2017年春最新湘教版八年级数学(下)全册优质教学课件（共732张PPT）
文档属性
| 名称 | 2017年春最新湘教版八年级数学(下)全册优质教学课件（共732张PPT） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 27.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-02-14 00:00:00 | ||
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文档简介
课件732张PPT。1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）复习
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练第1课时 直角三角形的性质和判定第1章 直角三角形八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件三角形顶点与对边中点的连线段有一个是直角的三角形叫直角三角形三角形内角和等于180°复习引入 如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？图1-1合作探究直角三角形的两个锐角互余.由此得到：有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.图1-2有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到： 如图1-3，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？线段CD 比线段AB短.图1-4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：图1-5根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB =180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.所以 ∠A+∠B =90°.根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形. 1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边 AB的长是多少？随堂训练 2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）.
A.150° B.130° C.120° D.100°B4.如图，AB⊥DB,CD⊥DB,下列说法错误的是（ ）A.一定有∠A=∠CB.只要有一边相等就有△ABO≌△CDOC.只要再给一个条件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CDC5.如图，AB=AC,AD⊥BC.求证：BD=CD.1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 含30°锐角的直角三角形的
性质及其应用复习
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探究课堂
小结随堂
训练1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件复习引入1、直角三角形的两个锐角（ ）.
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 （ ）.
3、有两个角（ ）的三角形是直角三角形.一半互余互余用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.合作探究 在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？分析：1.辅助线的常用作法有 ：30 °BCA 作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线， 作相等的角等等。2、你打算怎样作辅助线？解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等的线段？
30BCAD2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ 3. △CBD是什么三角形? CD=BD=AD∠B=60°等边三角形 现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推理过程吗？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。性质定理：问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？ 小结归纳D如图，取线段AB的中点D，连接CD
∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线
∴CD= AB=BD
∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°
∴△CBD是等边三角形，∴BC=BD= AB 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.归纳小结提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线.点到线的距离，什么最短？ 举
例OBDA北东60°解：由题意得，∠AOD=30°，在Rt△AOD中，
AO= 海里，
∴AD= AO= 海里＞20海里，
该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险. 1.Rt△ABC中，∠C=90，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？随堂训练2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果∠C=90°， ∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.BAC1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理情景
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小结随堂
训练八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件
1、回顾直角三角形的有关定义.
2、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？
单项式乘多项式：a(b+c+d) =___________
多项式乘多项式：(a+b) (c+d)=__________ab+ac+adac+ad+bc+bd情景引入平方差公式：(a+b)(a-b)=_____________
完全平方公式 =________________
a2-b2a2+2ab+b21、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果1个小方格为1个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是__和___，斜边长是____；
2.三个正方形的面积分别是_____、_____和____.43516925合作探究3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？
结论：直角三角形两直角边的__________
等于___________________________.
?
命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__________.平方的和斜边的平方a2+b2=c2设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
?
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得
62+b2=102
b=8
解：由勾股定理得
52+122=102
c=13
解：由勾股定理得
a2+152=252
a=20acb1、赵爽弦图利用了_______关系进行勾股定理的证明.
2、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的小正方形的边长为________，利用面积证明勾股定理.
∵ S大正方形
＝4S直角三角形+S小正方形
＝4×_______+ （____ ）2
＝_______________________
＝_______________________
又∵S大正方形＝C2
∴______2+______2=_______2
面积b-ab-a2ab+b2-2ab+a2a2 +b2abc如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.FGKH解：如图所示
正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,
设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理知122+162=c2，c=20 ，即正方形F边长为20，同理可得，正方形G的边长为15，故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2k=25
正方形E的边长为25，
S正方形E=25×25=625
例题1、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长.2、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方.解:设斜边长为x, 由勾股定理得x 2 = 33 2 + 44 2 = 55 2所以 x = 55解：1.如果5为斜边，设第三边为x5 2 = x 2 + 4 2所以x 2 = 92.如果5为直角边，设第三边为xx2 = 5 2 + 4 2所以 x 2 = 41随堂训练3、如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB 于D，
AC=12，BC=9， 求：CD的长.解：在三角形ABC中AC = 12 ，BC = 9由勾股定理得：AB 2 = 12 2 + 9 2所以 AB = 25由三角形ABC的面积 = AC * BC/2 = AB * CD/2即 ：12 * 9 = 25 * CD所以 CD = 4.321.勾股定理；
2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 勾股定理的实际应用复习
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训练1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．下面，我们用面积计算来证明这个定理。复习引入 请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。 用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
ACBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?合作探究●邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？ ABCDO下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152
x2=64答：正方形的面积是64平方厘米。例题◆在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高． ABCD随堂训练如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑴若AB=12，BC=10，AC=8 ,求：DE的长度.如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑵求证：AB2 - AC2＝2BC·DE.在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？ ACBD◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？ CD应用勾股定理解决实际问题的思路：?
（1）深刻理解题意；
（2）画出简图；?
（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第3课时 勾股定理的逆定理情景
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训练1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方. 反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢?情景引入(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c满足a2 +b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形吗？一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?合作探究请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 锐角三角形钝角三角形直角三角形勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 .a2 + b2 = c2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.a2 + b2 = c2反过来判断由线段a、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15, b=8, c=17 （2）a=13, b=14,c=15解：（1）（2）例题 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.以小组为单位，每位同学自己找一组
勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。3， 4， 5； 5，12，13；6， 8，10；
7，24，25； 8，15，17；9，40，41
9，12，15；10，24，26；……1.下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？(1) a=6 b=8 c=10 ____ _____ ;(2) a=12 b=8 c=15 ____;(3) a=8 b=6 c=5 _____;是 不是不是 是∠C=900∠B=900(4) a=1 b=2 c= ____ _______;随堂训练
2.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.3412135∟3.满足下列条件△ABC, 不是直角三角形的是( )
A、b2 = a2 - c2
B、a:b:c=3:4:5
C、∠C=∠B-∠A
D、∠A:∠B :∠C =3:4:5D
1.勾股定理的逆定理的内容；
２.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；
３.勾股定理与它的逆定理之间的关系；
４.数形结合的数学思想.
课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”1.3 直角三角形全等的判定情景
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XJ全册精品教学课件（1）说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？情景引入判 断（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.﹙√﹚﹙×﹚﹙√﹚AAS或者ASASASABCA’B’C’（A’）（C’）（B’）如图在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°,那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗? 合作探究解:因为∠ACB=90°
∠ACB‘= ∠A’C’B’=90°
所以∠BCB’= ∠ACB+ ∠ACB’=180 °
故B，C（C’），B’在同一直线上
因为AB=A’B’=AB’
所以∠B =∠B’（等边对等角）
在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中
∠B =∠B’（已证）
AB=A’B’（已知）
所以Rt?ABC≌Rt?A’B’C’（AAS）
如图,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”前提斜边、直角边公理 (HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等.几何语言例1 如图， BD ，CE分别是△ABC的高，且BE = CD.求证： Rt△BEC ≌ Rt△CDB.在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵ BC = CB，BE = CD，
∴ Rt△BEC ≌ Rt△CDB （HL）.
1．如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明.（DB＝AC就不要证明了）随堂训练2.如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形.3.如图，∠ABD=∠ACD=90o，∠1=∠2，则AD平分∠BAC.请说明理由.4.如图，AC⊥CB，BD⊥BC，AB=DC，AB与CD平行吗？为什么？1.判定直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法: SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升” 1.4 角平分线的性质情景
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训练八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件生活中有很多数学问题：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.暖气天然气情景引入合作探究图1-26∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，∴ △PDO≌△PEO.∴ PD = PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
由此得到角平分线的性质定理：在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴ ∠AOC =∠BOC.∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：又 BA⊥AD， BC⊥CD，∴ 点B在∠ADC的平分线上.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.∴ ∠ABD =∠CBD.∴ BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：EB=FC.AFCDBE随堂训练2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB. 变式
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
课堂小结1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.课后作业 见本课“课后巩固提升”第1章 直角三角形
小结与复习八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_____.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____.
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________.互余一半一半a2+b2=c2二、直角三角形的判定
1.有一个角是_____的三角形是直角三角形.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.直角a2+b2=c2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.有两个角互余的三角形是直角三角形. ( )
2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方. ( )
3.一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半. ( )√××热点考向一 直角三角形的性质?
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 .【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DBF，从而求得∠A的度数.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.【自主解答】在Rt△FDB中，∵∠F=30°，∴∠DBF=60°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.
在Rt△AED中，∵∠A=30°，DE=1，∴AE=2.
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=2.
答案：2【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用
1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.
2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.
3.重要辅助线——(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.【真题专练】
1.如图，一副分别含有30°角和45°角
的两个直角三角板，拼成如图所示图形，
其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，
则∠BFD的度数是( )
A.15° B.25° C.30° D.10°2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ( )
A.20 B.18
C.14 D.13【知识拓展】直角三角形的两个结论
(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.热点考向二 勾股定理?
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 .【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在Rt△B′EC中，利用勾股定理解出x的值即可.【自主解答】 ，
由折叠的性质得BE=B′E，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4-x，B′C=AC-AB′=AC-AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=(4-x)2，解得：x= .
答案：【规律方法】勾股定理的应用
1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.
2.作长度 为(n为正整数)的线段.
注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.【真题专练】
1.如图，点E在正方形ABCD内，
满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60 C.76 D.802.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 m.热点考向三 勾股定理的逆定理?
【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度.【解题探究】(1)BE′是由BE旋转多少度得到？BE′与BE什么关系？
提示：BE′是由BE旋转90°得到的，BE′⊥BE且BE′=BE.
(2)若连接EE′，得到的△EBE′是一个什么特殊的三角形？
提示：△EBE′是等腰直角三角形.
(3)△EE′C是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？
提示：△EE′C是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤
1.确定三角形的最长边.
2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.
3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.【知识归纳】判定直角三角形的两种方法
(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.
(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .【审题视点】【规律方法】解图形折叠问题的思路
1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).
2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.
3.利用勾股定理建立方程求解.【巧思妙解】巧用面积，事半功倍
【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ( )
A. B. C. D. 【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.课后作业 见“本章热点专练” 第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时 多边形的内角情景
引入合作
探究课堂
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训练八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件你能从图2-1 中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？图2-1情景引入 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角
例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形. 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，
五边形，……图2-2三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图2-3，四边形ABCD的一条对
角线AC 把它分成两个三角形，因此
四边形的内角和等于这两个三角形的
内角和， 即180°×2=360°. 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点
画出所有对角线，并完成下表.合作探究图形 边数可分成三角形的个数多边形的内角和4（6-2） × 180°（7-2） × 180°5（8-2） × 180°6n-2（n-2）×180° 如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An. 与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形. n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°.图2-4n边形的内角和等于(n-2)· 180°由此得出：你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？例1（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 1980°，
解得n = 13.
所以这是一个十三边形.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？答：150°.
答：十二边形.随堂训练过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形
分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形.3.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有两个钝角最多能有2个锐角1.本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2. n边形对角线条数： 条.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升” 第2课时 多边形的外角复习
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训练2.1 多边形复习引入3、n边形的对角线一共有＿＿＿＿＿＿条2、n边形的一个顶点可以＿＿＿＿对角线（n—3）n(n—3)÷21、n边形的内角和等于＿＿＿＿＿＿＿＿(n-2)· 180° 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。合作探究（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少度？
（3）在上图中，你能求出?1+?2+?3+?4+?5等于多少吗？你是怎样得到的？ 如图2-6，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. 我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 如图2-7，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∴ ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° - 360° = 360°∵ ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°，
又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，∴ 四边形的外角和为360°. 三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？ 类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°. 因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n· 180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2 )×180°所得的差即为n边形的外角和.n· 180°-（n-2 )×180°
=［n-（n-2 )］· 180°
= 2×180°
= 360° .任意多边形的外角和等于360°.由此得出：例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解 设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)· 180°.由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，解得 n=12.因此这个多边形是十二边形. 三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用4 根木条钉成如图2-8 的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？图2-8 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了， 这说明四边形具有不稳定性. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图2-9 （a）中的电动伸缩门、图2-9 （b）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9 （c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.
