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《二次根式的加减》练习
一、选择——基础知识运用
1．下列运算正确的是（ ）
A．-= B．=2 C．-= D．=2-
2．估计×+的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
3．计算之值为何？（ ）
A．0 B．25 C．50 D．80
4．已知x=1+，y=1-，则代数式的值为（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．
5．已知实数x，y满足（x-）（y-）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（ ）
A．-2008 B．2008 C．-1 D．1
6．a是-5的整数部分，则a为（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．-2
二、解答——知识提高运用
7．如果最简二次根式2与是同类二次根式，那么x= 。
8．已知a-b=+，b-c=-，求a-c的值。
9．化简：
（1）（+2）（1-）；
（2）(-)(+)；
（3）(2 )2。
10．计算：x x2+6x，其中x=5。
11．已知a=，求+的值。
12．已知x＝，求x6+x5+2x4-4x3+3x2+4x-4的整数部分。
13．已知x=2+，y=2-，求 - 的值。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】∵×+=4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选C。
3．【答案】D
【解析】 == ===80，
故选D。
4．【答案】A
【解析】∵x=1+，y=1-，
∴x+y=1++1-=2，
∴=＝2，
故选A。
5．【答案】D
【解析】∵（x-）（y-）=2008，
∴x-= =y+，
y-= =x+，
由以上两式可得x=y。
∴(x )2=2008，解得：x2=2008，
∴3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1。
故选D。
6【答案】D
【解析】∵91516
∴34
∴3-54-5，即-2-1
的整数部分为-2。因此a=-2.
故选D。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】由最简二次根式2与是同类二次根式，得：2x-3=9-4x。解得x=2.
8．【答案】∵a-b=+，b-c=-∴a-c=（a-b）+（b-c）=2
9．【答案】（1）（+2）（1-）=-3+2-2=-1-；
（2）(-)(+) =5-7=-2；
（3）(2 )2 =8+3-4=11-4。
10．【答案】原式=x 3 -x2 +6x =2x -x +3x =（2x-x+3x） =4x ,
当x=5时，原式=4×5×=20。
11．【答案】∵a=，
∴a=2-，
∴a-1=2 1＝1 ＜0，
∴+ = + =a 3+ =a-3- =2 3 = -1- (2+)
= -1- 2 = -3-2
12．【答案】由已知得x＞0。
若＞x，
则x=＞＞，与假设矛盾；
若＜x，
则x=＜＜，与假设矛盾；
因此=x。
两边平方并整理得，x2-x-1=0，
解得x= ，x=（舍去），
而x6+x5+2x4-4x3+3x2+4x-4=（x6-x5-x4）+（2x5-2x4-2x3）+（5x4-5x3-5x2）+（3x3-3x2-3x）+（11x2-11x-11）+18x+7，
=x4（x2-x-1）+2x3（x2-x-1）+5x2（x2-x-1）+3x（x2-x-1）+11x（x2-x-1）+18x+7，
=（x2-x-1）（x4+2x3+5x2+3x+11）+18x+7，
=18x+7，
所以，原式=18×+7=16+9=16+，
∵20＜＜21，
∴所求整数值为36。
13【答案】 - ==
当x=2+，y=2-时，xy=1，x-y=2,
原式=.
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《二次根式的加减》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）理解和掌握二次根式加减的方法；
（2）含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。
2.过程与方法
先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。再总结经验，用它来指导根式的计算和化简。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
二次根式的乘除、乘方等运算规律。
【教学难点】
最简二次根式的判断，及二次根式的混合运算。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】在之前的学习当中，我们学习了同类项的合并，大家还记得同类项合并的计算方法吗？我们来检测一下吧。
学生活动：计算下列各式。
（1）2x+3x； （2）2x5-5x5+5x5； （3）3x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
【过渡】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。同类项合并就是字母不变，系数相加减。而我们本节内容，则主要是学习二次根式的加减，那么这两者之间有没有什么共同点呢？现在，就让我们一起来探究一下吧。
二、新课教学
1．二次根式的加减
【过渡】按照我们刚刚复习的同类项的合并，我们来试着思考一下，这样的同类项合并能否用于二次根式呢？我们来看看课本12页的思考题。
【过渡】问题是要判断能否截出两个正方形，转化为几何问题，即为判断两个正方形的边长和与长方形的边长的大小，若小于长方形的边长，则说明不能截出。那么两个正方形的边长分别是和，两者之和为+。该如何计算这个呢？
（学生讨论回答）
结合我们复习的同类项合并，可以这样计算。课件展示计算过程。
【过渡】在这个问题之后，我们再来看几个简单的计算：
（1）+3= （2）3-= （3）+= （4）-=
（5）+= （6）+=
【过渡】根据刚刚我们探究的内容，这几个计算很容易就能算出来，我们也发现，（5）（6）这两个是不能合并同类项的，而从（3）（4）中，在计算之前，我们需要将二次根式化简为最简根式。从结果中，我们发现，前四个式子中，均分别有相同的二次根式与，而二次根式的加减，也只能在这样的条件下进行，这样的式子，我们称之为同类二次根式。
同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
