(共13张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十章
函
数
学习新知
检测反馈
20.4
函数的初步应用
学
习
新
知
问题思考
小亮和妈妈到超市买了一台电磁炉.售货员介绍说,用这台电磁炉和配赠的专用水壶烧开一壶水只需几分钟.小亮决定用自己学习过的知识对电磁炉烧开水的功能进行测试.他从实验室借来专用的温度计,放入电磁炉上的水壶中,随后打开电磁炉,记录下了水壶中的水温T(℃)随烧水时间t(min)的变化情况(8
min后关掉了电磁炉),如下表:
1.在这个过程中,变量T(℃)是变量t(min)的函数吗 如果是,请指出自变量的取值范围.
2.请在直角坐标系中用图像表示出T(℃)与t(min)的关系.
3.用电磁炉烧开一壶水需要多长时间
4.从图像上看,如果烧一壶50
℃的生活用水,需用多长时间
5.从画出的图像上,你还能获得关于变量T(℃)和变量t(min)之间关系的哪些认识
活动1 初步感知
已知摄氏温度值和华氏温度值有下表所示的对应关系:
提出问题:
(1)观察表格,说一说从表格中能知道哪些信息
(2)摄氏温度值与华氏温度值有怎样的变化关系
(3)当摄氏温度为30
℃时,由数值表能直接求出华氏温度吗
(4)如果设摄氏温度为x
℃,华氏温度为y
℉,你能表示出x和y之间的函数关系吗
y=1.8x+32.
能,为86
℉.
华氏温度随摄氏温度的增加而不断增大.而且它们呈有规律的增长,即摄氏温度每增加10
℃，华氏温度增加18
℉.
活动2 深入探究
五环图的示意图如图所示,观察各个环中的数据有什么特点
上面三个环中的数字是三个连续的偶数,下面两个环中的数字是两个连续的奇数,并且三个偶数之和与两个奇数之和相等.
思考:请你再写出几组具有这种关系的五个数
通过列举发现满足条件的数字有无数组,那么它们之间是否也存在着一定的函数关系呢
用2x-2,2x,2x+2表示三个连续的偶数,用2y-1和2y+1表示两个连续的奇数,求y与x之间满足的关系式.
y=
x.
活动3 巩固新知
1.一支20
cm长的蜡烛,点燃后,每小时燃烧5
cm.在图中,哪幅图像能大致刻画出这支蜡烛点燃后剩下的长度h(cm)与点燃时间t(h)之间的函数关系 请说明理由.
2.一等腰三角形的周长为12
cm,设其底边长为y
cm,腰长为x
cm.
(1)写出y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
(2)画出这个函数的图像.
答案:1.图(3),理由略.2.(1)y=12-2x,3检测反馈
1.为了节能减排,鼓励居民节约用电,某市将出台新的居民用电收费标准:(1)若每户居民每月用电量不超过100度,则按0.50元/度计算;(2)若每户居民每月用电量超过100度,则超过部分按0.80元/度计算(未超过部分仍按每度电0.50元计算).现假设某户居民某月用电量是x(单位:度),电费为y(单位:元),则y与x的函数关系用图像表示正确的是
( )
解析:根据题意,知当0≤x≤100时,y=0.5x,当x>100时,y=100×0.5+0.8(x-100)=50+0.8x-80=0.8x-30,所以y与x的函数关系为y=
纵观各选项,只有C选项图形符合.故选C.
C
2.豪豪和欢欢相约星期六下午一起去电影院看电影,欢欢走到半路时发现电影票没带,于是以相同的速度折返回去,回家找了一会,拿上电影票快步跑向电影院,则欢欢离电影院的距离y与时间t之间的函数关系的大致图像是图中的
( )
解析:根据题意得函数图像中距离先变短,再变长,在家里找票时没变化,最后迅速变短,B符合题意.故选B.
B
3.某市一周平均气温(℃)如图所示,下列说法不正确的是( )
A.星期二的平均气温最高
B.星期四到星期日天气逐渐转暖
C.这一周最高气温与最低气温相差4
℃
D.星期四的平均气温最低
解析:由图像可得:星期二的平均气温最高,故A正确;星期四到星期日天气逐渐转暖,故B正确;这一周最高气温与最低气温相差12-4=8(℃),故C错误;星期四的平均气温最低,故D正确.故选C.
C
4.有下面几个函数:
①烟花点燃后离地高度与时间;
②汽车匀速行驶的速度与时间;
③汽车匀速行驶的路程与时间;
④物体上抛后自由落下的离地高度与时间.
与这几个函数对应的图像依次为
( )
A.a,b,c,d
B.b,c,d,a
C.d,c,b,a
D.d,b,c,a
解析:①烟花点燃后离地高度与时间,上升到最大高度之前,速度越来越小,上升到最大高度之后高度下降,速度增大,故选d;②汽车匀速行驶的速度与时间,速度随时间增大而不变,故选c;③汽车匀速行驶的路程与时间,路程与时间的比不变,故选b;④物体上抛后自由落下的离地高度与时间,自由落下的离地高度先上升后再下降,故选a.故选C.
C
5.(2016·宜宾中考)如图所示的是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图像,下列结论错误的是
( )
A.乙前4秒行驶的路程为48米
B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒
C.两车到第3秒时行驶的路程相等
D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
解析:A.根据图像,可得乙前4秒的速度不变,为4米/秒,则行驶的路程为12×4=48(米),故A正确;B.根据图像,得在0到8秒内甲的速度是一条过原点的线段,即甲的速度从0均匀增加到32米/秒,则每秒增加
=4(米/秒),故B正确;C.由于甲的图像过原点,斜率为4,所以可得v=4t(v,t分别表示速度、时间),将v=12米/秒代入v=4t得t=3秒,则t=3秒前,甲的速度小于乙的速度,所以两车到第3秒时行驶的路程不相等,故C错误;D.在4至8秒内甲的速度图像一直在乙的上方,所以甲的速度都大于乙的速度,故D正确.故选C.
C
6.如图所示,射线l甲,l乙分别表示甲,乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s与时间t的函数关系图像,则甲的速度 乙的速度(用“>”“=”或“<”填空).
解析:根据题意:甲的路程增加得快,故甲的速度大于乙的速度.故填>.
>
7.小华从家里出发,到超市购物,然后回家,回家时比去时每分钟慢10米,如图所示的是他离家的距离y(米)关于离家的时间x(分钟)的函数图像.那么C处的值是 .
解析:出去时的速度:200÷5=40(米/分),回家时比去时每分钟慢10米,所以回家时的速度为40-10=30(米/分),所以回家需要的时间为200÷30=6
(分钟),C处的值是12+6
=18
.故填18
.
8.吉安市某旅游公司取得了2010年上海世博会门票销售权,每张普通票的票价与买票的数量的函数关系如图所示.
(1)从图中可以看出:买票的数量a 时,票价打 折;
(2)吉安市某校初三(1)、(2)班的学生都不超过50人,两个班合起来买票,结果比各自独去买票共节省了2400元,则该校初三(1)、(2)班的人数各为多少
解析:(1)此题根据函数的图像即可直接得出买票的数量a>50时,票价打折,再根据两段的票价即可求出打几折;(2)设初三(1)、(2)班各x,y人,再根据两个班合起来买票,比各自独去买票共节省了2400元列出方程,最后根据(1)、(2)班的学生都不超过50人即可求出两个班的人数.
解:(1)从图中可以看出:买票的数量a>50时,票价打八折.
(2)设初三(1)、(2)班各x,y人,
则120(x+y)-96(x+y)=2400,
解得x+y=100.
∵每班人数都不超过50人,∴x=y=50.
∴该校初三(1)、(2)班的人数各为50人.
9.星期天,小明与小刚骑自行车去距家50千米的某地旅游,匀速行驶1.5小时的时候,其中一辆自行车出故障,因此二人在自行车修理点修车,用了半个小时,然后以原速继续前行,行驶1小时到达目的地.请在如图所示的平面直角坐标系中,画出符合他们行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数图像.
解析:第一阶段匀速行驶1.5小时的时候,这段时间路程与时间的比不变;修车,用了半个小时,这段时间路程不随时间的变化而变化;然后以原速继续前行,行驶1小时到达目的地,这一段图像与第一段平行.利用描点法即可求解.
解:如图所示.
10.某天早晨,王老师从家出发,骑摩托车前往学校,途中在路旁一家饭店吃早餐,如图所示的是王老师从家到学校这一过程中行驶路程s(千米)与时间t(分)之间的关系.
(1)学校离他家多远 从出发到学校,用了多少时间
(2)王老师吃早餐用了多少时间
(3)王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快 最快时速达到多少
解析:(1)由于骑摩托车前往学校,途中在路旁一家饭店吃早餐,那么行驶路程s(千米)与时间t(分)之间的关系图像中有一段平行于横轴的线段,然后再到学校,根据图像可以直接得到结论;(2)根据图像中平行于横轴的线段即可确定王老师吃早餐用了多少时间;(3)根据图像可以分别求出吃早餐以前的速度和吃完早餐以后的速度,然后比较即可得到结果.
解:(1)依题意得:学校离王老师家有10千米;从出发到学校,王老师用了25分钟.
(2)依题意得王老师吃早餐用了10分钟.
(3)吃早餐以前的速度为5÷10=0.5(千米/分),吃完早餐以后的速度为(10-5)÷(25-20)=1(千米/分),即60
千米/时,
∴王老师吃完早餐以后的速度快,最快时速达到60千米/时.(共15张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十章
函
数
学习新知
检测反馈
20.2
函
数（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化.
气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线,气温随时间的变化而变化.
函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.
活动1 整体感知——“观察与思考”
思考并解决下列问题:
(1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:
根据这个表格你能说出1月~6月,每个月的纯收入吗
(2)如图所示的是某市冬季某天的气温变化图.
观察这个气温变化图,你能找到凌晨3时、上午9时和下午16时对应的温度吗 你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗
(3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸,第1次对折,1页纸折为2层;第2次对折,2层纸折为4层;第3次对折,4层纸折为8层……用n表示对折的次数,p表示对折后的层数,请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达式,是否可以得出任意次对折后的层数
【思考】
(1)在问题(1)中有几个变量 随着月份T的变化,纯收入S怎样变化
(2)在问题(2)中有几个变量 有怎样的变化规律
(3)在问题(3)中有几个变量 当n每取一个值时,p是否都有唯一的值
(1)有两个变量,月份对应一个值,纯收入也有一个值和它对应;(2)有两个变量,温度随时间的变化而变化;(3)有两个变量,n每取一个值时,p都有唯一的值与之对应.
思考：在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明在同一个问题中,当其中一个量变化时,另一个量是否也在相应地变化,当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值.
三个实例中的两个变量之间分别具有相互依赖关系,当其中一个变量变化时,另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定一个值.
说明:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
(1)“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、自由自在地取它想取的值.
(2)“函数”中的“函”是相关的意思,是指这两个变量间有相关的关系.每一个自变量的函数值是唯一被确定的.
[知识拓展] (1)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“对于x的每一个值,y都有唯一的值和它对应”.例如:“一个数与它的绝对值”,若一个数用x表示,它的绝对值用y表示,其中x可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对值是这个数的函数.又如:式子y=x2中,变量x每取一个值,y都有唯一的值与之对应,所以y是x的函数;式子y2=x中,尽管x与y之间有一种关系,但由于变量x在x>0的范围内每取一个值,y都有两个确定的值与之对应,所以说y不是x的函数.
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以用x表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示,函数可以用y表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示.
(3)在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的关系,但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之间就不存在函数关系.
(4)函数的定义中指出“对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应”,但对于自变量x的每一个不同的值,y不一定都是不同的值与之对应.
活动2 知识深化——“大家谈谈”
请你谈谈:
1.如果y是x的函数，那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数
2.在上面的“观察与思考”中，我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数，请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子.
活动3 巩固新知——“做一做”
1.改革开放以来,我国城乡居民的生活发生了巨大变化.下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况:
在这里,存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系 若具有函数关系,请指出其中的自变量和关于自变量的函数.
2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫做潮,黄昏上涨的现象叫做汐,潮与汐合称潮汐.某港口的某一天,从0时至24时的水位情况如图所示.变量h与变量t是否具有函数关系 若具有函数关系,则哪个量是自变量,哪个量是这个自变量的函数
1.存款余额与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数.
2.h与t具有函数关系,t是自变量,h是t的函数.
1.函数的定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
2.对于函数的理解:
(1)在某一个变化过程中有两个变量;
(2)一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;
(3)自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应,即单对应.
检测反馈
1.(2016·南宁中考)下列各曲线中表示y是x的函数的是
( )
解析:根据函数的意义:对于自变量x的任何一个值,y都有唯一的值与之相对应,可知D正确.故选D.
D
2.下列说法正确的是
( )
A.若y<2x,则y是x的函数
B.正方形的面积是其周长的函数
C.变量x,y满足y2=2x,y是x的函数
D.温度是变量
解析:A.不符合函数的定义,故本选项错误;B.设正方形的周长为L,面积为S,用L表示S的函数关系式为S=
L2,故本选项正确;C.不符合函数的定义,故本选项错误;D.在不同的情况下,温度不一定是变量,故本选项错误.故选B.
B
解析:根据函数的定义,可知满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,可以得出(1)y=x,(2)y=x2,(3)y=x3满足函数的定义,y是x的函数,而(4)|y|=x,当x取值时,y不是都有唯一的值与之对应,y不是x的函数.故选D.
3.下列四个关系式:(1)y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)|y|=x.其中y不是x的函数的是
( )
A.(1)
B.(2)
C.(3)
D.(4)
D
解析:D.y表示一个正数x的平方根,而x每取一个值,y都有两个值与之对应,所以两个变量之间的关系不能看成函数关系,故此选项符合题意.故选D.
4.下列各选项中,两个变量之间的关系不能被看成函数的是
( )
A.小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系
B.三角形一边上的高一定时,三角形面积S与该边的长度x之间的关系
C.骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系
D.y表示一个正数x的平方根,y与x之间的关系
D
5.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y的数值,其中y不是x的函数的选项是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:只有选项C中，x取1个值，y有2个值与其对应，故y不是x的函数.故选C.
C
6.已知△ABC的底边BC上的高为8
cm,当它的底边BC从16
cm变化到5
cm时,△ABC的面积
( )
A.从20
cm2变化到64
cm2
B.从64
cm2变化到20
cm2
C.从128
cm2变化到40
cm2
D.从40
cm2变化到128
cm2
解析:当△ABC的底边BC上的高为8
cm,底边BC=16
cm时,S1=(8×16)÷2=64(cm2);底边BC=5
cm时,S2=(5×8)÷2=20(cm2).故选B.
B
7.一石激起千层浪,一块石头投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪(圆形水波慢慢地扩大),如图所示(这些圆的圆心相同).
(1)在这个变化过程中,自变量是
;
(2)如果圆的半径为r,面积为S,那么S与r之间的关系式是 ;
(3)当圆的半径由1
cm增加到5
cm时,面积增加了 cm2.