图2-9（a）（c）（b）1. 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？答：这个多边形是八边形，
每个内角是135°.随堂训练2. 如图，求图中x的值.答：x =60°.3. 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.答：有种衣架是根据平行四边形的不稳定性，用同样
长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都
有一个挂钩，不仅美观，而且实用，如下图： 本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质情景
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训练情景引入 在小学， 我们已经认识了平行四边形. 在图2-10 中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图2-10两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.读作：平行四边形ABCD记作： ABCD∴四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是
平行四边形合作探究两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的边、角有怎样的数量关系？用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？从拼图中可以得到什么启示？ 平行四边形可以由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题. 在图2-13的□ABCD中，连接AC.∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3.∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.∵ 四边形ABCD为平行四边形，又 AC =CA，∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.∴ △ABC≌△CDA. 又∠1+∠4=∠2+∠ 3. 即∠BAD=∠DCB.平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理：几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC
（平行四边形的对边相等），∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等）， 1、在 ABCD中，已知∠A=130°，则∠B=＿＿ ，∠C=＿＿＿ ，∠D＝＿＿＿.
????????????2、在 ABCD中，AB=2,BC=3，则这个平行四边形的周长是______. 50°50°130°10随堂训练3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形
1）若周长为30㎝，CD＝6 ㎝，则AB＝ ㎝；
则BC＝ ㎝；AD＝ ㎝.
2）若∠A＝70°，则∠B＝ ,∠C＝ ； 则∠D＝ .
3）若∠A＋∠C=80°，则∠A＝ ；则
∠D＝ .1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”情景
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训练2.2.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质情景引入 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 老大老二老三老四 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 如图2-16，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O. 比较OA ，OC ，OB ，OD 的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？合作探究 从而 ∠1=∠2，∠3=∠4.所以 △OAB≌△OCD.(ASA)于是 OA=OC，OB=OD. 这个猜测对吗？下面我们来进行证明.如图2-17，由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AB=CD，且AB∥CD.图 2-17几何语言表示：由此得到平行四边形的性质定理：(3)平行四边形的对角线互相平分.O●老大老四老三老二M老人分地合理吗？解决问题结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份。例1:如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长.又∵ CD = 4.8，∴ △COD的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8.图2-18354.8例2:如图2-19，在□ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.∵ AD∥BC，
∴ ∠MAO =∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴ △AOM≌△CON(ASA)∴ OM= ON.∴ 点O是线段MN的中点.1、在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，指出图形中相等的线段.随堂训练2、平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B. 对角线相等且互相平分
C.对边平行且相等 D.对角线互相平分B3、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴ AO+BO＝15-6＝9．
又∵ AO＝OC， BO＝OD
(平行四边形对角线互相平分)，
∴ AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)
＝２×９＝184.如图所示, □ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC于C,已知AC=6,BC=4,求BD的长.==ABCDABCDABCDO课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2情景
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训练实验室有一块平行四边形的玻璃片（记作:□ABCD),在做实验时,小明不小心碰碎了一部分(如图所示),他想配一块一模一样的赔给学校，如果把剩下的玻璃带去玻璃店，他能做到吗？情景引入 从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？图2-20合作探究 如图2-20， 把线段AB平移到某一位置，得到线段DC， 则可知AB∥DC ，且AB=DC. 由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质: 两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC. 由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.图2-20 实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图2-21，已知AB∥DC ， 且AB=DC ，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.图2-21由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC.因此BE=FD.又 BE∥FD，∴四边形BEDF是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)例1 如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？图2-23∴ ∠1=∠2.下面我们来证明这个结论.如图2-24，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC.∵ AB=CD，BC=DA，AC=CA ，∴ △ABC≌△CDA.∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形）.则 AD∥BC.图2-24由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.例2
∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB=DC ，AD=BC .随堂训练 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F
分别是边BC，AD的中点. 找出图中所有的平行四边形，
并且说出理由.
解：□ABCD：两组对边分别相等的
四边形是平行四边形.
□ABEF 和□ FECD ：一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形.
3.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.4.已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点.求证：EF//AD//BC.5.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判断定理：课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”情景
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训练2.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形说一说：我们已经学过平行四边形的哪些判定方法?定义: 两组对边分别平行的四边形是
平行四边形定理1: 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形 情景引入工具：两支长度不相等的铅笔.动手：能利用这两支笔摆出一个平行
四边形吗？试试看！合作探究ABCDO已知:四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
试说明：四边形ABCD是平行四边形. 以上活动事实，蕴含了一个怎样的数学结论？平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是
平行四边形.∵OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行 四边形）思考：归纳：几何语言：例1.已知：如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，点E、F在BD上，且OE=OF.CBODAFE求证：四边形BFDE也是平行四边形.典例精析证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.例2.已知：如图，在四边形ABCD中，
∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D求证：四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.归纳：证明：∵ ∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D，
∠A+∠ B+∠ C+∠ D=360°，
∴ ∠A+∠ B=360°/2=180°.
∴AD//BC,
同理，AB//DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.1.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF. 求证：四边形AECF是平行四边形.O随堂训练2.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形.ABCDEF3.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形.4.如图，在△ABC中，AB=14，BC=18，AD是AC边上的中线，求AC的取值范围.课堂小结平行四边形的判定：
两组对角分别相等；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.3 中心对称与中心对称图形第1课时 中心对称及其性质情景
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训练观察下面的图形，你有什么发现？情景引入下面各组图形，通过怎样变换可以使它们重合?（1）（2）OO合作探究(1) 这些图形有什么共同的特征？(2) 你能将上图中的“风车”绕其上的一点旋转180o，使旋转前后的图形完全重合吗？正六边形呢？都可由一个基本图形旋转而成ABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’O把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,也称这两个图形成中心对称这个点叫作对称中心2个图形中的对应点叫做对称点 把一个图形绕某一点旋转1800,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点.中心对称 性质1：关于中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质. 中心对称还有哪些性质呢？中心对称有什么性质呢？即关于中心对称的两个图形是全等形 性质2：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
D'C'B'A'ABCDOAO1.已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点A ′2.已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的对称图形OB ′A′随堂训练3.判断两个全等的图形是否关于某一点对称1.中心对称及对称中心的概念
2.中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 中心对称图形复习
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训练1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转1800
如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称. 2.中心对称的性质:
⑴关于中心对称的两个图形是全等形
⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过
对称中心且被对称中心平分复习引入 如图2-34，将线段AB绕它的中点O旋转180°，
你有什么发现？图2-34合作探究 像这样，如果一个图形绕一个点O 旋转180°，
所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作
中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心. 由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是
它的对称中心.1.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）B 2.已知□ABCD的对角线BD=4cm，
将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，
则点D所转过的途径长为（ ）
A.4πcm B.3πcm
C.2πcm D.πcmC （1）点A的像是 ；（2）点B的像是 ；（3）边AB的像是 ；（4）点C的像是 ；（5）边BC的像是 ；（6）点D的像 ；（7）边CD的像是 ；（8）边DA的像是 .点C点D边CD点A边DA点B边AB边BC 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180° ，它的像与自身重合，因此 你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕
对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？ 下面是计算机键盘上某一行的英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念:区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系: (1)如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.(2)如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称.选择题
1.下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形C2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形A随堂训练2.下列图形哪些是中心对称图形?
1.中心对称图形的定义；
2.中心对称图形的性质；
3.我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形；
4.中心对称图形的应用.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.4 三角形的中位线情景
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训练 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。情景引入ADEFBC1、剪一个三角形，记为△ABC2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE3、沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°后得到△CFE的位置，得四边形BCFD合作探究 并且有：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=位置关系数量关系 请你谈谈三角形的中位线和中线的异同：1.相同点：两者都是线段.2.不同点：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.前者和两个中点有关；后者只与一个中点有关.1、 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？等于原三角形周长的一半等于原三角形面积的四分之一 F
（中点）(中点)DE(中点)ABC 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。典例精析 例题 1、已知：如图，点 D、E、F 分别是 △ABC的 三边AB、BC、AC 的中点.
（1）若AB=8cm，则EF= cm;
（2）若DF=5cm，则BC= cm；
（3）若∠ADF=50°，则∠B= °
（4）已知：△ABC周长为30，
则：△ DEF的周长为 .
（5）若△ABC的面积为24，△DEF的面积是____
504 10 1561.如图：D、E、F分别是△ABC各边的中点，DE和AF交于点O，试说明DE和AF互相平分.随堂训练2.如图：在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
①求证：EF∥BC；
②若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.C3.顺次连接以下四边形各边的中点，可以得到什么四边形？①平行四边形; ②矩形;③菱形;④正方形. 4.在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。
求证：四边形DECF是平行四边形。思考：若连结EF，则图中有多少个平行四边形？5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN
（2）求△ABC的周长.
10153106课堂小结1.熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；
2.理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半；
3.能应用三角形中位线的性质解决有关问题.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.5 矩 形
2.5.1 矩形的性质情景
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训练在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？图2-41情景引入 这些四边形的四个角都是直角.合作探究有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.平行四边形矩形 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此 如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？图2-42图2-42如图，四边形ABCD是矩形，于是有 AB=DC，
∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.因此 △CBA≌△BCD. (SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：例1：如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°.
求BC的长.图2-43举
例解：∵ □ABCD是矩形，∴ △AOB是等边三角形.∴ AB=OA=2cm.又∠AOB = 60°，∵ ∠ABC = 90°，图2-43 在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.O 过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.由于 ，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于
直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形
ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称
图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴. 类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到： 1.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的
一个夹角为60°，求矩形的各边长. 随堂训练2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质
说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于
斜边的一半.课堂小结1.矩形与平行四边形的性质对比；
2.直角三角形斜边中线的性质；?
3.矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.5.2 矩形的判定情景
引入合作
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小结随堂
训练 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？情景引入如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46合作探究三个角是直角的四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也
是直角，由此得到： 四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形： 从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此 △ABC≌△DCB. (SSS)从而 ∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB =180°，于是 ∠ABC=90°.所以 □ABCD是矩形.图2-47对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形吗？如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样
的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么
□ABCD是矩形吗？图2-48（2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC与DB相等且互相平分.∴ △OBC是等腰三角形.∴ AC = 2OC = 2OB = BD.∴ □ABCD是矩形.图2-481. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ，
四边形的内角和为360°，
所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ，
所以四边形ABCD是矩形.
(三个角是直角的四边形是矩形.)随堂训练2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.∴ △OAB是等腰三角形.∴ △OAB是等边三角形.
又∠AOB = 60°，∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4.∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
作OE⊥AD于点E.E课堂小结矩形的判定：
1、对角线相等的平行四边形是矩形；
2、有三个角是直角的四边形是矩形. 课后作业 见本课“课后巩固提升”2.6 菱 形
2.6.1 菱形的性质情景
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小结随堂
训练情景引入1、（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？?
2、平行四边形的性质：
边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：互相平分
对称性：中心对称图形
3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
4、矩形是从角得到，那么从边通过满足什么条件可以得到什么特殊的四边形呢？今天我们一起来研究特殊的平行四边形菱形.下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？图2-49合作探究平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.如图2-50，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交于点O. 对角线AC⊥DB 吗？你的理由是什么？∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，∴ AC⊥DB.
菱形的对角线互相垂直.由此得到菱形的性质： 把图2-50中的菱形ABCD沿直线DB对折
（即作关于直线DB的轴反射），点A的像是 ，
点C的像是 ， 点D的像是 ，点B的像
是 ，边AD的像是 ，边CD的像是 ，
边AB的像是 ，边CB的像是 .图2-50点C点A边DC点D点B边DA边BC边AB 从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合. 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.由此得到：又 AC⊥DB（菱形的对角线互相垂直），例1 如图2-51，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD
的面积和周长.图2-51所以 AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.从而 AB = 2.5(cm).图2-511.菱形ABCD的两条对角线的交点为O.已知AB=5cm，OB=3cm.求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积.随堂训练答：两条对角线的长分别为6cm和8cm，
面积为24cm2.2.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点， PE⊥AD 于点E，PE=4cm，求点P到AB的距离.答：4cm.课堂小结有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.?
菱形的性质：?
（1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；?
（2）菱形的四条边都相等；?
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；?
（4）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半.?课后作业 见本课“课后巩固提升”2.6.2 菱形的判定情景
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训练情景引入菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角；
4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
这些性质对我们寻找判定菱形的方法有什么启示？ 如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？图2-52合作探究 下面我们来证明这个结论.∵AD=BC，AB=DC，如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.又AB=AD，四条边都相等的四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理1：图2-54证明 由于线段BD垂直平分AC ，因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.
