(共16张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.4
----勾股定理及逆定理的应用
三角形的三边之间满足怎样数量
关系时，此三角形是直角三角形？
C
B
A
a
c
b
∵△ABC为直角三角形．
∴a2＋b2＝c2
.
∵a2＋b2＝c2
，
∴△ABC为直角三角形．
直角三角形勾股定理的内容：
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）
等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，
请你填表并探索规律．
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n
三角形的三边分别是3，4，5的整数倍，这样的三个数是一组勾股数。
a
3
5
7
9
11
…
2n+1
b
4
12
24
40
60
…
2n(n＋1)
c
5
13
25
41
61
…
2n(n＋1)＋1
①从前2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看
．
设n为正整数，那么，2n+1，2n(n+1)，2n(n+1)+1是一组勾股数。
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学教育大会的会徽
1
数学海螺图：
由此可知，利用勾股定理，可以作出长为
，
，
，…
的线段.
√
3
√
2
√
5
√
n
-1
0
1
2
3
√
√
你能在数轴上表示出
的点吗？
√
2
√
2
-
呢？
探究:
你能在数轴上画出表示
的点吗？
变式：
要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗
？
例1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
A
B
C
D
24
20
15
7
设每相邻两个结的距离为1，三角形的三边长分别为：3，4，5是一组勾股数，所以三角形是直角三角形。
AC2=AB2+BC2=242+72=625
又AD2+DC2=202+152=625=AC2
这个零件符合要求。
2.
如图，小明和小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？
解：因为∠BEA=∠BAE=45°，
所以∠ABC=∠BAC=15°
E
所以BC=AC=2km，
在Rt△BCD中，CD=1km，
所以主峰高度为
3、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE=
x
km，
解得：x=10
则
BE=（25-x）km
C
A
E
B
D
x
25-x
15
10
分析：由条件知：DE=CE
得：152+x2=(25-x)2+102
答：E站应建在离A站10km处.
利用勾股定理，列方程，解决实际问题。
(8-x)
x
10
10
A
B
C
D
F
E
8
6
4
x
解：设DE为x，则CE为
(8-x).
CE2+CF2＝EF2
(8-x)2+42=x2
x=5
分析：在Rt AEF中，求AE
4、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
即：EF=5.
在Rt AEF中，AE=
=
=5
√
5
√
AF2+EF2
√
102+52
1、在△ABC中，三边长分别是8，15，17，则这个三角形是
，它的面积是
.
2、△ABC中，若a=5，b=12，则当c=
，∠C=90°
3、三角形的两边为6和8，要使它成为直角三角形，
则第三边长为
.
4、在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，
则
=90 .
∠B
5、三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上的高是
。
15
直角三角形
60
13
10或
3√
2
7、判断由线段a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形？如果是，指出哪一条边所对的角是直角：
(1)a=12，b=16，c=20
(2)
a=8，b=12，c=15
(3)
a=5，b=6，c=8
(4)
a:b:c=5:12:13
6
6、如图所示，正方形的棱长为
m，
用经过A、B、C三点的平面截这个
正方体，所得截面的周长是
m.
√
2
∵a2+b2=c2
，∴是
∠C=90°
∵a2+b2≠c2
，∴不是
∵a2+b2≠c2
，∴不是
∵a2+b2=c2
，∴是
设a=5x，b=12x，c=13x
∠C=90°
8、如图，在两面墙之间有一个底端在E点的梯子，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知∠BEC=60°，
∠DEA=45°
，点D到地面的垂直距离DA=
m，求点B到地面的垂直距离BC.
A
E
C
B
D
60°
45°
提示：因为△ADE是等腰直角三角形，所以AE=AD=3
m，由勾股定理可求梯子ED长。在Rt△BCE中，由∠CBE=90°-60°
=30°，可求
CE=
BE=
ED.
再由勾股定理可求BC.
√
2
1
2
1
2
ED=BE=6
CE=3
3√
3
BC=
9、如图，有一块地，已知AD=4
m，CD=3
m，∠ADC=90°，AB=13
m，BC=12
m。求这块地的面积。
D
C
B
A
13
12
4
3
提示：连接AC，在Rt
△ACD中
由勾股定理求得AC，再证明△ABC是直角三角形，用S△ABC-S
△ACD即可求得面积。
24
m2.
10、如图：四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=90°，∠A=60°，
AB=2，CD=1，求四边形ABCD的周长和面积。
60°
A
D
C
B
2
1
E
提示：延长BC，AD交于E，
∠E=30°，在Rt
△ABE和Rt
△CDE中，求得BC和AD，即可求出周长。
用S△ABE
-
S
△CDE
即可求得面积。
周长=5+
√
3
面积=
√
3
3
2
1、设△ABC的三条边长分别是a、b、c，且a=n2-1，
b=2n，c=n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？
2、若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，试判断△ABC的形状.
