20.2 数据的波动程度 同步练习
图片预览
文档简介
20.2 数据的波动程度
基础训练
知识点1方差的意义
1.两名同学各进行了10次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的( )
A.众数 B.中位数
C.方差 D.以上都不对
2.在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁4人各射击10
次,平均成绩相同,方差分别是s甲2=0.35,s乙2=0.15,s丙2=0.25,s丁2=0.27,这4人中成绩发挥最稳定的是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
知识点2方差的求法
3.若一组数据1,2,x,4的众数是1,则这组数据的方差为 .?
4.(2016·龙岩)在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错的是( )
A.平均数为160 B.中位数为158
C.众数为158 D.方差为20.3
5.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是( )
A.4 B.7 C.8 D.19
6.(2016·永州)在“爱我永州”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:
甲:8,7,9,8,8
乙:7,9,6,9,9
则下列说法中错误的是( )
A.甲、乙得分的平均数是8
B.甲得分的众数是8,乙得分的众数是9
C.甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
知识点3方差的应用
7.在某次训练中,甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示,对于本次训练,有如下结论:①s甲2>s乙2;②s甲2<s乙2;③甲的射击成绩比乙稳定;④乙的射击成绩比甲稳定.由统计图可知正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
8.(2016·烟台)某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如下表所示,丁的成绩如图所示.
甲
乙
丙
平均数/环
7.9
7.9
8
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息,参赛选手应选( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
易错点 误把方差作为评判优劣的唯一标准而致错
9.甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛,成绩(单位:分)如下:
甲班
65
74
70
80
65
66
69
71
乙班
60
75
78
61
80
62
65
79
请比较两个班学生成绩的优劣.
提升训练
考查角度1利用方差作决策
10.某校要从九年级一班和二班中各选取10名女同学组成礼仪队,选取的两班女生的身高(单位:厘米)如下:
一班:168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
二班:165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
(1)根据上面两组数据补充完成下面的统计分析表:
平均数
方差
中位数
一班
168
168
二班
168
3.8
(2)请选一个合适的统计量作为选择标准,说明哪一个班能被选取.
考查角度2利用平均数和方差作决策
11.要从甲、乙两名同学中选出一名,代表班级参加射击比赛.如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩.
(2)观察统计图,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差s甲2,s乙2哪个大.
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该
选 参赛更适合;?
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该
选 参赛更适合.?
探究培优
拔尖角度 利用不同的统计量对数据进行分析
12.(2016·青岛)甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成如下两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
(1)写出表格中a,b,c的值.
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
类型1平均数、方差的应用
13.(2016·乐山)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,两人在相同条件下各射击10次,射击的成绩如图所示.
根据图中信息,回答下列问题:
(1)甲的平均数是 ,乙的中位数是 ;?
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,并从计算结果来分析,你认哪位运动员的射击成绩更稳定?
类型2方差、中位数的应用
14.某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况,绘制了如下统计表及如图所示的不完整的折线图:
A,B产品单价变化统计表
第一
次
第二
次
第三
次
A产品
单价/
(元/件)
6
5.2
6.5
B产品
单价/
(元/件)
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价这组数据的平均数和方差:
xA=5.9; sA2=13×[(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]=43150.
(1)补全图中B产品单价变化的折线图,B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 %;?
(2)求B产品三次单价这组数据的方差,并比较哪种产品的单价波动小;
(3)该厂决定第四次调价,A产品的单价仍为6.5元/件,B产品的单价比3元/件上调m%(m>0),使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1,求m的值.
类型3平均数、中位数、方差与统计图的应用
15.为声援扬州“运河申遗”,某校举办了一次运河知识竞赛,满分为10分,学生得分均为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包括9分)为优秀.这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表.
组别
平均数
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.7
3.41
90%
20%
乙组
7.5
1.69
80%
10%
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知,小明是 组的学生(填“甲”或“乙”).?
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】B
3【答案】32
解:∵众数是1,∴x=1,则x=1+2+1+44=2,
∴s2=14×[(1-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(4-2)2]=32.
4.【答案】D
解:平均数为(158+160+154+158+170)÷5=160,A正确,不符合题意;
将这组数据按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,B正确,不符合题意;
数据158出现了2次,次数最多,故众数为158,C正确,不符合题意;这组数据的方差是
s2=15[(154-160)2+2×(158-160)2+(160-160)2+(170-160)2]=28.8,D错误,符合题意.故选D.
