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七年级数学·下
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第六章 实 数
学习新知
检测反馈
6.3 实数(第1课时)
想一想
我们知道,有理数包括整数和分数,其中整数可以看成是分母为1的分数,也就是说所有的分数都可以化成有限小数、循环小数的形式.除此之外,我们还知道有另外一种小数,这就是无限不循环小数.这样一种新的小数就呈现在我们面前,我们怎样称呼它们呢
学
习
新
知
归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
探究:
使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现
发现:上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即:
无限不循环小数又叫无理数.
1.无理数.
例：下列说法正确的是
( )
A.无限小数就是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.不能除尽的分数都是无理数
D.无限不循环小数都是无理数
〔解析〕本题主要考查无理数的概念.A不正确,如
是无限小数,但
是有理数;B不正确,如带根号,但它是有理数;C不正确,如
除不尽,但是有理数.故选D.
D
(1)有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括:
①开方开不尽的数,例如
等;
②含有π的数,例如π,
等;
③有特殊特征或有一定规律的无限小数,例如:
0.101001000100001000001……(每两个相邻的1中
间依次多1个0)等;
④无限不循环小数.
(2)无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数,无限循环小数是有理数.
2.实数及其分类.
①按定义分:
实数
有理数：有限小数和无限循环小数
无理数：无限不循环小数
②按实数的符号性质分:
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
(1)一个数要么是有理数,要么是无理数,不存在交叉的情况.
(2)实数的分类标准不是唯一的,不论哪种分类方法,都要把实数作为一个整体,做到不重不漏.
例：把下列各数填入相应的集合内.
π,
,5.2,
,0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1),
,
,
,
-
,
,
,
.
整数集合
;
负分数集合
;
正数集合
;
负数集合
;
有理数集合
;
无理数集合
.
π
5.2
0.8080080008…
0.8080080008…
5.2
π
实数
有理数
无理数：无限不循环小数
整数
分数
有限小数和
无限循环小数
1.下列实数中是无理数的为
( )
A.3.14
B.
C.
D.
检测反馈
解析:根据无理数的概念,无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数即可判定选择项.A,B,D中3.14,
,
=3是有理数,C中
是无理数.故选C.
C
2.下列说法错误的是
( )
A.实数可以分为有理和无理数
B.实数可以分为正实数、零、负实数
C.无理数都是无限不循环小数
D.无理数都是带根号的数
解析:
根据无理数、实数的定义即可对各选项进行判定.A.实数可以分为有理数和无理数是正确的,不符合题意;B.实数可以分为正实数、零、负实数是正确的,不符合题意;C.是正确的,不符合题意;D.π是无理数,不带根号,故无理数都是带根号的数的说法错误,符合题意.故选D.
D
3.下列说法错误的是
( )
A.
的平方根是±2
B.
是无理数
C.
是有理数
D.
是分数
解析:
A.
的平方根是±2,故选项说法正确;B..
是无理数,故选项说法正确;C.
=-3是有理数,故选项说法正确;D.
不是分数,它是无理数,故选项说法错误.故选D.
D
4.请在横线上任意写出一个无理数,使得下面的不等式成立:-3< <-2(只需写一个).
解析:
答案不唯一，如因为4＜5＜9，所以2＜
＜3，所以-3＜-
＜-2.(共14张PPT)
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第六章 实 数
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6.1 平方根(第2课时)
3.1415926…,看到这个数字大家一定会想到圆周率吧.圆的周长和直径的比是一个无限不循环小数,除此之外,像
,
等是不是无限不循环小数呢
想一想
1.探索
的大小.
学
习
新
知
因为12=1,22=4,所以1<
<2.
1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4<
<1.5.
因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41<
<1.42;
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,
所以1.414<
<1.415……
=1.41421356237…,它是一个无限不循环小数.实际上,许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数.
例：
(教材例2)用计算器求下列各式的值.
(1)
;
(2)
(精确到0.001).
〔解析〕正确选择计算器上的
功能键是关键,对算术平方根的值要根据要求或需要进行取舍.同时需要注意计算器上显示的数值是一个近似值.
解:(1)依次按键
3136
,显示:56.
所以
=56.
(2)依次按键
2
,显示:1.414213562.
所以
≈1.414.
3.用计算器探究.
(1)利用计算器计算下表中的各式,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
0.25
0.79
2.5
7.9
25
79
250
从表中可以发现:被开方数的小数点每向右(或向左)移动两位,开方后的结果向相同的方向移动一位.
想一想：因为
≈1.732,
≈0.1732,
≈17.32,
≈173.2,根据
的值不能说出
是多少.
例：（教材例3)小丽想用一块面积为400
cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300
cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗
〔解析〕本题的核心是能否按照要求裁出一个长宽比为3∶2、面积为300
cm2的长方形,通过列方程的办法可以计算出满足这样条件的长方形的长和宽,再与正方形的边长做对比,就可以得出相应的结论.
根据边长与面积的关系得:
3x·2x=300,6x2=300，x2=50,
x=
.
因此长方形纸片的长为3
cm.
因为50>49,所以
>7.
由上可知3
>21,即长方形纸片的长应该大于21
cm.
因为
=20,所以正方形纸片的边长只有20
cm.这样,
长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片
裁出符合要求的长方形纸片.
解:设长方形纸片的长为3x
cm,宽为2x
cm,
【思考】
如果一个数的平方等于19,这个数是多少
检测反馈
1.我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根,其操作方法是按顺序进行按键输入:
,小明按键输入
,显示结果为4,则他按键
,显示结果应为 .
解析:根据被开方数扩大到原来的100倍,算术平方根扩大到原来的10倍直接解答即可.故填40.
40
2.已知a,b为两个连续的整数,且a<
解析:
因为
<
<
,所以3<
<4,因为a<
7
3.用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字).
(1)
;
(2)
;
(3)
.
解:(1)依次按键
734,显示27.09243437,
所以
≈27.09.
解:(2)依次按键
0.012345,显示0.111108055,
所以
≈0.1111.
解:(3)依次按键
5,显示2.236067977,
所以
≈2.236.
4.小川的房间地面面积为17.6
m2,房间地面恰好由110块相同的正方形铺成,每块地砖的边长是多少米
解:设每块地砖的边长是x
m,则110x2=17.6,
x2=0.16,所以x=0.4.
答:每块地砖的边长是0.4
m.(共12张PPT)
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第六章 实 数
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6.3 实数(第3课时)
复习旧知
(1)加法交换律:
a+b=b+a
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
(3)乘法交换律:
ab=ba
(4)乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
(5)乘法分配律:
a(b+c)=ab+ac
想一想
(1)写出的字母如果代表实数,运算律还成立吗
(2)分别举例说明你对运算律的理解.
(3)分母不为0的条件仍适用实数吗
学
习
新
知
例：(教材例2)计算下列各式的值.
例：(教材例3)
计算(结果保留小数点后两位).
总结:在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
(1)在实数范围内,开平方运算不能无条件进行,只有正数和0可以开平方,负数不能开平方.
(2)在学习实数的运算法则及运算律时,采用了类比思想,类比有理数的运算法则及运算律来学习掌握.
实数的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)乘法交换律:ab=ba.
(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).
(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
1.估计
+1的值是
( )
A.在2和3之间
B.在3和4之间
C.在4和5之间
D.在5和6之间
检测反馈
解析:应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.因为32=9,42=16,所以3<
<4,所以
+1在4到5之间.故选C.
C
2.若x,y为实数,且|x+2|+
=0,则
的值为
( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:因为|x+2|+
=0,所以x=-2,y=2,所以
=(-1)2015=-1.故选B.
B
3.如图是一个简单的数值运算程序,若输入x的值为
,则输出的数值是 .
输入x
取平方根
输出
解析:
4.计算.
4.计算.(共19张PPT)
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第六章 实 数
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6.2 立方根
要制作一种容积为27
m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少
想一想
设这种包装箱的边长为x
m,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27.
因为33=27,
所以x=3.
即这种包装箱的边长应为3
m.
上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢
学
习
新
知
0
8
-8
0.125
-0.125
1.立方根的定义.
(2)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处
一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等.
(3)如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达.
(4)参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗
一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
(1)什么叫做开立方
(2)开立方与立方的运算是怎样的关系
(3)开立方的数学符号表达是怎样的
求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
开立方与立方互为逆运算.
一个数a的立方根表示为
,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略.
问题思考:
2.立方根的性质.
(4)类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
解：(2)因为(-0.4)3=-0.064,
所以-0.064的立方根是-0.4,即
解:(1)因为53=125,
所以125的立方根是5,即
.
例：(补充)求下列各数的立方根.
(1)125；
(2)-0.064；
(3)-5
；
(4)
.
〔解析〕可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质
.
解：
(4)因为
=8,而23=8,
所以
的立方根是2,即
=2.
解：
(3)因为-5
=
-
,=
-
,
所以-5
的立方根是-
.
3.用计算器求立方根.
(1)用计算器求立方根的方法.
方法一:很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如
,按键顺序为:
4
.
方法二:有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为:先按
键,再按
键,再输入被开方数,最后按
键.
解:
(1)
按键顺序为
1594.5,
显示11.68265382,所以
≈11.68.
例：用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)
(1)1594.5;
(2)0.001237;
(3)-5
解：(2)
按键情况类似于(1),
≈0.11.
解：
(3)按键情况类似于(1),
≈-1.73.
因为
≈4.642,
所以
≈0.4642,
≈0.04642,
≈46.42.
问题提示:发现规律:被开立方数的小数点每向右(或向左)移动三位,开立方后的结果向相同的方向移动一位.
(2)探究(教材51页).
1.64的立方根是
( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
检测反馈
解析:一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A.
A
2.
等于( )
A.2
B.-2
C.2
D.-2
解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有(-2)3=-8,
所以
=-2.故选B.
B
3.下列说法正确的是
( )
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根与这个数同号
C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
解析:利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误.
B
4.一个长方体的长为5
cm、宽为2
cm、高为3
cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01
cm).
解:设这个正方体的棱长为x
cm.根据题意,得x3=3×5×2×3,即x3=90,两边开立方,
得x=
≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48
cm.(共13张PPT)
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第六章 实 数
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6.1 平方根(第1课时)
丽丽家新购的一套住房,客厅是长与宽之比为5∶2的长方形,面积为40
m2,求这间客厅的长与宽各为多少.
想一想
要求客厅的长与宽,依题意可设客厅的长与宽分别是5x
m,2x
m,可得2x·5x=40,即x2=4,那么怎样才能由x2=4求x呢
阅读教材第40页例1前的内容,回答问题.
(1)什么是算术平方根
学
习
新
知
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
(2)算术平方根怎么表示
a的算术平方根记为
,读作“根号a”,a叫被开方数.
(3)0的算术平方根是多少
0的算术平方根是0.
讨论:为什么0的算术平方根是0
例：求下列各数的算术平方根.
(1)100; (2)
；
(3)0.0001.
〔解析〕本题三个数的共同特点是都是正数,符合算术平方根的前提条件.无论是正整数、正分数还是正小数,都有自己的算术平方根.求算术平方根不仅要明确算术平方根的含义,更要习惯用数学方式表达算术平方根的求解过程.
解:(1)因为102=100,
所以100的算术平方根是10,即
=10.
解:(2)因为
所以
的算术平方根是
，即
解:(3)因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即
=0.01.
想一想:从上面的例题中,你发现被开方数和算术平方根之间有什么关系
被开方数越大,对应的算术平方根越大,这个结论对所有的正数都成立.
例：(补充)求下列各数的算术平方根.
(1)36;
(2)0.09; (3)
;
(4)(-4)2; (5)0;
(6)10.
〔解析〕算术平方根的求法:一个正数的算术平方根就是要找一个正数,使它的平方等于这个数.
解:(1)因为62=36,
所以36的算术平方根是6,即
=6.
解:(2)因为0.32=0.09,
所以0.09的算术平方根是0.3,即
=0.3.
解（3）因为
,
所以
的算术平方根是
,即
解：(4)因为42=(-4)2=16,
所以(-4)2的算术平方根是4,即
=4.
解：(5)0的算术平方根是0,
=0.
解：(6)10的算术平方根是
.
检测反馈
1.9的算术平方根为
( )
A.3
B.±3
C.-3
D.81
解析:因为32=9,所以9的算术平方根为3.故选A.
A
2.下列说法正确的是
( )
A.5是25的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
解析:如果x2=a(x>0),则这个正数x是a的算术平方根,由此判断各选项.A.
=5,故选项正确;B.
=4,所以16的算术平方根是4,故选项错误;C.
=6,故选项错误;D.
=0.1,故选项错误.故选A.
A
3.一个数的算术平方根是它本身,这个数是( )
A.1
B.-1
C.0
D.1或0
解析:根据算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.若一个数的算术平方根是它本身,可以知道这个数是0或1.故选D.
D
4.100的算术平方根是 ,0.36的算术平方根是 .
10
解析:本题求100和0.36的算术平方根,就是求哪个正数的平方等于100或0.36,由此即可解决问题.因为102=100,所以100的算术平方根为10,因为0.62=0.36,所以0.36的算术平方根为0.6.
