5.6向心力同步学案（含答案）

5.6向心力
【学习目标】
1.理解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的.
2.掌握向心力的表达式，并会分析计算实际情景中的向心力.
3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．
【知识探究】
一、向心力
[导学探究]　(1)如图1所示，用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，若小球的线速度为v，运动半径为r，则小球的向心加速度是多少？是什么力产生的向心加速度？该力的大小、方向如何？小球运动的速度v增大，绳的拉力大小如何变化？
图1
(2)若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r，是什么力产生的加速度？该力的大小、方向如何？www.21-cn-jy.com
　
　
　
[知识梳理]　对向心力的理解
(1)向心力：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向________的合力，这个合力叫做向心力．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)向心力的大小∶Fn＝man＝________＝________＝mωv＝____________.
(3)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是______________________，方向时刻改变，故向心力是________力．【版权所有：21教育】
(4)向心力的作用效果——改变线速度的________．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的________．
[即学即用]　(多选)物体做圆周运动时，下列关于向心力的说法，正确的有(　　)
A．物体做匀速圆周运动时，受到的向心力是恒力
B．向心力的作用是改变线速度的方向
C．向心力的作用是改变线速度的大小
D．向心力是产生向心加速度的力
二、向心力来源分析
[导学探究]　分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供．
图2
(1)地球绕太阳做圆周运动．(如图2甲)
(2)圆盘上物块随圆盘一起匀速转动(如图乙)．
(3)在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动(如图丙)．
(4)小球在细线作用下，在水平面内做圆锥摆运动时(如图丁)
　
　
[知识梳理]　向心力来源分析
(1)向心力是根据力的____________命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．21cnjy.com
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小________，方向始终与__________方向垂直且指向圆心．2·1·c·n·j·y
注意　向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加向心力．
[即学即用]　如图3所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随圆筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供(　　)【出处：21教育名师】
图3
A．重力 B．弹力
C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
[导学探究]　
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，思考以下问题：
图4
(1)图4表示做圆周运动的沙袋正在加速运动的情况，分析绳对沙袋的拉力的作用效果．
(2)如果将拉力按照其作用效果进行分解，两个分力各产生了怎样的加速度？分加速度的效果如何？
　
　
　
[知识梳理]　变速圆周运动和一般曲线运动
(1)变速圆周运动
①受力特点：变速圆周运动中合外力__________(填“指向”或“不指向”)圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果．即21·cn·jy·com
②向心加速度、向心力公式仍适用：某一点的向心加速度和向心力仍可用an＝＝ω2r，Fn＝m＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的________速度．
(2)一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多极短的小段，每一小段的运动都可看做____________的一部分，圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的________．这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．21·世纪*教育网
[即学即用]　如图5所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是(　　)
图5
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力
D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力
【典例精析】
一、向心力的理解
例1　关于向心力的说法中正确的是(　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合外力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
二、向心力来源的分析
例2　如图6所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直．当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)
图6
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为c
B．当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为b
[技巧点拨]
解本题的关键是明确物体的受力情况，并正确分析向心力来源，掌握向心力特点．在解决圆周运动问题时，一定要牢记是因为有了向心力，物体才做圆周运动．匀速圆周运动中，合力提供向心力；非匀速圆周运动中，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力充当向心力．
三、圆周运动中的动力学问题
例3　如图7所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．21教育名师原创作品
图7
[方法总结]
求解本题时应先对物体进行受力分析，画好受力示意图，然后用求合力的方法得到指向圆心的向心力，再利用向心力公式求解．解本题还要注意：通过向心力计算得出的是绳对球的拉力，而题目中求解的是球对绳的拉力，所以还要通过牛顿第三定律进行转换．
