1.1等腰三角形
同步练习
一．选择题
1．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
2．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
3．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
4．如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）21教育网
A．44° B．66° C．88° D．92°
5．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是BC边上的高，∠ABC的角平分线BE交AD于点F，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图，在4×5的正方形网格中，已有线段AB，在格点中再取一点C，使△ABC成为等腰三角形，这样的点C有（ ）21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
8．如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= ．21cnjy.com
9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 ．
10．在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．21·cn·jy·com
11．如图，AC=BC，∠ACD=120°，则∠A的度数为 ．
12．如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 ．2·1·c·n·j·y
三．解答题
13．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上的中点，DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．【来源：21·世纪·教育·网】
求证：DE=DF．
15．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．
16．已知：如图，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．www.21-cn-jy.com
17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明．
1.1等腰三角形
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．
2．解：∵AD∥BC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=40°．
故选A．
3．解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴两底角的和为180°﹣90°=90°，
∴两个底角分别为45°，45°，
故选B．
4．解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故选：D．
5．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB=AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA=AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA=OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2=4，
故选：D．
6．解：（1）∵∠ABC=60°，∠ACB=45°，AD是高，
∴∠DAC=45°，
∴CD=AD，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∵∠ABC=60°，BE是∠ABC平分线，∴∠ABE=∠CBE=30°，
在△ABD中，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣60°﹣90°=30°，
∴∠ABF=∠BAD=30°，
∴AF=BF即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣45°=75°，
∵∠AEB=∠CBE+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=EB即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故选B．
7．解：
如图，在△ABC中，AC==，
BC==，即，AC=AB，
所以，△ABC为等腰三角形；
同理，可取得点D、点E、点F，
在△ABD、△ABE、△ABF中，
AB=BD==2，
AB=AE==2，
AF=5，BF==5，
所以，△ABD、△ABE、△ABF为等腰三角形．
故选D．
二．填空题
8．解：过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，
∴BD=AD=4，
设DF=x，
∴BF=4+x，
∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，
即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=0.5，
∴DF=0.5，
∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，
故答案为：5．
9．解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=50°，BD⊥CD，
故∠BAD=50°，
所以∠B=∠C=25°
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．
故填25°或65°．
10．解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．
故答案为：16或8．
11．解：∵∠ACD=120°，
∴∠ACB=60°，
∵AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
故答案为：60°．
12．解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为8．
三．解答题（共6小题，满分52分）
13．（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC=∠BDC=90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC=∠ECB，BE=CD
在△BOE和△COD中
∵∠BOE=∠COD，BE=CD，∠BEC=∠BDE=90°
∴△BOE≌△COD，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°﹣80°=100°．
14．证明：
证法一：连接AD．
∵AB=AC，点D是BC边上的中点
∴AD平分∠BAC（三线合一性质），
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F．
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
证法二：在△ABC中，
∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵点D是BC边上的中点
∴BD=DC
∵DE、DF分别垂直AB、AC于点E和F
∴∠BED=∠CFD=90°
在△BED和△CFD中
∵，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等）．
15．解：选择的条件是：①∠B=∠C ②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；
证明：在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA（AAS），
∴∠ADB=∠DAC，
即 在△AED中∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，△AED为等腰三角形．
16．解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB=∠FEC=90°，
∴∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°，
∴∠EFC=∠EDB（等角的余角相等）．
∵∠EDB=∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC=∠ADF．
∴△ADF是等腰三角形．
17．证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴△ABC是等腰三角形．
（2）∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
在△AFE和△CFG中，
∴△AEF≌△CFG．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
18．
