湖南省长沙市望城一中2016-2017学年高二（上）第一次调研数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年湖南省长沙市望城一中高二（上）第一次调研数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分﹒在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒
1．命题“ x＞0，x2+x＞0”的否定是（　　）
A． x0＞0，x02+x0＞0
B． x0＞0，x02+x0≤0
C． x＞0，x2+x≤0
D． x≤0，x2+x＞0
2．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（　　）
A．p真q真
B．p假q真
C．p真q假
D．p假q假
4．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（　　）
A．﹣＜x＜3
B．﹣＜x＜0
C．﹣3＜x＜
D．﹣1＜x＜6
5．下列有关命题的说法错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p： x∈R，均有x2+x+1≥0
6．双曲线=1的渐近线方程是（　　）
A．y=±x
B．y=±x
C．y=±x
D．y=±x
7．（文科做）椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标（　　）
A．（0，）
B．（0，±1）
C．（±1，0）
D．（，0）
8．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（　　）
A．
B．
C．
D．
9．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
10．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）
A．10
B．9
C．8
D．6
12．在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，
=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）
A．1＜r＜R＜3
B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3
D．1＜r＜3＜R
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分﹒
13．抛物线x2+12y=0的准线方程是　　．
14．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　　．
15．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．
16．对于曲线C：
=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤﹒
17．分别求出下列曲线的方程：
（1）椭圆的两个焦点的坐标分别是（﹣4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程．
（2）双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，求双曲线C的标准方程．
18．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
20．已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
21．已知点A（0，﹣2），B（0，4），动点P（x，y）满足；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．
22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
　
2016-2017学年湖南省长沙市望城一中高二（上）第一次调研数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分﹒在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的﹒
1．命题“ x＞0，x2+x＞0”的否定是（　　）
A． x0＞0，x02+x0＞0
B． x0＞0，x02+x0≤0
C． x＞0，x2+x≤0
D． x≤0，x2+x＞0
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ x＞0，x2+x＞0”的否定为： x0＞0，x02+x0≤0．
故选：B．
　
2．对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先根据mn＞0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn＞0，即可得到结论．
【解答】解：当mn＞0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，
例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；
故前者不是后者的充分条件；
当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn＞0；
由上可得：“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
　
3．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（　　）
A．p真q真
B．p假q真
C．p真q假
D．p假q假
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．
【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，
若“非p”为真，则p为假，
∴p假q真，
故选：B．
　
4．2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件是（　　）
A．﹣＜x＜3
B．﹣＜x＜0
C．﹣3＜x＜
D．﹣1＜x＜6
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．
【分析】通过解二次不等式求出2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件．
【解答】解：2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件为
对于A是2x2﹣5x﹣3＜0的充要条件
对于B，是2x2﹣5x﹣3＜0的充分不必要条件
对于C，2x2﹣5x﹣3＜0的不充分不必要条件
对于D，是2x2﹣5x﹣3＜0的一个必要不充分条件
故选D
　
5．下列有关命题的说法错误的是（　　）
A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p： x∈R，均有x2+x+1≥0
【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．
【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；
“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；
若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；
命题p： x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p： x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；
故选C．
　
6．双曲线=1的渐近线方程是（　　）
A．y=±x
B．y=±x
C．y=±x
D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的方程，得到a=5且b=2，利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案．
【解答】解：由于双曲线，
则a=5且b=2，双曲线的渐近线方程为y=±x，
即y=x．
故选：A．
　
7．（文科做）椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标（　　）
A．（0，）
B．（0，±1）
C．（±1，0）
D．（，0）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先把椭圆方程化为标准方程，再确定其几何量，从而求出椭圆的焦点坐标．
【解答】解：椭圆方程化为标准方程为：
∵
∴椭圆的焦点在x轴上，且
∴
∴
故椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标为
故选D．
　
8．若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率是，则m等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．
【解答】解：由题意，则
，
化简后得m=1.5，
故选A
　
9．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
【考点】双曲线的定义．
【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．
【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，
则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选C．
　
10．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2]
B．（1，2）
C．[2，+∞）
D．（2，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
　
11．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）
A．10
B．9
C．8
D．6
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线
y2=4x
的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．
【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，
∵抛物线
y2=4x
的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=x1+x2+2，
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+2=8
故选C．
　
12．在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，
=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（　　）
A．1＜r＜R＜3
B．1＜r＜3≤R
C．r≤1＜R＜3
D．1＜r＜3＜R
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，
=0，
不妨令=（1，0），=（0，1），
