2.6 弧长与扇形面积 教案
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2.6 弧长与扇形面积 教案
第1课时 弧长及其相关量的计算
教学目标：
【知识与技能】
理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.
【过程与方法】
经历弧长公式的推导过程,进一步培养学生探究问题的能力.
【情感态度】
调动学生的积极性,在组织学生自主探究,相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神.
【教学重点】
弧长公式及其运用.
【教学难点】
运用弧长公式解决实际问题.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
如图是某城市摩天轮的示意图,点O是圆心，半径r为15m,点A、B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°.你能想办法求出AB的长度吗？
【教学说明】学生根据AB是120°是周长可直接求出AB的长，为下面推导出弧长公式打好基础.
二、思考探究，获取新知
问题1在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧长_______.
【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识,同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等,则另外两组量也分别相等,结论自然不难得出.
问题2 1度的圆心角所对的弧长l=_____.
问题3 半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l=______.
【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.
结论:半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为
注：已知公式中l、r、n的其中任意两个量，可求出第三个量.
三、典例精析，掌握新知
例1已知圆O的半径为30cm,求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm)
解：.
答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm.
【教学说明】此题是直接导用公式.
例2如图,在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心，CA为半径的圆交点D，若AC=6，求弧的长.
【分析】要求弧长,必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数,即只需求出∠ACD的度数即可.
解:连接CD.
因为∠B=15°,∠BCA=90°,
所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°.
又因为CA=CD,所以∠CDA=∠A=75°.
所以∠DCA=180°-2∠A=30°.
所以的长==π.
【教学说明】在求弧长的有关计算时,常作出该弧所对应的圆心角.
例3如图为一个边长为10cm的等边三角形，木板ABC在水平桌面绕顶点C沿顺时针方向旋转到△A′B′C的位置.求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少？
解：由题可知∠A′CB′=60°.
∴∠ACA′=120°.A点经过的路程即为AA′的长.等边三角形的边长为10cm.即AA′的半径为10cm.
∴AA′的长= (cm).
答：点A从开始到结束经过的路程为cm.
【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.
四、运用新知，深化理解
1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）
A.6cm B.12cm
C. cm D. cm
2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿着、、、的路线爬行，乙虫沿着路线爬行，则下列结论正确的是（）
A.甲先到B点 B.乙先到B点
C.甲乙同时到达 D.无法确定
3.如果一条弧长等于l,它所在圆的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）
A. B. C. D.
4.(山东泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC=120°,OC=3,则的长为（）
A.π B.2π
C.3π D.5π
第4题图 第5题图
5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么B点从开始到结束时所走过的路径长度是______.
【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中,多是一些基础题,关键是理解公式的推导过程后,在l、n、r中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.
【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾本小节的知识点.
2.通过本节课的学习,你掌握了那些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】1.n°的圆心角所对的弧长.
2.学生大胆尝试公式的变化运用.
课堂作业：
教材P81页第1、2题
课外作业：
完成《学法》中本课时的练习.
教学反思：
本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入,到学生自己推导出弧长公式,并运用公式解决问题,培养学生动手、动脑的习惯,加深了对公式的理解,并用所学知识解决实际问题.体验了推导出公式的成就感.激发了学生学习数学的兴趣.
第2课时 扇形面积
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握扇形的定义.
2.掌握扇形面积公式的推导过程,会运用扇形的面积进行有关计算.
【过程与方法】
经过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题,加强合作交流,集思广益.
【教学重点】
扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.
【教学难点】
用公式求组合图形的面积来解决实际问题.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图,你能求出做这把扇子用了多少纸吗?要想解决以上问题,需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.
二、思考探究，获取新知
1.扇形的定义
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.
【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形;
2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.
2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：
（1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.
(2)设圆的半径为R,1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…,n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答
【教学说明】(1)360°(2)
因此，在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=,还可推导出
S扇形=,其中l为扇形的弧长.
例1（教材例3）如图，⊙O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°,求扇形OAB的面积（精确到 0.1cm2).
