长沙市浏阳市2015-2016学年八年级下期中数学试卷（解析版）

2015-2016学年湖南省长沙市浏阳市八年级（下）期中数学试卷
　
一、解答题（共12小题，满分36分）
1．下列计算错误的是（　　）
A．
=
B．
+=
C．÷=2
D．
=2
2．下列各式中最简二次根式为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（　　）
A．a=2，b=3，c=4
B．a=4，b=4，c=5
C．a=5，b=6，c=7
D．a=5，b=12，c=13
4．直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边为（　　）
A．16
cm
B．4cm
C．12cm
D．8cm
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
6．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（　　）
A．88°，108°，88°
B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°
D．88°，92°，88°
7．下列命题中是真命题的是（　　）
A．两边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形
D．当AC=BD时，它是正方形
9．如图图象反映的过程是：小明从家跑到体育馆，在那里锻炼了﹣阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家，其中表示时间t（分钟）表示小明离家的距离s（千米），那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去的时间是　　分钟．
10．下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（　　）cm2．
A．28
B．49
C．98
D．147
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、认真填一填，把答案写在横线上（本题有6小题，每题3分，共18分）
13．函数y=中，自变量x的取值范围是　　．计算（）2的结果是　　．化简的结果是　　．
14．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于　　．
15．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE=6，则BC=　　．
16．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　　米．
17．根据如图的程序，计算当输入x=﹣3时，输出的结果y=　　．
18．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得=　　．
　
三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24每题9分）
19．（6分）计算：
（1）4+﹣；
（2）2×÷5；
（3）（+3）（﹣3）．
20．（6分）如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2．求矩形边BC的长？
21．（8分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
22．（8分）如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
23．（9分）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
24．（9分）已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
　
四．思考题（15，26题每题10分）
25．（10分）观察下列各式及其验证过程：
验证：
=；
验证：
===；
验证：
=；
验证：
===．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
26．（10分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
　
2015-2016学年湖南省长沙市浏阳市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、解答题（共12小题，满分36分）
1．下列计算错误的是（　　）
A．
=
B．
+=
C．÷=2
D．
=2
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】利用二次根式的运算方法逐一算出结果，比较得出答案即可．
【解答】解：A、 =，计算正确；
B、+，不能合并，原题计算错误；
C、÷==2，计算正确；
D、=2，计算正确．
故选：B．
【点评】此题考查二次根式的运算方法和化简，掌握计算和化简的方法是解决问题的关键．
　
2．下列各式中最简二次根式为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A．被开方数含分母，故A错误；
B．被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B错误；
C．被开方数含分母，故C错误；
D．被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
　
3．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（　　）
A．a=2，b=3，c=4
B．a=4，b=4，c=5
C．a=5，b=6，c=7
D．a=5，b=12，c=13
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
B、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
C、52+62≠72，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故此选项错误；
D、52+122=132，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
　
4．直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，则斜边为（　　）
A．16
cm
B．4cm
C．12cm
D．8cm
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵直角三角形一条直角边长为8cm，它所对的角为30°，
∴斜边为16cm，
故选：A．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
　
5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）
A．﹣1﹣
B．1﹣
C．﹣
D．﹣1+
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，
∴OA=OB=，
∴a=﹣1﹣．
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．
　
6．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（　　）
A．88°，108°，88°
B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°
D．88°，92°，88°
【考点】平行四边形的判定．
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选D．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，错选C．
　
7．下列命题中是真命题的是（　　）
A．两边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理．
【分析】根据菱形的判定方法对A进行判断；根据平行四边形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、两邻边相等的平行四边形是菱形，所以A选项错误；
B、一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，所以B选项错误；
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项正确；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
　
8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形
D．当AC=BD时，它是正方形
【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．
　
9．如图图象反映的过程是：小明从家跑到体育馆，在那里锻炼了﹣阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家，其中表示时间t（分钟）表示小明离家的距离s（千米），那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去的时间是　50　分钟．
【考点】函数的图象．
【分析】依题意，根据函数图象可知，在体育馆锻炼和在新华书店买书这两段时间内路程没有变化，易求时间．
【解答】解：在体育馆锻炼和在新华书店买书这两段时间内，路程都没有变化，
即与x轴平行，
那么他共用去的时间是（35﹣15）+（80﹣50）=50分．
故答案为：50．
【点评】本题主要考查了函数的图象，读懂图意，理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与x轴平行是解决本题的关键．
　
10．下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的概念．
【分析】在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】解：显然A、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；
B、对于x＞0的任何值，y都有二个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
　
11．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（　　）cm2．
A．28
B．49
C．98
D．147
【考点】勾股定理．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，利用四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积进而求出即可．
【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2，
正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2，
又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2，
∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2），
则所有正方形的面积的和是：49×3=147（cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要了勾股定理，根据数形结合得出正方形之间面积关系是解题关键．
　
12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的性质；三角形的面积；勾股定理．
【分析】连接OP，过D作DM⊥AC于M，求出AC长，根据三角形的面积公式求出CM的值，根据S△AOD=S△APO+S△DPO代入求出PE+PF=DM即可．
【解答】解：连接OP，过D作DM⊥AC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∠ADC=90°
