2.2圆周角 教学设计 (2)
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文档简介
2.2.2
圆周角
【知识与技能】
1.巩固圆周角概念及圆周角定理.
2.掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【过程与方法】
在探索圆周角定理的推论中,培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.
【情感态度】
在探索过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.
【教学重点】
对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解
【教学难点】
对圆周角定理推论的灵活运用是难点.
一、情境导入，初步认识
1.如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗
【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,因为90度的圆周角所对的弦是直径.
解:当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,否则工作不合格.
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【教学说明】半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导,培养激发他们的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.直径所对的圆周角是直角,90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.
【教学说明】∵A、O、B在一条直线上,∠AOB是平角,
∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°,反过来也成立.
2.讲教材P54例3
【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求,另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.
3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆;圆内接四边形对角互补.
例1如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE=10cm.
【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.
例2如图,已知∠BOC=70°,则∠BAC=_____，∠DAC=______.
【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°,则∠DAC=35°.
答案:145°
35°
例3如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;
(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)
【教学说明】连接AD,得AD⊥BC,构造出Rt△ABD≌Rt△ACD
解：（1）AB=AC.
证明:如图,连接AD,则AD⊥BC.
∵AD是公共边,BD=DC,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,
∴AB=AC
(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.
三、运用新知，深化理解
1.(湖南湘潭中考）如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°,则∠A等于（）
A.30°
B.60°
C.80°
D.70°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=_______.
3.(山东威海中考)如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是______.
4.(浙江金华中考）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,则⊙O的半径为,CE的长是_____.
【教学说明】①遇到直径常设法构造直角三角形；②注意：“角→弧→角”之间转化.
【答案】1.D
2.50°3.105°
4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A,又，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.
(2)半径为5.CE=
=4.8.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.
2.教师强调:
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质;
③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.
1.教材P57第7~9题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始，运用定理推导出半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质定理的,学生见证了从一般到特殊的这一过程,使学生明白从特殊到一般又从一般到特殊的多种解决问题的途径,激发学生的求知欲望.
圆周角
【知识与技能】
1.巩固圆周角概念及圆周角定理.
2.掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【过程与方法】
在探索圆周角定理的推论中,培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.
【情感态度】
在探索过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.
【教学重点】
对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解
【教学难点】
对圆周角定理推论的灵活运用是难点.
一、情境导入，初步认识
1.如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗
【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,因为90度的圆周角所对的弦是直径.
解:当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,否则工作不合格.
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
3.圆内接四边形的对角互补.
【教学说明】半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导,培养激发他们的学习兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.直径所对的圆周角是直角,90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.
【教学说明】∵A、O、B在一条直线上,∠AOB是平角,
∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°,反过来也成立.
2.讲教材P54例3
【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求,另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.
3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆;圆内接四边形对角互补.
例1如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE=10cm.
【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.
例2如图,已知∠BOC=70°,则∠BAC=_____，∠DAC=______.
【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°,则∠DAC=35°.
答案:145°
35°
例3如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;
(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)
【教学说明】连接AD,得AD⊥BC,构造出Rt△ABD≌Rt△ACD
解：（1）AB=AC.
证明:如图,连接AD,则AD⊥BC.
∵AD是公共边,BD=DC,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,
∴AB=AC
(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.
三、运用新知，深化理解
1.(湖南湘潭中考）如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°,则∠A等于（）
A.30°
B.60°
C.80°
D.70°
2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=_______.
3.(山东威海中考)如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是______.
4.(浙江金华中考）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
(1)求证:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,则⊙O的半径为,CE的长是_____.
【教学说明】①遇到直径常设法构造直角三角形；②注意：“角→弧→角”之间转化.
【答案】1.D
2.50°3.105°
4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A,又，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.
(2)半径为5.CE=
=4.8.
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.
2.教师强调:
①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；
②圆内接四边形定义及性质;
③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.
1.教材P57第7~9题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始，运用定理推导出半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质定理的,学生见证了从一般到特殊的这一过程,使学生明白从特殊到一般又从一般到特殊的多种解决问题的途径,激发学生的求知欲望.