12.5.因式分解（2）达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一公式法分解因式
1.因式分解1-4x2的结果是 ( )
A.(1+4x)(1-4x) B.(4x+1)(4x-1)
C.(1-2x)(1+2x) D.(2x+1)(2x-1)
2.能用公式法分解因式的是 ( )
A.9m2-n4 B.4x2+9x2
C.-4x2-4x+1 D.2x2-2x+1
3.分解因式:m3-9mn2= .
4.分解因式:10x2-20xy+10y2= .
5.把下列各式分解因式.
(1)-12xy+x2+36y2.
(2)16x2y2z2-9.
(3)(x2+9y2)2-36x2y2.
(4)(x2-1)2-6(x2-1)+9.
(5)mx2-8mx+16m.
题组二公式法分解因式的应用
1.当n为整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是 ( )
A.3的倍数 B.5的倍数
C.6的倍数 D.8的倍数
2.△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
【变式训练】若a,b,c是三角形三边的长,则代数式(a-b)2-c2的值是 ( )
A.大于零 B.小于零
C.大于或等于零 D.小于或等于零
3.已知a-b=1,则a2-b2-2b= .
4.计算:20162-20152= .
5.给出三个多项式:x2+2x-1,x2+4x+1,x2-2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.21教育网
6.如图所示在一个边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.21cnjy.com
【鉴前毖后】分解因式:(x+2)(x+4)+x2-4.
(1)找错:第____步出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________
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B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
2.多项式4x2-(y-z)2的一个因式是 ( )
A.2x-y-z B.2x+y-z
C.2x+y+z D.4x+y-z
3.已知一个正方形的面积为(16-8x+x2)cm2(x>4),则此正方形的周长是 ( )
A.(4-x)cm B.(x-4)cm
C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知|3x+4|+y2-6y+9=0,则xy= .
5.因式分解2015x4-2015= .
6.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)·(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x+y)=18,(x-y)=0,(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码,对于多项式x3-4xy2,取x=36,y=16时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).21世纪教育网版权所有
三、解答题(共26分)
7.(8分)因式分解:(1)(x2+4y2)2-16x2y2.
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4.
(3)a2-2ab+b2-c2.
8.(8分)小瑞说:“对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.”你同意他的说法吗?理由是什么?21·cn·jy·com
【培优训练】9.(10分)观察下列分解因式的过程:
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再减去a2)
=(x+a)2-4a2(运用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面这样通过加减项配出完全平方式,把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法.请你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2.
12.5.因式分解（2）达标检测AB卷
A卷基础达标
题组一公式法分解因式
1.因式分解1-4x2的结果是 ( )
A.(1+4x)(1-4x) B.(4x+1)(4x-1)
C.(1-2x)(1+2x) D.(2x+1)(2x-1)
【解析】选C.1-4x2=1-(2x)2=(1+2x)(1-2x).
2.能用公式法分解因式的是 ( )
A.9m2-n4 B.4x2+9x2
C.-4x2-4x+1 D.2x2-2x+1
【解析】选A.9m2-n4=(3m)2-(n2)2
=(3m+n2)(3m-n2).
3.分解因式:m3-9mn2= .
【解析】m3-9mn2=m(m2-9n2)=m(m+3n)(m-3n).
答案:m(m+3n)(m-3n)
4.分解因式:10x2-20xy+10y2= .
【解析】10x2-20xy+10y2=10(x2-2xy+y2)=10(x-y)2.
答案:10(x-y)2
5.把下列各式分解因式.
(1)-12xy+x2+36y2.
(2)16x2y2z2-9.
(3)(x2+9y2)2-36x2y2.
(4)(x2-1)2-6(x2-1)+9.
(5)mx2-8mx+16m.
【解析】(1)-12xy+x2+36y2=(x-6y)2.
(2)16x2y2z2-9=(4xyz+3)(4xyz-3).
(3)(x2+9y2)2-36x2y2=(x2+9y2+6xy)(x2+9y2-6xy)
=(x+3y)2(x-3y)2.
(4)(x2-1)2-6(x2-1)+9
=(x2-1-3)2=(x2-4)2=(x+2)2(x-2)2.
(5)mx2-8mx+16m=m(x2-8x+16)=m(x-4)2.
【易错警示】
1.运用公式法分解因式,首先要观察式子的特点,确定使用哪个公式,再确定公式中的a,b分别代表什么.要注意,公式中的a,b可以表示数、单项式或多项式.21cnjy.com
2.对不符合公式特点的多项式,要进行适当的变形.
3.分解后括号里有同类项的要合并.
4.分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止.
题组二公式法分解因式的应用
1.当n为整数时,(2n+1)2-(2n-1)2是 ( )
A.3的倍数 B.5的倍数
C.6的倍数 D.8的倍数
【解析】选D.(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n·2=8n,是8的倍数.
2.△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.锐角三角形
【解题指南】解决本题的关键是把a2与-c2,2ab与-2bc分别结合,然后各自分解因式,再找出公因式,进行一次分解因式,把原等式化为(a-c)(a+c+2b)=0的形式.www.21-cn-jy.com
【解析】选A.等式可变形为a2-2bc-c2+2ab=0,
(a2-c2)+(2ab-2bc)=0,(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,
(a-c)(a+c+2b)=0.因为a,b,c是△ABC的三边,
所以a+c+2b>0,所以a-c=0,
所以a=c.所以该三角形是等腰三角形.