在△AOB和△COD中，有
∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC.所以△OAB≌△OCD.从而AB=CD.因此四边形ABCD是菱形.
(四条边都相等的四边形是菱形)所以BA=BC=DA=DC.图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 过点O画两条互相垂直的线段AC
和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？我们来进行证明.又由于DB是线段AC的垂直平分线，由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.因此，DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理2：
∴ AB=AD=5 .解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ △DAO是直角三角形.∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.随堂训练2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.课堂小结判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．课后作业 见本课“课后巩固提升”2.7 正方形情景
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训练情景引入矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形.装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？图2-57合作探究 我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.图2-58
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
可以知道： 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，图2-59又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°，∴ ∠1 =∠2.∴ △AED≌△CFD （ASA）.∴ DE = DF.图2-59 观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形？图2-60∴ AB = BC = CD = DA.又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，∴ D′A = A′B = B′C = C′D.又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，∴ △AA′D′≌△BB′A′
≌△CC′B′≌△DD′C′.图2-60∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°.图2-601.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.随堂训练2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？课堂小结1、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质：
课后作业 见本课“课后巩固提升”第2章 四边形
小结与复习1.多边形的内角和与外角和:任意n边形(n≥3)内角和等于 ;外角和等于 .?
2.从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线,n边形对角线总条数为 条.?
3.正多边形的定义: 多边形.
4.正n边形每个内角为 .?
(n-2)·180° 360°n-3各边都相等,各内角都相等的知识点:多边形的有关概念及性质平行四边形☆定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形☆性质：
1、平行四边形对边
2、平行四边形对角
邻角
3、平行四边形对角线平行相等互相平分平行且相等4、平行四边形是中心对称图形互补ＡＢＣＤＯ平行四边形的判定方法边：角对角线1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形知识点:矩形的性质与判定直角中心对称直角直角相等平分一半轴对称相等平行四边形平行四边形知识点:菱形的性质与判定直角垂直平分平方平行四边形矩形菱形互相垂直平分知识点:正方形的性质与判定边角对角线四个角都是直角四边相等四边相等四个角都是直角相等ABCDOABCDOABCDO互相垂直每一条对角线平分一组对角相等互相垂直每一条对角线平分一组对角区别于平行四边形的特殊性质几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线2.构建新的平行四边形3.构建全等三角形4.构建等腰三角形几种常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形(平行一腰)2.平移一条对角线(若对角线垂直或相等)EE构建全等三角形(取一腰的中点)F4.构建矩形(作底的垂线)例１ 已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF? AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.ＡＢＣＤＥＦ分析：从求证入手，要证CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要证AF＝BE即可，而AF、BE分别在△AFD、△EBA中，即要证明△AFD≌△EBA .证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC＝AE， ? B＝90? ， AD∥BC 。 ∴ ? DAE＝ ? AEB。
又∵ DF ? AE于F， ∴ ? AFD＝ 90? ＝? B 。∴ △AFD≌△EBA . ∴ AF＝BE ,
∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE 例２ 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证：AF＝1/2 FC.ABCDEFGH 证明：过点D作DH∥BF
交AC于点H。
∵AD是△ABC的中线。
∴D是BC的中点。
∴CH＝HF＝1/2 CF。
∵E是AD的中点，EF∥DH。
∴AF＝FH。
∴AF＝1/2 FC。
１．矩形边长分别为45cm，20cm，其中一个内角平分线把较长边分成两部分，这两部分长是＿＿＿＿＿＿；45202025２.若三角形的三边之比为 6 : 5 : 4 ,周长是 45 cm,那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿;６x＋５x＋４x＝４５x＝３最长边６x＝１８９cm3.在△ABC中，P 是BC上一动点，过点P作 PE∥AC ，交AB于E ，过P作PF∥AB 交AC于F，当点P 运动到什么位置时，四边形AEPF是菱形？4．正方形ABCD对角线AC．BD交于O，P是BD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，连OE，OF.
求证:(1)OE＝OF；
(2)OE⊥OF.ＡＢＣＤＯＥＦ１２３４Ｐ５5．田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖鱼池建养鱼苗，想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．课后作业 见“本章热点专练”第3章 图形与坐标
3.1 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系情景
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训练情景引入1、请画一条数轴，并指出它的三要素.
2、说出下列数轴上的点所表示的数.
A B
3、游戏“找朋友”问题：（1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？（2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？ 生活中，我们常常遇到描述各种物体的位置，
结合图3-1说一说，如何确定李亮同学在教室里
的座位呢？图3-1合作探究例如，李亮在教室里的座位可以简单地记作（4，2）. 从上面的例子可以看到，为了确定物体在平面上的位置，我们经常用“第4组、第2排” 这样含有两个数的用语来确定物体的位置. 为了使这种方法更加简便，我们可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示. 为了用有序实数对表示平面内的一个点，需要用两根互相垂直的数轴: 一根叫横轴(通常称x轴)，另一根叫纵轴(通常称y轴)，它们的交点O是这两根数轴的原点，
通常，我们取横轴向右为正方向，横轴与纵轴的单位长度通常取成一致（有时也可以不一致），这样建立的两根数轴构成平面直角坐标系，记作Oxy. 从李亮在教室里的座位的例子可以看到，第4组是从横的方向来数的，第2排是从纵的方向来数的.怎样用有序实数对来表示平面内点的位置呢？ 例如，在图3-2中，为了用有序实数对表示点M， 我们过点M作x轴的垂线，垂足为C，x轴上的点C表示-4； 再过点M作y轴的垂线，垂足为D，y轴上的点D表示5， 于是（-4，5）就表示了点M. 我们把（-4，5）叫作点M的坐标，其中-4叫作
横坐标，5叫作纵坐标. 反之，为了指出坐标(4 ,2)的点，我们在x轴上找到表示4的点A，O13245-2-451234-2-4xyD 过A点作x轴的垂线（通常画成虚线）； 再在y轴上找到表示2的点B，过点B作y轴的垂线（通常也画成虚线）， 这两条垂线相交于点P，则点P就是坐标（4 ,2）的点.（4，2） 在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应.综上所述， 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图3-3所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 想一想，原点O的坐标是什么？x轴和y轴上
的点的坐标有什么特征？图3-4图3-5随堂训练（1）说出点A，B，C，D，E的坐标.答：A的坐标为（3，3），
B的坐标为（-5 ，2），
C的坐标为（-4，-3），
D的坐标为（4，-3），
E的坐标为（5，0）.（2）描出点P(-2，-1)，Q(3，-2)，S(2，5)，
T(-4，3)，分别指出各点所在的象限.答：点P在第三象限，点Q在第四象限，
点S在第一象限，点T在第二象限.
(3,-2)课堂小结1．平面直角坐标系的概念
2．平面直角坐标系中一个有序数对可以确定一个点的位置，它与数轴上一个实数确定一个点的位置的区别
3．平面直角坐标系内点与坐标之间的关系课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 利用直角坐标系和方位描述 物体间的位置情景
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训练 如图3-6 是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），试建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置.图3-6情景引入 校门的位置为（0，0），图书馆的位置为（3，1）， 花坛的位置为（3，4），体育场的位置为（4，7）， 教学大楼的位置为（0，7），国旗杆的位置为（0，3）， 实验楼的位置为（-4，6），体育馆的位置为（-3，2）. 如图3-7 所示，以校门所在位置为原点，分别以正东、
正北方向为x 轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系.合作探究 若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系， 则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？ 试写出此时各点的坐标.根据以下条件画一幅示意图， 标出学校、书店、电影院、汽车站的位置.
（1）从学校向东走500m，再向北走450m到书店.
（2）从学校向西走300m，再向南走300m，最后向东走50m到电影院.
（3）从学校向南走600m，再向东走400m到汽车站.举
例图3-8 在日常生活中， 除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距离（或称方位） 来刻画两物体的相对位置.（1）如图3-9，李亮家距学校1000m，如何用方向和距离来描述李亮家相对于学校的位置？
（2）反过来，学校相对于李亮家的位置怎样描述呢？图3-9图3-9李亮家在学校的北偏西60°的方向上，与学校的距离为1000m；反过来，学校在李亮家南偏东60°的方向上，与学校的距离为1000m.我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.图3-91.如图是某动物园的部分平面示意图，试建立适当的 平面直角坐标系，用坐标表示大门、百鸟园、大象馆、狮子馆和猴山的位置.随堂训练2.如图，一艘海洋科考船在O点用雷达发现了几群鲸鱼， 规定1个单位长度代表100m长，试用适当的方法来表示A， B，C，D，E这5个目标鱼群相对于点O的位置.课堂小结1.利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意的问题:
（1）注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置．
（2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．
（3）要注意标明适当的单位长度．
（4）有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．
2.方位角经常运用在航海中描述船及参照物的位置.课后作业 见本课“课后巩固提升”3.2 简单图形的坐标表示情景
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训练情景引入1.写出上面A、B、C、D、E各点的坐标.
2.什么是平面直角坐标系？
3.指出第一题中A、B、C、D、E、F、G、H各点所在的象限.
4.归纳出各项限内及坐标轴上的点的坐标符号特点.如图3-11，已知正方形ABCD的边长为6.
(1)如果以点B为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系，那么y轴是哪条直线？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
(2)如果以正方形的中心为原点，建立平面直角坐标系， 那么x轴和y轴分别是哪条直线？此时正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是多少？图3-11合作探究因为AB=6，BC=6，可得点A，C，D的坐标分别为A（0，6），C（6，0），D（6，6）. 此时，点A，B，C，D的坐标分别为A（-3，3），
B（-3，-3），C（3，-3），D（3，3）.
平面直角坐标系的构建
不同，则点的坐标也不同.
在建立直角坐标系时，应使
点的坐标简明.图3-13图3-14因为BC = 8，AB = 6，可得点A，C，D的坐标分别为：
A（0，6），C（8，0），D（8，6）. 依次连接A，B，C，D ， 则图3-15中的四边形就是所求作的矩形.图3-15在例1中，还可以怎样建立平面直角坐标系？图3-16规定1 个单位长度为100 mm，则四边形ABCD 的顶点
坐标分别为：A（-1，0），B（4，0），C（3，2），
D（0，2）. 依次连接A，B，C，D ， 则图3-17中的
四边形ABCD即为所求作的图形.
如图， Rt△ABC的两直角边AB，BC 的长分别为6，5,
试建立适当的平面直角坐标系来表示Rt△ABC各顶点的坐标.随堂训练从上图可知Rt△ABC各顶点的坐标分别为：
A（0，6），B（0 ，0），C（5，0）.从上图可知Rt△ABC各顶点的坐标分别为：
A（0，6），B（0 ，0），C（5，0）.2.如图是在方格纸中画出的船，试建立适当的平面直角坐标系来表示它，并写出其各顶点的坐标.从上图可知轮船各顶点的坐标分别为：
A（-4，0），B（-2，-2），C（2，-2）， D（4，0），
E（0 ，0），F（2，1）， G（0 ，5）.
课堂小结1.坐标平面被坐标轴分成四个象限，坐标轴上的点不在任何象限内；
2.各象限内点的坐标符号特点及坐标轴上点的坐标特点；
3.根据点的坐标确定点的位置；
4.建立适当平面直角坐系，描述点的位置.课后作业 见本课“课后巩固提升”3.3 轴对称和平移的坐标表示
第1课时 轴对称的坐标表示情景
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训练情景引入引言：老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗?学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标．
用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，这节课我们就来学习用点表示轴对称．
（1）分别作出点A关于x轴，y轴的对称点A′，A″，并写出
它们的坐标；
（2）比较：点A与A′的坐标之间有什么关系？点A与A″呢？如图3-18，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2）.图3-18合作探究不变互为相反数互为相反数不变 一般地，在平面直角坐标系中，点（a，b）关于
x轴的对称点的坐标为（a，-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）. 如图3-19，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，2）， C（5，2）.
（1）作出△ABC关于y轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标；
（2）作出△ABC关于x轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标.
图3-19图3-20图3-211.已知点（2a-3,4）与点（6，b-1）关于x轴对称.
