5.2.2 平行线的判定
教学目标
使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力.
重点、难点
重点: 平行线的三种判定方法，并运用这三种方法判断两直线平行.
难点：运用平行线的判定方法进行简单的推理.
教学过程
一、情境导入
如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？ 21cnjy.com
要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。
设计意图：通过问题，让学生对新知识产生兴趣，直观形象地给出了生活中的平行线的应用，激发了学生的学习兴趣。21世纪教育网版权所有
二、探究新知
以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本13面图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？21·cn·jy·com
三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。
简化图5.2-5，得图3.
图3
∠1与∠2是三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？www.21-cn-jy.com
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:同位角相等,两条直线平行.
符号语言： ∵∠1=∠2 ∴AB∥CD.
如图（课本14面5.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？
用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线平行.”，可知这样画出的就是平行线。21·世纪*教育网
如图，（1）如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出a∥b吗？
解：（1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等）
∴∠1=∠2 (等量代换)
∴a∥b（同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说：内错角相等,两直线平行.
符号语言：∵∠2=∠3 ∴a∥b.
（2）∵ ∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180° （已知）
∴∠2=∠1 （同角的补角相等）
∴a∥b. （同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说：同旁内角互补,两直线平行.
符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a∥b.
设计意图：教师放手让学生通过讨论解决问题，培养了学生的动手能力，提高了合作意识。 教师要鼓励学生运用自己的语言有条理的表达自己的观点，并说明理由。
三、例题讲解
例1、在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
学生独立思考，组内交流，教师指导，成果展示，针对问题，展开讨论并进行规范。.
设计意图：通过例题，让学生学会运用所学知识，规范答题过程。
四、随堂练习
1、根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）∵∠1=∠4（已知）
∴ ∥ （ ）
（2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）
∴AB∥CD（ ）
（3）∵∠ =∠ （已知）
∴AD∥BC（ ）
（4）∵∠5=∠ （已知）
∴AB∥CD（ ）
2、如图，若∠2=∠6,则______∥_______,
如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,
那么____∥_______；
如果∠9=______,那么AD∥BC；
如果∠9=______，那么AB∥CD.
3、如图所示，已知∠OEB=130°，OF平分 ∠EOD，∠FOD=25°，AB∥CD吗？试说明．
设计意图：让学生们自己总结，形成良好的学习思路，教师帮助学生们总结本节课的收获与不足，让学生体会成功的喜悦，加深自身学习数学的信心21教育网
五、拓展延伸
1、已知，∠ADE=∠A+∠B，求证DE∥BC。
2、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由。2·1·c·n·j·y
设计意图：讲课后的练习题作为必做题，让学生们适当的复习所学知识。并尽可能的查点在授课过程中的不足与遗漏。将教辅资料中稍有难度的题目作为拓展题，目的在于让学有余力的学生不仅能更好的巩固本节课的基本知识，更能通过较复杂问题的思考解决提高自身的学习能力。【来源：21·世纪·教育·网】
六、课堂小结
说说今天你学了哪些平行线的判定方法.你能说一说我们得到这三个判定方法的过程吗？除此之外我们还有哪些收获呢？www-2-1-cnjy-com
1．判定直线平行的三个方法：
①同位角相等，两直线平行；
②内错角相等，两直线平行；
③同旁内角互补，两直线平行.
2．我们知道了“转化”的数学思想方法.
3．我们要学会用“推理”的方式解决数学问题．
设计意图：对本节课所学知识进行及时整理、巩固和提高，培养学生整理、归纳的习惯和能力.
七、教学反思：
我总觉得这一节的内容让学生难于理解，在实际的生活中，要判断两条直线是否平行，大部分时候是靠眼睛的观察.这一节编者也许认为在第一节的时候出示了三根木棍钉在一起的模型，一厢情愿的把模型抽象成为三条直线，而学生的认知觉得木棍是线段，代表不了直线，再就是为什么要有第三线呢？学生不理解，再就是其实在我们所出示的题中都不知道第三线是哪一条，若果多条直线在一起就会出现很多的角，因此为什么要抽出同位角，也是由我们自己指定要学生去量的，因此依据学生的认知规律来讲，有一点强加上去的意思。我个人觉得还是先出示两条线，先让学生感性上判定一下平时生活中所理解的两条直线平行的模型，再通过七嘴八舌的说明让学生来找一种科学的判定平面内两直线的平行的方法，老师再引进第三线，让学生观察线的位置关系与角的大小关系之间的一种变化。从而引出判定一。我不赞同教材上的量角来探究的方法。那实在是强人所难，因为一定有人量不准。判定的运用多与已知角的同位角与内错角有联系，因此我们要多练习，多总结规律.
