【解析】江苏省南京市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（文科）

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2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是　　．
2．双曲线=1的渐近线方程是　　．
3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是　　．
4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是　　．
5．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是　　．
6．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是　　．
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是　　．
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是　　．
9．观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　　．
10．若“ x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是　　．
11．已知函数f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f
（x）有极大值，则函数f
（x）的极小值是　　．
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f
（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是　　．
13．已知椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是　　．
14．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是　　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
16．已知复数z1=m﹣2i，复数z2=1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若m=1，n=﹣1，求|z1+z2|的值；
（2）若z1=（z2）2，求m，n的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
20．已知函数f
（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f
（x）的最小值；
（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f
（x）=1成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f
（x）≥f
（）成立，求a的取值范围．
　
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是　若|a|≠|b|，则a≠b　．
【考点】四种命题．
【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．
【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，
故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”
　
2．双曲线=1的渐近线方程是　y=±2x　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】渐近线方程是
=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
　
3．已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是　2　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．
【解答】解：
==，
∵复数为纯虚数，
∴，
解得a=2．
故答案为：2．
　
4．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是　±5　．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：由题意，
=1，
∴a=±5．
故答案为±5．
　
5．曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是　﹣3　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设直线与曲线的切点为P（m，n），点P分别满足直线方程与曲线方程，同时y'（m）=4即可求出b值
【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）
则有：
，化简求：m=1，b=n﹣4；
又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；
则：b=n﹣4=﹣3；
故答案为：﹣3．
　
6．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是　9　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由可得A（3，3）．
此时z=9，
故答案为：9．
　
7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是　4　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，将p的值代入，进而求出x．
【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|PF|=x+1=5，
∴x=4，
故答案为：4
　
8．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是　3＜r＜7　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，可得|r﹣2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．
【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，
∴3＜r＜7．
故答案为3＜r＜7．
　
9．观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=　n（n+1）　．
【考点】归纳推理．
【分析】由题意可以直接得到答案．
【解答】解：观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），
故答案为：
n（n+1）
　
10．若“ x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0]∪[4，+∞）　．
【考点】命题的真假判断与应用；特称命题．
【分析】若“ x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得实数a的取值范围．
【解答】解：若“ x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，
则△=a2﹣4a≥0，
解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），
故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）
　
11．已知函数f（x）=（x2+x+m）ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f
（x）有极大值，则函数f
（x）的极小值是　﹣1　．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数f（x）的导数，根据f′（﹣3）=0，求出m的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的极小值即可．
【解答】解：f（x）=（x2+x+m）ex，
f′（x）=（x2+3x+m+1）ex，
若f（x）在x=﹣3处函数f
（x）有极大值，
则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，
故f（x）=（x2+x﹣1）ex，
f′（x）=（x2+3x）ex，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，
故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）极小值=f（0）=﹣1，
故答案为：﹣1．
　
12．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f
（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是　②④　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；
②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；
③，若函数f
（x）=x3+mx单调递增 m≥0；
④，p或q是真命题 p且q不一定是真命题； p且q是真命题 p或q一定是真命题；
【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；
对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；
对于③，若函数f
（x）=x3+mx单调递增 m≥0，故错；
对于④，p或q是真命题 p且q不一定是真命题； p且q是真命题 p或q一定是真命题，故正确；
故答案为：②④
　
13．已知椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是　[]　．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（x，y），由PM=PF x2+y2=2c2．
