广西南宁市2017届高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年广西南宁市高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜4}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|0≤x≤2}
C．{0，1，2}
D．{0，1，2，3}
2．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（　　）
A．
B．
C．3
D．﹣3
3．若，则m=（　　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
4．若，则cos（π﹣2α）=（　　）
A．
B．
C．
D．
5．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．a＜b＜c
6．在[﹣4，3]上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x2+mx+2，在R上有零点的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列有关命题的说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x2=4，则x≠2”
B．命题“ x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是“ x∈R，x2+2x﹣1＞0”
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题
8．直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的斜率为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则此时几何体的体积是（　　）
A．2π
B．
C．π
D．
10．执行如图的程序框图，输出的S的值为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
11．给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　）
A．在直线y=﹣3x上
B．在直线y=3x上
C．在直线y=﹣4x上
D．在直线y=4x上
12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为　　．
14．函数的图象可以由函数y=2sinx的图象至少向左平移　　个单位得到．
15．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=，c=4，△ABC的面积为2，则a=　　．
16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知．
（1）求a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
18．某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求顾客年龄值落在区间[75，85]内的频率；
（2）拟利用分层抽样从年龄在[55，65），[65，75）的顾客中选取6人召开一个座谈会，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AMC；
（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．
20．已知点C的坐标为（1，0），A，B是抛物线y2=x上不同于原点O的相异的两个动点，且．
（1）求证：点A，C，B共线；
（2）若，当时，求动点Q的轨迹方程．
21．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明当a≥2时，关于x的不等式恒成立；
（3）若正实数x1，x2满足，证明．
　
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C2曲线的极坐标方程为ρ2=4ρsin（）﹣4．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|．
（1）若a=1，解不等式
f（x）≤2|x﹣2|；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年广西南宁市高三（上）第一次摸底数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜4}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|0≤x≤2}
C．{0，1，2}
D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合
A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣1＜x＜4}，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
　
2．设i是虚数单位，如果复数的实部与虚部是互为相反数，那么实数a的值为（　　）
A．
B．
C．3
D．﹣3
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出方程，求解即可得答案．
【解答】解：
==，
∵复数的实部与虚部是互为相反数，
∴，即a=3．
故选：C．
　
3．若，则m=（　　）
A．
B．
C．2
D．﹣2
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程求m的值即可．
【解答】解：
=（2，1），=（﹣1，1），
∴2+=（3，3），
﹣m=（2+m，1﹣m），
又（2+）∥（﹣m），
∴3（1﹣m）﹣3（2+m）=0
解得m=﹣．
故选：A．
　
4．若，则cos（π﹣2α）=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）=﹣cos2α
的值．
【解答】解：若，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=2 ﹣1=﹣，
故选：C．
　
5．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．b＜a＜c
D．a＜b＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．
【解答】解：∵，
∴，
0＜b=（）3.2＜（）0=1，
c=log0.73＜log0.71=0，
∴a＜b＜a．
故选：B．
　
6．在[﹣4，3]上随机取一个实数m，能使函数f（x）=x2+mx+2，在R上有零点的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】首先明确函数有零点的x的范围，利用几何概型的公式解答即可．
【解答】解：若函数f（x）=x2+mx+2在R上有零点，则△=2m2﹣8≥0，解得m≥2或m≤﹣2，即在[﹣4，3]上使函数有零点的范围为[﹣4，﹣2∪[2，3]，
由几何概型可得函数y=f（x）有零点的概率=．
故选：B．
　
7．下列有关命题的说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x2=4，则x≠2”
B．命题“ x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是“ x∈R，x2+2x﹣1＞0”
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为假命题
D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题
【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．
【分析】写出原命题的否命题，可判断A；写出原命题的否定命题，可判断B；判断原命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断C；根据命题命题真假判断的真值表，可判断D．