【过渡】那么，我们该如何判断是否为同类二次根式呢？根据刚刚的内容，有人能总结一下吗？
（学生回答，并进行总结）
（1）先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。
（2）再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。
【过渡】在判断的时候，我们只需要看被开方数是否相同，而与其前面的因式及符号无关。大家来练习一下吧。
【练习】下列各组二次根式是否为同类二次根式？
（1）与；（2）与；（3）-3与2；（4）与；（5）与
【过渡】在判断的过程中，我们发现，有的二次根式表面上看是不同类，但是将其化简到最简根式的时候，则为同类二次根式，因此，在判断的过程中，一定要记得，比较的是最简二次根式。
【过渡】在认识了同类二次根式之后，我们就可以总结二次根式加减的一般步骤了。
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
【过渡】简单的对其进行总结，可以归纳为一化二找三合并，记住了这几个字，二次根式的加减计算，就简单多了。
例题，课本例1。
【练习】下列计算哪些正确，哪些不正确？
（1）+=；（2）a+=；（3）-=；（4）a+b=(a+b)；（5）-=-=0。
（学生回答，并指出如何错误）
【过渡】在二次根式的加减运算中，通过刚刚的练习，我们需要牢记掌握的即是同类二次根式才能相加。
【过渡】从计算中，我们可以发现，二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。
【过渡】例1只是简单的加减法，现在我们看例2 中加减法的混合运算吧。
课本例2。
【过渡】在之前学习过的运算中，我们会有加减乘除在一块的混合运算，在二次根式的运算中，同样也有这样的混合运算。
课本例3，例4。
【过渡】从例题中，我们能够看出，以前学过的运算律、运算法则、运算顺序，二次根式混合运算仍然适用。
【典题精讲】1、设x= ，y= ，求()2+xy的值。
解：∵x= ，y= ，
∴x+y=1，x-y=，xy=，
原式=[ ]2+xy=()2+=。
2、如果最简二次根式和是同类二次根式，求a、b的值.
解：∵和 是同类二次根式，
∴b-a=2，3a=2b-a+2
解得：a=3，b=5
【知识巩固】1、计算：（1）3+-4；（2）-15+；（3）--+-
解：（1）原式=9+-4×=8；
（2）原式=3-15×+×4=-；
（3）原式=--+4-2=+2。
2、把下列各式化成最简二次根式（a＞0，b＞0）.
（1）+3a-×
（2）-ab) ÷
解：（1）原式=2+-=2
（2）原式=-) ×=2。
【拓展提升】1、解下列方程和不等式。
（1）x+ =2x+1
（2）（x-1）＞3（x+1）
解：（1）x+ =2x+1
分母有理化，得
(+1)x+ 1＝2x 1
去括号，得2x+x+ 1＝2x 1
移项及合并同类项，得
x＝ 2，解得，x=-1。
（2）（x-1）＞3（x+1）
去括号，得
x ＞3x-3
移项及合并同类项，得
(-3)x ＞3+
系数化为1，得
x< 5-2
2、如图，某学校计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．搞设计需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8平方米，花坛的绿化面积为10平方米，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？
解：由题意可知喷水池的边长为 米，
花坛的外周边长为 = 米．
所以周长一共是：4（ + ）=4（2 +3）=20（米）．
答：花坛的外周与小喷水池的周长一共是20米。
3、已知5- 的整数部分为a，小数部分为b，则求2a- 的值。
解：由题意可得：a=3，b=2- ，
2a- =2× 3-=4- 。
【板书设计】
1、二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。
【教学反思】
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程。对于二次根式的加减法法则的推导，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的加减法运算法则。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养。
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人教版 八年级下册
16.3 二次根式的加减
导入新课
计算下列各式：
（1）2x+3x
（2）2x5-5x5+5x5
（3）3x+2x+3y
（4）3a2-2a2+a3
5x
2x5
5x+3y
a2+a3
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
新课学习
二次根式的加减
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
7.5dm
5dm
(+)dm
dm
dm
问题转化为比较7.5dm与(+)dm的大小。
(+)
=2+3
=(2+3)
=5
新课学习
（化成最简二次根式）
（分配律）
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板
新课学习
计算:
有什么发现？
(1)+3= (2) 3-=
(3)+= (4) -=
(5)+= (6) -=
4
2
5
-
新课学习
几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如(1)(2)中的与3，(3)(4)中化简之后的2与3 ，均为同类二次根式。
同类二次根式：
新课学习
与最简二次式前面的因式及符号无关。
判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。
牛刀小试
下列各组二次根式是否为同类二次根式？
√
×
√
×
√
(1) 与
(2) 与
(3)-3 与2
(4) 与
(5) 与
化简到最简之后进行判断
新课学习
二次根式的加减法的步骤
（3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
（1）将每个二次根式化为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
注意：对被开方数相同的二次根式进行合并，实质是对被开方数相同的二次根式的系数进行合并。
新课学习
例1：计算（1） ；（2）
解：（1） =4-3=;
（2） =3+5=8.
