE的长.
解析:(1)欲证明AE=DE,只需证明∠EAD=∠EDA;(2)证明DE为直角三角形ABD斜边的中线,即可解决问题.
证明:(1)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.
∵DE∥AC,∴∠EDA=∠CAD,
∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE.
解:(2)由(1)知,∠EAD=∠EDA.
∵BD⊥AD,
∴∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°,
∴∠EBD=∠BDE,∴DE=BE.
又由(1)知AE=DE,
∴DE=
AB=
×8=4.
7.如图所示,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分别是△ABC的角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,求线段EF的长.
解析:首先证明△AGF≌△ACF,则AG=AC=3,GF=CF,证得EF是△BCG的中位线,由三角形的中位线定理即可求解.
解:∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠GAF=∠CAF.
在△AGF和△ACF中,
∴△AGF≌△ACF,
∴AG=AC=3,GF=CF.
∴BG=AB-AG=4-3=1.
又∵AE是△ABC的中线,
∴BE=CE,
∴EF是△BCG的中位线,
∴EF=
BG=
.
8.已知直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=8,BC=6,BM为中线,△BMN为等腰三角形(点N在AB边或AC边上,且不与顶点重合),求S△BMN.
解析:先根据勾股定理求得AC的长,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BM=
AC=5,通过作辅助线利用三角形的面积公式求解.
解:在直角三角形ABC中,
AC=
=10.
∵BM为中线,∴BM=CM=AM=
AC=5.
当N在AB边上时,且BM=BN=5,过点M作MG⊥AB于点G.
∵M是AC的中点,且MG∥BC,
∴MG是△ABC的中位线,
∴MG=
BC=
×6=3,
=
BN·MG=
×5×3=
.
当N在AC边上时,过点B作BD⊥AC于点D,
则BD=
=4.8.
在直角三角形BMD中,
DM=
=1.4.
则
=
BD·DM=
×4.8×1.4=3.36.
∵△BMN是等腰三角形,
9.如图所示,在△ABC中,AB,BC,CA的中点分别是E,F,G,AD是高.求证∠EDG=∠EFG.
解析:先连接EG,构造三角形的中位线,借助证明△EFG≌△GDE,即可得出结论.
证明:连接EG,
∵E,F,G分别是AB,BC,CA的中点,
∴EF为△ABC的中位线,EF=
AC.
又∵AD是高,∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∴DG为直角三角形ADC斜边上的中线,
∴DG=
AC.
∴DG=EF.
同理DE=FG.
∵EG=GE,
∴△EFG≌△GDE(SSS),
∴∠EDG=∠EFG.(共13张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.5
菱形（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
什么样的四边形是平行四边形 它有哪些判定方法
平行四边形的判定方法应该从三个方面分析:
(1)边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(3)对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
那么菱形的判定方法是什么呢
活动1 利用菱形的定义判定
菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的一种判定方法.即:有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
活动2 菱形的判定(1)
画两条等长的线段AB,AD,分别以B,D为圆心,AB为半径画弧,两弧相交于点C,连接BC,CD,得到四边形ABCD,猜一猜,这是什么四边形
通过探究,容易得到: 的四边形是菱形.
已知:如图所示,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
活动3 菱形的判定(2)
已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证: ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形.
【思考】 从上述证明中,你得出什么结论
菱形的判定定理:两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(教材第145页例2)已知:如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.
求证四边形AEDF是菱形.
分析:先证明四边形AEDF是平行四边形,再利用菱形的定义进行判定.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.
∴AE=DE.
∴四边形AEDF是菱形.
(补充)已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=
,OA=2,OD=1.
求证 ABCD是菱形.
证明:在△AOB中,AB=
,OA=2,OD=1,
∴AD2=AO2+OD2.
∴△AOD是直角三角形,∠AOD=90°.
∴AC⊥BD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
[知识拓展] (1)菱形的判定可以从两个图形(四边形或平行四边形)考虑,利用三种思路(边、角、对角线)进行证明.(2)菱形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【课堂小结】
检测反馈
1.(2016·遵义中考)如图所示,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件,使 ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是
( )
A.AB=AD
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.∠BAC=∠DAC
解析:A.根据菱形的定义可得,当AB=AD时 ABCD是菱形;B.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知B正确;C.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形,命题错误;D.当∠BAC=∠DAC时,在 ABCD中,AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC,∴ ABCD是菱形.故选C.
C
2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是
( )
A.矩形
B.菱形
C.正方形
D.等腰梯形
解析:由题意知AC=AD=BD=BC,∴四边形ADBC一定是菱形.故选B.
B
3.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是
( )
A.等腰梯形
B.正方形
C.矩形
D.菱形
解析:等边三角形各边长度相等,而四条边相等的四边形是菱形.故选D.
D
4.如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,且AH∶EH=12∶13,又AE=5,则四边形EFGH的面积为
( )
A.240
B.60
C.120
D.169
解析:由题意易知△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH,∴EH=EF=FG=HG,∴四边形EFGH是菱形,其对角线的长等于矩形的长与宽.在Rt△AEH中,设AH=12k,EH=13k,则AE=
=5k=5,∴k=1,∴AH=12,∴AD=24,AB=10,∴S菱形EFGH=
AD×AB=
×24×10=120.故选C.
C
5.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是 .
解析:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴OC=
AC=2,OD=
BD,AC=BD,∴OC=OD=2,∴四边形CODE是菱形,∴DE=CE=OC=OD=2,∴四边形CODE的周长=2×4=8.故填8.
8
6.如图所示,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,AF∥CD交CE于点F,FG∥AC交CD于点G.求证四边形ACGF是菱形.
解析:根据平行线的性质得到∠2=∠3,根据角平分线的定义得到∠1=∠2,由等量代换得到∠1=∠3.∴AF=AC,从而利用一组邻边相等的平行四边形是菱形证得结论.
证明:∵AF∥CD,FG∥AC,
∴四边形ACGF是平行四边形,
∴∠2=∠3.
∵CE平分∠ACD,∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3,∴AC=AF,
∴四边形ACGF是菱形.
7.如图所示,已知BD平分∠ABF,且交AE于点D,
(1)求作∠BAE的平分线AP(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)设AP交BD于点O,交BF于点C,连接CD,当AC⊥BD时.求证四边形ABCD是菱形.
解析:(1)根据角平分线的作法作出∠BAE的平分线AP;(2)先证明△ABO≌△CBO,得出AO=CO,AB=CB,再证明△ABO≌△ADO,得出BO=DO.由对角线互相平分的四边形是平行四边形及有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明四边形ABCD是菱形.
解:(1)如图(1)所示.
图(1)
图(2)
证明:(2)如图(2)所示.
在△ABO和△CBO中,
∴△ABO≌△CBO(ASA),
∴AO=CO,AB=CB.
在△ABO和△ADO中,
∴△ABO≌△ADO(ASA),
∴BO=DO.
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CB,
∴平行四边形ABCD是菱形.(共17张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.4
矩
形（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
门窗、方砖、数学教科书等都是什么图形
一天,小丽和小娟到一个商店准备给今天要过生日的小华买生日礼物,选了半天,她们俩最后决定买相框送给小华,在里面摆放她们三个人的相片,为了相框摆放的美观性,她们选择了矩形的相框,那么她们是用什么方法知道拿的就是矩形相框呢
活动1 矩形的判定(一)
用上、下一样长，左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗 如果不是,还要满足什么条件呢
有一个角是直角的平行四边形是矩形可以作为判定平行四边形是否是矩形的方法,这种方法就是矩形的定义法.
矩形的判定(二)
如图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生变化.
