《直角三角形的性质与判定（一）》课时作业
一、选择题
1、在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数 （
）
A.
52°；
B.
42°；
C.
38°；
D.
48°；
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A
-∠B
=30°，那么∠A=（
）
A.
90°；
B.
80°；
C.
70°；
D.
60°；
3、 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余
的角的个数有（
）
A.
1个；
B.
2个；
C.
3个；
D.
4个；
4、如图， 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点
则图中等腰三角形的个数有（
）
A.
4个；
B.
3个；
C.
2个；
D.
1个；
二、填空题
1、如图（1）：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，
则∠BCD=_____.
2、 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，CE⊥AB，CE=4，
则△ABC的面积是
。
3、如图（2），在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=____
4、如图（3），AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，△AHC是
三角形。
（1）
（2）
（3）
三、解答题：
1、已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
DE垂直平分AB，
∠CAE︰∠EAD=8︰5，求∠CEA的度数。
2、已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
3、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点。如果连接DE，取DE的中点
O，那么MO
与DE有什么样的关系存在
第一题
第二题
第三题
参考答案：
一、1、C；2、D；3、B；4、C；
二、1、50°；2、20；3、130°；4、直角；
三、1、解：∵
DE垂直平分AB
∴EA=EB
∴∠EAB=∠EBA
设∠CAE=8x，则∠EAD=
∠EBA=5x
∵
∠CAB+∠CBA=90°
∴∠CAE
+∠EAD+∠CBA=90°
即：8x
+5x+5x
=90°，x=
5°
∴∠CAE
=40°
在Rt
△AEC中
，∵
∠CAE
=40°
∴∠CEA
=50°
2、（1）在Rt
△ADC中，DE=AC，又在Rt
△ABC中，BE=AC，∴DE=BE
（2）由（1）知，∵DE=BE，∴∠EBD=∠EDB
（3）等腰三角形有：△AED；△CED；△ABE；△CEB；△EDB五个；
3、提示：DM、EM分别是有公共斜边Rt
△BDC
、Rt
△CEB的斜边BC上的中线。
△DME是等腰三角形，O是ED的中点，由三线合一可得：
MO⊥ED
.
A
B
C
D
O
B
E
D
C
M
A
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E课题：1.1.1
直角三角形的性质与判定（一）
教学目标
1、体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形；学会用符号和字母表示直角三角形；
2、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形；理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半。
3、通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法。体会从“一般到特殊”的思维方法，培养逆向思维能力。
重点：直角三角形性质和判定的探索及运用
难点：直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、三角形的内角和为 ，特殊的三角形我们学过有哪些？
2、两个角度数之和等于
，称这两个角互为余角。试画图说明。
3、有一个角是
的三角形叫直角三角形。
4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
则图中有几个直角三角形？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、直角三角形两锐角互余
如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=？
∵∠A
+∠B+
∠C
=
180°.
∠C
=
90°.
∴∠A
+∠B
=
90°.
直角三角形的两个锐角互余。
2、利用两锐角互余判断三角形是直角三角形。
动脑筋：如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
已知如上图，∠A＋∠B＝90°，试证明△ABC是直角三角形。
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
又∵∠A＋∠B＝90°
∴∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形。
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
做一做：
（1）、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。
（2）、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个内角分别是∠C＝
，∠B＝
，∠A＝
，它是一个
三角形。
（3）、等腰直角三角形的两个锐角分别是
、
；
（4）、如果直角三角形有一个锐角为450，那么它一定是
直角三角形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程
如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，
度量并比较CD，AB，AD，BD的长度.你能发现什么结论？
CD=
；AD=
；BD=
；
AB=
；CD=
.
问题：是否任意一个Rt
△ABC都有CD=AB
成立呢？我们来验证一下.
师生活动：（1）按要求作图:画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，
（2）量一量各线段的长度。
（3）猜想：你能猜想出什么结论？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）寻找理论依据：
①你能用符号表示上面问题中的条件和结论吗？
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD是中线，问：CD=AB吗？②分析：直接证明很困难，不妨假设CD=AB,那么，∠A=∠ACD,因此，考虑作射线C，使∠A=∠AC，看看C有什么特点？引导学生得出C=A=B
=AB,
(5)归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、知识应用，变式训练（出示ppt课件）
例1
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？（交流讨论）
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB
.
求证：
△ABC是直角三角形.
证明：∵CD=AB=AD=DB
∴
∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B
.
得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以
∠A+∠B
=90°.
所以△ABC是直角三角形.
归纳：若三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
四、课堂练习，巩固提高（出示ppt课件）
五、拓展训练（出示ppt课件）
1、如图，已知四边形ABCD中，
∠ABC=90°，连接AC，
E为AC中点，且BE=DE。求证：
∠ADC=90°
2、如图，已知AB⊥BD，
AC⊥CD
,E为AD的中点。
EB与EC相等吗？请说明理由。
变式训练：把结论换成：“点F是BC的中点，EF垂直BC吗？请说明理由。”
六、反思小结（出示ppt课件）
今天我们学习哪些内容？
（1）直角三角形的性质：①两锐角互余，
②斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）直角三角形的判定方法：
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形；
2、两个锐角互余的三角形是直角三角形
3、一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
七、作业p7
A
1、2
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
E
F
A
C
B
D
E
G(共16张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.1.1
1、三角形的内角和为 ，特殊的三角形我们学过有哪些？
1800
2、两个角度数之和等于
，称这两个角互为余角。试画图说明。
900
D
C
B
A
3、有一个角是
的三角形叫直角三角形。
直角
900
4、在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则图中有几个直角三角形？
有3个直角三角形：
Rt△ABC，
Rt△ACD，
Rt△CBD
说一说
1.如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=？
∴∠A
+∠B
=
90°.
