湖南省株洲市南方中学、醴陵一中2016-2017学年高二（上）12月联考数学试卷（文科）（创新班）（解析版）

2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（文科）（创新班）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜b2
B．＞
C．|a|＜|b|
D．2a＞2b
2．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（　　）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
4．命题p： x∈R，log2x＞0，命题q： x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（　　）
A．p∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧q
D．p∨（￢q）
5．设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（　　）
A．1
B．
C．
D．5
6．“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（　　）
A．3x﹣y+2=0
B．3x+y+2=0
C．x+3y+2=0
D．x﹣3y﹣2=0
8．在△ABC中，B=，则sinA sinC的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=5，S6=15，则S9=（　　）
A．45
B．20
C．30
D．35
10．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）
A．e＞
B．1＜e＜
C．e＞
D．1＜e＜
11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）
B．（﹣∞，0）
C．（0，2）
D．（﹣∞，﹣2）
12．设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.
13．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为　　．
14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为　　．
15．设x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是　　．
16．下列结论正确的是　　．
（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；
（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；
（3）设，是非零向量，命题“若| |=||||，则 t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；
（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．
18．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlogan，求数列{bn}的前n项和Sn．
19．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．
20．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．
（Ⅰ）试用x表示S；
（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
21．如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1相切，求椭圆C1的标准方程．
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；
（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年湖南省株洲市南方中学、醴陵一中高二（上）12月联考数学试卷（文科）（创新班）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜b2
B．＞
C．|a|＜|b|
D．2a＞2b
【考点】不等式的基本性质．
【分析】考察指数函数y=2x的单调性即可得出．
【解答】解：∵a＞b＞0，
∴2a＞2b，
故选：D．
　
2．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（　　）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的出错运算法则，以及复数单位的幂运算，化简复数，推出对应点的坐标即可．
【解答】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．
复数对应点的坐标（），在第四象限．
故选：A．
　
3．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（　　）
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
【考点】相关系数．
【分析】两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，得到结果．
【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2，越接近于1，
这个模型的拟合效果越好，
在所给的四个选项中0.98是相关指数最大的值，
∴拟合效果最好的模型是模型1．
故选A．
　
4．命题p： x∈R，log2x＞0，命题q： x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是（　　）
A．p∨q
B．p∧q
C．（￢p）∧q
D．p∨（￢q）
【考点】复合命题的真假；特称命题．
【分析】判断命题P与q的真假，然后判断选项的正误．
【解答】解：命题p： x∈R，log2x＞0，是假命题；￢p是真命题；
命题q： x0∈R，2x0＜0，是假命题；￢q是真命题；
所以p∨q是假命题；p∧q是假命题；（￢p）∧q是假命题；p∨（￢q）是真命题．
故选：D．
　
5．设不等式组表示的平面区域为D．则区域D上的点到坐标原点的距离的最小值是（　　）
A．1
B．
C．
D．5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象可知，当OQ垂直直线x+y﹣1=0时，此时区域D上的点到坐标原点的距离的最小，
最小值为圆心到直线x+y﹣1=0的距离d=
故选：B
　
6．“m＜”是“方程x2+x+m=0有实数解”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】结合一元二次方程的判别式以及充分必要条件的定义，先证明充分性，再证明必要性．
【解答】解：先证明充分性：
∵m＜，∴△=1﹣4m＞0，
∴方程x2+x+m=0有实数解，
∴是充分条件；
再证明必要性：
∵方程x2+x+m=0有实数解，
∴△=1﹣4m≥0，
∴m≤，
∴不是必要条件，
故选：A．
　
7．与直线2x﹣6y+1=0垂直，且与曲线f（x）=x3+3x2﹣1相切的直线方程是（　　）
A．3x﹣y+2=0
B．3x+y+2=0
C．x+3y+2=0
D．x﹣3y﹣2=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．
【解答】解：设所求的直线方程为y=﹣3x+m，切点为（n，n3+3n2﹣1），
则由题意可得3n2+6n=﹣3，∴n=﹣1，
故切点为（﹣1，1），代入切线方程y=﹣3x+m可得m=﹣2，
故设所求的直线方程为y=﹣3x﹣2，即3x+y+2=0
故选B．
　
8．在△ABC中，B=，则sinA sinC的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的积化和差公式．
【分析】化简可得sinAsinC=sin（2A﹣）+，由0，可求﹣＜2A﹣＜，从而可得sinA sinC的最大值．
【解答】解：sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）
=sinAsin（﹣A）
=sinA（cosA+sinA）
=sin2A﹣cos2A+
=sin（2A﹣）+
∵0
∴﹣＜2A﹣＜
∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．
故选：D．
　
9．记等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=5，S6=15，则S9=（　　）
A．45
B．20
C．30
D．35
【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．
【分析】由等比数列的性质可得S3
、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等比数列，故有
100=5（S9﹣15
），由此求得S9的值．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=5，S6=15，则由等比数列的性质可得
S3
、S6﹣S3、S9﹣S6仍成等比数列，即5，15﹣5，S9﹣15
成等比数列，
故有
100=5（S9﹣15
），∴S9=35．
故选D．
　
10．已知F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）
A．e＞
B．1＜e＜
C．e＞
D．1＜e＜
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】运用对称性，可得MF1=F1F2=2c，设直线PF1：y=（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b2﹣a2＞0，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围．
【解答】解：设点F2（c，0），
由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，
由对称性可得，MF1=F1F2=2c，
则MO==c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，
设直线PF1：y=（x+c），
代入双曲线方程，可得，（3b2﹣a2）x2﹣2ca2x﹣a2c2﹣3a2b2=0，
则方程有两个异号实数根，
则有3b2﹣a2＞0，即有3b2=3c2﹣3a2＞a2，即c＞a，
则有e=＞．
故选A．
　
11．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）
B．（﹣∞，0）
C．（0，2）
D．（﹣∞，﹣2）
【考点】函数恒成立问题．
【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a﹣x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．
【解答】解：由f（x）=，知：
①当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
故f（x）在（﹣∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0﹣2）2﹣1=﹣（0+1）2+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a﹣x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜﹣2；
故选：D．
　
12．设函数f（x）=ax3+3bx（a，b为实数，a＜0，b＞0），当x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，则b的最大值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求导数，利用函数的单调性，结合x∈[0，1]时，有f（x）∈[0，1]，即可b的最大值．
【解答】解：∵f（x）=ax3+3bx，∴f′（x）=3ax2+3b
令f′（x）=0，可得x=，
①≥1，则f（x）max=f（1）=1，∴b∈（0，]；
②0＜＜1，f（x）max=f（）=1，f（1）≥0，∴b∈（，]．
∴b的最大值是．
故选：C．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置上.
13．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为　　．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线的离心率为，
且与椭圆=1有公共焦点，
∴双曲线的焦点坐标为，，
设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），
∴，解得a=2，c=，b=1，
∴该双曲线的方程为．
故答案为：．
　
14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为　4836　．
【考点】类比推理．
【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53），即可得出答案．
【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：
2000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=24×53，
所以2000的所有正约数之和为（1+2+22+23+24）（1+5+52+53）=4836．
可求得2000的所有正约数之和为
4836．
故答案为：4836．
　
15．设x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是　（2，6）　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】由题意可得x1，x2是方程3x2﹣4ax+a2=0的两个实数根，故有3×22﹣4a×2+a2＜0，由此求得a的范围．
【解答】解：∵x1，x2是函数f（x）=x3﹣2ax2+a2x的两个极值点，
∴x1，x2是方程的两个实数根，
∴3×22﹣4a×2+a2＜0，即
a2﹣8a+12=（a﹣2）（a﹣6）＜0，
解得
2＜a＜6，
故答案为：（2，6）．
　
16．下列结论正确的是　（2）（3）　．
（1）函数f（x）=sinx在第一象限是增函数；
（2）△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件；
（3）设，是非零向量，命题“若| |=||||，则 t∈R，使得=t”的否命题和逆否命题都是真命题；
（4）函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值为0．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】举例说明（1）错误；利用角的范围结合余弦函数的单调性说明（2）正确；由向量共线的条件判断（3）正确；利用导数求出函数f（x）=2x3﹣3x2，x∈[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）的最大值说明（4）错误．
【解答】解：对于（1），390°＞60°，但sin390，∴函数f（x）=sinx在第一象限是增函数错误；
对于（2），△ABC中，∵0＜A，B＜π，且y=cosx在[0，π]上是减函数，∴“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件正确；
对于（3），设，是非零向量，若| |=||||，则共线，∴命题“若| |=||||，则 t∈R，使得=t”是真命题，则其逆否命题是真命题；
命题“若| |=||||，则 t∈R，使得=t”的否命题是“若| |≠||||，则 t∈R，≠t”，也是真命题，故（3）是真命题；
对于（4），由f（x）=2x3﹣3x2，得f′（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），当x∈[﹣2，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0，原函数为增函数，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，原函数为减函数，∴f（x）=2x3﹣3x2在[﹣2，t]（﹣2＜t＜1）上的最大值为，故（4）错误．
故答案为：（2）（3）．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：方程x2﹣（2+a）x+2a=0在[﹣1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．
