甘肃省天水三中2017届高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年甘肃省天水三中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（　　）
A．[﹣1，0]
B．[﹣1，2]
C．[0，1]
D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（　　）
A．1+i
B．1﹣i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
3．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（　　）
A．
B．1
C．
D．2
5．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（　　）
A．n=6
B．n＜6
C．n≤6
D．n≤8
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）
A．
B．64
C．
D．
8．在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（　　）
A．2
B．8
C．14
D．16
9．已知直线y=2（x﹣1）与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，点M（﹣1，m），若 =0，则m=（　　）
A．
B．
C．
D．0
10．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：
（i）
对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（ii）
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则下列四个函数中不是M函数的个数是（　　）
①f（x）=x2②f（x）=x2+1
③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1．
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．若对 x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（　　）
A．
B．1
C．2
D．
　
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．函数y=的单调递增区间是　　．
14．（x﹣）6的展开式中常数项为　　．
15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是　　．
16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是　　．
　
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知数列{an}中，a1=1，其前n项的和为Sn，且满足an=（n≥2）．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+Sn＜．
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
19．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；
（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：过椭圆C1：
+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；
（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．
21．定义在R上的函数f（x）满足，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和ex﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．
　
2016-2017学年甘肃省天水三中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（　　）
A．[﹣1，0]
B．[﹣1，2]
C．[0，1]
D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】直接由一元二次不等式化简集合B，则A交B的答案可求．
【解答】解：∵B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，
∴A∩B={x|﹣1≤x≤1}∩{x|0≤x≤2}={x|0≤x≤1}．
则A∩B的区间为：[0，1]．
故选C．
　
2．设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（　　）
A．1+i
B．1﹣i
C．﹣1﹣i
D．﹣1+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解：∵复数z=1+i，∴z2=2i，
则+z2===1﹣i+2i=1+i，
故选：A．
　
3．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据已知条件即可得到，所以，从而求得cos=，根据向量夹角的范围即可得出向量的夹角．
【解答】解：∵；
；
∴；
∴；
∴向量与的夹角为．
故选B．
　
4．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为（　　）
A．
B．1
C．
D．2
【考点】余弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．
【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，
∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，
∴可得A=60°，sinA=，
∵bc=4，
∴S△ABC=bcsinA==．
故选：C．
　
5．已知a∈{﹣2，0，1，3，4}，b∈{1，2}，则函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】首先求出所以事件个数就是集合元素个数5，然后求出满足使函数为增函数的元素个数为3，利用公式可得．
【解答】解：从集合{﹣2，0，1，3，4}中任选一个数有5种选法，使函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的是a2﹣2＞0解得a＞或者a＜，所以满足此条件的a有﹣2，3，4共有3个，由古典概型公式得函数f（x）=（a2﹣2）x+b为增函数的概率是；
故选：B．
　
6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（　　）
A．n=6
B．n＜6
C．n≤6
D．n≤8
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=8时，S=，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，n=2
满足条件，S=，n=4
满足条件，S==，n=6
满足条件，S==，n=8
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，
故判断框中填写的内容可以是n≤6，
故选：C．
　
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（　　）
A．
B．64
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，利用条件所给数据，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由三视图，该几何体是四个面都是直角三角形的三棱锥，V==．
故选A．
　
8．在平面直角坐标系中，若P（x，y）满足，则x+2y的最大值是（　　）
A．2
B．8
C．14
D．16
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，
直线y=﹣的截距最大，此时z最大．
由，得，
即A（2，6），
此时z的最大值为z=2+2×6=14．
故选：C．
　
9．已知直线y=2（x﹣1）与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，点M（﹣1，m），若 =0，则m=（　　）
A．
B．
C．
D．0
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】直接利用直线方程与抛物线方程联立方程组求出AB坐标，通过数量积求解m即可．
【解答】解：由题意可得：，8x2﹣20x+8=0，解得x=2或x=，
则A（2，2）、B（，）．
点M（﹣1，m），若 =0，
可得（3，2m）（，﹣）=0．
化简2m2﹣2m+1=0，解得m=．
故选：B．
　
10．对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为M函数：
（i）
对任意的x∈[0，1]，恒有f（x）≥0；
（ii）
