第1章直角三角形 单元测试

湘教版八年级下第1章直角三角形测试
姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是（　　）
A．35° B．55° C．60° D．70°
2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．直角三角形中，两直角边分别是12和5，则斜边上的中线长是（　　）
A．34 B．26 C．8.5 D．6.5
4．如图，P是等腰直角△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置，则∠APP′的度数为（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条直角边对应相等
6．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（　　）
A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOB
C．∠AOB=2∠AOC D．∠BOC=∠AOB
7．下列说法不正确的是（　　）
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一高线在三角形的内部
8．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点
C．OA与CD的中垂线的交点 D．CD与∠AOB的平分线的交点
9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
10．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为（　　）
A．BD=CD B．BD=2CD C．BD=3CD D．BD=4CD
11．如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB=AC；
（3）∠B=∠C；（4）AD是△ABC的角平分线．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）
A． B．2 C．3 D．2
　
二．填空题（共6小题）
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AC=6cm，BC=8cm，则CD的长为　　cm．
14．若直角三角形的一个锐角为50°，则另一个锐角的度数是　　度．
15．如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC=BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　　．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若BD=10cm，BC=8cm，则点D到直线AB的距离是　　cm．
17．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“　　”．
18．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是36cm2，AB=BC=18cm，则DE=　　cm．
　
三．解答题（共8小题）
19．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
20．如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．
求证：MN⊥EF．
21．如图，已知AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF．
22．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
23．如图，已知△ABC．
（1）作∠B的平分线．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠C=90°，∠B=60°，BC=4，∠B的平分线交AC于点D，请求出线段BD的长．
24．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC．
25．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC=BE；
（2）若∠AEC=66°，求∠BCE的度数．
26．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连接DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）．
　
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．分析： 根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．
解：∵CD⊥BD，∠C=55°，
∴∠CBD=90°﹣55°=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．
故选D．
　
2．分析： 根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
　
3．分析： 利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解：由勾股定理得，斜边==13，
所以，斜边上的中线长=×13=6.5．
故选D．
　
4．分析： 首先根据旋转可知∠1=∠2，AP=AP′，再求出∠PAP′=90°，可得到△APP′是等腰直角三角形，进而求出∠APP′的度数．
解：∵将△ABP绕点A按逆时针方向旋转到△ACP′的位置，
∴∠1=∠2，AP=AP′，
∵∠CAB=90°，
即：∠2+∠CAP=90°，
∴∠1+∠CAP=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴∠APP′=45°．
故选：B．
　
5．分析： 判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答．
解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；
而B构成了AAA，不能判定全等；
D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故选：D．
　
6．分析： 利用角平分的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．可知B不一定正确．
解：A、正确；
B、不一定正确；
C、正确；
D、正确；
故选B．
　
7．分析： 根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、三角形的中线在三角形的内部正确，故本选项错误；
B、三角形的角平分线在三角形的内部正确，故本选项错误；
C、只有锐角三角形的三条高在三角形的内部，故本选项正确；
D、三角形必有一高线在三角形的内部正确，故本选项错误．
故选C．
　
8．分析： 利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．
解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．
故选D．
　
9．分析： 在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，
由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，
则∠A′DB=55°﹣35°=20°．
故选：C．
　
10．分析： 根据AB=AC，判断出∠B=∠C=30°，从而求出∠BAC=120°，然后根据∠BAD=90°，求出∠1=30°，得到DC=AD，然后根据30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．
解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180﹣30°×2=120°，
又∵BAD=90°，
∴∠1=120°﹣90°=30°，
∴∠1=∠C=30°，
∴DC=AD，
∵在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=BD，
则CD=BD．
∴BD=2CD．
故选B．
　