解析:(1)圆的面积随着圆的半径的变化而变化,所以自变量是圆的半径;(2)根据圆的面积公式,如果圆的半径为r,面积为S,则S与r之间的关系式是S=πr2;(3)当圆的半径由1
cm增加到5
cm时,面积增加了25π-π=24π(cm2).
圆的半径
S=πr2
24π
8.在国内投寄平信应付邮资如下表:
(1)y是x的函数吗 为什么
(2)分别求当x=5,10,30,50时的函数值.
解析:(1)根据函数定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量,可得y是x的函数;(2)根据表格可以直接得到答案.
解:(1)y是x的函数,当x取定一个值时,y都有唯一确定的值与其对应.
(2)当x=5时,y=0.80;当x=10时,y=0.80;当x=30时,y=1.60;当x=50时,y=2.40.
9.观察如图所示的图形,找规律,填表答题.
(1)把表补充完整,并回答其中哪个是自变量;
(2)图形的边数a是小梯形个数n的函数吗
解析:(1)根据图形的变化,可得自变量;(2)根据函数的定义,可得答案.
解:(1)依次填10,13,3n+1.图形的边数随着小梯形个数的变化而变化,梯形的个数是自变量.
(2)图形的边数a是小梯形个数n的函数,理由是有一个n值就有唯一确定的a值与之对应,a是n的函数.(共16张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十章
函
数
学习新知
检测反馈
20.3
函数的表示
学
习
新
知
问题思考
下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况.
(1)汽车行驶了多长时间 它的最高时速是多少
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶 时速分别是多少
(3)出发后8分钟到13分钟之间可能发生了什么情况
(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
活动1 函数图像的画法
人们发现,声音在空气中传播的速度(简称声速)随气温的变化而变化.某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与声速y对应的数据:
实际上,这就是用数值表来表达关于声速y与气温x之间的函数关系.
问题:
1.你还能用其他方法表示声速y与气温x之间的函数关系吗
2.这些表示方法有什么特点
探究把表格表示的函数关系用表达式和图形来表示.
从表格中可以看出,气温x每升高(或降低)5(℃),声速y就增加(或减少)3(m/s).也就是说,气温x每升高(或降低)1(℃),声速y就增加(或减少)
(m/s).而当x=0时,y=331.36(m/s).这样,声速y(m/s)和气温x(℃)之间的函数关系就可以表示为y=
x+331.36.
这个表达式更加全面、准确地反映了声速y(m/s)和气温x(℃)之间的对应关系.利用它,可以方便地得到与x(℃)值对应的y(m/s)的值.如:当气温x为-4(℃)时,声速y为
×(-4)+331.36=328.96(m/s),当气温x为28(℃)时,声速y为
×28+331.36=348.16(m/s)……
声速y(m/s)与气温x(℃)之间的函数关系,还可以借助图形表示出来,具体可以这样做:
1.画出直角坐标系,用横轴上的点表示气温x(℃),用纵轴上的点表示声速y(m/s).
2.借助于表格(或表达式),找出x和y的若干对对应值,如(-5,328.36),(0,331.36),(5,334.36),(10,337.36),(15,340.36),….分别以每对值为横、纵坐标,确定出坐标系中相应的点.
3.用平滑的线将这些点连起来,就得到声速y(m/s)和气温x(℃)之间用图形表示的函数关系,如图所示.
总结:数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式,它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描点,所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像.用图像表示的函数关系,更为直观和形象.
[知识拓展] 一般来说,函数图像是由直角坐标系中的一系列点组成的.图像上每一点的坐标(x,y)代表了函数中变量的一对对应值,它的横坐标表示自变量的某一个值,纵坐标表示与它相对应的函数值.(1)通常情况下,横坐标表示自变量,纵坐标表示函数值;(2)函数图像代表了函数的几何意义,体现了数形结合的思想;(3)图像上每一个点的坐标都满足函数关系式,满足函数关系式的任意一对x,y的值所对应的点都在函数图像上.
活动2 例题讲解
在直角坐标系中,画出函数y=2x+1的图像.
这个函数关系式中,对于y与x的对应关系,我们还可以通过在坐标平面内画出图像的方法来表示.
具体做法是:
第一步:列表(列出自变量x与函数值的对应表,即数值表).先确定x的若干个值,然后填入相应的y值.
第二步:描点.对于表格中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点,也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点.
第三步:连线.按照横坐标由小到大的顺序把这些点用线连接起来,得到的图形就是y=2x+1的图像,如图所示.
规律方法小结:
(1)画函数图像的一般步骤:列表:用列表的方法找出自变量和与其对应的函数值;描点:把表中各对自变量与函数值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标系中描出相应的点;连线:用平滑的曲线依次连接所找出的各点.
(2)在画函数图像时,一般应考虑在坐标原点附近描点,对一些有特殊条件限制的函数,要在自变量取值范围内取点.
活动3 实际应用
用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根，显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x，显示的结果为y，程序如图所示.
(1)请写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(y=
(x≥0).)
(2)根据函数关系式,填写表格:
(3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像.
检测反馈
解析:从15时到18时,体温上升,16时的体温应该在38.5
℃~39.2
℃之间,由此选择合适的答案.故选C.
1.下图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图,这位病人在16时的体温约是
( )
A.37.8
℃
B.38
℃
C.38.7
℃
D.39.1
℃
C
2.(2016·新疆中考)小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店,在书店看了10分钟书后,用15分钟返回家,下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图像是
( )
解析:根据题意,知从20分钟到30分钟在书店里看书,离家距离没有变化,是一条平行于x轴的线段.故选B.
B
3.大年三十晚上,小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花爆竹,小六驾车匀速行驶一段时间后,途中遇到堵车原地等待一会儿,然后小六加快速度继续匀速行驶,零点之前到达指定燃放地点,燃放结束后,小六驾车匀速返回.其中,x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离.下图中能反映y与x的函数关系的大致图像是
( )
解析:由题意得离家的距离越来越远,直线呈上升趋势,根据途中加油,可得路程不变,时间加长,直线呈水平状态,后来加速行驶,可得路程变化快,直线上升快,燃放烟花爆竹时,路程不变,时间加长,直线呈水平状态,再匀速回家,离家距离越来越近,直线呈下降趋势.故选A.
A
4.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.小红根据图像得出下列结论:
①l1描述的是无月租费的收费方式;
②l2描述的是有月租费的收费方式;
③当每月的通话时间为500分钟时,选择有月租费的收费方式省钱.
其中正确结论的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:根据l1是从原点出发可得不打电话收费为0元,因此是无月租费的收费方式;l2是从(0,20)出发可得不打电话收费为20元,因此是有月租费的收费方式;两函数图像交点为(400,40),说明打电话400分钟时,两种收费相同,超过400分钟后,当x取定一个值时,l1所对应的函数值总比l2所对应的函数值大,因此当每月的通话时间为500分钟时,选择有月租费的收费方式省钱.故选D.
D
5.某星期天下午,小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校,小强从家出发先步行到车站,等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系.下列说法错误的是
( )
A.小强从家到公共汽车站步行了2公里
B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C.公共汽车的平均速度是30公里/小时
D.小强乘公共汽车用了20分钟
解析:小强和小明一起乘公共汽车,时间为60-30=30(分钟).故选D.
D
6.下图表示某地的气温变化情况.
(1)在 时气温最高,为 ;
(2)在 时到 时这段时间气温是逐渐上升的.
解析:(1)根据图像中折线上升、下降的趋势可知:在14时气温最高,为15
℃;(2)在8时到14时这段时间气温是逐渐上升的.
14
15
℃
8
14
7.河道的剩水量Q(米3)和水泵抽水时间t(时)的关系图像如图所示,则水泵抽水前,河道内有 米3的水,水泵最多抽 小时,水泵抽8小时后,河道剩水量是 米3.
解析:由图像得水泵抽水前即t=0时河道内的水量;当Q=0时t=12;水泵抽8个小时后,河道剩水量根据水泵的工作效率即可求出.由图像得:水泵抽水前,河道内有600米3的水,水泵最多抽12小时,水泵抽8个小时后,河道剩水量是600-
×8=200(米3).
600
12
200
8.阳阳离开家去新华书店买书,回来后,阳阳用所学知识绘制了一张反映他离家的距离与时间的关系图,请根据阳阳绘制的这张图回答以下问题:
(1)在上述变化过程中,自变量是什么
(2)阳阳到达新华书店用了多长时间
(3)新华书店离阳阳家有多远
(4)阳阳回家用了多长时间
(5)阳阳从家到新华书店的平均速度是多少 返回时的平均速度是多少
解析:(1)根据自变量的定义求解;(2)阳阳所行驶的路程包括三部分:去书店买书,在书店买书,从书店回家,由图像知0~20分钟去书店;(3)20分钟时对应的距离即为所求;(4)30~45分钟为回家路上用的时间;(5)利用速度=
,再根据图像可得答案.
解:(1)自变量为时间,因变量为距离.
(2)20-0=20(分钟),
阳阳到达新华书店用了20分钟.
(3)新华书店离阳阳家有900米.
(4)45-30=15(分钟),阳阳回家用了15分钟.
(5)900÷20=45(米/分);900÷15=60(米/分).阳阳从家到新华书店的平均速度是45米/分;返回时的平均速度是60米/分.(共14张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十章
函
数
学习新知
检测反馈
20.2
函数（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
问题2:填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么 如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.
问题1:试写出等腰三角形中顶角的度数y°与底角的度数x°之间的函数关系式.
解:y与x的函数关系式:y=180-2x.
解:黑色格子在一条直线上;
y=10-x.
探究1 探究实际问题中自变量的取值范围
大家谈谈
1.前面讲到的“欣欣报亭的1月~6月的每月纯收入S(元)是月份T的函数”,其中自变量T可取哪些值 当T=1.5或T=7时,原问题有意义吗
2.“某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数”,其中自变量t可取哪些值 如果t取第二天凌晨3时,原问题还有意义吗
3.“折纸的层数p是折纸次数n的函数”,其中自变量n可取哪些值 当n=0.5时,原问题有没有意义
1.T只能取1,2,3,4,5,6这6个整数,当T=1.5或T=7时,原问题(S)无意义.
2.0≤t<24,当t取第二天凌晨3时时,原问题(T)无意义.
3.n≥0,且n是整数,当n=0.5时,原问题(p)无意义.
在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值,必须使解析式有意义.
探究2 函数表达式中自变量的取值范围
求下列函数自变量x的取值范围:
明确:在(1)中,由于函数是关于自变量的整式,所以x为全体实数;在(2)中,由于函数是关于自变量的分式,必须使分母不为0,所以x≠0;在(3)中,由于函数是关于自变量的二次根式,所以被开方数为非负数,即x≥1.
归纳上述结论可知:(相对于已学知识而言)函数自变量的取值范围满足下列条件:
(1)使分母不为零;
(2)使二次根式被开方数为非负数;
(3)使实际问题有意义.
[知识拓展] 函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面:首先,自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义;其次,自变量的取值应使实际问题有意义.这两个方面缺一不可,特别是后者,在学习过程中容易忽略.因此,在分析具体问题时,一定要细致周到地从多方面考虑.
探究3 例题讲解
(教材第67页例题)如图所示,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10
cm,边CA与边MN在同一条直线上,点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动,当点A与点N重合时停止运动.试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
点拨:(1)重叠部分的三角形是什么三角形
(2)怎样表示这个三角形的面积
明确:(师生共同归纳)(1)由于△ABC是等腰直角三角形,得出重叠部分各锐角的度数都是45度,所以重叠部分的三角形是等腰直角三角形;(2)函数关系式为y=
x2(0≤x≤10).
(补充)分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围.
(1)已知等腰三角形的面积为20
cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式;
(2)在一个半径为10
cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式.
(3)矩形的周长为12
cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2
cm时这个矩形的面积.
解:(1)
,x可取任意正数.
(2)S=100π-πr2,r的取值范围是0(3)S=x(6-x)=6x-x2,x的取值范围是0cm2.
做一做
1.求下列函数自变量的取值范围:
解：(1)全体实数;(2)x≠0且x≠-1;(3)x>2.
2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1)某市民用电费标准为0.52元/千瓦时,求电费y(元)与用电量x(千瓦时)的函数关系式.
(2)已知一等腰三角形的面积为20
cm2.设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)与x的函数关系式.
解：(1)y=0.52x,x≥0;(2)y=
,x>0.
求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式的分母中含有自变量时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.
(2)反映实际问题的函数关系,自变量的取值应使实际问题有意义.
检测反馈
1.(2016·威海中考)函数y=
的自变量x的取值范围是
( )
A.x≥-2
B.x≥-2且x≠0
C.x≠0
D.x>0且x≠-2
解析:由题意得x+2≥0且x≠0,解得x≥-2且x≠0.故选B.
B
2.函数y=
的自变量的取值范围是
( )
A.x≠-3
B.x>-3
C.x≥-3
D.x≤-3
解析:本题考查了使函数解析式有意义的x的取值范围.一般地,从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0.当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分,所以x+3>0,解得x>-3.故选B.
B
解析:由y=(x-1)0,得x-1≠0,解得x≠1,自变量x的取值范围是x≠1.故选B.
3.函数y=(x-1)0中,自变量x的取值范围是
( )
A.x>1
B.x≠1
C.x<1
D.x≥1
4.下列函数中,自变量x的取值范围不正确的是
( )
A.y=2x2中,x取全体实数
B.y=
中,x≠1
C.y=
中,x≥2
D.y=
中,x>3
解析:A中的x取全体实数;B中,x+1≠0,得到x≠-1;C中,x-2≥0,则x≥2;D中,x-3≥0且x-3≠0,解得x>3.故选B.
B
B
5.求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=3x-1；
解析:(1)根据对任意的实数都有意义即可求解;(2)根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的取值范围;(3)根据0的0次幂无意义即可求解.
解:(1)x是任意实数.
(2)根据题意得
解得x≥2且x≠3.
(3)根据题意得x-1≠0,解得x≠1.
6.学校游泳池盛满水2400
m3,出水管每分钟可放水30
m3,打开出水管,一直到放尽为止,求游泳池内水量w(m3)与放水时间t(min)的函数关系式,写出自变量t的取值范围.
解:根据题意,得w=2400-30t(0≤t≤80).
解析:根据“游泳池内水量=2400-放水量”,列式即可解答.
7.如图所示,正方形ABCD的边长为5,P为BC上一动点(不与B,C两点重合),若CP=x,△ABP的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解析:由CP=x,得BP=5-x,根据三角形的面积计算方法直接得出函数解析式,利用P为BC上一动点(不与B,C两点重合)得出自变量的取值范围即可.
解:∵CP=x,∴BP=5-x,
∴△ABP的面积为y=
8.若一个面积为50
m2的矩形的宽为y(m),长为x(m).
(1)直接写出y与x的函数关系式,以及自变量x的取值范围;
(2)当长满足5≤x≤10时,求宽y的取值范围.