（1）求a、b的值;
（2）试问P（a-1,b-3）在哪一象限？随堂训练2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)、B(- 4，1)、C(-1，3)，作出△ABC以及它关于y轴对称的图形.3.已知点A（2x+y，－7）和点B（4，4y－x）.
（1）若关于x轴对称，求x，y的值；
（2）若关于y轴对称，求x，y的值.
4.在平面直角坐标系中，点（2,3）与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（－2，－3）
C.（－2，3） D.(2，－3)课堂小结1.关于坐标轴对称的两个点的坐标关系．
2.在坐标平面内利用坐标变换完成图形的轴对称变换.课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 平移的坐标表示情景
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训练1．什么叫做平移？2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移.平移后图形的位置改变，形状、大小不变.情景引入 如图3-23，在平面直角坐标系中，
A（1，2）分别沿坐标轴方向作以下变换， 试作点A的像， 并写出像的坐标.
（1）点A向右平移4个单位，像为点A1；
（2）点A向左平移3个单位，像为点A2；
（3）点A向上平移2个单位，像为点A3；
（4）点A向下平移4个单位，像点为A4.
图3-23合作探究A（1，2）A1（5，2） 一般地， 在平面直角坐标系中，将点（a，b）
向右（或向左） 平移k 个单位，其像的坐标为（a+k，b）
（或（a-k， b））； 将点（a， b）向上（或向下）
平移k个单位，其像的坐标为（a， b+k）（或（a， b-k））.A2 （-2，2）A3 （1，4）A4 （1，-2）不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变坐标变化不变不变不变不变
（1）将线段AB向上平移2个单位， 作出它的
像A′B′， 并写出点A′， B′的坐标；
（2）若点C（x，y） 是平面内的任一点，
在上述平移下， 像点C′（x′， y′）
与点C （x，y）的坐标之间有什么关系？图3-24 如图3-24，线段AB 的两个端点坐标分别为
A（1，1）和B（4，4）.
（1）将线段AB 向上平移2 个单位， 则线段AB 上
每一个点都向上平移了2 个单位， 由点A， B
的坐标可知其像的坐标是A′（1， 3），
B′（4， 6）. 连接点A′， B′， 所得线段
A′B′即为所求作的像，如图3-24.
（2）同理可求出，像点C′与点C之间的坐标关系为图3-25依次连接点A1，B1，C1，即
可得△ABC的像△A1B1C1.依次连接点A2，B2，C2 ， 即可得△ABC 的像△A2B2C2 .图3-261.已知点A(3，2),将点A先向右平移2个单位长度,
再向上平移5个单位长度,得到A′,则A′的坐标为
________.(5,7)横纵坐标都要发生变化随堂训练2.将点P（0，-2）向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点Q(x,y)，则xy= -43.将点P（m,1）向右平移5个单位长度，得到点Q（3，1），则点P坐标为（-2，1）4.将点P（m+1,n-2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1-n），则点A(m,n)坐标为（1，0）P(x,y)P(x, y-b)P(x, y+b)P(x-a,y)P(x+a,y)向右平移
a个单位向左平移
a个单位课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第3章 图形与坐标
小结与复习考点1 平面直角坐标系内点的位置与坐标特征 考点2 点P (a，b)到坐标轴与原点的距离考点3 平面直角坐标系中对称点的坐标(－x，－y)(x，－y)(－x，y)考点4 坐标平面内点的平移 探究一 平面直角坐标系内点的坐标特征 B 探究二 简单图形的坐标表示 (5，4) 探究三 平面直角坐标系内点的轴对称与平移BA教材母题——湖南教育版八下P88练习T1 中考预测C课后作业 见“本章热点专练”第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.1 变量与函数情景
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训练大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 情景引入 10 20合作探究2. 当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，… 时，
正方形的面积S分别是多少？试填写下表：14916253649从第2题中，我们可以看出：正方形的面积随着它的边长的变化而变化. 28.857.6 在某个实际问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）上述三个问题中
(1)时间t，气温T
(2)正方形的边长x，面积S；
(3)使用天然气的体积x，应交纳的费用y等都是变量.
每一方米天然气应交纳2.88元，2.88是常量.变量、常量的定义一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作：y=f(x).这里的f(x)是英文 a fun_ction of x（x的函数）的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).几个概念1. 第一个例子中， 是自变量， 是
的函数.时间t气温T时间t2. 第二个例子中，正方形的边长是 ，
正方形的面积是边长的 .自变量函数3. 第三个例子中， 是自变量，
是 的函数.所用天然气的体积x应交纳费用y所用天然气的体积x 在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围. 如上述
第1个问题中，自变量t的取值范围是0≤t≤24；
第2个问题中，自变量x的取值范围是 x＞0
第3个问题中，自变量x的取值范围是 x≥0（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r 的取值范围.（2）当r = 5 ，10时，
V是多少（结果保留π）当r = 5时 当r = 10 时 随堂训练1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式
中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S， 是变量，π是常量
B．S，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，π是常量
D．S，R是变量，和2是常量2．小明带10元钱去文具商店买日记本，已知每本日记本定价2元，则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中______是变量，_______是常量．课堂小结1.一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2.了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．课后作业 见本课“课后巩固提升”4.1.2 函数的表示法情景
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训练 问题：上节课我们学习了函数的概念，你能说出什么叫做函数吗？一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应， 那么称y是x的函数．情景引入（1）中，是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？用平面直角坐标系中的一个图形来表示．（1）下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，可知气温T是时间t 的函数．合作探究 （2）正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．(2)中，是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？列一张表来表示．（3）某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x （m3） 天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x．可知y是x的函数．问题2：(3)中，是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x的函数关系的？用一个式子y＝2.88x来表示．像(1)这样， 建立平面直角坐标系， 以自变量取的每一个值为横坐标， 以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标， 描出每一个点， 由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法． （2）正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．像（2）这样， 列一张表， 第一行表示自变量取的各个值， 第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值）， 这种表示函数关系的方法称为列表法．
像（3）这样，用式子表示函数关系的方法称为公式法， 这样的式子称为函数的表达式．（3）某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元， 使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x．可知y是x的函数．
函数的三种表示法：y = 2.88x图象法、列表法、公式法．问题3：你能谈谈用图象法、列表法、公式法表示函数关系时各自的优点吗？用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化；用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值；用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值．(1) 填写下表：边长 1 (2) 试用公式法表示这个函数关系. (3) 试用图象法表示这个函数关系. (1) 当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，
每增加1个三角形，周长就增加1，因此填表如下：345678910… (2) n是自变量，y是因变量，周长y与三角形个数n
之间的函数表达式是y = n+2（n为正整数）.(3) 因为函数y = n+2中，自变量n的取值范围是正整数集，
因此在平面直角坐标系中可以描出无数个点，这些点
组成了y = n+2的函数图象，如图4-4.（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到
达学校？
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？图4-5（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？图4-5（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？（2）解 从横坐标看出，小明修车花了15 min；
小明修好车后又花了10 min到达学校.（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间
到达学校？图4-5图4-5图4-5（3）解 从纵坐标看出，小明家离学校2100 m；
从横坐标看出， 他在路上共花了30 min，
因此， 他从家到学校的平均速度是
2100 ÷ 30 = 70 （m/min）.（3）小明从家到学校的平均速度是多少？图4-51. 如图，将一个正方形的顶点分别标上号码1，2，3，4，直线l经过第2，4号顶点．作这个正方形关于直线l 的轴对称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？ 填在下表中：这个表给出了y是x的函数．画出它的图象，它的图象由几个点组成？ 3 2 1 4 随堂训练2. 等腰三角形的底角的度数为x， 顶角的度数为y， 写出y 随x 而变化的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围.3.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程S（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的速度相同
B．甲先到达终点
C．乙用的时间短
D．乙比甲跑的路程多
B函数的表示方法有三种：图象法、列表法、公式
法，它们各有优、缺点；应该根据不同的问题、
不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函
数某些性质．课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”4.2 一次函数情景
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训练1、什么是函数? 2、函数有哪些表示方式? 3、在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?情景引入1. 某地1kW·h电费为0.8元，请用表达式表示电费y(元)与所用的电量x(kW·h)之间的函数关系.2. 某弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，秤的原长为10cm，挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm.挂上重物后弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系.合作探究 在问题1中，用电量x(kW·h)是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为
电费=单价×用电量，
即 y=0.8x. ① 在问题2中，所挂物体质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x的函数，它们之间的数量关系为
弹簧长度=原长+弹簧伸长量，
即 y=10+0.5x. ②函数①、②式有什么共同的特征？ 像y = 0.8x ， y = 10+0.5x一样，它们都是关于
自变量的一次式，像这样的函数称为一次函数.它的一般形式是： 特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. y = kx + b（k，b为常数，k≠0） 上述问题中，分别有：每使用1kW·h 电，需付费0.8 元；每挂上1kg 物体，弹簧伸长0.5cm. 其中弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如下表所示： 你能仿照上述表格，将电费问题中的自变量与因变量的变化过程表示出来吗？
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的（即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量）.
一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的自变量取值范围是实数集. 但是在实际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围. 例如，在第1个问题中，自变量的取值范围是x≥0；在第2个问题中，自变量x的取值范围是0≤x≤10.科学研究发现，海平面以上10km 以内，海拔每升高1km，气温下降6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为20 ℃， 设高出地面x（km）处的气温为y（℃）.
（1）求y（℃） 随x（km）而变化的函数表达式. （2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显
示飞机外面的温度为-34 ℃， 求飞机离地面
的高度.例
（1）求y（℃） 随x（km）而变化的函数表达式.（2）解 当y = -34 时，即20 - 6x = -34，
解得x = 9.答： 此时飞机离地面的高度为9 km. （2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显
示飞机外面的温度为-34 ℃， 求飞机离地面
的高度.1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？y = 7-x， y =-4x，y = 2x-3.
，，随堂训练答： y = 7-x，y = 2x-3和 y =-4x 是一次函数.
其中y =-4x是正比例函数.解：由题意得 y= 350+0.7x；
当y=455时，有350+0.7x=455，
解得x=150.课堂小结一次?
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训练第1课时 直角三角形的性质和判定第1章 直角三角形八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件三角形顶点与对边中点的连线段有一个是直角的三角形叫直角三角形三角形内角和等于180°复习引入 如图1-1，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？图1-1合作探究直角三角形的两个锐角互余.由此得到：有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图1-2，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形吗？ 在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.图1-2有两个角互余的三角形是直角三角形.由此得到： 如图1-3，画一个Rt△ABC， 并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD 与线段AB 之间的数量关系，你能得出什么结论？线段CD 比线段AB短.图1-4直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：图1-5根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB =180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.所以 ∠A+∠B =90°.根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形. 1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边 AB的长是多少？随堂训练 2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长. 3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（ ）.
A.150° B.130° C.120° D.100°B4.如图，AB⊥DB,CD⊥DB,下列说法错误的是（ ）A.一定有∠A=∠CB.只要有一边相等就有△ABO≌△CDOC.只要再给一个条件就能得到△ABO≌△CDOD.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CDC5.如图，AB=AC,AD⊥BC.求证：BD=CD.1.直角三角形的判定定理和性质定理；
2.应用定理进行推理论证解决有关问题.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 含30°锐角的直角三角形的
性质及其应用复习
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训练1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件复习引入1、直角三角形的两个锐角（ ）.
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 （ ）.
3、有两个角（ ）的三角形是直角三角形.一半互余互余用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.合作探究 在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？分析：1.辅助线的常用作法有 ：30 °BCA 作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线， 作相等的角等等。2、你打算怎样作辅助线？解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等的线段？
30BCAD2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ 3. △CBD是什么三角形? CD=BD=AD∠B=60°等边三角形 现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推理过程吗？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。性质定理：问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？ 小结归纳D如图，取线段AB的中点D，连接CD
∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线
∴CD= AB=BD
∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°
∴△CBD是等边三角形，∴BC=BD= AB 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.归纳小结提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线.点到线的距离，什么最短？ 举
例OBDA北东60°解：由题意得，∠AOD=30°，在Rt△AOD中，
AO= 海里，
∴AD= AO= 海里＞20海里，
该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险. 1.Rt△ABC中，∠C=90，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？随堂训练2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果∠C=90°， ∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.BAC1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理情景
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训练八年级数学下（湘教版）
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1、回顾直角三角形的有关定义.
