【解析】江苏省泰州市姜堰区2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区高一（上）期中数学试卷
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上．）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=　　．
2．函数y=的定义域为　　．
3．函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为　　．
4．若函数f（x）=x2+mx﹣2在区间（2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是　　．
5．若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a=　　．
6．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x＞m}，若 UA B，则实数m的取值范围是　　．
7．设A=B={a，b，c，d，e，…，
( http: / / www.21cnjy.com )x，y，z}（元素为26个英文字母），作映射f：A→B为并称A中字母拼成的文字为明文，相应的B中对应字母拼成的文字为密文，若现在有密文为mvdlz，则与其对应的明文应为　　．
8．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x3+x+1，则f（2）=　　．
9．函数y=x﹣的值域是　　．
10．设函数f（x）为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，则关于x的不等式f（x﹣2）＞0的解集是　　．
11．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有
　　个．
12．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是　　．
13．若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是　　．
14．已知函数f（x）=x2﹣ax（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是　　．
　
二、解答题
15．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．
（1）求B及 U（A∩B）；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
16．（1）；
（2）已知a+a﹣1=5，求a2+a﹣2和的值．
17．某投资公司计划投资A、B两种金融产品
( http: / / www.21cnjy.com )，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
18．已知，a是实常数，
（1）当a=1时，写出函数f（x）的值域；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范围．
19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．
20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a） g（x﹣a）．
（1）若f（2）=0，求实数a的值；
（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题纸上．）
1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=　{2}　．
【考点】交集及其运算．
【分析】直接利用交集的运算求解．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．
故答案为：{2}．
　
2．函数y=的定义域为　{x|x≥1}　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．
【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，
故函数的定义域为{x|x≥1}．
故答案为：{x|x≥1}．
　
3．函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为　[﹣1，+∞）　．
【考点】函数的值域．
【分析】根据二次函数的图象及性质求解即可．
【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）2﹣1，
开口向上，对称轴x=1，
当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，
故函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为：[﹣1，+∞），
故答案为：[﹣1，+∞）．
　
4．若函数f（x）=x2+mx﹣2在区间（2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围是　m≥﹣4　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】求出二次函数的对称轴，利用二次函数的单调性列出不等式求解即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+mx﹣2的开口向上，对称轴为：x=﹣，
函数f（x）=x2+mx﹣2在区间（2，+∞）上单调递增，
可得：，
解得：m≥﹣4．
故答案为：m≥﹣4．
　
5．若函数y=ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为6，则实数a=　2　．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】两种情况：（1）当a＞1时，函数y
( http: / / www.21cnjy.com )=ax在区间[1，2]上是增函数，所以ymax=a2
ymin=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或﹣3（负值舍去）（2）0＜a＜1，函数y=ax在区间[1，2]上是减函数，所以：ymax=a
ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或﹣3，因为0＜a＜1，所以都舍去．
【解答】解：（1）当a＞1时，函数y=ax在区间[1，2]上是增函数，
所以ymax=a2
ymin=a，
由于最小值和最大值之和6，
即：a2+a=6，
解得：a=2或﹣3（负值舍去）；
（2）0＜a＜1，函数y=ax在区间[1，2]上是减函数，
所以：ymax=a
ymin=a2，
由于最小值和最大值之和6，
即：a2+a=6，
解得：a=2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；
故答案为：2．
　
