(共14张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十一章
一次函数
学习新知
检测反馈
21.2
一次函数的图象和性质（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
已知A,B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如图所示,你知道A,B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗
怎样画出一个给定的函数的图像 一般可以分为哪几个步骤
(用“描点法”画函数图像,可以分成“列表、描点、连线”三个步骤.)
活动1 一次函数图像的画法
想一想:已知一次函数y=2x-1,怎样画出它的图像
(1)自变量x可以取哪些值
(全体实数.)
(2)怎样取点比较方便
(对称地取点,并且取整数点比较方便.)
填写下表:
(3)以(2)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.
活动2 一次函数的图像与点的坐标之间的关系
1.一次函数y=2x-1的图像的形状是怎样的 你和其他同学得到的结果一样吗
2.凡是满足关系式y=2x-1的x,y的值所对应的点,如
,(4,7)等,都在一次函数y=2x-1的图像上吗 与同学交流你的看法.
3.请你从一次函数y=2x-1的图像上任意取一点,检验该点的横坐标x和纵坐标y是否满足关系式y=2x-1.
达成共识.
1.图像为一条直线.
2.由画图过程,知一次函数y=2x-1的图像是由所有满足关系式y=2x-1的点(x,y)连线而得到的.因此,凡满足关系式y=2x-1的x,y的值所对应的点都在一次函数y=2x-1的图像上.
因为一次函数的图像是一条直线,所以也把一次函数y=kx+b的图像称为直线y=kx+b.
(教材第91页例1)画一次函数y=-
x+1的图像.
分析:取函数图像与两坐标轴的交点,画出图像比较方便.
解:当x=0时,y=1.
当y=0时,0=-
x+1,解得x=2.
在直角坐标系中,过点(0,1)和(2,0)画直线,即得一次函数y=-
x+1的图像,如图所示.
拓展延伸:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图像.
(3)y=3x；
(4)y=3x+2.
认真观察上题画出的四个函数图像的特点,比较下列各对函数图像的相同点和不同点.
(1)y=3x与y=3x+2；
(3)y=3x+2与y=
x+2.
由此你能发现什么规律
对于一次函数y=kx+b和y=k1x+b1:
(1)当k=k1,b≠b1时,两条直线平行,可以通过平移其中一条直线得到另一条直线;
(2)当k≠k1,b=b1时,两条直线相交,且交点在y轴上,是点(0,b).
检测反馈
1.正比例函数y=x的大致图像是图中的
( )
解析:因为正比例函数y=x的图像是一条经过原点的直线,它还经过点(1,1),画出图像可知是C.故选C.
C
2.(2016·河北中考)若k≠0,b<0,则y=kx+b的图像可能是图中的
( )
解析:因为b<0时,直线与y轴交于负半轴,而k≠0,排除D,所以只有B符合题意.故选B.
B
3.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图像是下图中的
( )
解析:根据程序框图可得y=(-x)×3+2=-3x+2,y=-3x+2的图像与y轴的交点为(0,2),与x轴的交点为
.故选C.
C
4.函数
的图像经过点(1,-1),则函数y=kx-2的图像是图中的
( )
解析:∵
的图像经过点(1,-1),∴k=xy=-1,∴函数解析式为y=-x-2,所以函数图像经过(-2,0)和(0,-2).故选A.
A
5.如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是( )
A.x<-2
B.x>-2
C.x<2
D.x>2
解析:由图像可得一次函数的图像与x轴的交点为(-2,0),当y<0时,x<-2.故选A.
A
6.连降6天大雨,某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升.若该水库的蓄水量v(万米3)与降雨的时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是
( )
A.降雨后,蓄水量每天减少5万米3
B.降雨后,蓄水量每天增加5万米3
C.降雨开始时,蓄水量为20万米3
D.降雨第6天,蓄水量共增加40万米3
解析:A.根据图像知水库的蓄水量随着降雨的时间的增加而增多,故本选项错误;B.因为图像为直线,所以每天降雨量是相等的,所以蓄水库每天增加的水量是(40-10)÷6=5(万米3),故本选项正确;C.根据图示知降雨开始时,蓄水量为10万米3,故本选项错误;D.根据图示知降雨第6天,蓄水量共增加了40-10=30(万米3),故本选项错误.故选B.
B
7.若一次函数y=kx+4的图像经过点(1，2).
(1)求k的值；
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图像;
(3)根据图像回答:当x 时，y>0.
解析:(1)把点(1,2)代入函数解析式,利用方程来求得k的值;(2)由两点确定一条直线进行作图;(3)根据图像解答即可.
解:(1)依题意,得2=k+4,解得k=-2,即k的值是-2.
(2)由(1)得到该直线方程为y=-2x+4.
则当x=0时,y=4;当y=0时,x=2.
即该直线经过点(0,4),(2,0),
其图像如图所示.
(3)根据图像可得当x<2时,y>0.故填<2.
8.某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求出售出台数x(台)与新进彩电销售总额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来.
解析:直接利用列表法得出所有数据,再利用图像法画出,结合题意列出解析式即可.
解:列表法:
图像法:
解析法:
y=3000x(1≤x≤10,且x为整数).
9.已知一次函数y=-2x-2.
(1)画出函数的图像;
(2)求图像与x轴,y轴的交点A,B的坐标;
(3)求A,B两点间的距离;
(4)求△AOB的面积;
(5)利用图像求当x为何值时,y≥0.
解析:(1)画一次函数的图像,找出两个点,由两点确定一条直线就可以画出函数的图像.(2)根据函数解析式求坐标.(3)根据(2)中A,B的坐标求AB的长度.(4)知道OA和OB的长能求出△AOB的面积.(5)由函数的图像可知y≥0时x的取值范围.
解:(1)如图所示的是一次函数y=-2x-2的图像.
(2)当y=0时,x=-1,所以一次函数图像与x轴的交点坐标是A(-1,0);当x=0时,y=-2,所以一次函数图像与y轴的交点坐标是B(0,-2).
(3)用勾股定理可求AB的长,即AB=
.
(5)由图像可知当x≤-1时,y≥0.(共12张PPT)
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第二十一章
一次函数
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21.4
一次函数的应用（第1课时）
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问题思考
小明同学受《乌鸦喝水》故事启发后,利用量杯和体积相同的小球进行了如下操作:
你能根据以上信息求出放入小球后量杯中水面的高度与小球个数之间的关系吗
活动1 建立模型
某公司与销售人员签订了这样的工资合同:工资由两部分组成,一部分是基本工资,每人每月3000元;另一部分是按月销售量确定的奖励工资,每销售1件产品,奖励工资10元.
(1)想一想:在这个事件中,变量是什么
(2)在这个问题中体现的数量关系是什么
(3)如果设某销售员月销售产品x件,他应得的工资记为y元.求y与x之间的函数关系式.
用求出的函数关系式,尝试解决下列问题:
(1)该销售员某月的工资为4100元,他这个月销售了多少件产品
(2)要想使月工资超过4500元,该月的销售量应当超过多少件
(月销售产品的件数和他应得的工资是变量.)
(工资总额=基本工资+奖励工资.)
(y与x之间的函数关系式为y=10x+3000.)
(1)当销售员的月工资为4100元时,有4100=10x+3000,解得x=110.
(2)要想使月工资超过4500元,只要使10x+3000>4500即可.解得x>150.
活动2 新知探究
某种称量体重的台秤,最大称量是150
kg.称体重时,体重x(kg)与指针按顺时针方向转过的角y(°)有如下一些对应数值:
(1)请你在直角坐标系中,分别以上表中的每对对应数值为横坐标和纵坐标,描点连线,画出图像.
(2)求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
由表格给出的数据结合图像可以看出,体重为0
kg时,台秤指针指向0°,每增加5
kg,台秤指针按顺时针方向旋转12°,所以y是x的正比例函数.
(3)当体重为多少千克时,台秤的指针恰好转到180°的位置 当体重为50
kg时,台秤的指针转过的角度是多少
函数关系式:y=
x(0≤x≤150).
当y=180时,180=
x,解得x=75.
当x=50时,y=
×50=120.
检测反馈
解析:根据三角形的三边关系,得0<20-2x<2x,由20-2x>0,解得x<10,由20-2x<2x,解得x>5,则51.已知等腰三角形的周长为20
m,底边长为y(m),腰长为x(m),y与x的函数关系式为y=20-2x,那么自变量x的取值范围是
( )
A.x>0
B.0C.0D.5D
2.皮球从高处落下,其弹跳高度b与下落高度d的关系如下表所示,则d与b之间的关系式为
( )
A.d=b2
B.d=2b
C.d=b+40
D.d=
b
解析:这是一个用表格表示的函数,可以看出d是b的2倍,即可得关系式.故选B.
B
3.为增强居民的节水意识,某市自2014年实施“阶梯水价”.按照“阶梯水价”的收费标准,居民家庭每年应缴水费y(元)与用水量x(立方米)的函数关系的图像如图所示.如果某个家庭2014年全年上缴水费1180元,那么该家庭2014年用水的总量是
( )
A.240立方米
B.236立方米
C.220立方米
D.200立方米
解析:当x≥180时,设y=kx+b,将点(180,900),(260,1460)代入,
可得
解得
故函数解析式为y=7x-360,由题意得7x-360=1180,解得x=220,即该家庭2014年用水220立方米.故选C.
C
4.目前,我国大约有1.3亿高血压病患者,预防高血压不容忽视.“千帕kPa”和“毫米汞柱mmHg”都是表示血压的单位.请你根据表格提供的信息,判断下列各组换算正确的是
( )
A.6
kPa=50
mmHg
B.16
kPa=110
mmHg
C.20
kPa=150
mmHg
D.22
kPa=160
mmHg
解析:设千帕x与毫米汞柱y的关系式为y=kx+b(k≠0),
则
解得
所以y=7.5x,A.x=6时,y=6×7.5=45,即6
kPa=45
mmHg,故本选
项错误;B.x=16时,y=16×7.5=120,所以16
kPa=120
mmHg,故本选项错误;C.x=20时,y=20×7.5=150,即20
kPa=150
mmHg,故本选项正确;D.x=22时,y=22×7.5=165,即22
kPa=165
mmHg,故本选项错误.故选C.
C
5.某航空公司规定,旅客乘机携带行李的质量x(千克)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图像确定,则旅客可免费携带行李的最大质量为
( )
A.20千克
B.25千克
C.28千克
D.30千克
解析:设y与x的函数关系式为y=kx+b,由题意可知
解得
所以函数关系式为y=30x-600,当y=0时,30x-600=0,解得x=20.故选A.
A
6.已知从山脚起每升高100米,气温就下降0.6摄氏度,现测得山脚处的气温为14.1摄氏度,山上点P处的气温为11.1摄氏度,则点P距离山脚处的高度为
( )
A.50米
B.200米
C.500米
D.600米
解析:设从山脚起升高x百米时的气温为y摄氏度,根据题意得y=14.1-0.6x,∵山上点P处的气温为11.1摄氏度,∴11.1=14.1-0.6x,解得x=5,∴点P距离山脚处的高度为500米.故选C.
C
解:(1)∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度,∴y=105-10t(0≤t≤10.5).
(2)∵蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0,∴105-10t=0,解得t=10.5,∴该蚊香可点燃10.5小时.
7.一盘蚊香长105
cm,点燃时每小时缩短10
cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)之间的函数关系式;
(2)该蚊香可点燃多长时间
解析:(1)根据蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度,用t表示出y即可.(2)当蚊香的长度y为0时,即蚊香燃尽的时候,求出相应的时间即可.
8.甲、乙两个仓库要向A,B两地运送水泥,已知甲仓库可调出100吨水泥,乙仓库可调出80吨水泥,A地需70吨水泥,B地需110吨水泥,两仓库到A,B两地的路程和运费如下表(表中运费栏单位“元/(吨、千米)”表示每吨水泥运送1千米所需人民币),设甲仓库运往A地水泥x吨,求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式.
解析:由甲库运往A地水泥x吨,根据题意首先求得甲库运往B地水泥(100-x)吨,乙库运往A地水泥(70-x)吨,乙库运往B地水泥(10+x)吨,然后根据表格求得总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式.
解:设甲库运往A地水泥x吨,则甲库运往B地水泥(100-x)吨,乙库运往A地水泥(70-x)吨,乙库运往B地水泥[80-(70-x)]=(10+x)吨,
根据题意得y=12×20x+10×25(100-x)+12×15×(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39200(0≤x≤70),
∴总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式为y=-30x+39200.
9.声音在空气中传播的速度y(m/s)是气温x(℃)的一次函数,下表列出了一组不同气温下的声速:
求y与x之间的函数关系式.
解析:先设函数解析式为y=kx+b,根据题意取两组x,y的值代入,利用待定系数法求解即可.
解:设y=kx+b,
∵观察表格知道该函数图像经过点(0,331)和(5,334),
∴k=
,b=331,
∴该函数关系式为y=
x+331.(共12张PPT)
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第二十一章
一次函数
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21.5
一次函数与一元二次方程
的关系
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问题思考
十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床,他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行,笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛地灵机一动.他想,可以把蜘蛛看成一个点,它可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢 在蜘蛛爬行的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系,在坐标系下将几何图形(形)和方程(数)建立联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用,而我们可以把图形化成方程来研究,也可以用图像来研究方程.这节课我们就来研究:一次函数与二元一次方程的关系.
活动1 二元一次方程与一次函数的关系
(1)方程x+y=1的解有多少个 写出其中的几个.
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=1-x的图像上吗
(3)在一次函数y=1-x的图像上任取一点,它的坐标适合方程x+y=1吗
(4)以方程x+y=1的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同吗
(5)方程x+y=1与函数y=1-x有何关系
讨论
以方程x+y=1的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同,以二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上.
想一想:
对于二元一次方程kx-y=-b和一次函数y=kx+b有什么关系
一般地,一次函数y=kx+b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y=-b的一个解,以二元一次方程kx-y=-b的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.
1.以二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数
的图像 请说明理由.
2.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别
总结:以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它相应的二元一次方程的解.
练一练:
1.方程x+y=4的解有 个,以方程x+y=4的解为坐标的点组成一次函数 的图像.
2.一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标是 ,且该点的横、纵坐标是二元一次方程-2x+by=18的解,则b= .
3.一次函数y=kx+2的图像总过定点(0, ),二元一次方程kx-y=-2有无数个解,其中必有一个解为 .
动脑筋.
观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与
的图像,两条直线的交点坐标是 ,方程组
的解是 .
活动2 巩固练习
1.方程2x+3y=5有多少组解 请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点.
2.在直角坐标系中画出
的图像.
3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数
的图像上 为什么
[知识拓展]
(1)以二元一次方程的解为坐标的点组成的集合是它对应的一次函数所在的直线;一次函数图像上任意一点的坐标是它对应的方程的一组解.
(2)二元一次方程组的解是由它对应的两个一次函数图像的交点坐标;两个一次函数图像的交点坐标是其对应的二元一次方程组的解.
检测反馈
1.若二元一次方程组
的解为
则直线y=-3x+a和y=2x-
的交点坐标为
( )
A.(n,m)
B.(m,m)
C.(m,n)
D.(n,n)
解析:二元一次方程组的解就是两个方程对应直线的交点坐标.故选C.
C
2.如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图像,求方程组
的解对应的点关于原点对称的点的坐标是
( )
A.(4,3)
B.(3,-4)
C.(-3,4)
D.(-3,-4)
解析:函数y=kx+b与y=mx+n的图像,同时经过点(3,4),因此x=3,y=4同时满足两个函数的解析式,所以方程组
的解为
所以点(3,4)关于原点对称的点的坐标是(-3,-4).故选D.
D
3.一次函数y=ax+b的图像经过点(3,5),则方程ax+b=5的解是 .
解析:根据一次函数与二元一次方程的关系,可知ax+b=5的解是x=3.故填x=3.
x=3
4.如图所示,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).
(1)求b的值;
(2)不解关于x,y的方程组
请你直接写出它的解.
解析:(1)把点(1,b)代入直线l1:y=x+1即可求出b的值;(2)根据两直线的交点即为方程组的解可以确定.
解:(1)∵(1,b)在直线y=x+1上,
∴当x=1时,b=1+1=2.
(2)∵直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b),
∴方程组
的解是
5.在同一坐标系内画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图像,并根据图像回答下列问题:
(1)写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点坐标;
(2)直接写出当x取何值时,y1解析:(1)利用两点法画出图像即可确定交点坐标;(2)根据图像与一元一次不等式的关系即可求解.
解:(1)两直线相交时交点的坐标是
的解,即
所以交点的坐标是(1,0),图像用两点法画即可.
y1=-x+1的图像与坐标轴的交点为(0,1),(1,0),y2=2x-2的图像与坐标轴的交点为(0,-2),(1,0),直接连线即可.如图所示.
(2)y11.
6.在平面直角坐标系中,直线y=-x+4如图所示.
(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5的图像;
(2)用作图像的方法解方程组:
(3)求直线y=-x+4与一次函数y=2x-5的图像及x轴围成的三角形面积.
解析:利用图像求方程组的解,即为交点的横、纵坐标,在确定面积时要注意坐标系中两点之间的距离.
解:(1)如图所示.
(2)由图像看出两直线的交点为P(3,1),
所以方程组
的解为
(3)直线y=-x+4与x轴的交点为(4,0),y=2x-5的图像与x轴的交点为
,三角形面积=(共9张PPT)
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第二十一章
一次函数
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21.1
一次函数（第1课时）
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问题思考
一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
1.这只燕鸥大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)
2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系
3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈200(千米).
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=200x(0≤x≤127).
这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值,即y=200×45=9000(千米).
以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢
活动1 新知探究
1.教材“观察与思考”.
