17.2勾股定理及其逆定理的应用同步练习
文档属性
| 名称 | 17.2勾股定理及其逆定理的应用同步练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 466.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-02-22 10:33:57 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理及其逆定理的应用
基础训练
知识点1 勾股定理的验证
1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法.如图,火柴盒的一个侧面四边形ABCD倒下到四边形AB'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c.请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.21·cn·jy·com
知识点2 勾股定理在折叠中的应用
2.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE,BE分别与CD相交于点O,G,且OE=OD,求AP的长.
3.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是( )www.21-cn-jy.com
A.13 cm
B.2 cm
C. cm
D.2 cm
4.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100 m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.
知识点3 勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用
5.如图,在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段
AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点(正方形网格的交点)上.
(1)若每个正方形的边长都是1,分别求出AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号).
(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段,使它们能构成直角三角形?如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.
提升训练
考查角度1 勾股定理与它的逆定理的综合应用
6.如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.
7.如图,已知AD⊥CD于点D,且AD=4,CD=3,AB=12,BC=13.
(1)求:四边形ABCD的面积;
(2)若∠B=23°,求∠ACB的度数.
考查角度2 勾股定理及其逆定理在网格中的应用
8.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C,D均在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗?请说出你的理由.
探究培优
拔尖角度1 勾股定理的逆定理的实际应用
9.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测,AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海?
参考答案
1.证明:由题易知Rt△C'D'A≌Rt△ABC,
∴∠C'AD'=∠ACB.
又∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠C'AD'=90°.
∴∠CAC'=90°.
∵S梯形BCC'D'=SRt△ABC+SRt△AC'D'+SRt△CAC',
∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.
∴(a+b)2=2ab+c2.
∴a2+b2=c2.
2.解:∵四边形ABCD是长方形,
∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.
根据题意得△ABP≌△EBP,
∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8.
在△ODP和△OEG中,
∴△ODP≌△OEG.
∴OP=OG,PD=GE.
∴DG=EP.
设AP=EP=x,则GE=PD=6-x,DG=x,
∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x.
根据勾股定理得BC2+CG2=BG2.
即62+(8-x)2=(x+2)2,解得x=4.8,∴AP=4.8.
3.【答案】A
4.解:小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.理由如下:∵AB=60 m,BC=80 m,AC=100 m,21世纪教育网版权所有
∴AB2+BC2=AC2.
∴∠ABC=90°.
又∵AD∥NM,
∴∠NBA=∠BAD=30°.
∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.
5.解:(1)AB=,AC=,AD=2,AE=2.
(2)存在,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
理由:∵AB=,AD=2,AC=,∴AD2+AB2=AC2,
由勾股定理的逆定理可知,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
6.解:如图,连接EE'.
由题意可知△ABE≌△CBE',
∴E'C=AE=1,BE'=BE=2,∠ABE=∠CBE'.
又∵∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠CBE'+∠EBC=90°,
即∠EBE'=90°,则由勾股定理,得EE'=2.
在△EE'C中,EE'=2,E'C=1,EC=3.
由勾股定理的逆定理可知∠EE'C=90°.
∵BE=BE',∠EBE'=90°,
∴∠BE'E==45°,
∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.
7.解:(1)在Rt△ACD中,∠D=90°,
∴AC===5.
又∵AB=12,BC=13,
∴AB2+AC2=BC2.
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB·AC+AD·CD
=×12×5+×4×3
=36.
(2)在Rt△ABC中,∵∠B=23°,
∴∠ACB=90°-∠B=90°-23°=67°.
8.解:(1)如图,将四边形ABCD分成4个小直角三角形,发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半,因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半,即×52=12.5.21教育网
(2)AD⊥CD.理由如下:
在△ADC中,因为AD2=12+22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,所以AD2+CD2=AC2,21cnjy.com
即△ADC是直角三角形,且AD⊥CD.
9.解:∵AB2+BC2=62+82=100=102=AC2,
∴△ABC为直角三角形,
且∠ABC=90°.
∴S△ABC=AB·BC,
∴AB·BC=AC·BD,即
∴×10·BD=×6×8,
解得BD=4.8.
在Rt△BCD中,CD2=BC2-BD2=82-4.82,
解得CD=6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8=0.5(h).
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10:58.
第2课时 勾股定理及其逆定理的应用
基础训练
知识点1 勾股定理的验证
1.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法.如图,火柴盒的一个侧面四边形ABCD倒下到四边形AB'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c.请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.21·cn·jy·com
知识点2 勾股定理在折叠中的应用
2.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE,BE分别与CD相交于点O,G,且OE=OD,求AP的长.