∴OA=OD，
由勾股定理得：AC==5，
∵S△ADC=×3×4=×5×DM，
∴DM=，
∵S△AOD=S△APO+S△DPO，
∴（AO×DM）=（AO×PE）+（DO×PF），
即PE+PF=DM=，
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式、勾股定理的应用，关键是求出PE+PF=DM．
　
二、认真填一填，把答案写在横线上（本题有6小题，每题3分，共18分）
13．函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．计算（）2的结果是　2　．化简的结果是　y　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据分母不等于0即可得；由二次根式的性质可得；分母有理化可得．
【解答】解：∵函数y=中，x﹣2≠0，
∴x≠2；
（）2=2；
==y；
故答案为：x≠2，2，
y．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围、二次根式的性质与化简，熟练掌握常见函数自变量取值范围确定及二次根式的性质是关键．
　
14．直角三角形两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线等于　6.5　．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】利用勾股定理求得直角三角形的斜边，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题．
【解答】解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
则根据勾股定理知，AB==13，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AB==6.5．
故答案为：6.5．
【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方．直角三角形的性质：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半．
　
15．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的中点，若DE=6，则BC=　12　．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】由于D、E分别为AB、AC边上的中点，那么DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可求BC．
【解答】解：如图所示，
∵D、E分别为AB、AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，
∴BC=12．
故答案是12．
【点评】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
　
16．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　8　米．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【解答】解：∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，
∴折断的部分长为=5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
　
17．根据如图的程序，计算当输入x=﹣3时，输出的结果y=　2　．
【考点】代数式求值．
【分析】先由x=﹣3≤1，确定x与y的关系式为y=x+5，然后代值计算即可．
【解答】解：∵x=﹣3≤1，
∴y=x+5=﹣3+5=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了代数式求值：把满足题意的字母的值代入代数式，然后进行实数运算即可．
　
18．如图，OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得=　　．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理分别列式计算，然后根据被开方数的变化规律解答，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵OP=1，OP1=，OP2=，OP3==2，
∴OP4==，
…，
OP2014=，
∴=××1=．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键，同时考查了三角形的面积．
　
三、解答题（19，20题每题6分，21，22题每题8分，23，24每题9分）
19．计算：
（1）4+﹣；
（2）2×÷5；
（3）（+3）（﹣3）．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式．
（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可．
（3）利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式=4+3﹣2=5．
（2）原式=2×××=．
（3）原式=（）2﹣32=﹣7．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及混合运算法则，属于中考常考题型．
　
20．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2．求矩形边BC的长？
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求出AC，再用勾股定理即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OB=AC，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=2，
∴AC=2OA=2×2=4．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=2．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
　
21．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】首先利用平行四边形的性质，得出对角线互相平分，进而得出EO=FO，BO=DO，即可得出答案．
【解答】证明：∵ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AF=EC，则FO=EO，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出FO=EO是解题关键．
　
22．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．
（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）在Rt△ABE中利用勾股定理求出AC的长即可；
（2）首先在Rt△CDE中利用勾股定理求出DE的长，然后再计算出DB的长即可．
【解答】解：（1）由题意得：AB=2.5米，BE=0.7米，
∵AE2=AB2﹣BE2，
∴AE==2.4米；
（2）由题意得：EC=2.4﹣0.4=2（米），
∵DE2=CD2﹣CE2，
∴DE==1.5（米），
∴BD=0.8米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握正确运用勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
　
23．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．
（1）求证：BD=EC；
（2）若∠E=50°，求∠BAO的大小．
【考点】菱形的性质；平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
（2）根据两直线平行，同位角相等求出∠ABO的度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB=CD，AB∥CD，
又∵BE=AB，
∴BE=CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=EC；
（2）解：∵平行四边形BECD，
∴BD∥CE，
∴∠ABO=∠E=50°，
又∵菱形ABCD，
∴AC丄BD，
∴∠BAO=90°﹣∠ABO=40°．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键．
　
24．已知：如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定．
【分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD．
∴AE=CF．
在△AED和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴ 四边形AGBD是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
　
四．思考题（15，26题每题10分）
25．（10分）（2000 河北）观察下列各式及其验证过程：
验证：
=；
验证：
===；
验证：
=；
验证：
===．
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．
【考点】算术平方根．
【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=（a≥0），把根号外的移到根号内；再根据“同分母的分式相加，分母不变，分子相加”这一法则的倒用来进行拆分，同时要注意因式分解进行约分，最后结果中的被开方数是两个数相加，两个加数分别是左边根号外的和根号内的；
（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．
【解答】解：（1）．验证如下：
左边=====右边，
故猜想正确；
（2）．证明如下：
左边=====右边．
【点评】此题是一个找规律的题目，主要考查了二次根式的性质．观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式．
　
26．（10分）（2016春 天河区期中）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．
【考点】矩形的判定；平行四边形的判定；梯形．
【分析】（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；
（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．
【解答】解：（1）设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形
即PD=CQ
所以24﹣x=3x，
解得：x=6．
（2）设经过y（s），四边形PQBA为矩形，
即AP=BQ，
所以y=26﹣3y，
解得：y=．
（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．
过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，
∴∠QEP=∠DFC=90°
∵四边形PQCD是等腰梯形，
∴PQ=DC．
又∵AD∥BC，∠B=90°，
∴AB=QE=DF．
在Rt△EQP和Rt△FDC中，
，
∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．
∴FC=EP=BC﹣AD=26﹣24=2．
又∵AE=BQ=26﹣3t，
∴EP=AP﹣AE=t﹣（26﹣3t）=2．
得：t=7．
∴经过7s，PQ=CD．
【点评】此题主要考查平行四边形、矩形及等腰梯形的判定掌握情况，本题解题关键是找出等量关系即可得解．