小刚骑自行车去上学,行驶时间和路程之间的关系如下表:
提出问题:小学我们学过正比例关系,什么是正比例关系 对于刚才的表格中的时间和路程成正比例吗 为什么
通过观察与计算可以发现小刚离开家的路程与时间的比值等于0.2,即这两个量成正比例关系,也就是一个量在增加,另一个量也在增加;一个量在减少,另一个量也相应地减少.
如果用s表示路程,用t表示时间,你能写出它们之间的函数关系式吗
函数关系式为s=0.2t.
“做一做”.
1.小亮每小时读20页书.若读书时间用字母t(h)表示,读过书的页数用字母m(页)表示,则用t表示m的函数表达式为
.
2.小米去给学校运动会买奖品,每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示,花钱的总数用w(元)表示,则用n表示w的函数表达式为
.
3.拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05
mL.设t
min后,水龙头滴水V
mL,则用t表示V的函数表达式为
.
m=20t
w=0.5n
V=5t
上面的式子都能写成y=kx(k为常数,且k≠0)的形式.我们把形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,叫做正比例函数.其中,非0常数k叫做比例系数.
怎么判断一个函数是否为正比例函数呢
正比例函数满足的条件是:(1)自变量的指数是1;(2)自变量在一次单项式中.
活动2 例题讲解
下列函数中,哪些是正比例函数 请指出其中正比例函数的比例系数.
(1)y=3x；
(2)y=2x+1；
解:(1),(3),(5),(6)是正比例函数,比例系数分别是3,
,π,
.(2)和(4)不是正比例函数.
有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.
(1)求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式.
(2)求收割完这块麦田需用的时间.
解:(1)y=0.5x.
(2)把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x，
解得x=20，即收割完这块麦田需要20
h.
想一想:y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系是正比例函数吗 比例系数是多少 这个比例系数代表的意义是什么
强调:这个比例系数是每小时收割的量,收割机每工作1小时,收割麦田0.5公顷.实际问题中的比例系数是单位量中增加或减少的值.
检测反馈
1.下列问题中,是正比例函数的是
( )
A.矩形面积固定,长和宽的关系
B.正方形面积和边长之间的关系
C.三角形的面积一定,底边和底边上的高之间的关系
D.匀速运动中,速度固定时,路程和时间的关系
解析:A.∵S=ab,∴矩形的长和宽的积是定值,不是正比例函数;B.∵S=a2,∴自变量的次数是2,不是正比例函数;C.∵S=
ah,∴三角形的面积一定,底边和底边上的高的积是定值,不是正比例函数;D.∵s=vt,∴速度固定时,路程和时间是正比例关系,故本选项正确.故选D.
2.下列函数中，y是x的正比例函数的是
( )
A.y=2x-1
B.y=
x
C.y=2x2
D.y=kx
解析:A.y=2x-1,不是正比例函数,故本选项错误;B.y=
x,符合正比例函数定义,故本选项正确;C.y=2x2,自变量次数不为1,故本选项错误;D.y=kx,k有可能为0,故本选项错误.故选B.
B
D
3.函数y=(a+1)
是正比例函数,则a的值是
( )
A.2
B.-1
C.2或-1
D.-2
解析:∵函数y=(a+1)
是正比例函数,∴a-1=1,且a+1≠0,解得a=2.故选A.
A
4.若函数y=(3-m)
是正比例函数,则常数m的值是
( )
A.-
B.±
C.±3
D.-3
解析:由正比例函数的定义,可得m2-8=1,且3-m≠0,解得m=-3.故选D.
D
5.关于x的一次函数y=x+5m-3，若要使其成为正比例函数,则m= .
解析:根据正比例函数的定义,可得5m-3=0,解得m=
.故填
.
6.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的正比例函数 如果是正比例函数,指出比例系数.
(1)小红去商店买笔记本,每个笔记本2.5元,小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.
解析:(1)根据每个笔记本2.5元,可得出小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;(2)根据圆的面积公式即可得出圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.
解:(1)由题意得y=2.5x,y是x的正比例函数,比例系数是2.5.
(2)由题意得y=πx2,y不是x的正比例函数.(共12张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十一章
一次函数
学习新知
检测反馈
21.1
一次函数（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
问题:某登山队大本营所在地的气温为15
℃,海拔每升高1
km气温下降6
℃.登山队员由大本营向上登高x
km时,他们所处位置的气温是y
℃.试用解析式表示y与x的关系.
分析:从大本营向上,当海拔每升高1
km时,气温从15
℃就减少6
℃,那么海拔增加x
km时,气温从15
℃减少6x
℃.因此y与x的函数关系式为y=15-6x(x≥0).
当登山队员由大本营向上登高0.5
km时,他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃).
这个函数与我们上课时所学的正比例函数有何不同 它又是什么函数呢
活动1 新知探究
在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中,小刚家到学校的路程为3.5
km,小刚骑车的速度为0.2
km/min.设小刚距学校的路程为s
km,离开家的时间为t
min.
一起探究:
(1)写出s与t之间的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
(2)写出t的取值范围.
(3)对比正比例函数,它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点
一般地,解决行程类的问题时,常常借助如下图示来分析.
s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中3.5,0.2是常量,s与t是变量.
因为3.5-0.2t≥0,解得t≤17.5.所以t的取值范围为0≤t≤17.5.
做一做
1.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.60元/平方米;有汽车的房主再交车库使用费,每月80元.设有车房主的住房面积为x
m2,每月应缴物业管理与车库使用费的总和为y元,则用x表示y的函数表达式为
.
2.向一个已装有10
dm3水的容器中再注水,注水速度为2
dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为
.
3.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,减常数105,所得差是G的值.用h表示G的函数表达式为
.
y=1.6x+80
y=2x+10
G=h-105
3.大家谈谈.
想一想:这些函数表达式的形式有什么共同特点
它们的形式一样,函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.
总结:一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
当b=0时，一次函数会变成什么样的函数
对于一次函数y=kx+b,当b=0时,它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式.
一次函数和正比例函数的联系与区别分别是什么
归纳:一次函数解析式y=kx+b的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.正比例函数是特殊的一次函数.
活动2 巩固新知
在下列函数中,哪些是一次函数 请指出一次函数中的k和b的值.
(1)y=3x+6；
(4)y=-0.4t；
(6)y=2x2+6x-9.
解：(1)(2)(4)(5)是一次函数.(1)k=3,b=6；
(2)k=-
,b=2;(4)k=-0.4,b=0;(5)k=-2,b=
.
(教材第88页例3)如图所示,△ABC是边长为x的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗 如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.
(2)当h=
时,求x的值.
(3)求△ABC的面积S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗
分析:(1)根据等腰三角形三线合一的性质,求得BD=
x,然后再利用勾股定理表示出高,再进行判断;(2)把h=
代入函数关系式中求得x的值.(3)直接利用三角形的面积公式求出S的值,然后加以判断.
解:(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线,所以BD=
在Rt△ABD中,由勾股定理,得:
所以h是x的一次函数,且k=
,b=0.
所以S不是x的一次函数.
检测反馈
1.(2016·武汉中考)下列函数:①y=x;②y=
;③y=
;④y=2x+1.其中一次函数的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①y=x是一次函数,故①符合题意;②y=
是一次函数,故②符合题意;③y=
中自变量次数不为1,故不是一次函数,故③不符合题意;④y=2x+1是一次函数,故④符合题意.综上所述,是一次函数的个数有3个.故选C.
C
2.一次函数y=
x+2中,当x=9时,y值为
( )
A.-4
B.-2
C.6
D.8
解析:把x=9代入y=
x+2,得y=
×9+2=8.故选D.
D
3.下列函数中,既是一次函数,又是正比例函数的是
( )
A.y=-3x2-1
B.y=2x-1
C.y=
D.y=-2x
解析:A.自变量为2次,不是一次函数,故此选项错误;B.符合一次函数定义,是一次函数,但不是正比例函数,故此选项错误;C.自变量在分母中,不是一次函数,故此选项错误;D.符合正比例函数定义,是正比例函数,故此选项正确.故选D.
D
4.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是图中的
( )
解析:根据函数的定义,知一次函数和正比例函数都属于函数的范畴;一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k≠0,自变量次数为1.当b=0时,则成为正比例函数y=kx,所以正比例函数是一次函数的特殊形式.故选A.
A
解析:由y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数,得
解得m=-3(m=3不符合题意,要舍去).故选A.
5.已知
是一次函数,则m的值是
( )
A.-3
B.3
C.±3
D.±2
y=(m-3)x|m|-2+1
A
6.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是
( )
A.S是R的一次函数
B.S是R的正比例函数
C.S与R2成正比例关系
D.以上说法都不正确
解析:由题意得S=πR2,所以S与R2成正比例关系.故选C.
C
7.已知函数y=2x-1中,若x=a时的函数值为1,则a的值是
( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解析:将x=a,y=1代入,得2a-1=1,解得a=1.故选B.
B
8.已知一次函数y=2x-3.
(1)当x=-2时,求y;
(2)当y=1时,求x;(3)当-3解析:(1)直接把x=-2代入y=2x-3可得答案;(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,再解方程即可;(3)由题意可得不等式组-3<2x-3<0,再解不等式组
即可.
解:(1)把x=-2代入y=2x-3中,得y=-4-3=-7.
(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,解得x=2.
(3)∵-3解得0.
9.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数,是否为正比例函数.
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).
解析:(1)根据路程=速度×时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积公式可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高×月数.
解:(1)y=60x,y是x的一次函数,也是正比例函数.
(2)y=πx2,y不是x的一次函数,不是正比例函数.
(3)y=50+2x,y是x的一次函数,不是正比例函数.第二十一章 一次函数
1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表达式.
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式.
3.能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时,图像的变化情况.
4.体会一次函数与二元一次方程的关系.
5.能用一次函数解决简单的实际问题.
6.进一步发展学生的数学抽象能力,强化数学的应用意识.
1.结合具体情境体会和理解一次函数及正比例函数的意义,能根据已知条件运用待定系数法确定一次函数的表达式.
2.逐步学会运用函数的观点观察、分析问题,预测实际问题中的变量的变化规律.
1.通过讨论一次函数与方程(组)的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程(组)及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.
2.通过本章的学习,要让学生感受数学的价值,培养和提高学生的应用意识.
3.注重对学生情感态度的评价,在学生学习活动中,培养学生自信、自强的性格,记录学生在学习过程中的情感表现以及在解决问题的过程中所表现出来的创新精神.
1.本章的内容、地位和作用.
本章的知识内容主要包括:一次函数,一次函数的图像和性质,用待定系数法确定一次函数表达式,一次函数的应用,一次函数与二元一次方程的关系.这些内容彼此关联,依次递进.一次函数是在学习了一般的函数概念之后,进一步研究的第一类特殊函数,它不仅是现实生活中极为广泛的一类数量关系的抽象模型,有着广泛的应用,而且在整个函数知识的学习中,起着承上启下的重要作用,这主要表现为:第一,通过一次函数的学习,使学生对“函数”这一抽象的核心概念的理解更加深入,对“函数模型”的理解逐步走向深入与深刻、丰满与充实,对“函数”这一系统知识的认识与掌握进一步强化和提升;第二,一次函数的学习,不仅从变量关系类型上为二次函数、反比例函数的学习提供了对照与类比,更从研究方法(如“利用函数图像研究函数的性质”“借助待定系数法求函数表达式”等)上,展示了普遍的意义和作用.
2.本章内容的呈现方式及特点.
(1)一次函数的意义同样是比较抽象的,教科书中采用了这样的研究过程:从小学已认识的“成正比例的量”入手,先引入“正比例函数”,再扩展到“一次函数”.这样编排的目的,一是从学生已有的“数学现实”出发,使新知识的引入比较自然;二是采用“由特殊到一般”的归纳方式,符合学生的认知规律,有利于数学活动经验的积累.
(2)对于学生来说,无论是“正比例函数”还是“一次函数”,其概念认识的形成,都必须借助于相当数量的、他们所熟悉的现实情境,通过归纳、抽象才能实现.因此,教科书特别关注情境的设置与“抽象”过程的有效展开,以促使学生产生有价值的数学思考,完成理性认识的飞跃.
(3)对于一次函数性质的研究,教科书中突出了“数形结合”,即由图像特征引发出函数随自变量变化的增、减性质,因此,图像的绘制与观察,便起着铺垫与引导的重要作用.
(4)教科书紧紧抓住“一点在函数的图像上”与“该点的坐标满足函数的表达式”的对应及一致性,导出用待定系数法求一次函数的表达式,意在突出“形与数”的统一与相互转化,并显示“方程”的广泛应用.随后,又专项研究了一次函数与二元一次方程的关系,更为有力地揭示了函数与方程的关联性.
(5)所有内容的呈现,一是尊重学生的数学现实,二是尽可能展开学生的观察、思考、交流与研究的活动过程,以充分提供学生自主发展的空间.
【重点】
1.理解和掌握一次函数的图像和性质,能用待定系数法确定一次函数的表达式.
2.一次函数的应用,一次函数与二元一次方程的关系.
【难点】
1.一次函数的图像和性质.
2.一次函数的应用.
1.本章之前,刚刚学习了第二十章“函数”,学生对于函数的意义和图像已有了初步的认识,对于相应知识的探究过程及方法,也有了初步的经验积累;另一方面,一次函数源于现实中极为广泛存在的“匀速”变化情境里的数量关系,这样的背景早在此前的许多“算术”应用题和“方程”应用题中以多种“特值”形式反复出现过.这些都是开始本章学习的“数学现实”,教学正是应当从这样的现实出发,用好这样的现实,以优化的过程取得优良效果.
2.正比例函数是“成正比例的量”的一般化和发展,一次函数又是正比例函数的一般化和发展,许多数学知识就是沿着这样的途径扩展与增长出来的,教学中就要引导学生遵循这样的线索去探究,去再发现,构筑良好的知识系统,并借此提高学生的学习能力.
3.一次函数的图像是直角坐标系里的一条直线(不与坐标轴平行),这正是函数对于自变量“匀速”变化的直观(形)反映,事实上,在确定的直角坐标系里,这样的直线与一次函数表达式是“一一对应”的.恰是基于这种对应,图像(直线)的倾斜情况就反映了一次函数对于自变量变化的增减情况(以及增减速度),一次函数的性质就是借此被“形象”地看出来的;另一方面,用待定系数法确定一次函数的表达式,也是以上述“一一对应”为根据的.因此,在教学
中,引导学生通过画图像与研讨,感悟一次函数与其图像的关系便是十分重要的了.
4.一次函数的应用的教学,应当特别关注两个方面,一是怎样将实际问题或数学问题转化为一次函数问题;二是通过广泛应用,进一步体会一次函数“匀速”变化的本质特征.
5.从两个方面引导学生感悟一次函数与二元一次方程的联系,一是直接从表达式的相互转换进行引导,二是从它们对应于确定的直角坐标系里的同一条直线进行引导.由此使学生体会函数与方程的又一种沟通方式.
21.1一次函数
2课时
21.2一次函数的图像和性质
2课时
21.3用待定系数法确定一次函数表达式
1课时
21.4一次函数的应用
2课时
21.5一次函数与二元一次方程的关系
1课时
回顾与反思
1课时
21.1 一次函数
1.结合具体情境,了解正比例函数与一次函数的关系和意义.
2.掌握一次函数的一般形式,并能写出实际问题中正比例函数关系与一次函数关系的表达式.
1.通过对具体实例的分析,发现函数的共同点,抽象出一次函数的概念.
2.再一次感悟函数模型,培养学生的抽象能力.
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性.
【重点】
一次函数的概念,会写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的表达式.
【难点】
能正确写出正比例函数和一次函数的表达式.
第课时
1.初步理解正比例函数的概念.
2.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系.
3.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.
1.通过对问题的研究,体会数学模型的思想.
2.在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊到一般的辩证关系.
经历利用正比例函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点逐步认识世界的意识和能力.
【重点】
理解正比例函数的意义及解析式的特点.
【难点】
能列(或求)函数表达式,并正确地加以判断.
【教师准备】 课件1~8.
【学生准备】 复习成正比例的量.
导入一:
【课件1】 一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
1.这只燕鸥大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)
2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系
3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米
我们来共同分析:
一个月按30天计算,这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于:25600÷(30×4+7)≈200(千米).
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200千米,那么它的行程y(千米)就是飞行时间x(天)的函数.函数解析式为y=200x(0≤x≤127).
这只燕鸥飞行1个半月的行程,大约是x=45时函数y=200x的值,即y=200×45=9000(千米).
以上我们用y=200x对燕鸥在4个月零1周的飞行路程问题进行了刻画.尽管这只是近似的,但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型.
类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢 我们这节课就来学习.
[设计意图] 以现实生活中人们对鸟类的研究,抽象出数学问题,从而使学生对本节课的学习内容产生深厚的兴趣.
导入二:
【课件2】 《阿甘正传》是一部励志影片.片中阿甘曾跑步绕美国数圈.假设他从德州到加州行进了21000千米,耗费了他150天的时间.
(1)阿甘大约平均每天要跑步多少千米
(2)阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系
(3)阿甘一个月(按30天计算)的行程大约是多少千米
变式:
(1)如果把150天改成300天,那么阿甘的行程y(千米)与跑步时间x(天)之间有什么关系
(2)如果阿甘再按这个速度跑步两个月(一个月按30天计算),行程大约是多少千米
[设计意图] 通过情境导入,激发学生的学习兴趣,体会变量之间的对应关系,为下文的学习做好铺垫.
活动1 新知探究
[过渡语] 函数可以用来刻画变量之间的关系,我们在小学就认识了成正比例的量,并能从实际问题中判断成正比例的两个量.请看下面的问题.
思路一
1.出示教材“观察与思考”.