2、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？
单项式乘多项式：a(b+c+d) =___________
多项式乘多项式：(a+b) (c+d)=__________ab+ac+adac+ad+bc+bd情景引入平方差公式：(a+b)(a-b)=_____________
完全平方公式 =________________
a2-b2a2+2ab+b21、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果1个小方格为1个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是__和___，斜边长是____；
2.三个正方形的面积分别是_____、_____和____.43516925合作探究3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？
结论：直角三角形两直角边的__________
等于___________________________.
?
命题1（勾股定理） 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么__________.平方的和斜边的平方a2+b2=c2设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
?
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得
62+b2=102
b=8
解：由勾股定理得
52+122=102
c=13
解：由勾股定理得
a2+152=252
a=20acb1、赵爽弦图利用了_______关系进行勾股定理的证明.
2、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的小正方形的边长为________，利用面积证明勾股定理.
∵ S大正方形
＝4S直角三角形+S小正方形
＝4×_______+ （____ ）2
＝_______________________
＝_______________________
又∵S大正方形＝C2
∴______2+______2=_______2
面积b-ab-a2ab+b2-2ab+a2a2 +b2abc如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.FGKH解：如图所示
正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,
设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理知122+162=c2，c=20 ，即正方形F边长为20，同理可得，正方形G的边长为15，故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2k=25
正方形E的边长为25，
S正方形E=25×25=625
例题1、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长.2、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方.解:设斜边长为x, 由勾股定理得x 2 = 33 2 + 44 2 = 55 2所以 x = 55解：1.如果5为斜边，设第三边为x5 2 = x 2 + 4 2所以x 2 = 92.如果5为直角边，设第三边为xx2 = 5 2 + 4 2所以 x 2 = 41随堂训练3、如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB 于D，
AC=12，BC=9， 求：CD的长.解：在三角形ABC中AC = 12 ，BC = 9由勾股定理得：AB 2 = 12 2 + 9 2所以 AB = 25由三角形ABC的面积 = AC * BC/2 = AB * CD/2即 ：12 * 9 = 25 * CD所以 CD = 4.321.勾股定理；
2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 勾股定理的实际应用复习
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训练1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．下面，我们用面积计算来证明这个定理。复习引入 请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。 用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
ACBD一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?合作探究●邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？ ABCDO下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152
x2=64答：正方形的面积是64平方厘米。例题◆在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高． ABCD随堂训练如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑴若AB=12，BC=10，AC=8 ,求：DE的长度.如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑵求证：AB2 - AC2＝2BC·DE.在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？ ACBD◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？ CD应用勾股定理解决实际问题的思路：?
（1）深刻理解题意；
（2）画出简图；?
（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第3课时 勾股定理的逆定理情景
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训练1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件直角三角形有哪些性质？ (1)有一个角是直角； (2)两个锐角的和为90°(互余 )； (3)两直角边的平方和等于斜边的平方. 反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢?情景引入(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形； (3)如果一个三角形的三边a ,b ,c满足a2 +b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形吗？一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?合作探究请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系. 锐角三角形钝角三角形直角三角形勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 .a2 + b2 = c2勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形.a2 + b2 = c2反过来判断由线段a、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15, b=8, c=17 （2）a=13, b=14,c=15解：（1）（2）例题 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.以小组为单位，每位同学自己找一组
勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。3， 4， 5； 5，12，13；6， 8，10；
7，24，25； 8，15，17；9，40，41
9，12，15；10，24，26；……1.下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？(1) a=6 b=8 c=10 ____ _____ ;(2) a=12 b=8 c=15 ____;(3) a=8 b=6 c=5 _____;是 不是不是 是∠C=900∠B=900(4) a=1 b=2 c= ____ _______;随堂训练
2.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.3412135∟3.满足下列条件△ABC, 不是直角三角形的是( )
A、b2 = a2 - c2
B、a:b:c=3:4:5
C、∠C=∠B-∠A
D、∠A:∠B :∠C =3:4:5D
1.勾股定理的逆定理的内容；
２.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；
３.勾股定理与它的逆定理之间的关系；
４.数形结合的数学思想.
课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”1.3 直角三角形全等的判定情景
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XJ全册精品教学课件（1）说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？情景引入判 断（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.﹙√﹚﹙×﹚﹙√﹚AAS或者ASASASABCA’B’C’（A’）（C’）（B’）如图在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°,那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗? 合作探究解:因为∠ACB=90°
∠ACB‘= ∠A’C’B’=90°
所以∠BCB’= ∠ACB+ ∠ACB’=180 °
故B，C（C’），B’在同一直线上
因为AB=A’B’=AB’
所以∠B =∠B’（等边对等角）
在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中
∠B =∠B’（已证）
AB=A’B’（已知）
所以Rt?ABC≌Rt?A’B’C’（AAS）
如图,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”前提斜边、直角边公理 (HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等.几何语言例1 如图， BD ，CE分别是△ABC的高，且BE = CD.求证： Rt△BEC ≌ Rt△CDB.在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵ BC = CB，BE = CD，
∴ Rt△BEC ≌ Rt△CDB （HL）.
1．如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明.（DB＝AC就不要证明了）随堂训练2.如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形.3.如图，∠ABD=∠ACD=90o，∠1=∠2，则AD平分∠BAC.请说明理由.4.如图，AC⊥CB，BD⊥BC，AB=DC，AB与CD平行吗？为什么？1.判定直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法: SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升” 1.4 角平分线的性质情景
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XJ全册精品教学课件生活中有很多数学问题：
小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连.
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看看.暖气天然气情景引入合作探究图1-26∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.在△PDO和△PEO中，
∵ ∠PDO =∠PEO，
∠DOP =∠EOP，
OP = OP，∴ △PDO≌△PEO.∴ PD = PE.我们来证明这个结论.图1-26图1-26角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
由此得到角平分线的性质定理：在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.如图1-27，过点O，P作射线OC.∴ ∠AOC =∠BOC.∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：又 BA⊥AD， BC⊥CD，∴ 点B在∠ADC的平分线上.（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；图1-28证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.∴ ∠ABD =∠CBD.∴ BD是∠ABC的平分线.（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
求证：EB=FC.AFCDBE随堂训练2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB. 变式
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
课堂小结1.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.课后作业 见本课“课后巩固提升”第1章 直角三角形
小结与复习八年级数学下（湘教版）
XJ全册精品教学课件一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_____.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____.
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________.互余一半一半a2+b2=c2二、直角三角形的判定
1.有一个角是_____的三角形是直角三角形.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.直角a2+b2=c2【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.有两个角互余的三角形是直角三角形. ( )
2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方. ( )
3.一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半. ( )√××热点考向一 直角三角形的性质?
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 .【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DBF，从而求得∠A的度数.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.【自主解答】在Rt△FDB中，∵∠F=30°，∴∠DBF=60°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.
在Rt△AED中，∵∠A=30°，DE=1，∴AE=2.
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=2.
答案：2【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用
1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.
2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.
3.重要辅助线——(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.【真题专练】
1.如图，一副分别含有30°角和45°角
的两个直角三角板，拼成如图所示图形，
其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，
则∠BFD的度数是( )
A.15° B.25° C.30° D.10°2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为 ( )
A.20 B.18
C.14 D.13【知识拓展】直角三角形的两个结论
(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.热点考向二 勾股定理?
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 .【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在Rt△B′EC中，利用勾股定理解出x的值即可.【自主解答】 ，
由折叠的性质得BE=B′E，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4-x，B′C=AC-AB′=AC-AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=(4-x)2，解得：x= .
答案：【规律方法】勾股定理的应用
1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.
2.作长度 为(n为正整数)的线段.
注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.【真题专练】
1.如图，点E在正方形ABCD内，
满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60 C.76 D.802.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 m.热点考向三 勾股定理的逆定理?
【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度.【解题探究】(1)BE′是由BE旋转多少度得到？BE′与BE什么关系？
提示：BE′是由BE旋转90°得到的，BE′⊥BE且BE′=BE.
(2)若连接EE′，得到的△EBE′是一个什么特殊的三角形？
提示：△EBE′是等腰直角三角形.
(3)△EE′C是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？
提示：△EE′C是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤
1.确定三角形的最长边.
2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.
3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.【知识归纳】判定直角三角形的两种方法
(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.
(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.命题新视角 用勾股定理解展开与折叠问题
【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .【审题视点】【规律方法】解图形折叠问题的思路
1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).
2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.
3.利用勾股定理建立方程求解.【巧思妙解】巧用面积，事半功倍
【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ( )
A. B. C. D. 【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.课后作业 见“本章热点专练” 第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时 多边形的内角情景
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XJ全册精品教学课件你能从图2-1 中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？图2-1情景引入 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角
例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形. 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，
五边形，……图2-2三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图2-3，四边形ABCD的一条对
角线AC 把它分成两个三角形，因此
四边形的内角和等于这两个三角形的
内角和， 即180°×2=360°. 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点
画出所有对角线，并完成下表.合作探究图形 边数可分成三角形的个数多边形的内角和4（6-2） × 180°（7-2） × 180°5（8-2） × 180°6n-2（n-2）×180° 如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An. 与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形. n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°.图2-4n边形的内角和等于(n-2)· 180°由此得出：你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？例1（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 1980°，
解得n = 13.
所以这是一个十三边形.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？答：150°.
答：十二边形.随堂训练过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形
分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形.3.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有两个钝角最多能有2个锐角1.本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2. n边形对角线条数： 条.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升” 第2课时 多边形的外角复习
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训练2.1 多边形复习引入3、n边形的对角线一共有＿＿＿＿＿＿条2、n边形的一个顶点可以＿＿＿＿对角线（n—3）n(n—3)÷21、n边形的内角和等于＿＿＿＿＿＿＿＿(n-2)· 180° 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。合作探究（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少度？
（3）在上图中，你能求出?1+?2+?3+?4+?5等于多少吗？你是怎样得到的？ 如图2-6，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. 我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 如图2-7，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∴ ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° - 360° = 360°∵ ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°，
又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，∴ 四边形的外角和为360°. 三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？ 类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°. 因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n· 180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2 )×180°所得的差即为n边形的外角和.n· 180°-（n-2 )×180°
=［n-（n-2 )］· 180°
= 2×180°
= 360° .任意多边形的外角和等于360°.由此得出：例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解 设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)· 180°.由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，解得 n=12.因此这个多边形是十二边形. 三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用4 根木条钉成如图2-8 的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？图2-8 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了， 这说明四边形具有不稳定性. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图2-9 （a）中的电动伸缩门、图2-9 （b）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9 （c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.
图2-9（a）（c）（b）1. 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？答：这个多边形是八边形，
每个内角是135°.随堂训练2. 如图，求图中x的值.答：x =60°.3. 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.答：有种衣架是根据平行四边形的不稳定性，用同样
长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都
有一个挂钩，不仅美观，而且实用，如下图： 本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质情景
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训练情景引入 在小学， 我们已经认识了平行四边形. 在图2-10 中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图2-10两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.读作：平行四边形ABCD记作： ABCD∴四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是
平行四边形合作探究两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的边、角有怎样的数量关系？用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？从拼图中可以得到什么启示？ 平行四边形可以由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题. 在图2-13的□ABCD中，连接AC.∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3.∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.∵ 四边形ABCD为平行四边形，又 AC =CA，∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.∴ △ABC≌△CDA. 又∠1+∠4=∠2+∠ 3. 即∠BAD=∠DCB.平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理：几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC
（平行四边形的对边相等），∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等）， 1、在 ABCD中，已知∠A=130°，则∠B=＿＿ ，∠C=＿＿＿ ，∠D＝＿＿＿.
????????????2、在 ABCD中，AB=2,BC=3，则这个平行四边形的周长是______. 50°50°130°10随堂训练3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形
1）若周长为30㎝，CD＝6 ㎝，则AB＝ ㎝；
则BC＝ ㎝；AD＝ ㎝.
2）若∠A＝70°，则∠B＝ ,∠C＝ ； 则∠D＝ .