当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
则下列四个函数中不是M函数的个数是（　　）
①f（x）=x2②f（x）=x2+1
③f（x）=ln（x2+1）④f（x）=2x﹣1．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】利用已知条件函数的新定义，对四个选项逐一验证两个条件，判断即可．
【解答】解：（i）在[0，1]上，四个函数都满足；（ii）x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1；
对于①，，∴①满足；
对于②，
=2x1x2﹣1＜0，∴②不满足．
对于③，
=而x1≥0，x2≥0，∴，∴，∴，
∴，∴，∴③满足；
对于④，
=，∴④满足；
故选：A．
　
11．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．
【分析】设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐标，然后求解双曲线的离心率．
【解答】解：设，函数y=的导数为：y′=，∴切线的斜率为，
又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，
∴P（1，1），
双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c=1．
则|PF1|﹣|PF2|=2a，既﹣=2a
解得a=
所以离心率e===
　
12．若对 x，y∈[0，+∞），不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则实数a的最大值是（　　）
A．
B．1
C．2
D．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x＞0时恒成立，构造函数g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．
【解答】解：当x=0时，不等式即为0≤ey﹣2+e﹣y﹣2+2，显然成立；
当x＞0时，设f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，
不等式4ax≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，
即为不等式4ax≤f（x）恒成立．
即有f（x）=ex﹣2（ey+e﹣y）+2≥ex﹣2 2+2=2+2ex﹣2（当且仅当y=0时，取等号），
由题意可得4ax≤2+2ex﹣2，
即有a≤在x＞0时恒成立，
令g（x）=，g′（x）=，
令g′（x）=0，即有（x﹣1）ex﹣2=1，
令h（x）=（x﹣1）ex﹣2，h′（x）=xex﹣2，
当x＞0时h（x）递增，
由于h（2）=1，即有（x﹣1）ex﹣2=1的根为2，
当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，
即有x=2时，g（x）取得最小值，为，
则有a≤．
当x=2，y=0时，a取得最大值．
故选：D
　
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．函数y=的单调递增区间是　[0，]　．
【考点】两角和与差的余弦函数；正弦函数的图象．
【分析】化简可得y=sin（x+），解不等式2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得函数所有的单调递增区间，结合x∈[0，]可得．
【解答】解：化简可得y=sinxcos+cosxsin=sin（x+），
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，
当k=0时，可得函数的一个单调递增区间为[﹣，]，
由x∈[0，]可得x∈[0，]，
故答案为：[0，]．
　
14．（x﹣）6的展开式中常数项为　﹣　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．
【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=（﹣）rC6rx6﹣2r，
令6﹣2r=0得r=3，
得常数项为C63（﹣）3=﹣．
故答案为：﹣．
　
15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是　{x|x≥3或x≤1}　．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，分析可得不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），进而可以将其转化为|x﹣2|≥1，解可得答案．
【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，
∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），
即|x﹣2|≥1，
即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，
即x≥3或x≤1，
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，
故答案为：{x|x≥3或x≤1}．
　
16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．已知同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则tan（α+β）的值是　　．
【考点】两角和与差的正切函数；球内接多面体．
【分析】由题意画出图象以及过球心的截面圆，由球和正三棱锥的几何特征可得：两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，再求出涉及的线段的长度，根据两角和的正切函数和正切函数的定义求出tan（α+β）的值．
【解答】解：由题意画出图象如下图：
由图得，右侧为该球过SA和球心的截面，由于三角形ABC为正三角形，
所以D为BC中点，且AD⊥BC，SD⊥BC，MD⊥BC，
故∠SDA=α，∠MDA=β．
设SM∩平面ABC=P，则点P为三角形ABC的重心，且点P在AD上，SM=2R，AB=a，
∴，
因此
=，
故答案为：．
　
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．已知数列{an}中，a1=1，其前n项的和为Sn，且满足an=（n≥2）．
（1）求证：数列{}是等差数列；
（2）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+Sn＜．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1= Sn﹣Sn﹣1=2Sn Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得﹣=2，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列；
（2）由（1）可知，
=+（n﹣1）×2=2n﹣1 Sn=．n≥2时，
＜= =（﹣），从而可证当n≥2时，S1+S2+S3+…+Sn＜．
【解答】（本题满分12分）
证明：（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1=，
整理得：Sn﹣Sn﹣1=2Sn Sn﹣1（n≥2），
﹣=2，从而{}构成以1为首项，2为公差的等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由（1）可知，
=+（n﹣1）×2=2n﹣1，
∴Sn=．
∴当n≥2时，
＜= =（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＜1+（1﹣+﹣+…+﹣）＜﹣＜．
　
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．
（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴．
∵点E为AB的中点．
∴，
又AE∥FM，
∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF 平面PEC，EM 平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则
P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），
A（，﹣，0），B（，，0）．
所以：，．
设平面PAB的一个法向量为：，．
∵，
则：，
解得：，
所以平面PAB的法向量为：
∵，
∴设向量和的夹角为θ，
∴cosθ=，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为．
　
19．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
5
7
9
8
乙班
4
8
9
7
7
（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；
