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《二次根式的乘除》练习
一、选择——基础知识运用
1．计算÷×结果为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：① = ，② =1，③÷ = -b，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．估算的值（ ）
A．在0与1之间 B．在0与2之间 C．在2与3之间 D．在3与4之间
4．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5．若=，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3
B．x≤3
C．0≤x＜3
D．x≥0
6．化简时，甲的解法是：==，乙的解法是： ==，以下判断正确的是（ ）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
二、解答——知识提高运用
7．化简：
8．（1） (-)÷（x＞0，y＞0）
（2）×（）-1÷
9．如果一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，求它的另一条直角边．。
10．王聪学习了二次根式性质公式= 后，他认为该公式逆过来 = 也应该成立的，于是这样化简下面一题： = = = =3，你认为他的化简过程对吗？请说明理由。
11．已知：x、y都是正数，且满足(+2)=(6+5)，求。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】B
2．【答案】B
【解析】∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
① = ，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
② =1,（故②正确），
③÷ = -b，（故③正确）．
故选：B。
3．【答案】C
【解析】： = ÷-÷=5-，
∵2＜＜3，
∴-2＞-＞-3，
∴5-2＞5-＞5-3，
即2＜5-＜3，
∴2＜＜3，
故选C。
4．【答案】C
【解析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数；因此这三个选项都不符合最简二次根式的要求．所以本题的答案应该是C。
5．【答案】C
【解析】根据二次根式的意义，得：x≥0且3-x＞0；
所以0≤x＜3。
故本题选C。
6．【答案】C
【解析】甲的做法是将分母有理化，去分母；
乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母．均正确．
故本题选C。
二、解答——知识提高运用
7．【答案】= =。
8．【答案】（1）原式=- 1÷= - ，
∵x＞0，y＞0，
∴原式=-×x2y=-3xy。
（2）原式=×÷=3÷=3。
9．【答案】设直角三角形的另一直角边为x，
∵一个直角三角形的面积为8，其中一条直角边为，
∴x =8，
∴x= = =1.6，
即它的另一条直角边是1.6。
10．【答案】不对。
因为 = ，有意义，而中的二次根式无意义，因此该种化简过程不对。
11．【答案】∵(+2)=(6+5)，
∴()2-4-5()2=0，
即：(-5)(+)=0；
∵x、y都是正数，
∴-5，x=25y；
∴原式=
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人教版 八年级下册
16.2 二次根式的乘除
导入新课
1.计算（二人板演，全班齐练）
2.化简：口答，你最棒
× x2(x,y 0)
=3x
× ×
=2
=32
(a,b 0, c
=3abc2
1、= ； = 。
新课学习
二次根式的除法
计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
2、= ； = 。
3、= ； = 。
新课学习
思考：
1、 =
2、 =
3、 =
能用字母表示你所发现的规律吗？
新课学习
语言表述：
算术平方根的商等于各个被开方数商的算术平方根。
二次根式的除法法则
一般地，对二次根式的除法，有：
（a≥0,b＞0）
新课学习
例4 计算: (1) ; (2) 。
解:
(1) = = =2
(2) = == =2
知识巩固
1.计算：（1）；（2）．
解： = ==3；
= =3
注意系数
新课学习
（a≥0，b＞0）
利用它可以对二次根式进行化简。
把 = 反过来，就可以得到:
新课学习
例5 化简： (1) ;(2) .
解:
(1) = = ;
(2) = =.
新课学习
化简二次根式的运算中，最后结果一般要求：
1.分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母；
2.最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。
思考：
怎样的形式才是最简二次根式？
3
2
2
新课学习
1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
最简二次根式的特点:
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
牛刀小试
下列根式中，哪些是最简二次根式？
√
×
×
×
×
√
新课学习
例6 计算： (1); (2) ；(3) .