【变式训练】若a,b,c是三角形三边的长,则代数式(a-b)2-c2的值是 ( )
A.大于零 B.小于零
C.大于或等于零 D.小于或等于零
【解析】选B.根据题意可得a+c>b,a即a+c-b>0,a-b-c<0,
因为(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c)<0,所以(a-b)2-c2<0.
3.已知a-b=1,则a2-b2-2b= .
【解析】因为a-b=1,
所以a2-b2-2b
=(a+b)(a-b)-2b
=a+b-2b
=a-b
=1.
答案:1
4.计算:20162-20152= .
【解析】20162-20152=(2016+2015)(2016-2015)=4031×1=4031.
答案:4031
5.给出三个多项式:x2+2x-1,x2+4x+1,x2-2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.2·1·c·n·j·y
【解析】x2+2x-1+x2-2x=x2-1=(x+1)(x-1).
6.如图所示在一个边长为a的正方形木板上,锯掉边长为b的四个小正方形,计算当a=18dm,b=6dm时剩余部分的面积.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】边长为a的正方形的面积是a2,边长为b的4个小正方形的面积是4b2,所以剩余部分的面积S=a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
当a=18dm,b=6dm时,S=(18+2×6)(18-2×6)=180(dm2).
答:剩余部分的面积为180dm2.
【鉴前毖后】分解因式:(x+2)(x+4)+x2-4.
(1)找错:第____步出现错误.
(2)纠错:_______________________________________________
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答案: (1)③
(2)(x+2)(x+4)+x2-4
=(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2)
=(x+2)(2x+2)
=2(x+2)(x+1).
B卷能力达标
(测试时间30分钟 试题总分50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列各式中能用两数和(差)的平方公式进行因式分解的是 ( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2-6x+9
【解析】选D.A、x2+x+1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
B、x2+2x-1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
C、x2-1不符合两数和(差)的平方公式法分解因式的式子特点,故选项错误;
D、x2-6x+9=(x-3)2,故选项正确.
2.多项式4x2-(y-z)2的一个因式是 ( )
A.2x-y-z B.2x+y-z
C.2x+y+z D.4x+y-z
【解析】选B.4x2-(y-z)2=(2x)2-(y-z)2
=(2x+y-z)[2x-(y-z)]
=(2x+y-z)(2x-y+z).
3.已知一个正方形的面积为(16-8x+x2)cm2(x>4),则此正方形的周长是 ( )
A.(4-x)cm B.(x-4)cm
C.(16-4x)cm D.(4x-16)cm
【解析】选D.正方形的面积为16-8x+x2=(x-4)2,当x>4时,=
=x-4,故边长为x-4,周长为4(x-4)=4x-16(cm).
【易错警示】本题中易错之处是误以为要求的是边长而选错B.另外在求边长时注意面积为(x-4)2,求边长时需开方,注意求出来的边长应该为正数,比较x与4的大小,求出正确的边长.21教育网
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.已知|3x+4|+y2-6y+9=0,则xy= .
【解析】因为|3x+4|+y2-6y+9=0,
所以|3x+4|+(y-3)2=0,
所以3x+4=0,y-3=0,所以x=-,y=3,
所以xy==-.
答案:-
5.因式分解2015x4-2015= .
【解析】2015x4-2015=2015(x4-1)
=2015(x2+1)(x2-1)=2015(x2+1)(x+1)(x-1).
答案:2015(x2+1)(x+1)(x-1)
6.在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)·(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x+y)=18,(x-y)=0,(x2+y2)=162,于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码,对于多项式x3-4xy2,取x=36,y=16时,用上述方法产生的密码是 (写出一个即可).21·cn·jy·com
【解析】x3-4xy2=x(x+2y)(x-2y).
当x=36,y=16时,x+2y=36+32=68,x-2y=36-32=4.
则密码是36684或36468或68364或68436或43668或46836.
答案:36684(或36468或68364或68436或43668或46836,答案不唯一)
三、解答题(共26分)
7.(8分)因式分解:(1)(x2+4y2)2-16x2y2.
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4.
(3)a2-2ab+b2-c2.
【解析】(1)(x2+4y2)2-16x2y2=(x2+4y2)2-(4xy)2
=(x2+4y2+4xy)(x2+4y2-4xy)
=(x+2y)2(x-2y)2.
(2)(a2+1)2-4(a2+1)+4
=(a2+1-2)2=(a2-1)2=(a+1)2(a-1)2.
(3)a2-2ab+b2-c2=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c).
【知识归纳】多项式因式分解的一般步骤:
1.提:如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式.
2.套:如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式法来分解.
3.检查:分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
8.(8分)小瑞说:“对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.”你同意他的说法吗?理由是什么?21世纪教育网版权所有
【解析】
同意.理由:(n+7)2-(n-5)2=[(n+7)+(n-5)][(n+7)-(n-5)]=(2n+2)×12=24(n+1).因为24能被24整除,所以24(n+1)能被24整除,即(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.21·世纪*教育网
【培优训练】9.(10分)观察下列分解因式的过程:
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再减去a2)
=(x+a)2-4a2(运用完全平方公式)
=(x+a+2a)(x+a-2a)
=(x+3a)(x-a).
像上面这样通过加减项配出完全平方式,把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法.请你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2.
【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2
=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2
=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]=(x-y)(x-3y).
