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《二次根式的乘除》教案
【教学目标】
1.知识与技能
理解 ＝ （a≥0，b≥0），= （a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简。
2.过程与方法
发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
＝ （a≥0，b≥0），= （a≥0，b≥0）及它们的运用。
【教学难点】
发现规律，导出 ＝ （a≥0，b≥0）。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点，现在，我们一起来复习一下这些基本的知识吧。
（引导学生复习基本知识）
二次根式的特点及性质。
【过渡】在有理数的运算中，我们学习了加、减、乘、除四则运算，那么，在我们学习了二次根式之后，大家有没有考虑过，两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始。
二、新课教学
1．二次根式的乘法
【过渡】现在，大家来看一下课本的探究内容，研究一下二次根式的乘法吧。根据二次根式与算术平方根。
课本P6探究内容。
【过渡】从刚刚的结果中，我们可以看到，分别有这样的等式，× = ，× =，× =。大家能用字母表示你所发现的规律吗？
（学生讨论回答）
【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的乘法法则：
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
【过渡】从这个乘法法则中，我们需要知道：
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。
【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用乘法法则计算吧。
课本例1。
【过渡】例1只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。
=（a）
根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。
【过渡】大家思考这样一个问题，= ×成立吗？为什么？
（学生回答）
【过渡】大家回答的很正确，这样是不正确的，原因呢，就是=（a）。
课本例2。
【过渡】从这个例题中，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：
（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。
（2）应用=（a）
（3）将平方项应用=a（a）
【过渡】现在，我们利用这个步骤来看一下例3的内容吧。
课本例3。
【过渡】例3中，我们看到了有系数的二次根式，而且可以知道，这样的二次根式化简的时候，系数和系数相乘，积为最终结果的系数。
【典题精讲】1、若 =成立，试化简|x-4|+|x|.
解：根据题意得：
x-1≥0，2-x≥0，解得1≤x≤2，
所以|x-4|+|x|=-（x-4）+x=-x+4+x=4
2、已知是不大于20的整数，求整数x的值。
解：根据题意得：≤20，
∴0≤12x≤"400
∴0≤x ≤
整数x为0、3、12、27.
【知识巩固】1、 的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2、化简：2×4。
解：2×4=2×4=8
3、已知三角形一边长为，这边上的高为cm，求这个三角形的面积。
解：∵三角形一边长为cm，这边上的高为 cm，
∴这个三角形的面积为：× × =3，
答：这个三角形的面积为：3 cm2
【拓展提升】1、已知|x-2|+ +z2-6z+9=0，求 的值。
解：∵|x-2|+ +z2-6z+9=|x-2|+ +（z-3）2=0
∴x-2=0，6-y=0，z-3=0，即x=2，y=6，z=3，
则原式=××=6
2、求比(+)6大的最小整数。
解：设+=x，-=y，x+y=2，xy=1，
又：x2+y2=（x+y）2-2xy=(2)2-2×1=22，
x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=422，
∴(+)6+(-)6=x6+y6=（x3+y3）2-2x3y3=10582，
又0＜-＜1，从而0＜(-) 6＜1，
故10581＜(-) 6＜10582，
∴比(+)6大的最小整数为10582。
【板书设计】
1、二次根式的乘法：
=（a）
【教学反思】
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程。对于二次根式的乘法法则的推导，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养。
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《二次根式的乘法》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列计算正确的是（ ）
A．3×4=12 B．＝×＝( 3)×( 5)＝15
C．-3 = =6 D．＝=5
2．一个矩形的长和宽分别是3、2，则它的面积是（ ）
A．20 B．18 C．17 D．16
3．计算(+3)2010(-3)2009的结果是（ ）
A. -3 B. 3 C. -3 D. +3
4．若+与-互为倒数，则（ ）
A. a=b-1
B. a=b+1
C. a+b=1
D. a+b=-1
5．把4写成一个正数的平方的形式是（ ）
A. （2）2
B. （2）2或（-2）2
C. （）2
D. （）2或（-）2
6．若= ，则a的取值范围是（ ）
A. -4≤a≤4
B. a＞-4
C. a≤4
D. -4＜a＜4
二、解答——知识提高运用
7．已知-的整数部分为x，小数部分为y，则xy= 。
8．化简下列各题：
（1）；
（2）；
（3）(-)×(-)；
（4）
9．你认识下列运算吗？
①×②③3×④×在运算过程中用了二次根式乘法公式的是 ，用了积的算术平方根的公式的是 ，这两个公式都用的运算是 。
10．已知长方体的长、宽、高分别为3cm、2cm、2cm．求这个长方体的体积。
11．等式= 一定成立吗？
12．现有一个用铁网围成的长、宽之比为3：1的猪舍，需将面积扩大丢，方案有两种．方案一：再另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍．请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】3×4=24，A错误； ×＝3×5＝15，B错误；-3 = =-，C错误；＝=5，D正确。故选D。