(1)随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化
当∠α由小变大时,其中一条对角线变长,而另一条对角线变短;当∠α是直角时,两条对角线的长度相等.
(2)当两条对角线的长度相等时,平行四边形有什么特征 由此你能得到一个怎样的猜想
矩形的判定方法:两条对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图所示,在 ABCD中,AC=BD.
求证 ABCD是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
在△ABD和△BAC中,
∵AD=BC,AB=BA,AC=BD.
∴△ABD≌△BAC.
∴∠DAB=∠CBA.
又∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴ ABCD是矩形.
活动3 矩形的判定(三)
想一想:矩形的四个角是直角,反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢
结论:“有三个角是直角的四边形是矩形”.
[知识拓展]
(1)由四边形直接判定矩形的方法是:有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)由平行四边形判定矩形的方法有:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②对角线相等的平行四边形是矩形.
(教材第138页例2)已知:如图所示,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为OA,OB,OC,OD的中点.
求证四边形EFGH是矩形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD.
∴OA=OC=OB=OD.
又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,
∴OE=OG=OF=OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF.
∴四边形EFGH是矩形.
想一想:在上述问题中,如果四边形ABCD是平行四边形,那么四边形EFGH是平行四边形吗
1.矩形的判定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形.
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
课堂小结
2.判定一个四边形是矩形的方法与思路是:
检测反馈
1.如图所示,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是
( )
A.AB=BE
B.DE⊥DC
C.∠ADB=90°
D.CE⊥DE
解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC.又∵AD=DE,∴DE=BC,∴四边形BCED为平行四边形.选项A,∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴ DBCE为矩形;选项B,∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,∴四边形DBCE不能为矩形;选项C,∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴ DBCE为矩形;选项D,∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴ DBCE为矩形.故选B.
B
2.(2016·黑龙江中考)如图所示,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.请你添加一个条件为 ,使四边形DBCE是矩形.
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴DE∥BC,又∵DE=AD,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形.又∵EB=DC,∴四边形DBCE是矩形.故填EB=DC.
EB=DC
3.木工师傅做了一张桌面,要求为矩形,现量得桌面的长为60
cm,宽为32
cm,对角线长为66
cm,这个桌面 (填“合格”或“不合格”).
解析:根据勾股定理求出桌面的对角线长为68
cm.故填不合格.
不合格
4.如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,四边形ABCD应具备的条件是
.
解析:连接BD,AC.∵H,G分别是AD,CD的中点,∴HG是△DAC的中位线,∴HG∥AC,同理可得EF∥AC,HE∥BD∥FG.∵四边形EHGF是矩形,∴∠FEH=∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,∴DB⊥AC.故填对角线互相垂直.
对角线互相垂直
5.在△ABC中,D是BC边的中点,E,F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE,CF.
(1)求证△BDF≌△CDE;
(2)若DE=
BC,试判断四边形BFCE是怎样的四边形 并证明你的结论.
解析:(1)由CE∥BF得出∠CED=∠BFD,根据“AAS”推出△BDF≌△CDE;(2)根据三角形全等得出DE=DF,根据BD=DC推出四边形BFCE是平行四边形,求出∠BEC=90°,根据矩形的判定定理即可推得结论.
证明:(1)∵CE∥BF,∴∠CED=∠BFD.
∵D是BC边的中点,
∴BD=DC.
在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE(AAS).
解:(2)四边形BFCE是矩形.
证明:∵△BDF≌△CDE,∴DE=DF.
∵BD=DC,
∴四边形BFCE是平行四边形.
∵BD=CD,DE=
BC,
∴BD=DC=DE,
∴∠BEC=90°,
∴平行四边形BFCE是矩形.
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,以AB,BD为邻边作 ABDE,连接AD,EC.求证四边形ADCE是矩形.
解析:由等腰三角形“三线合一”的性质得出AD⊥BC,BD=CD,∠ADC=90°,从而由平行四边形的性质得出AE∥BD,AE=BD,从而得出AE∥CD,AE=CD,证出四边形ADCE是平行四边形,即可得出结论.
证明:∵AB=AC,D为BC边的中点,
∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BD,AE=BD,
∴AE∥CD,AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
7.如图所示,在△ABC中,O是边AC上的一动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交△BCA的外角平分线于点F.
(1)求证OE=OF;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形
解析:(1)根据MN∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,得到相等的角,再由等角对等边即可证得OE=OF;(2)根据矩形的性质可知矩形的对角线互相平分,即AO=CO,OE=OF,故当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
证明:(1)∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠ECB.
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=∠ACE,
∴∠OEC=∠ACE.
∴OE=OC.
同理可证OC=OF.
∴OE=OF.
解:(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵AO=CO,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECA+∠ACF=
∠ACB+
∠ACD,
∴∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
8.如图所示,BD是 ABCD的对角线,E,F分别为BD上两点,AC交BD于点O.
(1)请你添加一个条件,使得△ABE≌△CDF,并证明;
(2)在问题(1)中,当AC与EF满足什么条件时,四边形AECF是矩形,请说明理由.
解析:(1)根据平行四边形的性质得一组边相等、一组角相等,然后找到另外一组相等的角或相等的边即可证明全等;(2)首先得到四边形AECF是平行四边形,然后利用对角线相等的平行四边形是矩形即可判定.
解:(1)(答案不唯一)添加条件BE=DF即可证得△ABE≌△CDF.证明如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF.
(2)当AC=EF时,四边形AECF是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAC=∠DCA.
由△ABE≌△CDF知∠BAE=∠DCF,AE=CF,
∴∠EAO=∠FCO,
∴AE∥CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
9.已知:如图所示,BE,BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线,AE⊥BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F,EF分别交边AB,AC于点M和N.求证:
(1)四边形AFBE是矩形;
(2)MN=
BC.
解析:(1)由BE,BF分别是角平分线可得∠EBF=90°,进而由条件中的两个垂直可得两个直角,可得四边形AEBF是矩形;(2)由矩形的性质定理可得∠2=∠5,利用角平分线的定义可得∠1=∠2,所以∠5=∠1,所以ME∥BC,进而可得N为AC的中点,根据三角形的中位线定理即可证明.
证明:(1)∵BE,BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠3=90°.
∵AE⊥BE,AF⊥BF,
∴∠AFB=∠AEB=90°,
∴四边形AEBF为矩形.
(2)∵四边形AEBF为矩形,
∴BM=MA=ME,∴∠2=∠5.
∵∠2=∠1,∴∠1=∠5.
∴ME∥BC.
∵M是AB的中点,
∴N为AC的中点,
∴MN=
BC.(共15张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.1
平行四边形的性质
（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
问题2:爱动脑筋的小刚观察到平行四边形的影子有一种对称的美,他说只要量出一个内角的度数,就能知道其余三个内角的度数;只需测出一组邻边的长,便能计算出它的周长,这是为什么呢
问题1:同学们,你们观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗
在我们的周围存在着许多四边形,观察下列图片,从中找出四边形,并就它们的共同特性和不同特性,和大家交流你的看法.
1.问题情境
2.知识形成
(1)
说出生活中见到的平行四边形.
(2)拿出一张坐标纸,画线段AB和直线PQ,把AB沿着PQ方向平移到CD位置.
(3)对(2)操作的思考:四边形ABCD是一个怎么样的四边形 根据平移的原则,AB与CD,AD与BC的位置关系如何
概括:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
[知识拓展] 定义具有双重性,具备“两组对边分别平行”的四边形才是“平行四边形”.反过来,“平行四边形”就一定具有“两组对边分别平行”的性质.平行四边形的定义既是平行四边形的一种性质,也是平行四边形的一种判定方法.
