5.7生活中的圆周运动同步学案（含答案）

5.7生活中的圆周运动
【学习目标】
1.能定性分析铁路弯道处外轨比内轨高的原因，能定量分析汽车过拱形桥最高点和凹形桥最低点时对桥的压力.
2.了解航天器中的失重现象及其原因.3.知道离心运动及其产生的条件，了解离心运动的应用和防止．
【知识探究】
一、火车转弯
[导学探究]　设火车转弯时的运动是匀速圆周运动：
(1)如图1所示，如果轨道是水平的，火车转弯时受到哪些力的作用？什么力提供向心力？
图1
(2)(1)中获得向心力的方法好不好？为什么？若不好，如何改进？
(3)当轨道平面与水平面之间的夹角为α，转弯半径为R时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？
　
　
　
[知识梳理]　对火车转弯问题的理解
(1)向心力来源：在铁路的弯道处，内、外铁轨有高度差，火车在此处依规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由__________和________________的合力提供，即F＝____________.www.21-cn-jy.com
(2)规定速度：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtan α＝__________，故v0＝____________，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为弯道规定的速度．www-2-1-cnjy-com
①当v＝v0时，Fn＝F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨________________，这就是设计的限速状态．
②当v>v0时，Fn>F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时________对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分．
③当v说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似．
[即学即用]　(多选)关于火车转弯，下列说法中正确的是(　　)
A．轨道的弯道应是外轨略高于内轨
B．轨道的弯道应是内轨略高于外轨
C．按规定速率转弯内外轨对车轮均无侧向压力
D．按规定速率转弯内外轨对车轮均有侧向压力
二、汽车过拱形桥
[导学探究]　(1)质量为m的汽车在拱形桥上以速度v行驶，若桥面的圆弧半径为R，试画出汽车受力分析图，并求出汽车通过桥的最高点时对桥的压力．比较汽车的重力与汽车对桥的压力哪个大？
(2)当汽车通过凹形桥的最低点时，汽车对桥的压力比汽车的重力大还是小？
　
　
　
　
[知识梳理]　拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥(如图2)
图2
汽车在最高点满足关系：____________＝m，即FN＝______________.
①当v＝时，FN＝0.
②当0≤v<时，0③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．
(2)汽车过凹形桥(如图3)
图3
汽车在最低点满足关系：
______________________＝，即FN＝________________.
由此可知，汽车对桥面的压力________其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．21教育网
[即学即用]　当汽车驶向一拱形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应(　　)
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
三、航天器中的失重现象和离心运动
[导学探究]　(1)若把地球看成一个大拱桥，设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g.
①在地球赤道上匀速率行驶的汽车速度多大时对地面的压力为零？
②当汽车以上述速度行驶时，驾驶员对座椅的压力为多大？此时驾驶员处于什么状态(“超重”、“失重”或“完全失重”)?
③脱离地面行驶的汽车可以看成“航天飞船”，航天员在太空中处于什么状态？
(2)做圆周运动的物体，若受到的合外力突然消失，物体将做什么运动？若物体受到的指向圆心方向的合外力F小于所需向心力Fn物体将做什么运动？
　
　
　
　
[知识梳理]　航天器中的失重现象和离心运动
(1)航天器中的失重现象
①质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝__________，则v＝.21·世纪*教育网
②质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力提供向心力，满足关系：____________＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于____________状态．
③航天器内的任何物体都处于____________状态．
(2)离心运动
①离心运动的原因：合力____________________________________________，而不是物体又受到了“离心力”．
②合力与向心力的关系对圆周运动的影响(如图4所示)
图4
若F合＝mω2r，物体做____________运动．
若F合若F合＝0时，物体____________________．
若F合>mω2r，物体做近心运动．
③离心运动的应用和防止
应用：离心干燥器；洗衣机的__________；离心制管技术．
防止：汽车在公路转弯处必须____________；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高．
[即学即用]　摩托车比赛转弯时，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩擦车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
【典例精析】
一、火车转弯问题
例1　铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图5所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则(　　)
图5
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
[总结提升]
火车转弯的圆轨道是水平轨道，所以合力的方向水平指向圆心．解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源．
二、汽车过桥问题
例2　一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(小数点后保留两位有效数字)
(2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
　
　
三、竖直面内的“绳杆模型”问题
例3　一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
图6
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(小数点后保留两位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．
　
　
例4　如图7所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则(　　 )21世纪教育网版权所有
图7
A．v的最小值为
B．v若增大，球所需的向心力也增大
C．当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小
D．当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
[总结提升]
图8
(1)轻绳模型(如图8所示)
①绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)．
②在最高点的动力学方程
FT＋mg＝m.
③在最高点的临界条件FT＝0，此时mg＝m，则v＝.
v＝时，拉力或压力为零．v>时，小球受向下的拉力或压力．v<时，小球不能达到最高点．
即轻绳的临界速度为v临＝.
图9
(2)轻杆模型(如图9所示)
①杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力，也能施加向上的支持力．
②在最高点的动力学方程
当v＞时，FN＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大．当v＝时，mg＝m，杆对球无作用力．当v＜时，mg－FN＝m，杆对球有向上的支持力．当v＝0时，mg＝FN，球恰好到达最高点．21cnjy.com
③杆类的临界速度为v临＝0.
四、对离心运动的理解
例5　如图10所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？(g＝9.8 m/s2)
图10
　
　 【达标检测】
1．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图11，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处(　　)
图11
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v的值变小
2．(多选)2013年6月11日至26日，“神舟十号”飞船圆满完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验．关于失重状态，下列说法正确的是(　　)21*cnjy*com
A．航天员仍受重力的作用
B．航天员受力平衡
C．航天员所受重力等于所需的向心力
D．航天员不受重力的作用
3．(多选)如图12所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动．若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是(　　)
图12
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
4.长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图13所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10 m/s2)．2·1·c·n·j·y
图13
(1)A的速率为1 m/s；
(2)A的速率为4 m/s.