2．【答案】B
【解析】3×2=3×2×=6=18，故选B。
3．【答案】D
【解析】(+3)2010(-3)2009
=[(+3) (-3)]2009×（+3）
=+3。
故选D。
4．【答案】B
【解析】由题意得，（+）（-）=1
∴a-b=1，即a=b+1
故选B。
5．【答案】C
【解析】4=，写成一个正数的平方的形式为（）2。
故选C。
6．【答案】A
【解析】由题意，得 16-a2≥0；4-a≥0；4+a≥0，
解得-4≤a≤4。
故选A。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】3-9
【解析】∵-＜-＜-，故可得-的整数部分x为-3，
∴小数部分为：--（-3）=3-，
∴xy=（-3）×（3-）=3-9。
故答案为：3-9。
8．【答案】（1）原式===7；
（2）原式==××=2××13=；
（3）原式==6；
（4）原式==x。
9．【答案】②中是求4x算术平方根的形式；③是三次根式与二次根式相乘；④×=×；
故在运算过程中用了二次根式乘法公式的是①、④，
用了积的算术平方根的公式的是②、④，
两个公式都用的运算是④。
10．【答案】∵长方体的长、宽、高分别为3√2cm、2√3cm、2√6cm，
∴这个长方体的体积为：3×2×2=3×2×2=72（cm3），
答：这个长方体的体积为72cm3。
11．【答案】当x＜-2时，= 不成立。
12．【答案】设原矩形猪舍共用am长的铁网，则其长，宽分别为a m，a m，
原面积S原舍=a a =a2，需增加的面积为a2 × = a2
①设方案一中新增正方形猪舍边长为xm，则x2=a2（x＞0），
解得：x=a∴4x= a，则采用方案一时，需再买铁网长度为原来猪舍所用铁网总长的；
②若采用方案二，设改建后的猪舍为一个正方形，面积为a2 ×(1+ ) =a2，设边长为y，则y2= a2（y＞0），
解得：y= a∴4y=a，
则采用方案二，需再买铁网长度与原来猪舍所用铁网总长相等，不需购买；
综上，采用方案二好，可以不需要购买铁网。
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人教版 八年级下册
16.2 二次根式的乘除
导入新课
被开方数a≥0；
根指数为2.
二次根式
二次根式的特点
二次根式的性质
()2=a（a≥0）
a
0
-a
( a >0 )
( a =0 )
( a <0 )
==
1、× = ； = 。
新课学习
二次根式的乘除
计算下列各式, 观察计算结果,你发现什么规律
6
6
2、× = ； = 。
20
20
3、× = ； = 。
30
30
新课学习
思考：
1、× =
2、× =
3、× =
能用字母表示你所发现的规律吗？
新课学习
（a≥0，b≥0）
一般地，对于二次根式的乘法，有：
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根。
二次根式的乘法法则
×
=
新课学习
例1：计算（1） ×；（2） ×
解：（1） ×= =
（2） ×== =3
知识巩固
1. 的值是一个整数，则正整数a的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
B
分析：根据已知得出50a能开出来，即50a是一个完全平方数，当a=2时，50a能开出来，是个整数，并且值最小。
新课学习
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0）
一般的：
利用它可以对二次根式进行化简.
×
=
×
新课学习
想一想
= 成立吗？为什么？
不成立，因为-4、-9都小于0，而= ×成立的条件是a≥0，b≥0。
新课学习
解：（1） ×=49=36 ；
例2：计算
（1） ；（2）
（2） ××
=2a=2ab 。
新课学习
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.
2.应用
3.将平方项应用 化简.
×
=a（a≥0）
新课学习
例3：计算
（1）× （2）3×2 ；（3）×
解：（1）× ==×=7
（2）3×2 3×2 =6 =
6× =30
（3）× ====x
新课学习
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。
×n
知识巩固
2. 化简：2×4
解析： 2×4=2×4
=8=8
知识巩固
3.已知三角形一边长为，这边上的高为cm，求这个三角形的面积。
分析：根据二次根式的乘法及三角形的面积计算公式，即可求得这个三角形的面积。
解析：∵三角形一边长为 cm，这边上的高为cm，
∴这个三角形的面积为：× ×=3 ．
答：这个三角形的面积为：3 cm2．
典题精讲
分析：先根据二次根式乘法法则的条件得到
x-1≥0；2-x≥0，解得1≤x≤2，然后把|x-4|+|x|去绝对值后合并即可。
1、若 =成立，试化简
|x-4|+|x|。
解析：根据题意得：
x-1≥0，2-x≥0，解得1≤x≤2，
所以|x-4|+|x|=-（x-4）+x=-x+4+x=4．
典题精讲
解：根据题意得： 0，
∴012x 400
∴0x .
整数x为0、3、12、27.
2、已知是不大于20的整数，求整数x的值。
课堂小结
1、二次根式的乘法：
（a≥0，b≥0）
一般的：
×
=
反过来：
（a≥0，b≥0）
×
拓展提升
1.已知|x-2|+ +z2-6z+9=0，求 的值。
分析：已知等式左边后三项利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x，y，z的值，代入原式计算即可得到结果。
解析：∵|x-2|+ +z2-6z+9=|x-2|+ +（z-3）2=0
∴x-2=0，6-y=0，z-3=0，即x=2，y=6，z=3，
则原式=××=6
拓展提升
2.求比(+)6大的最小整数。
分析：设+=x，=y，x+y=2，xy=1，根据完全平方式x2+y2=（x+y）2-2xy，立方公式x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2），可将原式化简，继而得出答案．
拓展提升
解析：设+=x，=y，x+y=2，xy=1，
又：x2+y2=（x+y）2-2xy=(2)2-2×1=22，
x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=42，
∴(+)6+()6=x6+y6=（x3+y3）2-2x3y3=10582，
又0＜＜1，从而0＜() 6＜1，
故10581＜(+) 6＜10582，
∴比(+)6大的最小整数为10582。
