辽宁省铁岭市协作体2017届高三（上）第三次联考数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第三次联考数学试卷（文科）
　
一．选择题（共12小题，每题5分）
1．已知I为全集，集合M，N I，若M∩N=N，则（　　）
A．
B．
C．
D．
2．若p：|x|＞2，q：x＞2，则p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y=2sinx
B．y=cos2x
C．y=sinx
D．y=2cos（x+）
4．已知=（2，1），=（x，﹣2），且（+）∥（2﹣），则x等于（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣4
D．4
5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知实数x、y满足约束条件，则其围成的平面区域的面积为（　　）
A．1
B．
C．
D．
7．0.80.7，log23，log0.32的大小关系是（　　）
A．log0.32＜0.80.7＜log23
B．0.80.7＜log23＜log0.32
C．0.80.7＜log0.32＜log23
D．log0.32＜log23＜0.80.7
8．函数f（x）=x﹣2lnx在区间[1，e]上的最小值和最大值分别是（　　）
A．1和e﹣2
B．2﹣2ln2和e﹣2
C．﹣1和e﹣2
D．2﹣2ln2和1
9．网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣1）
B．（﹣，﹣1]
C．（﹣，﹣2）
D．（﹣，﹣2]
12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞）
B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，2]
D．[2，+∞）
　
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=　　．
14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=　　．
15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　　寸．
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为　　．
　
三．解答题（共7小题，17---21每题12分，22-23选择一个作答，10分）
17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
18．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
20．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
21．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA| |OB|的最大值．
23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
　
2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第三次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题，每题5分）
1．已知I为全集，集合M，N I，若M∩N=N，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意，做出图示，依次分析选项可得答案．
【解答】解：根据题意，若M∩N=N，则N M，
做出图示如图，
分析可得，必有，
故选C．
　
2．若p：|x|＞2，q：x＞2，则p是q成立的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充要条件．
【分析】由|x|＞2，得x＞2或x＜﹣2．故x＞2是x＞2或x＜﹣2成立的充分不必要条件，即p是q成立的必要不充分条件．
【解答】解：∵|x|＞2∴x＞2或x＜﹣2．
故x＞2是x＞2或x＜﹣2成立的充分不必要条件，
即p是q成立的必要不充分条件．
故选B．
　
3．下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y=2sinx
B．y=cos2x
C．y=sinx
D．y=2cos（x+）
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】直接求出各个函数的周期，判断满足题意选项即可．
【解答】解：y=2sinx的最小正周期为2π，不满足题意；
y=cos2x的最小正周期是π，满足题意；
y=sinx的最小正周期是=4π，不满足题意；
y=2cos（x+）的最小正周期是2π不满足题意；
故选：B．
　
4．已知=（2，1），=（x，﹣2），且（+）∥（2﹣），则x等于（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣4
D．4
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】求出向量，利用两个向量共线求出x即可．
【解答】解：∵=（2，1），=（x，﹣2），
∴+=（2+x，﹣1）
2﹣=（4﹣x，4），
∵（+）∥（2﹣），
∴8+4x=﹣4+x，解得x=﹣4．
故选：C．
　
5．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列{an}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．
【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，
则数列{an}是等比数列，公比q=2．
则=5，解得．
∴a3==．
故选：A．
　
6．已知实数x、y满足约束条件，则其围成的平面区域的面积为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
则对应的区域为△ABC，
其中A（1，0），B（2，0），
由，解得，即C（，），
则△ABC的面积S==，
故选：D．
　
7．0.80.7，log23，log0.32的大小关系是（　　）
A．log0.32＜0.80.7＜log23
B．0.80.7＜log23＜log0.32
C．0.80.7＜log0.32＜log23
D．log0.32＜log23＜0.80.7
【考点】对数值大小的比较．
【分析】依据对数的性质，指数的性质，分别确定0.80.7，log23，log0.32的数值的范围，然后判定选项．
【解答】解：因为0.80.7∈（0，1）；log23＞1；log0.32＜0
所以log0.32＜0.80.7＜log23
故选A．
　
8．函数f（x）=x﹣2lnx在区间[1，e]上的最小值和最大值分别是（　　）
A．1和e﹣2
B．2﹣2ln2和e﹣2
C．﹣1和e﹣2
D．2﹣2ln2和1
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．
【解答】解：f（x）=x﹣2lnx，f′（x）=1﹣=，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，
∴f（x）在[1，2）递减，在（2，e]递增，
∴f（x）min=f（2）=2﹣2ln2，而f（1）=1＞f（e）=e﹣2，
故f（x）在区间[1，e]上的最小值和最大值分别是：2﹣2ln2，1，
故选：D．
　
9．网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，由此能求出这个几何体的外接球的半径R，从而能求出这个几何体的外接球的表面积．
【解答】解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，
可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，
底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．
则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，
且是等边三角形PAC的中心，
这个几何体的外接球的半径R=PD=．
则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
故选：D．
　
10．函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
【考点】奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
【分析】的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
【解答】解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：xA+xH=xB+xG═xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
　
11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣，﹣1）
B．（﹣，﹣1]
C．（﹣，﹣2）
D．（﹣，﹣2]
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6﹣a2）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．
【解答】解：由题意f（x）=x3﹣3x，
所以f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），