6．设全集U=R，A={x|x＜1}，B={x|x＞m}，若 UA B，则实数m的取值范围是　（﹣∞，1）　．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知求出 UA，根据 UA B，转化为两集合端点值间的关系得答案．
【解答】解：∵全集U=R，A={x|x＜1}，则 UA={x|x≥1}，
又B={x|x＞m}，且 UA B，则m＜1．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
　
7．设A=B={a，b，c
( http: / / www.21cnjy.com )，d，e，…，x，y，z}（元素为26个英文字母），作映射f：A→B为并称A中字母拼成的文字为明文，相应的B中对应字母拼成的文字为密文，若现在有密文为mvdlz，则与其对应的明文应为　lucky　．
【考点】映射．
【分析】理解题意中明文与密文的转换关系，再将密文中每一个字母翻译成明文即可．
【解答】解：由明文与密文的关系可知：
密文“mvdlz”对应的明文是“lucky”．
故答案为：lucky．
　
8．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x3+x+1，则f（2）=　9　．
【考点】函数的值．
【分析】当x＞0时，f（x）=x3+x﹣1，由此能求出f（2）的值．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=x3+x+1，
∴当x＞0时，f（x）=x3+x﹣1，
∴f（2）=23+2﹣1=9．
故答案为：9．
　
9．函数y=x﹣的值域是　（﹣∞，﹣2]　．
【考点】函数的值域．
【分析】利用换元法求函数的值域．令=t，则x=2﹣t2，带入化简利用二次函数的性质求解值域即可．
【解答】解：由题意：函数y=x﹣，定义域为{x|x≤2}．
令=t，则x=2﹣t2，
∵，
∴t≥0
那么：函数y=2﹣t2﹣t，（t≥0），
对称轴t=﹣，开口向下，
∴t∈[0，+∞）是单调减区间．
当t=0时，函数y取得最大值为﹣2，
所以函数y的值域为（﹣∞，﹣2]
故答案为（﹣∞，﹣2]．
　
10．设函数f（x）为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，则关于x的不等式f（x﹣2）＞0的解集是　（﹣∞，﹣1）∪（2，5）　．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据函数为奇函数和函数的图象得到f（x）＞0的解集，再根据图象的平移即可求出答案．
【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，且当x≥0时的图象如图所示，
当f（x）＞0时，解得0＜x＜3，或x＜﹣3，
其解集为（0，3）∪（﹣∞，﹣3）
y=f（x﹣2）的图象是由y=f（x）的图象向右平移2个单位得到的，
∴不等式f（x﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，5），
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，5）
　
11．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有
　9　个．
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】由题意知，函数的定义域中，1和﹣1至少有一个，2和﹣2中至少有一个．
【解答】解：∵一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，
∴函数的定义域可以为{1，2}，{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，
{﹣1，1，﹣2}，{1，2，﹣2}，{﹣1，2，﹣2}，{1，﹣1，﹣2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个，
故答案为
9．
　
12．已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，若f（1）＜f（lgx），则实数x的取值范围是　　．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相
( http: / / www.21cnjy.com )反，结合已知我们可分析出函数的单调性，进而根据f（1）＜f（lgx），可得1＜|lgx|，根据绝对值的定义及对数函数的单调性解不等式可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的偶函数
且函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，
则函数f（x）在区间（﹣∞，0]上是减函数，
若f（1）＜f（lgx），
则1＜|lgx|
即lgx＜﹣1，或lgx＞1
解得x∈
故答案为：
　
13．若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m的取值范围是　[﹣1，
+1]　．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象，由图象知当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；从而由图象求解．
【解答】解：作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象如下，
当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；
故由图象可知，
实数m的取值范围是[﹣1，
+1]．
故答案为：[﹣1，
+1]．
　
14．已知函数f（x）=x2﹣ax（a＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，恒成立，则实数a的取值范围是　[，1）∪（1，2]　．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】数形结合法：把变为x2﹣＜ax，分a＞1和0＜a＜1两种情况作出两函数y=x2﹣，y=ax的图象，结合题意即可得到a的范围．
【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，，即x2﹣ax＜，也即x2﹣＜ax，
令y=x2﹣，y=ax，
①当a＞1时，作出两函数的图象，如图所示：
此时，由题意得，解得1＜a≤2；
②当0＜a＜1时，作出两函数图象，如图所示：
此时，由题意得，解得≤a＜1．
综上，实数a的取值范围是．
故答案为：．
　
二、解答题
15．设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．
（1）求B及 U（A∩B）；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）先分别求出A，B，从而求出A∩B，由此能求出CU（A∩B）．
