第2章四边形 单元测试卷

湘教版八年级下第2章四边形测试
姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
2．若一个多边形共有20条对角线，则它是（　　）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
3．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
4．下列图形中，能用一种图形镶嵌成平面图案的是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（　　）
A．150° B．130° C．120° D．100°
6．如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
7．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF
8．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是
（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
9．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
10．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当AC=BD时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AB=BC时，它是菱形
11．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，能判定这个四边形是正方形的是（　　）
A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AB∥CD，AC=BD
C．AO=BO，∠A=∠C D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
　
二．填空题（共8小题）
13．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为　　．
14．如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　　．
15．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=　　．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为　　．
17．如图，矩形ABCD对角线AC=10，BC=6，则图中四个小矩形的周长和为　　．
18．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　　．
19．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长　　．
20．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=　　．
　
三．解答题（共8小题）
21．在?ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．求证：△ABC≌△EAD．
22．如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
23．（1）已知实数a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
（2）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB′的长？
24．如图，将?ABCD的边BA延长到点E，使AE=AB，连接EC，交AD于点F，连接AC、ED．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若∠AFC=2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．
25．如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．
26．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．
27．感知：如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，将点E绕点C顺时针旋转90°到点F，易知△CEB≌△CFD．
探究：如图2，在图1中的基础上作∠ECF的角平分线CG，交AD于点G，连接EG，求证：EG=BE+GD．
应用：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E是AB上一点，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．
28．如图，在△ABC中，点O是边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△BCA的外角平分线于点F．
（1）探究OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请加以证明；若不是，则说明理由．
（3）当点O在AC运动到什么位置，四边形AECF是矩形，请说明理由；
（4）在（3）问的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．分析： 根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．
解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
　
2．分析： 根据多边形的对角线公式，列出方程求解即可．
解：设这个多边形是n边形，则
=20，
∴n2﹣3n﹣40=0，
（n﹣8）（n+5）=0，
解得n=8，n=﹣5（舍去）．
故选C．
　
3．分析： 延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
解：延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
故选A．
　
4．分析： 根据几何图形镶嵌成平面的条件：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得出答案．
解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴正六边形符合题意；
故选A．
　
5．分析： 由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，易证得∠AEB=∠ABE，又由∠BED=150°，即可求得∠A的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BED=150°，
∴∠ABE=∠AEB=30°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．
故选C．
　
6．分析： 先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC，再由三角形的中位线定理得出DE即可．
解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB=4，
又∵DE是中位线，
∴DE=BC=2．
故选D．
　
7．分析： 先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．
解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，
∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；
（B）∵∠ADF不一定等于30°，
∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；
（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，
由矩形ABCD，可得AB=CD，
∴AB=AF，故（C）正确；
（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，
由矩形ABCD，可得BC=AD，
又∵BE=BC﹣EC，
∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；
故选B．
　
8．分析： 由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．
解：可添加AC=BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，
故选：D．
9．分析： 由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．
解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；
∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．
故选D．
　
10．分析： 根据对角线相等的平行四边形是矩形可得A错误；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得B正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得C正确；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得D正确．
解：A、当AC=BD时，它是菱形，说法错误；
B、当AC⊥BD时，它是菱形，说法正确；
C、当∠ABC=90°时，它是矩形，说法正确；
D、当AB=BC时，它是菱形，说法正确，
故选：A．
