(共23张PPT)
人教版 八年级下册
16.1 二次根式
导入新课
平方根的性质：
正数a有 平方根，它们互为 ；0的平方根是 ；负数 。
两个
相反数
0
没有平方根
求下列各数的平方根：
（1）36；（2）；（3）6.25；（4）
新课学习
二次根式
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，
则它的宽为______m。
新课学习
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满
足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则
t= _____．
新课学习
（1）这些式子分别表示什么意义？
这些式子的共同特征是：
都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负
数）的算术平方根．
想一想
分别表示3，S，65， 的算术平方根。
（2）这些式子有什么共同特征？
新课学习
二次根式：
一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
何为二次根式？
a叫作被开方数。
新课学习
2. a可以是数,也可以是式；
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.表示a的算术平方根；
( 双重非负性)
二次根式的特点：
判断是否为二次根式的依据。
想一想：
新课学习
+1是不是二次根式？
不是，它是二次根式的代数式
判断下列代数式中哪些是二次根式？
(1) (2)
(3)
(4) x
(5)
牛刀小试
在实数范围内,负数没有平方根。
是
不是
是
是
是
新课学习
∴ 当x≥-2时， 在实数范围内有意义。
解：要使 在实数范围有意义，
必须 x+2≥0，
∴ x≥-2。
例1：当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有
意义？
(2)当 x 时， 在实数范围内有意义。
(1)当 x 时， 在实数范围内有意义。
新课学习
思考 当 x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 呢？
为任意实数
为非负数
典题精讲
（1） ；（2） ；（3）
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜ ；
（3）由 (a-1)2 ≥0，得a为任何实数。
1、求下列各式a的取值范围 。
典题精讲
解：由题意得：
2、+ +(c-4)2=0,则a-b+c= 。
a-2=0
b-3=0
c-4=0
a=2
b=3
c=4
a-b+c=3
3
总结：如果几个非负数（a2、 、 （a≥0））的和为0，那么每一个非负数都是0。
典题精讲
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
知识巩固
1.下列各式中不是二次根式的是（ ）
A．B． C． D．
B
分析：根据二次根式的定义分析即可。一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，
表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式。
知识巩固
解析：A、 ，∵x2+1≥1＞0，∴x2+1符合二次根式的定义；故本选项正确；
B、∵-4＜0，∴ 不是二次根式；故本选项错误；
C、∵0≥0，∴ 符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、 符合二次根式的定义；故本选项正确。
故选B
知识巩固
2.当x是多少时，在实数范围内有意义。
分析：根据被开方数大于等于0以及分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解。
知识巩固
解析：依题意有x≥0且2x-1≠0，
解得x≥0且x≠
故当x≥0且x≠ 时，在实数范围内有意义。
切记分母不等于0的条件。
课堂小结
1、二次根式的定义：
根号
被开方数， a≥0
2、二次根式有意义的条件
拓展提升
1.已知y=+-2，求xy的值。
分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解。
解析：由题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，所以，x=3，
y=-2，所以xy=3-2=
拓展提升
2.已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a b满足b=4++3，求此三角形的周长。
分析：根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长．
拓展提升
解析：由题意得，3a-6≥0，2-a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，
则b=4，
∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《二次根式》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥，一定是二次根式的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若是整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a是小于零的实数，则下列二次根式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x≥-3 D．x≤-3
5．使分式有意义的x的取值范围在数轴上表示应为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列结论正确的是（ ）
A．若分式的值等于0，则a=±1
B．单项式-x2的系数是-1
C．使式子有意义的x的取值范围是x＞-2
D．3a2b-a2b=2
二、解答——知识提高运用
7．求下列式子有意义的x的取值范围
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6） +
8．已知有理数x，y满足关系式y= –x+2，求xy的值。
9．求使式子 + - 有意义的a的整数值。
10．已知在实数范围内 有意义，化简：|4x-6|+|2x-5|。
11．已知a=++4，求（-a）b的平方根。
12．已知a、b为实数，且满足a=++1．
（1）b的值为多少？
（2）求a的值；
（3）求a+b的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
【解析】①当a＜0时，不是二次根式；
②当b+1＜0即b＜-1时，不是二次根式；
③能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
④能满足被开方数为非负数，故本选项正确；
⑤不一定能满足开方数为负数，不一定二次根式，故本选项错误；
⑥=能满足被开方数为非负数，故本选项正确。
故选：C。
2．【答案】D
【解析】∵＝＝2，且是整数，
∴2是整数，即3a是完全平方数；
∴a的最小正整数值为3。
故选D
3．【答案】D
【解析】A、∵a是小于零的实数，∴当b=1时，ab2＜0，所以无意义；故本选项错误；
B、∵a是小于零的实数，∴a3＜0，∴无意义；故本选项错误；
C、当a= -2时，a+1= -1＜0，∴无意义；故本选项错误；
D、∵a是小于零的实数，∴a2+3≥3，∴是二次根式；故本选项正确．
故选D．。
4．【答案】C
【解析】根据题意得：x+3≥0，
解得：x≥-3．
故选：C．。
5．【答案】B
【解析】由题意得，x+3≥0，2-x＞0，
解得，-3≤x＜2，
故选：B．。