【课件3】 小刚骑自行车去上学,行驶时间和路程之间的关系如下表:
时间/min
1
2
3
4
5
…
17.5
路程/km
0.2
0.4
0.6
0.8
1
…
3.5
提出问题:小学我们学过正比例关系,什么是正比例关系 对于刚才的表格中的时间和路程成正比例吗 为什么
教师引导学生得出:通过观察与计算可以发现小刚离开家的路程与时间的比值等于0.2,即这两个量成正比例关系,也就是一个量在增加,另一个量也在增加;一个量在减少,另一个量也相应地减少.
如果用s表示路程,用t表示时间,你能写出它们之间的函数关系式吗
学生思考后得到函数关系式为s=0.2t.
2.出示教材“做一做”.
【课件4】
1.小亮每小时读20页书.若读书时间用字母t(h)表示,读过书的页数用字母m(页)表示,则用t表示m的函数表达式为 .
2.小米去给学校运动会买奖品,每支铅笔0.5元.若购买铅笔的数量用n(支)表示,花钱的总数用w(元)表示,则用n表示w的函数表达式为 .
3.拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05
mL.设t
min后,水龙头滴水V
mL,则用t表示V的函数表达式为 .
教师让学生讨论结果,分别写出它们的函数表达式.
1.m=20t 2.w=0.5n 3.V=5t
想一想:上面的函数表达式有什么共同特点
引导学生总结:上面的式子都能写成y=kx(k为常数,且k≠0)的形式.我们把形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,叫做正比例函数.其中,非0常数k叫做比例系数.
那么怎么判断一个函数是否为正比例函数呢
分析:正比例函数满足的条件是:(1)自变量的指数是1;(2)自变量在一次单项式中.
[设计意图] 从小学已熟悉的“成正比例的量”出发,由“匀速”行驶过程中行驶时间与所行路程的关系,抽象出正比例函数.
思路二
【课件5】 下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示
(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化;
(2)铁的密度为7.8
g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的大小变化而变化;
(3)每个练习本的厚度为0.5
cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;
(4)冷冻一个0
℃物体,使它每分钟下降2
℃,物体的温度T(单位:
℃)随冷冻时间t(单位:分钟)的变化而变化.
认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和自变量的函数.
【课件6】 填写下表:
函数解析式
常数
自变量
自变量的函数
(1)l=2πr
2π
r
l
(2)m=7.8V
7.8
V
m
(3)h=0.5n
0.5
n
h
(4)T=-2t
-2
t
T
观察(1)中l与r的不同取值之间有什么共同之处
(1)中l与r的对应值的比值(l/r)总是一个常数(2π).
因为2π是不变的,圆的周长l与半径r的比值是一定的,我们说l与r成正比例.
学生模仿练习说明(2)(3)(4)中有没有成正比例的.
(2)中m与V的比值是7.8,是一个常量,所以m与V成正比例;
(3)中h与n的比值是0.5,是一个常量,所以h与n成正比例;
(4)中T与t的比值是-2,是一个常量,所以T与t成正比例.
这些函数有什么共同点
发现:它们都是常数与自变量的乘积的形式.
总结正比例函数的定义:
一般地,如果变量x,y有关系y=kx(k是一个不等于0的常数),那么变量x,y成正比例,函数y=kx(k≠0)叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数,自变量x的取值范围是一切实数,比例系数不能为零.
学生模仿练习说出(1)(2)(3)(4)中的比例系数.
[设计意图] 由实际生活入手,列举实际问题,感悟数学与生活的实际联系;另外通过探究函数关系式中的两个变量的正比例关系,让学生体会正比例函数的一般形式.
[知识拓展] 正比例函数的判别:(1)自变量的指数是1次;(2)自变量的系数不为0;(3)不含有常数项.
活动2 例题讲解
[过渡语] 判断一个函数是否为正比例函数时,要注意自变量的指数是1,系数不为0,常数项为0这三个条件.
【课件7】
下列函数中,哪些是正比例函数 请指出其中正比例函数的比例系数.
(1)y=3x;
(2)y=2x+1;
(3)y=-;
(4)y=;
(5)y=πx;
(6)y=-x.
让学生独立完成,并说明理由.
教师注意指导,强调判断的方法.
解:(1),(3),(5),(6)是正比例函数,比例系数分别是3,-,π,-.(2)和(4)不是正比例函数.
练一练:下列函数中哪些是正比例函数 请指出其中正比例函数的比例系数.
(1)y=-2x;
(2)y=;
(3)y=-;
(4)v=;
(5)y=x-1;
(6)y=2πr;
(7)y=2x2.
指名回答,得出(1)(4)(6)是正比例函数,比例系数分别是-2,,2π.
【课件8】
有一块10公顷的成熟麦田,用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.
(1)求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式.
(2)求收割完这块麦田需用的时间.
引导学生思考完成,小组可以互相交流.
解:(1)y=0.5x.
(2)把y=10代入y=0.5x中,得10=0.5x,解得x=20,即收割完这块麦田需要20
h.
想一想:y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系是正比例函数吗 比例系数是多少 这个比例系数代表的意义是什么
强调:这个比例系数是每小时收割的量,收割机每工作1小时,收割麦田0.5公顷.实际问题中的比例系数是单位量中增加或减少的值.
[设计意图] 使学生理解和掌握正比例函数的一般形式,能正确地加以判断,培养学生解决问题的能力,巩固所学的知识.
一般地,如果变量x,y有关系y=kx(k是一个不等于0的常数),那么变量x,y成正比例,函数y=kx(k≠0)叫做正比例函数,其中常数k叫做比例系数,自变量x的取值范围是一切实数,比例系数不能为零.
1.下列问题中,是正比例函数的是
( )
A.矩形面积固定,长和宽的关系
B.正方形面积和边长之间的关系
C.三角形的面积一定,底边和底边上的高之间的关系
D.匀速运动中,速度固定时,路程和时间的关系
解析:A.∵S=ab,∴矩形的长和宽的积是定值,不是正比例函数;B.∵S=a2,∴自变量的次数是2,不是正比例函数;C.∵S=ah,∴三角形的面积一定,底边和底边上的高的积是定值,不是正比例函数;D.∵s=vt,∴速度固定时,路程和时间是正比例关系,故本选项正确.故选D.
2.下列函数中,y是x的正比例函数的是
( )
A.y=2x-1
B.y=x
C.y=2x2
D.y=kx
解析:A.y=2x-1,不是正比例函数,故本选项错误;B.y=x,符合正比例函数定义,故本选项正确;C.y=2x2,自变量次数不为1,故本选项错误;D.y=kx,k有可能为0,故本选项错误.故选B.
3.函数y=(a+1)是正比例函数,则a的值是
( )
A.2
B.-1
C.2或-1
D.-2
解析:∵函数y=(a+1)是正比例函数,∴a-1=1,且a+1≠0,解得a=2.故选A.
4.若函数y=(3-m)是正比例函数,则常数m的值是
( )
A.-
B.±
C.±3
D.-3
解析:由正比例函数的定义,可得m2-8=1,且3-m≠0,解得m=-3.故选D.
5.关于x的一次函数y=x+5m-3,若要使其成为正比例函数,则m= .
解析:根据正比例函数的定义,可得5m-3=0,解得m=.故填.
6.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的正比例函数 如果是正比例函数,指出比例系数.
(1)小红去商店买笔记本,每个笔记本2.5元,小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;
(2)圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.
解析:(1)根据每个笔记本2.5元,可得出小红所付买本款y(元)与买本的个数x(个)之间的关系;(2)根据圆的面积公式即可得出圆的面积y(厘米2)与它的半径x(厘米)之间的关系.
解:(1)由题意得y=2.5x,y是x的正比例函数,比例系数是2.5.
(2)由题意得y=πx2,y不是x的正比例函数.
第1课时
活动1 新知探究
1.关系式:y=kx(k为常数,且k≠0).
2.满足的条件:
(1)自变量的指数是1;
(2)自变量在一次单项式中.
活动2 例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第85页练习第1,2题.
2.教材第86页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第86页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下面函数中,是正比例函数的是
( )
A.y=6x
B.y=
C.y=x2+6x
D.y=3x-1
2.已知y=(m+1),若y是x的正比例函数,则m的值为
( )
A.1
B.-1
C.1,-1
D.0
3.若函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,则k的值为
( )
A.0
B.1
C.±1
D.-1
4.下列说法正确的是
( )
A.三角形的面积一定时,它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系
B.长方形的面积一定时,它的长和宽满足正比例关系
C.正方形的周长与它的边长满足正比例关系
D.圆的面积和它的半径满足正比例关系
【能力提升】
5.函数y=x中自变量x的取值范围是 .
6.若x,y是变量,且函数y=(k+1)x|k|是正比例函数,则k= .
7.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数,则m= ,该函数的解析式为 .
8.已知y是x的正比例函数,当x=3时,y=-2,那么y与x之间的比例系数是 .
【拓展探究】
9.当k为何值时,y=(k2+2k)x是正比例函数
10.已知y是x的正比例函数,且当x=-3时,y=6.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)当x=-6时,求对应的函数值y;
(3)当x取何值时,y=
【答案与解析】
1.A(解析:根据正比例函数y=kx的定义条件:k为常数且k≠0,自变量次数为1,即可得出A中y=6x是正比例函数.)
2.A(解析:由题意得解得m=1.)
3.B(解析:∵函数y=(k+1)x+k2-1是正比例函数,∴解得k=1.)
4.C(解析:分别利用三角形、长方形、圆的面积和正方形的周长公式得出函数关系,进而判断得出即可.)
5.全体实数(解析:自变量在整式中,所以自变量的取值范围为全体实数.)
6.1(解析:根据题意得|k|=1,且k+1≠0,解得k=1.)
7.2 y=2x(解析:由题意得m≠0,2-m=0,∴m=2,该函数的解析式为y=2x.)
8.-(解析:设y与x之间的函数关系式是y=kx,把x=3,y=-2代入,得-2=3k,解得k=-.)
9.解:根据题意得k2-3=1,① k2+2k≠0.② 由①得k=±2.当k=-2时,k2+2k=0,y=0不是正比例函数;当k=2时,k2+2k=8,y=8x是正比例函数.∴当k=2时,函数y=(k2+2k)x是正比例函数.
10.解:(1)设正比例函数解析式为y=kx,把x=-3,y=6代入,得-3k=6,解得k=-2,所以此函数的关系式是y=-2x. (2)把x=-6代入解析式,可得y=12. (3)把y=代入解析式,可得x=-.
本堂课的重点是对正比例函数的概念的理解.难点是能正确判断正比例函数,并确定比例系数.通过教师的引导,启发调动学生的积极性,让学生自主地去分析发现函数的定义及规律.教师的主导作用与学生的主体地位达到了统一,使本课时的重点得到了突出,难点得到了突破;对学生学习中的情况进行了指导,作出了反馈;培养了学生的归纳概括和解决问题的能力.本课时的教学注重由传授单一的知识技能,转为学生“自主探索发现总结规律”,使学生对新的知识与数学思想方法更容易理解和掌握.
(1)在探索正比例函数概念的过程中没有让学生充分地说理.(2)在应用新知这一环节中对学生习题的反馈情况了解得不够全面.(3)课堂内容较简单,教师在教学过程中没有呈现发展学生思维能力的补充例题,以满足不同学生的需要.
(1)要充分相信学生总结规律的能力,在学生总结规律过后给予肯定,不必加以过多的语言进行重复,给学生足够的空间思考回答问题.(2)在学生明确正比例函数的概念后,应用新知反馈练习时,可以采取课堂小测验等方法进行,这样教师可以更准确地掌握学生对新知识的掌握情况.(3)在问题探讨及新课导入的过程中出现的问题串让学生自己读题后解决,教师不必帮助读题,这样可以更加集中学生的注意力,激发学习兴趣.(4)适当增加稍微难一点的例题,帮助学生分析,锻炼学生的思维能力.
练习(教材第85页)
1.解:(1)具有. (2)不具有. (3)不具有. (4)不具有.
2.(1)9 (2)4 (3)-5
习题(教材第86页)
A组
1.解:(1)是正比例函数,比例系数为-4. (2)不是正比例函数. (3)是正比例函数,比例函数为.
(4)不是正比例函数. (5)是正比例函数,比例系数为-0.9. (6)是正比例函数,比例系数是-1.
2.解:(1)y=4x. (2)当x=5时,y=4×5=20. (3)解方程4x=5,得x=.
3.解:(1)V=8S. (2)当S=64时,V=64×8=512.
B组
1.解:∵x和y成正比例,∴设x=my(m为常数,且m≠0).∵y和z成正比例,∴设y=nz(n为常数,且n≠0).∴x=my=mnz.∵m,n为常数,且m≠0,n≠0,∴mn为常数,且mn≠0.∴x是z的正比例函数.
2.解:根据题意得解得m=-3.
一次函数是在对一般“函数”概念有了初步认识之后,继续学习的第一类特殊函数.
本节内容就是深入地认识一次函数,按照“成正比例的量”——“正比例函数”——“一次函数”这一递升次序安排的,这样做的目的主要有两个:一是更好地体现事物“由简单到复杂”“由特殊到一般”的发展规律;二是成正比例的量在小学已较为熟悉,由此抽象出正比例函数,进而由正比例函数扩展到一次函数,可更好地借用学生已有的数学知识,有效地展现知识的“抽象”生成过程,使一次函数概念的形成更自然、更深刻,更好地体现模型思想.希望教师充分注意上述立意.
《义务教育数学课程标准》(2011年版)指出:“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.”一次函数就是最为重要的数学模型之一,这一要求的实现要靠切实有效的教学活动.
1.首先引导学生回忆上一章刚学习过的函数的意义,为本节的学习铺垫好进一步抽象的基础.其次,回忆小学时学习过的成正比例的量.实际上,成正比例的量是函数的最早雏形,也是学生最为熟悉的正比例函数的实例.
2.对于“观察与思考”和“做一做”活动中的问题情境,应努力引导学生通过思考与解答,体会出如下两点:
第一:每一对成正比例的量之间都是一种函数关系,并且都可以表示成函数是自变量某一确定“倍数”的形式——这正是正比例函数形式定义的基础.
第二:每一对成正比例的量构成的函数,函数对于自变量的变化都是“匀速”的.这正是正比例函数及一次函数的本质特征.
3.对于正比例函数的定义,应强调k既可以是正数也可以是负数,因此,正比例函数是成正比例的量的拓展与再抽象.
第课时
1.理解一次函数的概念,以及一次函数与正比例函数之间的关系.
2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题.
在探索过程中,发展抽象思维及概括能力,体验特殊和一般的辩证关系.
经历利用一次函数、正比例函数解决实际问题的过程,逐步形成利用函数观点增强认识现实世界的意识和能力.
【重点】
1.一次函数的概念.
2.根据已知信息写出一次函数表达式.
【难点】
理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.
【教师准备】 课件1~9.
【学生准备】 复习正比例函数的定义.
导入一:
【课件1】 问题:某登山队大本营所在地的气温为15
℃,海拔每升高1
km气温下降6
℃.登山队员由大本营向上登高x
km时,他们所处位置的气温是y
℃.试用解析式表示y与x的关系.
分析:从大本营向上,当海拔每升高1
km时,气温从15
℃就减少6
℃,那么海拔增加x
km时,气温从15
℃减少6x
℃.因此y与x的函数关系式为y=15-6x(x≥0).
当然,这个函数也可表示为y=-6x+15(x≥0).
当登山队员由大本营向上登高0.5
km时,他们所在位置的气温就是x=0.5时函数y=-6x+15的值,即y=-6×0.5+15=12(℃).
这个函数与我们上课时所学的正比例函数有何不同 它又是什么函数呢 我们这节课将学习这些问题.
[设计意图] 为完善认识与深刻理解一次函数做准备,促使学生对一次函数的特征进行思考.
导入二:
1.知识回顾.
(1)什么是正比例函数
(2)函数有哪些表示方法
(3)你能举出几个正比例函数的例子吗
2.思考.
【课件2】 列出下列函数关系式.
(1)已知等腰三角形的周长为30,底边长为y,腰长为x,试写出y与x之间的函数关系式;
(2)小红的爸爸把10000元存入银行,如果年利率是1.98%,x年后取出的本息和为y(元)(不计利息税),试写出y与x之间的函数关系式;
(3)一根蜡烛长20厘米,点燃后匀速燃烧,每分钟燃烧0.2厘米,燃烧x分钟后剩下的蜡烛长为y(厘米),求y与x之间的函数关系式;
(4)某种商品每件的进价是100元,售出每件获利20%,售出x(件)的总利润为y(元),试写出y与x之间的函数关系式.
前面我们学习了函数的基本概念,以及函数的表示和正比例函数,本课时我们将学习一种最基本的函数——一次函数.
[设计意图] 通过复习,让学生进一步巩固上课时所学的内容;利用函数表达式,培养学生列函数表达式的能力,同时也为引出下面的内容奠定基础.
活动1 新知探究
[过渡语] 函数可以用来刻画数量之间的关系,一次函数是一种重要的函数,现在我们就来探究一次函数.
思路一
1.一起探究.
【课件3】 在本节“小刚骑自行车去上学”的问题中,小刚家到学校的路程为3.5
km,小刚骑车的速度为0.2
km/min.设小刚距学校的路程为s
km,离开家的时间为t
min.
一起探究:
(1)写出s与t之间的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
(2)写出t的取值范围.
(3)对比正比例函数,它们的表达式在结构上有什么相同点与不同点
分清已知量与未知量之间的相互关系,再用变量(字母)表示未知量是探究函数关系的关键.
引导学生利用图示法进行分析,合理确定自变量的取值范围.
一般地,解决行程类的问题时,常常借助如下图示来分析.
