《勾股定理（三）》课时作业：
一、选择题
1、a、b、c是△AB的三边，①a=5，
( http: / / www.21cnjy.com )b=12，c=13
②a=8，b=15，c=17
③a∶b∶c=3∶4∶5
④a=15，b=20，c=25上述四个三角形中直角三角形有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（
）
A、6
B、
C、
D、4
3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的
（
）
A、4倍
B、2倍
C、不变
D、无法确定
4、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A、2，3，4
B、，，
C、6，8，10
D、，，
5、若△ABC的两边长为3和5，则能使
△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC是直角三角形的第三边的平方是
(
)
A、16
B、34
C、4
D、16或34
6、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（
）
A、b2
=
a2
－c2
B、a∶b∶c=3∶4∶5
C、∠C=∠A－∠B
D、∠A∶∠B
∶∠C
=3∶4∶5
二、填空题
1、三角形的两边为3和5，要使它成为直角三角形，则第三边长为
。
2、设三角形三边长分别为a=7，b=25，c=24，该三角形是
三角形．
3、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为
。
4、在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，
则地毯长度为
米。
三、解答题
1、古埃及人没有先进的测量工具，据说当时他
( http: / / www.21cnjy.com )们采用“三四五放线法”--
归方。“
归方”---做直角。他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
他们能得到直角三角形吗？
2、
如果一个三角形的三边长分别为a2
=m2-n2
，b=2mn，c=m2+n2(m＞n)
则这三角形是直角三角形
3、如图在 ABC中，已知AB=10，BD=6，
AD=8AC=17。求DC的长。
4、一块木板如图，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，
AD＝13，∠B=90°，求木板的面积？
参考答案：
一、1、C；2、B3；、B；4、A；5、D；6、D；
二、1、4或；2、直角；3、96cm2；4、7米；
三、1、解：如图，设每两个结的距离为x（x>0），
则AC=3x，BC=4x，AB=5x
AC2
+BC2
=(3x)
2
+(4x)
2
=25x2
AB2=(5x)
2
(
25x2
AC2+BC2
=AB2
∴△ABC是
直角三角形
2、证明：∵
a2+b2=(
m2-n2)2
+(2mn)2
=m4+2m2n2+n4
=
(m2+n2)2
∴a2+b2=c2 ,∠C＝900；
3、解：在△ABD中，已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，∠ADC=180°-∠ADB=90°.
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，所以：DC=
4、解：连接AC，∵∠B=90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=5，
又在△ADC中，AC2+DC2=52+122=169，而AD2=132=169，
∴AC2+DC2=
AD2
，
即△ADC是直角三角形，
=
答：木板的面积是24.
A
C
B
D
8
6
10
17
A
B
C课题：1.2.3勾股定理（三）
教学目标
1、探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理 ；会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 ；培养学生数形结合的思想.
2、通过“创设情境---实验验证----理论释意---应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣。
3、通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受；通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
重点：理解和应用直角三角形的判定方法
难点：理解勾股定理的逆定理
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1.直角三角形有哪些性质
结合图形用几何语言叙述：
在Rt ABC中，∠ACB＝90°，则有：∠A+∠B＝90°，a2+b2=c2
若D是斜边AB的中点，则：CD=AD=BD=
AB，
若∠A＝30°，则：BC=AB
2.如何判断三角形是直角三角形
∠A+∠B＝90°，CD=AD=BD=
AB，BC=AB
问题：如果三边a，b，c满足a2+b2=c2，三角形是直角三角形吗？
二、探究学习（出示ppt课件）
如图（1），已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？
可以画一个Rt△A′
B′
C′
，使∠C′
=90°，B′
C′
=a
，A′
C′
=b，如图（2）
根据勾股定理，A′
B′
2
=a2+b2，因为
a2+b2=c2，所以A′
B′
2
=c2，于是斜边A′
B′
=c
在△ABC和△A′B′C′中，因为BC=B′C′=a，AC=A′C′=b，AB=A′B′=c，
所以△ABC
≌△A′B′C′
(SSS)
于是∠C＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等)，所以△ABC是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：a2
+
b2
=
c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。（2）运用时注意条件。
如图，
△ABC的三边为a、b、c，
∵a2
+
b2
=
c2，
∴
△ABC是直角三角形。
思考：如何判定由一组数为边长构成的三角形是直角三角形呢？
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
判断由a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a=15
,
b
=8
,
c=17
(2)
a=13
,
b
=15
,
c=14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：（1）∵152＋82=225＋64=289
而172=289
∴
152＋82=172
∴这个三角形是直角三角形
（2）∵132＋142=169＋196=365
而152=225
∴
132＋142≠152
∴这个三角形不是直角三角形。
例2
如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，
AC=17，求DC的长.
解：在△ABD中，已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，∠ADC=180°-∠ADB=90°.
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，所以：DC=
【归纳总结】先根据直角三角形判定定理，再根据勾股定理，计算结果。
例3 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC.
