(共25张PPT)
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.1.2
中位数和众数
（第2课时）
八年级数学·下
新课标[人]
歌唱比赛有二十位评委给选手打分,统计每位选手得分时,会去掉一个最高分和一个最低分,这样做,肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响
想一想
甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称,他们的某种电子产品在正确使用的情况下,使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽查,分别抽查的8个产品使用寿命的统计结果如下(单位:年):
甲厂:6,6,6,8,8,9,9,12.乙厂:6,7,7,7,9,10,10,12.
丙厂:6,8,8,8,9,9,10,10.
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表:
学
习
新
知
平均数
众数
中位数
甲厂
乙厂
丙厂
平均数
众数
中位数
甲厂
8
6
8
乙厂
8.5
7
8
丙厂
8.5
8
8.5
(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种数.
甲厂利用了平均数或中位数;乙厂利用了平均数或中位数;丙厂利用了平均数、众数或中位数.
(3)如果你是顾客,应该选哪个厂家的产品 为什么
选丙厂的产品.因为无论从哪种数据看都是最大的,且多数的使用寿命达到或超过8年.
小结
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势.
知识拓展
(1)平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中
趋势的量.
(2)平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的
每个数据都有关,是最为重要的量.
(3)中位数不受个别数据的影响,当一组数据中的个别
数据变动较大时,一般用它来描述其集中趋势.
(4)众数只与数据出现的频数有关,不受个别数据影响,
有时是我们最为关心的统计量.
例：为了从张明、王龙两名学生中选拔一人参加“希望杯”数学竞赛,在相同条件下对他们的数学知识进行了5次测验,成绩如下:(单位:分)
(1)张明同学成绩的众数是多少分 王龙同学成绩的中位数是多少分
〔解析〕把这组数据按大小关系排列,中间位置的数是中位数;出现次数最多的数是众数.
测验次序
1
2
3
4
5
张明成绩
92
86
96
96
100
王龙成绩
94
100
92
90
84
解:(1)张明成绩中96分最多,
所以其众数是96分;
王龙成绩从小到大排列为(单位:分):
84,90,92,94,100,所以中位数是92分.
(2)分别求出这两位同学成绩的平均分数;
〔解析〕
平均数是总分除以次数;
解:张明的平均分数是
(分);
王龙的平均分数是
(分).
(3)如果测验分数在95分(含95分)以上为优秀,那么他们
的优秀率分别是多少
〔解析〕优秀率是优秀次数除以总次数.
解:张明的优秀率为
=60%;
王龙的优秀率为
=20%.
(4)你认为应选哪名同学去参加“希望杯”数学竞赛 说说你的理由.
〔解析〕根据优秀率等综合选拔.
选张明去参加数学竞赛,因为他的平均分和优秀率都高.
[解题策略] 此题是一道综合应用题,掌握中位数、众数、平均数和优秀率等概念及计算方法是关键,同时会用它们对问题进行分析得出结论.
例：
(教材例6)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
(1)月销售额在哪个值的人数最多 中间的月销售额是多少 平均月销售额是多少
从表和图中可以看出,样本的数据的众数是15,中位数是18,利用计算器求得这组数据的平均数约是20,可以推测,这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多,中间的月销售额是18万元,平均月销售额大约是20万元.
销售额/
万元
13
14
15
16
17
18
19
22
23
24
26
28
30
32
人数/人
1
1
5
4
3
2
3
1
1
1
2
3
1
2
解：整理上面的数据得到图表如下：
(2)如果想确定一个较高的销售目标,你认为月销售额定为多少合适 说明理由.
这个目标可以定为每月20万元(平均数).因为从样本数据看,在平均数、中位数和众数中,平均数最大,可以估计,月销售额定为每
月20万元是一个较高目标,大约会
有
的营业员获得奖励.
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为月销售额定为多少合适 说明理由.
月销售额可以定为每月18万元(中位数),因为从样本情况看,月销售额在18万元以上(含18万元)的有16人,占总人数的一半左右,可以估计,如果月销售额定为18万元,将有一半左右的营业员获得奖励.
[解题策略]用图表整理和描述样本数据,有助于分析数据、
解决问题.
例：
某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下:
(1)若这个班的数学平均成绩是69分,求x和y的值;
解:(1)由题意得:
解得
成绩/分
50
60
70
80
90
100
人数/人
2
x
10
y
4
2
(2)设此班40名学生成绩的众数为a,中位数为b,求(a-b)2的值;
由x=18,y=4可知成绩为60分的有18人,是出现次数最多的数据,故众数为60分,即a=60.表中的数据是从小到大排列的,第20个数据为60,第21个数据为70,故中位数为b=
=65.∴(a-b)2=(60-65)2=25.
(3)根据以上信息,你认为这个班的数学水平怎么样
从平均分来看,40名学生的平均成绩为69分,超过了及格分;以众数60分来看,有18名学生恰好为及格分;从全班整体来看,只有2人不及格.由此可知这个班总体数学水平一般.
例：我国淡水资源短缺问题十分突出,已成为我国经济和社会可持续发
展的重要制约因素,节约用水是各地的一件大事.某校初三学生为了调查居民用水情况,随机抽查了某小区20户家庭的月用水量,结果如下表所示:
(1)求这20户家庭月用水量的平均数、众数及中位数;
〔解析〕找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.平均数是指在一组数据中,所有数据之和再除以数据的个数,据此进行求解.
月用水量/t
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
2
3
6
3
1
1
解:(1)平均数
=
×(3×4+4×2+5×3+7×6+8×3+9×1+10×1)=6.
这组数据是按从小到大的顺序排列的,第10,11个数据都是7,则中位数为7.因为7出现的次数最多,所以该组数据的众数为7,故众数和中位数均为7.
(2)政府为了鼓励节约用水,拟试行水价浮动政策,即设定每个家庭月基本用水量a(t),家庭月用水量不超过a(t)的部分按原价收费,超过a(t)的部分加倍收费.
①你认为以平均数作为该小区的家庭月基本用水量a(t)合理吗 为什么 (简述理由)
②你认为该小区的家庭月基本用水量a(t)是多少时较为合理 为什么 (简述理由)
〔解析〕
以众数(中位数)作为家庭月用水量较为合理.因为这样可以满足大多数家庭的月用水量.
解：①以平均数6作为家庭月用水量不合理.
因为不能满足大多数家庭的月用水量.
②以众数(中位数)7作为家庭月用水量较为合理.
因为这样可以满足大多数家庭的月用水量.
课堂小结
平均数
中位数
众数
注
意
点
平均数是应用较多的一种量,平均数计算要用到所有的数据,平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大
中位数仅与数据的排
列位置有关,某些数
据的移动对中位数没
有影响,中位数可能
出现在所给数据中,
也可能不在所给的数
据中,当一组数据中
的个别数据变动较大
时,可用中位数描述
其趋势
众数是当一
组数据中某
一数据重复
出现较多时,
人们往往关
心的一个量,
众数不受极
端值的影响
这是它的一
个优势
不
同
点
都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表
检测反馈
1.我市某一周的每一天的最高气温统计如下表所示:
则这组数据的中位数是
,众数是 .
解析:将表格数据从小到大排列25,26,27,27,28,28,28,
故中位数为27,众数为28.
27
最高气温/℃
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
28
2.100名学生进行20秒钟跳绳测试,测试成绩统计如下表所示(跳绳的个数用x表示):
则这次测试成绩的中位数m满足 (
)
A.40C.60m>70
解析:∵一共有100名学生参加测试,∴中位数应该是第50名和第51名学生成绩的平均数,∵第50名和第51名学生的成绩均在50 B
x
2030405060x>70
人数
5
2
13
31
23
26
3.为了了解汽车司机遵守交通法规的意识,小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速(单位:千米/时)情况如图所示,根据统计图分析,这组车速数据的众数和中位数分别是 ( )
A.60千米/时,60千米/时
B.58千米/时,60千米/时
C.60千米/时,58千米/时
D.58千米/时,58千米/时
解析:观察图可知有3个52,8个56,9个58,10个60,4个
62,2个64,故这组车速数据的众数和中位数分
别是60千米/时,58千米/时.故选C.
C
4.为了了解2015年暑假期间学生做家务劳动的时间,某中学实践活动小组对某班50名学生进行了调查,有关数据如下表:
根据上表中的数据,回答下列问题:
(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时
每周做家务的时间/小时
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
2
2
6
8
12
13
4
3
解:(1)平均数
(小时).
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少
解：中位数、众数分别是2.5小时,3小时.
(3)请你根据(1)(2)的结果,用一句话谈谈自己的感受.
应在家中力所能及地帮家长干家务等.
平均数
中位数
众数
九(1)班
85
85
九(2)班
85
80
5.某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.(1)根据上图填写下表:
85
100
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪一个班级的复赛成绩较好;
从平均数来看两班成绩一样,从中位数来看,(1)班大于(2)班,综合得出(1)班复赛成绩较好.
(2)班实力更强一些,因为(2)班有2人100分,而(1)班第一名100分,第二名85分.
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些,并说明理由.
6.某公司有10名销售业务员,去年每人完成的销售额情况如下表:(1)求10名销售业务员销售额的平均数、中位数和众数;(单位:万元)
解:平均数为
这些数据处于中间位置的两个数字分别为5和5,故中位数为5万元;该组数据中出现次数最多的是4,故众数为4万元.
销售额/万元
3
4
5
6
7
8
10
人数/人
1
3
2
1
1
1
1
(2)为了调动员工积极性,公司准备采取超额有
奖措施,则把标准定为多少万元时最合适
为了调动员工积极性,公司准备采取超额有奖措施,把标准定为5万元时最合适,这样多数人都能达到这个标准,又不至于让绝大多数人拿到奖金,如果把众数4万元作为标准则太低.(共10张PPT)
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.1.1
平均数（第2课时）
八年级数学·下
新课标[人]
为了解5路公共汽车的运营情况,公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量,得到下表:
(1)这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少
(2)从表中你能知道这一天5路公共汽车大约有多少班次的载客量
在平均载客量以上吗 占全天总班次的百分比是多少
想一想
载客量/人
组中值
频数(班次)
1≤x<21
11
3
21≤x<41
31
5
41≤x<61
51
20
61≤x<81
71
22
81≤x<101
91
18
101≤x<121
111
15
(1)知道了5路公共汽车每个运行班次的载客量.
(2)组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.
(3)第二组数据的频数是5.
(4)每组数据的平均值和组中值基本是一致的.
学
习
新
知
根据频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,例如在1≤x<21之间的载客量近似地看作组中值11,组中值11的权是它的频数3.因此这天5路公共汽车平均每班的载客量是
用计算器求加权平均数的值
使用计算器的统计功能求平均数时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xk
以及它们的权f1,f2,…,fk
;最后按动求平均数的功能键(例如
键),计算器便会求出平均数的值.
例：(教材例2)某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,结果如下:13岁8人,14岁16人,15岁24人,16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数).
提问：求跳水队运动员的平均年龄实际上是求哪些数据的加权平均数
解：
(岁).
[解题策略]本题主要考查应用加权平均数解决实
际问题,关键是弄清这组数据的权,并
能运用加权平均数公式进行运算.
例：(教材例3)某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中抽查了50只灯泡,它们的使用寿命如下表所示:
这批灯泡的平均使用寿命是多少
解：根据表可以得出各小组的组中值,
即样本平均数为1672.
因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命是1672
h.
〔解析〕抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本,可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命.求这个样本的平均使用寿命即是求这个样本的加权平均数,根据频数分布表提供的数据求出加权平均数即可.
使用寿命x/h
600≤x<1000
1000≤x<1400
1400≤x<1800
1800≤x<2200
2200≤x<2600
灯泡只数
5
10
12
17
6
[归纳总结] 本题考查了用样本的平均数来估计总体的平均数.当所要考察的对象很多时,或者对考察对象带有破坏性时,统计中常常通过样本估计总体.
1.在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(其中f1+f2+…+fk=n),那么这n个数的平均数
也叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.
2.运用频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,利用加权平均数公式计算即可.
课堂小结
检测反馈
1.有人对某旅游区的旅游人数进行了10天统计,
结果有3天是每天800人,有2天是每天1200人,
有5天是每天700人,那么这10天平均每天旅游的人数是 ( )
A.830人
B.850人 C.900人 D.800人
解析:求出这10天的总人数后,除以10即为平均每天旅游的人数.由题意知,10天旅游的总人数=800×3+1200×2+700×5=8300(人),∴平均每天旅游的人数=8300÷10=830(人).故选A.
A
2.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地产西瓜约600个.为了考察西瓜的产量,在西瓜上市前该瓜农随机抽查了部分成熟的西瓜,称重如下:
(1)计算所有抽查的西瓜的平均质量;
解析:根据平均数的概念求平均数.
解:(1)所抽查的西瓜个数=1+2+3+2+1+1=10(个),所抽查的西瓜的
平均质量为
(千克).
答:所抽查的西瓜的平均质量为5千克.
西瓜质量/千克
5.5
5.4
5.0
4.9
4.6
4.3
西瓜数量/个
1
2
3
2
1
1
(2)目前西瓜的批发价约为每500克0.3元,若瓜农
按此价格卖出,请你估计这亩地所产西瓜能卖
多少元钱.
这亩地所产西瓜大约能卖的钱数=600×5÷0.5×0.3=1800(元).答:这亩地所产西瓜的收入约是1800元.
解析:在(1)的基础上乘西瓜总数,即为总质量,然后乘单价即可解答.第二十章 数据的分析
1.进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义.
2.会计算加权平均数,理解“权”的意义,能选择适当的统计量表示数据的集中趋势.
3.会计算极差和方差,理解它们的统计意义,会用它们表示数据的波动情况.
1.探索并掌握平均数、方差的计算公式,会找一组数据的中位数、众数、极差,用样本估计总体,并解决生产、生活中的有关问题.
2.从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动,经历数据处理的基本过程,体验统计与生活的联系,感受统计在生活和生产中的作用,养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.
1.能用计算器的统计功能进行统计计算,进一步体会计算器的优越性.
2.会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差,进一步感受抽样的必要性,体会用样本估计总体的思想.