解析:(1)根据矩形的面积公式可求得y与x的函数关系式;(2)根据5≤x≤10,可解关于y的不等式组5≤
≤10得到y的取值范围.
解:(1)∵xy=50,∴y=
(x>0).
(2)∵5≤x≤10,∴5≤
≤10,即5≤y≤10.第二十章 函 数
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过具体实例了解常量、变量的意义,了解函数的概念和三种表示方法,能举出函数的实例.
3.能结合图像对简单的实际问题中的函数关系进行分析.
4.能确定简单的整式、分式、二次根式和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围,并会求出函数值.
5.能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系.
6.结合对函数关系的分析,尝试对变量的变化规律进行初步预测.
1.让学生经历常量与变量、两个变量之间的函数关系,建立函数模型,以及用多种方法表示函数的认知过程,进一步发展学生的抽象思维和符号感.
2.使学生能结合图像对某些简单实际问题中的函数关系进行分析,对变量的变化规律进行预测,并能解决一些简单的问题.
让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的过程,体会数学的价值,增强学生学习数学的信心.
本章的主要内容是:由实例引入函数的基本概念,根据实际情景列出函数的关系式,求出简单函数中自变量的取值范围,通过对实际问题的直观感知,领悟相关知识,让学生在具体情境中领会函数的相关知识.函数的概念是数学中极为重要的基本概念,它的抽象性较强,接受并理解它有一定的难度,这也是本章的难点.
本章的主要特点是:
1.反映函数概念的实际背景,渗透“变化与对应”的思想.在建立和运用函数这种数学模型的过程之中,“变化与对应”的思想是重要的基础,所谓变化与对应的思想包括两个基本意思:(1)世界是变化的,客观事物中存在大量的变量;(2)在同一变化过程中,变量之间不是孤立的,而是相互联系的,一个变量的变化会引起其他变量的相应变化,这些变化之间存在对应关系.本章教材力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想,使学生能潜移默化地感触、体会函数内容中最基本的东西,在对数学思想方法的学习方面有所收获.
2.注重联系实际问题,体现数学建模的作用.世界是运动变化的,函数是研究运动变化的重要数学模型,它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教材中以实际问题贯穿始终,它们中有些是作为函数的实际背景为降低学习抽象概念的难度服务的.
3.重视数学概念中蕴涵的思想,注意从运动变化和联系对应的角度认识函数.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学,数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的,世界永远是处于变化之中的.因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题,函数正是研究运动变化的重要数学模型,它反映的是变量之间的对应规律,它对研究数量关系的作用是十分明显的.
【重点】
1.了解函数的三种表示方法,能确定函数自变量的取值范围.
2.函数的初步应用.
【难点】
函数的表示及其应用.
教学时应注意引导学生观察、分析,鼓励学生发表自己的见解,让学生通过实例理解函数的意义以及函数的三种表示方法.在求函数关系式时,要联系代数式和方程的相关知识,引导学生按顺序考虑问题,确定出自变量的取值范围,列出相应的函数关系式.整个教学过程中要借助实际问题情境,由具体到抽象地认识函数;通过函数应用举例,体现数学建模思想.教师要引导从多种角度思考,借助图像、表格、表达式等进行分析,寻找变量之间的关系,检验所建立的函数的合理性.注意加强学生学习的主动性,注意鼓励学生积极探究,教师为启发诱导设计必要的铺垫,让学生能经过自己的努力来发现知识间的内在联系.
20.1常量和变量
1课时
20.2函数
2课时
20.3函数的表示
1课时
20.4函数的初步应用
1课时
回顾与反思
1课时
20.1 常量和变量
1.通过实例理解变量、常量的概念以及相互之间的关系,能举出现实中的常量与变量.
2.增加对变量的理解.
3.渗透找变量之间的简单关系,能列简单关系式.
1.通过对问题的讨论引出常量与变量的概念,为学习函数的定义作准备.
2.通过对学生熟悉的几个例子,系统地认识常量与变量,有助于理解相关概念之间的联系与区别.
3.通过探索两个数量之间的关系和变化规律,发展学生的抽象思维和符号感.
学生通过积极参与课堂上对问题的分析,感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约.
【重点】
变量与常量.
【难点】
对变量的判断.
【教师准备】 课件1~4.
【学生准备】 复习常见的等量关系式.
导入一:
一辆长途汽车从临沂驶向上海,全程哪些量不变 哪些量在变
学生讨论回答后教师导入:当我们用数学来分析现实世界的各种现象时,会遇到各种各样的量,如物体运动中的速度、时间和距离;圆的半径、周长和圆周率;购买商品的数量、单价和总价;某城市一天中各时刻变化着的气温;某段河道一天中时刻变化着的水的流量……在某一过程中,有些量固定不变,有些量不断改变.
导入二:
火车行驶的里程随着时间的变化而变化,一天的温度随着时间的变化而变化,像这样,在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习——20.1常量和变量.
[设计意图] 两个导入以现实生活为依托,通过学生平常接触到的事物,引出变化的量,引起学生的好奇心.
活动1 尝试探究
[过渡语] 在实际生活中,人们需要用量化的方式来描述一个事物的变化过程,这会涉及一些量,其中一些量是不变的,一些量是变化的.
我们知道,在一个匀速运动中,路程=速度×时间.这里的路程、速度和时间就是三个不同的量.这些量在不同的变化过程中会有怎样的具体表现形式呢 下面我们来共同探究这个问题.
思路一
【课件1】 一起探究
1.小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为300
m/min.
(1)填写下表:
时间t/min
5
10
20
55
…
路程s/m
…
(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元,计划从今年开始逐年增加收入3500万元.
在这个问题中,一共有几个量 其中哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
3.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.
【教师活动】 让学生填表,观察问题1的表格和问题2的条形统计图.思考题目中的问题,并板书答案.
学生解答后应该给予评价.
此处应注意:
(1)学生以组为单位合作探究.
(2)教师巡视,注意指导.
让学生结合每一道题的题意和表达式,来讨论变化的量和不变的量.
【学生活动】 学生观察、讨论,解释每个题中变化的量和不变的量.
在问题1中,共有三个量,其中平均速度300
m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系s=300t.
在问题2中,共有四个量,即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间满足关系W=25000+3500n.
教师说明:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量.
教师特别强调:
(1)常量与变量必须存在于一个变化过程中.
(2)判断一个量是常量还是变量,需:
①看它是否在一个变化的过程中;
②看它在这个变化过程中的取值情况.
在问题3中,请你指出自己举出的两个例子中的常量和变量.
[设计意图] 结合学生比较熟悉其背景的几个例子,对新知识有个初步的感知.让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变量的式子表示另一个变化的量.
[知识拓展] 常量与变量是对“在某一变化过程中”而言的,因而是相对的.同一个量在某一变化过程中是常量,而在另一变化过程中却可能是变量,所以常量和变量是由问题的条件确定的.例如:s=vt中,若v确定,则s,t是变量;若t确定,则s,v是变量.
思路二
【课件2】 一辆汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.
(1)请同学们根据题意填写下表:
t/小时
1
2
3
4
5
s/千米
(2)在以上这个过程中,变化的量是 ,没有变化的量是 .
(3)试用含t的式子表示s.
师:我们首先来思考上面的几个问题,可以互相讨论一下,然后回答.
生:从题意中可以知道汽车是匀速行驶的,那么它1小时行驶60千米,2小时行驶2×60千米,即120千米,3小时行驶3×60千米,即180千米,4小时行驶4×60千米,即240千米,5小时行驶5×60千米,即300千米……因此行驶里程s千米与时间t小时之间有关系:s=60t.其中里程s与时间t是变化的量,速度60千米/时是不变的量.
师:很好!谢谢你正确的阐述.
这种问题反映了匀速行驶的汽车所行驶的里程随行驶时间的变化过程.其实现实生活中有好多类似的问题,都是反映不同事物的变化过程,其中有些量的数值是按照某种规律变化的,如上例中的时间t、里程s,有些量的数值是始终不变的,如上例中的速度60千米/时.
【课件3】
1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各为多少元 设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y
2.你见过水中的涟漪吗 如右图所示,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10
cm,20
cm,30
cm时,圆的面积S分别为多少 用含r的式子表示S.
3.用10
m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3
m,3.5
m,4
m,4.5
m时,它的邻边长y分别为多少 用含x的式子表示y.
[设计意图] 让学生熟练地从不同事物的变化过程中寻找出变化量之间的变化规律,并逐步学会用含有一个变化量的式子表示另一个变化的量.
【教师活动】 引导学生通过合理、正确的思维方法探索出变化规律.
【学生活动】 在教师的启发引导下,经历尝试运算、猜想探究、归纳总结及验证等过程,得到正确的结论.
活动结论:
1.第一场电影票房收入:150×10=1500(元);
第二场电影票房收入:205×10=2050(元);
第三场电影票房收入:310×10=3100(元).
关系式:y=10x.
2.当r=10
cm时,S=102π=100π(cm2);
当r=20
cm时,S=202π=400π(cm2);
当r=30
cm时,S=302π=900π(cm2).
关系式:S=πr2.
3.当边长为3
m时,邻边长y为5-3=2(m);
当边长为3.5
m时,邻边长y为5-3.5=1.5(m);
当边长为4
m时,邻边长y为5-4=1(m);
当边长为4.5
m时,邻边长y为5-4.5=0.5(m).
关系式:y=5-x.
师:通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,可以取不同数值的量为变量,数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中,时间t、里程s、售出票数x、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率π、绳长10
m都是常量.
活动2 巩固练习
[过渡语] 明确了常量和变量的定义,理解了它们之间的区别,下面我们共同来完成“做一做”.
【课件4】 做一做
在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量 这些量之间具有怎样的关系
(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.
(2)一台小型台秤最大称重为6
kg,每添加0.1
kg重物,指针就转动6°的角,添加重物质量为m
kg时,指针转动的角度为α.
(3)用10
m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小,长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化.
【教师活动】 引导、点拨.
教师应该重点关注:
(1)学生是否能正确地写出关系式;
(2)答案是否全面;
(3)学生的参与度.
【学生活动】 先自主探索,再小组合作、分析、总结、交流,写出答案.
答案:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.
(2)有五个量,6
kg,0.1
kg和6°是常量,m
kg和α是变量,α=60m.
(3)有三个量,10
m是常量,x和S是变量,S=x(5-x).
[设计意图] 进一步熟悉巩固前面总结的探究方法,并学会利用以前所学的一些公式来帮助解决问题.通过练习让学生会列关系式,并进一步理解变量与常量的含义.
本节课所学知识:变量与常量的定义.
方法:①常量与变量必须存在于同一变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是看它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.
②常量和变量是相对于变化过程而言的,可以相互转化.
③不要认为字母就是变量.
1.在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有
( )
A.C,r
B.C,π,r
C.C,πr
D.C,2π,r
解析:直接利用在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,进而得出在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有C,r.故选A.
2.如果用总长为60
m的篱笆围成一个长方形场地,设长方形的面积为S(m2),周长为p(m),一边长为a(m),那么S,p,a中是变量的是
( )
A.S和p
B.S和a
C.p和a
D.S,p,a
解析:∵篱笆的总长为60
m,∴周长p是定值,而面积S和一边长a是变量.故选B.
3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是
( )
A.数100和η,t都是变量
B.数100和η都是常量
C.η和t是变量
D.数100和t都是常量
解析:根据变量和常量的定义可知η和t是变量,零件的个数100是常量.故选C.
4.在三角形面积公式S=ah,a=2
cm中,下列说法正确的是
( )
A.S,a是变量,h是常量
B.S,h是变量,是常量
C.S,h是变量,a是常量
D.S,h,a是变量,是常量
解析:在三角形面积公式S=ah,a=2
cm中,a的值保持不变,它是常量,h和S是变量.故选C.
5.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中 是常量, 是变量.
解析:常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.
答案:元/升 数量、金额
6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时60
km的速度行驶,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果汽车行驶的时间t规定为1小时,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果甲、乙两地的路程s为200
km,汽车从甲地开往乙地,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 .
解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量解答.
答案:s,t 60 s,v 1 v,t 200
7.齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.
(1)用n的代数式表示t;
(2)说出其中的变量与常量.
解析:(1)根据题意可得转数=每分钟120转×时间;(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,可得t,n是变量.
解:(1)由题意得120t=n,即t=.
(2)变量:t,n,常量:120.
8.说出下列各个过程中的变量与常量.
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟,t分钟内卫星绕地球的周数为N,N=;
(2)矩形的长为2
cm,它的面积S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.
解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量,变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量,对各小题分析判断即可得解.
解:(1)N和t是变量,106是常量.
(2)S和a是变量,2是常量.
20.1 常量和变量
活动1 尝试探究
变量:在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量.
常量:在一个变化过程中,数值保持不变的量叫做常量.
活动2 巩固练习
一、教材作业
【必做题】
1.教材第62页练习第1,2题.
2.教材第62页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第62页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.学校计划买100个乒乓球,买的乒乓球的总费用W(元)与单价n(元/个)的关系式W=100n中
( )
A.100是常量,W,n是变量
B.100,W是常量,n是变量
C.100,n是常量,W是变量
D.无法确定
2.一长方体的宽为b(定值),长为x(x>b),高为h,体积为V,则V=bxh,其中变量是
( )
A.x
B.h
C.V
D.x,h,V
3.下列说法正确的是
( )
A.常量是指永远不变的量
B.具体的数一定是常量
C.字母一定表示变量
D.球的体积公式V=πr3中,变量是π,r
4.下表是某报纸公布的世界人口数据情况,表中的变量
( )
年份
1957
1974
1987
1999
2010
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
A.仅有一个,是时间(年份)
B.仅有一个,是人口数
C.有两个,一个是人口数,另一个是时间(年份)
D.一个也没有
【能力提升】
5.完成以下问题:
(1)某人持续以a米/分的速度t分钟内跑了s米,其中常量是 ,变量是 ;
(2)在t分钟内,不同的人以不同的速度a米/分跑了s米,其中常量是 ,变量是 ;
(3)s米的路程,不同的人以不同的速度a米/分各需跑t分钟,其中常量是 ,变量是 ;
(4)根据以上叙述,写一句关于常量与变量的结论: .
6.我国是一个严重缺水的国家,我们都应该倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.5毫升.小燕子同学在洗手时,没有拧紧水龙头,当小燕子离开x(时)后水龙头滴了y(毫升)水.在这段文字涉及的量中,哪些是常量,哪些是变量
7.按如图所示的方式摆放餐桌和椅子.用x来表示餐桌的张数,用y来表示可坐人数.
(1)题中有几个变量
(2)你能写出两个变量之间的关系吗
8.分析并指出下列关系中的变量与常量.
(1)球的表面积S
cm2与球的半径R
cm的关系式是S=4πR2;
(2)以固定的速度v0米/秒向上抛一个小球,小球的高度h米与小球运动的时间t秒之间的关系式是h=v0t-4.9t2;
(3)一物体自高处自由落下,这个物体运动的距离h
m与它下落的时间t
s的关系式是h=gt2(其中g取9.8
m/s2);
(4)已知橙子每千克的售价是1.8元,则购买数量w千克与所付款x元之间的关系式是x=1.8w.
