2016-2017学年高二数学苏教版选修2-1学业分层测评：第1章 常用逻辑用语 1.1.1

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．给出下列语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0.
其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
【答案】　①③⑤　⑤
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
【解析】　同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
【答案】　若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
3．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的________命题．
【解析】　不妨设p：若A则B；则q：若B则A；那么q的否命题r为：若非B则非A.故p是r的逆否命题．
【答案】　逆否
4．命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题的个数有________个．
【解析】　由x2－8x＋15＝0，得x＝3或5.所以原命题正确，而逆命题和否命题不正确，逆否命题是正确的，故真命题有1个．
【答案】　1
5．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
【答案】　若a≤b，则2a≤2b－1
6．命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆命题是________，是________命题．(填“真”或“假”)
【解析】　“若p则q”的逆命题是“若q则p”．
【答案】　若b2＝ac，则实数a，b，c成等比数列　假
7．(2016·聊城高二检测)原命题为“若＜an，n∈N
，则{an}为递减数列”，其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是________个.
【解析】　由【答案】　3
8．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三边形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
【解析】　①否命题为“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根”，是真命题；
②逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，是真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，是假命题．
【答案】　①②③
二、解答题
9．写出命题“若xy＝0，则x＝0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
【解】　(1)逆命题：若x＝0，则xy＝0，显然是真命题；
(2)否命题：若xy≠0，则x≠0，因为逆命题和否命题互为逆否命题，逆命题为真命题，所以否命题也是真命题；
(3)逆否命题：若x≠0，则xy≠0，为假命题，例如x＝2，y＝0，满足x≠0，但xy＝0，所以逆否命题为假命题．
10．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
【解】　∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．
能力提升]
1．(2016·上海高三模拟)原命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有________个．
【解析】　若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真．由等价命题同真同假知否命题也为真，∴有2个真命题．
【答案】　2
2．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围是________．
【解析】　因为命题“若m－1＜x＜m＋1，则－1＜x＜2”的逆否命题为真命题，所以原命题也是真命题，则解得0≤m≤1，则实数m的取值范围是0,1]．
【答案】　0,1]
3．下列四个命题：
①“如果x2－x－6≥0，则x＞2”的否命题；
②“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为真命题；
③命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”的逆否命题为假命题．
其中真命题的序号是________．
【解析】　对于①，命题的否命题为“如果x2＋x－6＜0，则x≤2”，由x2＋x－6＜0，得－3＜x＜2，能得到x≤2，是真命题；对于②，“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”为假命题，例如a＝2≥1，b＝－1，则a＋b＝1＜2，故②是假命题；对于③，命题“若x＝y，则sin
x＝sin
y”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，故③错误．
【答案】　①
4．已知命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点；命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点．若命题p和q只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【解】　∵命题p：函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不等的负零点，
∴方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，
∴解得m>2.
又∵命题q：函数g(x)＝4x2＋4(m－2)x＋1无零点，
∴方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0没有实数根，
∴Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1若命题p为真，命题q为假，则m≥3.
若命题p为假，命题q为真，则1综上可知，实数m的取值范围是(1,2]∪3，＋∞).