【考点】复合命题的真假；一元二次不等式．
【分析】先通过因式分解求出方程x2﹣（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x2+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．
【解答】解：①若命题p为真，由x2﹣（2+a）x+2a=0得（x﹣2）（x﹣a）=0，解得x=2或x=a，
又∵方程x2﹣（2+a）x+2a=0，在[﹣1，1]上有且仅有一解，∴﹣≤a≤1．
②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0
∴△=4a2﹣8a≥0解得a≤0或a≥2，
因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，
当命题p为假时，a＜﹣1或a＞1，
当命题q为真时，a≤0或a≥2，
因此，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）．
　
18．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlogan，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
【分析】（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n项和Sn．
【解答】解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n
∴bn==﹣n 2n
∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n①
∴﹣2sn=1×22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n2n+1②
∴①﹣②得，
sn=2+22+23+…+2n﹣n 2n+1=2n+1﹣n 2n+1﹣2
　
19．△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（﹣1）c．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知△ABC的面积为12+4，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．
【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（Ⅰ）由B的度数表示出A+C的度数，用A表示出C，已知等式利用正弦定理化简，将表示出的C代入利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后得到tanA=1，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将表示出的c，sinB以及已知面积代入求出a的值，代入f（x）解析式中化简，利用二次函数的性质及正弦函数的值域即可确定出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵B=60°，∴A+C=120°，即C=120°﹣A，
∵a=（﹣1）c，由正弦定理可得：sinA=（﹣1）sinC，
sinA=（﹣1）sin=（﹣1）（cosA+sinA），
整理得：
cosA+sinA﹣cosA﹣sinA=sinA，
即cosA=sinA，
即sinA=cosA，
∴tanA=1，
则A=45°；
（Ⅱ）∵S△ABC=acsinB=12+4，c=，sinB=，
∴ =12+4，
解得：a=4，
∴f（x）=1﹣2sin2x+4sinx=﹣2（sinx﹣）2+5，
则当sinx=1时，函数f（x）取得最大值4﹣1．
　
20．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S平方米．
（Ⅰ）试用x表示S；
（Ⅱ）当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得xy=1800，结合图形及x=3a+6，由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x的函数．
（2）要求S的最大值，根据xy=1800，直接使用基本不等式，即可求最大值．
【解答】解：（1）由题可得：xy=1800，则x=a+2a+6=3a+6，即a=
∴S=（y﹣4）a+（y﹣6）×2a=（3y﹣16）a=1832﹣6x﹣y=1832﹣（16x+）（x＞0）．
（2）∵16x+≥1440，当且仅当16x=，即x=45m时，取等号，
∴x=45m时，S取得最大值1352，此时y=40．
　
21．如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F（1，0），C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．
（Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；
（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）若坐标原点关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1相切，求椭圆C1的标准方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）设出抛物线C2的标准方程，利用焦点F（1，0），即可得出结论；
（Ⅱ）设AB：x=4+ny，代入抛物线方程，证明=0，即可得出结论；
（Ⅲ）P（4t2，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t2，2t）在直线l上，直线方程代入椭圆方程，利用△=0，可得结论．
【解答】（Ⅰ）解：抛物线C2的标准方程为：y2=2px，
∵焦点F（1，0），
∴p=2
∴抛物线C2的标准方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：设AB：x=4+ny，代入抛物线方程得y2﹣4ny﹣16=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣16，x1x2==16，
∴=x1x2+y1y2=0，
∴以AB为直径的圆过原点；
（Ⅲ）解：设P（4t2，4t），则OP⊥l，且OP的中点（2t2，2t）在直线l上，
∴，∴n=±1，
由，得（b2n2+a2）y2+8b2ny+b2（16﹣a2）=0，
由△=0，可得a2+b2=16，
∵a2=b2+1，
∴，
∴椭圆C1的标准方程为．
　
22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；
（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2），且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可；
（3）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．
【解答】解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
∴①时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为；
②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，
∴f（x）min=；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根
令h（x）=，则
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴a=h（x）min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a
题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点
∵，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）min=G（）=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大
而当x2﹣x1=ln2时，由题意
两式相减可得
∴x2=4x1代入上述方程可得
此时
所以，实数a的取值范围为．
　
2017年2月12日