（2）由B∪C=C得B C，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】（改编自课本19页本章测试13、14两题）
解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，
B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…2分
∴A∩B={x|2≤x＜3}…4分
∴CU（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…7分
（2）由B∪C=C得B C…9分
C={x|2x+a＞0}=
根据数轴可得，…12分
从而a＞﹣4，
故实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．…14分．
　
16．（1）；
（2）已知a+a﹣1=5，求a2+a﹣2和的值．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可，
（2）根据幂的运算性质计算即可
【解答】解：（1）原式=1++lg1000
=1++3，
=，
（2）a2+a﹣2=（a+a﹣1）2﹣2=23，
∵
∴由得，
　
17．某投资公司计划投资A、B两种
( http: / / www.21cnjy.com )金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【考点】函数模型的选择与应用；二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（1）由于A产品的利润y与
( http: / / www.21cnjy.com )投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣
( http: / / www.21cnjy.com )x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．
【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．
由题意设f（x）=k1x，．由图知，∴
又g（4）=1.6，∴．从而，
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．
（0≤x≤10）
令，则=
当t=2时，，此时x=10﹣4=6
答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，
该企业获得最大利润，利润为2.8万元．
　
18．已知，a是实常数，
（1）当a=1时，写出函数f（x）的值域；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，求m的取值范围．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】（1）当a=1时，利用指数函数的性质，即可求出函数f（x）的值域；
（2）利用单调性的定义，判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（x）是奇函数，求出a，不等式f（f（x））+f（m）＜0有解，fmax（x）＞﹣m有解，即可求m的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，，定义域为R，
3x+1∈（1，+∞），∴f（x）∈（1，3），
即函数的值域为（1，3）．
（2）函数f（x）在R上单调递减；下证明．
证明：设任意x1，x2∈R，且x1＜x2．
=＞0，
所以函数f（x）在R上单调递减．
（3）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，
即对x∈R恒成立，
化简整理得，即a=﹣1．
因为f（f（x））+f（m）＜0有解，且函数为奇函数，
所以f（f（x））＜﹣f（m）=f（﹣m）有解，
又因为函数f（x）在R上单调递减，所以f（x）＞﹣m有解，
即fmax（x）＞﹣m有解，
又因为函数f（x）=﹣1的值域为（﹣1，1），
所以﹣m＜1，即m＞﹣1．
　
19．设函数f（x）=log4（4x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；
（2）若关于x的不等式f（x）+f（﹣x）≤2log4m对任意的x∈[0，2]恒成立，求正实数m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（1）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（﹣x）恒成立，运用对数的运算性质，化简进而可得a值；
（2）若不等式f（x）+f
( http: / / www.21cnjy.com )（﹣x）≤2log4m对任意x∈[0，2]恒成立，化简即有4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，令，则t∈[1，4]，可得t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函数的性质，进而可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）对任意x∈R恒成立，
∴，
∴，
∴；
（2）∵f（x）+f（﹣x）≤2log4m，
∴，
∴对任意的x∈[0，2]恒成立，
即4x+1≤m2x对任意的x∈[0，2]恒成立，
令，则t∈[1，4]，
∴t2﹣mt+1≤0在[1，4]恒成立，
∴，∴．
　
20．定义函数g（x）=，f（x）=x2﹣2x（x﹣a） g（x﹣a）．
（1）若f（2）=0，求实数a的值；
（2）解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3）函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．
【分析】（1）利用分段函数，分类讨论，求出实数a的值；
（2）f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，分类讨论，解关于实数a的不等式f（1）≤f（0）；
（3），利用函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a） g（x﹣a），∴f（2）=4﹣4（2﹣a）g（2﹣a），
当a≤2时，f（2）=4﹣4（2﹣a）=0，∴a=1，…
当a＞2时，f（2）=4+4（2﹣a）=0，∴a=3．…
（2）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a） g（x﹣a），
∴f（1）=1﹣2（1﹣a）g（1﹣a），f（0）=0，
当a≤1时，∴f（1）=2a﹣1≤0，∴，…
当a＞1时，∴f（1）=﹣2a+3≤0，∴，…
∴或．…
（3）∵f（x）=x2﹣2x（x﹣a） g（x﹣a），
∴，
当a＞0时，，∴2≤a≤3，…
当a=0时，不合题意，…
当a＜0时，f（x）在[1，2]上单调递减，不合题意，…
∴2≤a≤3．…
　
2017年2月16日