3.一起探究
(1)在半透明的纸上画一个 ABCD,再复制一个,将两个图形完全重合,用大头针钉在中心处,使下面的图形不动,将上面的图形绕中心O旋转180°,这两个图形能完全重合吗 平行四边形是不是中心对称图形 如果是中心对称图形,哪个点是它的对称中心 被对角线分成的三角形中,关于点O成中心对称的图形有几对
(2)在 ABCD中,你发现有哪些相等的边或角,请你写出来.
总结:(1)平行四边形是中心对称图形,它的对称中心是两条对角线的交点.
(2)平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.
证明平行四边形的对边相等、对角相等.
已知:如图所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证:(1)AD=CB,AB=CD.
(2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA.
证明:如图所示,连接BD,在△ABD和△CDB中,
∵AD∥CB,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
又∵BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴AD=CB,AB=CD,∠BAD=∠DCB.
∵∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD+∠CBD=∠CDB+∠ADB,
即∠ABC=∠CDA.
平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等,对角相等.
性质的应用
已知:如图所示, ABCD的周长为22
cm,△ABD的周长为18
cm,求对角线BD的长.
分析:求对角线BD的长,要先利用平行四边形的对边相等的性质,得到AD=BC,AB=DC,然后根据 ABCD的周长和△ABD的周长进行推理.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=DC.
由已知条件,得
2(AB+AD)=22,
∴AB+AD=11.
又∵AB+AD+BD=18,
∴BD=18-11=7.
(教材第128页例1)已知:如图所示,在 ABCD中,∠B+∠D=260°,求∠A,∠C的度数.
解:在 ABCD中,
∵∠B=∠D,∠B+∠D=260°,
∴∠B=∠D=
=130°.
又∵AD∥CB,
∴∠A=180°-∠B=180°-130°=50°.
∴∠C=∠A=50°.
平行四边形的相关知识:
课堂小结
1.如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中的全等三角形的对数为
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(SAS).同理可得△AOB≌△COD(SAS).在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS).同理可得△ACD≌△CAB(SSS).共有4对全等三角形.故选D.
D
检测反馈
2.如图所示, ABCD中,AE平分∠BAD,若CE=3
cm,AB=4
cm,则 ABCD的周长是
( )
A.20
cm
B.21
cm
C.22
cm
D.23
cm
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=DC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BEA.∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE,∴BE=AB=4
cm,∴BC=BE+CE=7
cm,∴ ABCD的周长=2(AB+BC)=2(4+7)=22(cm).故选C.
C
3.在 ABCD中,若∠B=4∠A,则∠D等于
( )
A.18°
B.36°
C.72°
D.144°
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∠B=∠D,∴∠A+∠B=180°.∵∠B=4∠A,∴∠A+4∠A=180°,解得∠A=36°,∴∠B=144°,∴∠D=144°.故选D.
D
4.如图所示,在 ABCD中,下列结论一定正确的是
( )
①∠1+∠2=180°;
②∠2+∠3=180°;
③∠3+∠4=180°;
④∠2+∠4=180°.
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
解析:∵∠1和∠2是邻补角,∴∠1+∠2=180°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠2=∠4,∠2+∠3=180°,∠3+∠4=180°,∴正确的有①②③.故选A.
A
5.(2016·孝感中考)在 ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为
( )
A.3
B.5
C.2或3
D.3或5
图(1)
图(2)
解析:第一种情况:如图(1)所示,在 ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD.∵EF=2,∴BC=BE+EF+CF=2AB+EF=8,∴AB=3.
第二种情况:如图(2)所示,在 ABCD中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD.∵EF=2,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8,∴AB=5.
综上,AB的长为3或5.故选D.
D
6.一个平行四边形的周长为70
cm,相邻两边长度的差是5
cm,则这个平行四边形较长边的长为 cm.
解析:设该平行四边形的两边长分别为x
cm,y
cm,且x>y,根据题意,得
解得
则这个平行四边形较长边的长为20
cm.故填20.
20
7.用40
cm长的绳子围成一个平行四边形,使其相邻两边的长度比为3∶2,则较长边的长为 cm.
解析:设较长边的长为3x
cm,则另一边的长为2x
cm.根据题意,得2(2x+3x)=40,解得x=4,∴较长边的长为3×4=12(cm).故填12.
12
8.如图所示,在 ABCD中,E是CD的中点,AE的延长线与BC的延长线相交于点F.
求证BC=CF.
解析:先证明△ADE≌△FCE,得出AD=CF,再根据平行四边形的性质可知AD=BC,继而得出结论.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.
∴BC=CF.(共12张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.1
平行四边形的性质
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
小明用几根小棒搭成一个有两条对角线的平行四边形,他先找到一根长6
cm与一根长8
cm的小棒作为平行四边形的两条对角线，然后他又找到了长分别为5
cm，8
cm，12
cm的三种小木棒，其中有几种小棒可以用来作为平行四边形的边 为什么 你自己动手搭一搭，如果一根小棒可以用来作为这个平行四边形的一边，那么它的长度应该在什么范围内
活动1 平行四边形对角线的性质
1.知识回顾
(1)什么是平行四边形
(2)平行四边形的边、角有何特征
(3)如何得出平行四边形的边与角的性质
2.知识形成
观察如图所示的平行四边形ABCD.
(1)由图可以发现平行四边形的边与角的关系.
即AB=CD,AD=BC,∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠CDA.
(2)寻找OA和OC,OB和OD的长度之间的数量关系.
能用什么方法证明你的结论
①用刻度尺分别量出OA和OC,OB和OD的长度,并进行比较;
②用折叠的方法;
③复制平行四边形ABCD,用上一节的办法将OA绕着对角线的交点旋转180°后与OC重合,同理OB与OD重合.
结论:平行四边形的对角线互相平分.
推理格式:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠BAO=∠DCO.
又∵∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD.
∴OA=OC,OB=OD.
平行四边形的性质定理:平行四边形的对角线互相平分.
活动2 例题讲解
(教材第120页例2) 已知:如图所示,O为 ABCD两条对角线的交点,AC=24
mm,BD=38
mm,BC=28
mm,求△OAD的周长.
解:在 ABCD中,
∵AC=24
mm,BD=38
mm,
又∵BC=28
mm.
∴AD=BC=28
mm.
∴△OAD的周长=AO+OD+AD=12+19+28=59(mm).
（教材第120页例3） 已知:如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,交DA于点E,交BC于点F.
求证OE=OF,AE=CF,DE=BF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,且对角线AC与BD相交于点O,
∴OA=OC,∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,AE=CF.
又∵AD=CB,
∴DE=AD-AE=CB-CF=BF.
若例3中的条件都不变,将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图所示,例3的结论是否成立 说明你的理由.
检测反馈
1.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,图中全等三角形的对数为
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OD=OB,OA=OC.在△AOD和△COB中,
∴△AOD≌△COB(SAS);同理可得△AOB≌△COD(SAS);在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS);同理可得△ACD≌△CAB(SSS).∴图中共有4对全等三角形.故选D.
D
2.如图所示,平行四边形的一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为
( )
A.4B.14C.12D.8解析:∵BC=10,AC=6,∴OC=AO=3,BD=2OB,∴10-3B
3.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是
( )
A.AO=OD
B.AO⊥OD
C.AO=OC
D.AO⊥AB
解析:根据平行四边形的对角线互相平分,可知选C.
C
4.(2016·泸州中考)如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是
( )
A.10
B.14
C.20
D.22
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6.∵AC+BD=16,∴AO+BO=8,
∴△ABO的周长是14.故选B.
