《直角三角形的性质与判定（二）》课时作业
一、选择题
1、如图(1)在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°，AB=2，DC=，则∠B=（
）
A、30°
B、
45°
C、60°
D、
75°
2、如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD
是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为
（
）
A、4.9
B、9
C、12
D、15
3、如图(3)所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（
）.
A.40°
B.
30°
C.
20°
D.10°
二、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A
=
30°
，且BC=3，则AB的长是
。
2、如图（4）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则∠B=
°
3、如图（5）所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米
4、如图（6）在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D，BD=16cm，则AC的长为______
5、如图（7）在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
三、解答题
1、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。
2、如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC
，
DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A
=
30°，AB=7.4m
，求BC、DE的长。
3、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点，BQ
⊥
AD
（1）猜想BE与AD的大小关系并证明。（2）试说明BP=2PQ。
参考答案：
一、1、A；2、C；3、C；
二、1、6；2、60°；3、250；4、8cm；5、9；
三、1、∵BE，CD是AB，BC的高，∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50°
，
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
2、BC=3.7米，DE=1.85米
3、（1）可证得：
△BAE≌
△ACD
从而可得：BE=AD
（2）由（1）得：∠ABE=∠CAD，
在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°
又BQ
⊥
AD
∴
∠PBQ=30°，
∴
BP=2PQ
A
B
C
D
（1）
A
B
C
D
（2）
A
B
C
D
（3）
6x
B
A
C
（4）
B
A
C
（5）
A
B
C
D
E
（6）
A
B
D
（7）
C
第3题
A
A
B
C
D
E
P
第1题
A
B
C
D
E
第2题
B
C
D
E
P
Q(共15张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.1.2
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
D
C
B
A
∠A+
∠B=90°
CD=AD=BD=
AB
1
2
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
D
证明：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有：CD=
AB=BD
1
2
因为∠A+∠B=90°，
且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，
于是得：BC=CD=BD=
AB.
1
2
结论
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形性质定理：
C
B
A
30°
图形语言：
已知△ABC中，
∠ACB=90°，
∠B=30°(∠A=60°)，
那么：AC=
AB
1
2
还有其他方法证明这个定理吗？
还有其他方法证明这个定理吗？
D
A
C
B
300
600
你能用等边三角形的性质来证明
直角三角形的这条性质吗？
（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD
（2）将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。
这样构成等边△ADB
可证得：AB=DC=2BC，
即：BC=
AB
1
2
解：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
动脑筋
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
D
于是得到：逆定理
如图，在Rt△ABC中，如果BC=
AB
，
那么∠A等于多少？
1
2
则有：CD=
AB=BD
1
2
又BC=
AB
，所以CD=BD=BC，
1
2
即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.
而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
举
例
例1
在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗
礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？
北
东
B
D
60°
分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.
解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，
海里，
∠AOD=30°.
所以轮船不会触礁.
于是：AD=
AO=
×30
1
2
√
3
1
2
≈25.98（海里）>20海里
E
D
C
B
A
例2、在 ABC中，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线交BC于点D，AD平分∠BAC，已知AB=8
cm，
求AC长。
分析：由∠B=30°，AC就等于AB的一半吗？
注意：先要判断 ABC是直角三角形，再用定理计算。
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴
BD=AD，
∠B=∠BAD=30°
又∵
AD平分∠BAC，
∴
∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC=
2∠BAD=60°
∴
∠ACB=90°，即:
ABC是直角三角形.
∵
∠B=30°，AB=8
cm
∴AC=
AB=
4
cm
1
2
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A
=
30°
，且BC=3，则AB的长是
。
C
A
B
6
60
2、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=4，BC=2，则∠B=
°
3、如图所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米
C
A
B
30°
250
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD
是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为
（
）
A、4.9
B、9
C、12
D、15
A
B
D
C
C
A
B
C
D
A
4、如图在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°，
AB=2
，DC=
，则∠B=（
）
A、30°
B、
45°
C、60°
D、
75°
√
3
√
3
6、如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（
）.
A.40°
B.
30°
C.
20°
D.10°
C
此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求出x值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.
∵6x
>
90，∴
x
>15.
又6x<180，
∴x<30.
故，应选择C.
D
C
B
A
6x
7、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（
）.
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
P
E
D
C
B
A
B
∵BE，CD是AB，BC的高，
∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50°
，
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
故，应选择B.
9、如图，是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出电梯AB的长度吗？
AB=12米.
8、p6
练习
2
∠A=30°.
10、下图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC
，
DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A
=
30°，AB=7.4m
，求BC、DE的长。
B
A
D
E
C
BC=3.7米，DE=1.85米
11、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点，BQ
⊥
AD
（1）猜想BE与AD的大小关系并证明。
（2）试说明BP=2PQ。
（1）可证得：
△BAE≌
△ACD
从而可得：BE=AD
A
C
B
Q
D
P
E
（2）由（1）得：∠ABE=∠CAD，
在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°
又BQ
⊥
AD
∴
∠PBQ=30°，
∴
BP=2PQ
1、这节课学了直角三角形的哪个性质？
含300角的对边与斜边的关系。
2、总结概括直角三角形的边、角性质。
3、一个三角形满足哪些条件才是直角三角形？
作业：P7
A
4、5
课外：P7
A
3，
B课题：1.1.2直角三角形的性质与判定（二）
教学目标
1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果
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掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”
2、经历“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”性质的发现过程。掌握直角三角形的性质，会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算。
3、体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
重点：直角三角形性质“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”。
难点：直角三角形性质的应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
∠A+
∠B=90°
CD=AD=BD=AB
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
二、探究学习（出示ppt课件）按要求画图：
1、（1）画∠MON，使∠MON=30°；(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO，PK有什么关系；
(3)在OM上再取点Q,R，分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E，
量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
2、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，
那么BC与斜边AB有什么关系呢？
证明：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有：CD=AB=BD因为∠A+∠B=90°，
且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，于是得：BC=CD=BD=AB.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
（让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明）
（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD
（2）将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。
这样构成等边△ADB
你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？
可证得：AB=DC=2BC，即：BC=AB
2、上面定理的逆定理
（1）把“结论”和“条件”互换，怎么叙述？
（2）证明逆命题的正确性：
如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB
，那么∠A等于多少？
解：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
则有：CD=AB=BD，又BC=AB
，所以CD=BD=BC，
即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.
而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
于是得到：逆定理
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗
礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？
分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离
始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.
解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO=海里，∠AOD=30°.
于是：AD=AO=×≈25.98（海里）>20海里
所以轮船不会触礁.
例2、在 ABC中，∠B=30°，DE是AB的
垂直平分线交BC于点D，AD平分∠BAC，
已知AB=8
cm，求AC长。
分析：由∠B=30°，AC就等于AB的一半吗？
注意：先要判断 ABC是直角三角形，再用定理计算。
解：
∵DE是AB的垂直平分线∴
BD=AD，
∠B=∠BAD=30°
又∵
AD平分∠BAC，∴
∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC=
2∠BAD=60°
∴
∠ACB=90°，即:
ABC是直角三角形.∵
∠B=30°，AB=8
cm
∴AC=
4
cm
四、达标训练（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：P7
A
4、5课外：P7
A
3，
B
_
D
_
C
_
B
A
30°
A
B
C
D
A
B
C
D
60°
30°
A
B
C
D
60°
东
北
D
A
B
C
D
E