【拓展探究】
9.在烧开水时,水温达到100
℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据:
时间/分
0
2
4
6
8
10
12
14
…
温度/℃
30
44
58
72
86
100
100
100
…
(1)上表反映了哪两个量之间的关系
(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的
(3)时间推移2分钟,水的温度如何变化
(4)时间为8分钟时,水的温度为多少 你能得出时间为9分钟时,水的温度吗
(5)根据表格,你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少
(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水
【答案与解析】
1.A(解析:∵买的乒乓球的总费用W(元)与单价n(元/个)的关系式为W=100n,∴在此式中100是常量,W,n是变量.)
2.D(解析:一长方体的宽为b(定值),长为x(x>b),高为h,体积为V,则V=bxh,其中变量是x,h,V,常量是b.)
3.B(解析:A.常量和变量是相对于变化过程而言的,可以互相转化,错误;B.具体的数一定为常量,正确;C.字母不一定都表示变量,错误;D.π是常量,错误.)
4.C(解析:观察表格,可知时间在变,人口在变,故C正确.)
5.(1)a t,s (2)t a,s (3)s a,t (4)在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量(解析:根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量,可直接得到答案.)
6.解:由题意得常量为数值始终不变的量,有:2,0.5;变量为数值发生变化的量,有:x,y.
7.解:(1)观察图形,得x=1时,y=6;x=2时,y=10;x=3时,y=14;….可见每增加一张桌子,便增加4个座位,因此x张餐桌共有6+4(x-1)=4x+2个座位.故可坐人数y=4x+2,故有2个变量. (2)能,由(1)分析可得关系式可以为y=4x+2.
8.解:(1)常量是4π,变量是S,R. (2)常量是v0,4.9,变量是h,t. (3)常量是g,变量是h,t. (4)常量是1.8,变量是x,w.
9.解:(1)上表反映了水的温度与时间的关系. (2)水的温度随着时间的增加而增加,到100
℃时恒定. (3)时间推移2分钟,水的温度增加14
℃,到10分钟时恒定. (4)时间为8分钟时,水的温度是86
℃,时间为9分钟时,水的温度是93
℃.
(5)根据表格,可知时间为16分钟和18分钟时水的温度均为100
℃. (6)为了节约能源,应在10分钟后停止烧水.
常量与变量的概念是由解决实际问题的需要而产生的.本节是实践性很强的内容.教学中,无论是知识的发生过程还是应用过程,都充分运用实例.根据新课程标准提出的“数学教学不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”的要求,在本节课的教学中,教师应充分发挥实例和多媒体的功能,使数学问题生活化、抽象的问题形象化、静态的方式动态化,让学生观察和分析数量关系的变化规律,使学生从中感受常量和变量的意义,从而有效突出重点,突破本节的难点.
常量与变量是在某一个过程中研究的,因此分析清楚变化的过程是什么,才有利于学生辨析清楚常量与变量分别是什么.在本节课的课堂实施中,教师虽然注意到了对过程的分析,但是没有在整个概念教学中贯穿这样的分析方法,分析变化过程是什么,再讨论变量与常量,而是过于强调了两种量在数值变化上的特征,有失偏颇,应在今后的教学中加以改进.
数学知识的教学,在掌握基础知识的同时,重要的是教给学生掌握必要的学习方法.教师在教学过程中要注意这方面的渗透,对于变量与常量的探讨,要整合题目中变化的过程,让学生在不断观察、总结中体现学习的思路和方法.本节的教学,要以师生互动探究式教学模式展开,遵循“教为主导,学为主体”的教学思想,以自主探索和合作交流为主,引导学生亲身实践知识的发生、发展、形成的认知过程.由于本节课所学习的“常量”与“变量”是两个抽象的新概念,科学研究和教学实践都表明,必须让学生通过直观感知来接受新的概念,这既符合学生由感性到理性、由具体到抽象的认知规律,也有利于学生掌握探究性学习的方法.
练习(教材第62页)
1.解:(1)如下表所示:
b
-3
-2
-0.5
0
1
3
5
100
a
10
5
1.25
1
2
4
10
26
10001
(2)a=b2+1,常量为1,变量为a,b.
2.解:S=15x,常量为15,变量为S,x.
习题(教材第62页)
A组
1.解:2.4是常量,m与W是变量.
2.解:π是常量,S与r是变量,S=πr2.
B组
1.解:常量是8,3,变量是m与n.m=3×8n=24n,即m与n之间的关系式为m=24n.
2.解:4和10是常量,x与y是变量,y=10-4x.
本节课是用变化的观点研究数量,重点是认识在变化过程中,常常呈现具有不同状态的量:变量和常量.应设置适当的问题系列,让学生充分体会其中的变量和常量.
1.对于“一起探究”中的问题1,可按下列问题展开分析:
(1)小明行驶5
min时,自行车的速度是多少 行驶路程是多少 10
min时呢 60
min时呢
(2)自行车行驶过程中,平均速度、行驶时间和行驶路程三个量是否变化 若不变,它们对应的数值是多少 若变化,是怎样变化的
(3)行驶路程的变化与行驶时间的变化是否有联系 它们之间具有怎样的关系
2.对于“一起探究”中的问题2,是以学生已经学习过的条形统计图呈现的,学习过程可设计以下环节进行:
(1)先让学生结合问题情境,独立思考、探索条形统计图所蕴含的信息.
(2)组织同学间互动、交流、研讨,扩充获得的信息.
(3)整合获得的信息,将信息归纳为几个量,这些量中哪些是变化的,哪些是不变的
(4)这些量之间具有怎样的关系
3.“一起探究”中的问题3和“大家谈谈”是开放性的问题,应给学生充分思考、交流的时间,尽量丰富有关“不变的量”“变化的量”的实例,进一步让学生了解常量与变量,激发学生的发散思维.
变量之间的表现形式
从甲地到乙地的路程为300千米,一辆汽车从甲地到乙地,每小时行驶50千米,行驶的时间为t(小时),离乙地的路程为s(千米),填写下表:
t/小时
1
2
3
4
5
6
s/千米
用含有t的式子表示s,并说出其中的常量和变量分别是什么.
解:表中的数据从左到右依次为250,200,150,100,50,0.
用含有t的式子表示s为s=300-50t,
其中300,50是常量;
s,t是变量.
20.2 函 数
1.结合丰富的实例,使学生在具体情境中了解自变量与函数的意义.
2.结合实例,初步了解数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.
3.能确定简单函数的自变量的取值范围.
1.观察在许多问题中的变量之间存在着函数关系.
2.探究函数与自变量的对应关系.
3.理解如何求函数解析式、自变量的取值范围.
1.通过学习函数概念,提高学生的分析、综合能力,渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法,向学生渗透数形结合的思想.
2.感受现实生活中函数的普遍性,体会事物之间的相互联系与制约.
【重点】
了解函数的意义,会求自变量的取值范围及函数值.
【难点】
函数概念的抽象性及列函数关系式.
第课时
1.探究具体问题中的数量关系和变化规律.
2.通过实例,了解函数的定义及其表示方法.
1.经历思考、分析、观察等数学活动过程,发展合情推理,有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2.逐步感知变量间的关系.
1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用.
2.提高学生参加数学活动的积极性和好奇心.
【重点】
函数的概念.
【难点】
函数概念的理解及表示.
【教师准备】 课件1~8.
【学生准备】 复习变量与常量.
导入一:
【课件1】 下面是一张心电图,心电图中显示了心脏部位的生物电流(y)随时间(x)的变化,则对于x每一个确定的值,y是否都有唯一确定的对应值
教师让学生细心观察,讨论并思考:对于x每一个确定的值,y都有唯一确定的对应值.
教师归纳:万物皆变,这种一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是深刻认识变化世界的数学工具.
导入二:
【课件2】 高速行驶的列车的行驶里程随着行驶时间而变化.
气象站自动温度记录仪描述的某一天的温度曲线,气温随时间的变化而变化.
函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.
[设计意图] 两个导入都是以现实生活为依托,让学生体会变量之间的关系,感受数学知识与现实生活的密切联系,从而激发学生的学习热情和求知欲.
活动1 整体感知——“观察与思考”
[过渡语] 函数是刻画和研究变化过程中量与量之间关系的一种重要数学模型,在现实生活中具有广泛的应用.现在,我们开始学习函数.
思路一
【课件3】 思考并解决下列问题:
(1)下表是欣欣报亭上半年的纯收入情况:
月份T
1月
2月
3月
4月
5月
6月
纯收入S/元
4560
4790
4430
4200
4870
4730
根据这个表格你能说出1月~6月,每个月的纯收入吗
(2)如图所示的是某市冬季某天的气温变化图.
观察这个气温变化图,你能找到凌晨3时、上午9时和下午16时对应的温度吗 你能得到这天24小时内任意时刻对应的温度吗
(3)我们曾做过“对折纸”的游戏:取一张纸,第1次对折,1页纸折为2层;第2次对折,2层纸折为4层;第3次对折,4层纸折为8层……用n表示对折的次数,p表示对折后的层数,请写出用n表示p的表达式.根据写出的表达式,是否可以得出任意次对折后的层数
依次引导学生回答上述三个问题,学生举例时尽可能多地让学生说出观察到的信息.
(1)能.举例略.
(2)3时、9时和16时对应的温度分别为-3
℃,1
℃和4
℃.能得到这天24小时内任意时刻对应的温度.
(3)p=2n.能,举例略.
【思考】 (1)在问题(1)中有几个变量 随着月份T的变化,纯收入S怎样变化
(2)在问题(2)中有几个变量 有怎样的变化规律
(3)在问题(3)中有几个变量 当n每取一个值时,p是否都有唯一的值
教师引导学生讨论上面三个问题:(1)有两个变量,月份对应一个值,纯收入也有一个值和它对应;(2)有两个变量,温度随时间的变化而变化;(3)有两个变量,n每取一个值时,p都有唯一的值与之对应.
[设计意图] 通过练习让学生感知问题中两个变量的存在,认识变量之间的单值对应.
【课件4】 在上述三个问题中,分别指出其中的变量,并说明在同一个问题中,当其中一个量变化时,另一个量是否也在相应地变化,当其中一个量取定一个值时,另一个量是否也相应地取定一个值.
引导学生总结出:三个实例中的两个变量之间分别具有相互依赖关系,当其中一个变量变化时,另一个变量也相应地变化,并且当其中一个变量取定一个值时,另一个变量也相应地取定一个值.
说明:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
请你说一说,课件3的(1)~(3)中哪个变量是哪个变量的函数 自变量是谁
指学生回答,得出:(1)欣欣报亭的纯收入S(元)是月份(T)的函数,T是自变量;(2)某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数,t是自变量;(3)折纸的层数p是折纸次数n的函数,n是自变量.
此处教师应指出:
(1)“自变量”是指在它的取值范围内可以随心所欲地、自由自在地取它想取的值.
(2)“函数”中的“函”是相关的意思,是指这两个变量间有相关的关系.每一个自变量的函数值是唯一被确定的.
[设计意图] 通过实例,从三个不同角度描述变化规律,感受变量之间的对应关系.
[知识拓展] (1)函数不是数,函数的本质是对应,函数关系就是变量之间的对应关系,且是一种特殊的对应关系,必须是“对于x的每一个值,y都有唯一的值和它对应”.例如:“一个数与它的绝对值”,若一个数用x表示,它的绝对值用y表示,其中x可以取任意实数,即自变量的取值范围是全体实数,对应关系是一个数与它的绝对值对应,一个数的绝对值是这个数的函数.又如:式子y=x2中,变量x每取一个值,y都有唯一的值与之对应,所以y是x的函数;式子y2=x中,尽管x与y之间有一种关系,但由于变量x在x>0的范围内每取一个值,y都有两个确定的值与之对应,所以说y不是x的函数.
(2)自变量与函数用什么字母表示无关紧要,自变量可以用x表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示,函数可以用y表示,也可以用t,u,p,…中的任何一个表示.
(3)在我们所研究的范围内,如果两个变量之间虽有一定的关系,但它们之间存在“不唯一确定”的对应关系,也就是说,这种关系不是“唯一确定”的关系,那么这两个变量之间就不存在函数关系.
(4)函数的定义中指出“对于x的每一个值,y都有唯一的值与之对应”,但对于自变量x的每一个不同的值,y不一定都是不同的值与之对应.
思路二
1.共同探究,获取新知.
【课件5】 问题1:
师:这个问题中,有哪几个变量
学生讨论,教师参与.
生1:时间.
生2:海拔高度.
师:很好.
观察上图,热气球在升空的过程中平均每分钟上升多少米
师:你能求出升空后3
min,6
min时热气球到达的海拔高度吗
生:能……
[设计意图] 用师生共同探究的方法来唤起学生的参与意识,同时,也活跃了课堂气氛,锻炼了学生的合作能力.
2.合作交流,深化理解.
【课件6】 问题2:
师:这个问题中,有哪几个变量
生:两个变量,时间和用电负荷.
师:任意给出这天中的某一时刻,如4.5
h,20
h,你能找到这一时刻的用电负荷y(×103兆瓦)是多少吗 你是怎么找到的 找到的值是唯一确定的吗
学生小组讨论,教师参与学生交流.
师:这一天的用电低谷、用电高峰时负荷各是多少 它们是在什么时刻达到的
生:……4.5
h和13.5
h.
师:很好.
问题3:
汽车在行驶过程中,由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住,某型号的汽车在路面上的刹车距离s
m与车速v
km/h之间有经验公式:s=.
这个式子中涉及哪几个变量呢
生1:刹车距离.
生2:车速.
师:当刹车时车速分别是40
km/h,60
km/h时,相应的滑行距离分别是多少(结果保留一位小数)
找两名学生板演,学生求出结果后集体纠正.
[设计意图] 通过教师的点拨,师生的合作交流为学习定义打下良好基础.
3.继续探究,深化定义.
师生共同探究问题1,2,3中变量和常量的关系:
问题1中,t=3时,h=1890;t=6时,h=1980.
问题2中,t=4.5时,y=10;t=20时,y=16.
问题3中,v=40时,s≈6.3;v=60时,s≈14.1.
教师口述定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
师:你能说出问题1中的自变量和函数吗
学生小组讨论.
生:热气球上升高度h是自变量时间t的函数.
师:你能说出问题2中的自变量和函数吗
生:用电负荷y是自变量时间t的函数.
师:问题3中呢
生:刹车距离s是自变量车速v的函数.
师:大家掌握得太好了,真为你们骄傲!
[设计意图] 通过小组讨论交流达到“兵教兵”的目的,实现知识内化.
活动2 知识深化——“大家谈谈”
[过渡语] 函数体现的是“一一对应”的思想,即在自变量取值范围内每取一个值,另一个变量都有唯一的值与其对应.
【课件7】 请你谈谈:
1.如果y是x的函数,那么哪个量是自变量,哪个量是自变量的函数
2.在上面的“观察与思考”中,我们认识了用“数值表、图像、表达式”三种方式分别表示的函数,请你再用这三种方式各举一个表示函数关系的例子.