则=（+）=（，），
=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分﹒
13．抛物线x2+12y=0的准线方程是　y=3　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】抛物线x2+12y=0化为x2=﹣12y，即可得到抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线x2+12y=0可化为x2=﹣12y，则2p=12，∴=3
∴抛物线x2+12y=0的准线方程是y=3
故答案为：y=3．
　
14．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　b＞或b＜0　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】先把原命题等价转化为存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在X轴下方，再利用开口向上的二次函数图象的特点，转化为函数与X轴有两个交点，对应判别式大于0即可解题．
【解答】解：因为命题：存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立的等价说法是：
存在实数x，使得函数y=x2﹣4bx+3b的图象在X轴下方，
即函数与X轴有两个交点，故对应的△=（﹣4b）2﹣4×3b＞0 b＜0或b＞．
故答案为：b＜0或b＞．
　
15．椭圆+=1（a为定值，且a＞）的左焦点为F，直线x=m与椭圆交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是　　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先画出图象，结合图象以及椭圆的定义求出△FAB的周长的表达式，进而求出何时周长最大，即可求出椭圆的离心率．
【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：
由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；
∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；
∴△FAB的周长的最大值是4a=12 a=3；
∴e===．
故答案：．
　
16．对于曲线C：
=1，给出下面四个命题：
①由线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜k＜
其中所有正确命题的序号为　③④　．
【考点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程．
【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错，据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围，判断出③对；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．
【解答】解：若C为椭圆应该满足即1＜k＜4
且k≠故①②错
若C为双曲线应该满足（4﹣k）（k﹣1）＜0即k＞4或k＜1
故③对
若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4﹣k＞k﹣1＞0则
1＜k＜，故④对
故答案为：③④．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分﹒解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤﹒
17．分别求出下列曲线的方程：
（1）椭圆的两个焦点的坐标分别是（﹣4，0），（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程．
（2）双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同的渐近线，求双曲线C的标准方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由题意可知：设椭圆的方程：（a＞b＞0），则c=4，由椭圆的定义可知：2a=10，a=5，b2=a2﹣c2=9，即可求得椭圆的标准方程；
（2）设与﹣x2=1具有相同的渐近线的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），将（2，2），代入椭圆方程即可求得λ=﹣4，即可求得双曲线C的标准方程．
【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程：（a＞b＞0），
椭圆的两个焦点的坐标分别是（﹣4，0），（4，0），则c=4，
由椭圆的定义可知：2a=10，a=5，
b2=a2﹣c2=9，
∴椭圆的标准方程为：；
（2）设与﹣x2=1具有相同的渐近线的方程为﹣x2=λ，（λ≠0）
由双曲线C经过点（2，2），代入可知：λ=﹣4，
∴双曲线C的标准方程，
双曲线C的标准方程．
　
18．已知命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】（1）由于p是q的充分条件，可得[﹣1，5] [1﹣m，1+m），解出即可；
（2）由于“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得命题p，q为一真一假．即可即可．
【解答】解：（1）由命题p：（x+1）（x﹣5）≤0，化为﹣1≤x≤5．
命题q：1﹣m≤x＜1+m（m＞0）．
∵p是q的充分条件，
∴[﹣1，5] [1﹣m，1+m），
∴，解得m＞4．
则实数m的取值范围为（4，+∞）．
（2）∵m=5，∴命题q：﹣4≤x＜6．
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
∴命题p，q为一真一假．
当p真q假时，可得，解得x∈ ．
当q真p假时，可得，解得﹣4≤x＜﹣1或5＜x＜6．
因此x的取值范围是[﹣4，﹣1）∪（5，6）．
　
19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．
【考点】解三角形．
【分析】（1）由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；
（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．
【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：
sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC （sinA﹣cosA﹣1）=0，
又，sinC≠0，
所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，
所以A=；
（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，
a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，
即有，
解得b=c=2．
　
20．已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m．
（1）当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
（2）求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）当直线与椭圆有公共点时，直线方程与椭圆方程构成的方程组有解，等价于消掉y后得到x的二次方程有解，故△≥0，解出即可；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）及韦达定理可把弦长|AB|表示为关于m的函数，根据函数表达式易求弦长最大时m的值；
【解答】解：（1）由得5x2+2mx+m2﹣1=0，
当直线与椭圆有公共点时，△=4m2﹣4×5（m2﹣1）≥0，即﹣4m2+5≥0，
解得﹣，
所以实数m的取值范围是﹣；
（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知，，，
所以弦长|AB|=== =，
当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．
　
21．已知点A（0，﹣2），B（0，4），动点P（x，y）满足；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹方程与直线y=x+2交于C、D两点；求证OC⊥OD（O为坐标原点）．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；轨迹方程．
【分析】（1）由，，代入可求
（2）联立，设C（x1，y1），D（x2，y2），则根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，由y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4，代入到=x1x2+y1y2可证OC⊥OD
【解答】解：（1）∵A（0，﹣2），B（0，4），P（x，y）
∴，
∵
∴﹣x（﹣x）+（4﹣y）（﹣2﹣y）=y2﹣8
整理可得，x2=2y
（2）联立可得x2﹣2x﹣4=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=2，x1x2=﹣4，
∴y1y2=（x1+2）（x2+2）=x1x2+2（x1+x2）+4=4
∵=x1x2+y1y2=0
∴OC⊥OD
　
22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1．当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC| |y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案．
【解答】解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，
所以=2．
所以=2．
故c=a，
从而双曲线E的离心率e==．
（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．
设直线l与x轴相交于点C，
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，
所以|OC| |AB|=8，
因此a 4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；
则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y1=，同理得y2=，
由S△OAB=|OC| |y1﹣y2|得：
|﹣| |﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．
由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，
因为4﹣k2＜0，
所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），
又因为m2=4（k2﹣4），
所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1．
　
2017年2月13日