分析上图,容易得出s与t的函数关系式为s=3.5-0.2t.其中3.5,0.2是常量,s与t是变量.
因为3.5-0.2t≥0,解得t≤17.5.所以t的取值范围为0≤t≤17.5.
2.做一做.
【课件4】
1.某新建住宅小区的物业管理费按住房面积收缴,每月1.60元/平方米;有汽车的房主再交车库使用费,每月80元.设有车房主的住房面积为x
m2,每月应缴物业管理与车库使用费的总和为y元,则用x表示y的函数表达式为 .
2.向一个已装有10
dm3水的容器中再注水,注水速度为2
dm3/min.容器内的水量y(dm3)与注水时间x(min)的函数关系式为 .
3.一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,减常数105,所得差是G的值.用h表示G的函数表达式为 .
提出问题:上面情境中,可以用怎样的关系式表示 请与你的同桌交流.
引导学生分析得出:
1.y=1.6x+80 2.y=2x+10 3.G=h-105
说明:教学中应引导学生注意,在这三个问题里,函数表达式都是由一个正比例函数与一个常数通过加或减而成的.
3.大家谈谈.
想一想:这些函数表达式的形式有什么共同特点 与同学交流你的看法.
引导学生从关系式的形式上找共同点.
师生共同归纳得其特点:它们的形式一样,函数的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.
总结:一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
提问:当b=0时,一次函数会变成什么样的函数
对于一次函数y=kx+b,当b=0时,它就化为y=kx.所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式.
思考:一次函数和正比例函数的联系与区别分别是什么
归纳:一次函数解析式y=kx+b的结构特征:k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.正比例函数是特殊的一次函数.
[设计意图] 通过问题的探究,使学生理解一次函数的形式以及它与正比例函数的关系,进一步理解“从特殊到一般”解决问题的方法.
[知识拓展] (1)一次函数中,自变量的次数是1.
(2)形如x=a或y=b(a,b是常数)的函数称为常数函数,如x=1,y=2等.
(3)正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b=0,因此正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
思路二
【课件5】 弹簧下端悬挂重物,弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数,已知一根弹簧在不挂重物时长6厘米.在一定的弹性限度内,每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米,求这个函数关系式.
学生独立尝试后,和同桌交流.
明确:这里涉及物重和弹簧长度两个变量,变量与变量之间的关系为:弹簧总长度=弹簧伸长长度+弹簧原长.
当挂x千克重物时,弹簧长度y=0.3x+6.
师:观察下面6个函数:①y=30-2x;②y=10000+10000×1.98%×x=10000+198x;③y=20-0.2x;④y=100×20%x=20x;⑤s=570-95t;⑥y=0.3x+6.它们具有怎样的共同特征 你能用一个表达式表示这个共同特征吗
学生交流讨论,逐个举手回答.
明确:师生共同归纳可得上述函数的关系式都是关于自变量的一次整式,这样的关系式为一次函数,可统一表示为y=kx+b的形式,其中k,b为常数,且k≠0.
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
教师利用多媒体演示幻灯片.
【课件6】 判断正误.
(1)一次函数是正比例函数;( )
(2)正比例函数是一次函数;( )
(3)x+2y=5是一次函数;( )
(4)2y-x=0是正比例函数.( )
学生独立尝试后,和同桌交流结果,逐个举手回答.
教师利用多媒体点击答案,验证学生解答的正确性.
明确:根据一次函数和正比例函数的概念可知正比例函数是一次函数的特例,因此正比例函数一定是一次函数,当一次函数关系式中的常数项为0时,一次函数才是正比例函数;一个函数关系式能够转化成y=kx+b(k≠0)的形式,它就是一次函数;一个函数关系式能够转化成y=kx(k≠0)的形式,它就是正比例函数.
【课件7】 已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时,y是x的一次函数 当m取什么值时,y是x的正比例函数
学生独立尝试后,推选代表上黑板板演,然后再全班互评.
明确:师生共同归纳学生板演的结果,并总结.
解:要使此函数是一次函数,必须满足m+1≠0,即m≠-1;
要使此函数是正比例函数,必须满足解得m=1.
[设计意图] 通过情境的设置,让学生能列出实际问题中的函数关系式,并通过观察函数的特点,总结出一次函数的特点,而且在教学过程中边讲边练,加深学生对新知识的理解和掌握.
活动2 巩固新知
[过渡语] 根据一次函数的特点,我们可以判断一个函数是否为一次函数.
1.做一做.
【课件8】 在下列函数中,哪些是一次函数 请指出一次函数中的k和b的值.
(1)y=3x+6; (2)y=-x+2;
(3)y=;
(4)y=-0.4t;
(5)w=-2z;
(6)y=2x2+6x-9.
引导学生根据一次函数的定义进行判断,并确定k和b的值.
指名回答.
得出:(1)(2)(4)(5)是一次函数.(1)k=3,b=6;(2)k=-,b=2;(4)k=-0.4,b=0;(5)k=-2,b=.
2.例题讲解.
【课件9】
(教材第88页例3)如图所示,△ABC是边长为x的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗 如果是一次函数,请指出相应的k与b的值.
(2)当h=时,求x的值.
(3)求△ABC的面积S与x之间的函数关系式.S是x的一次函数吗
分析:(1)根据等腰三角形三线合一的性质,求得BD=x,然后再利用勾股定理表示出高,再进行判断;(2)把h=代入函数关系式中求得x的值.(3)直接利用三角形的面积公式求出S的值,然后加以判断.
引导学生分析之后,学生自主完成.
解:(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线,所以BD=x.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得:
h=AD==
=x,
即h=x.
所以h是x的一次函数,且k=,b=0.
(2)当h=时,有=x.
解得x=2.
(3)因为S=AD·BC=×x·x=x2,即S=x2,所以S不是x的一次函数.
[设计意图] 通过“做一做”进一步巩固一次函数的有关知识,培养学生的判断能力;通过例题的讲解,使学生能够利用所学知识解决实际问题.
1.一次函数的定义:
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
2.学习一次函数要注意的问题:
(1)函数为一次函数 其关系式为y=kx+b(k,b是常数,且k≠0)的形式;
(2)一次函数关系式的结构特征:
①k≠0;
②自变量的次数是1;
③常数项b为任意实数.
(3)一般情况下自变量的取值范围是任意实数.
1.(2016·武汉中考)下列函数:①y=x;②y=;③y=;④y=2x+1.其中一次函数的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①y=x是一次函数,故①符合题意;②y=是一次函数,故②符合题意;③y=中自变量次数不为1,故不是一次函数,故③不符合题意;④y=2x+1是一次函数,故④符合题意.综上所述,是一次函数的个数有3个.故选C.
2.一次函数y=x+2中,当x=9时,y值为
( )
A.-4
B.-2
C.6
D.8
解析:把x=9代入y=x+2,得y=×9+2=8.故选D.
3.下列函数中,既是一次函数,又是正比例函数的是
( )
A.y=-3x2-1
B.y=2x-1
C.y=
D.y=-2x
解析:A.自变量为2次,不是一次函数,故此选项错误;B.符合一次函数定义,是一次函数,但不是正比例函数,故此选项错误;C.自变量在分母中,不是一次函数,故此选项错误;D.符合正比例函数定义,是正比例函数,故此选项正确.故选D.
4.函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是图中的
( )
A B
C
D
解析:根据函数的定义,知一次函数和正比例函数都属于函数的范畴;一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k≠0,自变量次数为1.当b=0时,则成为正比例函数y=kx,所以正比例函数是一次函数的特殊形式.故选A.
5.已知y=(m-3)+1是一次函数,则m的值是
( )
A.-3
B.3
C.±3
D.±2
解析:由y=(m-3)x|m|-2+1是一次函数,得解得m=-3(m=3不符合题意,要舍去).故选A.
6.设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是
( )
A.S是R的一次函数
B.S是R的正比例函数
C.S与R2成正比例关系
D.以上说法都不正确
解析:由题意得S=πR2,所以S与R2成正比例关系.故选C.
7.已知函数y=2x-1中,若x=a时的函数值为1,则a的值是
( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
解析:将x=a,y=1代入,得2a-1=1,解得a=1.故选B.
8.已知一次函数y=2x-3.
(1)当x=-2时,求y;
(2)当y=1时,求x;
(3)当-3解析:(1)直接把x=-2代入y=2x-3可得答案;(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,再解方程即可;(3)由题意可得不等式组-3<2x-3<0,再解不等式组即可.
解:(1)把x=-2代入y=2x-3中,得y=-4-3=-7.
(2)把y=1代入y=2x-3中,得1=2x-3,解得x=2.
(3)∵-39.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数,是否为正比例函数.
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系;
(2)圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系;
(3)一棵树现在高50厘米,每个月长高2厘米,x月后这棵树的高度为y(厘米).
解析:(1)根据路程=速度×时间可得相关函数关系式;(2)根据圆的面积公式可得相关函数关系式;(3)x月后这棵树的高度=现在高+每个月长的高×月数.
解:(1)y=60x,y是x的一次函数,也是正比例函数.
(2)y=πx2,y不是x的一次函数,不是正比例函数.
(3)y=50+2x,y是x的一次函数,不是正比例函数.
第2课时
活动1 新知探究
1.一起探究
2.做一做
3.大家谈谈
一般地,我们把形如y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的函数,叫做一次函数.
活动2 巩固新知
1.做一做
2.例题讲解
一、教材作业
【必做题】
1.教材第88页练习第1,2题.
2.教材第89页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第89页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列问题中,变量y与x成一次函数关系的是
( )
A.路程一定时,时间y和速度x的关系
B.长10米的铁丝折成长为y,宽为x的长方形
C.正方形的面积y与它的边长x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
2.如果y是x的正比例函数,x是z的一次函数,那么y是z的
( )
A.正比例函数
B.一次函数
C.正比例函数或一次函数
D.不构成函数关系
3.已知函数y=3x+1,当自变量增加3时,相应的函数值增加
( )
A.10
B.9
C.3
D.8
4.若一次函数y=kx-5,当x=-2时,y=7,则k的值是
( )
A.6
B.-1
C.-6
D.1
5.y=kx+b是一次函数,则k为
( )
A.一切实数
B.正实数
C.负实数
D.非零实数
【能力提升】
6.将一次函数y=3(x-2)+1写成y=kx+b的形式,则
( )
A.k=3,b=1
B.k=-2,b=1
C.k=3,b=-5
D.k=3,b=-2
7.若y=(m-3)x|m|-2+m+n是一次函数,则m= ;若它为正比例函数,则m= ,n= .
8.我们知道,海拔高度每上升1
km,温度下降6
℃.某时刻测量我市地面温度为20
℃.设高出地面x
km处的温度为y
℃,则y与x的函数关系式为 ,y x的一次函数(填“是”或“不是”).
9.函数:①y=-x;②y=x-1;③y=;④y=x2+3x-1;⑤y=x+4;⑥y=3.6x.其中一次函数有 ;正比例函数有 .(填序号)
10.写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)某种大米的单价是2.2元/kg,当购买x
kg的大米时,花费为y元;
(2)一个在斜坡上由静止开始向下滚动的小球,其速度每秒增加3
m,小球的速度y(m/s)与时间t(s)之间的关系;
(3)周长为10
cm的长方形的一边长为x
cm,其面积y(cm2)与x(cm)之间的关系.
【拓展探究】
11.已知y=(k-1)x|k|+(k2-4)是一次函数.
(1)求k的值;
(2)求x=3时,y的值;
(3)求y=0时,x的值.
12.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数
【答案与解析】
1.B(解析:A.设路程是s,则根据题意知s=xy,时间y和速度x不是一次函数关系,故本选项错误;B.根据题意,知10=2(x+y),即y=-x+5,符合一次函数的定义,故本选项正确;C.根据题意,知y=x2,自变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误;D.根据题意,知x2+y2=25,变量的次数是2,不是一次函数,故本选项错误.)
2.C(解析:由题意得y=kx,x=k1z+b,则y=kk1z+kb.①当b≠0时,y是z的一次函数.②当b=0时,y是z的正比例函数.综上所述,y是z的一次函数或正比例函数.)
3.B(解析:因为y=3x+1,所以当自变量增加3时,y1=3(x+3)+1=3x+1+9,相应的函数值增加9.)
4.C(解析:依题意,得-2k-5=7,解得k=-6.)
5.D(解析:根据一次函数的定义,可知若y=kx+b是一次函数,则k≠0.)
6.C(解析:y=3(x-2)+1=3x-6+1=3x-5,所以k=3,b=-5.)
7.-3 -3 3(解析:∵y=(m-3)+m+n是一次函数,∴|m|-2=1,m-3≠0,∴m=-3,若为正比例函数,则m+n=0,得-3+n=0,即n=3.)
8.y=-6x+20 是(解析:高出地面x
km处的温度为y
℃,则y与x的函数关系式为y=-6x+20,y是x的一次函数.)
9.①②⑤⑥ ①⑥(解析:根据一次函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的函数是一次函数,可知①y=-x,②y=x-1,⑤y=x+4,⑥y=3.6x是一次函数,根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数,知①y=-x,⑥y=3.6x是正比例函数.)
10.解:(1)由题意,得y=2.2x,y是x的一次函数,且是正比例函数. (2)由题意,得y=3x,y是x的一次函数,且是正比例函数. (3)由题意,得y=x(5-x),y不是x的一次函数,也不是正比例函数.
11.解:(1)由题意可得|k|=1,k-1≠0,解得k=-1. (2)当x=3时,y=-2x-3=-9. (3)当y=0时,0=-2x-3,解得x=-.
12.解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=±1.又∵m+1≠0即m≠-1,∴当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函数. (2)根据正比例函数的定义,得2-|m|=1,n+4=0,解得m=±1,n=-4,又∵m+1≠0即m≠-1,∴当m=1,n=-4时,这个函数是正比例函数.
本课时是在学习了正比例函数的概念之后进行一次函数的概念学习,学生还是比较有信心学好的.根据教材的安排,通过设计经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;通过思考题来不断细化教材,达到层层铺垫、分层递进的目的.1.理解一次函数和正比例函数的概念.通过类比的方法学习一次函数,体会数学研究方法的多样性.2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步.3.本课时重点讲授了运用函数的关系式来表达实际问题,通过引导分析,感觉学生收获比较大.教学中让学生积极主动参与知识的形成过程,体验到新知识往往建立在旧知识的基础上,并且与一些旧知识还存在着紧密的联系,放手让学生运用转化的思想方法进行操作,使学生有效地理解和掌握一次函数的概念和应用,同时让他们获得了数学思想方法,并培养了学生探索问题的能力,不断提高完善.
1.本课时放得还不够开,可能是由于课堂容量较大,担心任务是否能按时完成,因而部分题没有留出充分思考、交流的空间,显得处理问题有些着急.
2.小组的合作学习尚且还处于形式化倾向,学生小组间的对学、群学体现不明显.
1.尽可能放手,留给学生充分的思考、交流的空间,使学生能在知识的生成上获得发展.
2.加强小组间的实质性合作,尽可能做到对学、群学相结合,实现兵教兵、兵练兵,使学生真正成为课堂的主人、知识的主人.
3.小组展示中尽可能让学生小组成员都积极参与,培养他们的团体意识.
练习(教材第88页)
1.解:(1)是一次函数,k=-1,b=2. (2)不是一次函数. (3)是一次函数,k=0.03,b=8. (4)是一次函数,k=,b=0. (5)是一次函数,k=,b=-3. (6)不是一次函数.
2.解:S=x,S是x的一次函数.
习题(教材第89页)
A组
1.解:(1)是一次函数,k=-1,b=. (2)是一次函数,k=2π,b=0. (3)不是一次函数. (4)是一次函数,k=0.5,b=.
2.解:(1)解方程-2x+3=0,得x=,即当x=时,y=0. (2)当x=0时,y=-2×0+3=3,即当y=3时,x=0.
3.解:(1)y=3x+2. (2)当x=7.8时,y=3×7.8+2=25.4.
B组
解:(1)y1=31×0.7x=21.7x. (2)y2=20x·1+11×60×1=20x+660. (3)y3=11×0.2(x-60)=2.2x-132. (4)y=20x(1-0.7)+11×60×(1-0.7)-11×(x-60)×(0.7-0.2)=0.5x+528.
一次函数的表达式都是自变量的一次整式,它成立的条件是自变量的系数不为0.对于一次函数来说:
(1)反映的是两个变量之间的关系,都是由一个正比例函数与一个常数进行加或减而成的.
(2)因为加减的常数不影响函数对于自变量的变化速度,所以其中的每一个一次函数都与和它对应的正比例函数有着同样的变化速度(当然,对同一个自变量有不同的函数值).
(3)正比例函数是特殊形式的一次函数,即表达式中常数项为0,一次函数包括了正比例函数.
已知函数y=(5m-3)+(m+n).
(1)当m,n为何值时,此函数是一次函数
(2)当m,n为何值时,此函数是正比例函数
〔解析〕 (1)根据一次函数的定义知2-n=1,且5m-3≠0,据此可以求得m,n的值;(2)根据正比例函数的定义知2-n=1,5m-3≠0,且m+n=0,据此可以求得m,n的值.
解:(1)当函数y=(5m-3)+(m+n)是一次函数时,2-n=1,且5m-3≠0,解得n=1,m≠.
(2)当函数y=(5m-3)+(m+n)是正比例函数时,解得n=1,m=-1.
21.2 一次函数的图像和性质
1.理解直线与直线之间的位置关系.
2.会选择两个合适的点画出一次函数的图像.
3.掌握一次函数的性质.
1.通过对应描点来研究一次函数的图像,经历知识的归纳、探究过程.
2.通过一次函数的图像归纳函数的性质,体验数形结合的应用.
