第4章一次函数 单元测试 A卷

湘教版八年级下第4章一次函数测试 A卷
　姓名：__________班级：__________考号：__________
一．选择题（共12小题）
1．对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是（　　）
A．π、R是变量，2是常量 B．R是变量，π是常量
C．C是变量，π、R是常量 D．C、R是变量，2、π是常量
2．下列各图中反映了变量y是x的函数是（　　）
3．一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为（　　）
A．y=10x+30 B．y=40x C．y=10+30x D．y=20x
4．已知函数y=中，当x=a时的函数值为1，则a的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
5．如图，已知矩形OABC，A（4，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动路程为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（　　）
6．若函数y=（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
7．下列问题中，是正比例函数的是（　　）
A．矩形面积固定，长和宽的关系
B．正方形面积和边长之间的关系
C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系
D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系
8．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（　　）
9．函数y=3x+1的图象一定经过点（　　）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（2，7） D．（4，10）
10．一次函数y=x图象向下平移2个单位长度后，对应函数关系式是（　　）
A．y=2x B．y=x C．y=x+2 D．y=x﹣2
11．一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
　
二．填空题（共6小题）
13．若函数y=4x+3﹣k的图象经过原点，那么k=　　．
14．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为　　．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是　　．
16．如果函数y=（m+1）x+m2﹣1是正比例函数．则m的值是　　．
17．若把一次函数y=2x﹣3，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是　　．
18．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差　　km/h．
　
三．解答题（共8小题）
19．已知y与x成一次函数，当x=0时，y=3，当x=2时，y=7．
（1）写出y与x之间的函数关系式．
（2）计算x=4时，y的值．
（3）计算y=4时，x的值．
20．若一次函数y=﹣2x+b的图象经过点（1，2）
（1）求b的值；
（2）在图中画出此函数的图象；
（3）观察图象，直接写出y＜0时x的取值范围．
21．如图，一直线AC与已知直线AB：y=2x+1关于y轴对称．
（1）求直线AC的解析式；
（2）说明两直线与x轴围成的三角形是等腰三角形．
22．已知等腰三角形周长为24cm，若底边长为y（cm），一腰长为x（cm），
（1）写出y与x的函数关系式
（2）求自变量x的取值范围
（3）画出这个函数的图象．
23．已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．
24．周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
25．2014年2月，纯电动出租车在南京正式上路运行，下表是普通燃油出租车和纯电动出租车的运价．
车型
起步公里数
起步价格
超出起步公里数后的单价
普通燃油型
3
9元+2元（燃油附加费）
2.4元/公里
纯电动型
2.5
9元
2.9元/公里
设乘客打车的路程为x公里，乘坐普通燃油出租车及纯电动出租车所需费用分别为y1、y2元．
（1）直接写出y1、y2关于x的函数关系式，并注明对应的x的取值范围；
（2）在如图的同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象；
（3）结合图象，求出当乘客打车的路程在什么范围内时，乘坐纯电动出租车更合算．
26．如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由．
　 参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．分析: 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
解：R是变量，2、π是常量．
故选：D．
　
2．分析: 函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，
只有D正确．
故选D．
　
3．分析: 根据师生的总费用，可得函数关系式．
解：一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元．设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系为y=10x+30，
故选：A．
　
4．分析: 当x=a时的函数值为1，把x=a代入函数式中，得=1，求解a=3．
解：∵函数y=中，当x=a时的函数值为1，
∴=1，
∴2a﹣1=a+2，
∴a=3．
故选D．
　
5．分析: 分三段求解：①当P在AB上运动时；②当P在BC上时；③当P在CO上时；分别求出S关于t的函数关系式即可选出答案．
