第3章图形的平移与旋转单元检测题

八年级下第3章图形的平移与旋转检测
班级___________姓名_____________考号____________
一．选择题（共12小题）
1．如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　）21世纪教育网版权所有
2．如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（　　）
A．40° B．50° C．90° D．130°
3．在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位，所得的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（3，0） C．（3，4） D．（5，2）
4．如图，直线m∥n，圆心在直线n上的⊙A是由⊙B平移得到的，则图中两个阴影三角形的面积大小关系是（　　）21·cn·jy·com
A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．不能确定
5．将如图所示图案，绕着点O按顺时针方向旋转90°，得到的图案是（　　）
6．下列说法中：
①△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；
②△ABC在旋转过程中对应线段一定不平行；
③△ABC在旋转过程中周长和面积均不变；
④△ABC在旋转过程中形状一定不变
其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．要使等边三角形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心点逆时针方向旋转（　　）
A．60° B．90° C．120° D．180°
8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=，则BB′的长为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2 B．3 C．4 D．6
9．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
10．点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，2）
11．如下左图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（　　）
12．如图，已知有下列图形变换：①先向左平移2个单位，再向下平移2个单位；②先向下平移4个单位，再向左平移4个单位；③沿AB方向，平移个单位；④以O为旋转中心，按逆时针方向转180°．其中能把点A变换为点B的有（　　）【版权所有：21教育】
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
　
二．填空题（共6小题）
13．如图，面积为8cm2的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC的2倍，则图中四边形ACED的面积为　　 cm2．
14．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB=3，DP=1，则PP′=　　．www.21-cn-jy.com
15．如图，是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是　　．
16．观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：　　，　　，　　．
17．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为，则AK=　　．
18．如图，在直角坐标系中，射线OA与x轴正半轴重合，以O为旋转中心，将OA逆时针旋转：OA?OA1?OA2?…?OAn…，旋转角∠AOA1=2°，∠A1OA2=4°，∠A2OA3=8°，…要求下一个旋转角（不超过360°）是前一个旋转角的2倍．当旋转角大于360°时，又从2°开始旋转，即∠A8OA9=2°，∠A9OA10=4°，…周而复始．则当OAn与y 轴正半轴第一次重合时，n的值为　　．（提示：2+22+23+24+25+26+27+28=510）
三．解答题（共8小题）
19．某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元？
20．如图，△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，∠ADB=∠ADC，求证：DB=DC．
21．如图，?ABCD的对角线相交于点O，E、F在直线BD上，且BE=DF．
（1）四边形AECF是否是中心对称图形？请说明理由
（2）四边形AECF的对称中心是什么？
22．在平面直角坐标系中，A点坐标为（，0），C点坐标为（，0）．B点在y轴上，且．将△ABC沿x轴向左平移个单位长，使点A、B、C分别平移到A′，B′，C′．
（1）画出草图，求B点的坐标；
（2）求A′，B′，C′三点的坐标；
（3）求四边形C′ABB′的面积．
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
24．如图，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：【来源：21·世纪·教育·网】
（1）画出△ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的△A1B1C；
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
25．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　　；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，求OA+OB+OC的值．21教育网
26．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．
（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP=　　时，四边形BCDP是矩形；
（2）将点B绕点E逆时针旋转．
①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形；
②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积．
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．分析：根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选B．
　
2．分析：根据平移的性质得出l1∥l2，进而得出∠2的度数．
解：∵将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，
∴l1∥l2，
∵∠1=50°，