3.从特殊到一般的数学思想.
1.通过画函数的图像,并借助图像研究函数的性质,体验数与形内在的联系,感受函数图像的简洁美.
2.在探究函数的图像和性质的活动中,通过一系列的富有探究性的问题,渗透与人交流合作的意识和探究精神.
【重点】
一次函数的图像和性质.
【难点】
由一次函数的图像归纳得出一次函数的性质及对性质的理解.
第课时
1.理解一次函数和正比例函数的图像是一条直线.
2.能熟练地作出一次函数和正比例函数的图像.
3.会求一次函数与坐标轴的交点坐标.
4.会作出实际问题中的一次函数的图像.
1.经历一次函数的作图过程,探究某些一次函数图像的异同点.
2.体会用类比的思想研究一次函数,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.
1.通过画一次函数图像和实际问题中的一次函数图像,感受数学来源于生活又应用于生活.
2.体会用数形结合思想解决数学问题.
【重点】
画一次函数与正比例函数的图像,并能利用一次函数的图像解决实际问题.
【难点】
利用一次函数的图像解决实际问题.
【教师准备】 课件1~6.
【学生准备】 复习函数图像的画法.
导入一:
提出问题:
(1)什么叫正比例函数、一次函数 它们之间有什么联系
(2)画函数图像有哪些步骤
(列表、描点、连线.)
教师提出问题,学生口答,师生共评,纠正错误.
教师应重点注意学生参与活动的意识和勇气.
[设计意图] 复习正比例函数、一次函数的定义,以及函数图像的画法,为探究一次函数的图像做好铺垫.
导入二:
1.什么叫正比例函数 什么叫一次函数 二者有何区别和联系
2.某地1千瓦时电费为0.8元,用公式法表示电费y(元)与所用的电量x(千瓦时)之间的函数关系式是y=0.8x,你能画出这个函数的图像吗
[设计意图] 复旧导新,通过实际问题,让学生思考函数图像的画法,为本课时研究一次函数的图像埋下伏笔.
导入三:
【课件1】 已知A,B两人在一次百米赛跑中,路程s(米)与赛跑的时间t(秒)的关系如图所示,你知道A,B两人所跑的路程s(米)与时间t(秒)之间属于哪种函数关系吗
回顾:在未知函数图像的具体形状的情况下,怎样画出一个给定的函数的图像 一般可以分为哪几个步骤
(用“描点法”画函数图像,可以分成“列表、描点、连线”三个步骤.)
[设计意图] 让学生从情境中得到该图像是正比例函数,从而引发思考,激发学生的学习热情,为进一步研究一次函数的图像做好铺垫.
活动1 一次函数图像的画法
[过渡语] 我们已经知道,对于由表达式给出的函数,可以由表达式确定出两个变量的一系列对应的数值.在直角坐标系中,以这些对应值为坐标描出相应的点,再用平滑的线连接这些点,就可以得到这个函数的图像.
思路一
想一想:已知一次函数y=2x-1,怎样画出它的图像
(1)自变量x可以取哪些值
(全体实数.)
(2)怎样取点比较方便
(对称地取点,并且取整数点比较方便.)
【课件2】 填写下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=2x-1
…
…
(3)以(2)中得到的每对对应值分别为横坐标和纵坐标,在如图所示的直角坐标系中描出相应的点.(学生在教材的坐标系中完成)
指导学生把由(3)得到的点依次连接起来,就得到y=2x-1的图像.
课件演示画图的过程.
思路二
(针对导入二)
怎样画出y=0.8x的图像呢
1.确定自变量的取值范围.
题中y=0.8x,这是个实际问题,自变量的取值要使实际问题有意义,所以x≥0.
2.列表.
取自变量x的一些值,算出相应的函数值,列成表格如下:
x
0
1
2
3
4
5
…
y
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
…
3.描点.
建立平面直角坐标系,以x取的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出点O,A,B,C,D,E,…,如图所示.
【课件3】
4.连线.
观察描出的这几个点,它们的位置关系会是怎样的 学生观察、猜测.
学生观察这些点会想到这些点在一条直线上,由于自变量的取值范围是x≥0,因此我们猜想这个函数的图像是以原点为端点的一条射线,数学上已经证明这个猜想是对的,于是这个函数的图像如图所示.
【课件4】
类似地,数学上已经证明:正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图像是一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数的图像,只要描出图像上的两个点,然后过这两点作一条直线就行了,我们常常把这条直线叫做“直线y=kx”.
应注意:(1)提醒学生从函数表达式入手,当x=0或x=1时,函数y的值分别是多少 (2)正比例函数的图像为什么一定过(0,0)和(1,k)两点 (3)因为两点可以确定一条直线,因此,画正比例函数的图像时只需过原点(0,0)和点(1,k)画一条直线即可.
请你在直角坐标系中画出一次函数y=2x-1的图像.
活动2 一次函数的图像与点的坐标之间的关系
[过渡语] 刚才我们通过列表、描点、连线画出了一次函数y=2x-1的图像,请同学们思考下面几个问题.
【课件5】 一起探究
1.一次函数y=2x-1的图像的形状是怎样的 你和其他同学得到的结果一样吗
2.凡是满足关系式y=2x-1的x,y的值所对应的点,如,,(4,7)等,都在一次函数y=2x-1的图像上吗 与同学交流你的看法.
3.请你从一次函数y=2x-1的图像上任意取一点,检验该点的横坐标x和纵坐标y是否满足关系式y=2x-1.
引导学生讨论、交流,达成共识.
1.图像为一条直线.
2.由画图过程,知一次函数y=2x-1的图像是由所有满足关系式y=2x-1的点(x,y)连线而得到的.因此,凡满足关系式y=2x-1的x,y的值所对应的点都在一次函数y=2x-1的图像上.
3.学生举例.
我们看到,一次函数y=kx+b的图像是一条直线.这样,在画一次函数的图像时,只要确定出两个点,再过这两点画直线就可以了.正是因为一次函数的图像是一条直线,所以也把一次函数y=kx+b的图像称为直线y=kx+b.
[知识拓展] 因为“两点确定一条直线”,而一次函数的图像是一条直线,所以在画函数图像时只需要确定两个点即可.一般情况下,对于直线y=kx+b,取与两坐标轴的交点,(0,b);而正比例函数取(0,0),(1,k)两点.
活动3 例题讲解
[过渡语] 画一次函数图像只需要两个点,在取点时,坐标的数值越简单,描点越方便.
【课件6】
(教材第91页例1)画一次函数y=-x+1的图像.
分析:取函数图像与两坐标轴的交点,画出图像比较方便.
解:当x=0时,y=1.
当y=0时,0=-x+1,解得x=2.
在直角坐标系中,过点(0,1)和(2,0)画直线,即得一次函数y=-x+1的图像,如图所示.
拓展延伸:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图像.
(1)y=x;
(2)y=x+2;
(3)y=3x;
(4)y=3x+2.
认真观察上题画出的四个函数图像的特点,比较下列各对函数图像的相同点和不同点.
(1)y=3x与y=3x+2;
(2)y=x与y=x+2;
(3)y=3x+2与y=x+2.
由此你能发现什么规律
学生在小组之间展开交流与讨论,各组推选代表发言.
教师利用多媒体演示“一次函数图像的平移”课件,验证同学们的猜想.
明确:在第(1)组和第(2)组中的两个函数图像平行,但位置不同,可以通过相互平移得到;在第(3)组中的两个函数图像相交,且交点在y轴上.
概括归纳,可知对于一次函数y=kx+b和y=k1x+b1:
(1)当k=k1,b≠b1时,两条直线平行,可以通过平移其中一条直线得到另一条直线;
(2)当k≠k1,b=b1时,两条直线相交,且交点在y轴上,是点(0,b).
教师利用多媒体演示幻灯片.
(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过向下平移3个单位长度而得到;直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过向上平移2个单位长度而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过向上平移5个单位长度而得到.
(2)直线y=2x+5与直线y=x+5都经过y轴上的同一点(0,5).
(3)将直线y=-2x-1向上平移3个单位长度,得到的直线是y=-2x+2.
学生动手尝试,在4人小组中交流结果,然后举手回答解题思路和结果.
明确:教师利用多媒体逐个点击答案,验证同学们操作结果的正确性.
由于一次函数的图像是直线,因此在画其图像时,只要在图像上找到两点,便可以画出它的图像,通常所取的两点是图像与坐标轴的两个交点;特别地,由于正比例函数的图像是经过原点的一条直线,因此画其图像时,只要找到异于原点(0,0)的一点的坐标即可,通常所取的是点(1,k).
1.正比例函数y=x的大致图像是图中的
( )
A
B
C
D
解析:因为正比例函数y=x的图像是一条经过原点的直线,它还经过点(1,1),画出图像可知是C.故选C.
2.(2016·河北中考)若k≠0,b<0,则y=kx+b的图像可能是图中的
( )
A B
C D
解析:因为b<0时,直线与y轴交于负半轴,而k≠0,排除D,所以只有B符合题意.故选B.
3.如图所示的计算程序中,y与x之间的函数关系所对应的图像是下图中的
( )
A BCD
解析:根据程序框图可得y=(-x)×3+2=-3x+2,y=-3x+2的图像与y轴的交点为(0,2),与x轴的交点为.故选C.
4.函数y=的图像经过点(1,-1),则函数y=kx-2的图像是图中的
( )
A
B
C
D
解析:∵y=的图像经过点(1,-1),∴k=xy=-1,∴函数解析式为y=-x-2,所以函数图像经过(-2,0)和(0,-2).故选A.
5.如图所示,当y<0时,自变量x的取值范围是
( )
A.x<-2
B.x>-2
C.x<2
D.x>2
解析:由图像可得一次函数的图像与x轴的交点为(-2,0),当y<0时,x<-2.故选A.
(第5题图)
(第6题图)
6.连降6天大雨,某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升.若该水库的蓄水量v(万米3)与降雨的时间t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是
( )
A.降雨后,蓄水量每天减少5万米3
B.降雨后,蓄水量每天增加5万米3
C.降雨开始时,蓄水量为20万米3
D.降雨第6天,蓄水量共增加40万米3
解析:A.根据图像知水库的蓄水量随着降雨的时间的增加而增多,故本选项错误;B.因为图像为直线,所以每天降雨量是相等的,所以蓄水库每天增加的水量是(40-10)÷6=5(万米3),故本选项正确;C.根据图示知降雨开始时,蓄水量为10万米3,故本选项错误;D.根据图示知降雨第6天,蓄水量共增加了40-10=30(万米3),故本选项错误.故选B.
7.若一次函数y=kx+4的图像经过点(1,2).
(1)求k的值;
(2)在所给直角坐标系中画出此函数的图像;
(3)根据图像回答:当x 时,y>0.
解析:(1)把点(1,2)代入函数解析式,利用方程来求得k的值;(2)由两点确定一条直线进行作图;(3)根据图像解答即可.
解:(1)依题意,得2=k+4,解得k=-2,即k的值是-2.
(2)由(1)得到该直线方程为y=-2x+4.
则当x=0时,y=4;当y=0时,x=2.
即该直线经过点(0,4),(2,0),
其图像如图所示.
(3)根据图像可得当x<2时,y>0.故填<2.
8.某商场新进了10台彩电,每台售价3000元,试求出售出台数x(台)与新进彩电销售总额y(元)之间的函数关系,分别用列表法、图像法、解析法表示出来.
解析:直接利用列表法得出所有数据,再利用图像法画出,结合题意列出解析式即可.
解:列表法:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
图像法:
解析法:
y=3000x(1≤x≤10,且x为整数).
9.已知一次函数y=-2x-2.
(1)画出函数的图像;
(2)求图像与x轴,y轴的交点A,B的坐标;
(3)求A,B两点间的距离;
(4)求△AOB的面积;
(5)利用图像求当x为何值时,y≥0.
解析:(1)画一次函数的图像,找出两个点,由两点确定一条直线就可以画出函数的图像.(2)根据函数解析式求坐标.(3)根据(2)中A,B的坐标求AB的长度.(4)知道OA和OB的长能求出△AOB的面积.(5)由函数的图像可知y≥0时x的取值范围.
解:(1)如图所示的是一次函数y=-2x-2的图像.
(2)当y=0时,x=-1,所以一次函数图像与x轴的交点坐标是A(-1,0);当x=0时,y=-2,所以一次函数图像与y轴的交点坐标是B(0,-2).
(3)用勾股定理可求AB的长,即AB==.
(4)=OA·OB=×1×2=1.
(5)由图像可知当x≤-1时,y≥0.
第1课时
活动1 一次函数图像的画法
活动2 一次函数的图像与点的坐标之间的关系
(1)y=kx+b的图像是经过,(0,b)两点的一条直线;
(2)y=kx的图像是经过(0,0),(1,k)两点的一条直线.
活动3 例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第91页练习第1,2题.
2.教材第91页习题A组第1,2题.
【选做题】
教材第91页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.函数y=x-1的图像是
( )
A
B
C
D
2.执行如图所示的程序框图,y与x之间函数关系所对应的图像为下图中的
( )
A B
C D
3.一次函数y=-x的图像平分
( )
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
4.已知一次函数y=x+2.
(1)在给定坐标系中画出这个函数的图像(列表,描点,连线);
(2)求该图像与y轴的交点坐标.
5.画出函数y=x-4的图像,求出该图像与坐标轴交点的坐标;并写出其向上平移3个单位长度后的图像对应的解析式.
6.在同一坐标系中画出下列函数的图像.
(1)y=-x;
(2)y=3x;
(3)y=x.
7.若△ABC中∠A=80°,∠B的度数为x°,∠C的度数为y°,试写出y与x之间的函数关系式,并画出图像.
【能力提升】
8.已知一次函数y=-2x+2.
(1)求图像与x轴、y轴的交点A,B的坐标;
(2)建立适当的坐标系,并画出它的图像;
(3)求△AOB的面积;
(4)求原点到该直线的距离.
9.作出函数y=2x+6的图像并回答:①x取何值时,y=0 ②x取何值时,y>0 ③x取何值时,y<0
【拓展探究】
10.请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法解决下列问题:
(1)在平面直角坐标系中,画出函数y=|x|的图像:
①列表填空:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
…
②描点、连线,画出y=|x|的图像.
(2)写出函数y=|x|与y=|x+2|图像的平移关系.
【答案与解析】
1.D(解析:∵一次函数解析式为y=x-1,∴令x=0,则y=-1,令y=0,则x=1,即该直线经过点(0,-1)和(1,0).)
2.B(解析:由题意知函数关系为一次函数y=2x+4,当x=0时,y=4,当y=0时,x=-2.)
3.D(解析:画出一次函数y=-x的图像,可得一次函数y=-x的图像平分第二、四象限.)
4.解:(1)函数y=x+2.①列表:
x
0
-2
y
2
0
②描点:函数图像过两点(0,2),(-2,0).③连线:过两点画直线,如图所示. (2)该图像与y轴的交点坐标为(0,2).
5.解:如图所示,当y=0时,x-4=0,解得x=4,则一次函数图像与x轴交点的坐标为(4,0).当x=0时,y=0-4=-4,则一次函数与y轴交点的坐标为(0,-4),直线y=x-4向上平移3个单位长度后对应的解析式为y=x-4+3,即y=x-1.
6.解:如图所示.
7.解:∵△ABC中∠A=80°,∠B的度数为x°,∠C的度数为y°,∴80+x+y=180,∴y=100-x(08.解:(1)把x=0,y=0分别代入解析式,可得点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,2). (2)画图像如图所示. (3)△AOB的面积=×1×2=1. (4)原点到该直线的距离为=.
9.解:由图像(如图所示)得:①x=-3时,y=0;②x>-3时,y>0;③x<-3时,y<0.
10.解:(1)①填表正确,如下:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
1
2
3
…
②画函数图像如图所示. (2)把y=|x|的图像向左平移两个单位长度得到y=|x+2|的图像或把y=|x+2|的图像向右平移两个单位长度得到y=|x|的图像.
教学过程中教师通过情境创设激发学生的学习兴趣,对函数与图像的对应关系让学生动手去实践、去发现,对一次函数的图像是一条直线让学生自己得出.在得出结论之后,让学生能运用“两点确定一条直线”,很快作出一次函数的图像.在巩固练习活动中,鼓励学生积极思考,提高学生解决实际问题的能力.整个教学过程中,学生学得较轻松,掌握了一次函数图像的特点,并能正确地画出一次函数的图像.
在探讨点与直线的关系时,有的学生理解不好;正比例函数图像是经过原点的一条直线,教学时教师忽略了这一点的教学.另外对于课堂的内容,教师在处理上只局限于书本上的内容,没有做适当的延伸和拓展.
一次函数实质就是一个二元一次方程,应该让学生明确点的坐标与方程的解的关系.
因为正比例函数是一次函数的特例,所以在教学时,可让学生画正比例函数的图像,发现它们的特点.同时,对于两直线的位置关系,也可正式放入课堂中进行教学.
练习(教材第91页)
1.解:如图所示.
(第1题图)
(第2题图)
2.解:如图所示.
习题(教材第91页)
A组
1.解:如图所示.
(第1题图)
(第2题图)
2.解:如图所示.
B组
1.解:填表如下:
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x-10
…
-12
-11
-10
-9
-8
…
y=-5x+2
…
12
7
2
-3
-8
…
(1)如图所示. (2)有.公共点的坐标是(2,-8).
2.解:函数表达式为y=12+0.5x(0≤x≤8),图像如图所示.
一次函数图像的画法
1.一次函数y=kx+b(k,b是常数,b≠0)的图像是一条直线,故通常称为直线y=kx+b.由于两点确定一条直线,因此画一次函数图像时,只要先描出两点,再连成一条直线就可以了,为了方便我们通常取图像与坐标轴的两个交点.当然,根据具体情况取最便于计算、描点的两点就行.