B
5.如图所示, ABCD的周长为20
cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交AD于E,则△CDE的周长为
( )
A.6
cm
B.8
cm
C.10
cm
D.12
cm
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC.∵ ABCD的周长为20
cm,∴AD+DC=10
cm.又∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10(cm).故选C.
C
6.如图所示,在 ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF,
分别交DA的延长线和BC的延长线于点E,F,交AB,CD于点M,N.
(1)观察图形找出一对全等三角形,并加以说明;
(2)在(1)中你所找出的全等三角形中,其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样变换得到的
解:(1)答案不唯一,如:①△DOE≌△BOF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠EDB=∠FBD,∠E=∠F.
由题意知OD=OB,
∴△DOE≌△BOF(AAS).
②△BOM≌△DON.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠MBO=∠NDO,∠BMO=∠DNO.
由题意知BO=DO,
∴△BOM≌△DON(AAS).
(2)(答案不唯一)△BOM绕点O旋转180°得到△DON.
7.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN是过O点的直线,交BC于M,交AD于N,BM=2,AN=2.8,求BC和AD的长.
解析:根据平行四边形的性质得OA=OC,根据平行线的性质,得∠OAN=∠OCM,结合对顶角相等即可证明△AON≌△COM,则AN=CM=2.8,最后求解.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴∠OAN=∠OCM.
在△AON与△COM中,
∴△AON≌△COM.
∴AN=CM=2.8.∴BC=AD=4.8.(共16张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.2
平行四边形的判定
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,需要什么条件
3.平行四边形的两组对边分别相等,平行四边形的对角线互相平分,它们的逆命题如何表达 是否是真命题
2.用所学的其他判定方法判定一个四边形是平行四边形的条件是什么
小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形.
小亮的做法:用4根木条搭成如图所示的四边形,其中AB=CD,AC=BD.
小芳的做法:画两条直线相交于点O,截取OA=OC,OB=OD;连接AB,BC,CD,DA,得到四边形ABCD.
问题:
(1)小亮的做法满足怎样的条件
(2)小芳的做法又具备怎样的条件
(3)观察,你认为他们得到的四边形是平行四边形吗
判定定理的探究
怎样证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形
已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图所示,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB.
∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
∴AB∥CD,AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证四边形ABCD是平行四边形.
证明这个四边形的方法有哪些
方法有:(1)两组对边分别平行:(2)一组对边平行且相等;(3)两组对边分别相等.
平行四边形的判定定理:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(教材第127页例3)已知:如图所示, ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点.
求证四边形EBFD是平行四边形.
分析:由题意可得OB=OD,OA=OC,再由OE=
OA,OF=
OC得出OE=OF,可证明四边形EBFD是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
在教材第127页例3的条件下,如果E,F分别是OA,OC的中点,请你谈谈:
(1)点E,F分别在OA,OC上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形
(2)点E,F分别在OA,OC的延长线上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形
1.平行四边形的判定与性质:
课堂小结
2.在判定平行四边形时,如有对角线相交可考虑用关于对角线的判定方法,有时需要添加辅助线,即连接对角线,当已知条件给出四边形的对边时,可考虑采用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定方法.
检测反馈
1.(2016·湘西中考)下列说法错误的是
( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形
解析:一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形.故选D.
D
2.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
①再加上条件“BC=AD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
③再加上条件“AO=CO”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和②
B.①③和④
C.②和③
D.②③和④
解析:∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,∴①不正确;∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正确;∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=CO,∴BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;∵∠DBA=∠CAB,∴AO=BO,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=BO,∴CO=DO,∴四边形ABCD不一定是平行四边形,∴④不正确.故选C.
C
3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为
( )
A.6
B.12
C.20
D.24
解析:在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE=
=5.∵AC=10,∴AE=CE=5,∵BE=DE=3,∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC·BD=4×(3+3)=24.故选D.
D
4.如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=10
cm,BC=30
cm,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.求证四边形BDFC是平行四边形.
解析:根据同旁内角互补两直线平行可得BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“AAS”证明△BEC和△FED全等,根据全等三角形的对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.
证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,∴∠CBE=∠DFE.
又∵E是边CD的中点,∴CE=DE.
在△BEC与△FED中,
∴△BEC≌△FED(AAS),∴BE=FE.
∴四边形BDFC是平行四边形.
5.如图所示,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使得CF=
BC,连接CD,DE,EF.
(1)求证四边形CDEF是平行四边形;
(2)若四边形CDEF的面积为8,求△DBC的面积.
解析:(1)欲证明四边形CDEF是平行四边形,只需证得DE∥CF,DE=CF即可;(2)在四边形CDEF与△DBC中,CF=
BC,且它们的高相等,即可求出△DBC的面积.
证明:(1)∵在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE∥BC且DE=
BC.
又∵CF=
BC,∴DE=CF.
∴四边形CDEF是平行四边形.
解:(2)∵DE∥BC,
∴四边形CDEF与△DBC的高相等,设为h.
∵CF=
BC,
=
BC·h=CF·h=8,
6.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,点E,F在AC上,且AF=CE.求证四边形BEDF是平行四边形.
解析:连接BD交AC于点O,首先由AB=CD,BC=AD,可得四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,再由AF=CE可得EO=FO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形.
证明:连接BD交AC于点O,
∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.
∵AF=CE,
∴AF-AO=CE-CO,即EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形.
7.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .
求证:四边形ABCD是 四边形.
(1)补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .
解析:(1)命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”,结论是“这个四边形是平行四边形”,根据题设和结论可得已知和求证.(2)连接BD,利用“SSS”证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,进而可得AD∥CB,AB∥CD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形;(3)把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形的两组对边分别相等.
解:(1)已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)证明:连接BD,在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为:平行四边形的两组对边分别相等.
8.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证四边形ADCE是平行四边形.
解析:首先利用“AAS”得出△AOD≌△COE,进而得出DO=EO,即可得出四边形ADCE是平行四边形.
证明:∵CE∥AB,∴∠ADE=∠CED.
在△AOD与△COE中,
∴△AOD≌△COE(AAS),∴OD=OE.
∴四边形ADCE是平行四边形.(共16张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.5
菱
形（第1课时）
观察思考
（1）图片中有平行四边形吗？
（2）这些平行四边形具有哪些特征？其中哪个特征不是平行四边形的性质？
学
习
新
知
活动1 菱形的定义
结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗 具有这一特征的平行四边形是什么四边形
口答下面问题:
(1)上面这些图形都是平行四边形吗
(2)上述图形都有一组邻边相等吗
(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么各组邻边都相等吗
菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
活动2 菱形的性质
【想一想】
1.菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗
2.你认为菱形还具有哪些特殊的性质 请你与同伴交流.
菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.
【做一做】
请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:
1.菱形是轴对称图形吗 如果是,它有几条对称轴 对称轴之间有什么位置关系
2.菱形中有哪些相等的线段
结论:
1.菱形是轴对称图形,有两条对称轴,是菱形对角线所在的直线,两条对角线互相垂直.
2.菱形的四条边相等.
3.菱形的每条对角线平分一组对角.
如图所示,四边形ABCD是菱形,AB=AD.
求证:(1)AB=BC=CD=DA.
(2)AC⊥DB.
(3)∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
分析:菱形不仅两组对边分别相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等;因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点,可以利用三角形全等来证明AC⊥BD和角的相等关系.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AD=CB.
又∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=DA.
(2)在△ADO和△CDO中,
∵DA=DC,DO=DO,AO=CO,
∴△ADO≌△CDO.
∴∠AOD=∠COD.
∵∠AOD+∠COD=180°,
∴∠AOD=∠COD=90°.
∴AC⊥DB.
(3)∵△ADO≌△CDO,
∴∠ADB=∠CDB,∠DAC=∠DCA.