当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x=﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）=﹣1+3=2．，x3﹣3x=2，解得x=2，
所以由题意应有：，
解得﹣＜a≤2．
故选：D．
　
12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞）
B．（﹣∞，1]
C．（﹣∞，2]
D．[2，+∞）
【考点】导数的运算．
【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是增函数，f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，即g（2﹣a）≥g（a），可得
2﹣a≥a，由此解得a的范围．
【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2
+f（﹣x）﹣x2
=0，
令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣≥f（a）﹣，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，
故选：B．
　
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6=　6　．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．
a1=6，a3+a5=0，
∴a1+2d+a1+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S6==36﹣30=6．
故答案为：6．
　
14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=　　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用数量积的性质即可得出．
【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．
∴=，
化为=10，
化为，
∵，
解得||=．
故答案为：．
　
15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是　3　寸．
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．
【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，
下底面半径为6寸，高为18寸．
因为积水深9寸，所以水面半径为寸．
则盆中水的体积为（立方寸）．
所以则平地降雨量等于（寸）．
故答案为3．
　
16．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＜，则不等式f（x2）＜的解集为　（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）　．
【考点】导数的运算；其他不等式的解法．
【分析】设F（x）=f（x）﹣x，根据题意可得函数F（x）在R上单调递减，然后根据f（x2）＜可得f（x2）﹣＜f（1）﹣，最后根据单调性可求出x的取值范围．
【解答】解：设F（x）=f（x）﹣x，则F′（x）=f′（x）﹣
∵f′（x）＜，∴F′（x）=f′（x）﹣＜0
即函数F（x）在R上单调递减
而f（x2）＜即f（x2）﹣＜f（1）﹣
∴F（x2）＜F（1）而函数F（x）在R上单调递减
∴x2＞1即x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
　
三．解答题（共7小题，17---21每题12分，22-23选择一个作答，10分）
17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的范围，即可求得g（x）的值域．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，
∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．
（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣
当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，
故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．
　
18．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an
（II）由==，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
　
19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．
因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH==6，AH=10，HB=6．
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为．
　
20．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．
（Ⅰ）求cos∠CAD的值；
（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．
（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．
【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．
（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，
∴sin∠BAD==，
∵cos∠CAD=，
∴sin∠CAD==
∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，
∴由正弦定理知=，
∴BC= sin∠BAC=×=3
　
21．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，
∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，
g′（x）=﹣2a=，
当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，
当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，
∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，
①当a≤0时，f′（x）单调递增，
则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，
②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
③当a=时，
=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
④当a＞时，0＜＜1，
当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．
综上实数a的取值范围是a＞．
　
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA| |OB|的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．
（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA| |OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），
化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，
其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．
曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），
化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，
由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|2+|OA| |OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，
∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，
当2θ+=时，θ=时取到最大值．
　
23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2；
（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．
（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，
故不等式f（x）≥2成立．
（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，
∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．
当0＜a≤3时，不等式即
6﹣a+＜5，即
a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．
综上可得，a的取值范围（，）．
　
2017年2月11日