6．【答案】B
【解析】∵=0，可得a=1，故选项A错误；
∵单项式-x2的系数是-1，故选项B正确；
∵要使式子有意义，可得x+2≥0，得x≥-2，故选项C错误；
∵3a2b-a2b=2a2b，故选项D错误。
故选B。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】（1）4-3x＞0
-3x＞-4
x＜；
（2）3 x≥0；x 2≠0，解得：x≤3且x≠2；
（3）x+5≥0；x≠0，解得：x≥-5且x≠0；
（4）-x2≥0，解得：x=0；
（5）2x2+1≥0；x为任意实数；
（6）2x 3≥0；x≥0；x 2≠0，解得：x≥且x≠2。
8．【答案】由题意得，x2-1≥0，1-x2≥0，
∴x2=1，x=±1，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
∴x=-1，
∴y=3，
则xy=-3。
9．【答案】由题意得，a+3≥0，|a|-4≠0，6-a≥0，
解得-3≤x≤6且x≠4。
故a的整数值为-3，-2，-1，0，1，2，3，5，6。
10．【答案】由题意得，3-2x≥0，
解得，x≤，
则|4x-6|+|2x-5|=6-4x+5-2x=11-6x。
11．【答案】要使原式有意义，则
2b-4≥0；4-2b≥0，
解得b=2，
故a=4，
∴（-a）b=（-4）2=16，16的平方根为±4。
答：（-a）b的平方根为±4。
12．【答案】（1）由题意得，2b-1≥0且1-2b≥0，
解得b≥且b，
∴b=；
（2）b=时，a=1；
（3）a+b=1+ = 。
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《二次根式》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解二次根式的概念；
（2）理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件。
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【教学重点】
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念。
【教学难点】
二次根式有意义的条件。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
在之前的学习中，我们学方根的知识，我们知道平方根有这样的性质：
正数a有 2个 平方根，它们互为 相反数 ；0的平方根是 0 ；负数 没有平方根 。
根据这样的性质，大家来快速回答一下下边的问题吧。
求下列各数的平方根：
（1）36；（2） ；（3）6.25；（4）
【过渡】同学们的知识掌握都不错，那么今天，我们就来学习一下与平方根有一定关系的新知识，二次根式。
二、新课教学
1．二次根式
【过渡】从刚刚的问题中，我们得到了一个算术平方跟，现在，大家看课本思考的内容，并进行填空吧。
（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______。
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m。
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____。
【过渡】从刚刚的结果中，我们可以总结出这几个结果分别有什么意义呢？又有什么共同的特点吗？结合之前学方根的知识，大家谁能回答一下呢？
（学生讨论回答）
【过渡】结合之前的知识，我们知道，这几个式子都是表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根。今天，我们就给这样的式子下一个定义：二次根式。
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
【过渡】从二次根式的定义上，我们可以知道二次根式的一些特点：
（1）表示a的算术平方根；
（2）a可以是数，也可以是式；
（3）形式上含有二次根号；
（4）a≥0， ≥0，双重非负性；
（5）既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
【过渡】其中，我们需要注意的最重要的是二次根式的双重非负性，这也是我们判断一个式子是否为二次根式的重要依据。现在，我们就来练习一下吧。
练习：判断下列代数式中哪些是二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
（学生快速回答，并说明理由）
【过渡】现在，请大家思考这样一个问题，+1这样的式子属不属于二次根式呢？结合二次根式的定义，我们可以知道，它不属于二次根式，而是含有二次根式的代数式。
【过渡】根据我们刚刚所学的双重非负性性质，我们知道，被开方数必须大于0，因此，（2）不是二次根式，这也就说明了，在实数范围内，负数没有平方根。
根据这个性质，我们还可以求解字母的取值范围，下边，我们看一下课本例1的内容。
例题讲解，例1。
【过渡】例1是简单的根据a≥0进行求解范围，性质，我们来看一下思考内容，并思考二次根式有意义需要满足什么样的条件呢？
课本P2思考内容。
【过渡】从思考题中，我们可以看出，对于二次根式来说，有意义的条件即为被开方数不能为负数，具体的情况则需要具体分析。
【典题精讲】1、求下列a的取值范围。
（1）；（2）；（3）
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得 a＜1/2 ；
（3）由 (a-1)2 ≥0，得a为任何实数.
2、|a 2|+ +(c-4)2=0，则a-b+c= 3 。
【过渡】从这个例题中，我们能够清楚的看到，在解决求取值范围这一类的问题时，所依据的主要就是二次根式的被开方数不能为负数。
在被开方数为分式的形式时，我们需要牢记分母不能等于0。
【知识巩固】1、下列各式中不是二次根式的是（ B ）
A． B． C． D．。
2、当x是多少时，在实数范围内有意义。
解：依题意有x≥0且2x-1≠0，
解得x≥0且x≠。
故当x≥0且x≠ 时，在实数范围内有意义。
【拓展提升】1、已知y=+-2，求xy的值。
解：由题意得，3-x≥0且x-3≥0，
解得x≤3且x≥3，所以，x=3，
y=-2，所以xy=3-2= 。
2、已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a b满足b=4+ +3，求此三角形的周长。
解：由题意得，3a-6≥0，2-a≥0，
解得，a≥2，a≤2，则a=2，
则b=4，
∵2+2=4，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为2+4+4=10。
【板书设计】
1、二次根式的定义：
一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号
2、二次根式有意义的条件：
各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；
如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
【教学反思】
整堂始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习。真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体。层层的问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程。在这种学习活动中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力。
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