1.2 直角三角形 同步练习（含答案）

1.2
直角三角形
同步练习
一、单选题
1、使两个直角三角形全等的条件是（）
A、一锐角对应相等
B、两锐角对应相等
C、一条边对应相等
D、两条直角边对应相等
2、已知下列命题：
①若a2≠b2
，
则a≠b；
②垂直于弦的直径平分这条弦；
③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
④平行四边形的对角线互相平分；
⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（　　）
A、②③④
B、①②④
C、③④⑤
D、①③⑤
3、已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；②正方形的对角线互相垂直平分；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④菱形的四条边相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
4、直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上的中线长为（
）
A、5cm
B、2.4cm
C、2.5cm
D、5cm或cm
5、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（　　）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2
，
那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
6、如图∠AOP=∠BOP=15o
，
PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于


A、5
B、
C、10
D、2.5
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是(
)
A、3
B、2
C、
D、1
8、已知Rt△ABC，∠C=90°，若以斜边AB为直径作⊙O，则点C在（ ）
A、⊙O上
B、⊙O内
C、⊙O外
D、不能确定
9、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为(
)
A、2
B、2.4
C、2.6
D、3
10、把直线a沿箭头方向平移1.5cm得直线b，这两条直线之间的距离是（ ）
A、1.5cm
B、3cm
C、0.75cm
D、cm
11、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
，
E为AB的中点，且OE＝a
，
则菱形ABCD的周长为（　　）.
A、16a
B、12a
C、8a
D、4a
12、如图，△ABC中，∠C=90°，AB=6，∠B=30°，点P是BC边上的动点，AP的长不可能是（　　）
A、2.5
B、4.2
C、5.8
D、3.6
13、如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD=1，∠B=30°，则BD的长是（　　）
A、1
B、2
C、
D、
14、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，
0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为(
)．
A、
B、
C、
D、2
15、如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1
，
过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（　　）
A、（0，64）
B、（0，128）
C、（0，256）
D、（0，512）
二、填空题
16、如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四个结论：
①∠ABE=∠BAD；②△CEB≌△ADC；
③AB=CE；④AD﹣BE=DE．
正确的是 ________（将你认为正确的答案序号都写上）．
17、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”．
18、如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠E=90°，AB=DF，请再添上一个条件，使Rt△ACB≌Rt△DEF，这个条件可以是 ________
．
（写出一个即可）

19、如图，在△ABD中，∠ADB=90°，C是BD上一点，若E、F分别是AC、AB的中点，△DEF的面积为3.5，则△ABC的面积为________ ．

20、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是________ ．

三、解答题
21、在菱形ABCD中，AE⊥BC
，
AF⊥CD
，
且E
，
F分别为BC
，
CD的中点，求∠EAF
．
22、已知：AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，且CE＝BF
。
求证：AB∥CD.
23、如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点,
（1）求证：AC2＝AB AD;
（2）求证：CE∥AD;
（3）若AD＝4,AB＝6,求的值．
24、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求AC的长度．
25、已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）如图1，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA,OB交于点C，D．
①比较大小：PC______PD．
(选择“>”或“<”或“=”填空）；
②证明①中的结论．
（2）将三角板的直角顶点P在射线ＯＭ上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求OP的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求OP的长）.
答案部分
一、单选题
1、
【答案】D
2、
【答案】C
3、
【答案】B
4、
【答案】C
5、
【答案】C
6、
【答案】A
7、
【答案】B
8、
【答案】A
9、
【答案】B
10、
【答案】C
11、
【答案】C
12、
【答案】A
13、
【答案】B
14、
【答案】B
15、
【答案】C
二、填空题
16、
【答案】①、②、④
17、
【答案】HL
18、
【答案】AC=DE
19、
【答案】14
20、
【答案】
三、解答题
21、
【答案】解答：解：∵AE⊥BC
，
AF⊥CD
，
∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴∠C＋∠EAF＝180°，又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠EAF＝∠B
，
又∵BE＝
BC
，
AB＝BC
，
∴BE＝
AB
，
∴∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，∴∠EAF＝60°．
22、
【答案】证明：∵CE=BF
∴CF=BE
∵∠AEB=∠DFC，AB=CD
∴△AEB△DFC（HL）
∴∠ABE=∠DCF
∴AB‖CD
23、
【答案】解：（1）证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=AB AD;
（2）证明:∵E为AB的中点,
∴CE=AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
（3）解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE=AB,
∴CE=×6=3,
∵AD=4,
∴,
∴．
24、
【答案】解：（1）∵AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°；
（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴BD=ACD=2×3=6，
∴AD=BD=6，
∴AC=AD+CD=9．
25、
【答案】解：（1）①PC=PD;
②过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°，
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°,
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线,
∴PH=PN.
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD;
(2)①若PD与边OB相交
∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE＝∠DOC=90°
∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO
∴DE=CD，而DO⊥OC，
∴OE=OC=1
∴OP为Rt△CPE斜边上的中线
∴OP=EC=OC=1;
②若PD与边OB的反向延长线相交，
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
则PH=PN
∵△PCE与△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE＝∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD
又∵∠PCO＋∠PEC=90°,∠PDO
+∠OED
=90°,
且∠PEC＝∠OED，∴∠PDO=∠PCO.
而PH=PN，∴Rt△PHC≌Rt△PND（A.A.S）.
∴HC=ND，PC=PD，
∴∠PCD=
∠PDC
=45°，
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO
=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°,
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD,
设OP=x，则HC=OC－OH=1-，
而DN=DO＋ON=OP+ON=x+，
∴1-=x+，
∴x=-1，即OP=-1，
综上所述，满足条件的OP=1或OP=-1．