参考答案：
随堂练习：
1、(1)AB，CD，内错角相等，两直线平行 ；(2)C，同旁内角互补，两直线平行；
（3）2,3，内错角相等，两直线平行 ；（5）ABC，同位角相等，两直线平行
2、AD，BC，AD，BC，∠BAD ，∠BCD
3、解 ： AB∥CD；
∵OF平分∠EOD，∠FOD=25°∴∠EOD=50°
∵∠OEB=130°∴∠EOD+OEB=180°
∴AB∥CD
拓展延伸
1、解：延长AD交BC于F（如图1），
∵ ∠AFC是△ABF的外角，∴ ∠AFC=∠A+∠B。
又∵ ∠ADE=∠A+∠B ，∴ ∠AFC=∠ADE
∴ DE∥BC
2、CE∥DF。
理由：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴ ∠1=∠ABC，∠2=∠ACB
∵ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠1=∠2
∵∠DBF=∠F
∴∠2=∠F
∴CE∥DF
3
2
b
a
c
4
1
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第五章 相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
情境引入
如图，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
1
2
a
b
．
Ａ
我们已经学过用三角尺和直尺画平行线的方法，
思考：我们是怎样画出过这一点的这条直线呢？
探究新知
1、∠1和∠2是什么位置关系的角
2、在三角板移动的过程中,∠1和∠2的大小发生变化了吗
3、要判断a//b你有办法了吗？
没有发生变化
可以根据同位角来判断两直线平行
∠1和∠2是同位角
探究新知
两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线 。
简单说成：
同位角相等, 两直线平行
平行线的判定方法1
同位角
平行
几何语言：
∵∠1＝∠2（已知）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
1
2
A
C
E
D
B
F
直线l1，l2被直线l3所截，如图，∠1＝45°，
∠2＝135°，试判断l1与l2是否平行，并说明理由.
做一做
解： l1∥l2 ，
∵∠2+∠3=180 .
∴ ∠3=180 -∠2=180 -135 =45 .
又∵∠1=45 ∴ ∠1=∠3. （同位角相等，两直线平行）
解：∵∠2=∠3，而∠3=∠1（ ）
∴∠1=∠2 （等量代换）
∴a∥b（ ）
c
b
a
3
１
2
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
你能用文字语言概括上面的结论吗？
如图2，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？请说明。
探究新知
平行线的判定方法2
两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两条直线平行.
内错角相等，两直线平行.
简单说成：
A
2
3
C
E
B
D
F
几何语言：
∵∠2＝∠3（已知）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
如图，∠C= ∠E+∠A，判断AB与CD是否平行，并说明理由.
解：AB//CD
理由：∵∠AFC= ∠E+ ∠A、
∠C= ∠E+ ∠A、
∴∠AFC= ∠C， （内错角相等，两直线平行）
∴AB//CD
做一做
如图2，如果∠2+∠4=180 °, 能得出a∥b吗？请说明。
解：方法一：∵ ∠4+∠2=180°,而∠4+∠1=180°,
∴∠2=∠1（同角的补角相等），
∴a∥b（ ）
方法二： ∵∠4+∠2=180°,而∠4+∠3=180°,
∴∠3=∠2（ ），
∴a∥b（ ）
同位角相等，两直线平行
同角的补角相等
内错角相等，两直线平行
你能用文字语言概括上面的结论吗？
探究新知
简单说成：
同旁内角互补，两直线平行
平行线的判定方法3
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
a
b
c
1
2
3
4
几何语言：
∵∠2＋∠4＝180°（已知）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
已知：如图所示，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°．
求证：AB∥CD；
解：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1= ∠ABD，∠2= ∠BDC；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
做一做
总结判定两条直线平行的方法
文字叙述 符号语言 图形
相等两直线平行 ∵ (已知)
∴a∥b
相等
两直线平行 ∵ (已知)
∴a∥b
互补，两直线平行 ∵
∴a∥b
同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
a
b
c
1
2
3
4
例：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
答：垂直于同一条直线的两条直线平行.
理由：方法一
如图，
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)
a
b
c
1
2
例题讲解
理由：如图，
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=90°，∠2=90 °(垂直定义)
∴∠1=∠2
∴b∥c(内错角相等，两直线平行)
方法二
a
b
c
1
2
理由：如图，
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=90°，∠2=90°(垂直定义)
∴∠1+∠2=180°
∴b∥c(同旁内角互补，两直线平行)
a
b
c
1
2
方法三
从中可以得出什么结论？
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行。
（3）∵∠ =∠ （已知）
∴AD∥BC（ ）
（4）∵∠5=∠ （已知）
∴AB∥CD（ ）
1、根据图2完成下列填空（括号内填写定理或公理）
（1）∵∠1=∠4（已知）
∴ ∥ （ ）
（2）∵∠ABC +∠ =180°（已知）
∴AB∥CD（ ）
图2
AB
CD
内错角相等，两直线平行
C
同旁内角互补，两直线平行
2
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
随堂练习
2、如图，若∠2=∠6,则______∥_______,
如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°,
那么____∥_______；
如果∠9=______,那么AD∥BC；
如果∠9=______，那么AB∥CD.
3、如图所示，已知∠OEB=130°，
OF平分 ∠EOD，∠FOD=25°，
AB∥CD吗？试说明．
解 ： AB∥CD；
∵OF平分∠EOD，∠FOD=25°∴∠EOD=50°
∵∠OEB=130°∴∠EOD+OEB=180°
∴AB∥CD
AD
BC
AD
BC
∠BAD
∠BCD
1、已知，∠ADE=∠A+∠B，求证DE∥BC。
拓展延伸
解：延长AD交BC于F（如图1），
∵ ∠AFC是△ABF的外角，
∴ ∠AFC=∠A+∠B。
又∵ ∠ADE=∠A+∠B ，
∴ ∠AFC=∠ADE
∴ DE∥BC
2、如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，问：CE与DF的位置关系怎样？试说明理由。
拓展延伸
解：CE∥DF。
理由：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∵ ∠ABC=∠ACB，
∴ ∠1=∠2
∵∠DBF=∠F
∴∠2=∠F
∴CE∥DF
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
平行线的判定示意图
判定
数量关系
位置关系
课堂小结