0.6 (共12张PPT)
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第六章 实 数
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6.1 平方根(第3课时)
如果一个数的平方等于9,这个数是多少
想一想
由于(-3)2=9,这个数也可以是-3.
因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.那么,3和-3叫做9的什么呢
想一想：
(1)9的算术平方根是3,还有平方也是9的数吗
学
习
新
知
(2)平方等于
的数有几个 平方等于0.36的数呢
（3）能总结一下平方根的定义吗
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
观察思考左面的平方和右面的开平方是什么关系.
我们看到,±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.
解：(3)因为(±0.5)2=0.25,
所以0.25的平方根是±0.5.
解：(2)因为
,
所以的平方根是±
.
例：(教材例4)求下列各数的平方根.
(1)100; (2)
; (3)0.25.
解:(1)因为(±10)2=100,
所以100的平方根是±10.
思考：
(1)正数的平方根有几个
2个
(2)正数的两个平方根之间有什么关系
互为相反数
(3)0的平方根是多少
0
(4)负数有没有平方根
没有
(5)平方根怎么用数学式表达
正数a的算术平方根可以用
表示;正数a的负的平方根可以用符号“-
”表示,故正数a的平方根可以用符号“±
”表示,读作“正、负根号a”.
解:
(1)因为62=36,所以
=6.
例：(教材例5)求下列各式的值.
(1)
;
(2)
-
;
(3)±
.
解：(2)因为0.92=0.81,所以
-
=
-
0.9.
解：
(3)因为
,所以
检测反馈
1.16的平方根是
( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
解析:求一个数的平方根,可根据平方根的定义:如果x2=a,那么x就叫做a的平方根,利用平方与开平方互为逆运算的关系进行求解.因为(±4)2=16,所以16的平方根是±4.故选B.
B
2.下列说法中不正确的是
( )
A.-
是2的平方根
B.
是2的平方根
C.2的平方根是
D.2的算术平方根是
解析:因为(±
)2=2,所以2的平方根是±
,2的算术平方根是
.故选C.
C
3.平方根等于它本身的数是 .
0
解析:根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数.因为02=0,所以0的平方根是0,所以平方根等于它本身的数是0.故填0.第六章 实 数
1.理解算术平方根、平方根、立方根等概念及其有关概念的意义,并会用根号表示它们.
2.会求平方根、算术平方根和立方根.
3.理解有理数、无理数以及实数的概念,知道这些数和数轴上的点的对应关系.
4.会进行实数的运算.
1.抓住新旧知识的联系,灵活运用乘方、开方、有理数的知识,实现知识的迁移,并使新旧知识融会贯通.
2.深刻理解并掌握类比的方法,并针对所学的知识启发学生深入思考,交流、探讨,将知识学深、学透、学活.
3.重视对数学思想方法的掌握与运用,达到优化解题思路、简化解题过程的目的.
培养认真观察、仔细思考的学习习惯,培养从生活中发现、解决数学问题的意识.
本章教材在初中数学中具有重要的地位,本章知识是有理数到实数的扩展,是进行其他学习的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解三角形、函数、分式等),几乎贯穿了整个数学体系之中.
本章主要学习了算术平方根、平方根、立方根的概念,无理数和实数的概念及实数的运算.教材从典型的实际问题入手,首先介绍算术平方根,给出算术平方根的概念和符号表示.在学习算术平方根的基础上学习平方根,利用乘方与开方互为逆运算的特点探讨数的平方根的特征.类比平方根学习立方根,探讨立方根的特征,最后学习无理数及实数的运算.
【重点】
1.算术平方根、平方根、立方根、实数的概念.
2.会求某些非负数的平方根及某些数的立方根.
3.知道实数与数轴上的点一一对应,并能进行实数的运算.
【难点】 求非负数的平方根、算术平方根及算术平方根与平方根的区别与联系.
1.关于平方根与算术平方根的学习.
(1)通过让学生计算两个不为零的互为相反数的数的平方是同一个正数,总结出“一个正数有两个平方根,它们互为相反数”的性质,加深感性认识.
(2)帮助学生正确认识算术平方根的两个非负性:一是被开方数的非负性,即只有非负数才有算术平方根(在中a≥0);二是算术平方根本身的非负性,即一个非负数的算术平方根是一个非负数(≥0,a≥0).
2.关于立方根的学习.
(1)引导学生运用类比平方根的方法来学习立方根的概念、性质、求法,并启发学生与平方根的相应结论进行联系、比较,弄清两者的区别与联系,并适当分析结论不同的原因.
(2)要引导学生注意转化思想,将求负数的立方根问题转化为求正数的立方根问题.
3.关于无理数与实数的学习.
(1)引导学生复习有关有理数的知识,让学生了解有理数包括有限小数和无限循环小数,为学习无理数做好准备.引导学生用数轴上的点来表示有理数、无理数,将所学知识联系起来,使学生了解无理数的存在性.
(2)引导学生分清“无限不循环小数”与“无限循环小数”的区别,理解无限循环小数可化成分数,它是有理数;而无限不循环小数不能化成分数,它是无理数,从而启发学生总结有理数和无理数的区别在于是否能够分数化,真正分清有理数和无理数.
(3)要引导学生明确有理数的运算法则、运算律同样适用于无理数和实数,使学生能够按照有理数的运算法则、运算律进行无理数和实数的运算.
6.1 平方根
3课时
6.2 立方根
1课时
6.3 实 数
3课时
单元概括整合
1课时
6.1 平方根
1.理解算术平方根的概念,领会乘方与开方的关系.
2.会用计算器求一个数的算术平方根,理解被开方数与算术平方根大小的关系.
3.会用“夹值法”求一个数算术平方根的近似值.
4.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的区别和联系.
1.通过平方根的学习,建立初步的数感和符号感,为学习实数做准备.
2.通过求算术平方根的近似值,培养学生勇于探索的精神.
1.通过探索活动培养学生克服困难的精神.
2.通过解决生活中的实际问题,帮助学生体验数学与生活的紧密联系.
3.培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.
【重点】
1.平方根的概念和算术平方根.
2.夹值法估计一个(无理)数的大小.
【难点】
1.用夹值法估计一个(无理)数的大小.
2.平方根和算术平方根的区别和联系.
第课时
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性.
2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算求某些非负数的算术平方根.
通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维.
1.通过解决实际生活中的问题,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的.
2.通过探究活动培养学生动手能力,锻炼学生克服困难的意志,建立自信心,提高学习热情.
【重点】 算术平方根的概念.
【难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.
【教师准备】 教材章前图的投影图片.
【学生准备】 复习平方的概念.
导入一:
同学们,你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗 这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小满足=gR,=2gR.其中,g是物理中的一个常量,R是地球的半径.
怎样求v1,v2呢 即使给出g,R的对应值,利用我们已学过的知识,也很难求出.这就要用到平方根的概念,也就是本章的主要学习内容.
[设计意图] 借助于教材章前图的内容,使学生认识到生活中的一些问题需要用新的知识去解决,进而增强学生的学习欲望和进取精神.
导入二:
学校要举行美术作品比赛,小鸥想裁出一块面积为25
dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少
你一定会算出边长应取5
dm.说一说你是怎样算出来的.因为S=25
dm2,所以这个正方形画布的边长应取5
dm.
上面的计算过程,就是求一个数是由什么数的平方得来的.本课时我们就要学习相关的内容.
[设计意图] 用教材的问题作为导入材料,能够和学生的课前预习活动对接,可以提高学生的预习效果.
导入三:
丽丽家新购的一套住房,客厅是长与宽之比为5∶2的长方形,面积为40
m2,求这间客厅的长与宽各为多少.
要求客厅的长与宽,依题意可设客厅的长与宽分别是5x
m,2x
m,可得2x·5x=40,即x2=4,那么怎样才能由x2=4求x呢
[设计意图] 从学生能够理解的生活事例入手,帮助学生感受引入平方根概念的必要性.
[过渡语] (针对导入二)如果小鸥想要裁出的正方形画布面积分别是下表中的数字,怎样求这个正方形的边长呢
1.算术平方根.
思路一
填写表格后回答问题.
正方形的面积/dm2
1
9
16
36
正方形的边长/dm
1
3
4
6
(1)写出表格中正方形边长的计算过程.
(2)上述过程可以概括成怎样的问题
(3)怎样用数学语言描述这个运算过程 (这个运算过程是什么呢 )
问题提示:(1)12=1,32=9,42=16,62=36,=.
(2)已知一个正数的平方,求这个正数的问题.
(3)例如,已知一个正数的平方为a,求这个正数x问题.(可以用不同的字母表示)
[设计意图] 第(1)问意在复习平方的知识,为学习平方根知识做准备.第(2)问是从平方根的角度帮助学生思考.第(3)问是进一步引导学生通过抽象思维去理解平方根.
归纳总结:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:0的算术平方根是0.
思路二
学生阅读教材第40页例1前的内容,回答问题.
(1)什么是算术平方根
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
(2)算术平方根怎么表示
a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
(3)0的算术平方根是多少
0的算术平方根是0.
处理方式:学生阅读教材后交流;老师指定部分学生总结问题;总结平方根相关概念.
强调:书写时根号一定要把被开方数盖住.
讨论:为什么0的算术平方根是0
2.例题讲解.
求下列各数的算术平方根.
(1)100; (2); (3)0.0001.
〔解析〕 本题三个数的共同特点是都是正数,符合算术平方根的前提条件.无论是正整数、正分数还是正小数,都有自己的算术平方根.求算术平方根不仅要明确算术平方根的含义,更要习惯用数学方式表达算术平方根的求解过程.
解:(1)因为102=100,
所以100的算术平方根是10,即=10.
(2)因为=,
所以的算术平方根是,
即 =.
(3)因为0.012=0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即=0.01.
追问:从上面的例题中,你发现被开方数和算术平方根之间有什么关系
提示:被开方数越大,对应的算术平方根越大,这个结论对所有的正数都成立.
[过渡语] 根据例1中的被开方数,我们都能猜到这个数是哪个数的平方,那么怎么求类似7,8,9这些数的算术平方根呢
(补充)求下列各数的算术平方根.
(1)36;
(2)0.09; (3);
(4)(-4)2; (5)0;
(6)10.
〔解析〕 算术平方根的求法:一个正数的算术平方根就是要找一个正数,使它的平方等于这个数.
解:(1)因为62=36,
所以36的算术平方根是6,即=6.
(2)因为0.32=0.09,
所以0.09的算术平方根是0.3,
即=0.3.
(3)因为=,
所以的算术平方根是,
即
=.
(4)因为42=(-4)2=16,
所以(-4)2的算术平方根是4,
即=4.
(5)0的算术平方根是0,=0.
(6)10的算术平方根是.
[知识拓展] 求一个数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的过程,因此,求一个数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的平方的逆运算,只不过只有正数和0才有算术平方根,负数没有算术平方根.
1.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数.
3.规定:0的算术平方根是0.
1.9的算术平方根为
( )
A.3
B.±3
C.-3
D.81
解析:因为32=9,所以9的算术平方根为3.故选A.
2.下列说法正确的是
( )
A.5是25的算术平方根
B.±4是16的算术平方根
C.-6是(-6)2的算术平方根
D.0.01是0.1的算术平方根
解析:如果x2=a(x>0),则这个正数x是a的算术平方根,由此判断各选项.A.=5,故选项正确;B.=4,所以16的算术平方根是4,故选项错误;C.=6,故选项错误;D.=0.1,故选项错误.故选A.
3.一个数的算术平方根是它本身,这个数是
( )
A.1
B.-1
C.0
D.1或0
解析:根据算术平方根的定义:一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.若一个数的算术平方根是它本身,可以知道这个数是0或1.故选D.
4.100的算术平方根是 ,0.36的算术平方根是 .
解析:本题求100和0.36的算术平方根,就是求哪个正数的平方等于100或0.36,由此即可解决问题.因为102=100,所以100的算术平方根为10,因为0.62=0.36,所以0.36的算术平方根为0.6.
答案:10 0.6
第1课时
1.算术平方根
定义
符号表示
0的算术平方根
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第41页练习第1,2题.
【选做题】
教材第47页习题6.1第1题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.一个数只要存在算术平方根,那么这个数
( )
A.只有一个并且是正数
B.一定小于这个数的算术平方根
C.必是一个非负数
D.不可能等于这个数的算术平方根
2.49的算术平方根的相反数是
( )
A.7
B.-7
C.±7
D.±
3.下列命题中正确的有
( )
①1的算术平方根是1;②(-1)2的算术平方根是-1;③-4没有算术平方根;④一个数的算术平方根是它本身,这个数只能是零.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.求下列各数的算术平方根.
(1)0.49; (2); (3).
5.求下列各式的值.
(1)-;(2);(3).
【能力提升】
6.下列说法:
①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a2的算术平方根是a;④(π-4)2的算术平方根是π-4;⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确的有
( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
7.一个数的算术平方根为a,则比这个数大5的数是
( )
A.a+5
B.a-5
C.a2+5
D.a2-5
8.下列运算正确的是
( )
A.=9
B.|-3|=-3
C.-=-3
D.-32=9
9.(±4)2的算术平方根是 ,的算术平方根是 .