∵AB∥CD,AD∥CB,
∴∠ADB=∠CBD,∠CDB=∠ABD,∠DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC.
∴∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA.
菱形的性质定理:菱形的四条边都相等,两条对角线互相垂直,且每条对角线平分一组对角.
(教材第142页例1)如图所示,菱形ABCD的周长为16
cm,∠ABC=120°,求对角线BD和AC的长.
解:∵AB+BC+CD+AD=16
cm,
∴AB=BC=CD=AD=
×16=4(cm).
∵BD平分∠ABC,∠ABC=120°,
∴∠ABD=60°.
∴△ABD是等边三角形.
∴BD=AB=4
cm.
在Rt△AOB中,OB=2
cm,
[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看成菱形的性质,也可以看成菱形的判定.
如图所示,四边形ABCD是边长为13
cm的菱形,其中对角线BD的长为10
cm.求:
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交于点E,
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
DE=
BD=
×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分).
在Rt△AED中,AE=
=12(cm).
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
(2)菱形ABCD的面积
=△ABD的面积+△CBD的面积
=2×△ABD的面积
=2×
×BD×AE
=2×
×10×12
=120(cm2).
思考：如果例2中,已知菱形ABCD的两条对角线的长度分别为12
cm和10
cm,怎样直接计算出菱形的面积
菱形
一组邻边相等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等
课堂小结
检测反馈
1.如图所示,菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC的长是
( )
A.20
B.15
C.10
D.5
解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB,AB∥DC,所以∠ABC=180°-∠BCD=180°-120°=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AC=AB=5.故选D.
D
2.(2016·莆田中考)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
( )
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
解析:菱形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分,对角线互相垂直;一般平行四边形具有的性质为:对边相等,对角相等,对角线互相平分.所以菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是:对角线互相垂直.故选D.
D
3.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连接EF.若EF=
,BD=4,则菱形ABCD的周长为
( )
A.4
B.4
C.4
D.28
解析:∵E,F分别是AB,BC边上的中点,EF=
,∴AC=2EF=2
.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=
AC=
,OB=
BD=2,∴AB=
,∴菱形ABCD的周长为4
.故选C.
C
4.如图所示,菱形ABCD的周长为8
cm,高AE的长为
cm,则对角线AC和BD的长度之比为
( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶
D.1∶
解析:设AC,BD相交于点O,∵菱形ABCD的周长为8cm,∴AB=BC=2
cm.∵高AE的长为
cm,
∴BE=
=1(cm),∴CE=BE=1
cm,∴AC=AB=2
cm,∵OA=1
cm,AC⊥BD,∴OB
=
(cm),∴BD=2OB=2
cm,∴AC∶BD=1∶
.故选D.
D
5.如图所示,菱形ABCD的周长为8
cm.∠BAD=60°,则AC= cm.
解析:因为菱形ABCD的周长为8
cm,所以AB=2
cm,AB=AD.又因为∠BAD=60°,所以△ABC是等边三角形,所以BD=AB=2
cm,所以OA=
(cm).所以AC=2
cm.故填2
.
6.如图所示,AC是菱形ABCD的对角线,点E,F分别在AB,AD上,且AE=AF.求证CE=CF.
解析:由四边形ABCD是菱形,可得∠EAC=∠FAC,又由AE=AF,AC为公共边,即可证得△ACE≌△ACF,则可得CE=CF.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠EAC=∠FAC.
在△ACE和△ACF中,
∴△ACE≌△ACF(SAS).
∴CE=CF.
7.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点.
(1)请判断△OEF的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=13,AC=10,请求出线段EF的长.
解析:(1)利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,进而得到OE=OF,可判断△OEF的形状;(2)利用勾股定理得出BO的长,再利用三角形的中位线定理得出EF的长.
解:(1)△OEF是等腰三角形.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EO=
AB,OF=
AD,
∴EO=FO,∴△OEF是等腰三角形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=10,
∴AO=5,∠AOB=90°,
∴BO=
=12,
∴BD=24.
∵点E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF=
BD,∴EF=12.
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,四边形ADEF是菱形,求证BE=CE.
解析:根据四边形ADEF是菱形,得DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,可证明△DBE≌△FEC,即可得出BE=CE.
证明:∵四边形ADEF是菱形,
∴DE=EF,AB∥EF,DE∥AC,
∴∠C=∠BED,∠B=∠CEF.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BED=∠CEF,
在△DBE和△FEC中,
∴△DBE≌△FEC,
∴BE=CE.
9.如图所示,已知菱形ABCD,AB=AC,E,F分别是BC,AD的中点,连接AE,CF.
(1)求证四边形AECF是矩形;
(2)若AB=6,求菱形的面积.
解析:(1)首先证明△ABC是等边三角形,进而得出∠AEC=90°,四边形AECF是平行四边形,即可得出答案;(2)利用勾股定理得出AE的长,进而求出菱形的面积.
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC.
又∵AB=AC,∴AB=AC=BC.
∴△ABC是等边三角形.
∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴∠AEC=90°.
∵E,F分别是BC,AD的中点,
∴AF=
AD,EC=
BC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC且AD=BC,
∴AF∥EC且AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵∠AEC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
解:(2)在Rt△ABE中,AE=
,所以
10.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,点F在DE的延长线上,且AF=AE.
(1)求证四边形ACEF是平行四边形;
(2)若四边形ACEF是菱形,求∠B的度数.
解析:(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE,从而得到AF=CE,再根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠1=∠2,根据等边对等角可得∠F=∠3,对顶角相等得∠1=∠3,然后得到∠2=∠F,再根据同位角相等,两直线平行得到CE∥AF,然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证;(2)根据菱形的四条边都相等可得AC=CE,然后得到AC=CE=AE,从而得到△AEC是等边三角形,再根据等边三角形的每一个内角都是60°求出∠CAE=60°,然后根据直角三角形的两锐角互余解答.
证明:(1)∵∠ACB=90°,E是BA的中点,
∴CE=AE=BE.
∵AF=AE,∴AF=CE.
在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,
∴ED是等腰三角形BEC底边BC上的中线,
∴ED是等腰三角形BEC的顶角平分线,
∴∠1=∠2.
∵AF=AE,∴∠F=∠3.
∵∠1=∠3,∴∠2=∠F,
∴CE∥AF.
又∵CE=AF,
∴四边形ACEF是平行四边形.
解:(2)∵四边形ACEF是菱形,
∴AC=CE,
由(1)知,AE=CE,
∴AC=CE=AE,
∴△AEC是等边三角形,
∴∠CAE=60°.
在Rt△ABC中,∠B=90°-∠CAE=90°-60°=30°.(共13张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.4
矩
形（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
1.什么叫做平行四边形 它具有哪些性质
2.想一想,这里展示的物体都是一些什么形状的图形
中国有句古话:不以规矩,不成方圆.“方”指的就是我们小学学习过的长方形,包括正方形,“矩”就是古代画“方”的一种工具.到了初中阶段,我们就把长方形称作矩形.
观察并思考:
1.在运动过程中四边形还是平行四边形吗
2.在运动过程中四边形不变的是什么 改变的是什么
3.角的大小改变过程中有特殊值吗 这时的平行四边形是什么图形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的定义
矩形的性质
1.观察试验,发现问题
平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上,作为它的对角线,拉动一对不相邻的顶点,改变平行四边形的形状,
观察并思考:
（1）随着∠ABC的变化,两条对角线的长度是怎样变化的
(2)当∠ABC是直角时,平行四边形变成了矩形,此时其他内角有什么变化 两条对角线的长度有什么关系
矩形的性质定理1 矩形的四个内角都是直角.