3.通过创设问题情境,激发学生自主探求的热情和积极参与的意识;通过合作交流,培养学生团结协作、乐于助人的品质.
本章属于“统计与概率”领域.对于“统计与概率”领域的内容,共有三章.这三章内容采用统计和概率分开编排的方式,前两章是统计,最后一章是概率.统计部分的两章内容按照数据处理的基本过程来安排.我们在7年级下册学习了“第10章数据的收集、整理与描述”,本章“数据的分析”主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法.
在前一章中,我们学习了收集、整理和描述数据的常用方法,将收集到的数据进行分组、列表、绘图等处理工作后,数据分布的一些面貌和特征可以通过统计图表等反映出来.为了进一步了解数据分布的特征和规律,还需要计算出一些代表数据一般水平(典型水平)或分布状况的特征量.对于统计数据的分布的特征,可以从三个方面来分析:一是分析数据分布的集中趋势,反映数据向其中心值(平均数)靠拢或聚集的程度;二是分析数据分布的离散程度,反映数据远离其中心值(平均数)的趋势;三是分析数据分布的偏态和峰度,反映数据分布的形状.这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面.根据《标准》的要求,本章就从前两个方面研究数据的分布特征.
【重点】 平均数、众数、中位数、方差的定义及其应用.
【难点】 应用所学的统计知识解决实际问题.
1.注意与前两个学段相关内容的衔接.
本章在教学时,注意与前两个学段的衔接,将三个学段的相关内容,在分析数据的这个大背景下统一起来,在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识.例如,对于平均数、中位数、众数,本章就是在研究数据集中趋势的大背景下,在整理学生已有的关于这三种统计量的认识的基础上,学习加权平均数,研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等.这样的一种编写方式,将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体.因此,教学中要注意对已有知识的复习,在复习的基础上学习新内容,使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识.
2.准确把握教学要求.
本章要求通过较多实例,从不同的方面进一步感受抽样的必要性,并初步感受样本的代表性,体会不同的抽样可能得到不同的结果,能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等.因此,在本章教学时,要注意把握教学要求.
3.合理使用计算器.
信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化,为统计工作的高效、准确提供了便捷的工具.对于计算器等现代信息技术对统计的作用,本章中,编写了使用计算器求一组数据的平均数和方差的内容作为必学内容,还编写了利用计算机求平均数、中位数、众数和方差等集中统计量的内容作为选学内容等.教学中要注意发挥计算器在处理数据中的作用,也要注意合理地使用计算器.
20.1
数据的集中趋势20.1.1平均数(2课时)20.1.2中位数和众数(2课时)
4课时
20.2
数据的波动程度
1课时
20.3
课题学习
体质健康测试中的数据分析
1课时
单元概括整合
1课时
20.1 数据的集中趋势
1.进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
2.理解中位数和众数的定义和意义,会求一组数据的中位数和众数,能结合具体问题解释中位数和众数的实际意义.
3.能分清平均数、中位数、众数三者的区别,根据实际问题情境选择适当的统计量表示数据的特征.
经历应用加权平均数对数据处理和探索中位数、众数的过程,体验对统计基本思想的理解过程.能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题.
通过加权平均数、中位数和众数的学习,初步认识数学与人类生活的密切联系,感受数学结论的确定性,激发学生学好数学的热情,感受统计在生活中的应用,增强统计意识,培养统计能力.
【重点】 算术平均数、加权平均数的概念及计算,会求一组数据的中位数和众数,能结合实际情境理解其实际意义.
【难点】 理解平均数、中位数和众数这三个统计量之间的联系与区别,能根据具体问题选择适当的统计量分析数据信息并作出决策.
20.1.1 平均数
1.进一步掌握算术平均数、加权平均数的概念.
2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数.
经历应用加权平均数对数据处理的过程,体验对统计基本思想的理解过程.能运用数据信息的分析解决一些简单的实际问题.
通过加权平均数的学习,初步认识数学与人类生活的密切联系,感受数学结论的确定性,激发学生学好数学的热情.
【重点】
1.算术平均数、加权平均数的概念及计算.
2.掌握加权平均数的实际应用.
【难点】
1.体会平均数在不同情境中的应用.
2.应用加权平均数对数据做出合理判断.
第课时
1.使学生理解数据的权和加权平均数的概念.
2.使学生掌握加权平均数的计算方法.
1.通过加权平均数的学习,经历运用数据描述信息,作出推断的过程,形成和发展统计观念.
2.通过加权平均数的学习,进一步认识数据的作用,体会统计的思想方法.
渗透数学公式的简单美和结构的严谨美,展示了寓深奥于浅显、寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美.
【重点】 会求加权平均数.
【难点】 对“权”的正确理解.
【教师准备】 教学中出示的课件和例题.
【学生准备】 预习课本内容.
导入一:
刘木头开了一家小工厂,生产儿童玩具.工厂的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他6个亲戚组成.工作人员由5个领工和10个工人组成.现在需要一个新工人,刘木头正在与一个叫小王的青年人谈招聘问题.刘木头说:“我们这里报酬不错,平均每个人的薪金是每周300元,但在学徒期间每周是75元,不过很快就可以加工资.”
小王上了几天班以后,要求和厂长谈谈.小王说:“你骗我,我已经和其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元.每人平均工资怎么可能是一周300元呢 ”
刘木头皮笑肉不笑地回答:“小王,不要激动嘛!每人平均工资确实是300元,不信你自己算一算.”刘木头拿出一张表,说道:“这是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6个亲戚每人得250元,5个领工每人得200元,10个工人每人得100元.总共是每周6900元,付给23个人,平均每人得300元,对吗 ”
“对,对,你是对的,每人的平均工资是每周300元.可你还是骗了我.”小王生气地说.
刘木头拍着小王的肩膀说:“这我可不同意,你自己算的结果也表明我没骗你呀!小兄弟,你根本不懂得平均数的含义,怪不得别人哟!”
同学们,你能当个小法官来判一下谁说的对吗
[设计意图] 让学生明确数学问题来源于生活实践,同时数学又指导生活实践,从而达到激发学生思考问题、探究新知的强烈欲望及引入新课的目的.
导入二:
农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子,对甲、乙两个品种各用10块试验田进行试验,得到各试验田每公顷的产量(见下表),根据这些数据,应为农科院选择甜玉米种子提出怎样的建议呢
品种
各试验田每公顷产量(单位:吨)
甲
7.65
7.50
7.62
7.59
7.65
7.64
7.50
7.40
7.41
7.41
乙
7.55
7.56
7.53
7.44
7.49
7.52
7.58
7.46
7.53
7.49
提问:如何考察一种玉米的产量和产量的稳定性
学生随意说出自己的一些想法后,教师说明本章学习的知识内容:
(1)平均数、中位数、众数和方差等概念;
(2)用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差;
(3)课题学习,解决实际问题.
[设计意图] 问题的提出,学生难以用已学到的平均数的公式解决这个问题,需要研究新的方法,学习新的知识,让学生了解本章研究的基本知识内容,培养学生用样本估计总体的基本思想.
[过渡语] 前面我们学过算术平均数的计算,我们一起来探究加权平均数.
1.加权平均数
思路一
问题:某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表:
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
这个市郊县的人均耕地面积是多少 (精确到0.01公顷)
问题1
小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
=
=0.18(公顷).
你认为小明的做法有道理吗 为什么
组织学生讨论,教师参与,并适时指导:
(1)对“平均数”和“人均耕地面积”的准确理解;
(2)三个郊县人数的多少对人均耕地面积有无影响,分析小明同学的计算错误.
问题2
这个市郊县的总耕地面积是多少 总人口是多少 你能算出这个市郊县的人均耕地面积是多少吗
引导学生列出正确算式,即这个市郊县的人均耕地面积为:
≈0.17(公顷).
问题3
三个郊县的人数(单位:万)15,7,10在计算人均耕地面积时有何作用
教师指出:上面的平均数0.17称为三个数0.15,0.21,0.18的加权平均数.三个郊县的人数(单位:万)15,7,10分别为三个数据的权.
追问:你能正确理解数据的权和三个数的加权平均数吗
在活动中教师应重点关注学生对数据的权及加权平均数的理解.
问题4
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则这n个数的加权平均数是多少
教师引导学生从三个数据的加权平均数的计算方法中,归纳得出n个数的加权平均数的计算公式.
学生思考、总结归纳:
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则叫做这n个数的加权平均数.
[设计意图] 通过讨论、分析、思考认识到用已学过的平均数的计算方法来计算这个市郊县的人均耕地面积是根本行不通的,使学生意识到需要学习新知识、新方法,激发学生去探究.通过大胆猜想,培养学生的探究意识,通过教师的有效引导,让学生体会数学的归纳思想方法,理解n个数的加权平均数的计算公式及其结构特征,认识数据的权的作用.
思路二
问题1
一家公司打算招聘一名英文翻译,对甲乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试,他们各项的成绩(百分制)如下:
应试者
听
说
读
写
甲
85
83
78
75
乙
73
80
85
82
提问:如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译,计算两名应试者的平均成绩(百分制),从他们的成绩看,应该录取谁 录用依据是什么
学生提出评判依据,若学生提出以总分作为依据,教师要引导学生思考:已学过的哪个统计量可反映数据的集中趋势 学生计算平均数,解决问题.
追问:这家公司在招聘英文翻译的过程中,对甲、乙两名应试者进行了哪几个方面的英语水平测试 成绩分别为多少
学生同桌讨论,计算后提出自己的意见.
问题2
如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译,听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定,计算两名应试者的平均成绩,从他们的成绩看,应该录取谁
引导学生讨论:招聘口语能力或笔译能力较强的翻译时,听、说、读、写四项成绩的重要程度是否相同,公司侧重哪两个方面的成绩 从给出的比值是否体现这两方面更加“重要”
根据算术平均数的计算公式,让学生依据题目要求,分别计算出甲、乙两名应试者的成绩,教师引导写出解答过程.
问题3
在问题2中,各个数据的重要程度不同(权不同),这种计算平均数的方法能否推广到一般
追问:若n个数据x1,x2,…,xn的权分别为w1,w2,…,wn,这n个数据的平均数该如何计算
教师引导学生思考归纳得出n个数的加权平均数的计算公式:
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则叫做这n个数的加权平均数.
问题4
如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译,应该侧重哪些分项成绩 如果听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定两人的测试成绩,那么谁将被录取 与问题2相比较,你能体会到权的作用吗
学生独立完成计算过程,体会权的改变对加权平均数的影响.
追问:你认为问题1中各数据的权有什么关系 通过上述问题的解决,说说你对权的认识.
师生活动:引导学生分析加权平均数公式,发现问题1中各数可看作是权相同的,教师指出两种平均数之间的联系.
[设计意图] 回顾学过的平均数的意义,为引入加权平均数作铺垫.通过讨论,让学生充分发表自己的见解,同时接纳和吸引别人的正确意见,相互交流、相互探讨,培养学生的合作意识.通过改变同一个问题背景中数据的权,得到不同的结果,从而进一步体会权的意义与作用.
[知识拓展] (1)当所给的数据在一常数a上下波动时,一般选用='+a.一组数据x1,x2,…,xn的各个数据比较大的时候,我们可以把各个数据同时减去一个适当的常数a,得x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a.于是x1=x'1+a,x2=x'2+a,…,xn=x'n+a.因此=(x1+x2+…+xn)=(x1'+x2'+…+xn')+·na='+a;(2)平均数的大小与每个数据都有关系,它反映一组数据的集中趋势,是一组数据的“重心”,也是度量一组数据波动大小的基准;(3)加权平均数是算术平均数的特例.加权平均数的实质就是考虑不同权重的平均数,当加权平均数的各项权相等时,就变成了算术平均数.
2.例题讲解
一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各个成绩均按百分制,再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例,计算选手的综合成绩(百分制),进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示:(单位:分)
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
请确定两人的名次.
教师出示例题并指导学生阅读分析:这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数,50%,40%,10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度,是三项成绩的权.
学生在阅读过程中明确下列问题:
(1)演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度用什么数据说明
(2)要想决出两人的名次,必须求两人的总成绩,实质上是求这两名选手三项成绩的加权平均数.
学生根据加权平均数的计算公式先分别计算出两名选手的总成绩,教师进一步引导写出解答过程.
解:选手A的最后得分是=90,
选手B的最后得分是=91.
由上可知选手B获得第一名,选手A获得第二名.
[设计意图] 让学生掌握自学的方法,提高学生独立分析问题、解决问题的能力.通过问题的解决,让学生进一步体会数据的权的作用,体验参与数学活动的乐趣.
(1)
加权平均数的意义:在一组数据中,由于每个数据的权不同,所以计算平均数时,用加权平均数,才符合实际.
(2)数据的权的意义:数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
(3)加权平均数公式:=.
1.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分,其中平时体育活动评估成绩占20%,期中成绩占30%,期末成绩占50%.则平时体育活动评估成绩、期中成绩、期末成绩的权分别为 、 和 .
解析:根据权的概念解决即可.
答案:20% 30% 50%
2.学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%,60%的比例计入学期学科总成绩.小明期中数学成绩是85分,期末数学成绩是90分,那么他的学期数学总成绩是 ( )
A.85分 B.87.5分
C.88分 D.90分
解析:根据学期数学成绩=期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩.故选C.
3.一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩的20%,面试占30%,实习成绩占50%,各项成绩如下表所示:(单位:分)
应聘者
笔试
面试
实习
甲
85
83
90
乙
80
85
92
试判断谁会被公司录用,为什么
解:甲的平均成绩为=86.9,
乙的平均成绩为=87.5.因此,乙会被公司录用.
4.某单位欲招聘一名技术部门负责人,对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,且各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录取,三位候选人的各项测试成绩如下表所示:(单位:分)
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
沟通能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用 说明理由.
(2)根据实际需要,该单位将沟通能力、科研能力和组织能力三项测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩,谁将被录用 说明理由.