四、圆锥摆类模型
例4　如图8所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)问：(结果均在小数点后保留两位小数)
图8
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？
(2)此时绳子的张力为多大？
　
　
　
[方法总结]
解决圆锥摆问题的关键是弄清物体做圆周运动的圆平面，明确圆心和半径，然后进行受力分析并建立直角坐标系求解．建立直角坐标系的原则：一个坐标轴指向圆心方向，另一个坐标轴与之垂直．这种建立直角坐标系的方法主要是考虑向心力一定沿半径方向，从而方便列出向心力方程．21教育网
【达标检测】
1．(多选)下列关于向心力的说法中正确的是(　　)
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的分力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
2．(多选)如图9所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)www-2-1-cnjy-com
图9
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
3．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的(　　)2-1-c-n-j-y
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
4.花样滑冰大奖赛中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，如图10所示．目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为θ，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径约为r，重力加速度为g，试估算：
图10
(1)该女运动员受到拉力的大小．
(2)该女运动员做圆锥摆运动的周期．
　
　
　
　

答案精析
知识探究
一、
导学探究　(1)向心加速度an＝，产生向心加速度的是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的合力．合力等于拉力，大小为F＝man＝m，方向指向圆心．v增大，绳的拉力增大．
(2)向心加速度an＝ω2r，是地球对月球的引力产生的加速度，引力的大小为F＝man＝mω2r，方向指向地心．【来源：21cnj*y.co*m】
知识梳理　(1)圆心　(2)m　mω2r　m()2r　(3)沿着半径指向圆心　变　(4)方向　大小
即学即用　BD　[物体做匀速圆周运动时，受到的向心力是变力；其大小不变但方向时刻改变(指向圆心)；向心力的作用是只改变线速度的方向使其始终沿圆周的切线方向，不改变线速度的大小；根据牛顿第二定律，向心力产生向心加速度．]21*cnjy*com
二、
导学探究　(1)太阳对地球的引力．
(2)物块受到的静摩擦力(也可以说是物块所受重力、支持力、静摩擦力的合力)．
(3)漏斗对小球的支持力和小球所受重力的合力．
(4)向心力由细线的拉力在水平面内的分力提供．
知识梳理　(1)作用效果　(2)不变　线速度
即学即用　B　[本题可用排除法．首先可排除A、D两项；若向心力由静摩擦力提供，则静摩擦力或其分力应指向圆心，这是不可能的，C错．故选B.]
三、
导学探究　
(1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向．21*cnjy*com
(2)根据F产生的作用效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：跟圆周相切的分力F1和指向圆心的分力Fn；F1产生切线方向的加速度，改变线速度的大小，Fn产生向心加速度，改变线速度的方向．21世纪教育网版权所有
知识梳理　(1)①不指向　向心　方向　切向　大小　②瞬时　(2)圆周运动　半径
即学即用　D　[小球仅受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它是各力沿绳方向的分力的合力，故D正确．]
典例精析
例1　BC　[当物体所受的外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．匀速圆周运动合外力指向圆心，完全提供向心力时，非匀速圆周运动中是合外力指向圆心的分力提供向心力．故D错．]
例2　A　[圆盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，两方向的合力即摩擦力可能指向b，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a相反方向的切向力，使线速度大小减小，两方向的合力即摩擦力可能指向d，D项错误．]
例3　14 N
解析　小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供(如图所示)，
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋＝(1×10＋) N＝14 N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14 N.
例4　(1)6.44 rad/s　(2)4.24 N.
小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋Lsin 45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r①
r＝L′＋Lsin 45°②
联立①②两式，将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s
F＝≈4.24 N
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1．CD　[向心力是一种效果力，实际由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错，C对．向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D对．]
2．AC　[最大静摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时，kmg＝mω2·2l，ω＝，C项正确；当ω＝ 时，对a∶Ffa＝mlω2＝ml＝kmg，D项错误．]
3.
C　[游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示．由牛顿第二定律得FN－mg＝man＝2mg，则FN＝mg＋2mg＝3mg，＝3.]
4．(1)　(2)2π
解析　
取女运动员为研究对象，受力分析如图所示．
(1)由力的合成，解直角三角形可得女运动员受到拉力F的大小为F＝①
(2)女运动员做匀速圆周运动的向心力为
Fn＝mgcot θ②
由牛顿第二定律可得
Fn＝mr③由②③式可得女运动员做圆锥摆运动的周期为
T＝2π .