解：
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=×20=10．
∵AD2＋BD2=576＋100=676，
AB
2=262=676，∴AD2＋BD2=AB2，
∴
∠ADB=90°，AD垂直平分BC．∴AC=AB=26.
注意：在运用勾股定理运算时，先要判断出三角形是
不是直角三角形。
四、巩固练习（出示ppt课件）
1.
已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？
（1）a
=8，b
=15，c
=17；（2）a
=10，b
=24，c
=25.
（3）a=4，b=5，c=
2、请判断以下列各组数据为边的三角形的形状．
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
3.
下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（
）．
A．3，4，5； B．10，6，8；
C．4，5，6； D．12，13，5．
4．若△ABC的两边长为8和15，则能使△
( http: / / www.21cnjy.com )ABC为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A．161； B．289； C．17； D．161或289
5、已知某校有一块四边形空
( http: / / www.21cnjy.com )地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，
若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：P16练习
2
A
2
A
B
C
D
30°
(1)
A
B
C
a
b
c
A′
a
b
c
B′
C′
(2)
A
C
B
D
8
6
10
17
A
B
C
D
A
B
C
D(共13张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.3
----勾股定理的逆定理
1.直角三角形有哪些性质
结合图形用几何语言叙述：
在Rt ABC中，∠ACB＝90°，则有：
D
300
c
∠A+∠B＝90°
a2+b2=c2
D是斜边AB的中点，则：
1
2
CD=AD=BD=
AB
∠A＝30°，则：
1
2
BC=
AB
2.如何判断三角形是直角三角形
∠A+∠B＝90°
1
2
CD=AD=BD=
AB
1
2
BC=
AB
问题：如果三边a，b，c满足a2+b2=c2，
三角形是直角三角形吗？
如图（1），已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
探究
（1）
c
（2）
你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？
可以画一个Rt△A
B
C
，
使∠C
=90°，B
C
=a
，A
C
=b，
如图（2）
′
′
′
′
′
′
′
′
根据勾股定理，A
B
2
=a2+b2
因为
a2+b2=c2，所以A
B
2
=c2，
于是斜边A
B
=c
′
′
′
′
′
′
在△ABC和
中，
因为
，
所以△ABC
≌
(SSS)
于是
(全等三角形的对应角相等)
所以△ABC是直角三角形.
（1）
c
（2）
如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：
a2
+
b2
=
c2，那么这个三角形是直角三角形.
结论
直角三角形的判定定理：
思考：如何判定由一组数为边长构成的三角形是直角三角形呢？
C
B
A
c
b
a
注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。
（2）运用时注意条件。
如图，
△ABC的三边为a、b、c，
∵a2
+
b2
=
c2，
∴
△ABC是直角三角形。
例1
判断由a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a=15
,
b
=8
,
c=17
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82=225＋64=289
而172=289
∴
152＋82=172
举
例
∴这个三角形是直角三角形
(2)
a=13
,
b
=15
,
c=14
注意书写格式。
解：∵132＋142=169＋196=365
而152=225
∴
132＋142≠152
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
∴这个三角形不是直角三角形
例2
如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，
AC=17，求DC的长.
先根据直角三角形判定定理
再根据勾股定理，计算结果
∠ADC=180°-∠ADB=90°.
（直角三角形判定定理）
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，
解：在△ABD中，
已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，
所以
例3 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，
BC边上的中线AD＝24，求AC.
解：
∵AD是BC边上的中线，
D
C
B
A
∵AD2＋BD2=576＋100=676，
AB
2=262=676，
注意：在运用勾股定理运算时，
先要判断出三角形是不是直角三角形。
∴AD2＋BD2=AB2，
∴
∠ADB=90°，AD垂直平分BC．
∴AC=AB=26.
∴BD=CD=
BC=
×20=10．
1
2
1
2
1.
已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？
（1）a
=8，b
=15，c
=17；
（2）a
=10，b
=24，c
=25.
是.
不是.
练习
2、请判断以下列各组数据为边的三角形的形状．
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
直角三角形
（3）a=4，b=5，c=
√
41
是.
3.
下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的
是（
）．
A．3，4，5； B．10，6，8；
C．4，5，6；
D．12，13，5．
C
4．若△ABC的两边长为8和15，则能使△
ABC为直
角三角形的第三边的平方是（ ）
A．161；
B．289；
C．17；
D．161或289．
D
D
C
B
A
5、已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，
AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，
若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
分析：本题关键求出草地面积。
把它分成两个三角形来计算。
解：连接BD，∵
∠A＝90°
∴
△DAB是直角三角形。
∴BD=
=
=5
√
AD2+AB2
√
42+32
又在△DBC中，
BD2+BC2=
169，DC2=169。
即：BD2+BC2=DC2。
∴
△DBC是直角三角形。
草地面积=S△DAB
+S△DBC=6+30=36(m2)
需投入资金：3600元。
勾股定理
的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b
斜边为c，那么有a2+b2=c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c
满足
a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。
这节课的收获：
三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
满足a2＋b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
作业：P16练习
2
A
2