解：∵A（4，0）、C（0，4），
∴OA=AB=BC=OC=4，
①当P由点A向点B运动，即0≤t≤4，S=OA?AP=2t；
②当P由点A向点B运动，即4＜t≤8，S=OA?AP=8；
③当P由点A向点B运动，即8＜t≤12，S=OA?AP=2（12﹣t）=﹣2t+24；
结合图象可知，符合题意的是A．
故选：A．
　
6．分析: 根据一次函数的定义列式计算即可得解．
解：根据题意得，|m|=1且m﹣1≠0，
解得m=±1且m≠1，
所以，m=﹣1．
故选B．
　
7．分析: 根据正比例函数的定义对各选项进行逐一分析即可．
解：A、∵S=ab，∴矩形的长和宽成反比例，故本选项错误；
B、∵S=a2，∴正方形面积和边长是二次函数，故本选项错误；
C、∵S=ah，∴三角形的面积一定，底边和底边上的高是反比例关系，故本选项错误；
D、∵S=vt，∴速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确．
故选D．
　
8．分析: 由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．
解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，
一次函数y=mx+n的图象一、二、三象限，
正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，
一次函数y=mx+n的图象一、三、四象限，
正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，C选项符合；
（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，
一次函数y=mx+n的图象二、三、四象限，
正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；
（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，
一次函数y=mx+n的图象一、二、四象限，
正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，无符合项．
故选C．
　
9．分析: 将各点坐标代入一次函数表达式，验证是解本题的关键．
解：A、把x=3代入y=3x+1，解得y=10，所以图象不经过点（3，5），
B、把x=﹣2代入y=3x+1，解得y=﹣5，所以图象不经过点（﹣2，3），
C、把x=2代入y=3x+1，解得y=7，所以图象经过点（2，7），
D、把x=4代入y=3x+1，解得y=13，所以图象不经过点（4，10）．
故选C．
　
10．分析: 注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
解：原直线的k=1，b=0；向下平移2个单位长度得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=0﹣2=﹣2．
∴新直线的解析式为y=x﹣2．
故选D．
　
11．分析: 首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．
解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，
∴必过第二、四象限，
∵b=3，
∴交y轴于正半轴．
∴过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
　
12．分析: 根据题意讨论k和b的正负情况，然后可得出直线y=kx+b一定通过哪两个象限．
解：由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，
①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，
②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．
综上可得函数一定经过一、四象限．
故选D．
　
二．填空题（共6小题）
13．分析: 把原点的坐标是（0，0）代入函数y=4x+3﹣k可求得k的值．
解：原点的坐标是（0，0），即当x=0时，y=0，
将其代入函数y=4x+3﹣k得到k=3．
故填3．
　
14．分析: 根据高度等于速度乘以时间列出关系式解答即可．
解：根据题意可得：y=6+0.3x（0≤x≤5），
故答案为：y=6+0.3x．
　
15．分析: 由三角形两边之差小于第三边可知，当A、B、P三点不共线时，|PA﹣PB|＜AB，又因为A（0，1），B（1，2）两点都在x轴同侧，则当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|=AB，即|PA﹣PB|≤AB，所以本题中当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再令y=0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（0，1），B（1，2），
∴，
解得．
∴y=x+1，
令y=0，得0=x+1，
解得x=﹣1．
∴点P的坐标是（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
　
16．分析: 由正比例函数的定义：可得m2﹣1=0，且m+1≠0，然后解关于m的一元二次方程即可．
解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1=0，且m+1≠0，
解得，m=1；
故答案为：1．
　
17．分析: 根据平移法则上加下减可得出解析式．
解：由题意得：平移后的解析式为：y=2x﹣3+3=2x．
故答案为：y=2x．
　
18．分析: 根据图象可得甲5小时行驶了120km，乙5小时行驶了120﹣4=116千米，再根据路程和时间求出速度，进而得到速度差．
解：根据图象可得出：甲的速度为：120÷5=24（km/h），
乙的速度为：（120﹣4）÷5=23.2（km/h），
速度差为：24﹣23.2=（km/h），
