广东省江门市新会实验中学2017届高三（上）11月模拟数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年广东省江门市新会实验中学高三（上）11月模拟数学试卷（文科）
　
一、选择题
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=（　　）
A．{1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣1
B．﹣i
C．1
D．i
3．函数f（x）=ex﹣x﹣2的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，2）
C．（0，1）
D．（2，3）
4．若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．（0，+∞）
5．在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则角A的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．若三点共线
则m的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．2
7．设{an}（n∈N
）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）
A．d＜0
B．a7=0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
8．二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．2
10．点P（tan549°，cos549°）位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．﹣5
D．1
12．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2]
B．（0，2]
C．[﹣2，0）∪{2}
D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
　
二.填空题
13．已知cos（π+α）=﹣，则sin（﹣α）的值为　　．
14．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于　　．
15．函数f（x）=loga（x﹣2）+1的图象经过定点　　．
16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为　　．
　
三.解答题
17．已知椭圆4x2+y2=1及l：y=x+m．
（1）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（2）若直线l被椭圆截得的弦长为，求直线l方程．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
19．已知等差数列{an}满足：a5=5，a2+a6=8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
20．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（I）求证：AD⊥平面PBE；
（II）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ．
21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年广东省江门市新会实验中学高三（上）11月模拟数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，则P∩Q=（　　）
A．{1，2}
B．{3，4}
C．{1}
D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【分析】由P与Q，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵P={1，2，3，4}，Q={x|x≤2}，
∴P∩Q={1，2}，
故选：A．
　
2．复数的虚部是（　　）
A．﹣1
B．﹣i
C．1
D．i
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到复数的虚部．
【解答】解：∵
=
=
=﹣i．
∴复数的虚部是：﹣1
故选A．
　
3．函数f（x）=ex﹣x﹣2的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，2）
C．（0，1）
D．（2，3）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a） f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
【解答】解：因为f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣e﹣2＞0，
所以零点在区间（1，2）上，
故选：B．
　
4．若定义在（﹣1，0）内的函数f（x）=log2a（x+1）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．（0，+∞）
【考点】对数函数的定义．
【分析】由x的范围求出对数真数的范围，再根据对数值的符号，判断出底数的范围，列出不等式进行求解．
【解答】解：当x∈（﹣1，0）时，则x+1∈（0，1），因为函数f（x）=log2a（x+1）＞0
故0＜2a＜1，即．
故选A．
　
5．在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，则角A的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解三角形．
【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再由余弦定理表示出cosA，将化简后的等式变形后代入cosA中，约分后求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：∵==，
∴化简得：a2=b2+c2+bc，即b2+c2﹣a2=﹣bc，
∴由余弦定理得：cosA==﹣，
又A为三角形的内角，
则角A的值为．
故选A
　
6．若三点共线
则m的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．2
【考点】向量的共线定理．
【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m
【解答】解：，
∵三点共线
∴共线
∴5（m﹣3）=﹣
解得m=
故选项为A
　
7．设{an}（n∈N
）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（　　）
A．d＜0
B．a7=0
C．S9＞S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用结论：n≥2时，an=sn﹣sn﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．
【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，
又∵S6=S7，
∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，
∴a7=0，故B正确；
同理由S7＞S8，得a8＜0，
∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；
而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．
∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；
故选C．
　
8．二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0对应的函数开口向下，解集是R，所以△＜0．
【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，
对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0
二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．
故选D．
　
9．若椭圆+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则a的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．2
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程．
【解答】解：由题意可知椭圆的半焦距c的平方为：
c2=4﹣a2
双曲线的半焦距c的平方为：
c2=a+2；
∴4﹣a2=a+2，
解得：a=1．（负值舍去）
故选A．
　
10．点P（tan549°，cos549°）位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】通过诱导公式化简P的坐标，判断P的横坐标与纵坐标的符号，即可判断P所在象限．