矩形的性质定理2 矩形的两条对角线相等.
已知:如图所示,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:
(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
(2)AC=BD.
(1)矩形是不是中心对称图形 如果是,那么对称中心是什么
(2)矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
概括矩形的性质:
(1)从边来说,矩形的对边平行且相等;
(2)从角来说,矩形的四个内角都是直角;
(3)从对角线来说,矩形的两条对角线相等且互相平分;
(4)从对称性来说,矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
如图所示,矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=4
cm,求矩形对角线的长.
分析:先根据矩形的对角线相等且互相平分这一性质得到线段之间的关系,再利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”,证明△AOB是等边三角形,然后再求解.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=OC=BO=OD.
∵∠AOD=120°,
∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=4
cm.
AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),
即矩形ABCD的对角线的长度为8
cm.
检测反馈
1.在矩形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为
( )
A.2和3
B.3和2
C.4和1
D.1和4
解析:∵AE平分∠BAD交BC边于点E,∴∠BAE=∠EAD,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC=5,∴∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE=3,∴EC=BC-BE=5-3=2.故选B.
B
2.下列说法中:①有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有一个角是直角的四边形是矩形;③有三个角是直角的四边形是矩形;④必须有四个角是直角的四边形才能是矩形,正确的有
( )
A.①②③④
B.①③
C.①②③
D.①③④
解析:②中混淆了四边形与平行四边形的区别;④中混淆了矩形的性质与判定的区别.只有①③正确.故选B.
B
3.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是
( )
A.∠ABC=90°
B.AC=BD
C.OA=OB
D.OA=AD
解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,AC=BD,OA=
AC,
OB=
BD,∴OA=OB,∴选项A,B,C正确,选项D错误.故选D.
D
4.如图所示,O是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点.若BC=8,OB=5,则OM的长为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,OA=
AC,OB=
BD,AC=BD,∴AC=BD=2OB=10,∴AB=
=6,∴CD=6.∵O是矩形ABCD的对称中心,M是AD的中点,∴OM是△ACD的中位线,∴OM=
CD=3.故选C.
C
5.(2016·荆门中考)如图所示,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是
( )
A.△AFD≌△DCE
B.AF=
AD
C.AB=AF
D.BE=AD-DF
解析:由四边形ABCD是矩形,AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°,AD∥BC,∴∠ADF=∠DEC.又∵DE=AD,∴△AFD≌△DCE(AAS),故A正确;∵∠ADF不一定等于30°,∴直角三角形ADF中,AF不一定等于AD的一半,故B错误;由△AFD≌△DCE,得AF=CD,由四边形ABCD是矩形,得AB=CD,∴AB=AF,故C正确;由△AFD≌△DCE,得CE=DF,由四边形ABCD是矩形,得BC=AD,又∵BE=BC-EC,∴BE=AD-DF,故D正确.故选B.
B
6.如图所示,四边形ABCD是矩形,点E是AD的中点,点F是BC的中点.求证△ABF≌△CDE.
解析:由矩形的性质得出∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,由中点的定义从而得出BF=DE,由“SAS”证明△ABF≌△CDE即可.
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=90°,AB=CD,AD=BC.
∵点E是AD的中点,点F是BC的中点,
∴DE=
AD,BF=
BC,
∴BF=DE.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS).
7.如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.求证BE=CF.
解析:要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE,CF所在的三角形全等,从而得出结论.
证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴AC=BD,则BO=CO.
∵BE⊥AC,CF⊥BD,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
又∵∠BOE=∠COF,
∴△BOE≌△COF.
∴BE=CF.
8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,AF平分∠DAE,EF⊥AE于E,求CF的长.
解析:先证△AEF≌△ADF,得AE=AD=5,EF=DF,在△ABE中,由勾股定理求出BE=3,从而求出CE=2,设CF=x,则EF=DF=4-x,在Rt△CFE中,由勾股定理,得(4-x)2=x2+22,求出x即可.
解:∵AF平分∠DAE,∴∠DAF=∠EAF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=∠C=90°,AD=BC=5,AB=CD=4.
∵EF⊥AE,∴∠AEF=∠D=90°.
在△AEF和△ADF中,
∴△AEF≌△ADF(AAS),
∴AE=AD=5,EF=DF.
在△ABE中,∠B=90°,AE=5,AB=4,
由勾股定理,得BE=3,
∴CE=5-3=2.
设CF=x,则EF=DF=4-x,
在Rt△CFE中,由勾股定理,得EF2=CE2+CF2,即(4-x)2=x2+22,解得x=
,即CF=
.
9.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN.
(1)求证∠PNM=2∠CBN;
(2)求线段AP的长.
解析:(1)由已知得MN∥BC,可得∠CBN=∠MNB,由已知∠PNB=3∠CBN,根据角的和差关系得出结论;(2)连接AN,根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,由(1)知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN,由AD∥MN,可知∠PAN=∠ANM,所以∠PAN=∠PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理求出AP的长.
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点,
∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB.
∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN.
解:(2)如图所示,连接AN,根据矩形的轴对称性可知∠PAN=∠CBN.
∵MN∥AD,∴∠PAN=∠ANM,
由(1)知∠PNM=2∠CBN,
∴∠PAN=∠PNA,∴AP=PN.
∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点,
∴DN=2.
设AP=x,则PD=6-x.
在Rt△PDN中,PD2+DN2=PN2,
∴(6-x)2+22=x2,解得
x=
.
∴AP=
.(共27张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.6
正方形
学
习
新
知
问题思考
观察图片,回答下列问题:
1.上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形,除菱形、矩形外,还有一种特殊的平行四边形,观察这些特殊的平行四边形,你能发现它们有什么共同特征吗 与同伴交流.
图形名称
性质
角
线
边
数量关系
位置关系
对角线
数量关系
位置关系
对称性
四个角都相等都是90°
一组邻边分别相等
两组对边分别平行
相等且互相平分
相交
轴对称图形
2.观察特征,填写下表:
3.这种特殊的平行四边形与我们学过的菱形、矩形以及平行四边形之间有什么联系与区别 如何给出这个定义
正方形的定义:有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
活动1 正方形的性质
议一议,想一想:
1.正方形是矩形吗 是菱形吗
2.你认为正方形有哪些性质 与同伴交流.
正方形既是矩形,又是菱形,它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
想一想,画一画,正方形有几条对称轴 与同伴交流.
活动2 正方形的性质的运用
(教材第148页例1)如图所示,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上.
求证BE=DE.
证明:在△AED和△AEB中,
∵AD=AB,AE=AE,
∠DAC=∠BAC=45°,
∴△AED≌△AEB,
∴BE=DE.
(教材第148页例2)已知:如图所示,在正方形ABCD中,△BCE是等边三角形.
求证∠EAD=∠EDA=15°.
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形与正方形关系演示
有一个直角
有一个直角
矩形
有一个直角
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
菱形
矩形
平行四边形
正
形
方
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
活动4 正方形的判定定理
(1)对角线相等的菱形是正方形.
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)有一个角是直角的菱形是正方形.
(2)对角线垂直的矩形是正方形.
“做一做”.
已知:如图所示,点E,F,M,N分别在正方形ABCD的四条边上,且AE=BF=CM=DN.求证四边形EFMN是正方形.
提示:先证明△AEN≌△BFE,得到NE=EF,∠AEN=∠BFE,∠ANE=∠BEF;再证明EF=FM,FM=MN,MN=NE,从而得到四边形EFMN是菱形,最后证明四边形EFMN是正方形.
已知:如图所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.
求证四边形BECF是正方形.