故答案为：．
　
三．解答题（共8小题）
19．分析: （1）先利用待定系数法别把x=0时，y=3，x=2时，y=7，代入y=kx+b，即可求得函数解析式．
（2）把x=4代入求出即可；
（3）把y=4代入求出即可．
解：（1）设y=kx+b，
分别把x=0时，y=3，x=2时，y=7，代入得，
解得k=2，b=3，
即y与x之间的函数关系式为y=2x+3．
（2）把x=4代入y=2x+3得：y=2×4+3=11．
（3）把y=4代入y=2x+3得：4=2x+3，
解得x=．
　
20．分析: （1）把点（1，2）代入一次函数解析式来求b的值；
（2）根据“两点确定一条直线”画图；
（3）根据图象直接回答问题．
解：（1）将点（1，2）代入y=﹣2x+b，得b=4；
（2）由（1）知，该函数解析式为：y=﹣2x+4．
当x=0时，y=4．当y=0时，x=2．故该直线经过点（2，0）、（0，4），在该直线如图所示：
（3）确定直线与x轴的交点（2，0），由图象知：当y＜0时，x＞2．
　
21．分析: （1）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（2）根据对称的性质知AB=AC，所以△ABC是等腰三角形．
解：（1）∵直线AC与已知直线AB：y=2x+1关于y轴对称，
∴直线AC的解析式为：y=2（﹣x）+1=﹣2x+1，即y=﹣2x+1；
（2）∵直线AC与已知直线AB关于y轴对称，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，即两直线与x轴围成的三角形是等腰三角形．
　
22．分析: （1）根据三角形周长公式可写出y与x的函数关系式，
（2）用三角形三边关系表示出x的取值范围，
（3）根据函数关系式即可画出函数图象．
解：（1）∵等腰三角形的周长为24cm，若底边长为ycm，一腰长为xcm．
∴2x+y=24，
∴y=24﹣2x，
（2）∵①x﹣x＜y＜2x，
∴x﹣x＜24﹣2x＜2x，
∴x＞6，
∵②x﹣y＜x＜x+y，
∴x＜12，
∴自变量x的取值范围为：6＜x＜12，
（3）∵函数关系式为y=24﹣2x（6＜x＜12），图象如下：
　
23．分析: （1）利用待定系数法把点A（5，0），B（1，4）代入y=kx+b可得关于k、b得方程组，再解方程组即可；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可；
（3）根据C点坐标可直接得到答案．
解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；
（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，
∴．
解得，
∴点C（3，2）；
（3）根据图象可得x＞3．
　
24．分析: （1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度=路程÷时间就可以求出小明骑车的速度；
（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．
解：（1）由图象得：
在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h）．
小明骑车速度：10÷0.5=20（km/h）；
（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
则10=0.5k，
解得：k=20，
故直线OA的解析式为：y=20x．
∵小明走OA段与走BC段速度不变，
∴OA∥BC．
设直线BC解析式为y=20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1=﹣10
∴y=20x﹣10
设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（，0）
代入得：b2=﹣80
∴y=60x﹣80．
∴，
解得：．
∴F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．
　
25．分析: （1）根据表格中的数值，待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据描点画函数图象的方法，可得函数图象；
（3）根据观察函数图象，纯电动车的图象在下方的区域，可得答案．
解：（1）普通燃油出租车的费用y，
纯电动出租车的费用y；
（2）在同一个平面直角坐标系中，画出y1、y2关于x的函数图象
；
（3）观察函数图象，可得y2在下的区域，
x＜4.1时，乘坐纯电动出租车更合算．
　
26．分析: （1）将点E的坐标（﹣8，0）代入直线y=kx+6，得到关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）由点A的坐标为（﹣6，0）得到OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式表示出△OPA的面积，从而求出其关系式；根据P点运动的范围可求出自变量x的取值范围；
（3）根据三角形的面积公式，由△OPA的面积为，列出关于点P的纵坐标y的方程，解方程求出y的值，再代入直线的解析式求出x的值，即可得到P点的坐标．
解：（1）∵点E（﹣8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=﹣8k+6，
∴k=；
（2）∵k=，
∴直线的解析式为：y=x+6，
∵点P（x，y）是第二象限内的直线y=x+6上的一个动点，
∴y=x+6＞0，﹣8＜x＜0．
∵点A的坐标为（﹣6，0），
∴OA=6，
∴S=OA?|yP|=×6×（x+6）=x+18．
∴三角形OPA的面积S与x的函数关系式为：S=x+18（﹣8＜x＜0）；
（3）∵三角形OPA的面积=OA?|yP|=，P（x，y），
∴×6×|y|=，
解得|y|=，
∴y=±．
当y=时，=x+6，
解得x=﹣，故P（﹣，）；
当y=﹣时，﹣=x+6，
解得x=﹣，故P（﹣，﹣）；
综上可知，当点P的坐标为P（﹣，）或P（﹣，﹣）时，三角形OPA的面积为．