3）若∠A＋∠C=80°，则∠A＝ ；则
∠D＝ .1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”情景
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训练2.2.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的性质情景引入 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 老大老二老三老四 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 如图2-16，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O. 比较OA ，OC ，OB ，OD 的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？合作探究 从而 ∠1=∠2，∠3=∠4.所以 △OAB≌△OCD.(ASA)于是 OA=OC，OB=OD. 这个猜测对吗？下面我们来进行证明.如图2-17，由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AB=CD，且AB∥CD.图 2-17几何语言表示：由此得到平行四边形的性质定理：(3)平行四边形的对角线互相平分.O●老大老四老三老二M老人分地合理吗？解决问题结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份。例1:如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长.又∵ CD = 4.8，∴ △COD的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8.图2-18354.8例2:如图2-19，在□ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.∵ AD∥BC，
∴ ∠MAO =∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴ △AOM≌△CON(ASA)∴ OM= ON.∴ 点O是线段MN的中点.1、在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，指出图形中相等的线段.随堂训练2、平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B. 对角线相等且互相平分
C.对边平行且相等 D.对角线互相平分B3、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴ AO+BO＝15-6＝9．
又∵ AO＝OC， BO＝OD
(平行四边形对角线互相平分)，
∴ AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)
＝２×９＝184.如图所示, □ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC于C,已知AC=6,BC=4,求BD的长.==ABCDABCDABCDO课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2情景
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训练实验室有一块平行四边形的玻璃片（记作:□ABCD),在做实验时,小明不小心碰碎了一部分(如图所示),他想配一块一模一样的赔给学校，如果把剩下的玻璃带去玻璃店，他能做到吗？情景引入 从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？图2-20合作探究 如图2-20， 把线段AB平移到某一位置，得到线段DC， 则可知AB∥DC ，且AB=DC. 由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质: 两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC. 由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.图2-20 实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图2-21，已知AB∥DC ， 且AB=DC ，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.图2-21由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC.因此BE=FD.又 BE∥FD，∴四边形BEDF是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)例1 如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？图2-23∴ ∠1=∠2.下面我们来证明这个结论.如图2-24，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC.∵ AB=CD，BC=DA，AC=CA ，∴ △ABC≌△CDA.∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形）.则 AD∥BC.图2-24由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.例2
∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB=DC ，AD=BC .随堂训练 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F
分别是边BC，AD的中点. 找出图中所有的平行四边形，
并且说出理由.
解：□ABCD：两组对边分别相等的
四边形是平行四边形.
□ABEF 和□ FECD ：一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形.
3.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.4.已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点.求证：EF//AD//BC.5.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判断定理：课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”情景
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训练2.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形说一说：我们已经学过平行四边形的哪些判定方法?定义: 两组对边分别平行的四边形是
平行四边形定理1: 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形 情景引入工具：两支长度不相等的铅笔.动手：能利用这两支笔摆出一个平行
四边形吗？试试看！合作探究ABCDO已知:四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
试说明：四边形ABCD是平行四边形. 以上活动事实，蕴含了一个怎样的数学结论？平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是
平行四边形.∵OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行 四边形）思考：归纳：几何语言：例1.已知：如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，点E、F在BD上，且OE=OF.CBODAFE求证：四边形BFDE也是平行四边形.典例精析证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.例2.已知：如图，在四边形ABCD中，
∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D求证：四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.归纳：证明：∵ ∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D，
∠A+∠ B+∠ C+∠ D=360°，
∴ ∠A+∠ B=360°/2=180°.
∴AD//BC,
同理，AB//DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.1.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF. 求证：四边形AECF是平行四边形.O随堂训练2.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形.ABCDEF3.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F. 求证：四边形AECF是平行四边形.4.如图，在△ABC中，AB=14，BC=18，AD是AC边上的中线，求AC的取值范围.课堂小结平行四边形的判定：
两组对角分别相等；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.3 中心对称与中心对称图形第1课时 中心对称及其性质情景
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训练观察下面的图形，你有什么发现？情景引入下面各组图形，通过怎样变换可以使它们重合?（1）（2）OO合作探究(1) 这些图形有什么共同的特征？(2) 你能将上图中的“风车”绕其上的一点旋转180o，使旋转前后的图形完全重合吗？正六边形呢？都可由一个基本图形旋转而成ABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’O把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,也称这两个图形成中心对称这个点叫作对称中心2个图形中的对应点叫做对称点 把一个图形绕某一点旋转1800,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点.中心对称 性质1：关于中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质. 中心对称还有哪些性质呢？中心对称有什么性质呢？即关于中心对称的两个图形是全等形 性质2：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
D'C'B'A'ABCDOAO1.已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点A ′2.已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的对称图形OB ′A′随堂训练3.判断两个全等的图形是否关于某一点对称1.中心对称及对称中心的概念
2.中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 中心对称图形复习
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训练1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转1800
如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称. 2.中心对称的性质:
⑴关于中心对称的两个图形是全等形
⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过
对称中心且被对称中心平分复习引入 如图2-34，将线段AB绕它的中点O旋转180°，
你有什么发现？图2-34合作探究 像这样，如果一个图形绕一个点O 旋转180°，
所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作
中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心. 由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是
它的对称中心.1.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）B 2.已知□ABCD的对角线BD=4cm，
将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，
则点D所转过的途径长为（ ）
A.4πcm B.3πcm
C.2πcm D.πcmC （1）点A的像是 ；（2）点B的像是 ；（3）边AB的像是 ；（4）点C的像是 ；（5）边BC的像是 ；（6）点D的像 ；（7）边CD的像是 ；（8）边DA的像是 .点C点D边CD点A边DA点B边AB边BC 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180° ，它的像与自身重合，因此 你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕
对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？ 下面是计算机键盘上某一行的英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念:区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系: (1)如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.(2)如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称.选择题
1.下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形C2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形A随堂训练2.下列图形哪些是中心对称图形?
1.中心对称图形的定义；
2.中心对称图形的性质；
3.我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形；
4.中心对称图形的应用.课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”2.4 三角形的中位线情景
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训练 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。情景引入ADEFBC1、剪一个三角形，记为△ABC2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE3、沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°后得到△CFE的位置，得四边形BCFD合作探究 并且有：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=位置关系数量关系 请你谈谈三角形的中位线和中线的异同：1.相同点：两者都是线段.2.不同点：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.前者和两个中点有关；后者只与一个中点有关.1、 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？等于原三角形周长的一半等于原三角形面积的四分之一 F
（中点）(中点)DE(中点)ABC 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。典例精析 例题 1、已知：如图，点 D、E、F 分别是 △ABC的 三边AB、BC、AC 的中点.
（1）若AB=8cm，则EF= cm;
（2）若DF=5cm，则BC= cm；
（3）若∠ADF=50°，则∠B= °
（4）已知：△ABC周长为30，
则：△ DEF的周长为 .
（5）若△ABC的面积为24，△DEF的面积是____
504 10 1561.如图：D、E、F分别是△ABC各边的中点，DE和AF交于点O，试说明DE和AF互相平分.随堂训练2.如图：在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
①求证：EF∥BC；
②若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.C3.顺次连接以下四边形各边的中点，可以得到什么四边形？①平行四边形; ②矩形;③菱形;④正方形. 4.在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。
求证：四边形DECF是平行四边形。思考：若连结EF，则图中有多少个平行四边形？5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN
（2）求△ABC的周长.
10153106课堂小结1.熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；
2.理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半；
3.能应用三角形中位线的性质解决有关问题.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.5 矩 形
2.5.1 矩形的性质情景
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训练在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？图2-41情景引入 这些四边形的四个角都是直角.合作探究有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.平行四边形矩形 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此 如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？图2-42图2-42如图，四边形ABCD是矩形，于是有 AB=DC，
∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.因此 △CBA≌△BCD. (SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：例1：如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°.
求BC的长.图2-43举
例解：∵ □ABCD是矩形，∴ △AOB是等边三角形.∴ AB=OA=2cm.又∠AOB = 60°，∵ ∠ABC = 90°，图2-43 在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.O 过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.由于 ，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于
直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形
ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称
图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴. 类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到： 1.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的
一个夹角为60°，求矩形的各边长. 随堂训练2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质
说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于
斜边的一半.课堂小结1.矩形与平行四边形的性质对比；
2.直角三角形斜边中线的性质；?
3.矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明.课后作业 见本课“课后巩固提升”2.5.2 矩形的判定情景
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训练 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？情景引入如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46合作探究三个角是直角的四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也
是直角，由此得到： 四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形： 从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此 △ABC≌△DCB. (SSS)从而 ∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB =180°，于是 ∠ABC=90°.所以 □ABCD是矩形.图2-47对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形吗？如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样
的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么
□ABCD是矩形吗？图2-48（2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC与DB相等且互相平分.∴ △OBC是等腰三角形.∴ AC = 2OC = 2OB = BD.∴ □ABCD是矩形.图2-481. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ，
四边形的内角和为360°，
所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ，
所以四边形ABCD是矩形.
(三个角是直角的四边形是矩形.)随堂训练2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.∴ △OAB是等腰三角形.∴ △OAB是等边三角形.
又∠AOB = 60°，∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4.∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
作OE⊥AD于点E.E课堂小结矩形的判定：
1、对角线相等的平行四边形是矩形；
2、有三个角是直角的四边形是矩形. 课后作业 见本课“课后巩固提升”2.6 菱 形
2.6.1 菱形的性质情景
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训练情景引入1、（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？?
2、平行四边形的性质：
边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：互相平分
对称性：中心对称图形
3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
4、矩形是从角得到，那么从边通过满足什么条件可以得到什么特殊的四边形呢？今天我们一起来研究特殊的平行四边形菱形.下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？图2-49合作探究平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.如图2-50，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交于点O. 对角线AC⊥DB 吗？你的理由是什么？∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，∴ AC⊥DB.
菱形的对角线互相垂直.由此得到菱形的性质： 把图2-50中的菱形ABCD沿直线DB对折
（即作关于直线DB的轴反射），点A的像是 ，
点C的像是 ， 点D的像是 ，点B的像
是 ，边AD的像是 ，边CD的像是 ，
边AB的像是 ，边CB的像是 .图2-50点C点A边DC点D点B边DA边BC边AB 从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合. 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.由此得到：又 AC⊥DB（菱形的对角线互相垂直），例1 如图2-51，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD
的面积和周长.图2-51所以 AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.从而 AB = 2.5(cm).图2-511.菱形ABCD的两条对角线的交点为O.已知AB=5cm，OB=3cm.求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积.随堂训练答：两条对角线的长分别为6cm和8cm，
面积为24cm2.2.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点， PE⊥AD 于点E，PE=4cm，求点P到AB的距离.答：4cm.课堂小结有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.?
菱形的性质：?
（1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；?
（2）菱形的四条边都相等；?
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；?
（4）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半.?课后作业 见本课“课后巩固提升”2.6.2 菱形的判定情景
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训练情景引入菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角；
4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
这些性质对我们寻找判定菱形的方法有什么启示？ 如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？图2-52合作探究 下面我们来证明这个结论.∵AD=BC，AB=DC，如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.又AB=AD，四条边都相等的四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理1：图2-54证明 由于线段BD垂直平分AC ，因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.
在△AOB和△COD中，有
∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC.所以△OAB≌△OCD.从而AB=CD.因此四边形ABCD是菱形.
(四条边都相等的四边形是菱形)所以BA=BC=DA=DC.图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 过点O画两条互相垂直的线段AC
和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？我们来进行证明.又由于DB是线段AC的垂直平分线，由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.因此，DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理2：
∴ AB=AD=5 .解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ △DAO是直角三角形.∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.随堂训练2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.课堂小结判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．课后作业 见本课“课后巩固提升”2.7 正方形情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形.装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？图2-57合作探究 我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.图2-58
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
可以知道： 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，图2-59又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°，∴ ∠1 =∠2.∴ △AED≌△CFD （ASA）.∴ DE = DF.图2-59 观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形？图2-60∴ AB = BC = CD = DA.又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，∴ D′A = A′B = B′C = C′D.又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，∴ △AA′D′≌△BB′A′
≌△CC′B′≌△DD′C′.图2-60∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°.图2-601.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.随堂训练2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？课堂小结1、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质：
课后作业 见本课“课后巩固提升”第2章 四边形
小结与复习1.多边形的内角和与外角和:任意n边形(n≥3)内角和等于 ;外角和等于 .?