　
11．分析： 根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．
解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，
∵BE：EC=2：1，BC=9，
∴CE=BC=3，
∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，
即（9﹣x）2=32+x2，
解得：x=4，
即CH=4．
故选（B）．
　
12．分析： 根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案．
解：A，能，因为对角线相等且互相垂直平分；
B，不能，只能判定为等腰梯形；
C，不能，不能判定为特殊的四边形；
D，不能，只能判定为菱形；
故选A．
　
二．填空题（共8小题）
13．分析： 利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
　
14．分析： 首先由在?ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．
故答案为：110°．
　
15．分析： 根据三角形的中位线定理得到DE=BC，即可得到答案．
解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE=BC=4．
故答案为：4．
　
16．分析： 由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，
∴菱形ABCD的面积为：AC?BD=30．
故答案为：30．
　
17．分析： 运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AB，下边之和等于CD，同理，它们的左边之和等于AD，右边之和等于BC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
解：由勾股定理，得AB===8，
将五个小矩形的所有上边平移至AB，所有下边平移至CD，所有左边平移至AD，所有右边平移至BC，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（6+8）=28．
故答案为：28．
　
18．分析： 过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，
∴F点到AC的距离为6﹣6．
故答案为：6﹣6．
　
19．分析： 利用中心对称图形关于A为对称中心，得出两图形全等，即可解决．
解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB′=2AC′=2．
故答案为：2．
　
20．分析： 由平行四边形的性质得AB=CD=DE+CE，则DE：AB=2：5，由CD∥AB得△DEF∽△ABF，根据面积比等于相似比的平方求S△DEF：S△ABF，△DEF与△BEF等高，其面积比为DF：FB，由此可求三个三角形的面积比．
解：∵在?ABCD中，AB=CD=DE+CE，DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
又∵CD∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴S△DEF：S△ABF=DE2：AB2=4：25，
∵△EBF与△ABF等高，
∴S△EBF：S△ABF=EF：AF=2：5=10：25，
∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25．
故答案为：4：10：25．
　
三．解答题（共8小题）
21．分析： 在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
　
22．分析： 首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1．
故答案是：1．
　
23．分析： （1）首先将已知条件化简，进而得出a﹣2b=1，再将原式变形得出即可；
（2）首先利用勾股定理得出AC的长，进而得出AC和AB的长，即可得出BB′的长．
解：（1）∵a（a+1）﹣（a2+2b）=1，
∴等式变形得：a﹣2b=1；
原式=（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b）=12﹣2=﹣1；
（2）设AC=x，AB=2x，BB′=4x，
在Rt△ABC中
AB2=AC2+BC2，
∴（2x）2=x2+12，
解得：x=±（负数舍去），
∴AB=2×=，
∴BB′=．
　
24．分析： （1）证明AE=CD，AE∥CD，即可证得；
（2）证明△AEF是等腰三角形，则可以证得AD=EC，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证得．
证明：（1）∵?ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
又∵AE=CD，
∴AE=CD，AE∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAF=∠B，
又∵∠AFC=∠EAF+∠AEF，∠AFC=2∠B
∴∠EAF=∠AEF，
∴AF=EF，
又∵平行四边形ACDE中AD=2AF，EC=2EF
∴AD=EC，
∴平行四边形ACDE是矩形．
　
25．分析： （1）由平行四边形的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，再因为MA⊥AN，NC⊥BC可得∠BAM=∠DCN，利用ASA定理可证得结论；
（2）利用菱形的性质可得AC⊥EF，由全等三角形的性质可得AE=CF，由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴AM∥CN，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
　
26．分析： （1）过C点作CH⊥BF于H点，根据已知条件可证明△AGB≌△BHC，所以AG=BH，BG=CH，又因为BH=BG+GH，所以可得BH=HF+GH=FG，进而证明AG=FG；
（2）过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可求出FD的长．
（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，
∵∠CFB=45°
∴CH=HF，
∵∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，
∴△AGB≌△BHC，
∴AG=BH，BG=CH，
∵BH=BG+GH，
∴BH=HF+GH=FG，
∴AG=FG；
（2）解：∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH=GM，
∴BG=GM，
∵BM=10，
∴BG=2，GM=4，
∴AG=4，AB=10，
∴HF=2，
∴CF=2×=2，
∴CM=2，
过B点作BK⊥CM于K，
∵CK=CM=CF=，
∴BK=3，
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=3，
DQ=CK=，
∴QF=3﹣2=，
∴DF==2．
　
27．分析： 探究：求出CE=CF，DF=BE，∠ECG=∠FCG，证△ECG≌△FCG，推出EG=GF即可；
应用：过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，推出四边形ABCH是正方形，CD平分∠ECM，由探究证明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理求出AE=8，设BE=x，根据BC=AB=x+8=AH得出x+8=6+10﹣x，求出x=4即可．
探究：证明：∵根据旋转的性质得：△EBC≌△FDC，
∴CE=CF，DF=BE，
∵CG平分∠ECF，
∴∠ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∵GF=DG+DF=DG+BE，
∴EG=BE+GD；
应用：
解：如图3，过C作CH⊥AD于H，旋转△BCE到△CHM，
则∠A=∠B=∠CHA=90°，
∵AB=BC，
∴四边形ABCH是正方形，
∵∠DCE=45°，AH=BC，
∴∠DCH+∠ECB=90°﹣45°=45°，
∵由已知证明知：△EBC≌△MHC，
∴∠ECB=∠MCH，
∴∠DCH+∠MCH=45°，
∴CD平分∠ECM，
∴由探究证明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，
设BE=x，则BC=AB=x+8=AH，
即x+8=6+10﹣x，
x=4，
BE=4，
AB=4+8=12，BC=AB=12，
∴梯形ABCD的面积是×（6+12）×12=108．
　
28．分析： （1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
（3）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．
（4）由已知和（3）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．
解：（1）OE=OF，
理由：∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）不可能．
如图所示，连接BF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
（3）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形；
（4）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（3）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．