（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X和Y，试求X和Y的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）求出两个班数据的平均值都为7，求出甲班的方差，乙班的方差，推出结果即可．
（2）X、Y可能取0，1，2，求出概率，得到分布列，然后分别求解期望．
【解答】解：（1）两个班数据的平均值都为7，
甲班的方差，
乙班的方差，
因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．
（2）X可能取0，1，2，，，，
所以X分布列为：
X
0
1
2
P
数学期望
Y可能取0，1，2，，，，
所以Y分布列为：
Y
0
1
2
P
数学期望．
　
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：过椭圆C1：
+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；
（Ⅲ）过圆x2+y2=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M，N两点时，求|MN|的最小值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个跟，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程；
（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，求得切线PA，PB的方程，进而得到切点弦方程，再由两点的距离公式可得|MN|，结合基本不等式，即可得到最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得b=1，e==，
又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=1，
即有椭圆C方程为+y2=1．
（Ⅱ）证明：当斜率存在时，设切线方程为y=kx+t，联立椭圆方程+=1，
可得n2x2+m2（kx+t）2=m2n2，化简可得：
（n2+m2k2）x2+2m2ktx+m2（t2﹣n2）=0，①
由题可得：△=4m4k2t2﹣4m2（n2+m2k2）（t2﹣n2）=0
化简可得：t2=m2k2+n2，①式只有一个根，记作x0，
x0=﹣=﹣，x0为切点的横坐标，
切点的纵坐标y0=kx0+t=，
所以=﹣，所以k=﹣，
所以切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0）
=﹣（x﹣x0），
化简得：
+=1．
当切线斜率不存在时，切线为x=±m，也符合方程+=1，
综上+=1（m＞n＞0）上一点Q（x0，y0）的切线方程为+=1；
（Ⅲ）设点P（xP，yP）为圆x2+y2=16上一点，
PA，PB是椭圆+y2=1的切线，
切点A（x1，y1），B（x2，y2），过点A的椭圆的切线为+y1y=1，
过点B的椭圆的切线为+y2y=1．
由两切线都过P点，
+y1yP=1，
+y2yP=1
即有切点弦AB所在直线方程为+yyP=1．
M（0，），N（，0），
|MN|2=+=（+）
=（17++）≥（17+2）=，
当且仅当=即xP2=，yP2=时取等，
则|MN|，即|MN|的最小值为．
　
21．定义在R上的函数f（x）满足，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）如果s、t、r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更靠近r．当a≥2且x≥1时，试比较和ex﹣1+a哪个更靠近lnx，并说明理由．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，利用赋值法，求出f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），得到f（0）=1．然后求解f′（1），即可求出函数的解析式．
（2）求出函数的导数g′（x）=ex+a，结合a≥0，a＜0，分求解函数的单调区间即可．
（3）构造，通过函数的导数，判断函数的单调性，结合当1≤x≤e时，当1≤x≤e时，推出|p（x）|＜|q（x）|，说明比ex﹣1+a更靠近lnx．当x＞e时，通过作差，构造新函数，利用二次求导，判断函数的单调性，证明比ex﹣1+a更靠近lnx．
【解答】解：（1）f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又，
所以f′（1）=2e2，所以f（x）=e2x+x2﹣2x．
（2）∵f（x）=e2x﹣2x+x2，
∴，
∴g′（x）=ex﹣a．
①当a≤0时，g′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由g′（x）=ex﹣a=0得x=lna，
∴x∈（﹣∞，lna）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
综上，当a≤0时，函数g（x）的单调递增区间为（∞，∞）；
当a＞0时，函数g（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（﹣∞，lna）．
（3）解：设，∵，∴p（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，又p（e）=0，∴当1≤x≤e时，p（x）≥0，当x＞e时，p（x）＜0．∵，，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）时，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．
①当1≤x≤e时，，
设，则，∴m（x）在x∈[1，+∞）上为减函数，
∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比ex﹣1+a更靠近lnx．
②当x＞e时，，
设n（x）=2lnx﹣ex﹣1﹣a，则，，∴n′（x）在x＞e时为减函数，
∴，∴n（x）在x＞e时为减函数，∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣ee﹣1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，∴比ex﹣1+a更靠近lnx．
综上：在a≥2，x≥1时，比ex﹣1+a更靠近lnx．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．
（1）求证：AD∥OC；
（2）若圆O的半径为2，求AD OC的值．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；
（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得，即可求AD OC的值
【解答】（1）证明：连接BD，OD，
∵CB，CD是圆O的两条切线，
∴BD⊥OC，
又AB为直径，∴AD⊥DB，
∴AD∥OC．
（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，
∴Rt△BAD∽Rt△COB，
∴，
∴AD OC=AB OB=8．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．
（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．
（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．
【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）
所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，
化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．
（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为
△ABM的面积
所以△ABM面积的最大值为
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．（1）已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．
【考点】不等式的证明．
【分析】（1）由条件a≠b推出：a2﹣2ab+b2＞0，通过变形，应用不等式的性质可证出结论；
（2）利用基本不等式，再相加，即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵a≠b，∴a﹣b≠0，∴a2﹣2ab+b2＞0，∴a2﹣ab+b2＞ab．
而a，b均为正数，∴a+b＞0，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b）
∴a3+b3＞a2b+ab2
成立；
（2）∵a，b，c都是正数，
∴a2b2+b2c2≥2acb2，a2b2+c2a2≥2bca2，c2a2+b2c2≥2abc2，
三式相加可得2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2abc（a+b+c），
∴a2b2+b2c2+c2a2）≥abc（a+b+c），
∴≥abc．
　
2017年2月11日