∵∠A
+∠B+
∠C
=
180°.
∵∠C
=
90°.
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形.
这个性质，反过来怎么叙述？
探究
直角三角形的两个锐角互余。
反过来：
。
有两个角互余的三角形是直角三角形.
成立吗？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝1800
又∵∠A＋∠B＝900
∴∠C＝900
∴△ABC是直角三角形。
已知如图，∠A＋∠B＝900，试证明△ABC是直角三角形。
1、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。
2、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个
内角分别是∠C＝
，∠B＝
，∠A＝
，
它是一个
三角形。
3、等腰直角三角形的两个锐角分别是
、
；
4、如果直角三角形有一个锐角为450，那么它一定
是
直角三角形。
450
450
900
等腰直角
400
等腰
做一做
450
450
如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，度量并比较CD，AB，AD，BD的长度.你能发现什么结论？
CD=
；
AD=
；
BD=
；
AB=
；
CD=
AB
.
DB
DB
AD
AD+DB
探究
我们来验证一下.
1
2
是否任意一个Rt
△ABC都有CD=
AB
成立呢？
1
2
在下图中，过
Rt△ABC
的直角顶点
C
作射线
CD′交
AB
于
D′，使
∠1
=
∠A，则有
.
(等角对等边)
于是受到启发：
又因为
∠A
+∠B
=
90°，
∠1
+∠2
=
90°，
所以
∠B
=∠2.
如上图，如果中线CD=
AB
，则有∠ACD=∠A.
1
2
AD′=CD′
于是得：BD′=CD′
(等角对等边).
故得
所以D′是斜边AB的中点，即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′与CD重合，并且有:
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质定理：
CD=
AB
1
2
举
例
例1
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且
.求证：
△ABC是直角三角形.
证明：
因为
，
所以
∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B
.
得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以
：∠A+∠B
=90°.
所以△ABC是直角三角形.
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
这个三角形是直角三角形。
得出逆定理：（直角三角形的判定定理）
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
我们知道：直角三角形的性质定理：
把例题1的结论与上述定理比较：
互为逆命题。
2、在Rt△ABC中，∠ACB＝900
，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，试填空：
⑴与CE相等的线段有： ；
⑵与∠A度数相等的角有 ；
⑶若∠A＝350，则∠ACD= ，
∠ACE= ；∠BCE= ；
∠DCB= 。
AE
BE
∠DCB
∠ECA
350
550
550
350
E
D
C
B
A
1、P4
练习1
练习
3、如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
由EH=2
易知AC=4.
证明：
因为
AB∥CD，所以
∠BAC+∠DCA=180°.
又
，
，
所以
所以△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，
所以有
，
4、已知如图，Rt△ABC中，∠C＝900，
DE垂直平分AB，∠CAE︰∠EAD＝8
︰
5，求∠CEA的度数。
解：∵
DE垂直平分AB
∴∠EAB=∠EBA(
)
∴EA=EB
(
)
设∠CAE=8x，则∠EAD=
∠EBA=5x
D
A
B
C
E
∵
∠CAB+∠CBA=90°
∴∠CAE
+∠EAD+∠CBA=90°
即：8x
+5x+5x
=90°，x=
5°
∴∠CAE
=40°
在Rt
△AEC中
，∵
∠CAE
=40°
∴∠CEA
=50°
垂直平分线性质
等边对等角
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
1、如图，已知四边形ABCD中，
∠ABC=90°，连接AC，E为AC中点，且BE=DE。求证：
∠ADC=90°
证明：∵E为AC中点，
∠ABC=90°，
∴BE是斜边AC的中线，
∴BE=
AC=AE=CE，
1
2
又∵BE=DE
∴DE=
AC
1
2
∴
△ADC是以AC为斜边的直角三角形
，
∴∠ADC=90°
2、如图，已知AB⊥BD，
AC⊥CD
,E为AD的中点。EB与EC相等吗？请说明理由。
变式训练：把结论换成：“点F是BC的中点，EF垂直BC吗？请说明理由。”
F
G
E
D
C
B
A
提示：EB、EC分别是有公共斜边Rt
△ACD
、Rt
△ABD的斜边AD上的中线。
提示：EB、EC分别是有公共斜边Rt
△ACD
、Rt
△ABD的斜边AD上的中线。
△BEC是等腰三角形，F是BC的中点，由三线合一可得：
EF⊥BC.
1.
这节课我们研究的是什么？怎么研究的？
2.
你有哪些收获？还存在什么困惑？
作业：p7
A
1、2
如何判定三角形是直角三角形？
直角三角形的有关性质：
(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