5.【答案】A
解:设一组数据x1,x2,…,xn的平均数是x,则方差为
s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]=4;
而另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数是x+3,此时方差为s2=1n{[(x1+3)-(x+3)]2+[(x2+3)-(x+3)]2+…+[(xn+3)-(x+3)]2}=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]=4,故选A.
6.【答案】C
7.【答案】C
解:方法一:从折线统计图可知甲和乙射击10发子弹成绩的数据,根据方差的公式可计算出甲和乙射击成绩的方差,从而进行比较即可得出结果.方法二:根据统计图判断甲、乙成绩的波动情况,根据方差越大,数据的波动越大,越不稳定;方差越小,数据的波动越小,越稳定即可得出结果.
8.【答案】D
解:由图可知丁射击10次的成绩为:8,8,9,7,8,8,9,7,8,8,则丁的成绩的平均数为110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8(环),丁的成绩的方差为110×[6×(8-8)2+2×(7-8)2+2×(9-8)2]=0.4.∵丁的成绩的平均数最大,方差最小,∴参赛选手应选丁.
9.解:首先计算这两组数据平均数和方差:
x甲=18×(65+74+…+71)=70,
s甲2=18×[(65-70)2+(74-70)2+…+(71-70)2]=23;
x乙=18×(60+75+…+79)=70,
s乙2=18×[(60-70)2+(75-70)2+…+(79-70)2]=67.5.
通过计算可知,x甲=x乙,s甲2<s乙2,甲班的成绩比乙班的成绩稳定.
再比较高分情况或优秀率(不妨设75分及以上为优秀):
高分情况:得80分的都只有1人,持平;得75分以上(含75分)的甲班有1人,乙班有4人,乙班优于甲班.
优秀率:甲班为12.5%,乙班为50%,乙班优于甲班.
易错点拨:把方差大小作为评判成绩好坏的唯一标准,这是对方差概念的误解,方差只是反映一组数据的波动情况,至于方差大好还是方差小好,则要看这组数据所反映的实际问题.就这个实际问题而言,方差不应作为评判成绩优劣的唯一标准.从优秀率这个角度来评价两班成绩的优劣才是客观的、准确的,所以并不能说方差小了就好,而是要具体问题具体分析,主要是看从什么角度去比较.
10.解:(1)3.2;168
(2)选方差作为选择标准,
∵一班的方差<二班的方差,
∴一班能被选取.
11.解:(1)x乙=
8+9+8+8+7+8+9+8+8+710=8(环).
(2)s甲2大.(3)乙;甲
12.解:(1)a=7,b=7.5,c=4.2.
(2)从平均成绩看甲、乙二人的平均成绩相等均为7环,从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙,从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多,从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定.
综合以上各因素,若选派一名队员参赛,可选择乙参赛,因为乙获得较好成绩的可能更大.
13.解:(1)8环;7.5环
(2)s甲2=110[(6-8)2+(10-8)2+…+(7-8)2]=1.6.
∵x乙=110(7+10+…+7)=8(环),
∴s乙2=110[(7-8)2+(10-8)2+…+(7-8)2]=1.2.
∵s乙2<s甲2,
∴乙运动员的射击成绩更稳定.
14.解:(1)如图所示. 25
(2)xB=13×(3.5+4+3)=3.5,
sB2=
(3.5-3.5)2+(4-3.5)2+(3-3.5)23=16.
因为16<43150,
所以B产品的单价波动小.
(3)第四次调价后,对于A产品,四次单价这组数据的中位数为6+6.52=254;
对于B产品,因为m>0,
所以第四次单价大于3元/件.
又因为3.5+42×2-1=132>254,
所以第四次单价小于4元/件.
所以3(1+m%)+3.52×2-1=254.
所以m=25.
15.解:(1)填表如下:
组别
平均
数
中位
数
方差
合格
率
优秀
率
甲组
6.7
6
3.41
90%
20%
乙组
7.1
7.5
1.69
80%
10%
(2)甲
(3)①乙组的平均数高于甲组,②乙组的成绩比甲组稳定,故乙组成绩好于甲组.(答案不唯一)
基础训练
知识点1方差的意义
1.两名同学各进行了10次三级蛙跳测试,经计算,他们的平均成绩相同,若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定,通常还需要比较他们成绩的( )
A.众数 B.中位数
C.方差 D.以上都不对
2.在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁4人各射击10
次,平均成绩相同,方差分别是s甲2=0.35,s乙2=0.15,s丙2=0.25,s丁2=0.27,这4人中成绩发挥最稳定的是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
知识点2方差的求法
3.若一组数据1,2,x,4的众数是1,则这组数据的方差为 .?