10.已知+(b+2)2=0,那么a+b的值为 .
11.计算.
(1);
(2)-;
(3) + + - .
【拓展探究】
12.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的算术平方根.
13.计算下列题目:
= ,= ,= , = ,= ,= ,= .根据计算结果回答下列问题.
(1)一定等于a吗 你发现其中的规律了吗 请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律,计算= .
【答案与解析】
1.C(解析:因为任何数的平方都不可能为负,都是非负数,所以负数没有算术平方根,只有正数或0才有算术平方根,所以本题应选C.)
2.B(解析:49的算术平方根是7,其相反数是-7.故选B.)
3.B(解析:根据算术平方根的定义可知:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,结合命题与定理的定义可得答案.①1的算术平方根是1,故此项正确;②(-1)2=1,1的算术平方根是1,故此项错误;③因为-4<0,所以-4没有算术平方根,故此项正确;④一个数的算术平方根是它本身,这个数是0或1,故此项错误.所以正确的有2个.故选B.)
4.解:(1)=0.7. (2)=. (3)=.
5.解:(1)-=-0.1. (2)=5. (3)=10-3.
6.B(解析:根据算术平方根的定义依次分析各小题即可.①负数没有算术平方根;②0的算术平方根是0;③当a<0时,a2的算术平方根是-a;④(π-4)2的算术平方根是4-π,故错误;⑤算术平方根不可能是负数,正确.故选B.)
7.C(解析:首先根据算术平方根的定义求出这个数,然后利用已知条件即可求解.因为一个数的算术平方根为a,所以这个数为a2,所以比这个数大5的数是a2+5.故选C.)
8.C(解析:A.是求9的算术平方根,所以是3,故选项错误;B.负数的绝对值是正数,结果是3,故选项错误;C.-=-3,故选项正确;D.-32=-9,故选项错误.故选C.)
9.4 (解析:因为(±4)2=16,42=16,所以(±4)2的算术平方根是4.因为62=36,所以=6,所以的算术平方根是.)
10.0(解析:根据非负数的意义:如果两个非负数的和等于0,那么这两个数都为0可知a-2=0,b+2=0,a=2,b=-2,则a+b=2-2=0.)
11.解:(1)===5. (2)-=-=-9. (3) + + - =++-=1+=.
12.解:因为2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,所以2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=9,所以a+2b的算术平方根是3.
13.解:3 0.7 6 0.28 0 (1)不一定等于a,=|a|= (2)π-3.14
借助于平方知识,通过逆向思维的类比方式,学生比较好地理解了算术平方根的定义,同时注重强调了对0的算术平方根的理解.
学生根据先前的平方知识,会意识到一个正数的平方根会有两个.这就需要特别强调算术平方根定义当中的“一个正数”的限制.在课时的教学过程中,对这点没有做出特别的强调.
课前做好平方知识的复习,为学习平方根做准备.引入算术平方根的知识,要借助具体的生活情境,这样才能加深对引入平方根知识必要性的认识.注意引导学生发现被开方数与对应的算术平方根之间的关系.
练习(教材第41页)
1.提示:(1)0.05. (2)9. (3)3.
2.提示:(1)1. (2). (3)2.
求下列各式的值.
(1); (2)
;
(3); (4).
〔解析〕 (1)就是求484的算术平方根.(2)
就是求12的算术平方根.(3)就是求20.25的算术平方根.(4)8×9×10×11+1=7921,就是求7921的算术平方根.
解:(1)因为222=484,所以=22.
(2)因为==12,
所以
=.
(3)因为4.52=20.25,所以=4.5.
(4)因为8×9×10×11+1=7921,892=7921,
所以=89.
第课时
1.会用计算器求一个数的算术平方根.
2.理解被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律.
3.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值.
通过求一个数的算术平方根的近似值,初步了解数的无限不循环性,理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义.
通过计算近似值,比较两个算术平方根的大小,培养学生的细心探求精神.
【重点】 计算算术平方根的两种方法;理解无限不循环小数.
【难点】 夹值法及估计一个数(无理数)的大小.
【教师准备】 教材图6.1-1的投影图片.
【学生准备】
1.复习算术平方根的相关知识.
2.计算器.
导入一:
能否用两个面积为1
dm2的小正方形拼成一个面积为2
dm2的大正方形
如图所示,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为2
dm2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗
设大正方形的边长为x
dm,则x2=2,
由算术平方根的意义可知x=.
所以大正方形的边长是
dm.
问题:到底有多大呢
导入二:
3.1415926…,看到这个数字大家一定会想到圆周率吧.圆的周长和直径的比是一个无限不循环小数,除此之外,像,等是不是无限不循环小数呢
[过渡语] -到底有多大呢 我们一起来探索下吧.
1.探索的大小.
师:因为12=1,22=4,所以1<<2.这里我们只是粗略地知道了的大小,还不是很精确,这就需要我们继续探索下去.怎么继续下去呢 大家想个办法吧.
生:取一个大于1且小于2的数试一试.
师:从1.1到1.9这些数字我们怎么选呢
生:通过估算和计算,我们发现1.42=1.96,1.52=2.25,所以1.4<<1.5.
师:用刚才的办法还能继续探索下去吗
生:因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以1.41<<1.42;因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414<<1.415……
师:我们可以如此进行下去,会得到的更精确的近似值.但我们无论进行多少次探索,都不会有一个最终的数值,可见=1.41421356237…,它是一个无限不循环小数.实际上,许多正有理数的算术平方根(例如,,等)都是无限不循环小数.
2.用计算器求算术平方根.
[过渡语] 像前面探索一个数的算术平方根的方法无疑是繁琐的,我们通过计算器可以很轻松地解决求算术平方根的问题.
大多数计算器都有键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
(教材例2)用计算器求下列各式的值.
(1); (2)(精确到0.001).
〔解析〕 正确选择计算器上的功能键是关键,对算术平方根的值要根据要求或需要进行取舍.同时需要注意计算器上显示的数值是一个近似值.
解:(1)依次按键3136=,显示:56.
所以=56.
(2)依次按键2=,显示:1.414213562.
所以≈1.414.
[过渡语] 计算器为人们进行复杂的计算提供了巨大的方便,比如我们来看引言中提出的问题.
由=gR,=2gR,得v1=,v2=,其中g≈9.8,R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2(用科学记数法把结果写成a×10n的形式,其中a保留小数点后一位),得v1=≈7.9×103,v2=≈1.1×104.
因此,第一宇宙速度v1大约是7.9×103
m/s,第二宇宙速度v2大约是1.1×104
m/s.
3.用计算器探究.
(1)利用计算器计算下表中的各式,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律 你能说出其中的道理吗
…
…
…
…
(2)用计算器计算(精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出,,的近似值,你能根据的值说出的值是多少吗
问题提示:
(1)如下表所示:
…
…
…
0.25
0.79
2.5
7.9
25
79
250
…
从表中可以发现:被开方数的小数点每向右(或向左)移动两位,开方后的结果向相同的方向移动一位.
(2)因为≈1.732,≈0.1732,≈17.32,≈173.2,根据的值不能说出是多少.
4.估计算术平方根的值解决问题.
[过渡语] 在生活中,我们经常遇到估计一个数的大小的问题.请看下面的例子.
(教材例3)小丽想用一块面积为400
cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300
cm2的长方形纸片,使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁.小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗
〔解析〕 本题的核心是能否按照要求裁出一个长宽比为3∶2、面积为300
cm2的长方形,通过列方程的办法可以计算出满足这样条件的长方形的长和宽,再与正方形的边长做对比,就可以得出相应的结论.
解:设长方形纸片的长为3x
cm,宽为2x
cm,
根据边长与面积的关系得:
3x·2x=300,
6x2=300
x2=50,
x=.
因此长方形纸片的长为3
cm.
因为50>49,所以>7.
由上可知3>21,即长方形纸片的长应该大于21
cm.
因为=20,所以正方形纸片的边长只有20
cm.这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答:不能同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【思考】 如果一个数的平方等于19,这个数是多少
[知识拓展] 确定x2=a(a≥0)中正数x的近似值的方法:
1.确定正数x的整数部分.根据平方的定义,把x夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.
2.确定x的小数部分十分位上的数字.将这两个整数平方和的平均数与x比较,预测十分位上数字的取值范围,也可以采用试验的方法进行估计.
在求某些数的算术平方根时,当有些数据比较大或不易求出时,便可以利用计算器求算术平方根,用计算器上的“”键.一般先按“”键,然后再输入数据,再按“=”键即可.在没有计算器或不允许用计算器的情况下,可进行估算,我们通常取与被开方数相近的两个完全平方数的算术平方根相比较.
1.我们可以利用计算器求一个正数a的算术平方根,其操作方法是按顺序进行按键输入:
a
=
,小明按键输入1 6,显示结果为4,则他按键1 6 0 0,显示结果应为 .
解析:根据被开方数扩大到原来的100倍,算术平方根扩大到原来的10倍直接解答即可.故填40.
2.已知a,b为两个连续的整数,且a<解析:因为<<,所以3<<4,因为a<3.用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字).
(1);(2);(3).
解:(1)依次按键734,显示27.09243437,所以≈27.09.
(2)依次按键0.012345,显示0.111108055,所以≈0.1111.
(3)依次按键5,显示2.236067977,所以≈2.236.
4.小川的房间地面面积为17.6
m2,房间地面恰好由110块相同的正方形铺成,每块地砖的边长是多少米
解:设每块地砖的边长是x
m,则110x2=17.6,
x2=0.16,所以x=0.4.
答:每块地砖的边长是0.4
m.
第2课时
1.探索的大小
2.用计算器求算术平方根
例1
3.用计算器探究
4.估计算术平方根的值解决问题
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第44页练习第1,2题.
【选做题】
教材47页习题6.1第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若m=-4,则估计m的值所在的范围是
( )
A.1B.2C.3D.42.一个正方形的面积是15,估计它的边长大小在
( )
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
3.用计算器计算:-3.142≈ .(结果保留三个有效数字)
4.小杰卧室地板的总面积为16平方米,恰好由64块正方形的地板砖铺成,求每块地板砖的边长.
5.圆的面积S(cm2)与半径r(cm)之间的关系式为S=πr2,现要制作一块面积为49π
cm2的圆形零件,此零件的半径应为多少厘米
【能力提升】
6.如图所示,方格图中小正方形的边长为1,将方格中阴影部分图形剪下来,再把剪下的部分重新剪拼成一个正方形,那么所拼成的这个正方形的边长为
( )
A.
B.2
C.
D.
7.用计算器估算:若2.6456<<2.6459,则a的整数值是 .
8.如果的整数部分为a,小数部分为b,那么a-b= .
9.学校组织集邮展览,某同学用30枚长3
cm,宽2.5
cm的邮票恰好拼成了一个正方形,你能求出这个正方形的边长吗
【拓展探究】
10.请你观察、思考下列计算过程:
因为112=121,所以=11,同样因为1112=12321,所以=111,由此猜想= .
11.用计算器求下列各数的算术平方根(保留四个有效数字),并观察这些数的算术平方根有什么规律.
(1)78000,780,7.8,0.078,0.00078.
(2)0.00065,0.065,6.5,650,65000.
【答案与解析】
1.B(解析:先估算出在哪两个整数之间,即可得到结果.因为6=<<=7,所以2<-4<3,故选B.)
2.B(解析:根据正方形的面积先求出正方形的边长,然后估算即可得出答案.设正方形的边长为x,因为正方形面积是15,所以x2=15,故x=.因为9<15<16,所以3<<4.故选B.)
3.0.464(解析:首先利用计算器求出13的算术平方根,然后即可求出结果.-3.142≈3.6056-3.142=0.4636≈0.464.)
4.解:每块地板砖的面积=平方米,所以每块地板砖的边长= =(米).
5.解:设此零件的半径为r
cm,由题意得49π=πr2,解得r=7.所以此零件的半径为7
cm.
6.C(解析:根据题意可得,所拼成的正方形的面积是5,所以正方形的边长是.故选C.)
7.7(解析:因为2.6456=,2.6459=,所以a的整数值是7.)
8.4-(解析:先求出的范围,即可求出a,b的值,再代入求出即可.因为2<<3,所以的整
数部分为a=2,小数部分是b=-2,所以a-b=2-(-2)=4-,故答案为4-.)
9.解:一枚邮票的面积为3×2.5=7.5(cm2),30枚邮票的总面积为7.5×30=225(cm2),则正方形的边长为15
cm.
10.111111111(解析:因为112=121,所以=11.同样1112=12321,所以=111,…,由此猜想=111111111.)
11.解:(1)≈279.3,≈27.93,≈2.793,≈0.2793,≈0.02793. (2)≈0.02550,≈0.2550,≈2.550,≈25.50,≈255.0.规律是:被开方数的小数点向左(右)移动两位,则其算术平方根的小数点就向左(右)移动一位.