【解答】解：命题“若x2=4，则x=2”的否命题为“若x2≠4，则x≠2”，故A错误；
命题“ x∈R，x2+2x﹣1＜0”的否定是“ x∈R，x2+2x﹣1≥0”，故B错误；
命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；
若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题．故D正确；
故选：D
　
8．直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的斜率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】直线的斜率．
【分析】求出圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心，半径，圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离，由此利用直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为2，由勾股定理能求出k．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4的圆心（2，3），半径r=2，
圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d=，
∵直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为2，
∴由勾股定理得4=（）2+3，
解得k=．
故选：D．
　
9．若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则此时几何体的体积是（　　）
A．2π
B．
C．π
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为2，高为2，球的直径为2，圆锥的底面直径为2，高为1．即可得出结论．
【解答】解：由正视图与侧视图可知：圆柱的底面直径为2，高为2，球的直径为2，圆锥的底面直径为2，高为1．
可得该几何体的体积V=π×12×2﹣﹣=π．
故选C．
　
10．执行如图的程序框图，输出的S的值为（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图的功能是求S=1 log23 log34 log45 log56 log67 log78 log88，判断终止程序运行的k值，利用对数换底公式求得S值．
【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1 log23，k=3；
第二次运行S=1 log23 log24，k=4；
第二次运行S=1 log23 log34 log45，k=5；
第三次运行S=1 log23 log34 log45 log56，k=6；
…
直到k=8时，程序运行终止，此时S=1 log23 log34 log45 log56 log67 log78 log88=3；
故选：D．
　
11．给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导函数，f″（x）是函数f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．已知函数f（x）=3x+4sinx﹣cosx的拐点是M（x0，f（x0）），则点M（　　）
A．在直线y=﹣3x上
B．在直线y=3x上
C．在直线y=﹣4x上
D．在直线y=4x上
【考点】导数的运算．
【分析】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0，即可得到拐点，问题得以解决．
【解答】解：f'（x）=3+4cosx+sinx，f''（x）=﹣4sinx+cosx=0，4sinx0﹣cosx0=0，
所以f（x0）=3x0，
故M（x0，f（x0））在直线y=3x上．
故选：B．
　
12．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：将x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，可设A（﹣c，），C（x，y），由=2，则（2c，﹣）=2（x﹣c，y），2c=2x﹣2c，﹣=2y，求得x=2c，y=﹣，代入椭圆方程，由b2=a2﹣c2，整理得：5c2=a2，求得a=c，由椭圆的离心率e=．
【解答】解：由椭圆+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，设椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），
由x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±，
可设A（﹣c，），C（x，y），
由=2，
∴（2c，﹣）=2（x﹣c，y），
即2c=2x﹣2c，﹣=2y，
可得：x=2c，y=﹣，
代入椭圆方程可得，，16c2+b2﹣4a2=0，
由b2=a2﹣c2，整理得：5c2=a2，
∴a=c，
由椭圆的离心率e=，
故选：A．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足，则z=x﹣2y的最小值为　　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组，对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣过点A点，
由可得A（，）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣．
故答案为：．
　
14．函数的图象可以由函数y=2sinx的图象至少向左平移　　个单位得到．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x+），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵=2sin（x+），
令f（x）=2sinx，
则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x+），
故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），
即φ=﹣2kπ+（k∈Z），
当k=0时，正数φmin=x+，
故答案为：．
　
15．在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=，c=4，△ABC的面积为2，则a=　　．
【考点】正弦定理．
【分析】根据题意和三角形的面积公式求出b的值，由余弦定理求出a的值．
【解答】解：∵A=，c=4，△ABC的面积为2，
∴，解得b=2，
由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA
=4+16﹣=12，
则a=，
故答案为：．
　
16．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为　　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的体积．
【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，
记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=4﹣R，
在Rt△AO1O中，AO1=，由勾股定理R2=2+（4﹣R）2得R=，
∴球的体积为．
故答案为：．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设数列{an}的前n项和为Sn，已知．
（1）求a2，a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
【考点】数列递推式．
【分析】（1）利用数列的递推关系式，求出数列a2，a3的值．
（2）利用通项公式与数列和的关系式，得到数列是等比数列，然后求解通项公式．
【解答】解：（1）由题意，a1=1，an+1=3Sn+1，所以