学生举例,讨论交流.
[设计意图] 进一步理解函数模型,辨析自变量与函数,初步体会数值表、图像、表达式这三种函数的表示方法.
活动3 巩固新知——“做一做”
【课件8】 做一做
1.改革开放以来,我国城乡居民的生活发生了巨大变化.下表是国家统计局公布的近几年人民币储蓄存款余额的情况:
年份
2005
2006
2007
2008
2009
2010
存款余额/亿元
141051
161587
172534
217885
260772
303302
在这里,存款余额(亿元)与年份两个量之间是否具有函数关系 若具有函数关系,请指出其中的自变量和关于自变量的函数.
2.海水受日月的引力而产生潮汐现象.海水早晨上涨的现象叫做潮,黄昏上涨的现象叫做汐,潮与汐合称潮汐.某港口的某一天,从0时至24时的水位情况如图所示.变量h与变量t是否具有函数关系 若具有函数关系,则哪个量是自变量,哪个量是这个自变量的函数
让学生利用函数的定义去加以判断.
引导学生得到:
1.存款余额与年份具有函数关系,年份是自变量,存款余额是年份的函数.
2.h与t具有函数关系,t是自变量,h是t的函数.
[设计意图] 进一步掌握函数的概念,能正确地确定自变量,提高学生解决实际问题的能力,锻炼学生讲题说理的能力.
1.函数的定义:
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果给定x的一个值,就能相应地确定y的一个值,那么,我们就说y是x的函数.其中,x叫做自变量.
2.对于函数的理解:
(1)在某一个变化过程中有两个变量;
(2)一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;
(3)自变量的每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应,即单对应.
1.(2016·南宁中考)下列各曲线中表示y是x的函数的是
( )
A B
C D
解析:根据函数的意义:对于自变量x的任何一个值,y都有唯一的值与之相对应,可知D正确.故选D.
2.下列说法正确的是
( )
A.若y<2x,则y是x的函数
B.正方形的面积是其周长的函数
C.变量x,y满足y2=2x,y是x的函数
D.温度是变量
解析:A.不符合函数的定义,故本选项错误;B.设正方形的周长为L,面积为S,用L表示S的函数关系式为S=L2,故本选项正确;C.不符合函数的定义,故本选项错误;D.在不同的情况下,温度不一定是变量,故本选项错误.故选B.
3.下列四个关系式:(1)y=x;(2)y=x2;(3)y=x3;(4)|y|=x.其中y不是x的函数的是
( )
A.(1)
B.(2)
C.(3)
D.(4)
解析:根据函数的定义,可知满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,可以得出(1)y=x,(2)y=x2,(3)y=x3满足函数的定义,y是x的函数,而(4)|y|=x,当x取值时,y不是都有唯一的值与之对应,y不是x的函数.故选D.
4.下列各选项中,两个变量之间的关系不能被看成函数的是
( )
A.小车下滑过程中下滑时间t与支撑物高度h之间的关系
B.三角形一边上的高一定时,三角形面积S与该边的长度x之间的关系
C.骆驼某日体温随时间的变化曲线所确定的温度与时间的关系
D.y表示一个正数x的平方根,y与x之间的关系
解析:D.y表示一个正数x的平方根,而x每取一个值,y都有两个值与之对应,所以两个变量之间的关系不能看成函数关系,故此选项符合题意.故选D.
5.下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y的数值,其中y不是x的函数的选项是
( )
x
1
2
3
4
y
-1
-2
-3
-4
A
x
1
2
3
4
y
3
6
9
12
B
x
1
4
y
-1,1
2,-2
C
x
1
2
3
4
y
2
2
2
2
D
解析:只有选项C中,x取1个值,y有2个值与其对应,故y不是x的函数.故选C.
6.已知△ABC的底边BC上的高为8
cm,当它的底边BC从16
cm变化到5
cm时,△ABC的面积
( )
A.从20
cm2变化到64
cm2
B.从64
cm2变化到20
cm2
C.从128
cm2变化到40
cm2
D.从40
cm2变化到128
cm2
解析:当△ABC的底边BC上的高为8
cm,底边BC=16
cm时,S1=(8×16)÷2=64(cm2);底边BC=5
cm时,S2=(5×8)÷2=20(cm2).故选B.
7.一石激起千层浪,一块石头投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪(圆形水波慢慢地扩大),如图所示(这些圆的圆心相同).
(1)在这个变化过程中,自变量是 ;
(2)如果圆的半径为r,面积为S,那么S与r之间的关系式是 ;
(3)当圆的半径由1
cm增加到5
cm时,面积增加了 cm2.
解析:(1)圆的面积随着圆的半径的变化而变化,所以自变量是圆的半径;(2)根据圆的面积公式,如果圆的半径为r,面积为S,则S与r之间的关系式是S=πr2;(3)当圆的半径由1
cm增加到5
cm时,面积增加了25π-π=24π(cm2).
答案:(1)圆的半径 (2)S=πr2 (3)24π
8.在国内投寄平信应付邮资如下表:
信件质量x/克
02040邮资y/元
0.80
1.60
2.40
(1)y是x的函数吗 为什么
(2)分别求当x=5,10,30,50时的函数值.
解析:(1)根据函数定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数,x是自变量,可得y是x的函数;(2)根据表格可以直接得到答案.
解:(1)y是x的函数,当x取定一个值时,y都有唯一确定的值与其对应.
(2)当x=5时,y=0.80;当x=10时,y=0.80;当x=30时,y=1.60;当x=50时,y=2.40.
9.观察如图所示的图形,找规律,填表答题.
小梯形个数n
1
2
3
4
…
n
图形的边数a
4
7
…
(1)把表补充完整,并回答其中哪个是自变量;
(2)图形的边数a是小梯形个数n的函数吗
解析:(1)根据图形的变化,可得自变量;(2)根据函数的定义,可得答案.
解:(1)依次填10,13,3n+1.图形的边数随着小梯形个数的变化而变化,梯形的个数是自变量.
(2)图形的边数a是小梯形个数n的函数,理由是有一个n值就有唯一确定的a值与之对应,a是n的函数.
第1课时
活动1 整体感知——“观察与思考”
函数的定义
活动2 知识深化——“大家谈谈”
活动3 巩固新知——“做一做”
一、教材作业
【必做题】
1.教材第65页练习第1,2题.
2.教材第65页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第66页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.函数是研究
( )
A.常量之间的对应关系的
B.常量与变量之间的对应关系的
C.变量与常量之间对应关系的
D.变量之间的对应关系的
2.下列说法正确的是
( )
A.在球的体积公式V=πr3中,V不是r的函数
B.若变量x,y满足y2=x,则y是x的函数
C.在圆锥的体积公式V=πR2h中,当h=4厘米,R=2厘米时,V是π的函数
D.若变量x,y满足y=-x+,则y是x的函数
3.在下表中,设x表示乘公共汽车的站数,y表示应付的票价(元),根据此表,下列说法正确的是
( )
x/站
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
1
1
1
2
2
3
3
3
4
4
A.y是x的函数
B.y不是x的函数
C.x是y的函数
D.以上说法都不对
4.如图所示,在△ABC中,过顶点A的直线与边BC相交于点D,当顶点A沿直线AD向点D运动,且越过点D后逐渐远离点D时,在这一运动过程中,△ABC的面积的变化情况是
( )
A.由大变小
B.由小变大
C.先由大变小,后又由小变大
D.先由小变大,后又由大变小
5.据测试:拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升.小康同学洗手后,没有把水龙头拧紧,水龙头以测试的速度滴水,当小康离开x分钟后,水龙头滴出y毫升的水,则y与x之间的函数关系式是
( )
A.y=0.05x
B.y=5x
C.y=100x
D.y=0.05x+100
6.下表反映的是某地区电的使用量x(千瓦时)与应缴电费y(元)之间的关系:
用电量x/千瓦时
1
2
3
4
…
应缴电费y/元
0.55
1.1
1.65
2.2
…
下列说法不正确的是
( )
A.x与y都是变量,且x是自变量
B.用电量每增加1千瓦时,电费增加0.55元
C.若用电量为8千瓦时,则应缴电费4.4元
D.若所缴电费为2.75元,则用电量为6千瓦时
7.已知x=3-k,y=2+k,则y与x的关系是
( )
A.y=x-5
B.x+y=1
C.x-y=1
D.x+y=5
8.李大爷要围成一个矩形菜园,菜园的一边利用足够长的墙,用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米.要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD.设BC边的长为x米,AB边的长为y米,则y与x之间的函数关系式是
( )
A.y=-x+12
B.y=-2x+24
C.y=2x-24
D.y=x-12
9.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(m)与所挂物体质量x(kg)间有如下关系(x≤12),下列说法中不正确的是
( )
质量/kg
0
1
2
3
4
5
长度/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
A.所挂物体的质量为6
kg时,弹簧长度为12.5
cm
B.弹簧不挂重物时的长度为10
cm
C.物体质量由3
kg增加到4
kg,弹簧的长度增加0.5
cm
D.x是自变量,y是自变量的函数
10.如图所示,向平静的水面投入一个石子,在水面会激起一圈圈圆形涟漪,当半径从2
cm变成5
cm时,圆形的面积从 cm2变成 cm2.这一变化过程中 是自变量, 是自变量的函数.
【能力提升】
11.已知W=x+1,y=,那么y是不是x的函数 若不是,请说明理由;若是,请写出y与x之间的函数关系式.
12.下表是某公共电话亭打长途电话的几次收费记录:
时间/分
1
2
3
4
5
6
7
电话费/元
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
(1)上表反映了哪两个变量间的关系 哪个是自变量
(2)如果用x表示时间,y表示电话费,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么
(3)丽丽打了5分钟电话,那么电话费需付多少元
13.某班同学在自然课中探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时,实验记录得到的数据如下表:
砝码的质量x/克
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指针的位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
(1)y是关于x的函数吗 为什么
(2)当x=0时,函数值是多少 它的实际意义是什么
(3)当x≥300时,指针位置保持不变.请你结合生活经验,解释产生这种现象的可能原因.
【拓展探究】
14.中国联通在某地的资费标准为包月186元时,超出部分国内拨打0.36元/分,由于业务多,小明的爸爸打电话已超出了包月费.下表是超出部分国内拨打的收费标准:
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量
(2)如果用x表示超出时间,y表示超出部分的电话费,那么y与x的表达式是什么
(3)如果打电话超出25分钟,需付多少电话费
(4)某次打电话的费用超出部分是54元,那么小明的爸爸打电话超出几分钟
15.甲、乙两家体育器材商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球,球拍一副定价60元,乒乓球每盒定价10元.今年世界乒乓球锦标赛期间,两家商店都搞促销活动:甲商店规定每买一副乒乓球拍赠两盒乒乓球;乙商店规定所有商品9折优惠.某校乒乓球队需要买2副乒乓球拍,乒乓球若干盒(不少于4盒).设该校要买乒乓球x盒,所需商品在甲商店购买需要y1元,在乙商店购买需要y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)对x的取值情况进行分析,试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜;
(3)若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球,在不考虑其他因素的情况下,请你设计一个最省钱的购买方案.
【答案与解析】
1.D
2.D(解析:根据函数的定义,可知满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,据此即可确定函数.)
3.A(解析:根据题意知对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值,故y是x的函数.)
4.C(解析:运动过程中,点A到BC的距离先变小,然后再变大,故△ABC的面积的变化情况是先变小后变大.)
5.B(解析:每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升,则一分钟滴水100×0.05毫升,则x分钟可滴100×0.05x毫升,据此即可求解.)
6.D(解析:D.若所缴电费为2.75元,则用电量为2.75÷0.55=5(千瓦时),故错误.)
7.D(解析:∵x=3-k,y=2+k,∴x+y=3-k+2+k=5.)
8.A(解析:由题意得2y+x=24,故可得y=-x+12.)
9.A(解析:A.所挂物体质量为6
kg时,弹簧长度是10+0.5×6=13(cm),故本选项错误.)
10.4π 25π 半径 面积(解析:当r=2时,圆的面积为4π;当r=5时,圆的面积为25π;这一变化过程中半径是自变量,面积是自变量的函数.)
11.解:∵对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,∴y是x的函数,∵W=x+1,y=,∴y=.
12.解:(1)上表反映的是时间和电话费两个变量之间的关系,时间是自变量. (2)根据表中数据得出:随着x的增大,y相应地也增大. (3)由表中数据直接得出:丽丽打了5分钟电话,那么电话费需付3元.
13.解:(1)y是关于x的函数.因为在这个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值,所以y是关于x的函数. (2)当x=0时,y=2.它的实际意义是弹簧的原长是2
cm. (3)原因是:弹簧所受外力超过弹性限度,不能再被拉长了.
14.解:(1)超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系,打电话时间是自变量,电话费是因变量. (2)由题意可得y=0.36x. (3)当x=25时,y=0.36×25=9,即如果打电话超出25分钟,需付186+9=195元的电话费. (4)当y=54时,x==150.即小明的爸爸打电话超出150分钟.
15.解:(1)y1=10x+80,y2=9x+108. (2)当y1=y2时,10x+80=9x+108,解得x=28,∴x=28时,在甲商店购买所需商品和在乙商店购买所需商品一样便宜;当y1y2时,10x+80>9x+108,∴x>28时,在乙商店购买所需商品比较便宜. (3)最佳的购买方案是:到甲商店购买2副乒乓球拍,获赠4盒乒乓球;到乙商店购买16盒乒乓球.
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,对函数的学习一直以来都是中学阶段的一个重要的内容.函数的概念是学习后续“函数知识”的最重要的基础内容,而函数的概念又是一个比较抽象的知识,对它的理解一直是一个教学难点,学生对这些问题的探索以及研究思路都是比较陌生的.因此,在教学过程中,教师注意通过对以前学过的“变量之间的关系”的回顾与思考,力求提供生动有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣;通过层层深入的问题设计,引导学生进行观察、操作、交流、归纳等数学活动,在活动中归纳、概括出函数的概念;并通过师生交流、生生交流等加深学生对函数概念的理解.
函数是初中阶段数学学习的一个重要内容,学生又是第一次接触函数.对于函数的理解和掌握是本节课的重点和难点,对于学生举例说明这一环节,学生完成得不好.在教学中,学生对“观察与思考”的问题(3)的函数表达式的分析,教师没有引导到位.
对于规律型的表达式,教师可以引导学生进行操作,逐一列式,整体讨论进行分析,充分发挥小组合作学习的优势,因为题目毕竟有一定的难度,让学生独立思考很难做到.另外课前可以让学生事先进行预习,搜集有关函数的例子,这样学生举例时就不会感觉到无从说起.
练习(教材第65页)
1.解:表中反映的两个量之间具有函数关系.新增病例是日期的函数.
2.解:s=190t,t是自变量,s是t的函数.
习题(教材第65页)
A组
1.解:对于每一个确定的时刻,都能相应地确定一个温度.T是t的函数,t是自变量.