3、如图，以△ABC的三边为直径向外作半圆，三个半圆的面积满足：S1＋S3＝S2，试判断△ABC的形状？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
1、通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
2、勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；
勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．
先把实际问题转化为直角三角形，
再用勾股定理（有时也可建立方程模型）来解决问题。
在解决实际问题时，先要对三角形的形状做出判断，
是直角三角形，才能运用勾股定理。
作业：p18
9
p28
A
2、5《勾股定理（四）》课时作业
1、下列数
组为三角形的边长：（1）5，
( http: / / www.21cnjy.com )12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中
能
构
成
直
角三
角
形
的有（
）
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
2．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是（
）
A.锐角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论正确的是（
）
A．∠C＝90°
B．∠B＝90°
C．△ABC是锐角三角
D．△ABC是钝角三角形
4．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（
）
A．3
B．
C．1
D．4
5．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（≈1.732，结果保留三个有效数字）（
）
A．5.00米
B．8.66米
C．17.3米
D．5.77米
二、填空题
1、△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
2．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.
3．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．
4．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
5.一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．这棵树在折断之前有__________米.
6、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为
.
三、解答题
1、如图，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积.
2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC的长.
(2)求AB的长.
(3)求证:
△ABC是直角三角形.
3、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，
求BC的长．
（第1题）
（第2题）
（第3题）
参考答案：
一、1、B；2、D；3、A；4、A；5、D；
二、1、90°；2、或；3、48；4、6，8，10；5、24米；6、120cm2；
三、1、由勾股定理可证得：△ADB和△DBC都是直角三角形。
∴四边形ABCD的面积=△ADB的面积+△DBC的面积
==204；
2、（1）CD=12；（2）AD=16，∴AB=25；
（3）∵AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=
AB2
即：△ABC是直角三角形.
3、在Rt△ABD中，∵∠DAB=30°，AD=12，∴BD=6，∴AB=6，
又在Rt△ABC中，设AC=BC=x，2x2=AB2=108，x=3，
即：BC=3，
第4题
第5题
A
B
C
D
A
B
C
D
C
A
B
D课题：1.2.4勾股定理（四）
教学目标
1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，准确运用勾股定理及逆定理。
2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理。
3、学会运用勾股定理来解决一些实际问题
( http: / / www.21cnjy.com )，体会数学的应用价值；尽可能的给学生提供展示他们查阅有关勾股定理，进行交流的机会，并与在他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
重点：掌握勾股定理及其逆定理
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决有关问题
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形勾股定理的内容：
∵△ABC为直角三角形．∴a2＋b2＝c2
.
2、三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
∵a2＋b2＝c2
.
∴△ABC为直角三角形．
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
满足a2＋b2＝c2的a、b、c三个正整数，称为勾股数．
二、探究交流（出示ppt课件）
1、勾股数的规律：
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2
.的一组正整数，通常称为勾股数，
请你填表并探索规律．
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n
发现什么规律？三角形的三边分别是3，4，5的整数倍，这样的三个数是一组勾股数。
a
3
5
7
9
…
2n+1
b
4
12
24
40
…
2n(n+1)
c
5
13
25
41
…
2n(n+1)+1
发现什么规律？设n为正整数，那么，2n+1，2n(n+1)，2n(n+1)+1是一组勾股数。
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看
．
2、无理数在数轴上的表示方法：
（1）情境问题：从第七届国际数学教育大会的会徽，可以
看出：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
（2）抽象出数学问题：由此可知，利用勾股定理，
可以作出长为，
，
，…
的线段
你能在数轴上表示出的点吗？-呢？
（3）引导学生探究作图：
类比的作法，依次作，，
，…的作法。想一想：你能在数轴上画出表示
的点吗？
三、例题分析（出示ppt课件）
例1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
分析：设每相邻两个结的距离为1，三角形的三边长分别为：
3，4，5是一组勾股数，所以三角形是直角三角形。
变式：
要做一个如图所示的零件，按规定
∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做
零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗
？
2.
如图，小明和小强攀登一无名高峰，
他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.
然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走
了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？
分析：由题意，抽象成几何图形（如图）
分别求出BD，DE即可。
3、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，
CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品
收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
则E站应建在离A站多少km处？
分析：由条件知：DE=CE
解：设AE=
x
km，则
BE=（25-x）km
得：152+x2=(25-x)2+102
解得：x=10答：E站应建在离A站10km处.
【方法归纳】利用勾股定理，列方程，解决实际问题。
4、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
分析：在Rt AEF中，求AE
解：设DE为x，则CE为
(8-x).
CE2+CF2＝EF2
(8-x)2+42=x2
x=5即：EF=5.
在Rt AEF中，
AE=
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p18
9
p28
A
2、5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
-
A
B
C
D
24
20
15
7
A
B
C
D
E
45°
30°
60°
A
B
C
D
E
15
10
x
25-x
(8-x)
x
10
10
A
B
C
D
F
E
8
6
4
x
x
x