【解答】解：tan549°=tan189°＞0，cos549°=cos189°＜0，
所以P的横坐标为正、纵坐标为负数，所以P在第四象限．
故选D．
　
11．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）
A．﹣1
B．﹣2
C．﹣5
D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．
【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故选：A．
　
12．若方程x3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2]
B．（0，2]
C．[﹣2，0）∪{2}
D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】令f（x）=x3﹣3x+m，则由题意可得函数f（x）在[0，2]只有一个零点，故有f（0） f（2）≤0，并验证其结论，问题得以解决．
【解答】解：设f（x）=x3﹣3x+m，f′（x）=3x2﹣3=0，可得x=1或x=﹣1是函数的极值点，
故函数的减区间为[0，1]，增区间为（1，2]，
根据f（x）在区间[0，2]上只有一个解，
f（0）=m，f（1）=m﹣2，f（2）=2﹣m，
当f（1）=m﹣2=0时满足条件，即m=2，满足条件，
当f（0）f（2）≤0时，解得﹣2≤m≤0时，
当m=0时，方程x3﹣3x=0．解得x=0，x=1，不满足条件，
故要求的m的取值范围为[﹣2，0）∪{2}．
故选：C．
　
二.填空题
13．已知cos（π+α）=﹣，则sin（﹣α）的值为　﹣　．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式化简已知的等式求出cosα的值，将所求式子利用诱导公式变形后，把cosα的值代入即可求出值．
【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，
则sin（﹣α）=﹣cosα=﹣．
故答案为：﹣
　
14．向量=（2，3），=（﹣1，2），若m+与﹣2平行，则m等于　　．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】由已知向量的坐标求得m+与﹣2的坐标，再由向量平行的坐标表示列式求得m的值．
【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，2），
∴m+=m（2，3）+（﹣1，2）=（2m﹣1，3m+2），
﹣2=（2，3）﹣2（﹣1，2）=（4，﹣1）．
又m+与﹣2平行，
∴（2m﹣1） （﹣1）﹣4（3m+2）=0，解得：m=﹣．
故答案为：．
　
15．函数f（x）=loga（x﹣2）+1的图象经过定点　（3，1）　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
【分析】令y=loga（x﹣2）的真数值为1，求得自变量x的值即可求得答案．
【解答】解：令x﹣2=1，得x=3，
∵f（3）=loga（3﹣2）+1=1，
∴函数f（x）=loga（x﹣2）+1的图象经过定点（3，1）．
故答案为：（3，1）．
　
16．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为　3　．
【考点】余弦定理．
【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．
【解答】解：∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∵sinB=，cosB=，
∴可得=1﹣，解得：ac=13，
∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．
故答案为：3．
　
三.解答题
17．已知椭圆4x2+y2=1及l：y=x+m．
（1）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（2）若直线l被椭圆截得的弦长为，求直线l方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）把直线y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2﹣1=0，利用△≥0，即可得出．
（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，利用根与系数的关系可得弦长，就看得出．
【解答】解：（1）把直线y=x+m代入4x2+y2=1得5x2+2mx+m2﹣1=0，①
∴△=4m2﹣20（m2﹣1）=﹣16m2+20≥0，．
（2）设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由①得，
∴，
∴，
解得．
∴所求直线方程为．
　
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosC﹣csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理得：
sinAcosC﹣sinCsinA=0，即可解得tanC=，从而求得C的值；
（Ⅱ）由面积公式可得S△ABC==6，从而求得得a的值，由余弦定理即可求c的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：
sinAcosC﹣sinCsinA=0．
…
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，
从而cosC=sinC，又cosC≠0，…
所以tanC=，所以C=．…
（Ⅱ）在△ABC中，S△ABC==6，得a=6，…
由余弦定理得：c2=62+42﹣2×=28，
所以c=2．…
　
19．已知等差数列{an}满足：a5=5，a2+a6=8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）直接根据已知条件建立方程组求得首项和公差，进一步求得通项公式．
（2）利用（1）的结论，根据等差和等比数列的前n项和公式求的结果．
【解答】解：（1）由条件a5=5，a2+a6=8．
得知：，
解得：，
故{an}的通项公式为：an=n．
（2），
故Sn=b1+b2+…+bn，
．
　
20．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．
（I）求证：AD⊥平面PBE；
（II）若Q是PC的中点，求证PA∥平面BDQ．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD⊥PE，AD⊥BE；
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ，证明OQ∥PA，即可得到结论．
【解答】证明：（Ⅰ）由E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE…
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以AB=BD，又因为E是AD的中点，
所以AD⊥BE…
又PE∩BE=E…
所以AD⊥平面PBE…
（Ⅱ）连接AC交BD于点O，连接OQ…
因为O是AC的中点，Q是PC的中点，所以OQ∥PA…
又PA 平面BDQ…
OQ 平面BDQ…
所以PA∥平面BDQ…
　
21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R．
（1）求y=f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；
（2）把曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根，进一步转化为方程a=x﹣+只有一个实根．构造函数
g（x）=x﹣+，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程a=x﹣+只有一个实根时的实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax=x（3x﹣2a）
当a=0时，R上y=f（x）单调递增；
当a＞0时，（﹣∞，0），为y=f（x）增区间，为y=f（x）减区间；
当a＜0，，（0，+∞）为y=f（x）增区间，为y=f（x）减区间；
（2）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根．
显然x≠0，
∴方程a=x﹣+只有一个实根．
设函数g（x）=x﹣+，则g′（x）=1+﹣=．
设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0．
∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
∴g（x）在x=1时取极小值1．
又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷；
又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷．
∴g（x）图象大致如图所示：
∴方程a=x﹣+只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）．
　
2017年2月11日