4.(2016·龙岩)在2016年龙岩市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错的是( )
A.平均数为160 B.中位数为158
C.众数为158 D.方差为20.3
5.如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是( )
A.4 B.7 C.8 D.19
6.(2016·永州)在“爱我永州”中学生演讲比赛中,五位评委分别给甲、乙两位选手的评分如下:
甲:8,7,9,8,8
乙:7,9,6,9,9
则下列说法中错误的是( )
A.甲、乙得分的平均数是8
B.甲得分的众数是8,乙得分的众数是9
C.甲得分的中位数是9,乙得分的中位数是6
D.甲得分的方差比乙得分的方差小
知识点3方差的应用
7.在某次训练中,甲、乙两名射击运动员各射击10发子弹的成绩统计图如图所示,对于本次训练,有如下结论:①s甲2>s乙2;②s甲2<s乙2;③甲的射击成绩比乙稳定;④乙的射击成绩比甲稳定.由统计图可知正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
8.(2016·烟台)某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如下表所示,丁的成绩如图所示.
甲
乙
丙
平均数/环
7.9
7.9
8
方差
3.29
0.49
1.8
根据以上图表信息,参赛选手应选( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
易错点 误把方差作为评判优劣的唯一标准而致错
9.甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛,成绩(单位:分)如下:
甲班
65
74
70
80
65
66
69
71
乙班
60
75
78
61
80
62
65
79
请比较两个班学生成绩的优劣.
提升训练
考查角度1利用方差作决策
10.某校要从九年级一班和二班中各选取10名女同学组成礼仪队,选取的两班女生的身高(单位:厘米)如下:
一班:168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
二班:165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
(1)根据上面两组数据补充完成下面的统计分析表:
平均数
方差
中位数
一班
168
168
二班
168
3.8
(2)请选一个合适的统计量作为选择标准,说明哪一个班能被选取.
考查角度2利用平均数和方差作决策
11.要从甲、乙两名同学中选出一名,代表班级参加射击比赛.如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.
(1)已求得甲的平均成绩为8环,求乙的平均成绩.
(2)观察统计图,直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差s甲2,s乙2哪个大.
(3)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右,本班应该
选 参赛更适合;?
如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班应该
选 参赛更适合.?
探究培优
拔尖角度 利用不同的统计量对数据进行分析
12.(2016·青岛)甲、乙两名队员参加射击训练,成绩分别被制成如下两个统计图:
根据以上信息,整理分析数据如下:
平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c
(1)写出表格中a,b,c的值.
(2)分别运用表中的四个统计量,简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛,你认为应选哪名队员?
类型1平均数、方差的应用
13.(2016·乐山)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,两人在相同条件下各射击10次,射击的成绩如图所示.
根据图中信息,回答下列问题:
(1)甲的平均数是 ,乙的中位数是 ;?
(2)分别计算甲、乙成绩的方差,并从计算结果来分析,你认哪位运动员的射击成绩更稳定?
类型2方差、中位数的应用
14.某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况,绘制了如下统计表及如图所示的不完整的折线图:
A,B产品单价变化统计表
第一
次
第二
次
第三
次
A产品
单价/
(元/件)
6
5.2
6.5
B产品
单价/
(元/件)
3.5
4
3
并求得了A产品三次单价这组数据的平均数和方差:
xA=5.9; sA2=13×[(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]=43150.
(1)补全图中B产品单价变化的折线图,B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 %;?
(2)求B产品三次单价这组数据的方差,并比较哪种产品的单价波动小;
(3)该厂决定第四次调价,A产品的单价仍为6.5元/件,B产品的单价比3元/件上调m%(m>0),使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1,求m的值.
类型3平均数、中位数、方差与统计图的应用
15.为声援扬州“运河申遗”,某校举办了一次运河知识竞赛,满分为10分,学生得分均为整数,成绩达到6分以上(包括6分)为合格,达到9分以上(包括9分)为优秀.这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.
(1)补充完成下面的成绩统计分析表.
组别
平均数
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
6.7
3.41
90%
20%
乙组
7.5
1.69
80%
10%
(2)小明同学说:“这次竞赛我得了7分,在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知,小明是 组的学生(填“甲”或“乙”).?
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组,所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法,认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】B
3【答案】32
解:∵众数是1,∴x=1,则x=1+2+1+44=2,
∴s2=14×[(1-2)2+(2-2)2+(1-2)2+(4-2)2]=32.