2.4x S x S x
3.解:由题意得m=2.4+1·(t-3)=t-0.6,∴m与t之间的函数关系式为m=t-0.6(t≥3,t为整数).
B组
1.解:(1)v=2t,v是t的函数,t是自变量. (2)v=2×3.5=7(m/s).
2.解:(1)W=40-6t,t是自变量,W是t的函数. (2)W=40-6×3=22.即油箱中剩余油量为22
L.
本课时是在上一节课内容的基础上,探索两个变量之间的对应关系——函数.它是刻画两个变量之间关系的重要模型,也是解决许多实际问题的重要工具.函数概念的本质是两个变量之间存在的对应关系.教学中,应注意三个问题:一是变化过程,二是相互依赖的关系,三是“值”的唯一性.在引导学生思考、交流、分析实例的共性时,要注意两个变量间,当一个量变化时,另一个量也相应地变化;当一个变量取一个确定的值时,另一个变量的值也随之确定.在教学过程中,应先让学生自己尝试、思考,再合作交流,引导学生多取一些值,感受变量之间的这种函数关系.为了让学生对函数的概念进一步理解,应为学生提供充足的思考、交流的时间与空间,让学生进行深刻的思考和广泛的交流,在交流中达成共识.
某学校的复印任务由甲复印社承接,其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表:
x/页
100
200
400
1000
…
y/元
40
80
160
400
…
(1)表格中反映的变量是 ,其中自变量是 ;
(2)随着复印页数x的逐渐增加,其收费y的变化趋势是什么
(3)复印页数x每增加100页,收费y怎样变化
(4)当复印页数为2000页时,其收费y是多少元
〔解析〕 (1)在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量;数值始终不变的量称为常量.据此判断出表格中反映的变量是复印页数、收费,其中自变量是复印页数,因变量是收费;(2)随着复印页数x的逐渐增加,其收费y也逐渐增加;(3)根据80-40=40(元),可得复印页数x每增加100页,收费y增加40元;(4)首先根据单价=总价÷数量,求出每页的复印费是多少,进而确定出收费y(元)与复印页数x(页)的关系,然后把x=2000代入,求出其收费y是多少元即可.
解:(1)表格中反映的变量是复印页数、收费,其中自变量是复印页数,因变量是收费.
(2)随着复印页数x的逐渐增加,其收费y逐渐增加.
(3)因为80-40=40(元),所以复印页数x每增加100页,收费y增加40元.
(4)40÷100=0.4(元),所以y=0.4x,当x=2000时,y=0.4×2000=800,所以当复印页数为2000页时,其收费y是800元.
[解题策略] 此题主要考查了函数关系式的求法,以及常量和变量的判断,要熟练掌握;解答此题的关键是要明确:常量与变量必须存在于同一个变化过程中,判断一个量是常量还是变量,需要看两个方面:一是它是否在一个变化过程中;二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化.
第课时
1.能根据函数关系式直观得到自变量的取值范围.
2.理解实际背景对自变量取值的限制.
1.通过让学生主动观察、交流、归纳等探索活动形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
2.联系代数式中未知数的取值的要求,探索求函数自变量取值范围的方法.
使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识.
【重点】
函数自变量取值范围的求法.
【难点】
理解实际背景对自变量取值的限制.
【教师准备】 课件1~6.
【学生准备】 复习函数的定义.
导入一:
1.函数的定义是什么 什么是自变量 (举例说明)
2.说一说你对函数的理解.
教师说明:函数的自变量可以在允许的范围内取值,超出这个范围可能失去意义,这就是函数的自变量的取值范围问题.
揭示课题:函数自变量的取值范围.
[设计意图] 复习函数的有关知识,承上启下,明确自变量的值有一定的范围,强调本课时研究的问题.
导入二:
【课件1】
问题1:试写出等腰三角形中顶角的度数y°与底角的度数x°之间的函数关系式.
解:y与x的函数关系式:y=180-2x.
问题2:填写如图所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么 如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向的加数用y表示,试写出y与x的函数关系式.
解:黑色格子在一条直线上;
y=10-x.
[设计意图] 情景中的两个问题让学生单独完成,由于题目简单,因此不必占用太多时间,此设计主要为后面的探究做铺垫.
探究1 探究实际问题中自变量的取值范围
[过渡语] 实际问题中,自变量的取值应满足问题的实际意义.请同学们看一下如下的问题.
思路一
【课件2】 大家谈谈
1.前面讲到的“欣欣报亭的1月~6月的每月纯收入S(元)是月份T的函数”,其中自变量T可取哪些值 当T=1.5或T=7时,原问题有意义吗
2.“某市某一天的气温T(℃)是时刻t的函数”,其中自变量t可取哪些值 如果t取第二天凌晨3时,原问题还有意义吗
3.“折纸的层数p是折纸次数n的函数”,其中自变量n可取哪些值 当n=0.5时,原问题有没有意义
引导学生针对“大家谈谈”的问题小组交流,然后选代表发言.
最后得出结论:
1.T只能取1,2,3,4,5,6这6个整数,当T=1.5或T=7时,原问题(S)无意义.
2.0≤t<24,当t取第二天凌晨3时时,原问题(T)无意义.
3.n≥0,且n是整数,当n=0.5时,原问题(p)无意义.
教师说明:在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值,必须使解析式有意义.
[设计意图] 通过师生交流合作,让学生去领会,更好地完成概念的理解.
思路二
(针对导入二)
【思考】 在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗 如果有,写出它的取值范围.
分析:对于问题1,因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x°不可能大于或等于90°;对于问题2,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的取值范围.
解:问题1中,自变量x的取值范围是0问题2中,自变量x的取值范围是1≤x≤9,且x是整数.
总结:在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,必须使实际问题有意义.例如,函数解析式S=πR2中自变量R的取值范围是全体实数,如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系,那么自变量R的取值范围就应该是R>0.
[设计意图] 让学生在交流讨论、主动探究中明白,在用解析法表达函数时,自变量x的取值范围是有一定的限制的,以此来引出如何求函数自变量的取值范围这一重点.
探究2 函数表达式中自变量的取值范围
[过渡语] 刚才通过探究我们知道,实际问题中的函数,它的自变量的取值应满足实际意义.那么,对于函数表达式,自变量的取值又怎样进行判断呢
【课件3】 试着做做
求下列函数自变量x的取值范围:
(1)y=2x+1; (2)y=; (3)y=.
学生讨论交流后,举手上讲台板演,其他学生互评.
明确:在(1)中,由于函数是关于自变量的整式,所以x为全体实数;在(2)中,由于函数是关于自变量的分式,必须使分母不为0,所以x≠0;在(3)中,由于函数是关于自变量的二次根式,所以被开方数为非负数,即x≥1.
归纳上述结论可知:(相对于已学知识而言)函数自变量的取值范围满足下列条件:
(1)使分母不为零;
(2)使二次根式被开方数为非负数;
(3)使实际问题有意义.
[知识拓展] 函数自变量的取值范围的确定必须考虑两个方面:首先,自变量的取值必须使含有自变量的代数式有意义;其次,自变量的取值应使实际问题有意义.这两个方面缺一不可,特别是后者,在学习过程中容易忽略.因此,在分析具体问题时,一定要细致周到地从多方面考虑.
探究3 例题讲解
【课件4】
(教材第67页例题)如图所示,等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10
cm,边CA与边MN在同一条直线上,点A与点M重合.让△ABC沿MN方向运动,当点A与点N重合时停止运动.试写出运动中两个图形重叠部分的面积y(cm2)与MA的长度x(cm)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
点拨:(1)重叠部分的三角形是什么三角形
(2)怎样表示这个三角形的面积
明确:(师生共同归纳)(1)由于△ABC是等腰直角三角形,得出重叠部分各锐角的度数都是45度,所以重叠部分的三角形是等腰直角三角形;(2)函数关系式为y=x2(0≤x≤10).
【课件5】
(补充)分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围.
(1)已知等腰三角形的面积为20
cm2,设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)关于x的函数关系式;
(2)在一个半径为10
cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为S(cm2),求S关于r的函数关系式.
(3)矩形的周长为12
cm,求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式,并求出当一边长为2
cm时这个矩形的面积.
学生尝试完成,然后小组合作交流.
解:(1)y=,x可取任意正数.
(2)S=100π-πr2,r的取值范围是0(3)S=x(6-x)=6x-x2,x的取值范围是0cm2.
【课件6】 做一做
1.求下列函数自变量的取值范围:
(1)y=2x2+7; (2)y=;
(3)y=.
2.写出下列问题中的函数关系式及自变量的取值范围:
(1)某市民用电费标准为0.52元/千瓦时,求电费y(元)与用电量x(千瓦时)的函数关系式.
(2)已知一等腰三角形的面积为20
cm2.设它的底边长为x(cm),求底边上的高y(cm)与x的函数关系式.
引导学生分析:
1.(1)为全体实数;(2)使分母不为零;(3)二次根式在分母中,被开方数大于0.
2.(1)利用总价=单价×数量,推理得出;(2)利用三角形的面积=×底×高,推理得出.
学生独立完成,然后集体讲评.
答案:1.(1)全体实数;(2)x≠0且x≠-1;(3)x>2.
2.(1)y=0.52x,x≥0;(2)y=,x>0.
[设计意图] 使学生了解到函数自变量的取值除受解析式影响外,还受实际问题的限制,通过练习巩固学生对知识的理解程度,强化学生对函数的概念、自变量的取值范围的理解.
求函数自变量取值范围的两个依据:
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数;
②函数的解析式的分母中含有自变量时,自变量的取值应使分母≠0;
③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0.
(2)反映实际问题的函数关系,自变量的取值应使实际问题有意义.
1.(2016·威海中考)函数y=的自变量x的取值范围是
( )
A.x≥-2
B.x≥-2且x≠0
C.x≠0
D.x>0且x≠-2
解析:由题意得x+2≥0且x≠0,解得x≥-2且x≠0.故选B.
2.函数y=的自变量的取值范围是
( )
A.x≠-3
B.x>-3
C.x≥-3
D.x≤-3
解析:本题考查了使函数解析式有意义的x的取值范围.一般地,从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0.当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分,所以x+3>0,解得x>-3.故选B.
3.函数y=(x-1)0中,自变量x的取值范围是
( )
A.x>1
B.x≠1
C.x<1
D.x≥1
解析:由y=(x-1)0,得x-1≠0,解得x≠1,自变量x的取值范围是x≠1.故选B.
4.下列函数中,自变量x的取值范围不正确的是
( )
A.y=2x2中,x取全体实数
B.y=中,x≠1
C.y=中,x≥2
D.y=中,x>3
解析:A中的x取全体实数;B中,x+1≠0,得到x≠-1;C中,x-2≥0,则x≥2;D中,x-3≥0且x-3≠0,解得x>3.故选B.
5.求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y=3x-1;
(2)y=+;
(3)y=.
解析:(1)根据对任意的实数都有意义即可求解;(2)根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的取值范围;(3)根据0的0次幂无意义即可求解.
解:(1)x是任意实数.
(2)根据题意得解得x≥2且x≠3.
(3)根据题意得x-1≠0,解得x≠1.
6.学校游泳池盛满水2400
m3,出水管每分钟可放水30
m3,打开出水管,一直到放尽为止,求游泳池内水量w(m3)与放水时间t(min)的函数关系式,写出自变量t的取值范围.
解析:根据“游泳池内水量=2400-放水量”,列式即可解答.
解:根据题意,得w=2400-30t(0≤t≤80).
7.如图所示,正方形ABCD的边长为5,P为BC上一动点(不与B,C两点重合),若CP=x,△ABP的面积为y,求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解析:由CP=x,得BP=5-x,根据三角形的面积计算方法直接得出函数解析式,利用P为BC上一动点(不与B,C两点重合)得出自变量的取值范围即可.
解:∵CP=x,∴BP=5-x,
∴△ABP的面积为y=×5(5-x)=-x+(08.若一个面积为50
m2的矩形的宽为y(m),长为x(m).
(1)直接写出y与x的函数关系式,以及自变量x的取值范围;
(2)当长满足5≤x≤10时,求宽y的取值范围.
解析:(1)根据矩形的面积公式可求得y与x的函数关系式;(2)根据5≤x≤10,可解关于y的不等式组5≤≤10得到y的取值范围.
解:(1)∵xy=50,∴y=(x>0).
(2)∵5≤x≤10,∴5≤≤10,即5≤y≤10.
第2课时
探究1 探究实际问题中自变量的取值范围
探究2 函数表达式中自变量的取值范围
(1)使分母不为零;
(2)使二次根式被开方数为非负数;
(3)使实际问题有意义.
探究3 例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
1.教材第67页练习第1,2题.
2.教材第68页习题A组.
【选做题】
教材第68页习题B组.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2016·扬州中考)函数y=中,自变量x的取值范围是
( )
A.x>1
B.x≥1
C.x<1
D.x≤1
2.(2016·内江中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是
( )
A.x>3
B.x≥3
C.x>4
D.x≥3且x≠4
3.函数y=中自变量x的取值范围是
( )
A.x>2
B.x≠2
C.x≥2且x≠1
D.x为任意实数
4.下列四个函数,其中自变量的取值范围相同的是
( )
(1)y=x+1;(2)y=;(3)y=;(4)y=.
A.(1)和(2)
B.(1)和(3)
C.(2)和(4)
D.(1)和(4)
5.若|a+2|+=0,则在函数y=中,自变量x的取值范围是
( )
A.x>2
B.x≥2
C.x>-2
D.x≥-2
6.下列函数中,自变量的取值范围选取错误的是
( )
A.y=中,x取x≥2
B.y=中,x取x≠-1
C.y=2x2中,x取全体实数
D.y=中,x取x≥-3
【能力提升】
7.已知函数y=+.
(1)求自变量x的取值范围;
(2)求当x=1时的函数值.
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点P在BC上运动,点P不与点B,C重合,设PC=x,若用y表示△APB的面积,求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.
9.一辆汽车的油箱中现有汽油49升,如果不再加油,那么油箱中的油y(单位:升)随行驶里程x(单位:公里)的增加而减少,平均耗油量为0.07升/公里.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)汽车行驶200公里时,油箱中还有多少汽油
10.等腰三角形的周长为30
cm.
(1)若底边长为x
cm,腰长为y
cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围;
(2)若腰长为x
cm,底边长为y
cm,写出y与x的关系式,并注明自变量的取值范围.
【拓展探究】
11.一个长方体的体积是100
cm3,它的长是y
cm,宽是5
cm,高是x
cm.
(1)写出用高表示长的函数关系式: ;
(2)写出自变量x的取值范围: ;
(3)当x=3
cm时,y= cm.
12.全球经济已经进入了高油价时代,开发新能源刻不容缓.太阳能热水器已走进千家万户,数量为180
L的一太阳能热水器,设其工作时间为y(min),每分钟排水量为x(L).
(1)写出y与x之间的函数关系式: ;
(2)若热水器可连续工作的最长时间为1
h,求自变量的取值范围: ;
(3)若每分钟排放热水4
L,则热水器可不间断地工作 分钟.