用“夹值法”探索根式的近似值,其教学过程中蕴含着多种教学目的,如帮助学生深入领会无限不循环小数,为以后得出无理数和实数的概念做准备,同时也可以培养学生勇于探索的精神.本课时在教学的过程中,通过情境引入、师生研讨等方式较好地落实了课程教学目标.
在探索近似值的过程中,最初没有让学生利用计算器进行探索,课堂上浪费了一定时间,在利用计算器进行探索的时候,忽略了学生使用计算器的差异.
在利用计算器进行近似值探索的时候,可以让学生自己总结一些数的算术平方根的性质.在探索规律的过程中,学生不易直接发现小数点变化的规律,应该进行一定的提示.关注学生对计算器的正确使用,并强调计算器的显示结果只是算术平方根的一个近似值.
练习(教材第44页)
1.提示:(1)37. (2)10.06. (3)2.24.
2.解:(1)<. (2)>8. (3)>0.5. (4)<1.
在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.
(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少
(2)如果精确到百分位呢
〔解析〕 本题实质就是求的近似值问题.本题除了借用计算器外,也可以用“夹值法”进行探索.参考数值:1.72=2.89,1.732=2.9929.
解:(1)1.7米. (2)1.73米.
第课时
1.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.
2.能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.
通过探索平方根与算术平方根的区别与联系,学会利用算术平方根解决平方根的问题.
培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.
【重点】 平方根的概念和求数的平方根.
【难点】 平方根和算术平方根的联系与区别.
【教师准备】 教材图6.1-2;教材例题投影图片.
【学生准备】 复习算术平方根的知识.
导入一:
我们学过了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x叫做a的算术平方根,记作x=,而且不能是非正数,比如正数32=9,则3叫做9的算术平方根,9叫做3的平方数,但是(-3)2=9,那么-3叫做9的什么根呢 下面我们就来讨论这个问题.
[设计意图] 通过复习旧知识引入新知识,有利于学生建立起知识之间的对比和联系.
导入二:
【思考】 如果一个数的平方等于9,这个数是多少
从前面的学习我们知道,这个数可以是3.除了3以外,还有没有别的数的平方也等于9呢 由于(-3)2=9,这个数也可以是-3.
因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.那么,3和-3叫做9的什么呢
[设计意图] 通过简单的事例,有助于学生进行旧知识的复习,通过思考问题,引入平方根的概念.
1.平方根与开平方.
[过渡语] 通过本节课的课题“6.1 平方根”我们知道了“平方根”这个词,那么什么是平方根呢
思路一:
填表:
x2
1
16
36
49
x
±1
±4
±6
±7
±
问题:
①什么是算术平方根
②表格中的这些数的算术平方根是什么
③什么叫做平方根
④什么叫做开平方
问题处理方式:第一问和第二问由学生自己回答;第三问和第四问学生自学教材第45页例4前的内容后回答.
核心问题归纳:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
思路二:
问题思考:
(1)9的算术平方根是3,还有平方也是9的数吗
(2)平方等于的数有几个 平方等于0.36的数呢
生1:-3的平方也是9.
生2:平方等于的数有两个,分别是和-.
生3:平方等于0.36的数有两个,是0.6和-0.6.
师:根据上一节课的内容,我们知道了3是9的算术平方根,那么-3也是9的算术平方根吗
生:(阅读教材第45页第1段)
师:-3是9的平方根,这种说法对吗
生:正确.
师:能总结一下平方根的定义吗
生:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.
问题2:平方与开平方的关系
学生观察教材图6.1-2,思考左面的平方和右面的开平方是什么关系.
我们看到,±1的平方等于1,1的平方根是±1,±2的平方等于4,4的平方根是±2,±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.
(教材例4)求下列各数的平方根.
(1)100; (2); (3)0.25.
解:(1)因为(±10)2=100,
所以100的平方根是±10.
(2)因为=,
所以的平方根是±.
(3)因为(±0.5)2=0.25,
所以0.25的平方根是±0.5.
2.平方根的特点.
问题思考:
(1)正数的平方根有几个 (2个)
(2)正数的两个平方根之间有什么关系 (互为相反数)
(3)0的平方根是多少 (0)
(4)负数有没有平方根 (没有)
(5)平方根怎么用数学式表达 (正数a的算术平方根可以用表示;正数a的负的平方根可以用符号“-”表示,故正数a的平方根可以用符号“±”表示,读作“正、负根号a”.)
问题处理:第(1)问和第(2)问由学生做出肯定性的答案.第(3)问强调学生注意0的平方根和算术平方根的一致性.第(4)问重点讨论负数没有平方根的原因.第(4)问指导学生善于用数学符号语言总结本课时所学.
(教材例5)求下列各式的值.
(1);(2)-;(3)± .
解:(1)因为62=36,所以=6.
(2)因为0.92=0.81,所以-=-0.9.
(3)因为=,所以± =±.
[知识拓展] (1)若一个数的平方根是它本身,则这个数是0.若一个数的算术平方根是它本身,则这个数是0或1.
(2)根据开平方与平方互为逆运算可得到有关算术平方根的两个重要公式:
①()2=a(a≥0);②=|a|.
要特别注意a的取值范围.
名称关系
算术平方根
平方根
区别
定义不同
如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根
个数不同
正数的算术平方根只有1个
正数的平方根有2个
表示方法不同
正数a的算术平方根表示为
正数a的平方根表示为±
取值范围不同
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根为一正一负,互为相反数
联系
具有包含关系
平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负根
存在的条件相同
只有非负数才有平方根和算术平方根
0的平方根与算术平方根均为0
1.16的平方根是
( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
解析:求一个数的平方根,可根据平方根的定义:如果x2=a,那么x就叫做a的平方根,利用平方与开平方互为逆运算的关系进行求解.因为(±4)2=16,所以16的平方根是±4.故选B.
2.下列说法中不正确的是
( )
A.-是2的平方根
B.是2的平方根
C.2的平方根是
D.2的算术平方根是
解析:因为(±)2=2,所以2的平方根是±,2的算术平方根是.故选C.
3.平方根等于它本身的数是 .
解析:根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数.因为02=0,所以0的平方根是0,所以平方根等于它本身的数是0.故填0.
第3课时
1.平方根与开平方
例1
2.平方根的特点
例2
一、教材作业
【必做题】
教材46页练习第1,3题.
【选做题】
教材47页习题6.1第11题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.9的平方根与16的平方根的和的最小值是
( )
A.4
B.-7
C.±4
D.±2
2.下列说法正确的是
( )
A.-2是-4的平方根
B.2是(-2)2的平方根
C.(-2)2的平方根是2
D.8的平方根是4
3.的平方根是 .
4.如果某数的一个平方根是-6,那么这个数为 .
5.求下列各数的平方根.
(1)0.49; (2); (3).
【能力提升】
6.下列说法:①2是4的一个平方根;②16的平方根是4;③-36的平方根是±6;④-8是64的一个平方根.其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.12的负的平方根介于
( )
A.-5与-4之间
B.-4与-3之间
C.-3与-2之间
D.-2与-1之间
8.a是有理数,在a2+2,3|a|+5,|a|-4,5a4+2a2中一定有平方根的式子的个数是 .
9.如果正数m的两个平方根为x+1和x-3,则m的值是 .
10.求满足下列各式的x的值.
(1)x2-81=0;
(2)x2=1;
(3)(x+1)2=25.
【拓展探究】
11.“平方根节”是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根,例如2009年的3月3日,2016年的4月4日.请你写出本世纪内你喜欢的一个“平方根节” .(题中所举例子除外)
12.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的平方根.
【答案与解析】
1.B(解析:两个数同时取负平方根.)
2.B(解析:负数没有平方根,A选项错误;(-2)2=4,4的平方根是±2,B正确,C错误;8的平方根是±,D错误.故本题应选B.)
3.±3(解析:先求出=9,然后求出9的平方根.因为==9,又因为(±3)2=9,所以9的平方根是±3,故答案为±3.)
4.36(解析:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.因为某数的一个平方根是-6,所以这个数为36.故填36.)
5.解:(1)因为(±0.7)2=0.49,所以0.49的平方根是±0.7. (2)因为=,=,所以的平方根是±. (3)因为=,所以的平方根是±.
6.B(解析:根据平方根的定义,结合各项进行判断即可.①,2是4的一个平方根说法正确;②,16的平方根是±4,原说法错误;③,-36没有平方根,原说法错误;④,-8是64的一个平方根,说法正确.综上可得①④说法正确,共2个.故选B.)
7.B(解析:12的负的平方根即-,它介于-与-之间,再看A,B,C,D四个选项中只有选项B符合要求.)
8.3(解析:负数没有平方根,题中给出的式子a2+2,3|a|+5一定是正数,而5a4+2a2一定是非负数,它们都有平方根,故个数是3.)
9.4(解析:根据平方根的定义知道一个正数的两个平方根互为相反数,由此即可得到关于x的方程,解方程即可解决问题.因为正数m的两个平方根为x+1和x-3,则x+1+x-3=0,所以x=1,
所以(x+1)2=m=4.)
10.解:(1)由x2-81=0,得x2=81,所以x=±9. (2)由x2=1,得x2=,所以x=± ,所以x=±. (3)由(x+1)2=25得x+1=5或x+1=-5,所以x=4或x=-6.
11.答案不唯一,如2001年1月1日,2025年5月5日(解析:抓住年份最后两位数字是个完全平方数即可.)
12.解:因为2a-1的平方根是±3,3a+b-1的算术平方根是4,所以2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=5+2×2=9.所以a+2b的平方根是±3.
在本课时的教学过程中,首先注重了从区别的角度帮助学生掌握概念,这主要体现在对比算术平方根和平方根的处理上.其次从原因上引导学生注重理解.因为相反数的平方结果是一样的,所以一个正数的平方根有两个,0的算术平方根和平方根都是0,没有一个数的平方是负数,所以负数没有平方根.
在两个例题的处理上,没有放手让学生通过合作去完成.在用数学符号表示平方根的时候,没有强调学生要注意限定的条件.设置的部分习题差异性较小.
课时教学的重点应该突出在平方根和算术平方根的区别上,设置有针对性的练习帮助学生掌握此知识.同时注意强调有意义的条件.
练习(教材第46页)
1.解:(1)正确. (2)错误.1的平方根是±1. (3)错误.-1没有平方根. (4)错误.0.1是0.01的一个平方根.
2.解:如下表.
x
8
-8
-
4
-4
0.6
-0.6
x2
64
16
0.36
3.提示:(1)3 (2)-0.7 (3)±
4.解:边长为.
习题6.1(教材第47页)
1.提示:(1)9 (2) (3)0.2 (4)10.
2.提示:(1)有意义. (2)没有意义. (3)有意义.
(4)有意义.原因略.
3.提示:(1)±7 (2)± (3)± (4)±0.04.
4.提示:(1)正确 (2)正确 (3)错误 (4)正确
5.提示:(1)29.44 (2)0.68 (3)-0.57 (4)±49.01
6.提示:6和7.
7.提示:(1)±16.4 (2)16.9 (3)16.4与16.5之间.理由略.
8.提示:(1)x=±5 (2)x=±9 (3)x=±.
9.解:由题意知120=4.9t2,解得t≈5.
10.解:一个正方形的面积扩大为原来的4倍,边长变为原来的2倍;面积扩大为原来的9倍,边长变为原来的3倍;面积扩大为原来的n倍,边长变为原来的倍.
11.解:(1)=2,=3,=5,=6,=7,=0,对于任意数a,=|a|. (2)()2=4,()2=9,()2=25,()2=36,()2=49,()2=0,对于任意非负数a,()2=a.
12.提示:最终结果数为1.
下列说法是否正确 为什么
(1)5是25的算术平方根;
(2)是的一个平方根;
(3)(-4)2的平方根是-4;
(4)0的平方根与算术平方根都是0.
解:(1)正确.由于52=25,且5>0,所以5是25的算术平方根.
(2)正确.因为=,所以是的一个平方根,的平方根有两个,是正的那一个,是算术平方根.
(3)错误.因为(-4)2=16>0,它有两个平方根,是4和-4,而上述说法中只说出了-4,少了4.
(4)正确.
6.2 立方根
1.理解立方根的概念,初步学会用根号表示一个数的立方根.
2.理解开立方与立方互为逆运算,会用立方运算求某些数的立方根.
3.能用类比平方根的方法学习立方根,及开立方运算,并区分立方根与平方根的不同.
用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自己总结出平方根与立方根的异同.
渗透由一般到特殊的思想方法,培养学生的求同存异思维.
【重点】 立方根的概念和求法.
【难点】 立方根与平方根的区别.
【教师准备】 教材例题和探究的投影图片.
【学生准备】 复习平方根的相关知识.
导入一:
如图所示,有一个正方体形状的仓库,体积为64
m3,现准备将其扩充(形状还是正方体),以存放更多的货物,其棱长增加多少,才能使体积达到512
m3
提出问题:要求棱长增加多少,可分别求出大小两个正方体的棱长,再求它们的差即可.由此可设大小两个正方体的棱长分别为a,b,则由题意知a3=512,b3=64,那么如何由a3=512,b3=64求a,b呢
[设计意图] 通过“体积计算”这个数学场景帮助学生认识到一种新的计算(开立方)的存在.
