1.3 线段的垂直平分线 同步练习（含答案）

1.3
线段的垂直平分线
同步练习
一、单选题
1、下列命题中，错误的是（ ）
A、矩形的对角线互相平分且相等
B、对角线互相垂直的四边形是菱形
C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等
D、到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
2、下列说法错误的是（　　）
A、等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C、等腰三角形的两个底角相等
D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
3、如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（
）
A、∠C=2∠A
B、BD平分∠ABC
C、S△BCD=S△BOD
D、点D为线段AC的黄金分割点
4、如图所示的是A、B、C、D三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN；②再分别以B、C两点为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，GH与MN交于点P，若∠BAC=66°，则∠BPC等于（　　）

A、100°
B、120°
C、132°
D、140°
5、如图，△ABC的面积为1.5cm2
，
AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（　　）
A、1cm2
B、0.75
cm2
C、0.5cm2
D、0.25cm2
6、△ABC中,
∠B＝30°,
∠C=50°,
点B、点C分别在线段AD、AE的中垂线上,
则∠EAD＝
（　　）
A、40°
B、50°
C、80°
D、60°
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是(
)
A、3
B、2
C、
D、1
8、如图，等腰△
ABC中，AB=AC，∠A=20°。线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（
）
A、80°
B、70°
C、50°
D、60°
9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=1，则BC的长为（
）
A、3
B、2+
C、2
D、1+
10、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（　　）
A、1.6
B、2.5
C、3
D、3.4
11、如图所示，平行四边形ABCD的周长为16cm，对角线AC与BD相交于点O，OEAC交AD于E，连接CE，则△DCE的周长为(
)
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
12、如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（　　）

A、16cm
B、8cm
C、4cm
D、不能确定
二、填空题
13、如图，在△ABC中，AB=BC
，
∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D
．
若AC=15cm，则AD=________cm．
14、如图，△ABC，中，DE是AC的垂直平分线，AB=5cm，△ABD的周长为14cm，则BC的长为________ cm.
15、如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，交BE延长线于点A，连接AC，已知∠BDE=70°，则∠CAD=________ °
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD=12cm，则BC的长为________ cm．
三、作图题
17、某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
18、作图题：（不写作法，但要保留痕迹）
在图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等．
四、解答题
19、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
20、如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
21、如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
22、如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
答案部分
一、单选题
1、
【答案】B
2、
【答案】A
3、
【答案】C
4、
【答案】C
5、
【答案】B
6、
【答案】A
7、
【答案】B
8、
【答案】D
9、
【答案】A
10、
【答案】D
11、
【答案】C
12、
【答案】B
二、填空题
13、
【答案】5
14、
【答案】9
15、
【答案】70
16、
【答案】6
三、作图题
17、
【答案】解：作AC的垂直平分线交AB于M点，
则点M为所求．
18、
【答案】解：如图所示：点A即为所求．
四、解答题
19、
【答案】解：∵DE垂直平分AB，∴∠DAE＝∠B，∵在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，∴∠DAE＝（90°－∠B）＝∠B，∴3∠B＝90°，∴∠B＝30°．
20、
【答案】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
21、
【答案】证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，
∴∠DBC=∠FAC，
在△ACF和△BCD中，
∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF=BD．
又AE=BD，
∴AE=EF，即点E是AF的中点．
∴AB=BF，
∴BD是∠ABC的角平分线．
22、
【答案】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．