2.从n边形的一个顶点出发可以引 条对角线,n边形对角线总条数为 条.?
3.正多边形的定义: 多边形.
4.正n边形每个内角为 .?
(n-2)·180° 360°n-3各边都相等,各内角都相等的知识点:多边形的有关概念及性质平行四边形☆定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形☆性质：
1、平行四边形对边
2、平行四边形对角
邻角
3、平行四边形对角线平行相等互相平分平行且相等4、平行四边形是中心对称图形互补ＡＢＣＤＯ平行四边形的判定方法边：角对角线1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形知识点:矩形的性质与判定直角中心对称直角直角相等平分一半轴对称相等平行四边形平行四边形知识点:菱形的性质与判定直角垂直平分平方平行四边形矩形菱形互相垂直平分知识点:正方形的性质与判定边角对角线四个角都是直角四边相等四边相等四个角都是直角相等ABCDOABCDOABCDO互相垂直每一条对角线平分一组对角相等互相垂直每一条对角线平分一组对角区别于平行四边形的特殊性质几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线2.构建新的平行四边形3.构建全等三角形4.构建等腰三角形几种常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形(平行一腰)2.平移一条对角线(若对角线垂直或相等)EE构建全等三角形(取一腰的中点)F4.构建矩形(作底的垂线)例１ 已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF? AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.ＡＢＣＤＥＦ分析：从求证入手，要证CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要证AF＝BE即可，而AF、BE分别在△AFD、△EBA中，即要证明△AFD≌△EBA .证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC＝AE， ? B＝90? ， AD∥BC 。 ∴ ? DAE＝ ? AEB。
又∵ DF ? AE于F， ∴ ? AFD＝ 90? ＝? B 。∴ △AFD≌△EBA . ∴ AF＝BE ,
∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE 例２ 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证：AF＝1/2 FC.ABCDEFGH 证明：过点D作DH∥BF
交AC于点H。
∵AD是△ABC的中线。
∴D是BC的中点。
∴CH＝HF＝1/2 CF。
∵E是AD的中点，EF∥DH。
∴AF＝FH。
∴AF＝1/2 FC。
１．矩形边长分别为45cm，20cm，其中一个内角平分线把较长边分成两部分，这两部分长是＿＿＿＿＿＿；45202025２.若三角形的三边之比为 6 : 5 : 4 ,周长是 45 cm,那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿;６x＋５x＋４x＝４５x＝３最长边６x＝１８９cm3.在△ABC中，P 是BC上一动点，过点P作 PE∥AC ，交AB于E ，过P作PF∥AB 交AC于F，当点P 运动到什么位置时，四边形AEPF是菱形？4．正方形ABCD对角线AC．BD交于O，P是BD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，连OE，OF.
求证:(1)OE＝OF；
(2)OE⊥OF.ＡＢＣＤＯＥＦ１２３４Ｐ５5．田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖鱼池建养鱼苗，想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．课后作业 见“本章热点专练”第3章 图形与坐标
3.1 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系情景
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训练情景引入1、请画一条数轴，并指出它的三要素.
2、说出下列数轴上的点所表示的数.
A B
3、游戏“找朋友”问题：（1）只给一个数据如“第3列”你能确定好朋友的位置吗？（2）给两个数据如“第3列第2排”你能确定好朋友的位置吗？为什么？（3）你认为需要几个数据能确定一个位置？ 生活中，我们常常遇到描述各种物体的位置，
结合图3-1说一说，如何确定李亮同学在教室里
的座位呢？图3-1合作探究例如，李亮在教室里的座位可以简单地记作（4，2）. 从上面的例子可以看到，为了确定物体在平面上的位置，我们经常用“第4组、第2排” 这样含有两个数的用语来确定物体的位置. 为了使这种方法更加简便，我们可以用一对有顺序的实数（简称为有序实数对）来表示. 为了用有序实数对表示平面内的一个点，需要用两根互相垂直的数轴: 一根叫横轴(通常称x轴)，另一根叫纵轴(通常称y轴)，它们的交点O是这两根数轴的原点，
通常，我们取横轴向右为正方向，横轴与纵轴的单位长度通常取成一致（有时也可以不一致），这样建立的两根数轴构成平面直角坐标系，记作Oxy. 从李亮在教室里的座位的例子可以看到，第4组是从横的方向来数的，第2排是从纵的方向来数的.怎样用有序实数对来表示平面内点的位置呢？ 例如，在图3-2中，为了用有序实数对表示点M， 我们过点M作x轴的垂线，垂足为C，x轴上的点C表示-4； 再过点M作y轴的垂线，垂足为D，y轴上的点D表示5， 于是（-4，5）就表示了点M. 我们把（-4，5）叫作点M的坐标，其中-4叫作
横坐标，5叫作纵坐标. 反之，为了指出坐标(4 ,2)的点，我们在x轴上找到表示4的点A，O13245-2-451234-2-4xyD 过A点作x轴的垂线（通常画成虚线）； 再在y轴上找到表示2的点B，过点B作y轴的垂线（通常也画成虚线）， 这两条垂线相交于点P，则点P就是坐标（4 ,2）的点.（4，2） 在建立了平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应.综上所述， 在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图3-3所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，我们把这四个区域分别称为第一，二，三，四象限，坐标轴上的点不属于任何一个象限. 想一想，原点O的坐标是什么？x轴和y轴上
的点的坐标有什么特征？图3-4图3-5随堂训练（1）说出点A，B，C，D，E的坐标.答：A的坐标为（3，3），
B的坐标为（-5 ，2），
C的坐标为（-4，-3），
D的坐标为（4，-3），
E的坐标为（5，0）.（2）描出点P(-2，-1)，Q(3，-2)，S(2，5)，
T(-4，3)，分别指出各点所在的象限.答：点P在第三象限，点Q在第四象限，
点S在第一象限，点T在第二象限.
(3,-2)课堂小结1．平面直角坐标系的概念
2．平面直角坐标系中一个有序数对可以确定一个点的位置，它与数轴上一个实数确定一个点的位置的区别
3．平面直角坐标系内点与坐标之间的关系课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 利用直角坐标系和方位描述 物体间的位置情景
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训练 如图3-6 是某中学的校区平面示意图（一个方格的边长代表1个单位长度），试建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示校门、图书馆、花坛、体育场、教学大楼、国旗杆、实验楼和体育馆的位置.图3-6情景引入 校门的位置为（0，0），图书馆的位置为（3，1）， 花坛的位置为（3，4），体育场的位置为（4，7）， 教学大楼的位置为（0，7），国旗杆的位置为（0，3）， 实验楼的位置为（-4，6），体育馆的位置为（-3，2）. 如图3-7 所示，以校门所在位置为原点，分别以正东、
正北方向为x 轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系.合作探究 若以国旗杆所在位置为原点建立平面直角坐标系， 则校区内各建筑物的坐标会发生变化吗？ 试写出此时各点的坐标.根据以下条件画一幅示意图， 标出学校、书店、电影院、汽车站的位置.
（1）从学校向东走500m，再向北走450m到书店.
（2）从学校向西走300m，再向南走300m，最后向东走50m到电影院.
（3）从学校向南走600m，再向东走400m到汽车站.举
例图3-8 在日常生活中， 除了用平面直角坐标系刻画物体之间的位置关系外，有时还可借助方向和距离（或称方位） 来刻画两物体的相对位置.（1）如图3-9，李亮家距学校1000m，如何用方向和距离来描述李亮家相对于学校的位置？
（2）反过来，学校相对于李亮家的位置怎样描述呢？图3-9图3-9李亮家在学校的北偏西60°的方向上，与学校的距离为1000m；反过来，学校在李亮家南偏东60°的方向上，与学校的距离为1000m.我们把北偏西60°，南偏东60°这样的角称为方位角.图3-91.如图是某动物园的部分平面示意图，试建立适当的 平面直角坐标系，用坐标表示大门、百鸟园、大象馆、狮子馆和猴山的位置.随堂训练2.如图，一艘海洋科考船在O点用雷达发现了几群鲸鱼， 规定1个单位长度代表100m长，试用适当的方法来表示A， B，C，D，E这5个目标鱼群相对于点O的位置.课堂小结1.利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意的问题:
（1）注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置．
（2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．
（3）要注意标明适当的单位长度．
（4）有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．
2.方位角经常运用在航海中描述船及参照物的位置.课后作业 见本课“课后巩固提升”3.2 简单图形的坐标表示情景
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训练情景引入1.写出上面A、B、C、D、E各点的坐标.
2.什么是平面直角坐标系？
3.指出第一题中A、B、C、D、E、F、G、H各点所在的象限.
4.归纳出各项限内及坐标轴上的点的坐标符号特点.如图3-11，已知正方形ABCD的边长为6.
(1)如果以点B为原点，以BC所在直线为x轴，建立平面
直角坐标系，那么y轴是哪条直线？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标.
(2)如果以正方形的中心为原点，建立平面直角坐标系， 那么x轴和y轴分别是哪条直线？此时正方形的顶点A，B，C，D的坐标分别是多少？图3-11合作探究因为AB=6，BC=6，可得点A，C，D的坐标分别为A（0，6），C（6，0），D（6，6）. 此时，点A，B，C，D的坐标分别为A（-3，3），
B（-3，-3），C（3，-3），D（3，3）.
平面直角坐标系的构建
不同，则点的坐标也不同.
在建立直角坐标系时，应使
点的坐标简明.图3-13图3-14因为BC = 8，AB = 6，可得点A，C，D的坐标分别为：
A（0，6），C（8，0），D（8，6）. 依次连接A，B，C，D ， 则图3-15中的四边形就是所求作的矩形.图3-15在例1中，还可以怎样建立平面直角坐标系？图3-16规定1 个单位长度为100 mm，则四边形ABCD 的顶点
坐标分别为：A（-1，0），B（4，0），C（3，2），
D（0，2）. 依次连接A，B，C，D ， 则图3-17中的
四边形ABCD即为所求作的图形.
如图， Rt△ABC的两直角边AB，BC 的长分别为6，5,
试建立适当的平面直角坐标系来表示Rt△ABC各顶点的坐标.随堂训练从上图可知Rt△ABC各顶点的坐标分别为：
A（0，6），B（0 ，0），C（5，0）.从上图可知Rt△ABC各顶点的坐标分别为：
A（0，6），B（0 ，0），C（5，0）.2.如图是在方格纸中画出的船，试建立适当的平面直角坐标系来表示它，并写出其各顶点的坐标.从上图可知轮船各顶点的坐标分别为：
A（-4，0），B（-2，-2），C（2，-2）， D（4，0），
E（0 ，0），F（2，1）， G（0 ，5）.
课堂小结1.坐标平面被坐标轴分成四个象限，坐标轴上的点不在任何象限内；
2.各象限内点的坐标符号特点及坐标轴上点的坐标特点；
3.根据点的坐标确定点的位置；
4.建立适当平面直角坐系，描述点的位置.课后作业 见本课“课后巩固提升”3.3 轴对称和平移的坐标表示
第1课时 轴对称的坐标表示情景
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训练情景引入引言：老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗?学生指出西直门的位置，试着说出西直门的坐标．
用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，这节课我们就来学习用点表示轴对称．
（1）分别作出点A关于x轴，y轴的对称点A′，A″，并写出
它们的坐标；
（2）比较：点A与A′的坐标之间有什么关系？点A与A″呢？如图3-18，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2）.图3-18合作探究不变互为相反数互为相反数不变 一般地，在平面直角坐标系中，点（a，b）关于
x轴的对称点的坐标为（a，-b），关于y轴的对称点的坐标为（-a，b）. 如图3-19，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，2）， C（5，2）.
（1）作出△ABC关于y轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标；
（2）作出△ABC关于x轴的轴对称图形，并写出其
顶点坐标.
图3-19图3-20图3-211.已知点（2a-3,4）与点（6，b-1）关于x轴对称.
（1）求a、b的值;
（2）试问P（a-1,b-3）在哪一象限？随堂训练2.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5)、B(- 4，1)、C(-1，3)，作出△ABC以及它关于y轴对称的图形.3.已知点A（2x+y，－7）和点B（4，4y－x）.
（1）若关于x轴对称，求x，y的值；
（2）若关于y轴对称，求x，y的值.