导入二:
要制作一种容积为27
m3的正方体形状的包装箱,这种包装箱的边长应该是多少
设这种包装箱的边长为x
m,则x3=27,这就是求一个数,使它的立方等于27.
因为33=27,
所以x=3.
即这种包装箱的边长应为3
m.
上述求包装箱边长的过程,是一种怎样的运算过程呢 这就是我们要研究的开立方的问题.
[设计意图] 从学生生活实际中常见到的问题引入课题,让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用.
[过渡语] (针对导入二)在上面的问题中有33=27,还有没有另外一个数的立方结果也是27呢 我们一同研究一下这个问题.
1.立方根的定义.
计算下面各小题.
(1)23= ,(-2)3= ;
(2)0.53= ,(-0.5)3= ;
(3)= ,= ;
(4)03= .
问题思考:
(1)写出各小题的计算结果.
答:23=8,(-2)3=-8;0.53=0.125,(-0.5)3=-0.125;=,=-;03=0.
(2)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处
答:一个数的立方值不一定都是正数,一个数的平方值一定是非负数.当底数互为相反数时,立方值是一对互为相反数的数,平方运算的底数互为相反数,但其平方值相等.
(3)如果把上述每小题的计算过程反过来,请你用含有另外的算式进行表达.
答:例如,如果一个数的三次方等于8,这个数是 .
如果一个数的三次方等于-8,这个数是 .
(4)参照平方根的定义,你能得出立方根的定义吗
答:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说,如果x3=a,那么x叫做a的立方根.
[设计意图] 前两个问题由学生交流讨论完成.第(3)个问题侧重逆向思考,通过求一个数立方的过程,反过来思考怎样求一个数是由什么数的立方得来的,这就为引入立方根的概念奠定了基础.第(4)问侧重类比平方根知识的学习,引导学生自我总结立方根的定义.
2.立方根的性质.
[过渡语] 求一个数的平方根的运算叫做开平方,那么什么叫做开立方呢
问题思考:
(1)什么叫做开立方
(2)开立方与立方的运算是怎样的关系
(3)开立方的数学符号表达是怎样的
(4)类比平方根的性质,请你总结下立方根的性质.
处理方式:学生交流讨论,老师概括总结.
问题提示:
(1)求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
(2)开立方与立方互为逆运算.
(3)一个数a的立方根表示为,读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根指数,要特别注意,这里的根指数3不能省略.
(4)正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.
(补充)求下列各数的立方根.
(1)125;(2)-0.064;(3)-5;(4).
〔解析〕 可利用开立方与立方互为逆运算来求出各数的立方根,注意应用立方根的性质=-.
解:(1)因为53=125,
所以125的立方根是5,即=5.
(2)因为(-0.4)3=-0.064,
所以-0.064的立方根是-0.4,
即=-0.4.
(3)因为-5=-,=-,
所以-5的立方根是-.
(4)因为=8,而23=8,
所以的立方根是2,即 =2.
[知识拓展] 立方根的两个重要性质.
(1)=-.例如:=-2,-=-2,所以=-.
(2)==a.例如:==64.
3.用计算器求立方根.
(1)用计算器求立方根的方法.
方法一:很多有理数的立方根是无限不循环小数,我们可用计算器求出它的近似值,如,按键顺序为:4=.
方法二:有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根,按键顺序为:先按2nd
F键,再按键,再输入被开方数,最后按=键.
用计算器求下列各数的立方根.(精确到0.01)
(1)1594.5;(2)0.001237;(3)-5.
解:(1)按键顺序为1594.5,
显示11.68265382,所以≈11.68.
(2)按键情况类似于(1),≈0.11.
(3)按键情况类似于(1), ≈-1.73.
(2)探究(教材51页).
问题提示:发现规律:被开立方数的小数点每向右(或向左)移动三位,开立方后的结果向相同的方向移动一位.
因为≈4.642,所以≈0.4642,≈0.04642,≈46.42.
[知识拓展] 用计算器求一个负数的立方根时,可先求它的绝对值的立方根,再在结果前加上负号.用计算器求一个数的立方根要注意先详细查看计算器功能键的设置,不同的计算器的按键方法不一样.
1.立方根等于本身的数有1,0,-1.
2.正数的立方根是正数;负数的立方根是负数;0的立方根是0.
3.若两个数互为相反数,则它们的立方根仍互为相反数,反之也成立.
4.=a,=a.
1.64的立方根是
( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
解析:一个实数的立方根有且只有一个,确定一个数的立方根一般可以利用立方运算来求解.因为43=64,所以64的立方根是4.故选A.
2.等于
( )
A.2
B.-2
C.2
D.-2
解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为只有(-2)3=-8,所以=-2.故选B.
3.下列说法正确的是
( )
A.一个数的立方根有两个,它们互为相反数
B.一个数的立方根与这个数同号
C.如果一个数有立方根,那么它一定有平方根
D.一个数的立方根是非负数
解析:利用立方根的定义判断即可得到结果.A.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误;B.一个数的立方根与这个数同号,正确;C.如果一个数有立方根,不一定有平方根,例如-1的立方根为-1,-1没有平方根,错误;D.一个数的立方根有一个,正数的立方根为正数,负数的立方根为负数,0的立方根为0,错误.故选B.
4.一个长方体的长为5
cm、宽为2
cm、高为3
cm,而一个正方体的体积是它的3倍.求这个正方体的棱长(结果精确到0.01
cm).
解:设这个正方体的棱长为x
cm.根据题意,得x3=3×5×2×3,即x3=90,两边开立方,得x=≈4.48.即这个正方体的棱长约为4.48
cm.
6.2 立方根
1.立方根的定义
2.立方根的性质
例1
3.用计算器求立方根
例2
一、教材作业
【必做题】
第51页练习第1,2题.
【选做题】
第51页练习第3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2014·潍坊中考)的立方根是
( )
A.-1
B.0
C.1
D.±1
2.下列说法中正确的是
( )
A.-4没有立方根
B.1的立方根是±1
C.的立方根是
D.-5的立方根是
3.-125的立方根与64的算术平方根的和等于 .
4.计算.
(1)-+;
(2)- +.
5.求下列各式中的x.
(1)8x3+125=0;
(2)(x+3)3+27=0.
【能力提升】
6.某数的立方根是它本身,这样的数有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.一个正方体的水晶砖,体积为100
cm3,它的棱长大约在
( )
A.4
cm~5
cm之间
B.5
cm~6
cm之间
C.6
cm~7
cm之间
D.7
cm~8
cm之间
8.下列各式正确的是
( )
A.±=±1
B.=±2
C.=-6
D.=3
9.若一个偶数的立方根比2大,算术平方根比4小,则这个数一定是 .
10.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢锭在炉中熔化后浇铸造成一个长方体钢锭,量得这个长方体钢锭的长、宽、高分别为160
cm,80
cm和40
cm,求原来立方体钢锭的边长.
【拓展探究】
11.(1)若与(b-27)2互为相反数,求-的立方根.
(2)已知a,b互为相反数,c,d互为倒数,x是4的算术平方根,求++x的值.
12.一个正方体的体积为64
cm3,它的边长是多少厘米 如果它的边长扩大到原来的2倍,它的体积是原正方体体积的多少倍 若正方体的体积改为原正方体体积的一半,它的边长是多少厘米(结果保留一位小数)
【答案与解析】
1.C(解析:如果一个数x的立方等于a,那么x是a的立方根,根据此定义求解即可.因为(-1)2=1,而1的立方根等于1,所以的立方根是1.故选C.)
2.D(解析:利用立方根的定义分别分析各选项.A.-4的立方根是,故此选项错误;B.1的立方根是1,故此选项错误;C.的立方根是 ,故此选项错误;D.-5的立方根是,故此选项正确.故选D.)
3.3(解析:因为-5的立方等于-125,所以-125的立方根等于-5,因为82=64,所以64的算术平方根等于8.所以-5+8=3,所以-125的立方根与64的算术平方根的和等于3.故填3.)
4.解:(1)原式=-9+8=-1. (2)原式=0.3--0.1=0.
5.解:(1)因为8x3+125=0,所以x3=-,所以x= ,所以x=-. (2)因为+27=0,所以=-27,所以x+3=,所以x+3=-3,所以x=-6.
6.C(解析:根据立方根的定义,可以先设出这个数,然后列等式进行求解.设这个数为a,则=a,所以a3=a,所以a=0或±1,故选C.)
7.A(解析:由题意得棱长是.因为<<,故选A.)
8.A(解析:±=±1,A正确;=2,B错误;==6,C错误;=-3,D错误,故本题应选A.)
9.10,12或14(解析:本题主要考查对平方根、立方根的概念以及其性质的理解,因为立方根大于2的数要大于8,而算术平方根小于4的数要小于16,所以这个偶数大于8而小于16,所以这个数一定是10,12或14.)
10.解:设立方体钢锭的边长为x
cm,由题意得27x3=40×80×160,即27x3=512000,x3=,所以x=
=.答:立方体钢锭的边长为
cm.
11.解:(1)由题意可知+(b-27)2=0,所以a=-8,b=27,所以-=-=-2-3=-5. (2)因为a,b互为相反数,所以a=-b,所以a3=-b3,即a3+b3=0.又因为c,d互为倒数,所以cd=1.因为x是4的算术平方根,所以x=2.所以++x=++2=3.
12.解:设正方体的边长是x
cm,根据题意得x3=64,x=4,即边长是4
cm.若边长扩大到原来的2倍,则体积为(2x)3=23×x3=8×64=512(cm3),是原来的8倍.若体积变为原边长的一半,则x3==32,解得x≈3.2.
在本课时的教学过程中,始终贯彻与平方根学习类比的思想,既做到了知识的复习,也将新旧知识融合在一起,提高了学生学习的兴趣,降低了学习的难度,帮助学生体验了正确的学习方法给学习带来的益处.
在类比用平方根知识探索立方根知识的过程中,对平方根知识的复习比较分散,对于平方根和立方根的区别强调较少,补充的两个例题难度略大.
在知识总结的环节中,通过列表的方法帮助学生整合平方根和立方根的知识;降低补充的习题难度,把巩固知识作为例题教学的重点目标,淡化知识的综合运用.在用计算器进行立方根探索的时候,鼓励学生创意性地使用计算器.
练习(教材第51页)
1.提示:(1)10 (2)-0.1 (3)-1 (4)-
2.提示:(1)12 (2)25 (3)±13
3.提示:3<<4.
4.提示:棱长为.
习题6.2(教材第51页)
1.提示:(1)正确 (2)不正确 (3)正确 (4)正确
2.提示:(1)(2)(3)(4)都有意义.原因略.
3.提示:(1)-0.3. (2)-. (3) = =. (4) = =-.
4.提示:(1)9.539 (2)0.753 (3)-0.684 (4)±13.392
5.提示:(1)x=0.2 (2)x=1.5 (3)x=5
6.解:一个正方体的体积扩大为原来的8倍,棱长变为原来的2倍;体积扩大为原来的27倍,棱长变为原来的3倍;体积扩大为原来的n倍,棱长变为原来的倍.
7.解:设底面直径为d分米,则有50=π·2d,解得d≈3.2.
8.提示:(1)<2.5. (2)<.
9.解:(1)=2,=-2,=-3,=4,=0.对于任意数a,=a. (2)()3=8,()3=-8,()3=27,()3=-27,()3=0.对于任意数a,()3=a.
10.提示:最终结果无限接近1.
类比思想在本课时的拓展
类比思想:类比思想是一种在两个或两类不同对象之间,或者在事物与事物之间,根据它们某些方面的相似之处进行比较,通过联想和预测,可推断出它们在其他方面也可能相似,从而去建立猜想和发现真理的方法.
例如,负数没有平方根,但负数有立方根.通过类比可猜想,负数没有4次方根,没有6次方根,即负数没有偶次方根.事实上,任何数的偶次方都不能为负数,所以负数一定没有偶次方根.负数的奇次方为负数,所以负数的奇次方根为负数.通过类比还可以猜出正数有两个偶次方根,它们互为相反数.因此,类比思想在数学的学习和研究中十分重要,我们要善于利用.
求下列各数的立方根.
(1)(-2)6;(2)a6;(3)-26;(4)9.
〔解析〕 求一个数的立方根,可以将这个数先化简,再求其立方根.
解法1:(1)(-2)6=64.
因为43=64,
所以(-2)6的立方根是4,即=4.
解法2:(1)因为(-2)6=,
所以(-2)6的立方根是(-2)2=4,即=4.
解:(2)因为a6=,
所以a6的立方根是a2,即=a2.
(3)-26=-.
因为=-22=-4,
所以-26的立方根是-4.
(4)9的立方根是.
[解题策略] 求一个数的立方根时,一定要先判断出原数的正、负,从而确定其立方根是什么数.
已知3(x-1)3=-375,求x.
〔解析〕 将此式子化作求一个数的立方根的形式,同时将(x-1)看作一个整体来解.
