湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二（上）12月联考数学试卷（理科）（创新班）（解析版）

2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）（创新班）
　
一、选择题
1．全称命题： x∈R，x2＞0的否定是（　　）
A． x∈R，x2≤0
B． x∈R，x2＞0
C． x∈R，x2＜0
D． x∈R，x2≤0
2．已知△ABC中，a=1，b=，B=45°，则角A等于（　　）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．3
4．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（　　）
A．18
B．2
C．2
D．6
5．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（　　）
A．10
B．﹣14
C．14
D．﹣10
6．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，则f（x2）与ef（x1）的大小关系为（　　）
A．
f（x2）＞ef（x1）
B．
f（x2）＜ef（x1）
C．
f（x2）=ef（x1）
D．
f（x2）与ef（x1）的大小关系不确定
11．已知双曲线C：
=1，曲线f（x）=ex在点（0，2）处的切线方程为2mx﹣ny+2=0，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
B．y=±2x
C．
D．
12．设f（x）=x3+ax2+bx+c，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：
（1）f（x）﹣4=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根．
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根．
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．
其中错误命题的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
　
二、填空题
13．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是　　．
14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A、B是该抛物线上的点，|AF|+|BF|=5，则
线段AB的中点的横坐标为　　．
15．已知实数x，y满足不等式组，且z=x﹣y的最小值为﹣3，则实数m的值是　　．
16．已知数列an=，Sn是该数列的前n项和，若Sn能写成tp（t，p∈N
且t＞1，p＞1）的形式，则称Sn为“指数型和”．则{Sn}中是“指数型和”的项的序号和为　　．
　
三、解答题
17．设命题p：“方程x2+mx+1=0有两个实数根”；命题q：“ x∈R，4x2+4（m﹣2）x+1≠0”，若p∧q为假，￢q为假，求实数m的取值范围．
18．在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AB=3，cos∠CAD=．
（1）求AC的长；
（2）若cos∠BAD=﹣，求△ABC的面积．
19．已知数列{an}，若a1，a2+1，a3成等差数列，数列{an+1}为公比为2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=an log2（an+1）（n∈N
），其前n项和为Tn，试求满足Tn+＞2015的最小正整数n．
20．在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点M（﹣4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．
22．已知函数f（x）=x2+2x+alnx
（1）若a=﹣4，求函数f（x）的极值；
（2）若a=1时，证明f（x+1）≤x2+5x+3
（3）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，试证明a≤2．
　
2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（理科）（创新班）
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．全称命题： x∈R，x2＞0的否定是（　　）
A． x∈R，x2≤0
B． x∈R，x2＞0
C． x∈R，x2＜0
D． x∈R，x2≤0
【考点】命题的否定．
【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“ ”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．
【解答】解：命题： x∈R，x2＞0的否定是：
x∈R，x2≤0．
故选D．
　
2．已知△ABC中，a=1，b=，B=45°，则角A等于（　　）
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理，将题中数据代入即可求出角B的正弦值，进而求出答案．
【解答】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30°
故选D．
　
3．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．3
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a3=6，S3=12，得：
解得：a1=2，d=2．
故选C．
　
4．若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（　　）
A．18
B．2
C．2
D．6
【考点】基本不等式．
【分析】由a+b=2可得3a+3b≥2，代值并注意等号成立的条件即可．
【解答】解：∵实数a、b满足a+b=2，
∴3a+3b≥2=2=6，
当且仅当3a=3b即a=b=1时取等号，
∴3a+3b的最小值为6
故选：D
　
5．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（　　）
A．10
B．﹣14
C．14
D．﹣10
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出．
【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），
∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，
∴﹣=﹣+，
=﹣×，
解得a=﹣12，b=﹣2，
∴a+b=﹣14
故选：B
　
6．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
　
7．设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．
【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，
∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c
∴2a=3x，2c=x，
∴C的离心率为：e==．
故选D．
　
8．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性．
【分析】根据题意，由“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列；当数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，可得这两个条件互为充要条件．
【解答】解：∵{an}是等比数列，
则由“a1＜a2＜a3”可得数列{an}是递增数列，故充分性成立．
若数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．
综上，“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件，
故选C．
　
9．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．
【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，
则数列{an}是等比数列，公比q=2．
则=5，解得．