解:(1)甲的平均成绩为(85+70+64)÷3=73,乙的平均成绩为(73+71+72)÷3=72,丙的平均成绩为(73+65+84)÷3=74,因此,丙的平均成绩最高,丙将被录用. (2)
甲的成绩为=76.3,乙的成绩为=72.2,丙的成绩为=72.8.因此,甲的成绩最高,甲将被录用.
第1课时
1.加权平均数
2.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第113页练习第1,2题;教材第121页习题20.1第1题.
【选做题】
教材第122页习题20.1第5题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在中国好声音选秀节目中,四位参赛选手的各项得分如下表,如果将专业、形象、人气这三项得分按3∶2∶1的比例确定最终得分,最终得分最高的进入下一轮比赛,则进入下一轮比赛的是( )(每项按10分制)
测试内容
测试成绩
小赵
小王
小李
小黄
专业素质
6
7
8
8
形象表现
8
7
6
9
人气指数
8
10
9
6
A.小赵 B.小王 C.小李 D.小黄
2.学校广播站要招聘1名记者,小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试,成绩如下:
采访写作
计算机
创意设计
小明
70分
60分
86分
小亮
90分
75分
51分
小丽
60分
84分
72分
现在要计算3人的加权平均分,如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由3∶5∶2变成5∶3∶2,成绩变化情况是 ( )
A.小明增加最多 B.小亮增加最多
C.小丽增加最多 D.三人的成绩都增加
3.希望中学一个学期的数学总平均分是按下图进行计算的.该校李飞同学这个学期的数学成绩如下:(单位:分)
李飞
平时作业
期中考试
期末考试
90
85
88
则李飞这个学期数学总平均分为 .
4.某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价,由单价为15元/千克的甲种糖果10千克,单价为12元/千克的乙种糖果20千克,单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为 .
【能力提升】
5.学生的学科期末成绩由期考分数、作业分数、课堂参与分数三部分组成,按各占30%,30%,40%的比例确定.已知晓明的数学期考80分,作业90分,课堂参与85分,则他的数学期末成绩为 分.
6.小丽家上个月吃饭费用为500元,教育费用为200元,其他费用为500元.本月小丽家这三项费用分别增长了10%,30%和5%.小丽家本月的总费用比上个月增长的百分数是多少
7.小李同学七年级第二学期的数学成绩如下表所示:
测验类别
平时
期中考试
期末考试
测验1
测验2
测验3
测验4
成绩(分)
88
92
94
90
92
89
如果学期的总评成绩是根据如图所示的权重计算,那么小李同学该学期的总评成绩为多少分 (四舍五入精确到1分)
8.老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占10%,测验占20%,期中考试占35%,期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表:
学生
作业
测验
期中考试
期末考试
小关
80
75
71
88
小兵
76
80
68
90
分别算出小关和小兵的总平均分.
【拓展探究】
9.某单位欲从内部招聘管理人员一名,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试,三人的测试成绩如下表所示:
测试成绩(单位:分)
测试项目
甲
乙
丙
笔试
75
80
90
面试
93
70
68
根据录用程序,组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议,三人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图所示,每得一票记作1分.
(1)请算出三人的民主评议得分;
(2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选,那么谁将被录用 (精确到0.01)
(3)根据实际需要,单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4∶3∶3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用
【答案与解析】
1.D(解析:将四个人的测试成绩按比例求出最终成绩,找出成绩最高的即可.)
2.B(解析:根据加权平均数的概念分别计算出3人的各自成绩.先求出采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比是3∶5∶2各自的成绩,再求出这三项的权重比是5∶3∶2各自的成绩,进行比较.)
3.87.5(解析:先从统计图得到相应数据的权重,再利用加权平均数的计算方法求解.)
4.11.5元/千克
(解析:将三种糖果的总价算出,再除以60即可.)
5.85(解析:根据加权平均数的计算公式计算即可.)
6.
解:500×10%+200×30%+500×5%=135(元),135÷(500+200+500)×100%=11.25%.
7.解:平时平均成绩为=91(分),总评成绩为=90.1≈90(分).
8.解:小关的学期总平均分为=80×10%+75×20%+71×35%+88×35%=78.65(分),小兵的学期总平均分为'=76×10%+80×20%+68×35%+90×35%=78.9(分).
9.解:(1)甲、乙、丙三人的民主评议得分分别为:200×25%=50(分),200×40%=80(分),200×35%=70(分). (2)甲的平均成绩为≈72.67(分),乙的平均成绩为≈76.67(分),丙的平均成绩为=76.00(分).由于76.67>76>72.67,所以候选人乙将被录用. (3)甲的个人成绩为=72.9(分);乙的个人成绩为=77(分);
丙的个人成绩为=77.4(分).由于丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被录用.
本节课把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.平均数是统计中的一个重要概念,新教材注重了学生在经历统计活动的过程中体会平均数的本质内涵,理解平均数的意义,发展学生的统计观念.基于以上认识,我在设计中突出了让学生在具体情境中体会为什么要学习平均数,注重引导学生在统计的背景中理解平均数的含义,在比较、观察中把握平均数的特征,进而运用平均数解决实际问题,了解它的价值,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
在教学过程中,高估了学生理解加权平均数的能力,主要困难在于一些学生不能对权的含义理解透彻.
适当增加学生熟知的一些实例,通过计算平均数,深刻理解权的含义及对平均数的影响.
练习(教材第113页)
1.解:(1)甲:=88(分),乙:=87.5(分),故甲将被录取. (2)甲:=87.6(分),乙:=88.4(分),故乙将被录取.
2.解:=88.5(分).故小桐这学期的体育成绩是88.5分.
学生在第二学段已学过平均数,初步了解了平均数的实际意义,这个课时将在此基础上,在研究数据集中趋势的大背景下,学习加权平均数,体会权的意义、作用,并进一步体会平均数是刻画一组数据集中趋势的重要的统计量,是一组数据的“重心”.
教材设计了以招聘英文翻译为背景的实际问题,根据不同的招聘要求,各项成绩的“重要程度”不同,从而平均成绩不同,由此引入加权平均数的概念.权的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”.为了更好地说明这一点,教科书设计了“思考”栏目和例1,从不同方面体现权的作用,使学生更好地理解加权平均数,体会权的意义和作用.
加权平均数不同于简单的算术平均数,简单的算术平均数只与数据的大小有关,而加权平均数则还与该组数据的权相关,学生对权的意义和作用的理解会有困难,往往造成数据与权混淆不清,只会利用公式,而不知加权平均数的统计意义.
本节课的教学重点是对权及加权平均数统计意义的理解;教学难点是对权的意义的理解,用加权平均数分析一组数据的集中趋势.
(2014·张家界中考)已知一组数据4,13,24的权数分别是,,
则这组数据的加权平均数是 .
〔解析〕 由加权平均数计算公式得=4×+13×+24×=17.故填17.
(2014·乐山中考)下表是10支不同型号签字笔的相关信息,则1支签字笔的平均价格是
( )
型号
A
B
C
价格(元/支)
1
1.5
2
数量(支)
3
2
5
A.1.4元
B.1.5元
C.1.6元
D.1.7元
〔解析〕 将表格中的数据代入加权平均数的公式即可.由题意得==1.6(元).故选C.
第课时
1.加深对加权平均数的理解.
2.会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题.
3.会用计算器求加权平均数的值.
经历探索加权平均数的应用过程,体验和理解统计的基本思想,学会频数分布表中应用加权平均数的方法.
乐于接触社会环境中的数学信息,了解数学对促进社会进步和发展人类理解精神的作用.
【重点】 能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数.
【难点】 对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解.
【教师准备】 教学中出示的教学图表和例题.
【学生准备】 预习教材内容.
导入一:
为了解5路公共汽车的运营情况,公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量,得到下表:
载客量/人
组中值
频数(班次)
1≤x<21
11
3
21≤x<41
31
5
41≤x<61
51
20
61≤x<81
71
22
81≤x<101
91
18
101≤x<121
111
15
(1)这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少
(2)从表中你能知道这一天5路公共汽车大约有多少班次的载客量在平均载客量以上吗 占全天总班次的百分比是多少
学生思考后,追问:在求加权平均数时,各组的数据如何确定 各组的权分别是什么 你能计算这天5路公共汽车平均每班的载客量吗
[设计意图] 使学生在思考问题的过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题,帮助学生理解表格所表达出来的信息,立足原有的基础,自然引出新课.
导入二:
[过渡语] 上节课,我们学习了加权平均数的定义和公式,我们一起来回顾一下.
在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(其中f1+f2+…+fk=n),那么这n个数的平均数=也叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.
下面请同学们自学教材114页探究,思考下面的问题:
(1)依据统计表可以读出哪些信息
(2)这里组中值指什么 它是怎么确定的
(3)第二组数据的频数是什么呢
(4)如果每组数据在本组中分布均匀,数据的平均值和组中值有什么关系
学生自由讨论,交流.
[设计意图] 让学生复习旧知,自主探究问题,激发学生学习的兴趣和欲望,为深入探究新知做好准备.
1.根据频数分布表求加权平均数
思路一
[过渡语] 下面我们具体来看看刚才探究的问题.
学生思考、探索、交流,解决每个问题.
(1)知道了5路公共汽车每个运行班次的载客量.
(2)组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.
(3)第二组数据的频数是5.
(4)每组数据的平均值和组中值基本是一致的.
教师指点:
根据频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,例如在1≤x<21之间的载客量近似地看作组中值11,组中值11的权是它的频数3.因此这天5路公共汽车平均每班的载客量是=≈73(人).
[设计意图] 引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法,加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似代替一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度,即权,也可以帮助学生去回忆、复习关于频数分布表的一些内容,比如组中值及频数在表中的具体意义.
思路二
为调查居民生活环境质量,环保局对50个居民区进行了噪音(单位:分贝)水平的调查,结果如下图,求每个小区噪音的平均分贝数.
提出问题:
(1)依据统计图可以读出哪些信息
(2)各组的数据是怎样确定的
(3)每一组数据的频数指什么呢
学生思考、探索、交流,解决每个问题.
教师总结:根据频数分布图求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,例如在40≤x<50之间的噪音近似地看作组中值45分贝,组中值45的权是它的频数4.
[设计意图] 引出根据频数分布直方图求加权平均数近似值的计算方法,加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似代替一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度,即权,也可以帮助学生提高获取信息、分析数据的能力.
2.用计算器求加权平均数的值
使用计算器的统计功能求平均数时,不同品牌的计算器的操作步骤有所不同,操作时需要参阅计算器的使用说明书.通常需要先按动有关键,使计算器进入统计状态;然后依次输入数据x1,x2,…,xk
以及它们的权f1,f2,…,fk
;最后按动求平均数的功能键(例如键),计算器便会求出平均数的值.
学生选择教材第114页中的探究进行练习,组内交流操作情况.
3.例题讲解
[过渡语] 下面我们一起来分析几个例子.
(教材例2)某跳水队为了解运动员的年龄情况,作了一次年龄调查,结果如下:13岁8人,14岁16人,15岁24人,16岁2人.求这个跳水队运动员的平均年龄(结果取整数).
教师提问:求跳水队运动员的平均年龄实际上是求哪些数据的加权平均数
学生分析,此题中的问题实际就是求13,14,15,16这4个数的加权平均数,8,16,24,2叫做13,14,15,16的权.
解:=≈14(岁).
[解题策略] 本题主要考查应用加权平均数解决实际问题,关键是弄清这组数据的权,并能运用加权平均数公式进行运算.
(教材例3)某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命,从中抽查了50只灯泡,它们的使用寿命如下表所示:
使用寿命x/h
600≤x<1000
1000≤x<1400
1400≤x<1800
1800≤x<2200
2200≤x<2600
灯泡只数
5
10
12
17
6
这批灯泡的平均使用寿命是多少
〔解析〕 抽出的50只灯泡的使用寿命组成一个样本,可以利用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命.求这个样本的平均使用寿命即是求这个样本的加权平均数,根据频数分布表提供的数据求出加权平均数即可.
解:根据表可以得出各小组的组中值,于是==1672,
即样本平均数为1672.
因此,可以估计这批灯泡的平均使用寿命是1672
h.
[归纳总结] 本题考查了用样本的平均数来估计总体的平均数.当所要考察的对象很多时,或者对考察对象带有破坏性时,统计中常常通过样本估计总体.
师生共同回顾本节课所学主要内容:
1.在求n个数的平均数时,如果x1出现f1次,x2出现f2次,…,xk出现fk次(其中f1+f2+…+fk=n),那么这n个数的平均数=也叫做x1,x2,…,xk这k个数的加权平均数,其中f1,f2,…,fk分别叫做x1,x2,…,xk的权.
2.运用频数分布表求加权平均数时,统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,利用加权平均数公式计算即可.
1.有人对某旅游区的旅游人数进行了10天统计,结果有3天是每天800人,有2天是每天1200人,有5天是每天700人,那么这10天平均每天旅游的人数是 ( )
A.830人 B.850人 C.900人 D.800人
解析:求出这10天的总人数后,除以10即为平均每天旅游的人数.由题意知,10天旅游的总人数=800×3+1200×2+700×5=8300(人),∴平均每天旅游的人数=8300÷10=830(人).故选A.
2.某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜,这亩地产西瓜约600个.为了考察西瓜的产量,在西瓜上市前该瓜农随机抽查了部分成熟的西瓜,称重如下:
西瓜质量/千克
5.5
5.4
5.0
4.9
4.6
4.3
西瓜数量/个
1
2
3
2
1
1
(1)计算所有抽查的西瓜的平均质量;
(2)目前西瓜的批发价约为每500克0.3元,若瓜农按此价格卖出,请你估计这亩地所产西瓜能卖多少元钱.
解析:(1)根据平均数的概念求平均数.(2)在(1)的基础上乘西瓜总数,即为总质量,然后乘单价即可解答.
解:(1)所抽查的西瓜个数=1+2+3+2+1+1=10(个),所抽查的西瓜的平均质量为=5(千克).答:所抽查的西瓜的平均质量为5千克. (2)这亩地所产西瓜大约能卖的钱数=600×5÷0.5×0.3=1800(元).答:这亩地所产西瓜的收入约是1800元.