解:方程两边都除以3,得(x-1)3=-125.因为(-5)3=-125,所以x-1=-5,所以x=-4.
[解题策略] 在解这类方程时,要将(x-1)看作一个整体,而不要将其展开.
6.3 实 数
1.理解实数的概念和分类.
2.理解实数的相反数、绝对值以及与数轴的关系.
3.初步理解实数的运算法则.
借助于有理数知识的学习,尝试对实数进行分类,体验科学分类的标准.
增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.
【重点】
1.实数的概念分类.
2.通过类比理解实数的相反数和绝对值.
3.理解有理数的运算律继续适用于实数.
【难点】 无理数和数轴上的点一一对应.
第课时
1.理解无理数和实数的概念.
2.能够对实数按照一定标准进行分类.
在按不同标准给实数分类的过程中,培养学生的分类能力.
增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.
【重点】 正确理解实数的概念.
【难点】 实数的分类.
【教师准备】 实数的分类图示和教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片
【学生准备】 复习平方根、立方根的相关知识.
导入一:
复习有理数分类的知识:
(1)有理数是怎样的小数
(2)按照正负的标准怎么划分有理数
(3)有理数还可以怎样进行分类
[设计意图] 有理数的分类标准对于实数的分类有重要的借鉴意义,从小数的角度认识有理数,便于和无理数进行分类对比.
导入二:
我们知道,有理数包括整数和分数,其中整数可以看成是分母为1的分数,也就是说所有的分数都可以化成有限小数、循环小数的形式.除此之外,我们还知道有另外一种小数,这就是无限不循环小数.这样一种新的小数就呈现在我们面前,我们怎样称呼它们呢
[设计意图] 从小数的角度对比有限小数或无限循环小数与无限不循环小数之间的区别,为引入无理数的概念做准备.
[过渡语] (针对导入二),等能化成小数或无限循环小数吗 同学们可以通过回忆或者拿出计算器来尝试一下.
1.无理数.
探究使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现
3,-,,,,.
发现:上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即:
3=3.0,-=-0.6,=5.875,=0.,=0.1,=0..
归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
观察:很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数.
下列说法正确的是
( )
A.无限小数就是无理数
B.带根号的数都是无理数
C.不能除尽的分数都是无理数
D.无限不循环小数都是无理数
〔解析〕 本题主要考查无理数的概念.A不正确,如0.是无限小数,但0.是有理数;B不正确,如带根号,但它是有理数;C不正确,如除不尽,但是有理数.故选D.
[知识拓展] (1)有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括:①开方开不尽的数,例如,等;②含有π的数,例如π,,等;③有特殊特征或有一定规律的无限小数,例如:0.101001000100001000001……(每两个相邻的1中间依次多1个0)等;④无限不循环小数.
(2)无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数,无限循环小数是有理数.
2.实数及其分类.
思路一
出示问题:
(1)什么是实数
(2)有理数有哪两种分类方法
(3)参照有理数的分类方法,怎样对无理数进行分类
(4)你能综合一下有理数和无理数的分类吗
[设计意图] 第(1)问是让学生自我概括实数的定义;第(2)问是为学生进行实数分类做准备,为学生进行实数分类提供方法指导;第(3)(4)问是引导学生尝试不同方法对实数进行分类.
问题处理:
(1)找学生回答问题,并让学生举例说明.
(2)学生讨论后老师总结.有理数有两种分类方法,一是根据定义划分,即划分为有限小数和无限循环小数;二是根据正负划分为正有理数、0、负有理数.
(3)鼓励学生尝试对无理数进行分类,仍然提示学生从定义和正负的标准进行分类.从定义角度,无理数是无限不循环小数;从正负的角度分为正无理数和负无理数.学生在参照有理数对无理数分类的时候,容易错分为正无理数、负无理数和0,纠正学生这种错误的分类方法,并让学生对这个错误进行讨论.
(4)仍然是从学生对有理数和无理数的划分经验出发,鼓励学生按照定义和正负的标准对实数进行分类.
思路二
(1)实数的概念:有理数和无理数统称实数.
(2)实数的分类:
①按定义分:
实数
②按实数的符号性质分:
实数
追问:按照定义划分和按照符号性质划分,两种方式的优缺点是什么
[知识拓展] (1)一个数要么是有理数,要么是无理数,不存在交叉的情况.
(2)实数的分类标准不是唯一的,不论哪种分类方法,都要把实数作为一个整体,做到不重不漏.
把下列各数填入相应的集合内.
π,,5.2,,0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1),,,,-,,,.
整数集合;
负分数集合;
正数集合;
负数集合;
有理数集合;
无理数集合.
处理方式:学生交流讨论完成,老师提醒学生要注意避免遗漏的现象,并肯定学生给出的正确答案.
实数
1.下列实数中是无理数的为
( )
A.3.14
B.
C.
D.
解析:根据无理数的概念,无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数即可判定选择项.A,B,D中3.14,,=3是有理数,C中是无理数.故选C.
2.下列说法错误的是
( )
A.实数可以分为有理数和无理数
B.实数可以分为正实数、零、负实数
C.无理数都是无限不循环小数
D.无理数都是带根号的数
解析:根据无理数、实数的定义即可对各选项进行判定.A.实数可以分为有理数和无理数是正确的,不符合题意;B.实数可以分为正实数、零、负实数是正确的,不符合题意;C.是正确的,不符合题意;D.π是无理数,不带根号,故无理数都是带根号的数的说法错误,符合题意.故选D.
3.下列说法错误的是
( )
A.的平方根是±2
B.是无理数
C.是有理数
D.是分数
解析:A.的平方根是±2,故选项说法正确;B.是无理数,故选项说法正确;C.=-3是有理数,故选项说法正确;D.不是分数,它是无理数,故选项说法错误.故选D.
4.请在横线上任意写出一个无理数,使得下面的不等式成立:-3< <-2(只需写一个).
解析:答案不唯一,如因为4<5<9,所以2<<3,所以-3<-<-2.故可填-.
第1课时
1.无理数
例1
2.实数及其分类
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第57页习题6.3第1题.
【选做题】
教材第57页习题6.3第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列说法正确的是
( )
A.不存在最小的实数
B.有理数是有限小数
C.无限小数都是无理数
D.带根号的数都是无理数
2.在实数0,,-,0.74,π中,无理数有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.已知a为实数,则下列四个数中一定为非负实数的是
( )
A.a
B.-a
C.a2
D.-|-a|
4.已知数0.101001000100001…,它的特点是:从左向右看,相邻的两个1之间依次多一个0,这个数是有理数还是无理数 为什么
5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根及立方根中,哪些是有理数 哪些是无理数
【能力提升】
6.下列说法正确的是
( )
A.a一定是正数
B.是有理数
C.2是有理数
D.平方等于自身的数只有1
7.在-7.5,,4,,-π,0.,中,无理数有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.请你任意写出三个无理数: .
9.面积为的圆,它的半径长是有理数还是无理数 为什么
10.把下列各数分别填在相应的集合中.
-,,-,0,-,,,0.,3.14.
【拓展探究】
11.把下列各数写入相应的集合中.
-2,0,10%,π,-,,-,3.14,0.,0.1010010001,-,0.212112…(两个2之间依次增加一个1).
(1)整数集合:;
(2)有理数集合:;
(3)无理数集合:.
12.在旧房改造工程中,小明家分到一套新居室,他想用100块正方形地砖铺满30
m2的客厅.请你想一想正方形地砖的边长是否为有理数,请你与同伴交流,并估计正方形地砖的边长(精确到0.1
cm).
【答案与解析】
1.A(解析:根据实数中的有关概念可知:A.不存在最小的实数,故选项正确;B.有理数不仅包括有限小数,还有无限循环小数,故选项错误;C.无限不循环小数才是无理数,故选项错误;D.带根号且开方开不尽的数才是无理数,故选项错误.故选A.)
2.B(解析:无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有π,2π等、开方开不尽的数以及像0.1010010001…等有这样规律的数.由此即可判定选择项.在实数0,,-,0.74,π中无理数有,π,共2个.故选B.)
3.C
4.解:这个数是无理数,因为这个数是无限不循环小数,属于无理数.
5.解:平方根是无理数的有2,3,5,6,7,8,10,是有理数的有1,4,9.立方根是无理数的有2,3,4,5,6,7,9,10,是有理数的有1,8.
6.B(解析:A.a可以代表任何数,故A不一定是正数,故A错误;B.属于分数,分数是有理数,故B正确;C.是无理数,故2也是无理数,故C错误;D.0的平方也等于自身,故D错误.故选B.)
7.B(解析:无理数就是无限不循环小数.可以判定无理数有,-π,共2个,故选B.)
8.答案不唯一,如,,π等
9.解:无理数.理由如下:由题意得πr2=,解得r2=.因为r大于0,所以r=,故面积为的圆半径长是无理数.
10.解:有理数集合:-,-,0,,0.,3.14;无理数集合:,-,.
11.(1)-2,0, (2)-2,0,,10%,-,3.14,0.,0.1010010001 (3)π,-,-,0.212112(两个2之间依次增加一个1)
12.解:设地砖边长为a
cm,30
m2=300000
cm2,100a2=300000,所以a2=3000,因为542=2916,552=3025,分数的平方是分数,所以a不是有理数,a≈54.8.
本课时的学习理念是通过类比有理数学习进行的,在给出无理数的定义和对实数进行分类的过程中都注意了方法的类比,降低了学习的难度,提升了学生的学习兴趣,深化了学生对类比思想的认识.
受知识内容的影响,本课时的教学过渡环节略有欠缺,存在突然提出问题和交代知识的现象.例题设置的容量比较大,容易淡化学生学习的重点.
加强导入环节的设计,使整个课堂活动融为一体;缩减两个例题的容量,突出重点知识的巩固和训练;在实数分类的过程中,对分类的方法和注意给予必要的提示.
把下列各数分别填入相应的集合内.
,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),,-,-|-3|,,,-,0., .
(1)有理数集合:;
(2)无理数集合:;
(3)正实数集合:;
(4)负实数集合:.
〔解析〕 本题考查实数的概念.由定义先找出无理数,填入无理数集合,其余是有理数,再按正、负分类,填入相应的集合,注意0既不是正数,也不是负数.
解:(1)有理数集合:,,-|-3|,-,0.,….
(2)无理数集合:π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),-,,, ,….
(3)正实数集合:,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),,,0., ….
(4)负实数集合:-,-|-3|,,-,….
第课时
1.知道实数与数轴上的点一一对应.
2.学会比较两个实数的大小.
3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义.
了解实数的绝对值、相反数等概念.知道实数和数轴上的点一一对应,进一步掌握数形结合的思想方法.
体会数形结合思想,进一步增强学生应用数学的意识.
【重点】
1.实数与数轴上点的一一对应关系.
2.实数的相反数与绝对值的意义.
【难点】 实数与数轴上点的一一对应关系.
【教师准备】 教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片.
【学生准备】 复习数轴、相反数、绝对值的概念.
导入一:
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢 无理数可以用数轴上的点来表示吗
[设计意图] 通过设问开门见山地直接进入课时学习,便于迅速集中学生的注意力.
导入二:
以前我们学习有理数时,知道所有的有理数都可以在数轴上找到表示它的点,但数轴上的点并不都表示有理数.
如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少
[设计意图] 通过数形结合的演示,帮助学生感知数轴上的点存在着与实数的对应关系.
[过渡语] (针对导入二)数轴上的O'对应的数是多少 我们一起来探究一下.
1.实数与数轴.
(1)感知数轴表示无理数.
师:刚才的圆从数轴原点滚动一周到达点O',滚动的距离是多少呢
生:3.14(部分同学会说到π).
师:非常准确地说,这个距离是3.14吗
生:应该是π.
师:既然原点到点O'的距离是π,那么在数轴上点O'表示的数是什么,这个数是有理数还是无理数
生:表示π,是无理数.
师:刚才的问题说明,数轴上的点可以表示π这个有理数,那么数轴上的点还能表示其他的无理数吗
生:(不同说法)
师:我们还是按照刚才的办法,借助图形说话吧.
(2)数轴与实数一一对应.
如图所示,正方形OCAD是边长为1个单位长度的正方形,等我们学习了勾股定理后,会知道它的对角线OA长为,以O为圆心,OA长为半径画弧交数轴于A',A″,则A'表示的数即为,A″表示的数即为-.
总结:数轴上还有许许多多这样表示无理数的点,所以数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,因此可以说数轴上任何一点所表示的数都是一个实数;反过来,任何一个实数在数轴上都能找到表示它的点.所以说实数和数轴上的点一一对应.
下列说法中正确的有
( )
①每个实数都可以用数轴上的一个点来表示;
②在数轴上表示不相等的两个实数的点也不相同;
③数轴上的每个点都表示一个有理数;
④数轴上的每个点都表示一个实数,且不同的点所表示的实数也不相等;
⑤有理数与数轴上的点一一对应;
⑥每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
〔解析〕 数轴上的每个点均与一个实数相对应,故①②④⑥均正确.有理数均可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点除了表示有理数外,还表示无理数,故③⑤是错的.故选C.