∴∠2的度数是50°．
故选：B．
　
3．分析：将点P（3，2）向右平移2个单位后，纵坐标不变，横坐标加上2即可得到平移后点的坐标．
解：将点P（3，2）向右平移2个单位，所得的点的坐标是（3+2，2），即（5，2）．
故选D．
　
4．分析：根据平移的性质得到两圆的半径相等，然后根据两阴影三角形的等底等高得到面积相等．
解：∵圆心在直线n上的⊙A是由⊙B平移得到的，
∴两圆的半径相等，
∴图中两个阴影三角形等底等高，
∴两圆的面积相等，
故选B．
　
5．分析：根据旋转的定义即可求解．
解：根据旋转的性质可知，图案，绕着点O按顺时针方向旋转90°，得到的图案是．故选C．
　
6．分析：根据平移的性质对①进行判断；把△ABC旋转180°时有对应变平行，则可对②进行判断；根据旋转的性质对③④进行判断．
解：△ABC在平移过程中，对应线段一定相等，所以①正确；
△ABC在旋转过程中对应线段可能平行，所以②错误；
△ABC在旋转过程中周长和面积均不变，所以③正确；
△ABC在旋转过程中形状一定不变，所以④正确．
故选C．
　
7．分析：根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．
解：∵360°÷3=120°，
∴等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合．
故选；C．
　
8．分析：在直角三角形ABC中，根据30°所对的直角边是斜边的一半求出AB的长，再根据中心对称的性质得到BB′的长．2-1-c-n-j-y
解：依题意有AB=2AC=2，
再根据中心对称的性质得到BB′=2AB=4．
故选C．
　
9．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．
　
10．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，
∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故选C．
　
11．分析：认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断．
解：A、顺时针，连续旋转60度，三次即可得到．
B、不能作为“基本图案”．
C、旋转180度，即可得到．
D、旋转60度即可．
故选B．
　
12．分析：根据各项变换方法，找到A点变换后点的坐标，与B的坐标比较即可作出判断．
解：A（2，2），B（﹣2，﹣2），
由①平移后为（2﹣2，2﹣2），即（0，0），不为B点；
由②平移后为（2﹣4，2﹣4），即（﹣2，﹣2），为B点；
③：AB=，故A平移后变换为B点；
④：A与B关于原点对称，故以O为旋转中心，按逆时针方向转180°后能得B点．
综上可得能把点A变换为点B的有②③④，共3个．
故选B．
　
二．填空题（共6小题）
13．分析：根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依此计算即可．
解：∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC=CE=EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积=8×3=24cm2．
故答案为：24．
　
14．分析：由正方形的性质得出AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，由勾股定理求出AP，再由旋转的性质得出△ADP≌△ABP′，得出AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，证出△PAP′是等腰直角三角形，得出PP′=AP，即可得出结果．21教育名师原创作品
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴AP==，
∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，
∴△ADP≌△ABP′，
∴AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′=AP=2；
故答案为：2．
　
15．分析：通过观察发现，当涂黑3时，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，．
解：如图，把标有数字3的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．
故答案为：3．
　
16．分析：根据图形的大小没变，图形向下平移了1个单位，图形向下翻折，图形的横坐标变为原来的一半，可得答案．21cnjy.com
解：若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a+1，b﹣1），（a，﹣b），a，b）．
故答案为：（a+1，b﹣1），（a，﹣b），（a，b）．
　
17．分析：连接BH，由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，得出∠ABE=60°，由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH，得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，由三角函数求出AH，得出EH、FH，再求出KH=2FH，即可求出AK．
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH，
∴AH=AB?tan∠ABH=×=1，
∴EH=1，
∴FH=﹣1，
在Rt△FKH中，∠FKH=30°，
∴KH=2FH=2（﹣1），
∴AK=KH﹣AH=2（﹣1）﹣1=2﹣3；
故答案为：2﹣3．
　
18．分析：由题意知：每8组角为一个循环；若OA与y轴正半轴重合，那么射线OA旋转的度数为：360°?k+90°，即旋转的角度为整数，且是10的倍数；在每组的循环中，前4组或后4组角的度数和正好是10°的倍数，因此所求的n值必为4的倍数，能求出k是正整数的就是符合题意的n值．
解：若经过旋转OAn与y轴正半轴重合，那么射线OA旋转的角度为：360°?k+90°，（k为正整数）
因此旋转的角度必为10°的倍数；
由题意知：2+22+23+24=30，25+26+27+28=480；
即n的值必为4的倍数，所以360°?k+90°能被4整除，
∴360°?k+90°时能被4整除，
∴k是正整数的值时，就是符合题意的n值；
∴当k=4时，n取最小值．即360°?k+90°=1530°，
∴510°×（n÷8）=1530°，
∴n=24．
故答案是：24．
　
三．解答题（共8小题）
19．分析：根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．21·世纪*教育网
解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为5.8米，2.6米，
∴地毯的长度为2.6+5.8=8.4米，地毯的面积为8.4×2=16.8平方米，
∴买地毯至少需要16.8×30=504元．
　