3.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是( )www.21-cn-jy.com
A.13 cm
B.2 cm
C. cm
D.2 cm
4.如图,小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处,某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边B处取水,然后沿另一方向走80 m到达菜地C处浇水,最后沿第三方向走100 m回到家A处.问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的?并说明理由.
知识点3 勾股定理的逆定理在判断构成直角三角形条件中的应用
5.如图,在4×3的正方形网格中有从点A出发的四条线段
AB,AC,AD,AE,它们的另一个端点B,C,D,E均在格点(正方形网格的交点)上.
(1)若每个正方形的边长都是1,分别求出AB,AC,AD,AE的长度(结果保留根号).
(2)在AB,AC,AD,AE四条线段中,是否存在三条线段,使它们能构成直角三角形?如果存在,请指出是哪三条线段,并说明理由.
提升训练
考查角度1 勾股定理与它的逆定理的综合应用
6.如图,点E是正方形ABCD内一点,连接AE,BE,CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,求∠BE'C的度数.
7.如图,已知AD⊥CD于点D,且AD=4,CD=3,AB=12,BC=13.
(1)求:四边形ABCD的面积;
(2)若∠B=23°,求∠ACB的度数.
考查角度2 勾股定理及其逆定理在网格中的应用
8.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B,C,D均在格点上.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗?请说出你的理由.
探究培优
拔尖角度1 勾股定理的逆定理的实际应用
9.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国领海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测,AC=10 n mile,AB=6 n mile,BC=8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海?
参考答案
1.证明:由题易知Rt△C'D'A≌Rt△ABC,
∴∠C'AD'=∠ACB.
又∵∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC+∠C'AD'=90°.
∴∠CAC'=90°.
∵S梯形BCC'D'=SRt△ABC+SRt△AC'D'+SRt△CAC',
∴(a+b)(a+b)=ab+ab+c2.
∴(a+b)2=2ab+c2.
∴a2+b2=c2.
2.解:∵四边形ABCD是长方形,
∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.
根据题意得△ABP≌△EBP,
∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8.
在△ODP和△OEG中,
∴△ODP≌△OEG.
∴OP=OG,PD=GE.
∴DG=EP.
设AP=EP=x,则GE=PD=6-x,DG=x,
∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x.
根据勾股定理得BC2+CG2=BG2.
即62+(8-x)2=(x+2)2,解得x=4.8,∴AP=4.8.
3.【答案】A
4.解:小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.理由如下:∵AB=60 m,BC=80 m,AC=100 m,21世纪教育网版权所有
∴AB2+BC2=AC2.
∴∠ABC=90°.
又∵AD∥NM,
∴∠NBA=∠BAD=30°.
∴∠MBC=180°-90°-30°=60°.
∴小明在河边B处取水后是沿南偏东60°方向行走的.
5.解:(1)AB=,AC=,AD=2,AE=2.
(2)存在,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
理由:∵AB=,AD=2,AC=,∴AD2+AB2=AC2,
由勾股定理的逆定理可知,线段AB,AC,AD可以构成直角三角形.
6.解:如图,连接EE'.
由题意可知△ABE≌△CBE',
∴E'C=AE=1,BE'=BE=2,∠ABE=∠CBE'.
又∵∠ABE+∠EBC=90°,
∴∠CBE'+∠EBC=90°,
即∠EBE'=90°,则由勾股定理,得EE'=2.
在△EE'C中,EE'=2,E'C=1,EC=3.
由勾股定理的逆定理可知∠EE'C=90°.
∵BE=BE',∠EBE'=90°,
∴∠BE'E==45°,
∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=45°+90°=135°.
7.解:(1)在Rt△ACD中,∠D=90°,
∴AC===5.
又∵AB=12,BC=13,
∴AB2+AC2=BC2.
∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
=AB·AC+AD·CD
=×12×5+×4×3
=36.
(2)在Rt△ABC中,∵∠B=23°,
∴∠ACB=90°-∠B=90°-23°=67°.
8.解:(1)如图,将四边形ABCD分成4个小直角三角形,发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半,因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半,即×52=12.5.21教育网
(2)AD⊥CD.理由如下:
在△ADC中,因为AD2=12+22=5,CD2=22+42=20,AC2=52=25,所以AD2+CD2=AC2,21cnjy.com
即△ADC是直角三角形,且AD⊥CD.
9.解:∵AB2+BC2=62+82=100=102=AC2,
∴△ABC为直角三角形,
且∠ABC=90°.
∴S△ABC=AB·BC,
∴AB·BC=AC·BD,即
∴×10·BD=×6×8,
解得BD=4.8.
在Rt△BCD中,CD2=BC2-BD2=82-4.82,
解得CD=6.4.
∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8=0.5(h).
∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10:58.