2.实数的大小和有关概念.
问题:
(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小 这种比较方法对实数也适用吗
总结:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.
(2)怎样表示一个实数的相反数和绝对值
总结:数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
即设a表示一个实数,则有|a|=
(3)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢
两个正实数,绝对值较大的值也较大;两个负实数,绝对值大的值反而小;正数大于零,负数小于零,正数大于负数.
(教材例1)(1)分别写出-,π-3.14的相反数;
(2)指出-,1-分别是什么数的相反数;
(3)求的绝对值;
(4)已知一个数的绝对值的,求这个数.
〔解析〕 数a的相反数是-a,也就是说两个数是相反数是互相的.绝对值要注意实数的非负性,对于含义字母的绝对值必须进行说明或讨论.一个数和它的相反数的绝对值是相等的.
解:(1)因为-(-)=,
-(π-3.14)=3.14-π,
所以-,π-3.14的相反数分别是,3.14-π.
(2)因为-=,-=-1,
所以-,1-分别是,-1的相反数.
(3)因为=-=-4,
所以||=|-4|=4.
(4)因为||=,|-|=,
所以绝对值为的数为和-.
[知识拓展] 对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较.
1.实数和数轴上的点是一一对应的.
2.有理数大小比较的方法同样适用于实数.
3.数a的相反数是-a;|a|=
1.和数轴上的点一一对应的数是
( )
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
解析:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.故选D.
2.-的相反数是
( )
A.
B.-
C.-
D.
解析:实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同,在一个数前面加上“-”,就是该数的相反数,由此即可求解.根据相反数的定义得-的相反数是-(-)=.故选A.
3.-2的相反数是 ,-2的绝对值是 .
解析:-2的相反数是-(-2),即2-.-2的绝对值是|-2|=2-.
答案:2- 2-
4.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
(1); (2)
.
解:(1)的相反数是-,倒数是,绝对值是.
(2) =-,所以
的相反数是,倒数是-,绝对值是.
第2课时
1.实数与数轴
例1
2.实数的大小和有关概念
比较大小
相反数
绝对值
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第57页习题6.3第3题.
【选做题】
教材第57页习题6.3第6题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列语句不正确的是
( )
A.有理数可以用数轴上的点表示
B.数轴上的点表示有理数
C.无理数可以用数轴上的点表示
D.实数与数轴上的点是一一对应
2.下列命题中,正确的是
( )
A.相反数等于本身的数只有0,1
B.倒数等于本身的数只有1
C.平方等于本身的数有+1,0,-1
D.绝对值等于本身的数只有0和正数
3.在数轴上表示-的点到原点的距离为 .
4.如图,A是硬币圆周上一点.假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则点A'对应的实数是 .
5.写出下列各数的相反数和绝对值.
(1)-1.41; (2)2-.
【能力提升】
6.下列各组数中互为相反数的是
( )
A.-2和
B.-2和
C.-2和-
D.|-|和
7.如图,数轴上的点P表示的数可能是
( )
A.
B.-
C.-3.8
D.-
8.如图,“以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以数轴的原点O为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”,该图说明数轴上的点并不都表示 .
9.已知数轴上两点A,B到原点的距离是和2,求线段AB的长度.
【拓展探究】
10.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简|a|-|a+b|的结果为
( )
A.2a+b
B.-2a+b
C.b
D.2a-b
11.已知x,y互为倒数,c,d互为相反数,a的绝对值为3,z的算术平方根是5,求(c+d)(c-d)+xy+的值.
【答案与解析】
1.B(解析:根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解.A.有理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;B.数轴上的点既可以表示有理数,也可以表示无理数,故本选项错误;C.无理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;D.实数与数轴上的点是一一对应的,故本选项正确.故选B.)
2.D(解析:根据倒数、相反数、平方以及绝对值的意义判断即可得到结果.A.相反数等于本身的数只有0,本选项错误;B.倒数等于本身的数有1和-1,本选项错误;C.平方等于本身的数有0,1,本选项错误;D.绝对值等于本身的数有0和正数,本选项正确,故选D.)
3.(解析:由于数轴上的点到原点的单位长度数即为它到原点的距离,由此即可解决问题.因为表示-的点距离原点有个单位长度,所以它到原点的距离为.)
4.π+1(解析:将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则转过的距离是圆的周长π,因而点A'对应的实数是π+1.)
5.解:(1)-1.41的相反数为-(-1.41)=-+1.41,绝对值为|-1.41|=-1.41. (2)2-的相反数为-(2-)=-2+,绝对值为|2-|=-(2-)=-2+.
6.A(解析:根据算术平方根、立方根的性质、绝对值的规律分别化简即可作出判断.A.-2和互为相反数,本选项正确.故本题应选A.)
7.B(解析:A,B,C,D根据数轴所表示的数在-2和-3之间,然后结合选项分析即可求解.A.为正数,不符合题意,故选项错误;B.因为-<-<-,所以-符合题意,故选项正确;C.-3.8在-3的左边,不符合题意,故选项错误;D.-<-,那么-在-3的左边,不符合题意,故选项错误.故选B.)
8.有理数(解析:因为四边形OBCD是边长为1的正方形,所以OC=,所以OA=OC=,因为是无理数,所以该图说明数轴上的点并不都表示有理数.)
9.解:因为到原点的距离实际表示这个数的绝对值,而A,B到原点的距离是和2,所以点A表示的数为或-,点B表示的数为2或-2.那么AB=2-或AB=2-(-)=2+或AB=-(-2)=2+或AB=--(-2)=2-.综上可知线段AB的长度为2+或2-.
10.C(解析:由题设可知a<0,a+b<0,|a|-|a+b|=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b,故应选C.)
11.解:因为x,y互为倒数,所以xy=1,因为c,d互为相反数,所以c+d=0,因为a的绝对值为3,所以a=±3,因为z的算术平方根是5,所以z=25.当a=3时,(c+d)(c-d)+xy+=0+1+=;当a=-3时,(c+d)(c-d)+xy+=0+1-=-.
体现数形结合思想和类比思想是本课时自始至终贯彻的一个教学理念.在数轴上的点可以表示有理数的问题中,突出的是数形结合思想;在比较实数大小、相反数、绝对值问题上,体现的是类比思想.这两种教学思想的贯彻,使本课时的教学有了准确的定位和方向.
处理无理数可以在数轴上表示的问题中,教师的演示和讲解略多,没有给学生更多的动手操作的时间.教材例1可以让学生自己尝试独立去完成,不必老师详细地讲解.
在教材“探究”问题的教学中,可以让学生深入思考怎样在数轴上表示含有π的无理数,这样更能加深学生对无理数可以在数轴上表示的认识.处理在数轴上表示的时候,可以让学生进一步思考如何表示其他的带有根号的无理数,这样更能深化学生对数轴可以表示所有无理数的认识.
1.实数的有关性质.
(1)a与b互为相反数 a+b=0.
(2)a与b互为倒数 ab=1.
(3)|a|≥0.
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等,如||=|-|.
(5)正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
(6)非负数有平方根.
(7)任意实数都有一个立方根.
2.实数中的非负数的四种形式及性质.
(1)形式:①|a|≥0;②a2≥0;③≥0(a≥0);④中a≥0.
(2)性质:①非负数有最小值,为零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③若几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.
比较下列各对实数的大小.
(1)-和-3.1;
(2)π和3.14;
(3)0.16和;
(4)-5和;
(5)和.
〔解析〕 本题考查实数大小的比较.按照实数大小的比较法则进行比较,同时个别题也需要一些技巧.
解:(1)因为3.12=9.61<10,
所以|-|>|-3.1|,所以-<-3.1.
(2)因为π≈3.142,所以π>3.14.
(3)因为=0.4,0.4>0.16,
所以>0.16.
(4)因为==5,5>-5,
所以>-5.
(5)因为()6=8,=9,8<9,
所以<.
第课时
了解有理数的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行简单的实数运算.
在实数运算时,根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.
在知识的学习过程中,感受事物之间的相互联系.
【重点】 实数的运算法则.
【难点】 实数的混合运算.
导入一:
讨论下列各式错在哪里.
1.-32×3÷=9×3÷3=9.
2.=1-.
3.|-|=-.
4.当x=±时,=0.
[设计意图] 通过寻找算式的错误,感受实数的运算法则和性质与有理数的运算法则和性质的一致性.
导入二:
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等还同样适用吗
[设计意图] 根据学生以往的学习经验直接提出问题,帮助学生迅速建立起知识之间的联系.
[过渡语] 有理数有哪些运算法则和运算性质呢 大家一起整理一下吧.
1.实数运算律.
教师出示运算律名称,让学生用字母表示.
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)乘法交换律:ab=ba.
(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).
(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
问题:
(1)写出的字母如果代表实数,运算律还成立吗
(2)分别举例说明你对运算律的理解.
(3)分母不为0的条件仍适用实数吗
问题提示:(1)仍然成立;(2)在这里学生所列举的事例要做出限制,要求学生利用无理数进行举例,这样才能加深对实数运算律的理解;(3)分母不为0的条件仍适用于实数.
2.例题讲解.
(教材例2)计算下列各式的值.
(1)(+)-;
(2)3+2.
解:(1)(+)-
=+(-)(加法结合律)
=+0
=.
(2)3+2
=(3+2)(分配律)
=5.
(教材例3)计算(结果保留小数点后两位).
(1)+π;
(2)·.
解:(1)+π≈2.236+3.142≈5.38.
(2)·≈1.732×1.414≈2.45.
总结:在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
[知识拓展] (1)在实数范围内,开平方运算不能无条件进行,只有正数和0可以开平方,负数不能开平方.
(2)在学习实数的运算法则及运算律时,采用了类比思想,类比有理数的运算法则及运算律来学习掌握.
实数的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)乘法交换律:ab=ba.
(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).
(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
1.估计+1的值是
( )
A.在2和3之间
B.在3和4之间
C.在4和5之间
D.在5和6之间
解析:应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.因为32=9,42=16,所以3<<4,所以+1在4到5之间.故选C.
2.若x,y为实数,且|x+2|+=0,则的值为
( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析:因为|x+2|+=0,所以x=-2,y=2,所以=(-1)2015=-1.故选B.
3.如图是一个简单的数值运算程序,若输入x的值为,则输出的数值是 .
输入x取平方根输出
解析:=4,依题意得到程序为:±=±=±2.故填±2.
4.计算.
(1)|-π|-|-|.
(2)+×-.
解:(1)原式=π--(-)
=π--+=π-2+.
(2)原式=-3+1+2=0.
第3课时
1.实数运算律
2.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第56页练习第1,2题.
【选做题】
教材第56页练习第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各式中正确的是
( )
A.=-3
B.-=-3
C.=±3
D.=±3
2.计算-的结果是
( )
A.3
B.7
C.-3
D.-7
3.如果=3,那么(a+3)2的值为 .
4.形如的式子叫做二阶行列式,它的运算法则用公式表示为=ad-bc,依此法则计算的结果.(保留3个有效数字)
5.比较下列各组数的大小.
(1)和;
(2)-和-.
【能力提升】
6.下列计算正确的是
( )
A.=±4
B.3-2=1
C.=2
D.×=2
7.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算如下:a
b=(a+b>0).如:3
2==,那么6
(5
4)= .
8.点A为数轴上表示-的动点,当A点沿数轴向右移动3个单位长度到点B时,那么点B所表示的实数为 .
9.计算:+(-1)2014-|1-|= .
10.计算下列各式的值.
(1)2(+)-3(-2);
(2)|1-|+|-|+|2-|;
(3)2×[9+2(-2)](精确到0.01).
【拓展探究】
11.用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1,,,…,,.如果从中选出若干个数,使它们的和大于3,那么至少需要选 个数.
12.如图所示,将一块面积为30
m2的正方形铁皮的四个角各截去一个面积为2
m2的小正方形,剩下的部分刚好能围成一个无盖的长方体运输箱,求此运输箱底面的边长.(精确到0.1
m)
【答案与解析】
1.B(解析:算术平方根的定义:一个非负数的正的平方根,即为这个数的算术平方根,由此即可求出结果.故选B.)
2.A(解析:-=5-2=3.故选A.)
3.81(解析:因为=3,所以a+3=9,所以(a+3)2=81.)
4.解:由题意得=2×-2≈1.46.
5.解:(1)因为≈2.33,≈2.65,所以<. (2)因为≈2.83,≈3.27,所以<,那么->-.
6.D(解析:=4,A错误;3-2=,B错误;=-2,C错误; ×= ==2,D正确,故本题应选D.)
7.1(解析:本题需先根据已知条件求出5
4的值,再求出6
(5
4)的值.5
4==3,6
(5
4)=6
3==1.故答案为1.)
8.2(解析:点B所表示的实数为-+3=2.)
9.+2(解析:+(-1)2014-|1-|=2+1-+1=+2.)
10.解:(1)2(+)-3(-2)=2+2-3+6=-+8. (2)原式=-1+-+2-=1. (3)2×[9+2(-2)]=2×(9+2-4)=2×(5+2)=10+4.