第2课时
1.根据频数分布表求加权平均数
2.用计算器求加权平均数的值
3.例题讲解
例1 例2
一、教材作业
【必做题】
教材第115页练习第1,2题;教材第116页练习题.
【选做题】
教材第123页习题20.1第9题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.某班一次知识问答成绩如下表所示,那么这次知识问答全班的平均成绩(结果保留整数)约是 ( )
成绩/分
50
60
70
80
90
100
人数/人
1
3
8
17
14
7
A.80分 B.81分
C.82分 D.83分
2.如果一组数据中有3个6,4个-1,2个-2,1个0和3个x,其平均数为x,那么x= .
【能力提升】
3.某校开展“节约每一滴水”活动,为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况,从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约水情况.见表:
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/个
2
4
6
7
1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是( )
A.130
m3 B.135
m3
C.6.5
m3 D.260
m3
4.(2015·湖州中考)在“争创美丽校园,争做文明学生”示范校评比活动中,10位评委给某校的评分情况如下表:
评分/分
80
85
90
95
人数
1
2
5
2
则这10位评委评分的平均数是 分.
5.(2015·无锡中考)某种蔬菜按品质分成三个等级销售,销售情况如下表:
等级
单价/(元/千克)
销售量/千克
一等
5.0
20
二等
4.5
40
三等
4.0
40
则销售蔬菜的平均单价为 元/千克.
6.某校为了了解学生做课外作业所用时间的情况,对学生做课外作业所用时间进行调查,下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表.
(1)第二组数据的组中值是多少
(2)求该班学生平均每天做数学课外作业所用时间.
所用时间t/分钟
人数
04
106
2014
3013
409
504
7.果农老张进行桃树科学管理试验,把一片桃树林分成甲、乙两部分,甲地块用新技术管理,
乙地块用老办法管理,管理成本相同,在甲、乙两地块随机选取40棵桃树,根据每棵树的产量把桃树划分成A,B,C,D,E五个等级(甲、乙两地块的桃树等级划分标准相同,每组数据包括左端点,不包括右端点),画出统计图如图所示.
甲地块桃树等级频数分布直方图 乙地块桃树等级分布扇形统计图
(1)补全直方图,求a的值及相应扇形的圆心角的度数;
(2)选择合适的统计量,比较甲、乙两地块的产量水平,并说明试验结果.
【拓展探究】
8.我国是世界上严重缺水的国家之一,2014年春季以来,我省遭受了严重的旱情,某校为了组织“节约用水从我做起”活动,随机调查了本校120名同学家庭月人均用水量和节水措施情况,如图所示的是根据调查结果做出的统计图的一部分.
请根据信息解答下列问题:
(1)图(1)中淘米水浇花所占的百分比为 ;
(2)图(1)中安装节水设备所在的扇形的圆心角度数为 ;
(3)补全图(2);
(4)如果全校学生家庭总人数为3000人,根据这120名同学家庭月人均用水量,估计全校学生家庭月用水总量是多少吨.
【答案与解析】
1.C(解析:
根据加权平均数的计算公式计算即可.
==82.2(分).故选C.)
2.1(解析:由题意得=x,解得x=1.)
3.A(解析:先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数,即样本平均数,然后乘总数400即可.20名同学各自家庭一个月平均节约用水量是(0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1)÷20=0.325(m3),因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是400×0.325=130(m3).故选A.)
4.89(解析:=89(分).)
5.4.4(解析:5.0×20+4.5×40+4.0×40)÷100=4.4(元/千克).)
6.解:(1)第二组数据的组中值是(10+20)÷2=15. (2)根据表中数据可以得出各小组的组中值,于是==30.8,即样本平均数为30.8.因此,该班学生平均每天做数学课外作业所用时间是30.8分钟.
7.解:(1)B等级的桃树有40-2-6-10-10=12(棵),据此补全直方图,如图所示.由扇形统计图可知a=100-15-45-20-10=10,相应扇形的圆心角度数为360°×10%=36°.
(2)==80.5(kg),=95×15%+85×10%+75×45%+65×20%+55×10%=75(kg),>,说明用新技术管理的甲地块桃树的平均产量高于用老方法管理的乙地块桃树的平均产量.
8.解:(1)1-11%-30%-44%=15%. (2)360°×30%=108°. (3)120-10-41-33-16=20,如图所示. (4)(10×1+41×2+20×3+33×4+16×5)÷120≈3.0,3.0×3000=9000(吨).答:估计全校学生家庭月用水总量是9000吨.
本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境—合作探究—分析计算—总结升华”为主线,使学生亲身体验根据频数分布表计算加权平均数的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.
在教学过程中,对于组中值的作用、为什么要取组中值没有深入讨论,有些学生只是知道要取组中值,对于其中的原因根本没有明白,部分学生对于权的理解还不够深刻.
适当增加学生熟悉的实例,通过对比,使学生明白为什么要取组中值,并能更进一步理解权的含义,掌握根据频数分布表计算加权平均数的方法.
练习(教材第115页)
1.解:=×176≈15(岁).
2.解:=≈64(cm).
练习(教材第116页)
解:≈13(根).
本节课内容主要是根据频数分布表求加权平均数,在解决此类问题时,涉及确定每一组的数据及每组中数据对应的权,然后根据加权平均数的计算公式计算平均数.
首先从生活实例引入,让学生探究求平均数实际就是求加权平均数,要求加权平均数必须确定每组的数据及每个数据的权,从而进一步引出组中值即是代表了每组的实际数据,把各组的频数看作相应组中值的权,最后利用加权平均数的计算公式求出平均数.体现了学生的探索、发现和计算的过程.解决问题的关键是正确理解组中值的意义及权的含义,教学中要注意加以引导.
本节的重点是根据频数分布表计算加权平均数,其难点就是理解用组中值代表每组的实际数据并确定每组数据的权.在教学过程中,从生活实例出发,通过逐步引导学生探究的方式,使学生理解并掌握确定每组数据的方法,并能确定每组数据的权,对于这种问题的解决方法,学生感到陌生,部分学生掌握上有一定的困难.所以,这里采取学生先独立思考、合作探究、讨论交流、计算分析等活动,最后,教师再给出总结,以便突破这一难点,激发学生学习数学的热情.
为了调查某一路口某时段的汽车流量,记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数,其中有2天是142辆,2天是145辆,6天是156辆,5天是157辆,那么这15天通过该路口汽车的平均辆数为 ( )
A.146 B.150 C.153 D.1600
〔解析〕 本题可先求出15天内经过的总的车辆数,再除以15即可.(2×142+2×145+6×156+5×157)÷15=153.故选C.
在一次体育课上,体育老师对九年级一班的40名同学进行了立定跳远项目的测试,测试所得分数及相应的人数如图所示,则这次测试的平均分为 ( )
A.分 B.分
C.分 D.8分
〔解析〕 先从统计图中读出数据,然后根据平均数的公式求解即可.平均分=(6×5+8×15+10×20)÷40=(分).故选B.
某中学为了了解本校女学生的身体发育情况,抽测了同年龄的40名女学生的身高情况,统计人员将上述数据整理后,列出了频数分布表如下:
身高/cm
频数
144.52
149.5A
154.514
159.512
164.56
合计
40
根据以上信息回答下列问题:
(1)频数分布表中的A= ;
(2)这40名女学生的平均身高是 cm.(精确到0.1
cm)
解:(1)A=40-(2+14+12+6)=6. (2)根据频数分布表可以得出各小组的组中值,于是=≈158.8(cm),因此,这40名女学生的平均身高是158.8
cm.
20.1.2 中位数和众数
1.理解中位数和众数的定义和意义,会求一组数据的中位数和众数.
2.结合具体问题解释中位数和众数的实际意义.
3.能分清平均数、中位数、众数三者的区别,根据实际问题情境选择适当的统计量表示数据的特征.
通过实际问题情境经历探索中位数、众数的过程,培养学生的应用意识和实践能力.
1.培养学生自主探索与合作交流的意识与能力.
2.在解决实际问题的情境中,让学生体会数学与实际生活的联系,感受统计在生活中的应用,增强统计意识,培养统计能力.
【重点】 会求一组数据的中位数和众数,能结合实际情境理解其实际意义.
【难点】 理解平均数、中位数和众数这三个统计量之间的联系与区别,能根据具体问题选择适当的统计量分析数据信息并作出决策.
第课时
1.认识中位数和众数,并会求一组数据的众数和中位数.
2.能够在具体的情境中选择合适的统计量表示数据.
3.培养学生运用数学来解决实际问题的意识,养成“用数字来说话”的思想和习惯.
通过设置问题情境,经过探索、研究、解决问题,使学生经历中位数和众数产生的过程,感受统计在生活中的应用.
1.通过小组间的交流与合作,体验数学活动充满探索与创新的特点,从而培养学生的合作交流意识和探索精神.
2.在解决实际问题的情境中,体会数学与实际生活的联系,增强统计意识,培养统计能力.
【重点】 理解中位数、众数的概念,会求一组数据的中位数和众数.
【难点】 利用中位数、众数分析数据信息并作出决策.
【教师准备】 教学中出示的例题.
【学生准备】 复习平均数、加权平均数的定义.
导入一:
先请同学们听一则故事:
小张大学毕业后去找工作,看到一则招工启事:
他觉得待遇还不错,就应聘去了这家公司,可在公司工作了两个月后,他找到公司经理说:“你们欺骗了我,我已经找其他公司职员核对过,没有一个职员的工资可以拿到两千元的,月平均工资怎么可能是2000元呢 ”经理说:“小张,不要激动,月平均工资是2000元.”说着拿出了一张工资表:
员工
经理
副经理
职员A
职员B
职员C
职员D
职员E
职员F
杂工G
月工资(元)
6000
4000
1700
1300
1200
1100
1100
1100
500
同学们,你认为平均工资2000元能否客观地反映员工的平均收入吗 若不能,你认为哪个数据反映该公司员工工资的平均水平更为合理呢
[设计意图] 创设具体的问题情境,使数学知识生活化,激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
八(一)班共有30人,在某次数学考试中,小红得到78分,其他同学的成绩如下表:
分数
100分
90分
80分
10分
2分
人数
1
4
22
1
1
(1)请你计算班级的数学平均分;
(2)小红告诉妈妈说,自己这次数学成绩在班上处于中上水平,你认为小红的说法合理吗 为什么
[设计意图] 复均数的计算方法,并使学生初步体会到平均数有时会受极端数据的影响,对“数学成绩”单用“平均数”来描述数据的特征是不合适的了,这就要寻求一种新的描述数据的方法,这样在冲突中就激起了学生探求新知的欲望.
1.中位数
思路一
问题:某学校男子篮球队15名男生的身高(单位:厘米)分别为:
166,174,180,172,167,170,169,174,172,172,172,158,161,173,172
(1)把他们的身高按照由低到高的顺序重新排列,排在最中间位置的是哪个数据 如果按照由高到低的顺序排列呢 你发现了什么
(2)如果又有一名身高为173厘米的男生加入,那么这组数据的个数是多少 如果把他们的身高按照由低到高的顺序排列起来,那么排在最中间的是什么数据 如果按照由高到低的顺序排列呢
教师引导学生讨论,也可以进行分组讨论.
师生共同交流情境中的问题,得到结论:
在问题(1)中,数据共有15个,排在最中间位置的是172厘米,我们称它为这组数据的中位数.
追问:问题(1)中数据的个数是奇数个,问题(2)中数据的个数是偶数个,中位数是什么呢
教师引导分析:在问题(2)中,数据的个数是16个,按身高排列排在最中间位置的是两个数据,都是172厘米,这时把这两个数据的平均数172厘米作为这组数据的中位数.
教师进一步总结:
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
[设计意图] 精心设置一系列递进的问题,通过师生互动,促使学生完成对新知识抽丝剥茧的过程,从而自然地生成新知.
思路二
请同学们观察下列广告牌中两个电话号码的数字:
8373922
(奇数个数据)
400-0170-529(偶数个数据)
思考下列问题:把它们的数字按从小到大的顺序重新排列,排在最中间位置的是哪个数字 如果按照由大到小的顺序排列呢 你发现了什么
学生观察、对比、讨论交流.
8373922按照从小到大的顺序或者从大到小的顺序排列,由于是奇数个数据,所以最中间的数是3;而400-0170-529由于有偶数个数据,按照从小到大的顺序或者从大到小的顺序排列,所以最中间的数是1和2.
教师在此基础上讲解:
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
追问:8373922
这个电话号码中的数据的中位数是3,那么400-0170-529中是偶数个数据,中位数是什么呢
学生计算:=1.5.
师生总结求中位数的步骤:
(1)将数据由小到大(或由大到小)排列;
(2)数清数据个数是奇数还是偶数,如果数据个数为奇数,则取中间的数,如果数据个数为偶数,则取中间位置两数的平均值作为中位数.
即:(1)n
为奇数时,中位数是第个数据;
(2)n为偶数时,中位数是第,+1个数据的平均数.
[设计意图] 结合生活实例分析、理解中位数的概念,培养学生归纳和总结的能力.
[知识拓展] (1)中位数在一组数据中是唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据.(2)将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的一个数是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则处于中间位置的两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
(3)中位数与数据排序有关,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数来描述这组数据的集中趋势.
2.众数
[过渡语] 下面我们再来看一个描述一组数据的集中趋势的量.
思路一
下面的扇形图描述了某种运动服的S号、M号、L号、XL号、XXL号的销售情况,请你为这家商场提出进货建议.
学生思考,各抒己见.
师生共同交流情境中的问题,得到结论:
因为M号出现的百分比最大,所以建议商场多进M号的运动服,其次是进S号,再其次进L号,少进XXL号的运动服.
教师引导学生总结:
众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
[设计意图] 利用学生所熟悉的生活实际问题进行教学,拉近学生的距离,加深对众数的理解.
思路二
某面包房,在一天内销售面包100个,各类面包销售量如下表:
面包种类
奶油
巧克力
豆沙
香稻
三色
椰蓉
销售量/个
10
15
25
5
15
30
如果你是店主,你最关心的是什么
学生思考,普遍认为最值得关心的是销量.