解：∵r=1.5cm,n=58,
∴
例2已知半径为2的扇形，其弧长为,则这个扇形的面积为多少？
【分析】已知扇形弧长为l,所在圆的半径为R时，可直接利用扇形的面积公式：S扇形=求解.解: S扇形==.
【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.
3.组合图形的面积计算.
例3如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若OA=3cm,OC=2cm,AB的长为,CD的长为π,求阴影部分的面积.
【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.
(1)证明:∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC.
又∵OA=OB,OC=OD,
∴△AOC≌△BOD.
(2)延长CD,交OB于点F,设AO交CD于点E.
∵S△AOC=S△BOD,
S扇形EOC=S扇形DOF，
∴S图形AEC=S图形BFD.
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD
.
【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.
三、运用新知，合作学习，深化理解
1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）
A.π B.1 C.2 D.
2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）
A.a2-π B.(4-π)a2 C.π D.4-π
3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点.如果⊙O的半径为1，P是线段AB上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.
4.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,BC=，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π).
5.如图，⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作弧，求图中阴影部分的面积.
【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.
【答案】1.C 2. D 3. 4.
5.解：S阴=S半圆OCAD+S△BCD-S扇形BCED=
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.教师强调：①扇形的概念.
②圆心角为n°的扇形面积S扇= (l为扇形的弧长）.
③组合图形的面积.
课堂作业：
教材P81 练习第3题，习题2.5A组3题
课外作业：
完成《学法》中本课时的练习.
教学反思：
本节课从基本的生活用品扇子引入,到学生自主推导出扇形的两种面积公式,并运用公式解决了组合图形的面积.由简单到复杂,由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，由简单到复杂的解题技能,而复杂图形又是由简单图形组成,培养学生对数学产生浓厚的兴趣.
第1课时 弧长及其相关量的计算
教学目标：
【知识与技能】
理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.
【过程与方法】
经历弧长公式的推导过程,进一步培养学生探究问题的能力.
【情感态度】
调动学生的积极性,在组织学生自主探究,相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神.
【教学重点】
弧长公式及其运用.
【教学难点】
运用弧长公式解决实际问题.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
如图是某城市摩天轮的示意图,点O是圆心，半径r为15m,点A、B是圆上的两点，圆心角∠AOB=120°.你能想办法求出AB的长度吗？
【教学说明】学生根据AB是120°是周长可直接求出AB的长，为下面推导出弧长公式打好基础.
二、思考探究，获取新知
问题1在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧长_______.
【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识,同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等,则另外两组量也分别相等,结论自然不难得出.
问题2 1度的圆心角所对的弧长l=_____.
问题3 半径为R的圆中，n度的圆心角所对的弧长l=______.
【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.
结论:半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为
注：已知公式中l、r、n的其中任意两个量，可求出第三个量.
三、典例精析，掌握新知
例1已知圆O的半径为30cm,求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm)
解：.
答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm.
【教学说明】此题是直接导用公式.
例2如图,在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心，CA为半径的圆交点D，若AC=6，求弧的长.
【分析】要求弧长,必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数,即只需求出∠ACD的度数即可.
解:连接CD.
因为∠B=15°,∠BCA=90°,
所以∠A=90°-∠B=90°-15°=75°.
又因为CA=CD,所以∠CDA=∠A=75°.
所以∠DCA=180°-2∠A=30°.
所以的长==π.
【教学说明】在求弧长的有关计算时,常作出该弧所对应的圆心角.
例3如图为一个边长为10cm的等边三角形，木板ABC在水平桌面绕顶点C沿顺时针方向旋转到△A′B′C的位置.求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少？
解：由题可知∠A′CB′=60°.
∴∠ACA′=120°.A点经过的路程即为AA′的长.等边三角形的边长为10cm.即AA′的半径为10cm.
∴AA′的长= (cm).
答：点A从开始到结束经过的路程为cm.
【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.
四、运用新知，深化理解
1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）
A.6cm B.12cm
C. cm D. cm
2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿着、、、的路线爬行，乙虫沿着路线爬行，则下列结论正确的是（）
A.甲先到B点 B.乙先到B点
C.甲乙同时到达 D.无法确定
3.如果一条弧长等于l,它所在圆的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（）
A. B. C. D.
4.(山东泰安中考）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连结BC，若∠ABC=120°,OC=3,则的长为（）
A.π B.2π
C.3π D.5π
第4题图 第5题图
5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚（如图），那么B点从开始到结束时所走过的路径长度是______.
