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《二次根式》练习
一、选择——基础知识运用
1．化简的结果是（ ）
A．2 B．2 C．3 D．3
2．当1＜x＜2时，化简 +得（ ）
A．2x-3 B．1 C．3-2x D．-1
3．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C．- D．-
4．如果= -1，则a与b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．b＞a C．a≥b D．b≥a
5．某校研究性学习小组在学习二次根式=|a|之后，研究了如下四个问题，其中错误的是（ ）
A．在a＞1的条件下化简代数式a+的结果为2a-1
B．当a+的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
C．a+的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为
D．若=（）2，则字母a必须满足a≥1
二、解答——知识提高运用
6．计算：（a＞0）。
7．计算：（1）（a≥0，b≥0）
（2）
（3）（c＞-1，b＞0）
（4）（m≥0）
8．求- + 的值。
9．如图，已知实数a，b在数轴上位置如图所示，试化简 + -|a+b|.。
10．若b为实数，化简|2b-1|- 。
11．设的小数部分为b，求证：＝2b+。
12．把根号外的因式移到根号内：(a-1) 。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】C
2．【答案】B
【解析】∵1＜x＜2，
∴原式= +
=|x-2|+|x-1|
=2-x+x-1
=1
故选：B。
3．【答案】C
【解析】由x可知x＜0，
所以x = - = - ，
故选：C。
4．【答案】B
【解析】∵= -1，
∴ =-1，
∴ =b-a，
∵b-a＞0，
∴b＞a，
则a与b的大小关系为：b＞a.
故选：B。
5．【答案】C
【解析】A．原式=a+ =a+|a-1|当a＞1时，原式=a+a-1=2a-1，故A正确；
B．原式=a+ =a+|a-1|，当a≤1时，原式=a+|a-1|=a+1-a=1，故B正确；
C．当a＞1时，原式=2a-1＞1；当a≤1时，原式=1，故C错误；
D．由＝()2（a≥0），可知D正确.
故选：C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵a＞0，
∴= = = 。
7．【答案】（1）=6a2b；
（4）==9
（9）=3b；
（10）==2m
8．【答案】由题意得，-a2≥0，
解得，a=0，
则- + = -+0= -1。
9．【答案】由实数a，b在数轴上位置可知：a-b＜0，b＞0，a+b＜0
原式=|a-b|+|b|-|a+b|
=b-a+b+a+b
=3b。
10．【答案】原式=|2b-1|-|b-1|，
当b≤时，原式=-2b+1+b-1=-b，
当≤b≤1时，原式=2b-1+b-1=3b-2，
当b≥1时，原式=2b-1-b+1=b。
11．【答案】∵设的小数部分为b，
∵ =6 -，4＜6 - ＜5，
∴b=6- - 4=2- ，
∴2b+ = 4 -2 =4-2+2+=6-，
（6-）2=39 - ，
∴＝2b+，即证。
12．【答案】∵（a-1），
∴＞0，即a＜1，
∴a-1＜0，
原式=- = -
故答案为：-．
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《二次根式》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）经历探索性质()2= a（a≥0）和=a（a≥0）的过程，并理解其意义；
（2）会运用性质()2= a（a≥0）和= a（a ≥0）进行二次根式的化简；
（3）了解代数式的概念。
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【教学重点】
理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简。
【教学难点】
运用二次根式的性质。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在，我们来复习一下吧。
课件展示复习题，学生快速回答。
【过渡】形如（a≥0）的式子叫做二次根式。我们知道，二次根式有这样的特点，（1）根指数必须为2；（2）被开方数必须是非负数。那么二次根式还有其他什么性质吗？今天我们就来探究一下吧。
二、新课教学
1．二次根式的性质1
【过渡】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。
()2= 4 ；()2 = 2 ；
( )2 = ； ( )2 = 0 。
【过渡】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a，那么就会有：(2=a（a≥0）。
这就是二次根式的第一个性质：
(2=a（a≥0）
【过渡】根据等式的定义，我们可以将上述式子写作：a = (2（a≥0）。由这个式子的特点，我们可以得到一种解决问题的办法，即如何将一个非负数写成平方的形式，而这对某些题目是有益的办法。
例题：课本例2。
2．二次根式性质2