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点的一条直线,通常画正比例函数y=kx(k≠0)的图像时,只取一点(1,k),然后过原点和这一点画直线.
3.在画实际问题的一次函数图像时,要先明确自变量的取值范围,再画函数的图像,函数的图像可能是直线、射线或线段等.
本节内容的教学应主要突出两点:一是通过学生的实际操作,让学生感知并确认一次函数的图像是一条直线;二是通过对一次函数表达式及对应图像的观察与比较,总结与概括出一次函数的性质.在教学过程中,应时时渗透“数形结合”的思想.对第一课时有如下的教学建议:
1.首先引导学生回忆上一章刚学习过的函数图像的画法,然后让学生尝试独立完成“试着做做”中的问题,经历确定(具有代表性的)一系列对应数值、描点、用平滑曲线连接的完整过程.这个过程是形成“一次函数的图像是一条直线”概括认识的经验基础.
2.“一次函数的图像是一条直线”包含两层意思:(1)凡是满足某个一次函数关系式的变量的一组对应值确定的点,都在这条直线上;(2)直线上的任意一点的坐标对应的变量的值,都满足这个一次函数的关系式.在“一起探究”过程中,应让学生通过观察与举例验证的方法,获得以上两个方面的感悟与认识.这可按以下步骤实施:(1)对于问题2中已举出的数对,一定要让学生通过具体描点,进行图形上的实际验证,让学生自己随意确定满足关系的数对,再验证,强化确认.(2)在已经画出的y=2x-1的图像(直线)上,再取出两点,通过测量其到两坐标轴的距离,分别求得它们的坐标,检验每对坐标值是否满足这个函数的关系式.这个验证有一定困难,原因是任意一点的坐标不易准确地得到,教师可让学生找较特殊的点获得这方面的感受即可.
3.教材中指出:“画一次函数的图像时,只要确定出两个点,再过这两点画直线就可以了.”可以先引导学生思考“怎样更快地画出一次函数的图像 ”通过大家的讨论取得共识,再由例1的操作实践,得到结论.
4.通过练习题,引导学生总结出:正比例函数的图像是过坐标原点的一条直线.
第课时
掌握一次函数y=kx+b(k≠0)的性质,并能根据k与b的值说出函数的有关性质.
1.经历探索一次函数图像性质的过程,感受一次函数中k与b的值对函数性质的影响.
2.通过观察图像,体会一次函数中k,b的取值和直线位置的关系,提高学生数形结合的能力.
引导学生开动脑筋进行学习,使学生主动地探索新知,激发学生的好奇心和探索新知的兴趣.
【重点】
一次函数的性质及其应用.
【难点】
用一次函数的性质解决实际问题.
【教师准备】 课件1~10.
【学生准备】 刻度尺、复习一次函数图像的画法.
导入一:
【课件1】 某学校需要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘费);若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元(含空白光盘费).则刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少,还是自刻费用少 你能帮助设计出一种使刻录费用最少的刻录方案吗
[设计意图] 结合实际情境,让学生对问题进行思考,产生求知的欲望,从而积极地投入到本课时的学习之中.
导入二:
【课件2】 问题:
1.怎样画函数的图像
2.一次函数的图像是一条直线,一般情况下我们画一次函数的图像,取哪两个点比较简便
3.在同一直角坐标系中,画出函数y=x+1和y=3x-2的图像.
追问:在你所画的一次函数图像中,直线经过几个象限
x
0
-
y=x+1
1
0
x
0
1
y=3x-2
-2
1
我们知道了一次函数的图像是一条直线,那么一次函数具有哪些性质呢 (揭示课题)
[设计意图] 复习一次函数图像的画法,为课时学习一次函数图像的性质做好铺垫,同时明确本课时的学习目标,起到承上启下的作用.
活动1 一次函数的性质
[过渡语] 借助一次函数的图像,我们可以来探究一次函数的性质.
思路一
环节1:做一做
【课件3】
1.请在如图(1)所示的直角坐标系中,画出一次函数y=2x+3和y=x-2的图像.
(1) (2)
2.请在如图(2)所示的直角坐标系中画出一次函数y=-2x+4和y=-x+2的图像.
引导学生利用两点法分别在两个平面直角坐标系中画出图像,教师注意指导学生所画的图像是否规范.
教师用课件展示画图过程,让学生观察:
(1)当k>0时,图像从左到右如何变化
(2)当k<0时,图像从左到右如何变化
学生观察后发现:(1)当k>0时,图像从左到右上升;(2)当k<0时,图像从左到右下降.
[设计意图] 让学生通过四个函数图像的观察和对比,发现直线的倾斜方向是由k值的正负决定的.
环节2:观察与思考
【课件4】 观察在如图(1)和图(2)所示的坐标系中画出的上述四个函数的图像,请思考:
(1)哪些函数,y的值是随x的值的增大而增大的
(2)哪些函数,y的值是随x的值的增大而减小的
(3)这两类函数的区别和自变量系数的符号有怎样的关系
由此,我们得到:
一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的性质:
当k>0时,y的值随x的值的增大而增大;
当k<0时,y的值随x的值的增大而减小.
注:1.注意引导学生观察图像趋势,从左向右看是上升还是下降.尤其应解释清“从左向右即表示x的值增大”.
2.注意引导学生进行图像与解析式的对照,从而把对解析式的分类(k>0或k<0)与对图像的分类(上升或下降)联系起来.
练一练:
【课件5】 已知两个函数:y1=2x+30,y2=4x.
1.不画出它们的图像,说出当x的值增大时,y1,y2的值怎样变化.
2.当x从1开始增大时,预测哪个函数的值先达到80.
3.函数值增大的快慢与k(这里k>0)的值有什么关系
注:1.当x的值增大时,y1,y2的值均增大.
2.当x从1开始增大时,y2=4x的值先达到80.
提示:设y1=80,求得x1=25;设y2=80,求得x2=20.说明对于y2,当x=20时函数值达到80;而对于y1,则当x=25时函数值才达到80.
[设计意图] 借助图像的观察与思考,引导学生发现一次函数y=kx+b中,k的正负决定着函数的增减性,提高学生的观察与总结能力.
环节3:大家谈谈
【课件6】 参考上面画出的四个函数y=2x+3,y=x-2,y=-2x+4,y=-x+2的图像,请谈谈:
(1)哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的上方,哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的下方
(2)函数的图像与y轴的交点在x轴的上方和函数的图像与y轴的交点在x轴的下方,这两种函数,它们的区别与常数项有怎样的关系
(3)正比例函数的图像一定经过哪个点
教师引导学生讨论、交流,达成共识.
归纳:一次函数y=kx+b的图像是经过y轴上的点(0,b)的一条直线.当b>0时,点(0,b)在x轴的上方,当b<0时,点(0,b)在x轴的下方,当b=0时,点(0,0)是原点,即正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线.
[设计意图] 让学生经过观察,认识函数y=kx+b的图像与y轴的交点的坐标与常数b有关,由此进一步确定正比例函数的图像是经过原点的一条直线.
思路二
实践活动:画出函数(1)y=2x+1;(2)y=-6x-2的图像,并探究当x增大时,y的值将随着x怎样变化 同学们发现了什么现象
(教师广泛听取同学们发现的问题和提出的猜想,不做任何解释,等待接下来对同学们探索的结果加以验证)
师生互动:
互动1
教师利用多媒体演示课件:一次函数y=x+1图像上的点与两条坐标轴上的对应点做同步运动的动画.
请同学们观察函数y=x+1图像上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动的动画.
师:通过观察,同学们发现了什么现象
学生讨论、交流,并举手逐个回答,不断补充完善.
师:函数y=3x-2的图像(图中虚线)是否也有这种现象
【课件7】
学生在自主探索的基础上合作交流.
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,结果是否与上述一样
学生讨论后举手回答.
明确:如图所示,在函数的图像中,我们看到当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小变到大)时,它的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变到大)——图像自左向右是上升的,函数值y随自变量x的增大而增大.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随自变量x的增大而增大,图像自左向右是上升的.
互动2
师:再观察函数y=-x+2和y=-x-1的图像,研究它们是否也有相应的性质,有什么不同 你能发现什么规律
学生动手画图,对照图像进行探索,相互交流,达成共识,然后举手回答发现的现象.
教师利用多媒体课件演示函数图像(如图所示),验证学生发现的结论.
【课件8】
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,你能归纳出它的性质吗
明确:在函数y=-x+2和y=-x-1的图像中,我们看到当一个点在直线上从左向右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐步从高到低变化(函数y的值从大变到小)——图像自左向右是下降的,函数值y随自变量x的增大而减小.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,y随自变量x的增大而减小,图像自左向右是下降的.
概括归纳得:
一次函数y=kx+b(k≠0)有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升;
(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图像从左到右下降.
互动3
教师利用多媒体演示.
做一做:画出函数y=-3x-6的图像,结合图像回答下列问题.
(1)这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小 它的图像从左到右怎样变化
(2)当x取何值时,y>0
(3)当x取何值时,y<0
学生动手画图,并对照图形回答提出的问题,再在四人小组中展开交流.
明确:对于函数y=-3x-6的图像,(1)由于自变量的系数小于0,所以y随x的增大而减小,图像自左向右是下降的;(2)当x<-2时,y>0;(3)当x>-2时,y<0.
[设计意图] 通过问题的层层递进,让学生体会知识的形成过程,同时适当地拓展延伸,有助于学生学习能力的提高和培养.
[知识拓展] 对于一次函数y=kx+b(k≠0),图像与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解;图像位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集;图像位于x轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.
活动2 例题讲解
[过渡语] 通过刚才的探究,我们利用一次函数的图像,理解了一次函数的性质,根据一次函数的性质可以解决一些问题.
【课件9】
(教材第93页例2)已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而增大
(2)当k取何值时,y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点
(3)当k满足什么条件时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方
分析:(1)若使函数y的值随x的值的增大而增大,则自变量的系数大于0;(2)若使函数的图像经过原点,则自变量的系数不等于0,常数项等于0;(3)若使函数的图像与y轴的交点在x轴的下方,则自变量的系数不等于0,常数项小于0.
引导学生进行解答,指一名学生板演,然后全班讲评.
提出问题:在教材例2中,如果函数y的值随x的值的增大而减小,且函数的图像与y轴的交点在x轴的上方,求k的取值范围.
引导学生分析得出解得-[设计意图] 通过例题的讲解与训练,提高学生解决实际问题的能力,巩固了新知,加深了对一次函数的性质的理解和掌握.
【课件10】 一次函数图像有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升;(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图像从左到右下降.根据一次函数的性质和图像的具体关系,可列成下表:
一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)
b≠0
b=0
k<0
k>0
k<0
k>0
b>0
b>0
b<0
b<0
过点(0,b)和的一条直线
过点(0,0)和(1,k)的直线
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
1.正比例函数y=(2k+1)x,若y随x的增大而减小,则k的取值范围是
( )
A.k>-
B.k<-
C.k=-
D.k=0
解析:∵正比例函数y=(2k+1)x中,y的值随自变量x的值的增大而减小,∴2k+1<0,解得k<-.故选B.
2.正比例函数y=kx的y值随x的增大而减小,则此函数的图像经过
( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
解析:∵正比例函数y=kx的y值随x的增大而减小,∴图像经过第二、四象限.故选D.
3.(2016·湘西中考)一次函数y=-2x+3的图像不经过的象限是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:∵y=-2x+3中,k=-2<0,∴其图像必过第二、四象限,∵b=3>0,∴图像交y轴于正半轴.∴图像过第一、二、四象限,不过第三象限.故选C.
4.(2016·玉林中考)关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是
( )
A.点(0,k)在l上
B.l经过定点(-1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大
D.l经过第一、二、三象限
解析:A.当x=0时,y=k,即点(0,k)在l上,故此选项正确;B.当x=-1时,y=-k+k=0,故此选项正确;C.当k>0时,y随x的增大而增大,故此选项正确;D.不能确定l经过第一、二、三象限,故此选项错误.故选D.
5.某一次函数的图像经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,则下列函数符合条件的是
( )
A.y=4x+6
B.y=-x
C.y=-x+1
D.y=-3x+5
解析:∵一次函数的图像经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,∴k<0,故A选项错误,把点(-1,2)分别代入B,C,D中,只有C选项符合题意.故选C.
6.一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图像可能是下图中的
( )
A
B
C
D
解析:∵k>0,∴一次函数y=kx+b的图像经过第一、三象限.又∵b>0,∴一次函数y=kx+b的图像与y轴交于正半轴.综上所述,该一次函数图像经过第一、二、三象限.故选A.
7.一次函数y=(m+2)x+(1+m)的图像如图所示,则m的取值范围是
( )
A.m>-1
B.m<-2
C.-2D.m<-1
解析:如图所示,y=(m+2)x+(1+m)的图像经过第二、三、四象限,∴解得m<-2.故选B.
8.(2016·眉山中考)若函数y=(m-1)x|m|是正比例函数,则该函数的图像经过第 象限.
解析:由题意得|m|=1,且m-1≠0,解得m=-1,函数解析式为y=-2x,∵k=-2<0,∴该函数的图像经过第二、四象限.故填二、四.
9.已知关于x的正比例函数y=(5-2k)x.
(1)当k取何值时,y随x的增大而增大
(2)当k取何值时,y随x的增大而减小
解析:根据正比例函数的性质解答.
解:根据正比例函数的性质,可得:
(1)正比例函数y=(5-2k)x,当5-2k>0时,y随x的增大而增大,此时k<,
故当k<时,y随x的增大而增大.
(2)正比例函数y=(5-2k)x,当5-2k<0时,y随x的增大而减小,此时k>,
故当k>时,y随x的增大而减小.
10.已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n).
(1)当m,n是什么数时,y随x的增大而增大
(2)当m,n是什么数时,函数图像经过原点
(3)若图像经过第一、二、三象限,求m,n的取值范围.
解析:由一次函数图像的性质解答.
解:(1)当2m+4>0,即m>-2,n为任何实数时,y随x的增大而增大.
(2)当m,n满足即时,函数图像经过原点.
(3)若图像经过第一、二、三象限,则即
11.画出一次函数y=-2x+5的图像,并回答:
(1)当x取何值时,y=0
(2)当x取何值时,y<0
(3)当-1解析:分别令x=0,y=0,求出一次函数y=-2x+5的图像与两坐标轴的交点,过这两点画出函数图像,根据函数图像即可解答.
解:令x=0,则y=5,令y=0,则x=,
故过(0,5),两点即可画出一次函数y=-2x+5的图像,如图所示.
(1)由函数的图像可知当x=时,y=0.
(2)由函数的图像可知当x>时,y<0.
(3)由函数的图像可知当y=-1时,x=3,
当y=1时,x=2.故当-112.已知函数y=(2-2m)x+m.
(1)当m为何值时,该函数图像经过原点
(2)若该函数图像与y轴的交点在x轴上方,求m的取值范围;
(3)若该函数图像经过第一、二、四象限,求m的取值范围.
解析:(1)函数图像过原点,将点(0,0)代入解析式即可求解;(2)函数图像与y轴的交点在x轴的上方就是当x=0时y>0;(3)根据图像在坐标平面内的位置关系确定k,b的取值范围.
解:(1)由函数图像经过原点,得0=(2-2m)·0+m,解得m=0.
(2)把x=0代入y=(2-2m)x+m中,得y=m.根据题意,得此时y>0,即m>0.
(3)根据题意,得解这个不等式组,得m>1.
第2课时
活动1 一次函数的性质
环节1:做一做
环节2:观察与思考
一次函数y=kx+b的性质:
当k>0时,y的值随x值的增大而增大;
当k<0时,y的值随x值的增大而减小.
环节3:大家谈谈
活动2 例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
1.教材第94页练习第1,2题.
2.教材第94页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第95页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一次函数y=kx+b的图像如图所示,则当0( )
A.y>0
B.-2C.-2D.无法判断
2.关于函数y=-x-2的图像,有如下说法:
①图像过点(0,-2);
②图像与x轴的交点是(-2,0);
③由图像可知y随x的增大而增大;
④图像不经过第一象限;
⑤图像是与y=-x+2平行的直线.
其中正确说法有
( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
3.一次函数y=6x+1的图像不经过
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.下列一次函数中,y随x的增大而减小的是
( )
A.y=3x
B.y=3x-2
C.y=3x+2x
D.y=-3x-2
5.设0( )
A.2k-2
B.k-1
C.k
D.k+1
6.如果函数y=3x+m的图像一定经过第二象限,那么m的取值范围是
( )
A.m>0
B.m≥0
C.m<0
D.m≤0
7.关于一次函数y=-2x+3,下列结论正确的是
( )
A.图像过点(1,-1)
B.图像经过第一、二、三象限
C.y随x的增大而增大
D.当x>时,y<0
8.下列关于正比例函数y=-5x的说法中,正确的是
( )
A.当x=1时,y=5
B.它的图像是一条经过原点的直线
C.y随x的增大而增大
D.它的图像经过第一、三象限
【能力提升】
9.已知一次函数y=(m+2)x+m+3的图像与y轴的交点在x轴上方,且y随x的增大而减小,求m的取值范围.
10.已知函数y=(1-3k)x+2k-1,试回答:
(1)k为何值时,图像过原点
(2)k为何值时,y随x的增大而增大
11.已知一次函数y=(m+1)x+(4-m),分别求出下列条件下的m的取值范围.
(1)y随x的增大而减少;
(2)图像不经过第四象限.
12.作出函数y=8-2x的图像,根据图像回答下列问题:
(1)y的值随x值的增大而 ;
(2)图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴交点的坐标是 .
(3)当y>0时,求x的取值范围.
