2016-2017学年高二数学苏教版选修2-1学业分层测评：第3章 空间向量与立体几何3.2.3

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．
【解析】　∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】　
2．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.
【解析】　依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.
∴＝，＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】　
3．已知点E，F分别在正方体ABCD A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】　如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos
α＝，sin
α＝，所以tan
α＝.
【答案】　
4．已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．
【解析】　以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，所以有
令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
【答案】　
5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．
【解析】　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．
所以＝(－1,0,1)，＝.
设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则
取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，
∴cos〈n，u〉＝.
【答案】　
6．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈C，〉＝________.
【解析】　建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知C＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，cos〈C，〉＝－，
∴sin〈C，〉＝.
【答案】　
7.
如图3 2 28，在四面体A BCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角A BC D的大小为________．
图3 2 28
【解析】　二面角A BC D的大小等于AB与CD所成角的大小.＝＋＋，而2＝2＋2＋2－2||·||·cos
〈，〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角A BC D的大小为.
【答案】　
8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
【解析】　∵·＝·(－)＝·－·
＝||·||cos
－||·||·cos
＝||(||－||)＝0.
∴cos〈，〉＝＝0.
【答案】　0
二、解答题
9．如图3 2 29，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.
图3 2 29
(1)求证：AD⊥平面CFG；
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．
【解】　(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，
所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，
故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，
因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，
从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，
所以∠FED＝∠FEA，
故EF⊥AD，AF＝FD.
因为PG＝GD，所以FG∥PA.
又PA⊥平面ABCD，
所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.
(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故＝，＝，＝.
设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，
则
解得
即n1＝.
设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，
则
解得
即n2＝.
从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为
cos
θ＝＝＝.
10．如图3 2 30，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M是EC的中点，EA＝DA＝AB＝2CB.
图3 2 30
(1)求证：DM⊥EB；
(2)求异面直线AB与CE所成角的余弦值；
(3)求二面角M BD A的余弦值．
【解】　以直线AE，AB，AD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A xyz，设CB＝a，
则A(0,0,0)，E(2a,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a，a)，D(0,0,2a)，
所以M，
(1)证明：＝，＝(－2a,2a,0)，
∴·＝a·(－2a)＋a·2a＋0＝0，
∴⊥，即DM⊥EB.
(2)＝(0,2a,0)，＝(2a，－2a，－a)，
设异面直线AB与CE所成的角为θ，
则cos
θ＝＝＝，
即异面直线AB与CE所成角的余弦值为.
(3)∵DA⊥平面EAB，AD 平面DAB，
∴平面DAB⊥平面EAB.
∵EA 平面EAB，平面EAB∩平面DAB＝AB，
EA⊥AB.
∴EA⊥平面DAB.
∴＝(2a,0,0)是平面DAB的一个法向量．
设平面MBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，
＝，＝(0，－2a,2a)，
则即
令z＝a，则n＝，
设二面角M BD A的平面角为α，
则cos
α＝＝＝.
即二面角M BD A的余弦值为.
能力提升]
1．如图3 2 31，在三棱锥V ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，则异面直线AC与VD所成角的余弦值是________．
图3 2 31
【解析】　由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．
当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．
所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，
所以cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为.
【答案】　
2．如图3 2 32，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________.
图3 2 32
【解析】　不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，
∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)，
∴cos〈，〉＝＝＝＝>0.
∴与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
【答案】　
3．在三棱锥O ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB边的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．
【解析】　如图所示，建立空间直角坐标系，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1，1,0)，＝(－1,0,1)，＝.
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
令x＝1，得n＝(1,1,1)．
故cos〈n，〉＝＝，
所以OM与平面ABC所成角的正弦值为，其正切值为.
【答案】　
4．如图3 2 33，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝，PA＝AC＝1，求二面角A PB C的余弦值．
图3 2 33
【解】　建立如图所示的空间直角坐标系C xyz，取PB的中点D，连结DC，则DC⊥PB，作AE⊥PB于E.
则向量与的夹角的大小为二面角A PB C的大小．
∵A(1,0,0)，B(0，，0)，C(0,0,0)，P(1,0,1)，又D为PB的中点，
∴D.
在Rt△PAB中，＝＝，
∴E，
∴＝，
＝，
∴·＝.
又||＝，||＝1，
∴cos〈·〉＝＝＝，
即二面角A PB C的余弦值为.