a2=3a1+1=4，a3=3（a1+a2）+1=3（1+4）+1=16．
（2）由an+1=3Sn+1，则当a≥2时，an=3Sn﹣1+1，两式相减，得an+1=4an（n≥2），
又因为，所以数列{an}是以首项为1，公比为4等比数列，
所以数列{an}的通项公式是．
　
18．某购物中心为了了解顾客使用新推出的某购物卡的顾客的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的顾客年龄，并整理后画出频率分布直方图如图所示，年龄落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（1）求顾客年龄值落在区间[75，85]内的频率；
（2）拟利用分层抽样从年龄在[55，65），[65，75）的顾客中选取6人召开一个座谈会，现从这6人中选出2人，求这两人在不同年龄组的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）利用频率和为1，即可求出区间[75，85]内的频率值；
（2）求出从年龄在[55，65），[65，75）中分别抽取的人数，利用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】解：（1）设区间[75，85]内的频率为x，则
区间[55，65），[65，75）内的频率分别为4x和2x，
依题意得（0.004+0.012+0.019+0.03）×10+4x+2x+x=1，
解得x=0.05，
所以区间[75，85]内的频率为0.05；
（2）根据题意得，需从年龄在[55，65），[65，75）中分别抽取4人和2人，
设在[55，65）的4人分别为a，b，c，d，在[65，75）的2人分别为m，n，
则所抽取的结果共有15种：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），
（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），
（c，d），（c，m），（c，n），
（d，m），（d，n），（m，n）；
设“这两人在不同年龄组”为事件A，事件A包含的基本事件有8种：
（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），
（c，m），（c，n），（d，m），（d，n）；
则，
所以这两人在不同年龄组的概率为．
　
19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AMC；
（2）求三棱锥P﹣AMC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连结BD交AC于O，连结OM，则OM∥PB，由此能证明PB∥平面ACM．
（2）取AB中点N，连结PN，则PN⊥平面ABCD，由VP﹣AMC=VP﹣ACD=VM﹣ACD，能求出三棱锥P﹣AMC的体积．
【解答】证明：（1）连结BD交AC于O，连结OM，
因为ABCD为菱形，OB=OD，所以OM∥PB．
因为直线PB 平面AMC，OM 平面AMC，
所以PB∥平面ACM．
解：（2）取AB中点N，连结PN，则PN⊥AB，且PN=，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PN⊥平面ABCD，
所以=，
=，
所以．
　
20．已知点C的坐标为（1，0），A，B是抛物线y2=x上不同于原点O的相异的两个动点，且．
（1）求证：点A，C，B共线；
（2）若，当时，求动点Q的轨迹方程．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）利用向量方法，证明，即可证明点A，C，B共线；
（2）若，当时，，即可求动点Q的轨迹方程．
【解答】（1）证明：设，则，
因为，∴，又t2≠0，t1≠0，∴t1t2=﹣1，
因为，
且，
所以，
又AC，CB都过点C，所以三点A，B，C共线．
（2）解：由题意知，点Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠CQO=90°，
所以设动点Q（x，y），则，
又，所以x（x﹣1）+y2=0，即，
动点Q的轨迹方程为．
　
21．已知函数f（x）=lnx﹣x2+x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明当a≥2时，关于x的不等式恒成立；
（3）若正实数x1，x2满足，证明．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）令，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可；
（3）得到（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），这样令t=x1x2，t＞0，容易求得函数t﹣lnt的最小值为1，从而得到（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解这个关于x1+x2的一元二次不等式即可得出要证的结论．
【解答】解：（1），
由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，
所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令，
所以，
因为a≥2，所以，
令g'（x）=0，得，所以当，当时，g'（x）＜0，
因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，
故函数g（x）的最大值为，
令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，
所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，
所以关于x的不等式恒成立．
（3）由f（x1）+f（x2）+2（+）+x1x2=0，
即lnx1++lnx2++x1x2=0，
从而+（x1+x2）=x1x2﹣ln（x1x2），
令t=x1x2，则由h（t）=t﹣lnt得，h′（t）=，
可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）≥h（1）=1，
∴（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，又x1+x2＞0，
因此x1+x2≥成立．
　
请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C2曲线的极坐标方程为ρ2=4ρsin（）﹣4．
（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）当直线过圆心（2，2）时，|AB|的最大为4，当AB为过点P（，2）且与PC1垂直时，|AB|最小．
【解答】解：（1）对于C2曲线的极坐标方程为ρ2=4ρsin（）﹣4，
即x2+y2=4x+4y﹣4，因此曲线C2的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，
其表示一个以（2，2）为圆心，半径为2的圆．
（2）曲线C2是过点P（，2）的直线，P（，2）在曲线C2内，
所以当直线过圆心（2，2）时，|AB|的最大为4，
当AB为过点P（，2）且与PC1垂直时，|AB|最小，弦心距为2﹣，最小值为2．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|．
（1）若a=1，解不等式
f（x）≤2|x﹣2|；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）将a=1带入不等式，两边平方，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤2|x﹣2|，
即|x+1|≤|x﹣2|，即（x+1）2≤（x﹣2）2，
解得：x≤．
（2）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣（x+a）|=|a+2|，
若f（x）≥2恒成立，只需|a+2|≥2，
即a+2≥2或a+2≤﹣2，解得：a≥0或a≤﹣4．
　
2017年2月10日