解：(1)解法1：= ===;
解法2：= ==;
是为了去掉分母中的根号。
新课学习
如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。
(2) = = = = ；
(3) ===。
新课学习
例7：设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a、b。已知S= 2，b= ，求a。
解：因为S=ab，所以
a====
知识巩固
2. 化简：÷
解析： ÷ =
==a2b2
二次根式的混合运算，从左向右依次计算。
典题精讲
1.已知：a2+b2-4a-2b+5=0，求 的值。
分析：先利用配方法得到(a-2)2+（b-1）2=0，根据非负数的性质可计算得a=2，b=1，再把原式利用因式分解的方法变形，约分后分母有理化，然后把a、b的值代入计算即可.
典题精讲
解析：∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣2=0，b﹣1=0，解得a=2，b=1，
原式= = =，
当a=2，b=1时，原式=1+ ．
典题精讲
2.已知x、y均为正数，且(+ )=3 (+5 ),
求 的值。
分析：要求代数式的值，要首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式，约分即可。
典题精讲
分析：由已知条件可知：x-2-15y=0
∴( +3 )(-5 )=0
∵+3 0
∴-5 =0, ∴5 ,即x=25y
∴原式==2
课堂小结
1、二次根式的除法：
（a≥0，b＞0）
拓展提升
1.已知：m=，a=，b=,则m的值是 （ ）
A．大于1 B．小于1
C．等于1 D．无法确定
分析：化简的值，比较所得结果中的被开方数与1的大小关系即可。
B
拓展提升
解析：把a=，b= 代入得：
==，
∵2006×2008=（2007-1）（2007+1）=20072-1，
∵2006×2008＜20072，因此原式＜1．
故本题选B．
拓展提升
2.已知x为奇数，且=，求 +
的值。
分析：根据除法运算法则的条件范围，计算x的取值，之后代入即可。
拓展提升
解析：∵ =，
∴x-60,9-x0，解得6≤x＜9；
又∵x为奇数，
∴x=7，
∴ +=8+2 ．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《二次根式的除法》教案
【教学目标】
1.知识与技能
理解 = （a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算。
2.过程与方法
利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简。
3.情感态度和价值观
通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。
【教学重点】
理解 = （a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算。
【教学难点】
发现规律，归纳出二次根式的除法规定。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确运用二次根式的乘法法则进行计算吧。
课件展示题目。
【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。
带领学生复习，进行计算。
二、新课教学
1．二次根式的除法
【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。
课本P6探究内容。
【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？
（学生讨论回答）
【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则：
一般地，对二次根式的除法规定为
=（a≥0，b>0）
【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。
【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。
课本例4。
【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。
=（a≥0，b>0）
根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。
课本例5。
【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。
（1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母；
（2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。
【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个根式，，3，2，2，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？
最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
【练习】课件展示练习题，学生快速回答。
【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。
课本例6。
【过渡】从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就需要想办法去满足。这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。
【典题精讲】1、已知：a2+b2-4a-2b+5=0，求的值。
解：∵a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣2=0，b﹣1=0，解得a=2，b=1，
原式===
当a=2，b=1时，原式=1+
2、.已知x、y均为正数，且(+)=3(+5)，求的值。
解：由已知条件可知：x-2-15y=0
∴(+3 )(-5 )=0
∵+3 >0
∴-5 =0, ∴=5 ,即x=25y
∴原式 =2
【知识巩固】1、计算（1）；（2）
解：（1）= = =3
（2）= =3
2、化简：÷
解：原式==a2b2
【拓展提升】1、已知：m=，a=，b=，则m的值是 （ B ）
A．大于1 B．小于1
C．等于1 D．无法确定
2、已知x为奇数，且 = ，求 +的值。
解：∵ = ，
∴x-6≥0，9-x>0，解得6≤x＜9；
又∵x为奇数，
∴x=7，
∴ +=8+2。
【板书设计】
1、二次根式的乘法：
=（a≥0，b>0）
=（a≥0，b>0）
【教学反思】
在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程。对于二次根式的除法法则的推导，主要是根据之前乘法法则的教学思路，先利用二次根式的几个具体计算，归纳出二次根式的除法运算法则。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养。
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