　

答案精析
知识探究
一、
导学探究　(1)轨道水平时，火车受重力、支持力、轨道对轮缘的弹力、向后的摩擦力，向心力由轨道对轮缘的弹力来提供．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)这种方法不好，因为火车的质量很大，行驶的速度也很大，轮缘与外轨的相互作用力很大，铁轨和车轮极易受损．改进方法：在转弯处使外轨略高于内轨，使重力和支持力的合力提供向心力，这样外轨就不受轮缘的挤压了．2-1-c-n-j-y
(3)火车受力如图所示，则
Fn＝F＝mgtan α＝，所以v＝.
知识梳理　(1)重力G　支持力FN　mgtan α　(2)
　①均无侧压力　②外轨　③内轨
即学即用　AC　[在转弯过程中，要有力提供向心力，为了减小火车对轮缘的压力作用，通常做得外轨高于内轨，选项A正确；同理选项C正确．故选A、C.]21·cn·jy·com
二、
导学探究　 (1)在最高点，对汽车进行受力分析，如图所示．由牛顿第二定律列方程求出汽车受到的支持力；由牛顿第三定律求出桥面受到的压力FN′＝FN＝mg－m.可见，汽车对桥的压力FN′小于汽车的重力mg，并且，压力随汽车速度的增大而减小．
(2)汽车在凹形桥的最低点时对桥的压力大小为(受力分析如图)
FN′＝FN＝mg＋>mg
比汽车的重力大．而且汽车过桥的速度越大，对桥的压力也越大，所以凹形桥易受损，没有特殊情况一般不修建．【出处：21教育名师】
知识梳理　(1)mg－FN　mg－m　(2)FN－mg　mg＋　大于
即学即用　B　[设质量为m的汽车以速度v经过半径为R的桥顶，则汽车受到的支持力FN＝mg－m，故汽车的速度v越大，汽车对桥的压力越小．而an＝，即FN＝mg－man，向心加速度越大，汽车对桥的压力越小，综上所述，选项B符合题意．]
三、
导学探究　(1)①当FN＝0时，只有重力提供向心力，
即mg＝m，汽车的速度v＝.
②对驾驶员：mg－FN＝，当v＝时，得FN＝0.驾驶员处于完全失重状态．
③完全失重状态．
(2)沿圆周的切线方向做匀速直线运动　离心运动
知识梳理　(1)①M　②mg－FN　完全失重　③完全失重　(2)①突然消失或不足以提供所需的向心力　②匀速圆周　离心【版权所有：21教育】
沿切线方向飞出　③脱水筒　限速行驶
即学即用　B　[摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正常转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误．]21教育名师原创作品
典例精析
例1　C　[由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcos θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧向压力，故C正确，A、B、D错误．]21*cnjy*com
例2　(1)1.78×104 N　(2)30 m/s
(1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
合力F＝mg－FN，由向心力公式得mg－FN＝m，故桥面的支持力大小FN＝mg－m＝(2 000×10－2 000×) N≈1.78×104 N【来源：21cnj*y.co*m】
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104 N.
(2)对桥面的压力等于零时，向心力F′＝mg＝m，所以此时轿车的速度大小v′＝＝ m/s＝30 m/s.
例3　(1)2.24 m/s　(2)4 N
解析　(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝m，则所求的最小速率为：v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
例4　BD　[由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有F＝m，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确．故选B、D.]
例5　54 km/h　汽车做离心运动或出现翻车事故
解析　在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，则Ffm＝μmg，则有m＝μmg，vm＝，
代入数据可得vm≈15 m/s＝54 km/h.
当汽车的速度超过54 km/h时，
需要的向心力Fn大于最大静摩擦力，
也就是说提供的合外力不足以维持汽车做圆周运动所需的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．
达标检测
1．AC　[当汽车行驶的速度为v时，路面对汽车没有摩擦力，路面对汽车的支持力与汽车重力的合力提供向心力，此时要求路面外侧高内侧低，选项A正确．当速度稍大于v时，汽车有向外侧滑动的趋势，因而受到向内侧的摩擦力，当摩擦力小于最大静摩擦力时，车辆不会向外侧滑动，选项C正确．同样，速度稍小于v时，车辆不会向内侧滑动，选项B错误．v的大小只与路面的倾斜程度和转弯半径有关，与地面的粗糙程度无关，D错误．]
2．AC　[做匀速圆周运动的空间站中的航天员，所受重力全部提供其做圆周运动的向心力，处于完全失重状态，并非航天员不受重力作用，A、C正确，B、D错误．]
3．BC　[若拉力突然变大，则小球将做近心运动，不会沿轨迹Pb做离心运动，A错误．若拉力突然变小，则小球将做离心运动，但由于力与速度有一定的夹角，故小球将做曲线运动，B正确，D错误．若拉力突然消失，则小球将沿着P点处的切线运动，C正确．]
4．(1)16 N　(2)44 N
解析　以A为研究对象，设其受到杆的拉力为F，
则有mg＋F＝m.
(1)代入数据v1＝1 m/s，可得F＝m(－g)＝2×(－10) N＝－16 N，即A受到杆的支持力为16 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.
(2)代入数据v2＝4 m/s，可得F′＝m(－g)＝2×(－10) N＝44 N，即A受到杆的拉力为44 N．根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.