【拓展探究】
13.已知一次函数y=(4m+1)x+(m+1).
(1)m为何值时,y随x的增大而增大
(2)m为何值时,图像经过第二、三、四象限
(3)m为何值时,图像与直线y=-3x+2平行
14.已知函数y=(k为常数).
(1)当k为何值时,该函数是正比例函数
(2)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而增大
(3)当k为何值时,正比例函数y随x的增大而减少
(4)分别作出它们的图像;
(5)点A(2,5)与点B(2,-3)分别在哪条直线上
【答案与解析】
1.B(解析:因为一次函数y=kx+b的图像与两坐标轴的交点分别为(1,0),(0,-2),所以当02.B(解析:①将(0,-2)代入解析式,得左边=-2,右边=-2,故图像过点(0,-2),正确;②当y=0时,y=-x-2中,x=-2,故图像过(-2,0),正确;③因为k=-1<0,所以y随x的增大而减小,错误;④因为k=-1<0,b=-2<0,所以图像过第二、三、四象限,正确;⑤因为y=-x-2与y=-x+2的k值(斜率)相同,故两图像平行,正确.)
3.D(解析:∵一次函数y=6x+1中k=6>0,b=1>0,∴此函数图像经过第一、二、三象限.)
4.D(解析:在y=kx+b中,当k<0时,y随x的增大而减小.)
5.C(解析:原式可以化为y=(k-2)x+2,∵06.A(解析:函数图像一定经过第二象限,则函数图像一定与y轴的正半轴相交,因而m>0.)
7.D(解析:A.当x=1时,y=1.所以图像不过点(1,-1),故错误;B.∵-2<0,3>0,∴图像过第一、二、四象限,故错误;C.∵-2<0,∴y随x的增大而减小,故错误;D.画出草图,可知当x>时,图像在x轴下方,∴y<0,故正确.)
8.B(解析:A.当x=1时,y=-5,错误;B.正比例函数的图像是一条经过原点的直线,正确;C.根据k<0,得图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小,错误;D.图像经过第二、四象限,错误.)
9.解:根据题意得解得-310.解:(1)∵函数y=(1-3k)x+2k-1的图像过原点,∴2k-1=0,解得k=. (2)∵y随x的增大而增大,∴1-3k>0,解得k<.
11.解:(1)∵y随x的增大而减少,∴m+1<0,∴m<-1. (2)∵图像不经过第四象限,∴∴-112.解:令x=0,得y=8,令y=0,得x=4,得到点(4,0),(0,8),描出并连接这两个点,如图所示. (1)由图像可得图像经过第一、二、四象限,y随x的增大而减小. (2)由图像可得图像与x轴的交点坐标是(4,0),与y轴交点的坐标是(0,8). (3)观察图像得当x<4时,y>0.
13.解:(1)依题意得4m+1>0,解得m>-. (2)依题意得解得m<-1. (3)依
题意得4m+1=-3,解得m=-1.
14.解:(1)解得k=±2,∴当k=±2时,该函数是正比例函数,∴正比例函数的解析式为y=x或y=-x. (2)由(1)得当k=2时,正比例函数y随x的增大而增大. (3)由(1)得当k=-2时,正比例函数y随x的增大而减少. (4)如图所示. (5)把x=2分别代入y=x,y=-x中,得y=5和y=-3,∴A(2,5)在直线y=x上,B(2,-3)在直线y=-x上.
本课时教师主要通过学生的观察、分析、比较、归纳、探究知识的发生、发展、形成的过程,得出结论,并能运用知识点解决问题.教学过程中,如何安排学生的学习活动至关重要.本课时,对于学生活动教师主要设计了两个方面:一是通过画函数图像探究一次函数的性质,二是探究一次函数的图像与k,b符号的关系.在学生活动中,如何调动学生的积极性、互动性,提高学生活动的实效性,值得教师们探讨.为了达到上述目的,教师结合每个活动,都给学生明确的目的和要求,而且提供操作性很强的程序和题目,体现了数学中非常重要的数形结合的思想.这段内容的教学,从学生活动出发,从具体的实例研究起,让学生观察图像的位置和性质,再按照k,b的符号分类讨论,使学生建立起数形之间的联系.
本课时的重点是由一次函数的解析式画出函数图像,研究函数性质.对于函数解析式中k,b符号与图像经过象限的问题,可以给出时间让学生总结.另外本课时教师在练习的处理上,显得比较薄弱.一是时间安排上有些前松后紧,二是题量、题型不是很全面.
对于函数图像所经过的象限,可以让学生自己通过观察总结出规律,然后再通过几个小练习得以巩固、强化.
另外,在以后的教学工作中,教师要不断加强练习的设计,注重知识的落实,既要照顾全面,又要体现知识的拓展与提高,在例题的设计上,也可以不局限于书本中的例题.
练习(教材第94页)
1.解:(1)y随x的增大而减小. (2)y随x的增大而增大. (3)y随x的增大而减小. (4)y随x的增大而增大.
2.解:(1)由题意得4k-2=0,则k=. (2)由题意得k<0.
习题(教材第94页)
A组
1.解:根据y的值随x值的增大而减小可知k+1<0,解得k<-1.
2.解:画出的函数图像如图所示.(1)减小 下降 (2)x>1. (3)03.解:画出的函数图像如图所示.(1)各图像互相平行. (2)与一次函数y=kx+b中的k值有关.
B组
1.解:图像如图所示.①③的图像与y轴的交点相同,②④的图像与y轴的交点相同,①④的图像与x轴的交点相同,②③的图像与x轴的交点相同,①②两直线平行,③④两直线平行.互相垂直的两直线有①③,①④,②④,②③.
2.解:(1)y与x之间的函数关系式为y=10000-3.6x,即y=-3.6x+10000(1500≤x≤2000). (2)画出的函数图像如图所示. (3)2800≤y≤4600.
一次函数图像与性质图解
y=kx+b
草图
直线经过的象限
直线的变化规律
性质
k>0
b=0
第一、三象限
直线从左到右上升
y的值随x值的增大而增大
b>0
第一、二、三象限
b<0
第一、三、四象限
k<0
b=0
第二、四象限
直线从左到右下降
y的值随x值的增大而减小
b>0
第一、二、四象限
b<0
第二、三、四象限
21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
1.了解通过坐标系里两点的坐标,可以确定过这两点的直线所对应的一次函数关系式.
2.学会用待定系数法确定一次函数表达式.
3.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.
1.经历待定系数法应用过程,提高研究数学问题的技能.
2.能根据函数的图像确定一次函数的表达式,体验数形结合,具体感知数形结合思想在一次函数中的应用.
能把实际问题抽象为数学问题,也能把所学的知识运用于实际,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
【重点】
待定系数法确定一次函数表达式.
【难点】
灵活运用有关知识解决相关问题.
【教师准备】 课件1~6.
【学生准备】 复习一次函数的图像和性质.
导入一:
1.想一想.
由一次函数y=kx+b的图像如何确定k,b的符号
【课件1】 请学生判断四个一次函数中k,b的符号.
2.练一练.
画出函数y=x与y=-x+3的图像,学生各自在练习本上作图后,教师利用多媒体示范标准作图.
提问:你在作这两个函数图像时,分别描了几个点 你为何选取这几个点 可以有不同的取法吗
[设计意图] 通过想一想、练一练这两个环节,让学生再次体会数与形之间的联系,并且能够感知到一次函数是由两个条件确定的,就是说要求一次函数的表达式,需要知道两个条件就可以,从而为后面的待定系数法埋下伏笔.
导入二:
1.若两个变量x,y间的关系成正比例函数,则它的表达式为 ,它的图像是 .
2.若两个变量x,y间的关系成一次函数,则它的表达式为 ,它的图像是 .
3.画出函数y=x+3的图像.
【师生活动】 紧接着提出问题(在作这两个函数图像时,分别描了几个点 为什么 ).
学生回答后再提出问题(如果给你函数的图像,你能不能求出函数的表达式呢 ),从而成功导入新课.
[设计意图] 复习正比例函数和一次函数的定义,以及画一次函数与正比例函数的图像,为学习本节内容作铺垫,并初步体会从数到形的思想.
活动1 待定系数法的探究
[过渡语] 通过直接列式可以求一次函数的表达式,当然,还有其他的方法求一次函数的表达式.本节将探究用待定系数法来求一次函数的表达式.
思路一
(一)试一试.
【课件2】 某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3秒时物体的速度是多少
方法引导:(1)要求v与t之间的关系式,首先应观察图像,确定它是正比例函数的图像,还是一次函数的图像,然后设函数表达式,再把已知的坐标代入表达式求出待定系数即可.
(2)因为函数图像过原点,且是一条直线,所以这是一个正比例函数的图像,设表达(共17张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十一章
一次函数
学习新知
检测反馈
21.2
一次函数的图象和性质
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
某学校需要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘费);若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元(含空白光盘费).则刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少,还是自刻费用少 你能帮助设计出一种使刻录费用最少的刻录方案吗
活动1 一次函数的性质
1.请在如图(1)所示的直角坐标系中,画出一次函数y=2x+3和y=
x-2的图象.
(1)
(2)
2.请在如图(2)所示的直角坐标系中画出一次函数y=-2x+4和y=-
x+2的图象.
观察:
(1)当k>0时,图像从左到右如何变化
(2)当k<0时,图像从左到右如何变化
(1)当k>0时,图像从左到右上升;
(2)当k<0时,图像从左到右下降.
观察在前面图(1)和图(2)所示的坐标系中画出的上述四个函数的图像,请思考:
(1)哪些函数,y的值是随x的值的增大而增大的
(2)哪些函数,y的值是随x的值的增大而减小的
(3)这两类函数的区别和自变量系数的符号有怎样的关系
一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的性质:
当k>0时,y的值随x的值的增大而增大;
当k<0时,y的值随x的值的增大而减小.
练一练:
已知两个函数:y1=2x+30,y2=4x.
1.不画出它们的图像,说出当x的值增大时,y1,y2的值怎样变化.
2.当x从1开始增大时,预测哪个函数的值先达到80.
3.函数值增大的快慢与k(这里k>0)的值有什么关系
注:1.当x的值增大时,y1,y2的值均增大.
2.当x从1开始增大时,y2=4x的值先达到80.
提示:设y1=80,求得x1=25;设y2=80,求得x2=20.说明对于y2,当x=20时函数值达到80;而对于y1,则当x=25时函数值才达到80.
大家谈谈
参考上面画出的四个函数y=2x+3,y=
x-2,y=-2x+4,y=-
x+2的图像,请谈谈:
(1)哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的上方,哪些函数的图像与y轴的交点在x轴的下方
(2)函数的图像与y轴的交点在x轴的上方和函数的图像与y轴的交点在x轴的下方,这两种函数,它们的区别与常数项有怎样的关系
(3)正比例函数的图像一定经过哪个点
归纳:一次函数y=kx+b的图像是经过y轴上的点(0,b)的一条直线.当b>0时,点(0,b)在x轴的上方,当b<0时,点(0,b)在x轴的下方,当b=0时,点(0,0)是原点,即正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线.
做一做:画出函数y=-3x-6的图像,结合图像回答下列问题.
(1)这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小 它的图像从左到右怎样变化
(2)当x取何值时,y>0
(3)当x取何值时,y<0
明确:对于函数y=-3x-6的图像,(1)由于自变量的系数小于0,所以y随x的增大而减小,图像自左向右是下降的;(2)当x<-2时,y>0;(3)当x>-2时,y<0.
[知识拓展] 对于一次函数y=kx+b(k≠0),图像与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解;图像位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集;图像位于x轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.
(教材第93页例2)已知关于x的一次函数y=(2k-1)x+(2k+1).
(1)当k满足什么条件时,函数y的值随x的值的增大而增大
(2)当k取何值时,y=(2k-1)x+(2k+1)的图像经过原点
(3)当k满足什么条件时,函数y=(2k-1)x+(2k+1)的图像与y轴的交点在x轴的下方
分析:(1)若使函数y的值随x的值的增大而增大,则自变量的系数大于0;(2)若使函数的图像经过原点,则自变量的系数不等于0,常数项等于0;(3)若使函数的图像与y轴的交点在x轴的下方,则自变量的系数不等于0,常数项小于0.
问题:在教材例2中,如果函数y的值随x的值的增大而减小,且函数的图像与y轴的交点在x轴的上方,求k的取值范围.
一次函数图像有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图像从左到右上升;(2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图像从左到右下降.根据一次函数的性质和图像的具体关系,可列成下表:
检测反馈
1.正比例函数y=(2k+1)x,若y随x的增大而减小,则k的取值范围是
( )
A.k>-
B.k<-
C.k=-
D.k=0
解析:∵正比例函数y=kx的y值随x的增大而减小,∴图像经过第二、四象限.故选D.
解析:∵正比例函数y=(2k+1)x中,y的值随自变量x的值的增大而减小,∴2k+1<0,解得k<-
.故选B.
2.正比例函数y=kx的y值随x的增大而减小,则此函数的图像经过( )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、三象限
D.第二、四象限
D
B
解析:∵y=-2x+3中,k=-2<0,∴其图像必过第二、四象限,∵b=3>0,∴图像交y轴于正半轴.∴图像过第一、二、四象限,不过第三象限.故选C.
3.(2016·湘西中考)一次函数y=-2x+3的图像不经过的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
4.(2016·玉林中考)关于直线l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是
( )
A.点(0,k)在l上
B.l经过定点(-1,0)
C.当k>0时,y随x的增大而增大
D.l经过第一、二、三象限
解析:A.当x=0时,y=k,即点(0,k)在l上,故此选项正确;B.当x=-1时,y=-k+k=0,故此选项正确;C.当k>0时,y随x的增大而增大,故此选项正确;D.不能确定l经过第一、二、三象限,故此选项错误.故选D.
D
5.某一次函数的图像经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,则下列函数符合条件的是
( )
A.y=4x+6
B.y=-x
C.y=-x+1
D.y=-3x+5
解析:∵一次函数的图像经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,∴k<0,故A选项错误,把点(-1,2)分别代入B,C,D中,只有C选项符合题意.故选C.
C
6.一次函数y=kx+b(k>0,b>0)的图像可能是下图中的
( )
解析:∵k>0,∴一次函数y=kx+b的图像经过第一、三象限.又∵b>0,∴一次函数y=kx+b的图像与y轴交于正半轴.综上所述,该一次函数图像经过第一、二、三象限.故选A.
A
解析:由题意得|m|=1,且m-1≠0,解得m=-1,函数解析式为y=-2x,∵k=-2<0,∴该函数的图像经过第二、四象限.故填二、四.
7.一次函数y=(m+2)x+(1+m)的图像如图所示,则m的取值范围是( )
A.m>-1
B.m<-2
C.-2D.m<-1
解析:如图所示,y=(m+2)x+(1+m)的图像经过第二、三、四象限,
∴
解得m<-2.故选B.
8.(2016·眉山中考)若函数y=(m-1)x|m|是正比例函数,则该函数的图像经过第 象限.
二、四
B
9.已知关于x的正比例函数y=(5-2k)x.
(1)当k取何值时,y随x的增大而增大
(2)当k取何值时,y随x的增大而减小
解析:根据正比例函数的性质解答.
(1)正比例函数y=(5-2k)x,当5-2k>0时,y随x的增大而增大,此时k<
,
故当k<
时,y随x的增大而增大.
(2)正比例函数y=(5-2k)x,当5-2k<0时,y随x的增大而减小,此时k>
,
故当k>
时,y随x的增大而减小.
解：根据正比例函数的性质，可得：
10.已知一次函数y=(2m+4)x+(3-n).
(1)当m,n是什么数时,y随x的增大而增大
(2)当m,n是什么数时,函数图像经过原点
(3)若图像经过第一、二、三象限,求m,n的取值范围.
解析:由一次函数图像的性质解答.
解:(1)当2m+4>0,即m>-2,n为任何实数时,y随x的增大而增大.
(2)当m,n满足
即
时,函数图像经过原点.
(3)若图像经过第一、二、三象限,则
即
11.画出一次函数y=-2x+5的图像，并回答:
(1)当x取何值时，y=0
(2)当x取何值时，y<0
(3)当-1解析:分别令x=0，y=0，求出一次函数y=-2x+5的图像与两坐标轴的交点，过这两点画出函数图像，根据函数图像即可解答.
解:令x=0,则y=5,令y=0,则x=
,
故过(0,5),
两点即可画出一次函数y=-2x+5的图像,如图所示.
(1)由函数的图像可知当x=
时,y=0.
(2)由函数的图像可知当x>
时,y<0.
(3)由函数的图像可知当y=-1时,x=3,
当y=1时,x=2.故当-112.已知函数y=(2-2m)x+m.
(1)当m为何值时,该函数图像经过原点
(2)若该函数图像与y轴的交点在x轴上方,求m的取值范围；
(3)若该函数图像经过第一、二、四象限,求m的取值范围.
解析:(1)函数图像过原点,将点(0,0)代入解析式即可求解;(2)函数图像与y轴的交点在x轴的上方就是当x=0时y>0;(3)根据图像在坐标平面内的位置关系确定k,b的取值范围.
(3)根据题意,得
解这个不等式组，得m>1.
解:(1)由函数图像经过原点,得0=(2-2m)·0+m,解得m=0.
(2)把x=0代入y=(2-2m)x+m中,得y=m.根据题意,得此时y>0,即m>0.(共16张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十一章
一次函数
学习新知
检测反馈
21.3
用待定系数法确定一次函数表达式
学
习
新
知
问题思考
1.想一想。
请学生判断四个一次函数中k,b的符号.
2.练一练.
画出函数y=
x与y=-
x+3的图像.