引导学生观察,比较表中的数据:
在这个问题里,椰蓉销售量最大,其次是豆沙,最少的是香稻,因此可以建议多进椰蓉和豆沙,少进香稻.
师生共同总结:
众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.
[设计意图] 通过问题解决,结合实例理解众数的概念.
[知识拓展] (1)众数也常作为一组数据的代表,用来描述数据的集中趋势,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往是人们所关心的一个量.(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据,是一组数据中的原数据,而不是相应的次数.(3)一组数据中的众数有时不止一个,如数据2,3,-1,2,1,3中,2和3都出现了2次,它们都是这组数据的众数.
3.例题讲解
(教材问题2改编)下表是某公司员工月收入的资料:
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
1000
人数/人
1
1
1
3
6
1
11
1
(1)计算这个公司员工月收入的平均数;
(2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平合适吗
(3)你认为选择哪种统计量来反映公司全体员工月收入水平合理些
师生分析:根据题意,把这25个人的收入都加起来,再除以25即可求出这组数据的平均数,因为受较大数据45000,18000,10000的影响,所以用平均数表示员工的收入情况不合适,因为这组数据的中位数是3400元,所以用中位数反映员工的收入情况较合适.
解:(1)
这个公司员工月收入的平均数为(45000+18000+10000+5500×3+5000×6+3400+3000×11+1000)÷25=6276(元).
(2)这个公司员工月收入的平均数为6276元,但在25名员工中,仅有3名员工的收入在6276元以上,而另外22名员工的收入都在6276元以下,因此,用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平不太合适.
(3)将公司25名员工月收入数据由小到大排列,得到中位数为3400元,这说明除去月收入为3400元的员工,一半员工收入高于3400元,另一半员工收入低于3400元.
故用中位数来反映公司全体员工月收入水平更合理些.
[归纳总结] 求中位数的步骤:(1)将数据由小到大(或由大到小)排列;(2)数清数据个数是奇数还是偶数,如果数据个数为奇数,则取中间的数,如果数据个数为偶数,则取中间位置两数的平均值作为中位数.
(教材例4)在一次男子马拉松长跑比赛中,抽得12名选手所用的时间(单位:min)如下:
136,
140,
129,
180,
124,
154,146,
145,
158,
175,
165,
148.
(1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少
(2)一名选手的成绩是142
min,他的成绩如何
同桌之间讨论,组内交流.
题目中数据共有12个,故中位数是从小到大排列后,第6、第7两个数的平均数,再根据中位数的意义评价142
min的成绩.
解:(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列:
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
则这组数据的中位数是=147.
所以样本数据的中位数是147.
(2)由(1)中得到的样本数据的中位数,可以估计,在这次马拉松比赛中,约有一半选手的成绩慢于147
min,约有一半选手的成绩快于147
min,故成绩为142
min的选手比一半以上选手的成绩好.
(教材例5)一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,各种尺码鞋的销售量如下表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
〔解析〕 一般来讲,鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大,也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数.一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据,通过分析样本数据可以找出样本数据的众数,进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多.
解:由表可以看出,在鞋的尺码组成的数据中,23.5是这组数据的众数,即23.5
cm的鞋销售量最大,因此可以建议鞋店多进23.5
cm的鞋.
甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下:
甲/秒
10.8
10.9
11.0
10.7
11.2
10.8
乙/秒
10.9
10.9
10.8
10.8
10.5
10.9
请你比较这两组数据的众数、平均数和中位数,再作判断.
师生分析:作判断实质上就是按众数、平均数和中位数的大小比较优劣.
解:甲:平均数:(10.8+10.9+11.0+10.7+11.2+10.8)÷6=10.9(秒),
众数:10.8秒,中位数:10.85秒.
乙:平均数:(10.9+10.9+10.8+10.8+10.5+10.9)÷6=10.8(秒),
众数:10.9秒,中位数:10.85秒.
从平均数看甲的成绩比乙的好,从众数看乙的成绩比甲的好,从中位数看两人成绩一样.
[设计意图] 通过设计问题使学生熟练掌握平均数、中位数、众数的求法,使学生能根据实际问题情境选择适当的统计量来解决实际问题,训练学生独立思考的能力,规范解题格式,培养学生严谨的学习态度.
师生共同回顾所学主要内容:
中位数
众数
概念
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数
一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数
作用
中位数也是用来描述数据的集中趋势的,它是一个位置代表值,如果知道一组数据的中位数,那么可以知道,小于或大于这个中位数的数据约各占一半
众数也常作为一组数据的代表,用来描述数据的集中趋势,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往是人们所关心的一个量
区别
中位数的优点是计算简单,只与其在数据中的位置有关,但不能充分利用所有的数据信息.众数只与其在数据中重复出现的次数有关,而且有时不是唯一的,
但不能充分利用所有的数据信息,而且当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有特别的意义
联系
它们从不同角度描述了一组数据的集中趋势
1.某校在预防H1N1流感过程中,坚持每日检查体温,下表是该校八年级四班同学一天的体温数据统计表,则该班40名学生体温的中位数是 (
)
体温/℃
36.0
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
36.9
37.0
人数
0
2
0
5
7
5
6
3
8
3
1
A.
36.8
℃ B.
36.5
℃
C.
36.6
℃ D.
36.4
℃
解析:题中已将40人的体温从小到大排列,找第20,21人的体温,均为36.6
℃,故该班40名学生体温的中位数是36.6
℃.故选C.
2.在下表这组测试体重的数据中,众数是 ( )
体重/kg
33
36
39
42
45
48
人数/人
4
5
12
10
4
3
A.39 B.48 C.12 D.3
解析:由表可以看出有4个33,5个36,12个39,10个42,4个45,3个48,其中39出现的次数最多,根据众数的意义,在一组数据中,出现次数最多的数就是这组数据的众数,所以39就是这组数据的众数.故选A.
3.(2015·北京中考)某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是 ( )
A.21,21 B.21,21.5
C.21,22 D.22,22
解析:从图中可以看出出现最多的数据是21,因此众数是21.气温为20
℃,21
℃,22
℃,23
℃和24
℃分别有4天,10天,8天,6天和2天,按从小到大排序后处在最中间的两个数是22,因此中位数为22.故选C.
4.在数据-1,0,4,5,8中插入一个数据x,使该组数据的中位数是3,则x= .
解析:在数据-1,0,4,5,8中,插入一数据x,使得该组数据的中位数是3,则(4+x)÷2=3,解得x=2.故填2.
5.在一次数学知识竞赛中,某班20名学生的成绩如下表所示:
成绩/分
50
60
70
80
90
人数
2
3
6
7
2
分别求这些学生成绩的众数、中位数和平均数.
解:平均数是=72(分);由表可知80分对应的人数最多,因此这组数据的众数应该是80分;由于人数总和是20,为偶数,将数据从小到大排列后,第10个和第11个数据都是70,因此这组数据的中位数应该是70分.
第1课时
1.中位数
2.众数
3.例题讲解
例1
例2 例3
例4
一、教材作业
【必做题】
教材第117页练习题;教材第118页练习第1,2题.
【选做题】
教材第121页习题20.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·达州中考)2015年某中学举行的春季田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示:
成绩/m
1.80
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
人数
1
2
4
3
3
2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是 ( )
A.1.70
m,1.65
m B.1.70
m,1.70
m
C.1.65
m,1.60
m D.3,4
2.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 ( )
A.
a>b>c B.
c>b>a
C.
b>c>a D.
c>a>b
3.样本数据10,10,x,8的唯一众数与平均数相同,那么这组数据的中位数是 ( )
A.8 B.9 C.10 D.12
4.数据8,9,9,8,10,8,9,9,8,10,7,9,9,8的中位数是 ,众数是 .
【能力提升】
5.对于数据:3,3,2,3,6,3,3,6,3,2.则在下列结论中:①这组数据的众数是3;②这组数据的众数与中位数的数值不相等;③这组数据的中位数与平均数的数值相等;④这组数据的平均数与众数的数值相等.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.数据92,96,98,100,120,x的众数是96,则这组数据的中位数是 .
7.为了加强市区交通秩序管理,交警部门在十字路口安装了红绿灯实行交道管制.以下数据是某十字路口处,十个相同时间段(即绿灯亮一次的持续时间,红、绿灯交替各持续40秒)内南北方向机动车通过的数据(单位:辆):15,22,15,17,18,15,19,15,20,14.
(1)该组数据的众数和中位数各是多少
(2)估计1小时内南北方向通过该路口的车有多少辆.
8.某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售定额,统计了这15人某月的销售量如下(单位:件):
1800,510,250,250,210,250,210,210,150,210,150,120,120,210,150.
(1)这组数据的平均数、中位数和众数各是多少
(2)假设销售部负责人把每位营销人员的月销售量定为320件,你认为合理吗 如果不合理,请你制定一个合理的销售定额,并说明理由.
9.某商店3,4月份出售某一品牌各种规格的空调,销售台数如下表所示:
根据表格回答问题:
(1)商店出售各种规格的空调中,众数是多少
(2)假如你是经理,现要在有限的资金下进货,将如何决定
【拓展探究】
10.某公司的33名员工的月工资(以元为单位)如下:
职位
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数;
(2)假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么 (精确到1元)
(3)在(2)中你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来反映该公司员工的工资水平
【答案与解析】
1.C(解析:按从小到大的顺序排列,1.50
m的有2个,1.60
m的有4个,1.65
m的有3个,1.70
m的有3个,1.75
m的有2个,1.80
m的有1个,故中位数是1.65
m;出现次数最多的数据是1.60,故众数是1.60
m.故选C.)
2.B(解析:∵生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,总和为147,∴平均数a==14.7,样本数据17出现次数最多,为众数,即c=17;将数据从小到大排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17,∴中位数b=15.∵17>15>14.7,∴c>b>a.故选B.)
3.C(解析:根据题意,得(10+10+x+8)÷4=10,解得x=12.将这组数据从小到大重新排列为8,10,10,12,最中间的两个数的平均数即为中位数,是10.故选C.)
4.9 9(解析:从小到大排列此组数据为7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,9,10,10,一共14个数据,第7个与第8个都是9,所以中位数是(9+9)÷2=9;数据9出现了6次,次数最多,所以众数为9.)
5.A(解析:从小到大排列数据为2,2,3,3,3,3,3,3,6,6.数据3出现了6次,最多,众数为3;第5个、第6个数据均是3,中位数是3;平均数为(2+2+3+3+3+3+3+3+6+6)÷10=3.4.故选A.)
6.97(解析:∵92,96,98,100,120,x的众数是96,∴x=96,将这组数据按从小到大的顺序排列为92,96,96,98,100,120,处于中间位置的是96,98,那么由中位数的定义可知这组数据的中位数是(96+98)÷2=97.故填97.)
7.解:(1)根据众数的概念,15出现了4次,出现的次数最多,则这组数据的众数是15.根据中位数的概念,首先将这组数据从小到大排列,即14,15,15,15,15,17,18,19,20,22,则中位数是15和17的平均数,即16.答:众数是15,中位数是16. (2)容易求得样本平均数是17,则估计1小时内南北方向通过该路口的车有(3600÷40÷2)×17=765(辆).答:1小时内南北方向通过该路口的车约有765辆.
8.解:(1)平均数是=320(件).数据按从大到小的顺序排列,处于中间位置的是210,因而中位数是210件.210出现了5次,次数最多,所以众数是210件. (2)不合理.理由如下:15人中有13人的销售量达不到320件,320件虽是所给数据的平均数,它却不能很好地反映销售人员的一般水平,销售量定为210件合适些,因为210件既是中位数,又是众数,是大部分人能达到的定额.
9.解:(1)卖出空调的台数中:1匹的为28台,1.2匹的为50台,1.5匹的为22台,2匹的为12台,可得买1.2匹的人数最多,故众数为1.2匹. (2)通过观察可得1.2匹的销售量最大,所以要多进1.2匹的空调,由于资金有限,就要少进2匹的空调.
10.解:(1)平均数为=1500+(4000+3500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20)≈1500+591=2091(元),中位数为1500元,众数为1500元. (2)平均数为=1500+(28500+18500+2000×2+1500+1000×5+500×3+0×20)≈1500+1788=3288(元),中位数为1500元,众数是1500元. (3)在(2)中,应该使用中位数来反映该公司员工的工资水平,原因是公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.
本节课的教学设计遵循学生的认知心理,通过设计学生熟悉的问题情境,激发学生的学习兴趣及积极性,适时组织与引导学生自主探索、与同伴合作交流,认识中位数、众数的特点,能根据实际问题,选择适当的统计量,表示一组数据的不同特征,突破重难点,完成本节课的学习目标,让学生感受“现实的数学、有用的数学”.
学生对中位数和众数的定义的掌握和理解较易接受,但在求中位数时容易出错.
在教学中需强调:(1)先将一组数据排序;(2)当一组数据的个数是偶数时,则要求中间两个数的平均数作为这组数据的中位数.教学过程中精心设计几种不同情形,巩固学生对中位数的求法.
练习(教材第117页)
提示:中位数是6,说明该车间大约有一半工人日加工零件数不少于6件.
练习(教材第118页)
1.提示:该商场应多购进M号运动服,酌情减少XXL号运动服的进货量(答案不唯一).
2.解:年龄的平均数是=15(岁),中位数是15岁,
众数是15岁.由于平均数、中位数、众数都是15岁,因此该校男子足球队队员的年龄都集中在15岁.
平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的三种数据代表,它是学生学会分析数据,作出决策的基础,只是描述的角度和适用范围有所不同.本节内容是在学生充分体会平均数的特点的基础上,引入的第二种描述数据集中趋势的统计量,它是对前面所学知识的深化与拓展,起到了“承上启下”的作用.从知识方面看:它是描述一组数据的集中趋势的知识的进一步完善.从数学的应用价值方面看:从“单一”的“平均数”分析逐步过渡到“多元”的综合分析,有利于逐步形成统计观念.
在教学过程中,通过创设生活情境,调动学生学习的积极性,使他们在独立思考、自主探索、合作交流的过程中体会中位数、众数产生的过程及必要性.整节课以问题情境贯穿始终,这样可以使抽象的数学知识形象化、生活化,从而突破本节课的教学难点,并且使学生充分体会到数学来源于生活,又应用于生活.