【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中,多是一些基础题,关键是理解公式的推导过程后,在l、n、r中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.
【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.
五、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾本小节的知识点.
2.通过本节课的学习,你掌握了那些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.
【教学说明】1.n°的圆心角所对的弧长.
2.学生大胆尝试公式的变化运用.
课堂作业：
教材P81页第1、2题
课外作业：
完成《学法》中本课时的练习.
教学反思：
本节课是从如何计算摩天轮的弧长引入,到学生自己推导出弧长公式,并运用公式解决问题,培养学生动手、动脑的习惯,加深了对公式的理解,并用所学知识解决实际问题.体验了推导出公式的成就感.激发了学生学习数学的兴趣.
第2课时 扇形面积
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握扇形的定义.
2.掌握扇形面积公式的推导过程,会运用扇形的面积进行有关计算.
【过程与方法】
经过扇形面积公式的推导,培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
【情感态度】
经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题,加强合作交流,集思广益.
【教学重点】
扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.
【教学难点】
用公式求组合图形的面积来解决实际问题.
教学过程：
一、情境导入，初步认识
如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图,你能求出做这把扇子用了多少纸吗?要想解决以上问题,需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.
二、思考探究，获取新知
1.扇形的定义
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.
【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形;
2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.
2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：
（1）该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.
(2)设圆的半径为R,1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…,n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答
【教学说明】(1)360°(2)
因此，在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=,还可推导出
S扇形=,其中l为扇形的弧长.
例1（教材例3）如图，⊙O的半径为1.5cm,圆心角∠AOB=58°,求扇形OAB的面积（精确到 0.1cm2).
解：∵r=1.5cm,n=58,
∴
例2已知半径为2的扇形，其弧长为,则这个扇形的面积为多少？
【分析】已知扇形弧长为l,所在圆的半径为R时，可直接利用扇形的面积公式：S扇形=求解.解: S扇形==.
【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.
3.组合图形的面积计算.
例3如图,把两个扇形OAB与扇形OCD的圆心重合叠放在一起,且∠AOB=∠COD,连接AC.
(1)求证:△AOC≌△BOD;
(2)若OA=3cm,OC=2cm,AB的长为,CD的长为π,求阴影部分的面积.
【教学说明】利用“边角边”证明△AOC≌△BOD，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.
(1)证明:∵∠AOB=∠COD,
∴∠BOD=∠AOC.
又∵OA=OB,OC=OD,
∴△AOC≌△BOD.
(2)延长CD,交OB于点F,设AO交CD于点E.
∵S△AOC=S△BOD,
S扇形EOC=S扇形DOF，
∴S图形AEC=S图形BFD.
∴S阴影=S扇形OAB-S扇形OCD
.
【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.
三、运用新知，合作学习，深化理解
1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）
A.π B.1 C.2 D.
2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a(a≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）
A.a2-π B.(4-π)a2 C.π D.4-π
3.如图，AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点.如果⊙O的半径为1，P是线段AB上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.
4.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,BC=，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是______（保留π).
5.如图，⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，以BC为半径作弧，求图中阴影部分的面积.
【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.
【答案】1.C 2. D 3. 4.
5.解：S阴=S半圆OCAD+S△BCD-S扇形BCED=
四、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2.教师强调：①扇形的概念.
②圆心角为n°的扇形面积S扇= (l为扇形的弧长）.
③组合图形的面积.
课堂作业：
教材P81 练习第3题，习题2.5A组3题
课外作业：
完成《学法》中本课时的练习.
教学反思：
本节课从基本的生活用品扇子引入,到学生自主推导出扇形的两种面积公式,并运用公式解决了组合图形的面积.由简单到复杂,由特殊到一般的解题过程，使学生掌握由浅入深，由简单到复杂的解题技能,而复杂图形又是由简单图形组成,培养学生对数学产生浓厚的兴趣.