4.【答案】D
解:平均数为(158+160+154+158+170)÷5=160,A正确,不符合题意;
将这组数据按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,B正确,不符合题意;
数据158出现了2次,次数最多,故众数为158,C正确,不符合题意;这组数据的方差是
s2=15[(154-160)2+2×(158-160)2+(160-160)2+(170-160)2]=28.8,D错误,符合题意.故选D.
5.【答案】A
解:设一组数据x1,x2,…,xn的平均数是x,则方差为
s2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]=4;
而另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数是x+3,此时方差为s2=1n{[(x1+3)-(x+3)]2+[(x2+3)-(x+3)]2+…+[(xn+3)-(x+3)]2}=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]=4,故选A.
6.【答案】C
7.【答案】C
解:方法一:从折线统计图可知甲和乙射击10发子弹成绩的数据,根据方差的公式可计算出甲和乙射击成绩的方差,从而进行比较即可得出结果.方法二:根据统计图判断甲、乙成绩的波动情况,根据方差越大,数据的波动越大,越不稳定;方差越小,数据的波动越小,越稳定即可得出结果.
8.【答案】D
解:由图可知丁射击10次的成绩为:8,8,9,7,8,8,9,7,8,8,则丁的成绩的平均数为110×(8+8+9+7+8+8+9+7+8+8)=8(环),丁的成绩的方差为110×[6×(8-8)2+2×(7-8)2+2×(9-8)2]=0.4.∵丁的成绩的平均数最大,方差最小,∴参赛选手应选丁.
9.解:首先计算这两组数据平均数和方差:
x甲=18×(65+74+…+71)=70,
s甲2=18×[(65-70)2+(74-70)2+…+(71-70)2]=23;
x乙=18×(60+75+…+79)=70,
s乙2=18×[(60-70)2+(75-70)2+…+(79-70)2]=67.5.
通过计算可知,x甲=x乙,s甲2<s乙2,甲班的成绩比乙班的成绩稳定.
再比较高分情况或优秀率(不妨设75分及以上为优秀):
高分情况:得80分的都只有1人,持平;得75分以上(含75分)的甲班有1人,乙班有4人,乙班优于甲班.
优秀率:甲班为12.5%,乙班为50%,乙班优于甲班.
易错点拨:把方差大小作为评判成绩好坏的唯一标准,这是对方差概念的误解,方差只是反映一组数据的波动情况,至于方差大好还是方差小好,则要看这组数据所反映的实际问题.就这个实际问题而言,方差不应作为评判成绩优劣的唯一标准.从优秀率这个角度来评价两班成绩的优劣才是客观的、准确的,所以并不能说方差小了就好,而是要具体问题具体分析,主要是看从什么角度去比较.
10.解:(1)3.2;168
(2)选方差作为选择标准,
∵一班的方差<二班的方差,
∴一班能被选取.
11.解:(1)x乙=
8+9+8+8+7+8+9+8+8+710=8(环).
(2)s甲2大.(3)乙;甲
12.解:(1)a=7,b=7.5,c=4.2.
(2)从平均成绩看甲、乙二人的平均成绩相等均为7环,从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙,从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多,从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定.
综合以上各因素,若选派一名队员参赛,可选择乙参赛,因为乙获得较好成绩的可能更大.
13.解:(1)8环;7.5环
(2)s甲2=110[(6-8)2+(10-8)2+…+(7-8)2]=1.6.
∵x乙=110(7+10+…+7)=8(环),
∴s乙2=110[(7-8)2+(10-8)2+…+(7-8)2]=1.2.
∵s乙2<s甲2,
∴乙运动员的射击成绩更稳定.
14.解:(1)如图所示. 25
(2)xB=13×(3.5+4+3)=3.5,
sB2=
(3.5-3.5)2+(4-3.5)2+(3-3.5)23=16.
因为16<43150,
所以B产品的单价波动小.
(3)第四次调价后,对于A产品,四次单价这组数据的中位数为6+6.52=254;
对于B产品,因为m>0,
所以第四次单价大于3元/件.
又因为3.5+42×2-1=132>254,
所以第四次单价小于4元/件.
所以3(1+m%)+3.52×2-1=254.
所以m=25.
15.解:(1)填表如下:
组别
平均
数
中位
数
方差
合格
率
优秀
率
甲组
6.7
6
3.41
90%
20%
乙组
7.1
7.5
1.69
80%
10%
(2)甲
(3)①乙组的平均数高于甲组,②乙组的成绩比甲组稳定,故乙组成绩好于甲组.(答案不唯一)