某公司有15名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表:
部门
A
B
C
D
E
F
G
人数
1
1
2
4
2
2
3
年利润/(万元/人)
20
5
2.5
2.1
1.5
1.5
2
(1)该公司每人所创年利润的平均数、中位数、众数各是多少
(2)你认为应该用哪个数据来描述该公司每人所创年利润的一般水平比较合适
〔解析〕 (1)把所有数据相加,注意每个数据的个数不一样,所得的和除以15,得到平均数,把所有的数据按照从小到大的顺序排列,有15个数字,最中间一个是中位数.(2)用来描述该公司每人所创年利润的一般水平一般是平均数和中位数,该公司A部门每人所创年利润与其他部门每人所创年利润差距很大,导致平均数与中位数偏差很大,应用中位数来描述较合理.
解:(1)(20+5+2.5×2+2.1×4+1.5×4+2×3)÷15=50.4÷15=3.36(万元),
故该公司每人所创年利润的平均数是3.36万元.
把所有的数据按照从小到大的顺序排列,有15个数字,最中间一个是2.1,
故该公司每人所创年利润的中位数为2.1万元.
2.1万元和1.5万元在这组数据中出现的次数最多,所以该公司每人所创年利润的众数是2.1万元和1.5万元.
(2)该公司A部门每人所创年利润与其他部门每人所创年利润差距很大,
导致平均数与中位数偏差很大,应用中位数来描述该公司每人所创年利润一般水平比较合理.
第课时
1.进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表.
2.了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异.
3.能灵活应用这三个数据代表解决实际问题.
通过实际问题情境理解平均数、中位数和众数这三个统计量之间的联系与区别,培养学生的应用意识和实践能力.
在解决实际问题的情境中,让学生体会数学与实际生活的联系,感受统计在生活中的应用,增强统计意识,培养统计能力.
【重点】 了解平均数、中位数、众数之间的差异.
【难点】 灵活运用这三个数据代表解决问题.
【教师准备】 教学中出示的例题和图片.
【学生准备】 复习平均数、中位数、众数.
导入一:
[过渡语] 前面我们学习了三个重要的统计量:平均数、中位数、众数,一起来思考下列问题.
歌唱比赛有二十位评委给选手打分,统计每位选手得分时,会去掉一个最高分和一个最低分,这样做,肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响
学生讨论,交流.
统计每位选手得分时,会去掉一个最高分和一个最低分,这样做不会对数据的中间的数产生影响,即中位数.
[设计意图] 创设具体的问题情境,使数学知识生活化,激发学生学习数学的兴趣.
导入二:
衷国、胡强和安宁三人在一次数学活动课上玩数学游戏,衷国说:我在卡片上写了倒数是它本身的有理数,胡强说:我在卡片上写了绝对值不超过2的整数,安宁说我在卡片上写了平方等于它本身的实数.聪明的你知道他们各写了什么数吗 这些数的众数、中位数和平均数各是多少
学生计算,得出:
衷国写的数是1,-1;胡强写的数是±2,±1,0;安宁写的数是1和0.众数是1,中位数是0,平均数为.
[设计意图] 通过设计数学游戏导入,增强了趣味性,激发了学生学习数学的兴趣.
[过渡语] 下面通过分析一个问题,看看平均数、中位数、众数的特点.
1.平均数、中位数、众数的特点
思路一
甲、乙、丙三个家电厂在广告中都声称,他们的某种电子产品在正确使用的情况下,使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽查,分别抽查的8个产品使用寿命的统计结果如下(单位:年):
甲厂:6,6,6,8,8,9,9,12.
乙厂:6,7,7,7,9,10,10,12.
丙厂:6,8,8,8,9,9,10,10.
(1)把以上三组数据的平均数、众数、中位数填入下表:
平均数
众数
中位数
甲厂
乙厂
丙厂
(2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种数.
(3)如果你是顾客,应该选哪个厂家的产品 为什么
教师引导学生先计算求解,再进行讨论.
(1)填表如下:
平均数
众数
中位数
甲厂
8
6
8
乙厂
8.5
7
8
丙厂
8.5
8
8.5
(2)甲厂利用了平均数或中位数;乙厂利用了平均数或中位数;丙厂利用了平均数、众数或中位数.
(3)选丙厂的产品.因为无论从哪种数据看都是最大的,且多数的使用寿命达到或超过8年.
师生共同总结:
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势.
[设计意图] 通过设计厂家推销广告问题情境,让学生理解平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势,它们各有自己的特点,在实际应用中,需要分析具体问题的情况,选择适当的量反映数据的集中趋势.
思路二
为了普及环保知识,增强环保意识,某中学组织了环保知识竞赛活动,初中三年级根据预选成绩选出了3名同学甲、乙、丙参加决赛,决赛要进行十次测试,三名选手的决赛成绩(满分为100分)如下表所示:
决赛成绩(单位:分)
甲
80 86 74 80 80 88 88 89 91 99
乙
85 85 87 97 85 76 88 77 87 88
丙
82 80 78 78 81 96 97 88 89 86
(1)请你填写下表:
平均数
众数
中位数
甲
85.5
87
乙
85.5
85
丙
84
(2)请从以下两个不同的角度对三个同学的决赛成绩进行分析:
①从平均数和众数相结合看,分析哪个同学成绩好些;
②
从平均数和中位数相结合看,分析哪个同学成绩好些.
(3)如果在参加决赛的三名选手中选出1人参加市各中学总决赛,你认为哪个同学比较合适 并说明理由.
教师引导学生先计算求解,再进行讨论.
(1)填表如下:
平均数
众数
中位数
甲
85.5
80
87
乙
85.5
85
86
丙
85.5
78
84
(2)①∵平均数都相同,乙的众数最高,∴乙的成绩好一些;
②∵平均数都相同,甲的中位数最高,∴甲的成绩好一些.
(3)应选甲,理由如下:
①中位数高说明有一半次数的分数在87分以上,乙和丙达不到;
②从各次考试成绩可以看出,甲对环保知识很了解,成绩从第三次后一直在进步,说明甲平时重视环保知识,并且目前正在收集学习环保知识,他的知识面也越来越广.乙和丙后阶段成绩进步不够突出.
教师引导学生总结,再补充:
平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.
中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势.
[设计意图] 通过设计如何选择决赛选手问题情境,让学生理解平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势,它们各有自己的特点,在实际应用中,需要分析具体问题的情况,选择适当的量反映数据的集中趋势.
[知识拓展] (1)平均数、中位数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量.(2)平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的每个数据都有关,是最为重要的量.(3)中位数不受个别数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用它来描述其集中趋势.(4)众数只与数据出现的频数有关,不受个别数据影响,有时是我们最为关心的统计量.
2.例题讲解
为了从张明、王龙两名学生中选拔一人参加“希望杯”数学竞赛,在相同条件下对他们的数学知识进行了5次测验,成绩如下:(单位:分)
测验次序
1
2
3
4
5
张明成绩
92
86
96
96
100
王龙成绩
94
100
92
90
84
(1)张明同学成绩的众数是多少分 王龙同学成绩的中位数是多少分
(2)分别求出这两位同学成绩的平均分数;
(3)如果测验分数在95分(含95分)以上为优秀,那么他们的优秀率分别是多少
(4)你认为应选哪名同学去参加“希望杯”数学竞赛 说说你的理由.
〔解析〕 (1)把这组数据按大小关系排列,中间位置的数是中位数;出现次数最多的数是众数.(2)平均数是总分除以次数;(3)优秀率是优秀次数除以总次数;(4)根据优秀率等综合选拔.
解:(1)张明成绩中96分最多,
所以其众数是96分;
王龙成绩从小到大排列为(单位:分):84,90,92,94,100,所以中位数是92分.
(2)张明的平均分数是=94(分);
王龙的平均分数是=92(分).
(3)张明的优秀率为=60%;
王龙的优秀率为=20%.
(4)选张明去参加数学竞赛,因为他的平均分和优秀率都高.
[解题策略] 此题是一道综合应用题,掌握中位数、众数、平均数和优秀率等概念及计算方法是关键,同时会用它们对问题进行分析得出结论.
(教材例6)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19 22 17 16 19 32 30 16 14 15 26 15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
(1)月销售额在哪个值的人数最多 中间的月销售额是多少 平均月销售额是多少
(2)如果想确定一个较高的销售目标,你认为月销售额定为多少合适 说明理由.
(3)如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为月销售额定为多少合适 说明理由.
师生分析:数据较多,用唱票的方法,先列频数分布表,商场统计的每个营业员在某月的销售额组成一个样本,通过分析样本数据的平均数、中位数、众数来估计总体的情况,从而解决问题.
解:整理上面的数据得到图表如下:
销售额/万元
13
14
15
16
17
18
19
22
23
24
26
28
30
32
人数/人
1
1
5
4
3
2
3
1
1
1
2
3
1
2
(1)从表和图中可以看出,样本的数据的众数是15,中位数是18,利用计算器求得这组数据的平均数约是20,可以推测,这个服装部营业员的月销售额为15万元的人数最多,中间的月销售额是18万元,平均月销售额大约是20万元.
(2)这个目标可以定为每月20万元(平均数).因为从样本数据看,在平均数、中位数和众数中,平均数最大,可以估计,月销售额定为每月20万元是一个较高目标,大约会有的营业员获得奖励.
(3)月销售额可以定为每月18万元(中位数),因为从样本情况看,月销售额在18万元以上(含18万元)的有16人,占总人数的一半左右,可以估计,如果月销售额定为18万元,将有一半左右的营业员获得奖励.
[解题策略] 用图表整理和描述样本数据,有助于分析数据、解决问题.
某班40名学生的某次数学测验成绩统计表如下:
成绩/分
50
60
70
80
90
100
人数/人
2
x
10
y
4
2
(1)若这个班的数学平均成绩是69分,求x和y的值;
(2)设此班40名学生成绩的众数为a,中位数为b,求(a-b)2的值;
(3)根据以上信息,你认为这个班的数学水平怎么样
小组内讨论,分析得出:(1)根据总人数和平均成绩列方程组进行求解;(2)先根据众数和中位数的概念求出a,
b的值,再求代数式的值;(3)分别从平均分和众数来分析全班数学水平.
解:(1)由题意得:
解得
(2)由x=18,y=4可知成绩为60分的有18人,是出现次数最多的数据,故众数为60分,即a=60.表中的数据是从小到大排列的,第20个数据为60,第21个数据为70,故中位数为b=
=65.
∴(a-b)2=(60-65)2=25.
(3)从平均分来看,40名学生的平均成绩为69分,超过了及格分;以众数60分来看,有18名学生恰好为及格分;从全班整体来看,只有2人不及格.由此可知这个班总体数学水平一般.
我国淡水资源短缺问题十分突出,已成为我国经济和社会可持续发展的重要制约因素,节约用水是各地的一件大事.某校初三学生为了调查居民用水情况,随机抽查了某小区20户家庭的月用水量,结果如下表所示:
月用水量/t
3
4
5
7
8
9
10
户数
4
2
3
6
3
1
1
(1)求这20户家庭月用水量的平均数、众数及中位数;
(2)政府为了鼓励节约用水,拟试行水价浮动政策,即设定每个家庭月基本用水量a(t),家庭月用水量不超过a(t)的部分按原价收费,超过a(t)的部分加倍收费.
①你认为以平均数作为该小区的家庭月基本用水量a(t)合理吗 为什么 (简述理由)
②你认为该小区的家庭月基本用水量a(t)是多少时较为合理 为什么 (简述理由)
〔解析〕 (1)找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.平均数是指在一组数据中,所有数据之和再除以数据的个数,据此进行求解.(2)以众数(中位数)作为家庭月用水量较为合理.因为这样可以满足大多数家庭的月用水量.
解:(1)平均数=×(3×4+4×2+5×3+7×6+8×3+9×1+10×1)=6.
这组数据是按从小到大的顺序排列的,第10,11个数据都是7,则中位数为7.
因为7出现的次数最多,
所以该组数据的众数为7,
故众数和中位数均为7.
(2)①以平均数6作为家庭月用水量不合理.
因为不能满足大多数家庭的月用水量.
②以众数(中位数)7作为家庭月用水量较为合理.
因为这样可以满足大多数家庭的月用水量.
共同回顾本节课所学主要内容:
平均数
中位数
众数
注意点
平均数是应用较多的一种量,平均数计算要用到所有的数据,平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大
中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势
众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势
不同点
都是来描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一组数据的代表
1.我市某一周的每一天的最高气温统计如下表所示:
最高气温/℃
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数是 ,众数是 .
解析:将表格数据从小到大排列为25,26,27,27,28,28,28,故中位数为27,众数为28.
答案:27 28
2.100名学生进行20秒钟跳绳测试,测试成绩统计如下表所示(跳绳的个数用x表示):
x
2030405060x>70
人数
5
2
13
31
23
26
则这次测试成绩的中位数m满足 ( )
A.40 C.60m>70
解析:∵一共有100名学生参加测试,∴中位数应该是第50名和第51名学生成绩的平均数,∵第50名和第51名学生的成绩均在50 3.为了了解汽车司机遵守交通法规的意识,小明的学习小组成员协助交通警察在某路口统计的某个时段来往汽车的车速(单位:千米/时)情况如图所示,根据统计图分析,这组车速数据的众数和中位数分别是 ( )
A.60千米/时,60千米/时
B.58千米/时,60千米/时
C.60千米/时,58千米/时
D.58千米/时,58千米/时
解析:观察图可知有3个52,8个56,9个58,10个60,4个62,2个64,故这组车速数据的众数和中位数分别是60千米/时,58千米/时.故选C.
4.为了了解2015年暑假期间学生做家务劳动的时间,某中学实践活动小组对某班50名学生进行了调查,有关数据如下表:
每周做家务的时间/小时
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数/人
2
2
6
8
12
13
4
3
根据上表中的数据,回答下列问题:
(1)该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时
(2)这组数据的中位数、众数分别是多少
(3)请你根据(1)(2)的结果,用一句话谈谈自己的感受.