11．分析： 先运用SAS证明△ABD≌△ACD，再得（1）△ABD≌△ACD正确；（2）AB=AC正确；（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD（4）AD是△ABC的角平分线．即可找到答案．
解：∵AD=AD、∠ADB=∠ADC、BD=CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB=AC正确；
（3）∠B=∠C正确；
∠BAD=∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选D．
　
12．分析： 首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．
解：过点P作PB⊥OM于B，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，
∴PB=PA=3，
∴PQ的最小值为3．
故选：C．
　
二．填空题（共6小题）
13．分析： 利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
解：有勾股定理得，AB===10cm，
∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=×10=5cm．
故答案为：5．
　
14．分析： 根据直角三角形两锐角互余解答．
解：∵一个锐角为50°，
∴另一个锐角的度数=90°﹣50°=40°．
故答案为：40°．
　
15．分析： 先求出∠ABC=∠DBE=90°，再根据直角三角形全等的判定定理推出即可．
解：AC=DE，
理由是：∵AB⊥DC，
∴∠ABC=∠DBE=90°，
在Rt△ABC和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DBE（HL）．
故答案为：AC=DE．
　
16．分析： 本题需先根据已知条件得出DC的长，再根据角平分线定理得点D到直线AB的距离等于DC的长度，即可求出答案．
解：
∵BD=10cm，BC=8cm，∠C=90°，
∴DC=6cm，
由角平分线定理得点D到直线AB的距离等于DC的长度，
故点D到直线AB的距离是6cm；
故答案为：6．
　
17．分析： 需证△BCD和△CBE是直角三角形，可证△BCD≌△CBE的依据是HL．
解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL．
　
18．分析： 过D作DF⊥BC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形的面积公式得出关于DE的方程，求出方程的解即可．

解：过D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF=DE，
∵△ABC的面积是36cm2，AB=BC=18cm，
∴×BC×DF+×AB×DE=36，
∴×18×DE+×18×DE=36，
∴DE=2，
故答案为：2．
　
三．解答题（共8小题）
19．分析： 由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
　
20．分析： 连接ME、MF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=ME=BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
证明：如图，连接MF、ME，
∵MF、ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，
∴MF=ME=BC，
在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，
∴MN⊥EF．
　
21．分析： 根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴D在线段EF的垂直平分线上，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∴A点在EF的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
　
22．分析： 根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理AAS判定△PMD≌△PND，最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．
证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共边），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．
　
23．分析： （1）根据题意画出图形，（2）由题意推出∠CBD=30°，根据∠C=90°，BC=4，即可推出BD的长度．
解：（1）
（2）∵∠C=90°，∠B=60°，BD是∠B的平分线，
∴∠CBD=30°，
∵BC=4，=tan∠DBC=tan30°，CD=，
∴BD=2CD=．
　
24．分析： （1）先利用斜边直角边定理证明△OEC和△OFB全等，根据全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，再根据等角对等边的性质即可得到AB=AC；
（2）过O作OE⊥AB，OF⊥AC，与（1）的证明思路基本相同．
证明：（1）在Rt△OEC和Rt△OFB中
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等），
∴AB=AC（等角对等边）；
（2）在Rt△OEC和Rt△OFB中，
∵，
∴Rt△OEC≌Rt△OFB（HL），
∴∠OBF=∠OCE，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠FBO+∠OBC=∠OCE+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．
　
25．分析： （1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=AB，即可得到DC=BE；
（2）由DE=DC得到∠DEC=∠BCE，由DE=BE得到∠B=∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，则∠B=2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，
∴DG是CE的垂直平分线，
∴DE=DC，
∵AD是高，CE是中线，
∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，
∴DE=BE=AB，
∴DC=BE；
（2）∵DE=DC，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE，
∵DE=BE，
∴∠B=∠EDB，
∴∠B=2∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=66°，则∠BCE=22°．
　
26．分析： （1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF．
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，
∴DF=BE，CF=BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴DE∥BC．
∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△GBF．
∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，
∴AD=GB，
∵AC=BC，
∴AC﹣AD=BC﹣GB，
∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF=GF．
∴DF=CF，DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF=BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴ED=HB，
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=4，
∵AD=1，
∴ED=BH=1，
∴AH=3，在Rt△HAD中由勾股定理，得
DH=，
∴DF=，
∴CF=
∴线段CF的长为．