∴a3==．
故选：A．
　
10．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x1＜x2，则f（x2）与ef（x1）的大小关系为（　　）
A．
f（x2）＞ef（x1）
B．
f（x2）＜ef（x1）
C．
f（x2）=ef（x1）
D．
f（x2）与ef（x1）的大小关系不确定
【考点】指数函数的单调性与特殊点；利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，则，
∴函数g（x）单调递增，
∵若x1＜x2，
∴g（x1）＜g（x2），
即，
∴f（x2）＞ef（x1），
故选：A．
　
11．已知双曲线C：
=1，曲线f（x）=ex在点（0，2）处的切线方程为2mx﹣ny+2=0，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．
B．y=±2x
C．
D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；双曲线的简单性质．
【分析】利用导数以及切线的斜率，切线方程，求出m，n，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵f（x）=ex，∴f′（0）=1，曲线f（x）=ex在点（0，2）处的切线方程为：x﹣y+2=0，
∴2m=1，n=1，渐近线方程为y=±=，
故选：A．
　
12．设f（x）=x3+ax2+bx+c，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，现给出下列命题：
（1）f（x）﹣4=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根．
（2）f（x）=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根．
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根．
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．
其中错误命题的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值．
【分析】因为函数是一元三次函数，所以是双峰函数，根据题目给出的函数在不同范围内实根的情况，画出函数f（x）的简图，然后借助于图象，逐一分析四个命题即可得到正确答案．
【解答】解：因为f（x）=x3+ax2+bx+c，且f（x）﹣k=0在k＜0或k＞4时只有一个实数根，在0＜k＜4时有三个实数根，
所以其图象近似如下图，
因为f′（x）=0的根是函数f（x）的极值点的横坐标，
由图象可知，f（x）﹣4=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根，所以命题（1）正确；
f（x）=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根，所以命题（2）正确；
f（x）+3=0的实根小于f（x）﹣1=0的实根，所以命题（3）不正确；
f（x）+5=0的实根小于f（x）﹣2=0的实根，所以命题（4）正确．
故选D．
　
二、填空题
13．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是　[1，+∞）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．
【解答】解：f′（x）=k﹣，
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．
∴k≥，
而y=在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1．
∴k的取值范围是：[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
　
14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A、B是该抛物线上的点，|AF|+|BF|=5，则
线段AB的中点的横坐标为　　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标的和，即可得出结论．
【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点
∴F（1，0），准线方程x=﹣1
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=5
∴x1+x2=3，
∴线段AB的中点横坐标为．
故答案为．
　
15．已知实数x，y满足不等式组，且z=x﹣y的最小值为﹣3，则实数m的值是　3　．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣y过可行域内的点C时，从而得到z=x﹣y的最大值，最后列出等式求出m即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x﹣y，
将z的值转化为直线z=x﹣y在y轴上的截距，
当直线z=x﹣y经过点C（m﹣3，6﹣m）时，z最小，
最小值为：6﹣m﹣（m﹣3）=﹣3→m=6
故答案为：6．
　
16．已知数列an=，Sn是该数列的前n项和，若Sn能写成tp（t，p∈N
且t＞1，p＞1）的形式，则称Sn为“指数型和”．则{Sn}中是“指数型和”的项的序号和为　3　．
【考点】数列的求和．
【分析】由数列an=，当n=1时，S1=a1=3．S2=5，S3=9=32．当n≥4时，Cn=3+2+4+…+2n﹣1=2n+1，C1=3，所以对正整数n都有Cn=2n+1．由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N
且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．对p分类讨论即可得出．
【解答】解：由数列an=，当n=1时，S1=a1=3．
S2=3+2=5，S3=3+2+22=9=32．
当n≥4时，Cn=3+2+4+…+2n﹣1=2n+1，C1=3，
所以对正整数n都有Cn=2n+1．
由tp=2n+1，tp﹣1=2n，（t，p∈N
且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．
①当p为偶数时，tp﹣1==2n，
因为tp+1和tp﹣1都是大于1的正整数，
所以存在正整数g，h，使得tp+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，
所以2h=2且2g﹣h﹣1=1 h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；
②当p为奇数时，tp﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1），
由于1+t+t2+…+tp﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，
所以（t﹣1）（1+t+t2+…+tp﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．
综上可得：只有n=3时，满足条件．
故答案为：3．
　
三、解答题
17．设命题p：“方程x2+mx+1=0有两个实数根”；命题q：“ x∈R，4x2+4（m﹣2）x+1≠0”，若p∧q为假，￢q为假，求实数m的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用一元二次方程的实数根与判别式的关系分别化简命题p，q．由于p∧q为假，￢q为假，可得p假q真，即可得出．
【解答】解：对于命题P：若方程x2+mx+1=0有两个实根，则△1=m2﹣4≥0，
解得m≤﹣2或m≥2，即P：m≤﹣2或m≥2；
对于命题去q：若方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，则△2=16（m﹣2）2﹣16＜0，
解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
由于p∧q为假，￢q为假，∴p假q真，
从而有，解得1＜m＜2．
∴m的范围是（1，2）．
　
18．在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AB=3，cos∠CAD=．
（1）求AC的长；
（2）若cos∠BAD=﹣，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）在△ACD中，由已知及余弦定理即可解得AC的值；