你在作这两个函数图像时,分别描了几个点 你为何选取这几个点 可以有不同的取法吗
活动1 待定系数法的探究
某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3秒时物体的速度是多少
方法引导:(1)要求v与t之间的关系式,首先应观察图像,确定它是正比例函数的图像,还是一次函数的图像,然后设函数表达式,再把已知的坐标代入表达式求出待定系数即可.
(2)因为函数图像过原点,且是一条直线,所以这是一个正比例函数的图像,设表达式为v=kt,由图像可知(2,5)在直线上.所以把t=2,v=5代入上式求出k,就可知v与t的关系式了.
解:(1)由题意可知v是t的正比例函数,
可设v=kt,
∵(2,5)在函数图像上,
∴2k=5,∴k=
,
∴v与t的关系式为v=
t.
(2)求下滑3秒时物体的速度,就是求当t等于3时的v的值.
当t=3时,
v=
×3=7.5.
在下图中,直线PQ上两点的坐标分别为P(-20,5),Q(10,20).怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢
图像对应一次函数,经过点P(-20,5)和Q(10,20),设一次函数表达式为y=kx+b.把P,Q两点坐标代入组成二元一次方程组,求出k和b的值,即可确定函数的表达式.
解:设这个一次函数表达式为y=kx+b,
由图像可知直线过点P(-20,5)和Q(10,20),
可得
解得
所以这个一次函数的表达式为y=
x+15.
请大家从这两道题的解题经历中,总结一下如果已知函数的图像,怎样求函数的表达式.大家互相讨论之后再表述出来.
(1)确认其为一次函数(或正比例函数).
(2)设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx).
(3)根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组),列方程组(或方程),求出k与b的值.
归纳:确定正比例函数的表达式需要一个条件,确定一次函数的表达式需要两个条件.
(教材第97页例题)一辆汽车匀速行驶,当行驶了20
km时,油箱剩余58.4
L油;当行驶了50
km时,油箱剩余56
L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系,请求出这个一次函数的表达式,并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义.
解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b.
根据题意,把已知的两组对应值(20,58.4)和(50,56)代入,
得
解得
这个一次函数表达式为y=-0.08x+60.
(补充)小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少
用待定系数法求一次函数的表达式,一般步骤如下:
(1)设出一次函数表达式y=kx+b.
(2)根据条件,列出关于k和b的二元一次方程组.
(3)解这个方程组,求出k与b的值,从而得到一次函数表达式.
[知识拓展] 正比例函数y=kx(只有一个待定系数k)一般只需一个条件即可求出k的值;一次函数y=kx+b(有两个待定系数k和b)一般需要两个条件,列出方程组才能求出k和b的值,确定一次函数的表达式还有如下几种方法:(1)根据基本数量关系列出表达式,如弹簧长度=弹簧原长+弹簧伸长的长度;(2)根据数学公式列表达式,如矩形周长=(长+宽)×2;(3)列出关于自变量x和函数y的二元一次方程组,然后用含x的代数式表示y.
1.待定系数法.
确定一次函数表达式的主要方法是待定系数法,即先求出式子中的未知系数,再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数,从而写出这个式子的方法,其中未知系数也称为待定(等待确定)系数,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b,都是待定系数.
2.求一次函数(含正比例函数)的表达式.
(1)由问题的实际意义直接写出.
(2)确认其为一次函数,然后采用以下步骤:设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx);(2)根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组)列方程组(或方程)求出k与b的值.
注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,则需要两组x,y的值.
检测反馈
1.若一次函数y=kx+17的图像经过点(-3,2),则k的值为
( )
A.-6
B.6
C.-5
D.5
解析:由一次函数y=kx+17的图像经过点(-3,2),故将x=-3,y=2代入一次函数解析式,得2=-3k+17,解得k=5,则k的值为5.故选D.
D
2.一次函数的图像经过点(2,1)和(-1,-3),则它的解析式为
( )
解析:∵一次函数y=kx+b的图像经过两点(2,1)和(-1,-3),
∴
解得
∴一次函数解析式为
.
故选D.
D
3.一次函数y=kx+b的图像如图所示,则
( )
解析:∵由函数图像可知直线与x,y轴相交的点的坐标分别为(3,0),(0,-1),∴
解得
故选D.
D
4.已知y与x+1成正比,当x=2时,y=9,那么当y=-15时,x的值为
( )
A.4
B.-4
C.6
D.-6
解析:设y=k(x+1),把x=2,y=9代入得k=3,所以y=3(x+1)=3x+3,当y=-15时,3x+3=-15,解得x=-6.故选D.
D
5.八个边长为1的正方形按如图所示摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,则该直线l的解析式为
( )
A.y=-x
B.y=-
x
C.y=-
x
D.y=-
x
解析:如图所示,设直线l和八个正方形的最上面交点为A,过A作AB⊥y轴于B,过A作AC⊥x轴于C,∵正方形的边长为1,∴OB=3,∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分,∴S△AOB=4+1=5,∴
OB·AB=5,
∴AB=
,∴OC=
,由此可知直线l经过点
,设直线方程为y=kx,则3=-
k,k=-
,∴直线l的解析式为y=-
x.故选D.
D
7.如图所示,△OPQ是边长为2的等边三角形,若正比例函数的图像过点P,则它的解析式是
.
解析:过点P作PD⊥x轴于点D,∵△OPQ是边长为2的等边三角形,∴OD=
OQ=
×2=1,在Rt△OPD中,∵OP=2,OD=1,∴PD=
,∴P(1,
),设直线OP的解析式为y=kx(k≠0),∴k=
,∴直线OP的解析式为y=
x.故填y=
x.
6.如图所示,若点P(-2,4)关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图像上,则b的值为
( )
A.-2
B.2
C.-6
D.6
解析:由题意得对称点P'的坐标为(2,4),代入得2+b=4,解得b=2.故选B.
B
8.一次函数y=kx+b的图像如图所示.
(1)求出该一次函数的表达式;
(2)当x=10时,y的值是多少
(3)当y=12时,x的值是多少
解析:(1)观察函数的图像,得出一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数解析式即得出一次函数的表达式.(2)(3)再分别令x=10和y=12,即可得出对应的y,x的值.
解:(1)观察图像可得一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数的解析式y=kx+b中,得
解得
∴一次函数的表达式为y=x-2.
(2)令x=10,得y=10-2=8.
(3)令y=12,得x=12+2=14.
9.已知y是x的一次函数,且当x=-4时,y=9;当x=6时,y=-1.求:
(1)这个一次函数的解析式,自变量x的取值范围;
(2)当x=-
时,函数y的值;
(3)当y<1时,自变量x的取值范围.
解析:(1)利用待定系数法求得函数的解析式;(2)把x=-
代入函数解析式求得y的值;(3)根据y<1即可列出不等式求解.
解:(1)设y=kx+b,
根据题意得
解得
则函数的解析式是y=-x+5,x是任意实数.
(2)把x=-
代入解析式得y=
+5=
.
(3)根据题意得-x+5<1,解得x>4.
10.某摩托车的油箱最多可存油5升,行驶时油箱内的余油量y(升)与行驶的路程x(km)成一次函数关系,其图像如图所示.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)摩托车加满油后到完全燃烧,最多能行驶多少千米
解析:(1)设解析式为y=kx+b,把已知坐标代入,列方程求解析式.(2)当余油量y=0时,行程最远.
解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).由图像可知,该函数的图像过A(0,5),B(60,3)两点,可得
解得
所以所求的一次函数解析式为y=-
x+5.
(2)当余油量y=0时,行程最远,由-
x+5=0,得x=150(km).
所以摩托车加满油最多能行驶150
km.(共18张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十一章
一次函数
学习新知
检测反馈
21.4
一次函数的应用（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
(1)假如你是单位领导,你的单位急需用车,但又不准备买车,你们准备和一个个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租合同,设汽车每月行驶x千米,应付给出租车公司的月租费是y1元,y1=
x+1100(x≥0),应付给个体车主的月租费是y2元,y2=
x(x≥0).请你决定租哪家的车合算.
(2)观察图像,判断租哪家的车合算.
(3)根据图像,你能很快回答下列问题吗
①如果该单位估计每月的行程约为800千米,那么这个单位租哪家的车合算
②如果该单位估计每月的行程约为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算
甲骑自行车以10
km/h的速度沿公路行驶,出发3
h后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25
km/h.
(1)设甲离开出发地的时间为x(h),求:
①甲离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
②乙离开出发地的路程y(km)与x(h)之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图像,并结合实际问题,解释两图像交点的意义.
解:(1)由公式s=vt,得:
①甲离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=10x.自变量x的取值范围为x≥0.
②乙离开出发地的路程y与x的函数关系式为y=25(x-3),即y=25x-75.自变量x的取值范围为x≥3.
(2)以上两个函数的图像如图所示.两个函数图像的交点坐标是(5,50),即甲出发5
h后被乙追上(或乙出发2
h后追上甲).此时,两人距离出发地50
km.
问题:对于上例中甲、乙行驶的情况,你能借助图解释“乙出发多少小时后可以超过甲”这一问题吗 还有其他方法解答这个问题吗
当x>5时,y=25(x-3)的图像在y=10x的图像的上方,说明乙出发2小时后,乙可以超过甲,还可以用25x>10(x+3)来解决这个问题,其中x表示乙离开出发地的时间.
说明:由此可以看出,有些一元一次方程和一元一次不等式问题,可以借助一次函数来考虑,借助一次函数的图像,往往能使方程和不等式的意义更加直观和形象.
活动2 一起探究
某电脑工程师张先生准备开一家小型电脑公司,欲租一处临街房屋,现有甲、乙两家出租屋,甲家已经装修好,每月租金为3000元;乙家未装修,每月租金为2000元,但若装修成与甲家房屋同样的规格,则需要花装修费4万元.
(1)设租用时间为x个月,承租房屋所付租金为y元,分别求租用甲、乙两家的租金y与租用时间x之间的函数关系式.
(2)根据求出的两个函数表达式,试判断租用哪家的房屋更合算.
解法1:
①要使y甲=y乙,就是要使3000x=2000x+40000,解得x=40,即当x=40时,租哪家租金都相同.
②要使y甲>y乙,就是要使3000x>2000x+40000,解得x>40,即当x>40时,租乙家的房屋更合算.
③要使y甲解法2:
将两函数的图像在同一坐标系中画出,观察图像可知:这两个函数图像的交点是(40,120000),也就是当x=40时,y甲和y乙的值相等,都等于120000;当x>40时,y甲=3000x的图像在y乙=2000x+40000的图像的上方,这说明此时y甲>y乙;当x<40时,y甲=3000x的图像在y乙=2000x+40000的图像的下方,这说明此时y甲检测反馈
1.(2016·沈阳中考)在一条笔直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B两地之间,甲、乙两车分别从A,B两地出发,沿这条公路匀速行驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,当甲车出发 h时,两车相距350
km.
解析:由题意,得AC=BC=240
km,甲的速度为240÷4=60(km/h),乙的速度为240÷3=80(km/h).设甲出发x
h时,甲、乙相距350
km,由题意,得60x+80(x-1)+350=240×2,解得x=
,即甲车出发
h时,两车相距350
km.故填
.
2.一次越野跑中,当小明跑了1600米时,小刚跑了1400米,小明、小刚所跑的路程y(米)与时间t(秒)之间的函数关系如图所示,则这次越野跑的全程为 米.
解析:设小明的速度为a米/秒,小刚的速度为b米/秒,由题意,
得
解得
∴这次越野跑的全程为1600+300×2=2200(米).故填2200.
2200
3.某游泳馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡:
①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费.
②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元.
暑假普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑假使用,不限次数.设游泳x次时,所需总费用为y元.
(1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式;
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图像,直接写出选择哪种消费方式更合算.
解析:(1)根据银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元,以及游泳馆普通票价20元/张,设游泳x次时,分别得出所需总费用y元与x的关系式即可;(2)利用函数图像交点坐标的求法分别得出即可;(3)利用(2)中点的坐标以及函数图像得出答案.
解:(1)由题意可得:
银卡消费:y=10x+150,普通票消费:y=20x.
(2)在同一坐标系中,若三种消费方式对应的函数图像如图所示,请求出点A,B,C的坐标;
(3)请根据函数图像,直接写出选择哪种消费方式更合算.
当10x+150=20x时,解得x=15,则y=300,故B(15,300),
当y=10x+150,x=0时,y=150,故A(0,150),
当y=10x+150=600时,解得x=45,则y=600,故C(45,600).
如图所示,由A,B,C的坐标可得:当045时,金卡消费更划算.
4.联通公司手机话费收费有A套餐(月租费15元,通话费每分钟0.1元)和B套餐(月租费0元,通话费每分钟0.15元)两种.设A套餐每月话费为y1(元),B套餐每月话费为y2(元),月通话时间为x分钟.
(1)分别表示出y1与x,y2与x的函数关系式;
(2)月通话时间为多长时,A,B两种套餐收费一样
(3)什么情况下A套餐更省钱
解析:(1)根据A套餐的收费为月租费加上话费,B套餐的收费为话费列式;(2)根据两种收费相同列出方程求解;(3)根据(2)的计算结果,小于收费相同的时间时选择B套餐,大于收费相同的时间时选择A套餐解答.
解:(1)A套餐的收费方式:y1=0.1x+15;
B套餐的收费方式:y2=0.15x.
(2)由0.1x+15=0.15x,得x=300,即当月通话时间是300分钟时,A,B两种套餐收费一样.
(3)当月通话时间多于300分钟时,A套餐更省钱.
5.如图(1)所示,某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地,列车匀速行驶,图(2)为列车离乙地路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图像.
(1)填空:甲、丙两地距离为 千米;
解析:(1)根据函数图像可得甲、丙两地距离为900+150=1050(千米);(2)分两种情况:当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y=kx+b,把(0,900),(3,0)代入得到方程组,即可解答;根据图像确定高速列车的速度为300(千米/时),从而确定点A的坐标为(3.5,150),当3＜x≤3.5时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y=k1x+b1,把(3,0),(3.5,150)代入得到方程组,即可解答.
解:(1)根据函数图像可得甲、丙两地距离为900+150=1050(千米).故填1050.
(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
1050
(2)求高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
解：当0≤x≤3时,设高速列车离乙地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式为y=kx+b,
把(0,900),(3,0)分别代入得
解得
∴y=-300x+900,
高速列车的速度为900÷3=300(千米/时),150÷300=0.5(小时),3+0.5=3.5(小时),
如图所示,点A的坐标为(3.5,150),
当3把(3,0),(3.5,150)分别代入得
解得
∴y=300x-900,
∴
6.我市某养殖场计划购买甲、乙两种鱼苗共700尾,甲种鱼苗每尾3元,乙种鱼苗每尾5元,相关资料表明:甲、乙两种鱼苗的成活率分别为85%和90%.
(1)若购买这两种鱼苗共用去2500元,则甲、乙两种鱼苗各购买多少尾
(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾
(3)在(2)的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低 并求出最低费用.
解析:(1)设购买甲种鱼苗x尾,乙种鱼苗y尾,根据题意列二元一次方程组求解即可;(2)设购买甲种鱼苗z尾,乙种鱼苗(700-z)尾,根据题意列不等式求出解集即可;(3)设甲种鱼苗购买m尾,购买鱼苗的费用为w元,列出w与x之间的函数关系式,运用一次函数的性质解决问题.
解:(1)设购买甲种鱼苗x尾,乙种鱼苗y尾,
根据题意可得
解得
即购买甲种鱼苗500尾,乙种鱼苗200尾.
(3)在(2)的条件下,应如何选购鱼苗,使购买鱼苗的费用最低 并求出最低费用.
(2)若要使这批鱼苗的总成活率不低于88%,则甲种鱼苗至多购买多少尾
解：设购买甲种鱼苗z尾,乙种鱼苗(700-z)尾,列不等式得85%z+90%(700-z)≥700×88%,
解得z≤280.即甲种鱼苗至多购买280尾.
解：设甲种鱼苗购买m尾,购买鱼苗的费用为w元,则w=3m+5(700-m)=-2m+3500,∵-2<0,∴w随m的增大而减小,
∵0∴700-m=420.
即当选购甲种鱼苗280尾,乙种鱼苗420尾时,总费用最低,最低费用为2940元.
7.(2016·绥化中考)周末,小芳骑自行车从家出发到野外郊游,从家出发0.5小时到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小芳离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,行驶10分钟时,恰好经过甲地,如图所示的是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图像.
(1)小芳骑车的速度为 km/h,H点坐标为 ;
(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上 此时距家的路程多远
(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计),则小芳比预计时间早几分钟到达乙地
解:(1)由函数图像可以得出小芳家距离甲地的路程为10
km,花费时间为0.5
h,故小芳骑车的速度为10÷0.5=20(km/h),
由题意可得出点H的纵坐标为20,横坐标为
,故点H的坐标为
.
(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上 此时距家的路程多远
(2)设直线AB的解析式为y1=k1x+b1,将点A(0,30),B(0.5,20)分别代入
得y1=-20x+30,
由题意知AB∥CD,∴设直线CD的解析式为y2=-20x+b2,将点C(1,20)代入得b2=40,故y2=-20x+40,
设直线EF的解析式为y3=k3x+b3,将点E
,H
分别代入得k3=-60,b3=110,∴y3=-60x+110,
解方程组
得
∴点D坐标为(1.75,5),30-5=25(km),
∴小芳出发1.75小时后被妈妈追上,此时距家25
km.
(3)将y=0代入直线CD解析式有-20x+40=0,解得x=2,
将y=0代入直线EF的解析式有-60x+110=0,解得x=
,
2-
=
(h),即10分钟,故小芳比预计时间早10分钟到达乙地.
(3)相遇后,妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计),则小芳比预计时间早几分钟到达乙地