【过渡】接下来，我们来看第二个探究内容。
问题2 填空：
= 2 ；= 0.1 ；
= ； = 0 。
【过渡】和刚刚一样，我们同样将其扩展到所有范围内，则得到：=a（a≥0）
【过渡】由此，我们可以得到二次根式的第二个性质：
=a（a≥0）
同样，根据等式的定义，我们可以得到： a（a≥0）
【过渡】利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”的形式。
例题：课本例3。
【典题精讲】1、已知1＜x＜8，化简++。
解：∵1＜x＜8，
∴ ++
=|x-8|+|x+8|+"
=8-x+x+8-1
=15
2、已知实数x，y满足|x-4|+=0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长。
解：根据题意得x-4=0，y-8=0，
解得 x=4；y=8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20。
3．代数式
问题3 回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，-ab，等，这些式子有哪些共同特征？
【过渡】大家对这个问题有什么答案吗？
（1）含有表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母。
【过渡】我们一般称这样的式子叫做代数式。
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式。
【练习】判断下列式子是否为代数式？
(1)
(2) x+y=5
(3)
(4) x≤0
(5) 3≠2
【过渡】我们可以看到，（2）与（5）是和我们的代数式的概念相违背的，因此，这种用等号或不等号连接起来的式子都不是代数式。
【知识巩固】
1、下列五个等式中一定成立的有（ A ）
①(2=a；② =a；③ =a2；④a0=1；⑤＝2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、在实数范围内分解下列因式：
（1）x2-2；（2）x4-9；（3）3x2-5。
解：（1）x2-2=x2-()2=(x-)(x+)；
（2）x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)；
（3）3x2-5=(x+)(x-)。
3、化简下列各式：
（1）（y＞0）；
（2） ；
（3） (x≥ )；
（4）+ （1＜x＜3）
解：（1）∵y＞0，
∴ =
=7x2 |y| =7x2y
（2）∵π＞3，则3-π＜0
∴ =π-3
（3）∵x≥ ，则1-3x≤0
∴ = =|1-3x|=3x-1
（4）∵1＜x＜3 则有x-3＜0，1-x＜0
∴ + =|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2
4、已知2＜a＜3，化简+|a-3|。
解：∵2＜a＜3，
∴2-a＜0，a-3＜0，
∴原式=a-2+|a-3|=a-2+3-a=1．
【拓展提升】1、已知实数a满足+ =a，求a-20132的值。
解：根据二次根式有意义的条件可得a-2014≥0，解得a≥2014，
∵ + =a
∴a-2013+=a，
∴=2013，
∴a=20132+2014，
∴a-20132=2014
2、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：试化简
- -
解：根据数轴可知：-3＜a＜-2，4＜b＜5，
∴a＜-，b＞2，a-b＜0，
∴ - -
=|a+ )|-|b-2|-|a-b|
=-（a+ ）-（b-2）-[-（a-b）]
=-a- -b+2+a-b
= -2b。
【板书设计】
1、二次根式性质1：
(2=a（a≥0）
2、二次根式性质2：
=a（a≥0）
3、代数式
【教学反思】
本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础。让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程。在这种学习活动中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力。
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人教版 八年级下册
16.1 二次根式
导入新课
判断下列各式中那些是二次根式？
形如（a≥0）的式子叫做二次根式。
（1）根指数必须为2；（2）被开方数必须是非负数。
()2= ; ()2 = ;
()2 = ; ()2 = .
新课学习
二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到
结论的依据。
0
4
2
结论推广到一般，并用字母表示：
()2=a, （a≥0）
新课学习
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式。
根据等式的定义，可得：
二次根式的性质1：
()2=a, （a≥0）
a =()2, （a≥0）
新课学习
例2 计算：
（1）()2； （2） (2)2
解：⑴ ()2 ＝
1.5
⑵(2)2 =
(2)2×()2
=20
应用了(ab)2=a2b2这个结论
新课学习
问题2 填空：
= ；= ；
= ; = .