只需x2+y2=2c2与椭圆E：
+=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤≤a，可求离心率的取值范围．
【解答】解：设P（x，y），由PM=PF PM2=2PF2 （x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2 x2+y2=2c2，
椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：
+=1（a＞b＞0）由公共点，
∴b≤≤a ．
故答案为：[]
　
14．已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是　（3，4）　．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴函数f′（x）=，
当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，
故当x=时，函数f（x）取极大值，
函数f（x）有两个零点0和t，
若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，
则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，
即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，
由y|x=t==，
故，
=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，
故不等式的解集为：t∈（3，4），
故答案为：（3，4）
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（1）求出BC中点D的坐标，AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求出BC边上的高所在直线的斜率为，即可求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…
所以AD的斜率为k==8，…
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），
即8x﹣y﹣48=0．
…
（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…
所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…
所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），
即x+y﹣15=0．
…
　
16．已知复数z1=m﹣2i，复数z2=1﹣ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若m=1，n=﹣1，求|z1+z2|的值；
（2）若z1=（z2）2，求m，n的值．
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】（1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：（1）当m=1，n=﹣1时，z1=1﹣2i，z2=1+i，
所以z1+z2=（1﹣2i）+（1+i）=2﹣i，…
所以|z1+z2|==．
…
（2）若z1=（z2）2，则m﹣2i=（1﹣ni）2，
所以m﹣2i=（1﹣n2）﹣2ni，…
所以，…
解得．
…
　
17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…
由解得，
所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…
所以圆M的半径为r=，…
所以圆M的方程为
（x﹣1）2+（y+2）2=2．
…
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，
所以圆心M到直线l的距离为d==，…
若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，
由d==，…
整理得k2+8k+7=0，
解得k=﹣1或﹣7，…
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．
…
　
18．某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f
（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．
（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f
（θ）取最大值．
【解答】（本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…
则六边形的面积为f
（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．
…
（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．
…
令
f′（θ）=0，因为θ∈（0，），
所以cosθ=，即θ=，…
当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f
（θ）在（0，）上单调递增；
当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f
（θ）在（，）上单调递减，…
所以当θ=时，f
（θ）取最大值f
（）=2（cos+1）sin=．
…
答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…
　
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，且点C在x轴上方．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由已知点的坐标结合向量等式求得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）写出CD所在直线方程，得到BC所在直线方程联立求得C的坐标，代入椭圆方程即可求得k值；
（3）联立直线方程和椭圆方程，求得C、D的横坐标的和与积，代入斜率公式可得k1k2为定值．
【解答】（1）解：∵A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，
∴3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．
又∵=，∴c=，则b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆E的方程为+y2=1；
（2）解：CD的方程为y=k（x+1），
∵BC⊥CD，∴BC的方程为y=﹣（x﹣2），
联立方程组，可得点C的坐标为（，），
代入椭圆方程，得，
解得k=±2．
又∵点C在x轴上方，＞0，则k＞0，
∴k=2；
（3）证明：∵直线CD的方程为y=k（x+1），
联立，消去y得：（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则x1+x2=﹣，x1x2=，
k1k2==
===﹣，
∴k1k2为定值．
　
20．已知函数f
（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f
（x）的最小值；
（2）已知e为自然对数的底数，存在x∈[，e]，使得f
（x）=1成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f
（x）≥f
（）成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）得到a=+，设g（x）=+，x∈[，e]，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）问题转化为a（x﹣）﹣2lnx≥0，令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣lnx，
则f'（x）=1﹣=，
令f'（x）=0，则x=1．
…
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，…
所以当x=1时，f
（x）取到最小值，最小值为1．
…
（2）因为
f
（x）=1，所以ax﹣lnx=1，即a=+，…
设g（x）=+，x∈[，e]，则g'（x）=，
令g'（x）=0，得x=1．
当＜x＜1时，g'（x）＞0，所以g（x）在（，1）上单调递增；
当1＜x＜e时，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，e）上单调递减；
…
因为g（1）=1，g（）=0，g（e）=，
所以函数g
（x）的值域是[0，1]，
所以a的取值范围是[0，1]．
…
（3）对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，
则ax﹣lnx≥+lnx，即a（x﹣）﹣2lnx≥0．
令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，
则h'（x）=a（1+）﹣=，
①当a≥1时，ax2﹣2x+a=a（x﹣）2+≥0，
所以h'（x）≥0，因此h（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以x∈[1，+∞）时，恒有h（x）≥h（1）=0成立，
所以a≥1满足条件．
…
②当0＜a＜1时，有＞1，若x∈[1，]，则ax2﹣2x+a＜0，
此时h'（x）=＜0，
所以h（x）在[1，]上单调递减，所以h（）＜h（1）=0，
即存在x=＞1，使得h（x）＜0，所以0＜a＜1不满足条件．…
③当a≤0时，因为x≥1，所以h'（x）＜0，
所以h（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，所以a≤0不满足条件．
综上，a的取值范围为[1，+∞）．…
　
2017年2月16日
投稿兼职请联系：2355394692
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