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。
新课学习
例2：计算（1） 2；
（2）( +(-)
解：（1） 2
= 4
=14 ;
（2） ( +(-)
= 2-
=3 +
不能合并
牛刀小试
下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴ + =
⑵ a+ =a
⑶ - =
⑷ a +b =(a+b)
⑸ - =-=0
（不正确）
（不正确）
（不正确）
（正确）
（不正确）
知识巩固
1.计算：（1）3+-4；
（2）-15+；
（3）--+-
知识巩固
解：（1）3+-4
=9-4×
=9+-2
=8
（2）-15+
=3-15×+×4
=3-5+
=-；
知识巩固
（3） --+-
=--+4-2
=+2
一定要将结果化到最简。
新课学习
二次根式的混合运算
(多项式乘单项式)
(二次根式乘法法则)
(二次根式化简)
例3：计算（1）( ) ×；
（2）( 4
解：（1）( ) ×
= ×+ ×
= +
=4+3；
新课学习
(多项式除以单项式法则)
(二次根式除法法则)
（2）(4)
= 4
=2；
新课学习
例4：计算（1）( ) (-5)；
（2）( ）
解：（1）( ) (-5)
=()2-5+3-15
=2-2-15
=-2-13；
（2）( ）
=()2-()2
=5-3
=2
归纳：以前学过的运算律、运算法则、运算顺序，二次根式混合运算仍然适用.
知识巩固
2.把下列各式化成最简二次根式（a＞0，b＞0）.
（1）+3a ×
（2）( ab )÷
分析：（1）先把根号内能开的开出来，再合并同类二次根式即可；
（2）先算括号内的（把根号内能开的开出来），再合并同类二次根式，最后计算除法即可.
知识巩固
解：（1）+3a ×
=2+-=2
（2）( ab )÷
=(2 -) ×
= × = =2
典题精讲
1设x= ，y= ，求()2+xy的值
分析：先化简再代入，注意在过程中整体思想的应用。
典题精讲
解：∵x=，y=，
∴x+y=1，x-y=，xy=，
原式=[]2+xy
=（）2+=．
整体思想
典题精讲
2.如果最简二次根式和是同类二次根式，求a、b的值
分析：根据同类二次根式的定义，建立二元一次方程，求出a、b的值即可。
典题精讲
解：∵ 和是同类二次根式，
∴b-a=2，3a=2b-a+2
解得：a=3，b=5
课堂小结
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。
二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并。
拓展提升
1.解下列方程和不等式．
（1）x+ =2x+1
（2）（x-1）＞3（x+1）
分析：（1）先将分母有理化，再解方程即可解答本题；
（2）根据解不等式的步骤进行解答即可，注意不等号的方向。
拓展提升
解：（1）x+ =2x+1
分母有理化，得
(+1)x+ 1＝2x 1
去括号，得2x+x+ 1＝2x 1
移项及合并同类项，得
x＝ 2，解得，x=-1。
拓展提升
解：（2）（x-1）＞3（x+1）
去括号，得
x ＞3x-3
移项及合并同类项，得
(-3)x ＞3+
系数化为1，得
x 5-2 。
注意解不等式时的符号什么时候变号，什么时候不变号。
拓展提升
2.如图，某学校计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．搞设计需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8平方米，花坛的绿化面积为10平方米，问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？
分析：根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的外周边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解。
拓展提升
解：由题意可知喷水池的边长为米，
花坛的外周边长为= 米．
所以周长一共是：4（ + ）=4（2 +3 ）=20 （米）．
答：花坛的外周与小喷水池的周长一共是20 米。
拓展提升
3.已知5- 的整数部分为a，小数部分为b，则求2a-的值。
分析：根据的大小，可估算5- 的整数部分和小数部分，代入即可。。
解析：由题意可得：a=3，b=2-
2a-=2× 3-=4- 。