2
0.1
0
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根
式表示：
=a,（a≥0）
新课学习
=a,（a≥0）
二次根式的性质2：
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”的形式。
根据等式的定义，可得：
,（a≥0）
新课学习
例3 化简：
⑴ ； ⑵
解：⑴ ＝ ＝
⑵ ＝ ＝
4
5
a
0
-a
( a >0 )
( a =0 )
( a <0 )
==
知识迁移：
知识巩固
3.下列五个等式中一定成立的有（ ）
① ()2=a；② =a；③ =a2；④a0=1；
⑤＝2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个。
A
知识巩固
解析：① ()2=a的条件是a≥0，故①不一定成立；
②当a＜0时， =a不成立，故②不一定成立；
③ =a2一定成立；
④ a0=1的条件是a不等于0，故④不一定成立；
⑤ ＝ =，故⑤错误。
故选：A．
知识巩固
2、在实数范围内分解下列因式：
（1）x2-2；（2）x4-9；（3）3x2-5。
解：（1）x2-2=x2-()2=(x-)(x+)；
（2）x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+)(x-)；
（3）3x2-5=(x+)(x-)。
知识巩固
3、化简下列各式：
（1） （y＞0）；
（2） ；
（3） (x≥ )；
（4） + （1＜x＜3）。
知识巩固
解：（1）∵y＞0，
∴ =
=7x2 |y| =7x2y
（2）∵π＞3，则3-π＜0
∴ =π-3。
知识巩固
解：（3）∵x≥，则1-3x≤0
∴ = =|1-3x|=3x-1
（4）∵1＜x＜3 则有x-3＜0，1-x＜0
∴ + =|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2。
新课学习
()2与的区别
()2
运算顺序
取值范围
运算结果
a
0
-a
( a >0 )
( a =0 )
( a <0 )
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
典题精讲
1、已知1＜x＜8，化简++
分析：根据=进行化简，然后合并同类项即可。
典题精讲
解析：∵1＜x＜8，
∴ ++
=|x-8|+|x+8|+
=8-x+x+8-1
=15
典题精讲
2、已知实数x，y满足|x-4|+=0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长。
解析：根据题意得x-4=0，y-8=0，
解得 x=4；y=8，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20。
知识巩固
4.已知2＜a＜3，化简 +|a-3|．。
解析：∵2＜a＜3，
∴2-a＜0，a-3＜0，
∴原式=a-2+|a-3|=a-2+3-a=1．
新课学习
（1）含有表示数的字母；
（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母。
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得
到的式子叫代数式。
问题3 回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，-ab， 等，这些式子有哪些共同特征？
判断下列式子是否为代数式？
(1)
(2) x+y=5
(3)
(4) x
(5) 32
典题精讲
这种用等号或不等号连接起来的式子都不是代数式。
是
不是
是
是
不是
课堂小结
1、二次根式性质1：
2、二次根式性质2：
()2=a, （a≥0）
=a,（a≥0）
3、代数式
拓展提升
1.已知实数a满足+ =a，求a-20132的值。
分析：利用二次根式有意义的条件求出a的取值范围，利用二次根式的性质化简求出a的值，代入即可求出a-20132的值。
拓展提升
解析：根据二次根式有意义的条件可得a-2014≥0，解得a≥2014，
∵ + =a
∴a-2013+=a，
∴=2013，
∴a=20132+2014，
∴a-20132=2014．
拓展提升
2.已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：试化简
- - 。
拓展提升
解析：根据数轴可知：-3＜a＜-2，4＜b＜5，
∴a＜-，b＞2 ，a-b＜0，
∴ - -
=|a+ |-|b-2 |-|a-b|
=-（a+ ）-（b-2 ）-[-（a-b）]
=-a- -b+2 +a-b
= -2b