分析:方法1:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是菱形,然后证明四边形BECF中有一个角是直角即可;
方法2:要证四边形BECF是正方形,可以先证明四边形BECF是矩形,然后证明四边形BECF中有一组邻边相等即可.
证法1:∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC=
∠ABC=45°,
∠ECB=
∠DCB=45°.
∴∠EBC=∠ECB=45°.∴EB=EC.
∴四边形BECF是菱形.
在△EBC中,∠EBC=∠ECB=45°,
∴∠BEC=90°.
∴菱形BECF是正方形.
证法2:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,
∴∠EBC=
∠ABC=45°,
∠ECB=
∠DCB=45°,
∴∠EBC=∠ECB=45°,∴EB=EC.
∵BF∥CE,CF∥BE,
∴∠ECB=∠CBF,∠EBC=∠FCB=45°,
∴∠EBF=∠ECF=∠BEC=90°.
∴四边形BECF是矩形.
∴矩形BECF是正方形.
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
检测反馈
1.判断下列说法是否正确
(1)有一个角为直角的菱形是正方形;
( )
(2)四个角都相等的四边形是正方形.
( )
(3)四条边都相等的四边形是正方形;
( )
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形;
( )
(5)对角线垂直且相等的四边形是正方形;
( )
(6)对角线相等的菱形是正方形;
( )
(7)对角线互相垂直的矩形是正方形;
( )
(8)对角线互相垂直平分的四边形是正方形.
( )
解析:直接根据正方形的判定方法逐一进行判定.
√
√
√
√
2.(2016·毕节中考)如图所示,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:设CH=x,则DH=EH=9-x.∵BE∶EC=2∶1,∴CE=
BC=3.∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2,即(9-x)2=32+x2,解得x=4,即CH=4.故选B.
B
3.(2016·台湾中考)如图所示,有一个平行四边形ABCD与一正方形CEFG,其中E点在AD上.若∠ECD=35°,∠AEF=15°,则∠B的度数为
( )
A.50
B.55
C.70
D.75
解析:∵四边形CEFG是正方形,∴∠CEF=90°.∵∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°,∴∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-35°=70°.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B=∠D=70°.故选C.
C
4.如图所示的是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”.在Rt△ABF中,∠AFB=90°,BF=3,AB=5.四边形EFGH的面积是 .
解析:因为AB=5,所以
=5×5=25.Rt△ABF中,BF=3,AB=5,则AF=
=4,所以SRt△ABF=
×3×4=6,四个直角三角形的面积为:6×4=24.∴四边形EFGH的面积是25-24=1.故填1.
1
5.正方形的四条边
,四个角
,两条对角线
.
解析:根据正方形的边、角、对角线的性质填空.
都相等
都是直角
互相垂直平分且相等
6.如图所示,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C作l的垂线,垂足分别为E,F.若AE=1,CF=3,则AB的长度为 .
解析:∵四边形ABCD是正方形,∴∠CBF+∠FBA=90°,
∠CBF+∠BCF=90°,∴∠BCF=∠ABE.∵∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF,BE=CF,
∴AB=
.故填
.
7.已知:如图所示,四边形ABCD为正方形,E,F分别为CD,CB延长线上的点,且DE=BF.求证∠AFE=∠AEF.
提示:可证△ABF≌△ADE,得到AF=AE.根据等边对等角证得∠AFE=∠AEF.
8.如图所示,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度数.
提示:∠EAD=15°,∠ECD=30°.(共14张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.2
平行四边形的判定
（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
在学习平移时,我们通过探究发现,平移时对应点的连线平行且相等(如图中AA'∥BB'∥CC'且AA'=BB'=CC').你明白它的道理了吗
活动1 判定定理的探究
阅读教材第123~124页,回答下列问题:
1.你知道平行四边形的判定方法吗 如何表示
(定义法):两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
几何语言表达定义法:
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
解析:一个四边形只要其两组对边分别平行,则可判定这个四边形是一个平行四边形.
设问:若一个四边形有一组对边平行且相等,则能否判定这个四边形也是平行四边形呢
2.画两条互相平行的直线,在这两条直线上分别截取线段AB=CD.将线段AB沿BC方向平移,线段AB与CD能不能重合 你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形
由此,你发现了什么结果
总结:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
设问:我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢
平行四边形的判定方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如图所示,用几何语言表述为:
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
3.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.求证四边形ABCD是平行四边形.
分析:要证明四边形ABCD是平行四边形,只能通过证四边形的两组对边分别平行,即利用平行四边形的定义加以证明.
证明:如图所示,连接BD.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(教材第124页例1)已知:如图所示,在 ABCD中,E为BA延长线上一点,F为DC延长线上一点,且AE=CF,连接BF,DE.
求证四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
又∵AE=CF,
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF,且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
(教材第124页例2)求证:平行线间的距离处处相等.
已知:如图所示,EF∥MN,A,B为直线EF上任意两点,AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C.
求证AD=BC.
想一想:两条平行线间的距离指的是什么
(平行线间所作垂线段的长度)
证明:∵AD⊥MN,BC⊥MN,
∴AD∥BC.
又∵EF∥MN,
∴四边形ADCB是平行四边形.
∴AD=BC.
定理:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.定理包含两个条件:
(1)对边平行;(2)对边相等.
课堂小结
2.本节知识的符号语言:
在四边形ABCD中,
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的对边相等、对角相等以及它的判定是我们证明直线平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两条直线平行、两条线段相等两个角相等,可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.
运用定义,也可以判定某个四边形是平行四边形,这是常用的方法.不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定方法还简单.
检测反馈
1.(2016·绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是
( )
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
解析:∵只有②③中两个角的两边互相平行,∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.
D
2.如图所示,下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
B.AB∥CD,AD=BC
C.∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°
D.AB∥CD,AB=CD
解析:∵∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,A选项正确;∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不一定是平行四边形,B选项不正确;∵∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,C选项正确;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,D选项正确.故选B.
B
3.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是
( )
A.AD=BC
B.AC=BD
C.∠A=∠C
D.∠A=∠B
解析:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,当∠A=∠C时,有∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.
C
4.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断四边形是平行四边形的是
( )
A.4∶3∶2∶1
B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2
D.3∶2∶2∶1
解析:由平行四边形的两组对角分别相等,知只有选项B能判定是平行四边形.故选B.
B
5.如图所示,在平面直角坐标系中,以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是
( )
A.(3,1)
B.(-4,1)
C.(1,-1)
D.(-3,1)
解析:如图所示:以AC为对角线,可以画出 AFCB,F(-3,1);以AB为对角线,可以画出 ACBE,E(1,-1);以BC为对角线,可以画出 ACDB,D(3,1).故选B.
6.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD=BC,
∠D=∠DCE.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:由“内错角相等,两直线平行”得出AD∥BC,再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.
证明:∵∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
7.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证四边形ABCD为平行四边形.
解析:首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD,再由条件AB∥CD,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形.
证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
∴∠AEB=∠DFC.
在△AEB和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
8.如图所示,在边长为1的小正方形网格中,三角形的三个顶点均落在格点上.以三角形的其中两边为边画一个平行四边形,并在顶点处标上字母A,B,C,D.
解析:过A点作AB∥CD,且AB=CD,即可得到平行四边形ABCD.
解:如图所示,四边形ABCD为平行四边形.(答案不唯一)
9.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证四边形ABCD是平行四边形.
解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,从而推出AD∥BC,AB∥CD,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可.
证明:
∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,
∴∠CAD=∠ACB,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
10.如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AD∥BC,DF∥BE,AE=CF.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
解析:(1)根据“ASA”证明△AFD≌△CEB;(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB,由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论.
证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2.
∵DF∥BE,∴∠3=∠4.
又AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△AFD与△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(ASA).
(2)由△AFD≌△CEB,得AD=CB.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.(共17张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十二章
四边形
学习新知
检测反馈
22.7
多边形的内角和与外角和
学
习
新
知
问题思考
我们知道,三角形的内角和等于180°,那么四边形的内角和等于多少度,你知道吗
活动1 多边形的内角和
观察这些图形,它们有什么共同的特点
归纳:平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形,叫做多边形.
在定义中应注意:①不在同一条直线上;②首尾顺次相接,二者缺一不可,多边形有凸多边形和凹多边形之分,如图所示.
多边形的边、顶点、对角线、内角、的含义
边:组成多边形的各条线段叫做多边形的边,
顶点:每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
对角线:连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
内角:多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
多边形通常以边数命名,多边形有几条边就叫做几边形.三角形、四边形都属于多边形,其中三角形是边数最少的多边形,多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示,既可顺时针方向表示,也可逆时针方向表示.
n边形的内角和
我们了解了多边形的有关概念后,回答下列问题:
(1)一个四边形,你能设法求出它的四个内角的和吗 与同学交流.
(2)还有其他的方法吗
在求四边形的内角和时,先把四边形转化成三角形,进而求出内角和,这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.
将多边形分割成不重叠的三角形,分别求四边形、五边形、六边形的内角和,猜想n边形的内角和,并将结果填入下表.
2
3
4
从n边形的一个顶点出发,向自身和相邻的两个顶点无法引对角线,向其他顶点共引(n-3)条对角线,这时n边形被分割成(n-2)个三角形,因为每个三角形的内角和是180°,所以n边形的内角和为(n-2)×180°(n≥3).
活动2 多边形的外角和
填表:
活动3 例题讲解
(教材第152页例1)已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,这个多边形是几边形
解:设多边形的边数是n,那么它的内角和等于(n-2)×180°,
外角和等于360°,
由题意,得(n-2)×180°=360°.
解这个方程,得n=4.
所以,这个多边形是四边形.
(教材第152页例2)如图所示,小亮从点O处出发,前进5
m后向右转20°,再前进5
m后又向右转20°,这样走n次后恰好回到点O处.
(1)小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度,内角和是多少度
(2)小亮走出的这个n边形的周长是多少米
解:(1)设这个n边形的每个内角为180°-20°=160°.
因为多边形外角和等于360°,
所以n×20°=360°.解得n=18.
所以这个n边形的内角和=(18-2)×180°=2880°.
(2)5×18=90(m),所以,小亮走出的这个n边形的周长为90
m.
2.由内角和定理可以看出多边形每增加一条边,其内角和会增加180°.
4.如果多边形的每个角都相等,通常可从内角和、外角和及两者之间的互补关系等不同角度采用不同的方法求解.
1.n边形的内角和、外角和定理是计算n边形的角的度数、边数的重要依据.在计算中注意方程思想的应用,特别是计算边数时应用得多.
3.在利用内角和定理(n-2)×180°求边数时,先不要去括号,而把(n-2)看作一个整体先求(n-2),再求n的值.
课堂小结
检测反馈
1.若一个多边形的内角和是1080°,则这个多边形的边数为
( )
A.6
B.7
C.8
D.10
解析:根据n边形的内角和定理,得(n-2)×180°=1080°,解得n=8.∴这个多边形的边数是8.故选C.
C
2.若一个正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数是
( )
A.10
B.9
C.8
D.6
解析:∵多边形的外角和是360°,∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8.故选C.
C
3.如图所示,已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,则所得任意一个多边形的内角和度数不可能是
( )
A.720°
B.540°
C.360°
D.180°
解析:不同的划分方法有4种,如图所示.所得任意一个多边形的内角和度数可能是360°或540°或180°.故选A.
4.已知一个正多边形的每个外角都等于72°,则这个正多边形是
( )
A.正五边形
B.正六边形
C.正七边形
D.正八边形
解析:正多边形的外角和是360°,且每个外角相等,因而用360°除以外角的度数,就得到正多边形的边数.故选A.
A
A
5.(2016·台湾中考)如图所示的七边形ABCDEFG中,AB,DE的延长线相交于O点.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的外角的角度和为220°,则∠BOD的度数为
( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
解析:延长BC交OD与点M,如图所示.∵多边形的外角和为360°,∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°-220°=140°.∵∠OMB=∠MCD+∠MDC,∴∠BOD=180°-∠OBM-∠OMB=180°-∠OBC-∠MCD-∠MDC=180°-140°=40°.故选A.
A
6.若多边形的边数增加1,则
( )
A.其内角和增加180°
B.其内角和为360°
C.其内角和不变
D.其外角和减少
解析:设原多边形的边数为n,则原多边形的内角和为(n-2)×180°,边数增加1后的多边形的内角和为(n+1-2)×180°,∴(n+1-2)×180°-(n-2)×180°=180°,∴其内角和的度数增加180°.故选A.
A
解析:六边形的内角和为(6-2)×180°=720°,每个内角的度数为720°÷6=120°.故选B.
7.一个六边形,每一个内角都相等,每个内角的度数为
( )
A.100°
B.120°
C.135°
D.150°
B
解析:根据多边形的内角和定理与外角和定理列式求解.
8.一个多边形的内角和加上它的外角和等于900°,求此多边形的边数.
解:设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°+360°=900°,解得n=5.
9.在各个内角都相等的多边形中,一个内角是一个外角的4倍,则这个多边形是几边形 这个多边形的内角和是多少度
解析:设多边形的边数为n,根据多边形的内角和定理180°×(n-2)和多边形的外角和为360°,可得方程180°×(n-2)=360°×4,解得边数n,再利用内角和定理即可得到内角和的度数.
解:设多边形的边数为n,180°×(n-2)=360°×4,解得n=10,
这个多边形的内角和=(10-2)×180°=1440°.
答:这个多边形是十边形,这个多边形的内角和是1440°.
10.如图所示,在四边形ABCD中,∠1=∠2,∠3=∠4,且∠D+∠C=220°,求∠AOB的度数.
解析:首先根据四边形的内角和为360°计算出∠DAB+∠ABC=360°-220°=140°,再根据∠1=∠2,∠3=∠4计算出∠2+∠3=70°,然后利用三角形的内角和为180°计算出∠AOB的度数.
解:∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC=360°,∠D+∠C=220°,
∴∠DAB+∠ABC=360°-220°=140°.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=70°,
∴∠AOB=180°-70°=110°.
11.在△ABC中,如果∠A,∠B,∠C的外角的度数之比是4∶3∶2,求∠A的度数.
解析:因为三角形的外角和为360°,可首先求出与∠A,∠B,∠C相邻的三个外角的度数,则可求出∠A的度数.
解:在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的外角分别为∠1=4x,∠2=3x,∠3=2x.
因为∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角,
所以4x+3x+2x=360°,解得x=40°.
所以∠1=160°,∠2=120°,∠3=80°.
因为∠A+∠1=180°,所以∠A=20°.
12.如图所示,在四边形ABCD中,∠DAB的平分线与∠ABC的平分线相交于点P.若∠C+∠D=220°,求∠P的度数.
解析:根据三角形的内角和等于180°,四边形的内角和等于360°,结合角平分线的定义即可得到∠P与∠C+∠D之间的关系.
解:∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点P,
∴∠PAB=
∠DAB,∠PBA=
∠ABC,
∴∠P=180°-(∠PAB+∠PBA)
=180°-
(∠DAB+∠CBA)
=180°-
(360°-∠C-∠D)
=
(∠C+∠D).
∵∠C+∠D=220°,
∴∠P=
(∠C+∠D)=110°.