20．分析：将△ADB顺时针旋转到△AD′C的位置，使AB和AC重合，D变为D′，连接DD′．由旋转的性质可知：△ADD′是等腰三角形，所以∠AD′D=∠ADD′，由已知条件可得DC=CD′，因为BD=CD′，所以BD=CD．2·1·c·n·j·y
证明：将△ADB顺时针旋转到△AD′C的位置，使AB和AC重合，D变为D′
连接DD′，
∴AD=AD′，BD=CD′，
∴∠AD′D=∠ADD′，
∵∠ADB=∠ADC，
∴∠AD′C=∠ADC，
∴∠CD′D=∠CDD′，
∴DC=CD′，
∴DB=DC．
　
21．分析：（1）根据平行四边形的性质和已知证明四边形ABCD是平行四边形即可；
（2）根据平行四边形的对称中心是对角线的交点得到答案．
解：（1）四边形AECF是中心对称图形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）四边形AECF的对称中心是点O．
　
22．分析：（1）根据A、C两点的坐标求出三角形的底，再根据三角形的面积公式求出三角形的高为1，即点B的纵坐标的绝对值为1，所以点B的坐标有两种情况，一正一负，画出三角形即可．【出处：21教育名师】
（2）将△ABC的三个顶点分别沿x轴向左平移个单位长，得到对应点A′，B′，C′，顺次连接即可．
（3）四边形C′ABB′是一个梯形，根据梯形的面积公式计算即可．
解：（1）点B有两种情况，一正一负．
故点B的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．
（2）如上图．
A′（，0），B′（﹣，±1）），C′（﹣，0）．
（3）从图可知C′A=|﹣|+=2
BB′=，
高为1，
∴梯形面积=（2+）×1÷2=．
　
23．分析：（1）平移由平移方向、平移距离决定，根据平移的方向和距离进行画图即可；
（2）旋转由旋转角度、旋转中心以及旋转方向决定，根据绕O按逆时针方向旋转90°进行画图即可；
（3）作出其点A或点B关于x轴的对称点，对称点与另一点的连线与x轴的交点就是所要找的点P．
解：（1）如图所示，△A1B1C1是△ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的三角形；
（2）如图所示，△A2B2C2是△ABC绕O按逆时针方向旋转90°后得到的三角形；
（3）作点B关于x轴对称的点B′，连接AB′，交x轴于一点，则该点即为点P的位置，此时P（2，0）．21*cnjy*com
　
24．分析：（1）延长AC至A1，使AC=A1C，因为BC=OC，所以点B1与点O重合，则将A1、O、C连接成三角形即可；
（2）由A（﹣3，2）与对应点A2的坐标为（0，﹣4），可知向下平移6个单位，再向右平移3个单位，依次取出点B2、C2即可；
（3）对应点连线的交点既是旋转中心E，写出坐标．
解：（1）延长AC至A1，点B1与点O重合，连接A1C、B1C、A1B1，则△A1CB1就是所求三角形；
（2）取B2（3，﹣2），C2（4，﹣3），连成△A2B2C2；
（3）连接A1A2、B1B2，交于点E，则点E就是旋转中心，E（1.5，﹣1）．
　
25．分析：（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，再求出∠E′AF=45°，从而得到∠EAF=∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F=EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′=∠BO′O=60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC=A′C．
解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′=60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′=AP=3，∠A P′P=60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=CE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，
∴∠EAF=∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F=EF，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠E′CF=45°+45°=90°，
由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，
即EF2=BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC=，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C=，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．
　
26．分析：（1）根据矩形性质得出DP=BC，根据三角形中位线求出DE=3，即可得出答案；
（2）①根据旋转得出AE=EF=BE，得出∠FAE=∠EFA=α°，∠EFB=∠EBF=90°﹣α°，求出∠AFB的度数，即可得出答案；www-2-1-cnjy-com
②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，求出BE=EG，∠GME=∠EKB=90°，∠GEM=∠BEK，根据AAS证△GME≌△BKE，推出GM=BK，求出BK，根据三角形的面积公式求出即可．21*cnjy*com
解：（1）∵四边形BCDP是矩形，
∴DP=BC=6，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE=BC=3，
∴EP=6﹣3=3，
故答案为：3；
（2）①∵点E是边AB的中点，
∴AE=BE，
∵根据旋转的性质可得，BE=EF，
∴BE=EF=AE，
在△BEF中，∠BEF=α°，可得∠EBF=∠BFE=（180°﹣α°）=90°﹣α°，
在△AEF中，可得∠EAF=∠AFE=∠FEB=α°，
∴∠BFE+∠AFE=90°﹣α°+α°=90°，
∴△ABF是直角三角形；
②过点E作EK⊥BC，垂足为点K，过点G作GM⊥DE交DE延长线于M，
∵点D、E分别是边AC、AB的中点，
∴DE∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠EDC=90°，
∵∠C=90°，EK⊥BC，GM⊥DE，
∴∠M=∠EKB═90°，EK∥DC，
∴∠MEK=∠EDC=90°，
∴∠MEB+∠BEK=90°，
∵EG⊥AB，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEM+∠MEB=90°，
∴∠GEM=∠BEK，
∵将点B绕点E逆时针旋转到G，
∴EG=BE，
在△GME和△BKE中
∵，
∴△GME≌△BKE（AAS），
∴GM=BK，
∵∠C=∠EKC=∠EDC=90°，
∴四边形DCKE是矩形，
∴DE=CK=3，
∴GM=BK=6﹣3=3，
∴△DEG的面积为DE×GM=×3×3=．