2017年苏州市中考数学一轮复习第4讲《二次根式》讲学案

2017年中考数学一轮复习第4讲《二次根式》
【考点解析】
1.
二次根式的意义及性质
【例题】（2016·广西桂林）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【变式】
1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
　
A．x=
B．
x≠
C．x≥
D．
x≤
【答案】C.
【解析】由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥，故选C．
2.若x、y满足，则的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】∵，∴.∴.故选B.
2.
最简二次根式与同类二次根式
【例题】（2016·四川南充）下列计算正确的是（　　）
A．
=2
B．
=
C．
=x
D．
=x
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案．
【解答】A、=2，正确；
B、=，故此选项错误；
C、=﹣x，故此选项错误；
D、=|x|，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
【变式】下列各式与是同类二次根式的是（　　）
　
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】A、=2，故不与是同类二次根式，故错误；B、=2，故不与是同类二次根式，故错误；C、=5，故不与是同类二次根式，故错误；D、=2，故，与是同类二次根式，故正确；故选D．
3.
二次根式的运算
例.(2015·黑龙江哈尔滨）计算＝
【答案】
【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可.
【解析】原式=2－3×=2－=.
【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确把握运算法则是解题的关键。
【变式】化简：
。
【答案】2.
【解析】原式==4-2=2
【典例解析】
【例题1】（2016·湖北荆门）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x＞﹣1
C．x≥1
D．x≥﹣1
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出x﹣1≥0，求出答案．
【解答】解：要使式子有意义，
故x﹣1≥0，
解得：x≥1．
则x的取值范围是：x≥1．
故选：C．
【例题2】（2016·山东潍坊）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）
A．﹣2a+b
B．2a﹣b
C．﹣b
D．b
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
=﹣a﹣（a﹣b）
=﹣2a+b．
故选：A．
【例题3】（2016·内蒙古包头）计算：6﹣（+1）2=　﹣4　．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．
【解答】解：原式=6×﹣（3+2+1）
=2﹣4﹣2
=﹣4．
故答案为：﹣4．
【中考热点】
1.（2016·贵州安顺）在函数中，自变量x的取值范围是　x≤1且x≠﹣2　．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.（2014 福建厦门，第22题6分）先化简下式，再求值：（﹣x2+3﹣7x）+（5x﹣7+2x2），其中x=+1．
【分析】二次根式的化简求值；整式的加减．根据去括号、合并同类项，可化简代数式，根据代数式的求值，可得答案．
【解答】原式=x2﹣2x﹣4
=（x﹣1）2﹣5，
把x=+1代入原式，
=（+1﹣1）2﹣5
=﹣3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，先去括号、合并同类项，再求值．
3.（2016·广西桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海伦公式（其中a，b，c是三角形的三边长，，S为三角形的面积），并给出了证明
例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：
∵a=3，b=4，c=5
∴p==6
∴S===6
事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．
如图，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9
（1）用海伦公式求△ABC的面积；
（2）求△ABC的内切圆半径r．
【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用．
【分析】（1）先根据BC、AC、AB的长求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；
（2）根据公式S=r（AC+BC+AB），代入可得关于r的方程，解方程得r的值．
【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，
∴p===10，
∴S===10；
故△ABC的面积10；
（2）∵S=r（AC+BC+AB），
∴10=r（5+6+9），
解得：r=，
故△ABC的内切圆半径r=．