【答案与解析】
1.B(解析:由题意得x-1≥0,解得x≥1.故选B.)
2.D(解析:由题意得x-3≥0且x-4≠0,解得x≥3且x≠4.故选D.)
3.A(解析:由题意得x-2>0,解得x>2.)
4.D(解析:(1)x为全体实数;(2)x+1≥0,则x≥-1;(3)x+1≠0,则x≠-1;(4)x为全体实数.则自变量的取值范围相同的是(1)和(4).)
5.B(解析:由题意得a+2=0,b-1=0,解得a=-2,b=1,所以y==,所以x-2≥0,解得x≥2.)
6.D(解析:A.x-2≥0,则x≥2,故正确;B.x+1≠0,则x≠-1,故正确;C.正确;D.x+3>0,则x>-3,故错误.)
7.解:(1)根据题意得解得x<5. (2)把x=1代入解析式,可得y=+=2-1
=1.
8.解:∵BC=8,CP=x,∴PB=8-x,∴=PB·AC=×(8-x)×6=24-3x,自变量的取值范围是09.解:(1)根据题意,每行驶x公里,耗油0.07x升,即总油量减少0.07x升,则油箱中的油剩下(49-0.07x)升,∴y与x的函数关系式为y=49-0.07x. (2)因为x代表的实际意义为行驶里程,所以x不能为负数,即x≥0;又行驶中的耗油量为0.07x,不能超过油箱中现有汽油量的值49,即0.07x≤49,解得x≤700.综上所述,自变量x的取值范围是0≤x≤700. (3)当x=200时,代入x与y的关系式得y=49-0.07×200=35.所以汽车行驶200公里时,油桶中还有35升汽油.
10.解:(1)∵等腰三角形的周长为30
cm,底边长为x
cm,腰长为y
cm,∴y与x的关系式为x+2y=30,即y=-x+15,自变量的取值范围是0cm,腰长为x
cm,底边长为y
cm,∴y与x的关系式为y=-2x+30,自变量的取值范围是7.511.(1)y= (2)0cm时,y=
cm.)
12.(1)y= (2)x≥3 (3)45(解析:(1)根据xy=180,得到y=.(2)∵热水器可连续工作的最长时间为1
h,即0≤y≤60,∴x的取值范围是x≥3.(3)把x=4代入y=,得y=45.)
在整个教学过程中教师主要设计了情境引入、探究归纳、实践应用等环节.在第一环节抓住学生易学的心理,利用三个上课时的问题情境,引导学生在主动探究过程中发现自变量的取值不是任意的,是同时受解析式和实际意义的双重制约的.那么如何确定函数自变量的取值范围呢 这就促成了学生的“我要学”的想法.然后利用三个解析法(表达式法)表达的函数,但每个函数的自变量分别位于不同解析式中的不同位置,先让学生自主探索,然后通过引导整理出确定函数自变量的取值范围的一般方法:①使解析式有意义,②使实际应用有意义的规律.在整个教学过程中教师采取环节紧扣、步步紧逼的方式,使学生自愿接受教师的引导,在我想学——我要学——我会学——我学会的过程中学到东西,同时能力也得到提高,已达到课堂有效的目的.在教学设计上,教师始终遵循一个原则:以教师为主导,以学生为主体,在学生学到知识的同时得到能力的提高.
教材通过实际问题中的函数关系式和函数表达式中自变量的取值范围两个方面进行探讨.在探讨的过程中,教师没有充分让学生讨论分析而自己总结出函数表达式中自变量的取值范围.并且在小组合作学习的过程中,讨论不够充分,学生发言时间有限,不能够及时进行补充和归纳.因此,导致学生在做一做和练习的过程中考虑不周全.
对于教材的重点和难点,教师要注意引导,充分让学生加以讨论和分析,尽量让小组合作完成.对于焦点问题,可以引导学生在全班进行争辩,达成共识,使学生深刻认识自变量的取值范围的确定依据和方法.
练习(教材第67页)
1.解:(1)x为全体实数. (2)x≠±1. (3)x≤2.
2.解:s=270-60t,0≤x≤.
习题(教材第68页)
A组
解:(1)x是全体实数. (2)x≠0. (3)x≠. (4)x≥-4.
B组
1.解:由题意得解得x≥2,即x的取值范围为x≥2.
2.解:(1)设该厂每月生产这种产品x件,每月获利润为W元,则W=(50-25)x-0.5x·2-30000=24x-30000,即W与x之间的函数关系式为W=24x-30000. (2)由题意得24x-30000>0,解得x>1250.答:为保证盈利,该厂每月至少需生产并销售这种产品1251件.
如图所示,矩形的长是4
cm,宽是3
cm,如果将其长与宽各增加x
cm,那么面积增加y
cm2.
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)自变量x的取值范围是什么
〔解析〕 (1)矩形的长是4
cm,宽是3
cm,如果将其长与宽各增加x
cm,得到的新矩形的长是(x+4)
cm,宽是(x+3)
cm,根据增加的面积=新矩形的面积-原矩形的面积即可得出y与x的函数关系式;(2)根据x的实际意义即可解答.
解:(1)由题意得y=(x+4)(x+3)-4×3,即y=x2+7x.
(2)自变量x的取值范围是x≥0.
[解题策略] 根据矩形的面积公式得到y与x的函数关系式是解题的关键.
一个长方体的体积是200
cm3,它的长是y
cm,宽是5
cm,高是x
cm.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求≤x≤12时,y的最大值和最小值.
〔解析〕 (1)利用长方体的体积公式得出y与x的函数关系式,进而得出x的取值范围;(2)分别求出x=以及x=12时y的值进而得出答案.
解:(1)依题意,得5xy=200,∴y=,
又∵x>0,y>5,
∴自变量x的取值范围是0(2)∵当x=时,y==80,
当x=12时,y==,
∴在≤x≤12时,长方体的长的最大值是80
cm,最小值是
cm.
[解题策略] 根据长方体体积公式得出y与x的函数关系式是解题关键.
20.3 函数的表示
1.学会用描点法画出简单的函数图像,了解函数关系式与函数图像及函数表格之间的关系.
2.结合函数图像,能体会出函数的变化情况.
1.渗透数形结合的思想,让学生学会函数图像的基本画法.
2.在画图像中体会函数的规律及三种表达形式之间的关系.
3.初步体会数形结合的思想方法.
引导学生积极参与试验与探索活动,体验探索的快乐并从中获得成功的体验,通过细心画图,培养严谨细致的作风,增强动手意识和合作精神.
【重点】
函数图像的画法.
【难点】
理解三种函数表示形式之间的联系.
【教师准备】 课件1~7.
【学生准备】 复习函数关系的三种表示形式.
导入一:
【课件1】 a是自变量x取值范围内的任意一个值,过点(a,0)画y轴的平行线,与图中曲线相交,下列哪个图形中的曲线表示y是x的函数 为什么
学生交流后回答,左边这个图形中的曲线表示y是x的函数,右边不是,这是因为给定x的一个值,必须能相应地确定y的一个值,而不是多个值.
教师进而说明左边就是用图形表示两个变量之间的函数关系,那么应如何做呢
说明:学生回答不是函数的原因时易出错,教师可鼓励并引导学生回答.
[设计意图] 复习函数的定义,消除函数判定的误区,通过解决问题引入课题,易提高学生学习的兴趣.
导入二:
【课件2】 复习提问:
1.什么叫函数
2.什么叫平面直角坐标系
3.在坐标平面内,什么叫点的横坐标 什么叫点的纵坐标
4.如果点A的横坐标为3,纵坐标为5,如何用坐标标记
5.请在坐标平面内画出点A.
6.如果已知一个点的坐标,可在坐标平面内画出几个点 反过来,如果坐标平面内的一个点已确定,这个点的坐标有几个 这样的点和坐标的对应关系,叫做什么对应 (平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应.)
[设计意图] 通过一系列的问题,为本节课学习函数的图像做好铺垫,让学生意识到点可以理解为最简单的图像,给出一个点的坐标,就可以在平面直角坐标系中画出这个点,反过来,在平面直角坐标系中给出一个点,也可以确定它的坐标,说明点与坐标是一一对应的,同样的道理,为接下来函数的解析式与图像的对应埋下伏笔.
导入三:
【课件3】 下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况.
(1)汽车行驶了多长时间 它的最高时速是多少
(2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶 时速分别是多少
(3)出发后8分钟到13分钟之间可能发生了什么情况
(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况.
通过本节课的学习就可解决这个问题了.
[设计意图] 通过实际问题情境,让学生认识到从函数图像中可以获得很多信息,激发学生研究问题的热情.
活动1 函数图像的画法
[过渡语] 用适当的方法表示函数,能够帮助我们更好地认识函数,并运用函数解决问题.
我们已经看到,用表达式、图形、表格等都可以表示两个变量之间的函数关系.现在,我们对这些表示方法作进一步的研究.
思路一
【课件4】 人们发现,声音在空气中传播的速度(简称声速)随气温的变化而变化.某研究者通过实验得到了这样一些关于气温x与声速y对应的数据:
x/℃
-10
-5
0
5
10
15
20
y/(m/s)
325.36
328.36
331.36
334.36
337.36
340.36
343.36
实际上,这就是用数值表来表达关于声速y与气温x之间的函数关系.
提出问题:
1.你还能用其他方法表示声速y与气温x之间的函数关系吗
2.这些表示方法有什么特点
在前面学习函数的基础上,探究把表格表示的函数关系用表达式和图形来表示.
从表格中可以看出,气温x每升高(或降低)5(℃),声速y就增加(或减少)3(m/s).也就是说,气温x每升高(或降低)1(℃),声速y就增加(或减少)(m/s).而当x=0时,y=331.36(m/s).这样,声速y(m/s)和气温x(℃)之间的函数关系就可以表示为y=x+331.36.
这个表达式更加全面、准确地反映了声速y(m/s)和气温x(℃)之间的对应关系.利用它,可以方便地得到与x(℃)值对应的y(m/s)的值.如:当气温x为-4(℃)时,声速y为×(-4)+331.36=328.96(m/s),当气温x为28(℃)时,声速y为×28+331.36=348.16(m/s)……
声速y(m/s)与气温x(℃)之间的函数关系,还可以借助图形表示出来,具体可以这样做:
1.画出直角坐标系,用横轴上的点表示气温x(℃),用纵轴上的点表示声速y(m/s).
2.借助于表格(或表达式),找出x和y的若干对对应值,如(-5,328.36),(0,331.36),(5,334.36),(10,337.36),(15,340.36),….分别以每对值为横、纵坐标,确定出坐标系中相应的点.
3.用平滑的线将这些点连起来,就得到声速y(m/s)和气温x(℃)之间用图形表示的函数关系,如图所示.
总结:数值表、图像、表达式是函数关系的三种不同表达形式,它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点.
把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描点,所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像.用图像表示的函数关系,更为直观和形象.
思路二
函数关系的表示方法.
【课件5】 汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行驶时间为t小时.
1.表达式法:用含自变量x的各种数学运算构成的式子来表示函数y的方法.
指名说出:行驶里程s和行驶时间t的函数关系式为s=60t.
优点:简单明了,能从解析式中清楚地看到两个变量之间的全部相依关系,并且适合进行理论分析和推导计算.
缺点:在求对应值时,有时要做较复杂的计算.
2.列表法.
提出问题:自变量的取值范围是什么 (t≥0)
让学生完成表格:
t/小时
0
1
2
3
4
…
s/千米
0
60
120
180
240
…
优点:具有很强的操作性,数据很具体,便于作深入的统计分析,对于表中自变量的每一个值,可以不通过计算,直接把函数值找到,查询时很方便.
缺点:它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出,而且从表中看不出变量间的对应规律.
3.图像法:用图像来表示函数关系的方法.
(1)以横轴表示时间,每1小时为一个单位长度,纵轴表示路程,每60千米为一个单位长度;
(2)在平面直角坐标系中描点、连线,画出图形.
引导学生操作,画图像.
函数的图像(定义):把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描点,所有这些点组成的图形就叫做这个函数的图像.
优点:能形象直观地显示出函数的变化规律,把抽象的函数概念形象化,为研究函数的性质提供方便.
缺点:所画的图像是近似的、局部的,从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.
总结:函数的三种基本表示方法,各有各的优点和缺点,因此,要根据不同问题与需要,灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上,有时把这三种方法结合起来使用,即由已知的函数解析式,列出自变量与对应的函数值的表格,再画出它的图像.
[知识拓展] 一般来说,函数图像是由直角坐标系中的一系列点组成的.图像上每一点的坐标(x,y)代表了函数中变量的一对对应值,它的横坐标表示自变量的某一个值,纵坐标表示与它相对应的函数值.(1)通常情况下,横坐标表示自变量,纵坐标表示函数值;(2)函数图像代表了函数的几何意义,体现了数形结合的思想;(3)图像上每一个点的坐标都满足函数关系式,满足函数关系式的任意一对x,y的值所对应的点都在函数图像上.
活动2 例题讲解
[过渡语] 根据函数关系式,我们可以利用刚才学到的方法画出函数的图像.
【课件6】
在直角坐标系中,画出函数y=2x+1的图像.
这个函数关系式中,对于y与x的对应关系,我们还可以通过在坐标平面内画出图像的方法来表示.
具体做法是:
第一步:列表(列出自变量x与函数值的对应表,即数值表).先确定x的若干个值,然后填入相应的y值.
x
-2
-1
0
1
2
y
-3
-1
1
3
5
第二步:描点.对于表格中的每一组对应值,以x值作为点的横坐标,以对应的y值作为点的纵坐标,便可画出一个点,也就是由表中给出的有序实数对,在直角坐标系中描出相应的点.
第三步:连线.按照横坐标由小到大的顺序把这些点用线连接起来,得到的图形就是y=2x+1的图像,如图所示.
规律方法小结:(1)画函数图像的一般步骤:列表:用列表的方法找出自变量和与其对应的函数值;描点:把表中各对自变量与函数值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标系中描出相应的点;连线:用平滑的曲线依次连接所找出的各点.
(2)在画函数图像时,一般应考虑在坐标原点附近描点,对一些有特殊条件限制的函数,要在自变量取值范围内取点.
[设计意图] 明确图像法的意义,其本质是通过点形成的,让学生体会到一般的作图只是作出函数的近似图像.
活动3 实际应用
[过渡语] 在画函数图像时,我们要注意自变量的取值范围,刚才我们所画的图像是一条直线,有的函数的图像并不都是直线.
【课件7】 用计算器可以求出任何一个非负数的算术平方根,显示器显示的结果随输入数的变化而变化.设输入的数为x,显示的结果为y,程序如图所示.
(1)请写出y与x之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
(y=(x≥0).)
(2)根据函数关系式,填写表格:
x
0
1
4
9
16
y
0
1
2
3
4
(3)借助这些对应的数值画出这个函数的图像.
让学生画出图像后,观察并总结图像的特点.