（2）先求cos∠CAD，cos∠BAD，sin∠CAD，sin∠BAD的值，从而可求sin∠BAC，即可求出S△ABC的值．
【解答】解：（1）∵在△ACD中，由余弦定理知：CD2=AD2+AC2﹣2AD AC cos∠CAD，
∴4=1+AC2﹣2×，
∴可解得：AC=或﹣（舍去），
（2）∵cos∠CAD=，cos∠BAD=﹣，
∴sin∠CAD=，sin∠BAD=，
∵sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，
∴S△ABC=×AB×AC×sin∠BAC==．
　
19．已知数列{an}，若a1，a2+1，a3成等差数列，数列{an+1}为公比为2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=an log2（an+1）（n∈N
），其前n项和为Tn，试求满足Tn+＞2015的最小正整数n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）由a1，a2+1，a3成等差数列，数列{an+1}为公比为2的等比数列．可得2（a2+1）=a1+a3，an+1=．解得a1，a2．即可得出．
（II）bn=an log2（an+1）=n 2n﹣n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（I）∵a1，a2+1，a3成等差数列，数列{an+1}为公比为2的等比数列．
∴2（a2+1）=a1+a3，an+1=．
∴2（a2+1）=a1+a3，a2+1=2（a1+1），a3+1=4（a1+1）．
解得a1=1，a2=3．
∴an=2n﹣1．
（II）bn=an log2（an+1）=n（2n﹣1）=n 2n﹣n，
设数列{n 2n}的前n项和为An，
则An=2+2×22+3×23+…+n 2n，
2An=22+2×23+…+（n﹣1） 2n+n 2n+1，
∴﹣An=2+22+23+…+2n﹣n 2n+1=﹣n 2n+1，
化为：An=（n﹣1） 2n+1+2．
∴Tn=（n﹣1） 2n+1+2﹣．
∴Tn+＞2015，（n﹣1） 2n+1+2＞2015，n≥8．
∴满足Tn+＞2015的最小正整数n=8．
　
20．在四棱锥P﹣ABCD中，设底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥面ABCD．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）过BD且与直线PC垂直的平面与PC交于点E，当三棱锥E﹣BCD的体积最大时，求二面角E﹣BD﹣C的大小．
【考点】直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）证明BD⊥AC，PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC，然后推出PC⊥BD．
（2）设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高，求出三棱锥E﹣BCD的体积的最大值，以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，求出平面EBD的一个法向量，平面BCD的一个法向量，利用向量的数量积求解即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，PA⊥平面ABCD，
由此推出PA⊥BD，
又AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，而PC 平面PAC，所以推出PC⊥BD．
（2）设PA=x，三棱锥E﹣BCD的底面积为定值，求得它的高，
当，即时，h最大值为，三棱锥E﹣BCD的体积达到最大值为．
以点A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系，则，令E（x，y，z），，，得，∴，
设是平面EBD的一个法向量，，，
则，得．
又是平面BCD的一个法向量，
∴，∴二面角E﹣BD﹣C为．
　
21．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点M（﹣4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：当且仅当AB过右焦点F2，等号成立，即△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨=4a时，取最大值，故a=2，由离心率e==，则c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设直线AB的方程为：x=my﹣4，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式，根据三角形的面积公式可知：S△ABF=，令t=（t＞0），根据基本不等式的性质即可求得m的值，求得直线AB的方程．
【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆的右焦点F2，由椭圆的定义可知：丨AF丨+丨AF2丨=2a，丨BF丨+丨BF2丨=2a，
△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨≤丨AF丨+丨AF2丨+丨BF丨+丨BF2丨=4a，
当且仅当AB过F2，等号成立，
∴4a=8，a=2，
离心率e==，则c=1，
b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆方程为：；
（2）设直线AB的方程为：x=my﹣4，设A（x1，y1）B（x2，y2），
∴，整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36=0，
则△=576m2﹣4×36×（4+3m2）=144（m2﹣4）＞0，
由韦达定理可知：y1+y2=，y1 y2=，
丨AB丨= ，
F到AB的距离d==，
∴S△ABF= d 丨AB丨= ，=，
令t=（t＞0），
S△ABF==≤=，
当且仅当3t=，即m=±时，等号成立，
∴直线AB的方程为：3x﹣2y+12=0或3x+2y+12=0．
　
22．已知函数f（x）=x2+2x+alnx
（1）若a=﹣4，求函数f（x）的极值；
（2）若a=1时，证明f（x+1）≤x2+5x+3
（3）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，试证明a≤2．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）把a=﹣4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极小值；
（2）问题转化为证明ln（1+x）≤x在x＞﹣1上恒成立，令m（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），根据函数的单调性证明即可；
（3）问题转化为t＞1时，a≤恒成立，结合（2），求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）=x2+2x﹣4lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2x+2﹣，（x＞0），
∴由f'（x）＞0，得：x＞1，由f'（x）＜0，得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（2）易知要证f（x+1）≤x2+5x+3，
即证ln（1+x）≤x在x＞﹣1上恒成立，
令m（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），
则m′（x）=，
∴m（x）在x=0时取极大值，同时也是最大值，
故m（x）≤m（0）=0，
即ln（1+x）≤x在x＞﹣1恒成立；
（3）∵f（x）=x2+2x+alnx，
∴f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3，
∴2t2﹣4t+2≥2alnt﹣aln（2t﹣1）=aln，
当t≥1时，t2≥2t﹣1，∴ln≥0，
即t＞1时，a≤恒成立．
又易证ln（1+x）≤x在x＞﹣1上恒成立，
∴ln
=ln[1+]≤＜（t﹣1）2在t＞1上恒成立，
当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln≤（t﹣1）2，
∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
　
2017年2月11日