11.5(解析:≈≈0.7072,≈≈0.5774,=,≈≈0.4472,1+++≈1+0.7072+0.5774+=2.7846<3,1++++≈1+0.7072+0.5774++0.4472=3.2318>3,故使它们的和大于3,那么至少要选5个数.)
12.解:大正方形的边长为
m,小正方形的边长为
m,所以运输箱底面的边长为-2×≈2.6(m).答:运输箱底面的边长约为2.6
m.
本课时继续运用类比的思想进行学习,通过对有理数运算法则的回忆,帮助学生把有理数的运算法则“升级”到实数的高度.从数学计算的实际需要的角度,引入了取近似值进行计算的思想方法.
本课时的类比学习只侧重强调了运算律的类比,忽略了乘法公式、合并同类项等相关知识的提示.
给出一定的计算问题,让学生自己去发现总结实数的运算律,这样更能加深学生对实数运算律的理解,也有利于今后根式计算等相关问题的学习.
练习(教材第56页)
1.解:→B,-1.5→A,→C,π→E,3→D.
2.解:相反数依次为:-2.5,,,2-,0.绝对值依次为:2.5,,,2-,0.
3.解:(1)x=±. (2)x=0. (3)x=±. (4)x=±π.
4.提示:(1)- (2)+
习题6.3(教材第57页)
1.提示:(1)不正确 (2)正确 (3)不正确 (4)不正确 (5)正确
2.解:有理数集合中有:,3.14159265,-8,0.6,0,.无理数集合中有:,,.
3.解:||=|-2|=2,||=,=,|-1.7|=-1.7,|1.4-|=-1.4.
4.提示:(1)0.65 (2)-2.74
5.提示:(1)5 (2)0
6.提示:(1)π<3.146 (2)>1.732 (3)-3< (4)>
7.解:(1)有最小的正整数,没有最小的整数. (2)没有最小的有理数,没有最小的无理数. (3)没有最小的正实数,没有最小的实数.
8.解:t=2π =2π ≈1.4(s).
9.解:无理数,它是一个无限不循环小数.
复习题6(教材第61页)
1.解:(1)=8,±=±8. (2)=0.5,±=±0.5. (3) =,± =±. (4)=53,±=±53. (5) =,± =±. (6)=102,±=±102.
2.解:(1) =-. (2) =-0.2. (3) =. (4) =9.
3.解:(1)-=-. (2)=-1. (3)=0.4. (4)=0.3.
4.解:(1)在5和6两数之间. (2)在6和7两数之间. (3)在4和5两数之间.
5.提示:(1)-9.711. (2)0.755. (3)235.000. (4)324.000.
6.提示:有理数:±,±,±,±,,,.无理数:±,±,±,±,±,±,±,,,,,,,,.
7.提示:(1)<1. (2)1.414< (3)<0.66667
8.提示:(1)2+2 (2)4
9.解:因为(x-1)2=4,所以x-1=±2,所以x=3或x=-1.
10.提示:x=±6,±5,±4,±3,±2,±1,0.在数轴上表示略.
11.解:s1=≈5.03(km),s2=≈24.31(km).
12.提示:正方形周长大.
13.提示:R= ≈4.92(分米).
14.(1)0或1 0 0或1 (2)0或±1 0或±1.
计算下列各式的值.
(1)3(+)+3(-2);
(2)|-|+3.
〔解析〕 本题考查实数的运算.(1)利用去括号
法则去掉括号为3+3+3-6,再将3与3,3与-6分别合并为6,-3.(2)-的绝对值为-,再将-与3合并.
解:(1)3(+)+3(-2)=3+3+3-6=6-3.
(2)|-|+3=-+3=+2.
1.了解开方与乘方互为逆运算,算数平方根、平方根、立方根、无理数和实数的概念,知道实数和数轴上点一一对应.
2.会用根号表示数的平方根、立方根,会用平方运算求某些非负数的平方根,用立方运算求某些数的立方根,能用计算器计算平方根、立方根和进行简单的探索.能用有理数估算一个无理数的大致范围,能进行简单的实数四则运算.
通过专题复习和单元评价帮助学生巩固基础知识,形成系统的知识体系,提高运算能力和解决问题的能力.
养成良好的学习习惯,增强学生的学习能力,培养学生缜密思考、细心探索的科学精神.
【重点】 算数平方根、平方根、立方根、无理数、实数的概念及其相关运算.
【难点】
1.平方根和立方根的概念.
2.实数的简单四则运算.
专题一 平方根、立方根的概念
【专题分析】
平方根、立方根的概念是把有理数学习拓展到实数学习的开始,平方根和立方根的知识在实数中占有非常重要的地位.中考试题中单独命题的情况较少,多与勾股定理、一元二次方程等知识结合考查.解答此类问题主要注意以下几点:一是开平方和开立方的区别;二是熟悉计算器的使用;三是看题目的要求,弄清被开方数.
求下列各数的平方根.
(1); (2)6; (3)(-10)2.
〔解析〕 运用开平方与平方是互逆运算来求各数的平方根.
解:(1)因为=,
所以的平方根是±.
(2)因为6=,=,
所以6的平方根是±.
(3)因为(-10)2=100,102=100,
所以(-10)2的平方根是±10.
【针对训练1】 (1)求下列各式的值.
①;②- ;③± .
(2)求下列各式的值.
①-;②;③;④.
〔解析〕 第(1)题,是求算数平方根;-
是求负的平方根;±
是求平方根.第(2)题都是对一个数开立方.
解:(1)①20.
②-.
③±.
(2)①-.
②.
③-.
④6.
要到玻璃店配一块面积为1.21
m2的正方形玻璃,那么该玻璃的边长为 m.
〔解析〕 正方形的边长是其面积的算术平方根,故该玻璃的边长为=1.1(m).故填1.1.
[易错提示] 用开平方或开立方解决实际问题,要注意计算结果的实际意义.
【针对训练2】 已知b=a3+2c,其中b的算术平方根为19,c的平方根是±3,求a的值.
〔解析〕 因为b的算术平方根是19,所以b=192=361.因为c的平方根是±3,所以c=(±3)2=9.代入已知条件即可求出a的值.
解:因为b的算术平方根是19,
所以b=192=361.
因为c的平方根是±3,所以c=(±3)2=9.
所以a3=b-2c=361-18=343,a=7.
用计算器求21.52的平方根(精确到0.001).
〔解析〕 先用计算器求21.52的算术平方根,再写出其平方根.
解:±≈±4.639.
[归纳总结] 本题易错写成21.52的平方根为4.639或错写成≈±4.639.解题的关键是正确使用计算器.
【针对训练3】 用计算器计算 的值.(精确到0.001)
〔解析〕 本题考查用计算器求数的立方根,解题方法按求立方根的程序进行.本题的易错点是输入被开方数时错误地输入334÷17×3.
解: ≈1.871.
[归纳总结] 用计算器求数的立方根的程序(计算器不同,按键顺序也会不同):①按第二功能键2nd
F;②按方根运算键;③输入被开方数;④按=.
专题二 实数的有关概念及计算
【专题分析】
这部分内容一直以来都是中考的热点,也是必考内容,主要考查对实数的有关概念的理解及运用,例如:正确区分有理数和无理数,实数的相反数、绝对值、倒数等性质,与数轴的对应关系及简单的计算等,多以选择题和填空题的形式出现.
在-7.5,,4,,-π,0.,中,无理数的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
〔解析〕 无限不循环小数是无理数,对照无理数的这一定义即可求解.在-7.5,,4,,-π,0.,中,,-π都是无限不循环小数,所以共有两个无理数.故选B.
【针对训练4】 下列实数,,,()0,3.14159,-,(-)2,中无理数的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
〔解析〕 对实数进行分类不能只看表面形式,应先化简,再根据结果去判断.故选C.
计算-+= .
〔解析〕 这是一道实数的加减运算题,可利用分数的基本性质通分后进行加减.-+==-.故填-.
[方法总结] 类比思想是根据两对象都具有一些相同或相似的属性,并且其中一个对象还具有另外某一属性,从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章中类比平方根的定义去理解立方根的定义,类比有理数的相反数、绝对值、比较大小、混合运算等学习实数的相反数、绝对值、比较大小、混合运算等.
【针对训练5】 已知≈0.8138,≈3.777,≈1.753,则≈ ,≈ .
〔解析〕 开立方运算时要注意小数点的变化规律,开立方是三位与一位的关系,开平方是二位与一位的关系.
〔答案〕 0.08138 37.77
比较3-1与1+2的大小.
〔解析〕 当a-b=0时,可知a=b;当a-b>0时,可知a>b,当a-b<0时,可知a解:因为(3-1)-(1+2)
=3-1-1-2
=-2<0,
所以3-1<1+2.
【针对训练6】 比较2和3的大小.
〔解析〕 当a>0,b>0时,a>b a2>b2.
解:因为(2)2=12,(3)2=18,12<18,
所以2<3.
[方法总结] 实数比较大小的原则是:一般地,数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大,即正数大于0,0大于一切负数;两个负数比较大小,绝对值大的反而小.常用到的比较方法有:直接比较法、作差法、作商法、平方法、取近似值法.
专题三 数形结合思想
【专题分析】
实数在数轴上的表示是数形结合思想的具体表现,通过把实数在数轴上直观地表示出来,可以形象、直观地感受实数的客观存在,为理解实数的概念及其相关性质提供了有利的帮助.本专题的数形结合思想主要体现在实数和数轴上的点一一对应.通常借助于数轴比较实数大小、实数化简、直角坐标系内的相关计算等.涉及本单元的中考题型主要以选择、填空为主,或者渗透到其他知识中进行考查.
实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+b|+.
〔解析〕 要化简|a+b|+,就得化去绝对值和根号,此时只要分别判断a+b和b-a的符号即可.
解:(共15张PPT)
七年级数学·下
新课标[人]
第六章 实 数
学习新知
检测反馈
6.3 实数(第2课时)
想一想
我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢 无理数可以用数轴上的点来表示吗
学
习
新
知
探究:
如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O
',点O
'对应的数是多少？
既然原点到点O'的距离是π,那么在数轴上点O'表示的数是什么,这个数是有理数还是无理数
如图所示,正方形OCAD是边长为1个单位长度的正方形,等我们学习了勾股定理后,会知道它的对角线OA长为
,以O为圆心,OA长为半径画弧交数轴于A',A″,则A'表示的数即为
,A″表示的数即为-
.
总结:数轴上还有许许多多这样表示无理数的点,所以数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,因此可以说数轴上任何一点所表示的数都是一个实数;反过来,任何一个实数在数轴上都能找到表示它的点.所以说实数和数轴上的点一一对应.
例：下列说法中正确的有
( )
①每个实数都可以用数轴上的一个点来表示;
②在数轴上表示不相等的两个实数的点也不相同;
③数轴上的每个点都表示一个有理数;
④数轴上的每个点都表示一个实数,且不同的点所表
示的实数也不相等;
⑤有理数与数轴上的点一一对应;
⑥每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
C
解析:
数轴上的每个点均与一个实数相对应,故①②④⑥均正确.有理数均可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点除了表示有理数外,还表示无理数,故③⑤是错的.故选C.
想一想
(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小 这种比较方法对实数也适用吗
总结:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.
这个结论在实数范围内也成立.
(2)怎样表示一个实数的相反数和绝对值
总结:数a的相反数是-a,这里a表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
设a表示一个实数,则有|a|=
a，当a
﹥0时；
0，当a=0时；
-a，当a
﹤0时.
(3)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢
两个正实数,绝对值较大的值也较大;
两个负实数,绝对值大的值反而小;
正数大于零,负数小于零,正数大于负数.
(2)指出
别是什么数的相反数;
例：(教材例1)(1)分别写出-
,π-3.14的相反数;
解:(1)因为
，
-(π-3.14)=3.14-π,
所以
分别是
解析:
数a的相反数是-a,也就是说两个数是相反数是互相的.绝对值要注意实数的非负性,对于含义字母的绝对值必须进行说明或讨论.一个数和它的相反数的绝对值是相等的.
解:(2)因为
所以
分别是
的相反数.
(4)已知一个数的绝对值的
,求这个数.
(3)求
的绝对值.
解:(3)因为
所以
解:(4)因为
对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:
①比较平方的大小;
②比较被开方数的大小;
③直接用计算器估计数的大小,进行比较.
1.实数和数轴上的点是一一对应的.
2.有理数大小比较的方法同样适用于实数.
3.设a表示一个实数,则有|a|=
a，当a
﹥0时；
0，当a=0时；
-a，当a
﹤0时.
1.和数轴上的点一一对应的数是
( )
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
检测反馈
解析:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.故选D.
D
2.-
的相反数是(
)
A.
B.-
C.-
D.
解析:实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同,在一个数前面加上“-”,就是该数的相反数,由此即可求解.根据相反数的定义得-
的相反数
是
.故选A.
A
3.
-2的相反数是 ,
-2的绝对值是 .
解析:
.
4.求下列各数的相反数、倒数和绝对值.