4.在平面直角坐标系中，点（2,3）与点关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（－2，－3）
C.（－2，3） D.(2，－3)课堂小结1.关于坐标轴对称的两个点的坐标关系．
2.在坐标平面内利用坐标变换完成图形的轴对称变换.课后作业 见本课“课后巩固提升”第2课时 平移的坐标表示情景
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训练1．什么叫做平移？2．平移后得到的新图形与原图形有什么关系？把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移.平移后图形的位置改变，形状、大小不变.情景引入 如图3-23，在平面直角坐标系中，
A（1，2）分别沿坐标轴方向作以下变换， 试作点A的像， 并写出像的坐标.
（1）点A向右平移4个单位，像为点A1；
（2）点A向左平移3个单位，像为点A2；
（3）点A向上平移2个单位，像为点A3；
（4）点A向下平移4个单位，像点为A4.
图3-23合作探究A（1，2）A1（5，2） 一般地， 在平面直角坐标系中，将点（a，b）
向右（或向左） 平移k 个单位，其像的坐标为（a+k，b）
（或（a-k， b））； 将点（a， b）向上（或向下）
平移k个单位，其像的坐标为（a， b+k）（或（a， b-k））.A2 （-2，2）A3 （1，4）A4 （1，-2）不变不变不变不变不变不变不变不变不变不变坐标变化不变不变不变不变
（1）将线段AB向上平移2个单位， 作出它的
像A′B′， 并写出点A′， B′的坐标；
（2）若点C（x，y） 是平面内的任一点，
在上述平移下， 像点C′（x′， y′）
与点C （x，y）的坐标之间有什么关系？图3-24 如图3-24，线段AB 的两个端点坐标分别为
A（1，1）和B（4，4）.
（1）将线段AB 向上平移2 个单位， 则线段AB 上
每一个点都向上平移了2 个单位， 由点A， B
的坐标可知其像的坐标是A′（1， 3），
B′（4， 6）. 连接点A′， B′， 所得线段
A′B′即为所求作的像，如图3-24.
（2）同理可求出，像点C′与点C之间的坐标关系为图3-25依次连接点A1，B1，C1，即
可得△ABC的像△A1B1C1.依次连接点A2，B2，C2 ， 即可得△ABC 的像△A2B2C2 .图3-261.已知点A(3，2),将点A先向右平移2个单位长度,
再向上平移5个单位长度,得到A′,则A′的坐标为
________.(5,7)横纵坐标都要发生变化随堂训练2.将点P（0，-2）向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点Q(x,y)，则xy= -43.将点P（m,1）向右平移5个单位长度，得到点Q（3，1），则点P坐标为（-2，1）4.将点P（m+1,n-2）向上平移3个单位长度，得到点Q（2，1-n），则点A(m,n)坐标为（1，0）P(x,y)P(x, y-b)P(x, y+b)P(x-a,y)P(x+a,y)向右平移
a个单位向左平移
a个单位课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”第3章 图形与坐标
小结与复习考点1 平面直角坐标系内点的位置与坐标特征 考点2 点P (a，b)到坐标轴与原点的距离考点3 平面直角坐标系中对称点的坐标(－x，－y)(x，－y)(－x，y)考点4 坐标平面内点的平移 探究一 平面直角坐标系内点的坐标特征 B 探究二 简单图形的坐标表示 (5，4) 探究三 平面直角坐标系内点的轴对称与平移BA教材母题——湖南教育版八下P88练习T1 中考预测C课后作业 见“本章热点专练”第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.1 变量与函数情景
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训练大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 情景引入 10 20合作探究2. 当正方形的边长x分别取1，2，3，4，5，… 时，
正方形的面积S分别是多少？试填写下表：14916253649从第2题中，我们可以看出：正方形的面积随着它的边长的变化而变化. 28.857.6 在某个实际问题中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）上述三个问题中
(1)时间t，气温T
(2)正方形的边长x，面积S；
(3)使用天然气的体积x，应交纳的费用y等都是变量.
每一方米天然气应交纳2.88元，2.88是常量.变量、常量的定义一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数，记作：y=f(x).这里的f(x)是英文 a fun_ction of x（x的函数）的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).几个概念1. 第一个例子中， 是自变量， 是
的函数.时间t气温T时间t2. 第二个例子中，正方形的边长是 ，
正方形的面积是边长的 .自变量函数3. 第三个例子中， 是自变量，
是 的函数.所用天然气的体积x应交纳费用y所用天然气的体积x 在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围. 如上述
第1个问题中，自变量t的取值范围是0≤t≤24；
第2个问题中，自变量x的取值范围是 x＞0
第3个问题中，自变量x的取值范围是 x≥0（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r 的取值范围.（2）当r = 5 ，10时，
V是多少（结果保留π）当r = 5时 当r = 10 时 随堂训练1．下列关于圆的面积S与半径R之间的函数关系式
中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S， 是变量，π是常量
B．S，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，π是常量
D．S，R是变量，和2是常量2．小明带10元钱去文具商店买日记本，已知每本日记本定价2元，则小明剩余的钱y（元）与所买日记本的本数x（元）之间的关系可表示为y=10-2x．在这个问题中______是变量，_______是常量．课堂小结1.一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
2.了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．课后作业 见本课“课后巩固提升”4.1.2 函数的表示法情景
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训练 问题：上节课我们学习了函数的概念，你能说出什么叫做函数吗？一般地，如果变量y随着变量x而变化，并且对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应， 那么称y是x的函数．情景引入（1）中，是怎样表示气温T与时间t之间的函数关系的？用平面直角坐标系中的一个图形来表示．（1）下图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线，可知气温T是时间t 的函数．合作探究 （2）正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．(2)中，是怎样表示正方形面积S与边长x之间的函数关系的？列一张表来表示．（3）某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元，使用x （m3） 天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x．可知y是x的函数．问题2：(3)中，是怎样表示缴纳的天然气费y与所用天然气的体积x的函数关系的？用一个式子y＝2.88x来表示．像(1)这样， 建立平面直角坐标系， 以自变量取的每一个值为横坐标， 以相应的函数值（即因变量的对应值）为纵坐标， 描出每一个点， 由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法． （2）正方形的面积S与边长x的取值如下表，可知S是x的函数．像（2）这样， 列一张表， 第一行表示自变量取的各个值， 第二行表示相应的函数值（即因变量的对应值）， 这种表示函数关系的方法称为列表法．
像（3）这样，用式子表示函数关系的方法称为公式法， 这样的式子称为函数的表达式．（3）某城市居民用的天然气，１m3收费2.88元， 使用x（m3）天然气应缴纳的费用y（元）为y = 2.88x．可知y是x的函数．
函数的三种表示法：y = 2.88x图象法、列表法、公式法．问题3：你能谈谈用图象法、列表法、公式法表示函数关系时各自的优点吗？用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化；用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值；用公式法表示函数关系，可以方便地计算函数值．(1) 填写下表：边长 1 (2) 试用公式法表示这个函数关系. (3) 试用图象法表示这个函数关系. (1) 当只有1个等边三角形时，图形的周长为3，
每增加1个三角形，周长就增加1，因此填表如下：345678910… (2) n是自变量，y是因变量，周长y与三角形个数n
之间的函数表达式是y = n+2（n为正整数）.(3) 因为函数y = n+2中，自变量n的取值范围是正整数集，
因此在平面直角坐标系中可以描出无数个点，这些点
组成了y = n+2的函数图象，如图4-4.（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到
达学校？
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？图4-5（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？图4-5（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？（2）解 从横坐标看出，小明修车花了15 min；
小明修好车后又花了10 min到达学校.（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间
到达学校？图4-5图4-5图4-5（3）解 从纵坐标看出，小明家离学校2100 m；
从横坐标看出， 他在路上共花了30 min，
因此， 他从家到学校的平均速度是
2100 ÷ 30 = 70 （m/min）.（3）小明从家到学校的平均速度是多少？图4-51. 如图，将一个正方形的顶点分别标上号码1，2，3，4，直线l经过第2，4号顶点．作这个正方形关于直线l 的轴对称图形，那么正方形的各个顶点分别变成哪个顶点？ 填在下表中：这个表给出了y是x的函数．画出它的图象，它的图象由几个点组成？ 3 2 1 4 随堂训练2. 等腰三角形的底角的度数为x， 顶角的度数为y， 写出y 随x 而变化的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围.3.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程S（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的速度相同
B．甲先到达终点
C．乙用的时间短
D．乙比甲跑的路程多
B函数的表示方法有三种：图象法、列表法、公式
法，它们各有优、缺点；应该根据不同的问题、
不同的要求选择恰当的方法表示它，以便研究函
数某些性质．课堂小结课后作业 见本课“课后巩固提升”4.2 一次函数情景
引入合作
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小结随堂
训练1、什么是函数? 2、函数有哪些表示方式? 3、在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢?情景引入1. 某地1kW·h电费为0.8元，请用表达式表示电费y(元)与所用的电量x(kW·h)之间的函数关系.2. 某弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，秤的原长为10cm，挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm.挂上重物后弹簧的长度为y（cm），所挂物体的质量为x（kg）. 请用表达式表示弹簧长度y与所挂物体质量x之间的函数关系.合作探究 在问题1中，用电量x(kW·h)是自变量，电费y(元)是x的函数，它们之间的数量关系为
电费=单价×用电量，
即 y=0.8x. ① 在问题2中，所挂物体质量x（kg）是自变量，弹簧的长度y（cm）是x的函数，它们之间的数量关系为
弹簧长度=原长+弹簧伸长量，
即 y=10+0.5x. ②函数①、②式有什么共同的特征？ 像y = 0.8x ， y = 10+0.5x一样，它们都是关于
自变量的一次式，像这样的函数称为一次函数.它的一般形式是： 特别地，当b=0，一次函数y=kx(k为常数，k≠0)也叫作正比例函数，其中k叫作比例系数. y = kx + b（k，b为常数，k≠0） 上述问题中，分别有：每使用1kW·h 电，需付费0.8 元；每挂上1kg 物体，弹簧伸长0.5cm. 其中弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系如下表所示： 你能仿照上述表格，将电费问题中的自变量与因变量的变化过程表示出来吗？
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的（即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加(或都减少)相同的数量）.
一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的自变量取值范围是实数集. 但是在实际问题中，要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围. 例如，在第1个问题中，自变量的取值范围是x≥0；在第2个问题中，自变量x的取值范围是0≤x≤10.科学研究发现，海平面以上10km 以内，海拔每升高1km，气温下降6 ℃. 某时刻，若甲地地面气温为20 ℃， 设高出地面x（km）处的气温为y（℃）.
（1）求y（℃） 随x（km）而变化的函数表达式. （2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显
示飞机外面的温度为-34 ℃， 求飞机离地面
的高度.例
（1）求y（℃） 随x（km）而变化的函数表达式.（2）解 当y = -34 时，即20 - 6x = -34，
解得x = 9.答： 此时飞机离地面的高度为9 km. （2）若有一架飞机飞过甲地上空，机舱内仪表显
示飞机外面的温度为-34 ℃， 求飞机离地面
的高度.1. 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？y = 7-x， y =-4x，y = 2x-3.
，，随堂训练答： y = 7-x，y = 2x-3和 y =-4x 是一次函数.
其中y =-4x是正比例函数.解：由题意得 y= 350+0.7x；
当y=455时，有350+0.7x=455，
解得x=150.课堂小结一次?
同课章节目录
- 第1章 直角三角形
- 1.1 直角三角形的性质与判定（Ⅰ）
- 1.2 直角三角形的性质与判定（Ⅱ）
- 1.3 直角三角形全等的判定
- 1.4 角平分线的性质
- 第2章 四边形
- 2.1 多边形
- 2.2 平行四边形
- 2.3 中心对称和中心对称图形
- 2.4 三角形的中位线
- 2.5 矩形
- 2.6 菱形
- 2.7 正方形
- 第3章 图形与坐标
- 3.1 平面直角坐标系
- 3.2 简单图形的坐标表示
- 3.3 轴对称和平移的坐标表示
- 第4章 一次函数
- 4.1 函数和它的表示法
- 4.2 一次函数
- 4.3 一次函数的图象
- 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式
- 4.5 一次函数的应用
- 第5章 数据的频数分布
- 5.1 频数与频率
- 5.2 频数直方图