课题：1.2.1勾股定理（一）
教学目标
1、让学生体验勾股定理的探索过程；掌握勾股定理；学会用勾股定理解决简单的几何问题．
2、经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，了解勾股定理
3、了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信。
重点：
勾股定理
难点：
勾股定理的证明
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、三角形边的关系怎样？
2、直角三角形是特殊的三角形，它有哪些特殊性质？
在Rt
△ABC，∠C=90°，
∠A=30°，点D是AB
的中点。
3、直角三角形的三边有上述关系吗？
直角三角形的三边是不是有特殊性质？
二、情境导入（出示ppt课件）
向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。
三、探究学习（出示ppt课件）
1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.
2.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？
师生活动：在方格图中计算三个正方形的面积，
然后比较它们之间的关系：
S1+S2=S3
从Rt ABC的三边看，就有：AC2+BC2=AB2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.
是否对于所有的直角三角形，它的三边之间
都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，
∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？
引导学生不同的图形证明勾股定理：
我们剪四个相同的直角三角形和一个边长是c的正方形，如图摆放：
正方形ABCD的边长是(a+b)，
则面积是(a+b)
2
正方形ABCD的面积也可以看着
是四个直角三角形的面积+中间边长
为c的正方形面积。即：c2+4×ab
就有：(a+b)
2=c2+4×ab
a2+2ab+b2=c2+2ab
即：a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
证法二：把四个三角形摆成两个正方形（如图A、B）
1.图中的两个大正方形面积相等吗？
2.两幅图中的四个直角三角形总面积
相等吗？
3.两幅图中空白部分的面积相等吗？
按上述思路，也可以证得：
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
归纳定理：
直角三角形的性质定理：（勾股定理）
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+
b2=
c2.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB长。
解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2
AB=
（已知两直角边求斜边，注意：分清直角边和斜边，
已知哪条边，要求哪条边。）
变式训练：Rt ABC中，∠A=90°，AC=3，BC=4，求AB长。
（已知直角边和斜边，求另一条直角边）
注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。
（2）使用勾股定理时要明确哪个角是直角。
例2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm.
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
（2）△ABC的面积是多少呢？
解：(1)
在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.
(勾股定理)
所以AD=12.
所以AD的高为12cm.
（2）因为三角形ACB中，面积=底×高÷2，
即10×12÷2=60.所以
ABC的面积是60cm2.
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2
2、能用几何语言描述。
3、勾股定理的作用。注意的问题。
七、作业：P16
A
2、3、4
八、课外讨论（出示ppt课件）
A
B
C
a
b
c
A
B
C
D
A
B
C
S3
S1
S2
c
c
c
c
A
b
a
B
C
D
a
b
c
（A）
a
b
c
（B）
C
A
B
A
C
B
B
A
C
D(共17张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.1
1、三角形边的关系怎样？
2、直角三角形是特殊的三角形，它有哪些特殊性质？
3、直角三角形的三边有上述关系吗？
直角三角形的三边是不是有特殊性质？
A
B
C
a
b
c
a+b>c
a-bA
B
C
a
b
c
D
30°
a+b>c
a-b在Rt
△ABC，∠C=90°，
∠A=30°，
点D是AB
的中点。
∠B+
∠A=90°，
CD=
AB
1
2
BC=
AB
1
2
情境导入
搜索2002年国际数学家大会
观察大会的会标图徽
把这个会标图徽抽象出几何图形：
c
c
c
c
b-a
b
a
体会它的设计思路，从而发现直角三角形的两直角边与斜边的关系：
1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直
角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和
4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.
探究
b=4
A
C
c=
我量的为5cm.
B
a=3
5
2.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作
正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么
这三个正方形的面积有什么关系呢？
S1
S2
S3
S1=32=9
S2=42=16
S3=72-
×3×4×4
=25=52
1
2
S1+S2=S3
即：32+42=52
C
B
A
从Rt ABC的三边看，就有：
AC2+BC2=AB2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.
是否对于所有的直角三角形，它的三边之间
都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，
∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？
我们剪四个这样的直角三角形和一个边长
是c的正方形，如图摆放：
c
b
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
D
C
B
A
正方形ABCD的边长是(a+b)，
则面积是(a+b)2
正方形ABCD的面积也可以看着是四个直角三角形的面积+中间边长为c的正方形面积。即：c2+4×
ab
1
2
1
2
就有：(a+b)2=c2+4×
ab
即：a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c
b
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
D
C
B
A
a2+2ab+b2=c2+2ab
把四个三角形摆成两个正方形（如图A、B）
解决问题：
1.图中的两个大正方形面积相等吗？
2.两幅图中的四个直角三角形总面积相等吗？
3.两幅图中空白部分的面积相等吗？
a
b
c
（A）
a
b
c
（B）
其中图(A)中的大正方形的面积为
，
图(B)中的大正方形的面积为
，
容易看出图(A)和图(B)中的两个大正方形面积
是相等的.