解:(1)平均数==2.44(小时).
(2)中位数、众数分别是2.5小时,3小时.
(3)应在家中力所能及地帮家长干家务等.
5.某中学开展“八荣八耻”演讲比赛活动,九(1)、九(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据上图填写下表:
平均数
中位数
众数
九(1)班
85
85
九(2)班
85
80
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪一个班级的复赛成绩较好;
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛,你认为哪个班的实力更强一些,并说明理由.
解:(1)85 100
(2)从平均数来看两班成绩一样,从中位数来看,(1)班大于(2)班,综合得出(1)班复赛成绩较好.
(3)(2)班实力更强一些,因为(2)班有2人100分,而(1)班第一名100分,第二名85分.
6.某公司有10名销售业务员,去年每人完成的销售额情况如下表:
销售额/万元
3
4
5
6
7
8
10
人数/人
1
3
2
1
1
1
1
(1)求10名销售业务员销售额的平均数、中位数和众数;(单位:万元)
(2)为了调动员工积极性,公司准备采取超额有奖措施,则把标准定为多少万元时最合适
解:(1)平均数为=5.6(万元);
这些数据处于中间位置的两个数字分别为5和5,故中位数为5万元;
该组数据中出现次数最多的是4,故众数为4万元.
(2)为了调动员工积极性,公司准备采取超额有奖措施,把标准定为5万元时最合适,这样多数人都能达到这个标准,又不至于让绝大多数人拿到奖金,如果把众数4万元作为标准则太低.
第2课时
1.平均数、中位数、众数的特点
2.例题讲解
例1
例2 例3 例4
一、教材作业
【必做题】
教材第121页练习题;教材第122页习题20.1第7题.
【选做题】
教材第123页习题20.1第8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.我省某市五月份第二周连续七天的空气质量指数分别为111,96,47,68,70,77,105,则这七天空气质量指数的平均数是 ( )
A.71.8 B.77 C.82 D.95.7
2.已知一组从小到大的数据:0,4,x,10的中位数是5,则x的值为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(2015·台州中考)若一组数据3,x,4,5,6的众数为6,则这组数据的中位数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.实施新课改以来,某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习,学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分.下表是其中一周的统计数据:
组别
1
2
3
4
5
6
7
分值
90
95
90
88
90
92
85
这组数据的中位数和众数分别是 ( )
A.88,90 B.90,90
C.88,95 D.90,95
5.一组数据2,4,x,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数为 ,中位数为 .
6.一组数据3,4,6,8,x的中位数是x,且x是满足不等式组的整数,则这组数据的平均数是 .
【能力提升】
7.一组数据:2,3,4,x中,若中位数与平均数相等,则x不可能是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
8.为了解我市3路公共汽车的运营情况,公交部门随机统计了某天3路公共汽车每个运行班次的载客量,得到如下频数分布直方图.如果以各组的组中值代表各组实际数据,请分析统计数据完成下列问题.
(1)找出这天载客量的中位数,说明这个中位数的意义;
(2)估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是多少;
(3)计算这天载客量在平均载客量以上班次占总班次的百分数.
(注:一个小组的组中值是指这个小组的两个端点数的平均数)
9.某乡镇企业生产部有技术工人10人,生产部为了合理制定产品的每月生产定额,统计了这10人某月的加工零件个数如下表:
每人加工零件数
80
75
70
50
40
35
人数
1
1
1
4
2
1
(1)写出这10人该月加工零件数的平均数、中位数和众数;
(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为60件,你认为这个指标是否合理 为什么
【拓展探究】
10.某校260名学生参加植树活动,要求每人植4~7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵.将各类的人数绘制成扇形图和条形图,经确认扇形图是正确的,而条形图尚有一处错误.
回答下列问题:
(1)写出条形图中存在的错误,并说明理由;
(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;
(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时,小宇是这样分析的:
第一步:求平均数的公式是=;
第二步:在该问题中,n=4,x1=4,x2=5,x3=6,x4=7;
第三步:==5.5(棵).
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的
②请你帮他计算出正确的平均数,并估计这260名学生共植树多少棵.
【答案与解析】
1.C(解析:
=×(111+96+47+68+70+77+105)=82.故选C.)
2.B(解析:一组从小到大的数据:0,4,x,10的中位数是5,∴(4+x)÷2=5,∴x=6.故选B.)
3.C(解析:根据这组数据的众数是6,可知x=6,再将这组数据重新排序:3,4,5,6,6,故中位数是5.故选C.)
4.B(解析:把这组数据按从小到大的顺序排列为85,88,90,90,90,92,95,故中位数为90,众数为90.故选B.)
5.3.5 3(解析:∵这组数据的众数是2,∴x=2,将数据从小到大排列为2,2,2,4,4,7,则平均数为3.5,中位数为3.)
6.5(解析:解不等式组得3≤x<5,∵x是整数,∴x=3或4,当x=3时,3,4,6,8,x的中位数是4(不合题意,舍去),当x=4时,3,4,6,8,x的中位数是4,符合题意,则这组数据的平均数是(3+4+6+8+4)÷5=5.故填5.)
7.B(解析:第一种情况:将这组数据按从小到大的顺序排列若为2,3,x,4,则处于中间位置的数是3,x,那么由中位数的定义可知这组数据的中位数是(3+x)÷2,平均数为(2+3+4+x)÷4,∴(3+x)÷2=(2+3+4+x)÷4,解得x=3,x的位置与3对调,不影响结果,符合题意;第二种情况:将这组数据按从小到大的顺序排列若为2,3,4,x,则中位数是(3+4)÷2=3.5,此时平均数是(2+3+4+x)÷4=3.5,解得x=5,符合排列顺序;第三种情况:将这组数据按从小到大的顺序排列若为x,2,3,4,则中位数是(2+3)÷2=2.5,平均数是(2+3+4+x)÷4=2.5,解得x=1,符合排列顺序.∴x的值为1,3或5.故选B.)
8.解:(1)80人,估计3路公共汽车每天大约有一半的班次的载客量超过80人. (2)==73(人).因为样本平均数为73,所以可以估计3路公共汽车平均每班的载客量大约是73人. (3)在平均载客量以上的班次占总班次的百分数为×100%=57.5%.
9.解:(1)这10人该月加工零件数的平均数=×(80+75+70+50×4+40×2+35)=×540=54.中位数是50,众数是50. (2)不合理.因为大多数工人达不到这一指标,不能调动工人的积极性.
10.解:(1)D有错,理由如下:10%×20=2≠3. (2)众数为5,中位数为5. (3)①第二步(共16张PPT)
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.3 课题学习
体质健康测试中的数据分析
八年级数学·下
新课标[人]
为促进学生积极参加体育锻炼,养成经常锻炼身体的习惯,提高自我保健能力和体质健康水平,全国各学校每年(或两年)都要从身体形态,身体机能,身体素质等方面对学生的体质健康状况进行一次综合评定.
请同学们分组合作完成下面的调查活动:
收集近两年我校八年级部分学生的《体质健康登记表》,分析登记表中的数据,对我校八年级学生的体质健康情况进行评定,提出增强学生体质健康的建议.
想一想
某校八年级有4个班,共有180人,男生85人，女生95人.
下表是用来记录学生体质健康测试结果的登记表.
学
习
新
知
姓名
班级
年龄
性别
身高
体重
选测一项(20)
50米跑
身高标准体重(10)
立定跳远
肺活量体重指数(20)
选测一项(30)
台阶实验
跳绳
1000米跑(男)
800米跑(女)
篮球运球
选测一项(20)
坐位体前屈
掷实心球
足球运球
握力体
重指数
引体向上(男)
排球垫球
仰卧起坐(女)
你是如何抽取样本的 样本的容量为多少
抽取样本,样本要具有代表性和广泛性.我们组从全校八年级的各班分别抽取5名男生和5名女生,组成一个容量为40的样本.
抽取样本的方法是按学号,分别在每个班抽取学号排在最前面的5名男生和5名女生.
整理数据
计算每个个体的最后得分,按评分标准整理样本数据,得到下表:
成绩
划记
频数
百分比
不及格
3
7.5%
及格
正
8
20%
良好
正正正
17
42.5%
优秀
正正
12
30%
合计
40
40
100%
描述数据
分析数据
结论一:从扇形统计图、条形统计图可以发现样本的体质健康成绩达到良好的最多,有17人,良好及良好以上的有29人,占统计总数的70%左右,由此可估计全校八年级学生的体质健康成绩有类似的结果.
结论二:可以计算出样本的体质健康成绩的平均数,样本的体质健康成绩的平均水平达到了良好,由此可推测全校八年级学生的体质健康成绩的平均水平达到了良好.
结论三:可以计算出样本的体质健康成绩的中位数,这个样本的中位数应该为第20个和第21个数的平均数,中位数落在良好范围内.
结论四:可以计算出样本的体质健康成绩的方差.
撰写调查报告
题目
全校( )年级学生体质健康情况的调查
样本
( )年级各班部分学生
样本容量
40
数据来源
学生体质健康登记表
数据处理过程
主要项目
整理、描述数据
分析数据得出结论
身高
体重
…
1000米跑
800米跑
仰卧起坐
总结
主要建议
参加成员
教师意见
备注
交流
写出活动总结,向全班同学介绍小组的调查过程,展示调查结果,交流通过数据处理寻找规律,得出结论的感受.
课堂小结
检测反馈
1.为了了解参加某运动会的2000名运动员的
年龄情况,从中抽查了100名运动员的年龄,
就这个问题来说,下面说法正确的是 ( )
A.2000名运动员是总体
B.每个运动员是个体
C.100名运动员是抽取的一个样本
D.100名运动员的年龄是抽取的一个样本
解析:根据总体、样本的概念判断即可.故选D.
D
2.已知一组数据:-3,-2,0,6,6,13,20,35,则它的中
位数和众数分别是 ( )
A.6和6 B.3和6
C.6和3 D.9.5和6
解析:根据中位数和众数的概念确定即可.
A
3.若一组数据a1,a2,
…,an的方差是2,那么另一组
数据3a1-3,3a2-3,
…,3an-3的方差是 .
解析:根据方差的性质求出方差.故填18.
18
4.(2015·镇江中考)某商场统计了今年1~5月A,B两种品牌的冰箱的销售情况,并将获得的数据绘制成折线统计图:
(1)分别求该商场这段时间内A,B两种品牌冰箱月销售量的中位数和方差;
解:(1)A种品牌:13,14,15,16,17;B种品牌:
10,14,15,16,20.∴该商场这段时间内A,B两种品牌冰箱月销售量的中位数分别为15台,15台.
(2)根据计算结果,比较该商场1~5月这两种品牌冰箱月销售量的稳定性.
∴该商场1~5月A种品牌冰箱月销售量较稳定.(共18张PPT)
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.1.2
中位数和众数
（第1课时）
八年级数学·下
新课标[人]
八(一)班共有30人,在某次数学考试中,小红得到78分,其他同学的成绩如下表:
(1)请你计算班级的数学平均分;
(2)小红告诉妈妈说,自己这次数学成绩在班上处于中上水平,你认为小红的说法合理吗 为什么
想一想
分数
100分
90分
80分
10分
2分
人数
1
4
22
1
1
问题:某学校男子篮球队15名男生的身高(单位:厘米)分别为:
166,174,180,172,167,170,169,174,172,172,172,158,161,173,172
(1)把他们的身高按照由低到高的顺序重新排列,排在最中间位置的是哪个数据 如果按照由高到低的顺序排列呢 你发现了什么
学
习
新
知
数据共有15个,排在最中间位置的是172厘米,我们称它为这组数据的中位数.
(2)如果又有一名身高为173厘米的男生加入,那么这组数据的个数是多少 如果把他们的身高按照由低到高的顺序排列起来,那么排在最中间的是什么数据 如果按照由高到低的顺序排列呢
数据的个数是16个,按身高排列排在最中间位置的是两个数据,都是172厘米,这时把这两个数据的平均数172厘米作为这组数据的中位数.
小结
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.
知识拓展
(1)中位数在一组数据中是唯一的,可能是这组数据中
的数据,也可能不是这组数据中的数据.
(2)将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排
列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的一
个数是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶
数,则处于中间位置的两个数据的平均数就是这
组数据的中位数.
(3)中位数与数据排序有关,当一组数据中的个别数
据变动较大时,可用中位数来描述这组数据的集
中趋势.
下面的扇形图描述了某种运动服的S号、M号、L号、XL号、XXL号的销售情况,请你为这家商场提出进货建议.
因为M号出现的百分比最大,
所以建议商场多进M号的运
动服,其次是进S号,再其次进
L号,少进XXL号的运动服.
众数:一组数据中出现次数最多的
数据就是这组
数据的众数.
知识拓展
(1)众数也常作为一组数据的代表,用来描述数据的集
中趋势,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往
是人们所关心的一个量.
(2)众数是一组数据中出现次数最多的数据,是一组数
据中的原数据,而不是相应的次数.
(3)一组数据中的众数有时不止一个,如数据2,3,-1,
2,1,3中,2和3都出现了2次,它们都是这组数据的众
数.
例：
(教材问题2改编)下表是某公司员工月收入的资料:
(1)计算这个公司员工月收入的平均数;
(2)若用(1)算得的平均数反映公司全体员工月收入水平合适吗
解:(1)
这个公司员工月收入的平均数为(45000+18000+10000+5500×3+5000×6+3400+3000×11+1000)÷25=6276(元).
解：这个公司员工月收入的平均数为6276元,但在25名员工中,仅有3名员工的
收入在6276元以上,而另外22名员工的收入都在6276元以下,因此,用月收
入的平均数反映所有员工的月收入水平不太合适.
月收入/元
45000
18000
10000
5500
5000
3400
3000
1000
人数/人
1
1
1
3
6
1
11
1
(3)你认为选择哪种统计量来反映公司全体员工月收入水平合理些
解：将公司25名员工月收入数据由小到大排列,得到中位数为3400元,这说明除去月收入为3400元的员工,一半员工收入高于3400元,另一半员工收入低于3400元.故用中位数来反映公司全体员工月收入水平更合理些.