[设计意图] 明确画函数图像时,要在自变量取值范围内取相应的数值,进一步强化学生画图像的步骤,提高学生画图像的能力.
到现在,我们已经学过了表示函数关系的方法有三种:
(1)解析式法——用数学式子表示函数关系;
(2)数值表法——通过列表给出自变量与函数值的对应关系;
(3)图像法——把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像.
画函数图像的方法:
(1)列表;(2)描点;(3)连线.
1.下图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图,这位病人在16时的体温约是
( )
A.37.8
℃
B.38
℃
C.38.7
℃
D.39.1
℃
解析:从15时到18时,体温上升,16时的体温应该在38.5
℃~39.2
℃之间,由此选择合适的答案.故选C.
2.(2016·新疆中考)小明的父亲从家走了20分钟到一个离家900米的书店,在书店看了10分钟书后,用15分钟返回家,下列图中表示小明的父亲离家的距离与时间的函数图像是
( )
A B
C D
解析:根据题意,知从20分钟到30分钟在书店里看书,离家距离没有变化,是一条平行于x轴的线段.故选B.
3.大年三十晚上,小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花爆竹,小六驾车匀速行驶一段时间后,途中遇到堵车原地等待一会儿,然后小六加快速度继续匀速行驶,零点之前到达指定燃放地点,燃放结束后,小六驾车匀速返回.其中,x表示小六从家出发后所用时间,y表示小六离家的距离.下图中能反映y与x的函数关系的大致图像是
( )
A B
C D
解析:由题意得离家的距离越来越远,直线呈上升趋势,根据途中加油,可得路程不变,时间加长,直线呈水平状态,后来加速行驶,可得路程变化快,直线上升快,燃放烟花爆竹时,路程不变,时间加长,直线呈水平状态,再匀速回家,离家距离越来越近,直线呈下降趋势.故选A.
4.一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择,其中一种有月租费,另一种无月租费.这两种收费方式的通话费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.小红根据图像得出下列结论:
①l1描述的是无月租费的收费方式;
②l2描述的是有月租费的收费方式;
③当每月的通话时间为500分钟时,选择有月租费的收费方式省钱.
其中正确结论的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:根据l1是从原点出发可得不打电话收费为0元,因此是无月租费的收费方式;l2是从(0,20)出发可得不打电话收费为20元,因此是有月租费的收费方式;两函数图像交点为(400,40),说明打电话400分钟时,两种收费相同,超过400分钟后,当x取定一个值时,l1所对应的函数值总比l2所对应的函数值大,因此当每月的通话时间为500分钟时,选择有月租费的收费方式省钱.故选D.
5.某星期天下午,小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校,小强从家出发先步行到车站,等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校.图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系.下列说法错误的是
( )
A.小强从家到公共汽车站步行了2公里
B.小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C.公共汽车的平均速度是30公里/小时
D.小强乘公共汽车用了20分钟
解析:小强和小明一起乘公共汽车,时间为60-30=30(分钟).故选D.
6.下图表示某地的气温变化情况.
(1)在 时气温最高,为 ;
(2)在 时到 时这段时间气温是逐渐上升的.
解析:(1)根据图像中折线上升、下降的趋势可知:在14时气温最高,为15
℃;(2)在8时到14时这段时间气温是逐渐上升的.
答案:(1)14 15
℃ (2)8 14
7.河道的剩水量Q(米3)和水泵抽水时间t(时)的关系图像如图所示,则水泵抽水前,河道内有 米3的水,水泵最多抽 小时,水泵抽8小时后,河道剩水量是 米3.
解析:由图像得水泵抽水前即t=0时河道内的水量;当Q=0时t=12;水泵抽8个小时后,河道剩水量根据水泵的工作效率即可求出.由图像得:水泵抽水前,河道内有600米3的水,水泵最多抽12小时,水泵抽8个小时后,河道剩水量是600-×8=200(米3).
答案:600 12 200
8.阳阳离开家去新华书店买书,回来后,阳阳用所学知识绘制了一张反映他离家的距离与时间的关系图,请根据阳阳绘制的这张图回答以下问题:
(1)在上述变化过程中,自变量是什么
(2)阳阳到达新华书店用了多长时间
(3)新华书店离阳阳家有多远
(4)阳阳回家用了多长时间
(5)阳阳从家到新华书店的平均速度是多少 返回时的平均速度是多少
解析:(1)根据自变量的定义求解;(2)阳阳所行驶的路程包括三部分:去书店买书,在书店买书,从书店回家,由图像知0~20分钟去书店;(3)20分钟时对应的距离即为所求;(4)30~45分钟为回家路上用的时间;(5)利用速度=,再根据图像可得答案.
解:(1)自变量为时间,因变量为距离.
(2)20-0=20(分钟),
阳阳到达新华书店用了20分钟.
(3)新华书店离阳阳家有900米.
(4)45-30=15(分钟),阳阳回家用了15分钟.
(5)900÷20=45(米/分);900÷15=60(米/分).阳阳从家到新华书店的平均速度是45米/分;返回时的平均速度是60米/分.
20.3 函数的表示
活动1 函数图像的画法
1.列表
2.描点
3.连线
活动2 例题讲解
活动3 实际应用
一、教材作业
【必做题】
1.教材第71页练习第1,2题.
2.教材第71页习题A组第1,2,3题.
【选做题】
教材第72页习题B组第1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.洗衣机在洗涤衣服时,每洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水).在这三个过程中,洗衣机内的水量y(升)与洗一遍的时间x(分)之间函数关系的大致图像为图中的
( )
A B
C D
2.上周周末放学,小华的妈妈来学校门口接他回家,小华离开教室后不远便发现把文具盒遗忘在了教室里,于是以相同的速度折返回去拿,到了教室后碰到班主任,并与班主任交流了一下周末计划才离开,为了不让妈妈久等,小华快步跑到学校门口,则小华离学校门口的距离y与时间t之间的函数关系的大致图像是图中的
( )
A B
C D
3.如图所示的图像中所反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后,又去早餐店吃早餐,然后散步走回家,其中x表示时间,y表示张强离家的距离.根据图像提供的信息,以下四个说法错误的是
( )
A.体育场离张强家3.5千米
B.张强在体育场锻炼了15分钟
C.体育场离早餐店1.5千米
D.张强从早餐店回家的平均速度是3千米/时
4.一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港,行驶路程随时间变化的图像如图所示,下列结论错误的是
( )
A.轮船的速度为20
km/h
B.快艇的速度为
km/h
C.轮船比快艇先出发2
h
D.快艇比轮船早到2
h
5.如图所示的是春季某地一天气温随时间变化的图像,根据图像判断,在这天中,最高温度与最低温度的差是 ℃.
6.某兴趣小组从学校出发骑车去植物园参观,先经过一段上坡路后到达途中一处景点,停车10分钟进行参观,然后又经一段下坡路到达植物园,行程情况(速度与时间关系)如图所示,若他们上、下坡路速度不变,则这个兴趣小组的同学按原路返回所用的时间为 .(途中不停留)
7.某人沿直路行走,设此人离出发地的距离s(千米)与行走时间t(分钟)的函数关系如图所示,则此人在这段时间内最快的行走速度是 千米/时.
【能力提升】
8.某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游,一部分同学步行,另一部分同学骑自行车,他们都沿相同路线前往.如图所示,已知l1,l2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y(千米)与所用时间x(分钟)之间的函数图像,请你根据图中提供的信息,写出三个正确结论.
① ;
② ;
③ .
9.如图所示的是某购物中心食品柜在四月份的营业额情况统计图,根据图像回答下列问题.
(1)在这个月中,日最低营业额是在4月 日,只有 万元;
(2)在这个月中,日最高营业额是在4月 日,达到 万元;
(3)这个月中,从 日到 日,营业额呈逐日上升趋势;
(4)这个月营业额比较平衡的大约有 天,每日均在 万元左右.
【拓展探究】
10.如图所示,它表示甲、乙两人从同一个地点出发到达目的地的情况.到十点时,甲大约走了13千米.根据图像回答:
(1)甲是几(共13张PPT)
八年级数学·下
新课标[冀教]
第二十章
函
数
学习新知
检测反馈
20.1
常量和变量
学
习
新
知
问题思考
火车行驶的里程随着时间的变化而变化,一天的温度随着时间的变化而变化,像这样,在现实生活中一个量随着另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.今天我们首先来学习——20.1常量和变量.
活动1 尝试探究
一起探究
1.小明在上学的途中,骑自行车的平均速度为300
m/min.
(1)填写下表:
(2)在这个问题中,哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
2.桃园村办企业去年的总收入是25000万元,计划从今年开始逐年增加收入3500万元.
在这个问题中,一共有几个量 其中哪些量是不变的,哪些量是变化的 变化的量之间存在着怎样的关系
3.类似地,请你再举出两个实际问题的例子,并分别说明它们各含有几个不同的量,其中哪些量是不变的,哪些量是变化的.
观察、讨论,解释每个题中变化的量和不变的量.
在问题1中,共有三个量,其中平均速度300
m/min是不变的量,路程和时间都是变化的量,它们之间满足关系s=300t.
在问题2中,共有四个量,即去年的总收入、从今年起每年增加的收入、第几年和第几年的总收入.其中,去年的总收入25000万元和以后每年增加的收入3500万元都是不变的量,第几年和第几年的总收入都是变化的量.如果用n(n取正整数)表示从今年起的第n年,用W表示第n年的总收入,那么它们之间满足关系W=25000+3500n.
在一个变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,而数值保持不变的量叫做常量.
特别强调:
(1)常量与变量必须存在于一个变化过程中.
(2)判断一个量是常量还是变量,需:
①看它是否在一个变化的过程中;
②看它在这个变化过程中的取值情况.
1.电影票的售价为10元/张,第一场售出150张票,第二场售出205张票,第三场售出310张票,三场电影的票房收入各为多少元 设一场电影售票x张,票房收入y元.怎样用含x的式子表示y
第一场电影票房收入:150×10=1500(元);
第二场电影票房收入:205×10=2050(元);
第三场电影票房收入:310×10=3100(元).
关系式:y=10x.
2.你见过水中的涟漪吗 如右图所示,圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中,当圆的半径r分别为10
cm,20
cm,30
cm时,圆的面积S分别为多少 用含r的式子表示S.
当r=10
cm时,S=102π=100π(cm2);
当r=20
cm时,S=202π=400π(cm2);
当r=30
cm时,S=302π=900π(cm2).
关系式:S=πr2.
3.用10
m长的绳子围成一个矩形.当矩形的一边长x分别为3
m,3.5
m,
4
m,4.5
m时,它的邻边长y分别为多少 用含x的式子表示y.
当边长为3
m时,邻边长y为5-3=2(m);
当边长为3.5
m时,邻边长y为5-3.5=1.5(m);
当边长为4
m时,邻边长y为5-4=1(m);
当边长为4.5
m时,邻边长y为5-4.5=0.5(m).
关系式:y=5-x.
通过上述活动,我们清楚地认识到,要想寻求事物变化过程的规律,首先需确定在这个过程中哪些量是变化的,而哪些量又是不变的.在一个变化过程中,可以取不同数值的量为变量,数值始终不变的量称之为常量.如上述四个过程中,时间t、里程s、售出票数x、票房收入y、圆的半径r、圆的面积S、矩形一边长x、其邻边长y都是变量.而速度60千米/时、票价10元/张、圆周率π、绳长10
m都是常量.
活动2 巩固练习
做一做
在下列各问题中,分别各有几个量,其中哪些量是常量,哪些量是变量 这些量之间具有怎样的关系
(1)每张电影票的售价为10元.某日共售出x张票,票房收入为y元.
(2)一台小型台秤最大称重为6
kg,每添加0.1
kg重物,指针就转动6°的角,添加重物质量为m
kg时,指针转动的角度为α.
(3)用10
m长的绳子围成一个长方形.小明发现不断改变长方形的长x(m)的大小,长方形的面积S(m2)就随之有规律地发生变化.
答案:(1)有三个量,10元是常量,x张和y元是变量,y=10x.
(2)有五个量,6
kg,0.1
kg和6°是常量,m
kg和α是变量,α=60m.
(3)有三个量,10
m是常量,x和S是变量,S=x(5-x).
检测反馈
1.在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有
( )
A.C,r
B.C,π,r
C.C,πr
D.C,2π,r
解析:直接利用在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,进而得出在圆周长计算公式C=2πr中,对半径不同的圆,变量有C,r.故选A.
A
解析:∵篱笆的总长为60
m,∴周长p是定值,而面积S和一边长a是变量.故选B.
2.如果用总长为60
m的篱笆围成一个长方形场地,设长方形的面积为S(m2),周长为p(m),一边长为a(m),那么S,p,a中是变量的是
( )
A.S和p
B.S和a
C.p和a
D.S,p,a
B
3.某人要在规定的时间内加工100个零件,则工作效率η与时间t之间的关系中,下列说法正确的是
( )
A.数100和η,t都是变量
B.数100和η都是常量
C.η和t是变量
D.数100和t都是常量
解析:根据变量和常量的定义可知η和t是变量,零件的个数100是常量.故选C.
C
4.在三角形面积公式S=
ah,a=2
cm中,下列说法正确的是
( )
A.S,a是变量,
h是常量
B.S,h是变量,
是常量
C.S,h是变量,
a是常量
D.S,h,a是变量,
是常量
解析:在三角形面积公式S=
ah,a=2
cm中,
a的值保持不变,它是常量,h和S是变量.故选C.
C
5.林老师骑摩托车到加油站加油,发现每个加油器上都有三个量,其中一个表示“元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别表示“数量”“金额”,数值一直在变化,在这三个量当中 是常量,
是变量.
解析:常量就是在变化过程中不变的量,变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量.
元/升
数量、金额
6.汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系:s=vt.如果汽车以每小时60
km的速度行驶,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果汽车行驶的时间t规定为1小时,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 ;如果甲、乙两地的路程s为200
km,汽车从甲地开往乙地,那么在s=vt中,变量是 ,常量是 .
解析:根据在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量解答.
s,t
60
s,v
1
v,t
200
7.齿轮每分钟120转,如果n表示转数,t表示转动时间.
(1)用n的代数式表示t；
(2)说出其中的变量与常量.
解析:(1)根据题意可得转数=每分钟120转×时间;(2)根据变量和常量的定义:在一个变化的过程中,数值发生变化的量称为变量,数值始终不变的量称为常量,可得t,n是变量.
解:(1)由题意得120t=n,即t=
.
(2)变量:t,n,常量:120.
8.说出下列各个过程中的变量与常量.
(1)我国第一颗人造地球卫星绕地球一周需106分钟,t分钟内卫星绕地球的周数为N,N=
;
(2)矩形的长为2
cm,它的面积S(cm2)与宽a(cm)的关系式是S=2a.
解析:根据常量是在某一变化过程中保持不变的量,变量是在某一变化过程中可以取不同数值的量,对各小题分析判断即可得解.
解:(1)N和t是变量,106是常量.
(2)S和a是变量,2是常量.