1
2
c2+4·
ab
1
2
a2+b2+4·
ab
于是有:
整理得：
a2
+
b2
=
c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2
+
b2
=
c2.
综上所述：直角三角形的性质定理：
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角
形的这个性质；
由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边
为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一
性质称为勾股定理.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.
变式训练：Rt ABC中，∠A=900，
AC=3，BC=4，求AB长。
C
A
B
4
3
C
A
B
4
3
举
例
注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。
（2）使用勾股定理时要明确哪个角是直角。
例1、Rt ABC中，∠C=900，
AC=3，BC=4，求AB长。
解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2
√
AC2+BC2
AB=
√
32+42
√
25
=
=
=5
（已知两直角边求斜边）
√
BC2-AC2
AB=
√
42-32
√
7
=
=
（已知一直角边和斜边，求另一直角边）
例2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm.
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.
(勾股定理)
所以AD=12.
所以AD的高为12cm.
解：因为在等腰三角形ACB中，AD是BC边上的高，
AB=AC，BC=10cm，所以
BD=DC=5cm，
（2）△ABC的面积是多少呢？
解：
因为三角形ACB中，
面积=底×高÷2，
即10×12÷2=60.
所以
ABC的面积是60cm2.
12
10
7
1
2
17
13
5
求下列各图中的x
5
13
x
8
6
x
24
25
x
1
x
1
x
8
15
x
12
3
4
x
x
2.
如图是一个边长为a的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：
（1）对角线AC有多长呢？
（2）图中有多少个直角三角形？
有8个直角三角形.
练习
1、p11
练习
AC=
3.
有一颗树较高(如图)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？
解：
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
可知∠BAC=30
°
，
由于BC=a，因此有AB=2a，
再由勾股定理可得：
树高
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2
几何语言：
二指
A
C
B
c
b
a
（两直角边的平方和等于斜边的平方。）
如图，在Rt
△ABC中
∵
∠C=90°
一限
∴a2+b2=c2（或：AC2+BC2=AB2)
三用
勾股定理作用呢？
已知直角三角形任意两边求第三边。
b
a
c
B
C
A
c2
=
a2
+
b2
√
a2+b2
c=
a2
=
.
b2
=
.
√
c2-b2
a=
√
c2-a2
b=
c2-b2
c2-a2
作业：P16
A
2、3、4
c
c
c
c
b-a
b
a
1、用这个图能证明勾股定理吗？
2、已知：∠C＝90°，a=6，
a：b＝3：4，求b和c.
c
a
b
b=8，c=10 《勾股定理（一）》课时作业
一、选择题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论成立的是（
）
A、2abB、2ab≥c2
C、2ab>c2
D、2ab≤c2
2、一个直角三角形的三边分别是2、3、x，那么以x为边长的正方形面积是（
）
A.
13；
B.
5；
C.
13或5；
D.无法确定；
3、正方形的面积是4；则对角线长是（
）
A.
2；
B.
；
C.
2；
D.
4；
4、等腰三角形的底角15°，腰长是8，则它的面积是（
）
A.
32；
B.
4；
C.
8；
D.
16；
二、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=
.
2、在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若BD=3，DC=1，则AD=____________。
3、在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°。
4、已知直角三角形斜边长为12cm，周长为30cm，则此三角形的面积为____。
5、等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为
。
三、解答题
1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b,
（1）如果求c；（2）如果求b；
2、
已知在△ABC中，∠ACB＝900
，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
3、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900
，D是BC上任一点，
求证：BD2+CD2=2AD2
参考答案：
一、1、D；2、C；3、C；4、D；
二、1、9；2、4；3、2.5；4、45；5、12；
三、1、（1）c=；（2）b=8
2、解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有AC=4，
，
3、过点D作DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F， 则DE∥AC，DF∥AB
又∵AB＝AC，∠BAC＝900
，∴EB＝ED，
FD＝FC＝AE
在Rt△EBD和Rt△FDC中
BD2=BE2+DE2
,CD2=FD2+FC2
在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2
∴BD2+CD2=2AD2