求中位数的步骤:
(1)将数据由小到大(或由大到小)排列;
(2)数清数据个数是奇数还是偶数,如果数据个数为奇数,则取中间的数,如果数据个数为偶数,则取中间位置两数的平均值作为中位数.
例：
(教材例4)在一次男子马拉松长跑比赛中,抽得12名选手所用的时间(单位:min)如下:
136,
140,
129,
180,
124,
154,146,
145,
158,
175,
165,
148.
(1)样本数据(12名选手的成绩)的中位数是多少
(2)一名选手的成绩是142
min,他的成绩如何
解:(1)先将样本数据按照由小到大的顺序排列:
124 129 136 140 145 146
148 154 158 165 175 180
则这组数据的中位数是
=147.
所以样本数据的中位数是147.
由(1)中得到数据的中位数,可以估计,在这次马拉松比赛中,约有一半选手的成绩慢于147
min,约有一半选手的成绩快于147
min,故成绩为142
min的选手比一半以上选手的成绩好.
例：(教材例5)一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双,各种尺码鞋的销售量如下表所示.你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗
〔解析〕一般来讲,鞋店比较关心哪种尺码的鞋销售量最大,也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数.一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据,通过分析样本数据可以找出样本数据的众数,进而可以估计这家鞋店销售哪种尺码的鞋最多.
解:由表可以看出,在鞋的尺码组成的数据中,23.5是这组数据的众数,即23.5
cm的鞋销售量最大,因此可以建议鞋店多进23.5
cm的鞋.
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
例：甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下:
请你比较这两组数据的众数、平均数和中位数,再作判断.
解:甲:平均数:
(10.8+10.9+11.0+10.7+11.2+10.8)÷6=10.9(秒),
众数:10.8秒,中位数:10.85秒.
乙:平均数:
(10.9+10.9+10.8+10.8+10.5+10.9)÷6=10.8(秒),
众数:10.9秒,中位数:10.85秒.
从平均数看甲的成绩比乙的好,从众数看乙的成绩比甲的好,从中位数看两人成绩一样.
甲/秒
10.8
10.9
11.0
10.7
11.2
10.8
乙/秒
10.9
10.9
10.8
10.8
10.5
10.9
课堂小结
中位数
众数
概
念
将一组数据按照由小到大(或由大到小)
的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则
称处于中间位置的数为这组数据的中
位数;如果数据的个数是偶数,则称中间
两个数据的平均数为这组数据的中位
数
一组数据中出现次数
最多的数据就是这组
数据的众数
作
用
中位数也是用来描述数据的集中趋势
的,它是一个位置代表值,如果知道一组
数据的中位数,那么可以知道,小于或大
于这个中位数的数据约各占一半
众数也常作为一组数据
的代表,用来描述数据的
集中趋势,当一组数据有
较多的重复数据时,众数
往往是人们所关心的一
个量
区
别
中位数的优点是计算简单,只与其在数据中的位置有关,但不能充
分利用所有的数据信息.众数只与其在数据中重复出现的次数有
关,而且有时不是唯一的,
但不能充分利用所有的数据信息,而且
当各个数据的重复次数大致相等时,众数往往没有特别的意义
联系
它们从不同角度描述了一组数据的集中趋势
检测反馈
1.某校在预防H1N1流感过程中,坚持每日检查体温,下表是该校八年级四班同学一天的体温数据统计表,则该班40名学生体温的中位数是 (
)
A.
36.8
℃
B.
36.5
℃
C.
36.6
℃ D.
36.4
℃
解析:题中已将40人的体温从小到大排列,找第20,21人的体温,均为36.6
℃,故该班40名学生体温的中位数是36.6
℃.故选C.
C
体温/℃
36.0
36.1
36.2
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
36.9
37.0
人数
0
2
0
5
7
5
6
3
8
3
1
2.在下表这组测试体重的数据中,众数是 ( )
A.39 B.48 C.12 D.3
解析:由表可以看出有4个33,5个36,12个39,10个42,4个45,3个48,其中39出现的次数最多,根据众数的意义,在一组数据中,出现次数最多的数就是这组数据的众数,所以39就是这组数据的众数.故选A.
A
体重/kg
33
36
39
42
45
48
人数/人
4
5
12
10
4
3
3.(2015·北京中考)某市6月份日平均气温统计如图所示,则在日平均气温这组数据中,众数和中位数分别是 ( )
A
.
21,21
B
.
21,21.5
C
.
21,22
D
.
22,22
解析:从图中可以看出出现最多的数据是21,因此众数是21.气温为20
℃,21
℃,22
℃,23
℃和24
℃分别有4天,10天,8天,6天和2天,按从小到大排序后处在最中间的两个数是22,因此中位数为22.故选C.
C
4.在数据-1,0,4,5,8中插入一个数据x,使该组数
据的中位数是3,则x= .
解析:在数据-1,0,4,5,8中,插入一数据x,使得该
组数据的中位数是3,则(4+x)÷2=3,解得
x=2.故填2.
2
5.在一次数学知识竞赛中,某班20名学生的成绩如下表所示:
分别求这些学生成绩的众数、中位数和平均数.
解:平均数是
(分);
由表可知80分对应的人数最多,因此这组数据的众数应该是80分;由于人数总和是20,为偶数,将数据从小到大排列后,第10个和第11个数据都是70,因此这组数据的中位数应该是70分.
成绩/分
50
60
70
80
90
人数
2
3
6
7
2(共13张PPT)
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.2 数据的波动程度
八年级数学·下
新课标[人]
乒乓球的标准直径为40
mm,质检部门从A,B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只,对这些乒乓球的直径进行了检测,结果如下(单位:mm):
A厂:40.0,39.9,40.0,40.1,40.2,39.8,40.0,39.9,40.0,40.1;
B厂:39.8,40.2,39.8,40.2,39.9,40.1,39.8,40.2,39.8,40.2.
你认为哪厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢
(1)请你算一算它们的平均数和极差;
(2)是否由此就断定两厂生产的乒乓球直径同样标准
今天我们一起来探索这个问题.
想一想
如何考察甜玉米产量的稳定性呢 请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情况.
学
习
新
知
从图中看出的结果能否用一个量来刻画呢
平方是为了在表示各数据与其平均数的偏离程度时,防止正偏差与负偏差的相互抵消.取各个数据与其平均数的差的绝对值也是一种衡量数据波动情况的统计量,但方差应用更广泛.整体的波动大小可以通过对每个数据的波动大小求平均值得到.
小结
方差的计算公式
利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程度.
∴这个地区比较适合种乙种甜玉米.
小结
当数据分布比较分散时,各个数据与平均数的差的平方和较大,方差就较大;当数据与平均数的差的平方和较小,方差就较小.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.
例：
(教材例1)在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高(单位:
cm)如下表:
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐
解:甲、乙两团演员的身高平均数分别是:
方差分别是:
可知甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
例：(教材例2)某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者的欢迎,现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿,两家鸡腿的价格相同,品质相近.快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿.检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个,记录它们的质量(单位:g)如下表所示.根据表中数据,你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿
甲
74
74
75
74
76
73
76
73
76
75
78
77
74
72
73
乙
75
73
79
72
76
71
73
72
78
74
77
78
80
71
75
解:检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂各随机抽取
15个鸡腿分别组成一个样本,样本数据的平均数分别是:
样本数据的方差分别是:
由
可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等；
由
可知,甲加工厂的鸡腿质量更稳定,大小更均匀.因此,快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿.
课堂小结
方差是衡量一组数据波动大小的特征数.
本章是用方差比较两组数据的波动大小,值得注意的是,只有当两组数据的平均数相等或接近时,才能采用这种方法.
检测反馈
1.小李和小林练习射箭,射完10箭后两人的成绩如图所示,通常新手的成绩不太稳定,根据图中的信息,估计这两人中的新手是
.
解析:从图象上观察,小林的波动比较小,说明小林的
成绩稳定;小李的波动比较大,说明小李的成绩
不稳定,应该是一个新手.故填小李.
小李
2.跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m),这6次成绩的平均数为7.8,方差为
.如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9,则李刚这8次跳远成绩的方差
.(填“变大”“不变”或“变小”)
解析:这8次成绩的平均数为7.8
m,根据方差公式计算s2
,所以李刚8次跳远成绩的方差变小了.故填变小.
变小
3.甲、乙两种水稻实验品种连续5年的平均单位面积产量如下表(单位:吨/公顷):
经计算,
=10,
=10,试根据这组数据估
计 种水稻品种的产量比较稳定.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
甲(共14张PPT)
八年级数学·下
新课标[人]
第二十章 数据的分析
学习新知
检测反馈
20.1.1
平均数（第1课时）
刘木头开了一家小工厂,生产儿童玩具.工厂的管理人员由刘木头、他的弟弟及其他6个亲戚组成.工作人员由5个领工和10个工人组成.现在需要一个新工人,刘木头正在与一个叫小王的青年人谈招聘问题.刘木头说:“我们这里报酬不错,平均每个人的薪金是每周300元,但在学徒期间每周是75元,不过很快就可以加工资.”
小王上了几天班以后,要求和厂长谈谈.小王说:“你骗我,我已经和其他工人核对过了,没有一个人的工资超过每周100元.每人平均工资怎么可能是一周300元呢 ”
刘木头皮笑肉不笑地回答:“小王,不要激动嘛!每人平均工资确实是300元,不信你自己算一算.”刘木头拿出一张表,说道:“这是我每周付出的薪金.我得2400元,我弟弟得1000元,我的6个亲戚每人得250元,5个领工每人得200元,10个工人每人得100元.总共是每周6900元,付给23个人,平均每人得300元,对吗 ”
“对,对,你是对的,每人的平均工资是每周300元.可你还是骗了我.”小王生气地说.
刘木头拍着小王的肩膀说:“这我可不同意,你自己算的结果也表明我没骗你呀!小兄弟,你根本不懂得平均数的含义,怪不得别人哟!”
同学们,你能当个小法官来判一下谁说的对吗
想一想
问题:某市三个郊县的人数及人均耕地面积如下表:这个市郊县的人均耕地面积是多少 (精确到0.01公顷)
问题1小明求得这个市郊县的人均耕地面积为:
(公顷).
你认为小明的做法有道理吗 为什么
学
习
新
知
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
15
0.15
B
7
0.21
C
10
0.18
问题2这个市郊县的总耕地面积是多少 总人口是多少 你能算出这个市郊县的人均耕地面积是多少吗
（公顷）
问题3三个郊县的人数(单位:万)15,7,10在计算人均耕地面积时有何作用
上面的平均数0.17称为三个数0.15,0.21,0.18的加权平均数.三个郊县的人数(单位:万)15,7,10分别为三个数据的权.
追问:你能正确理解数据的权和三个数的加权平均数吗
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn,则这n个数的加权平均数是多少
若n个数x1,x2,…,xn的权分别是w1,w2,…,wn，
则
叫做这n个数的加权平均数.
(1)当所给的数据在一常数a上下波动时,一般选用
=
+a.一组数据x1,x2,…,xn的各个数据比较大的时候,我们可以把各个数据同时减去一个适当的常数a,得x'1=x1-a,x'2=x2-a,…,x'n=xn-a.于是x1=x'1+a,x2=x'2+a,…,xn=x'n+a.因此
知识拓展
(2)平均数的大小与每个数据都有关系,它反映一
组数据的集中趋势,是一组数据的“重心”,也是
度量一组数据波动大小的基准.
(3)加权平均数是算术平均数的特例.加权平均数
的实质就是考虑不同权重的平均数,当加权平
均数的各项权相等时,就变成了算术平均数.
例：一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各个成绩均按百分制,再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%的比例,计算选手的综合成绩(百分制),进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示:(单位:分)请确定两人的名次.
解:选手A的最后得分是
选手B的最后得分是
由上可知选手B获得第一名,选手A获得第二名.
选手
演讲内容
演讲能力
演讲效果
A
85
95
95
B
95
85
95
(1)
加权平均数的意义:在一组数据中,由于每个
数据的权不同,所以计算平均数时,用加权平
均数,才符合实际.
(2)数据的权的意义:数据的权能够反映数据的相
对“重要程度”.
(3)加权平均数公式：
课堂小结
检测反馈
1.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分,其中平时体育活动评估成绩占20%,期中成绩占30%,期末成绩占50%.则平时体育活动评估成绩、期中成绩、期末成绩的权分别
为 、 和 .
20%
30%
50%
2.学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%,60%的比例计入学期学科总成绩.小明期中数学成绩是85分,期末数学成绩是90分,那么他的学期数学总成绩是 ( )
A.85分 B.87.5分
C.88分 D.90分
C
解析:根据学期数学成绩=期中数学成绩×所占的百分比+期末数学成绩×所占的百分比即可求得学期总成绩.故选C.
3.一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、
面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩的20%,面试占30%,实习成绩占50%,各项成绩如下表所示:(单位:分)
试判断谁会被公司录用,为什么
解:甲的平均成绩为
乙的平均成绩为
因此,乙会被公司录用.
应聘者
笔试
面试
实习
甲
85
83
90
乙
80
85
92
4.某单位欲招聘一名技术部门负责人,对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试,且各项测试成绩满分均为100分,根据结果择优录取,三位候选人的各项测试成绩如下表所示:(单位:分)(1)如果根据三项测试的平均成绩,谁将被录用 说明理由.
解:（1）甲的平均成绩为
(85+70+64)÷3=73,
乙的平均成绩为
(73+71+72)÷3=72,
丙的平均成绩为
(73+65+84)÷3=74,
因此,丙的平均成绩最高,
丙将被录用.
测试
项目
测试成绩
甲
乙
丙
沟通
能力
85
73
73
科研
能力
70
71
65
组织
能力
64
72
84
(2)根据实际需要,该单位将沟通能力、科研能力和组织能力三项测试得分按5∶3∶2的比例确定每人的成绩,谁将被录用 说明理由.
解:
(2)
甲的成绩为
=76.3,
乙的成绩为
=72.2,
丙的成绩为
=72.8.
因此,甲的成绩最高,甲将被录用.
