2.4 二次函数的应用 同步练习（含答案）

2.4
二次函数的应用
同步练习
一、单选题
1、已知函数y=，
则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A、0
B、1
C、2
D、3
2、有一拱桥的桥拱是抛物线形，
其表达式是Y=-0.25x2,当桥下水面宽为12米时，水面到拱桥拱顶的距离为（
）
A、3米
B、2
米
C、4
米
D、9米
3、若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（　　）
A、x1=0，x2=4
B、x1=1，x2=5
C、x1=1，x2=﹣5
D、x1=﹣1，x2=5
4、某商店经营皮鞋，所获利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系为y=－x2+24x+2956，则获利最多为(
)．
A、3144
B、3100
C、144
D、2956
5、童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=－x2+50x－500，则要想获得最大利润每天必须卖出(
)．
A、25件
B、20件
C、30件
D、40件
6、如图所示，用长10m的铝合金条制成下部为矩形，上部为半圆的窗框（包括窗棂）．若使此窗户的透光面积最大，则最大透光面积为（）
A、50
B、50π
C、
D、
7、二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（　　）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
8、某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A、y=10x2﹣100x﹣160
B、y=﹣10x2+200x﹣360
C、y=x2﹣20x+36
D、y=﹣10x2+310x﹣2340
9、已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（　　）
A、3s
B、4s
C、5s
D、6s
10、设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=（　　）
A、17
B、11
C、8
D、7
11、Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（　　）
A、h＜1
B、h=1
C、1＜h＜2
D、h＞2
12、一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=﹣x2+x+．
则他将铅球推出的距离是（　　）m．
A、8
B、9
C、10
D、11
13、某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图)．若抛物线的最高点P离墙一米，离地面
米，则水流落地点B离墙的距离OB是(
)．
A、2米
B、3米
C、4米
D、5米
14、如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m．水面下降2.5m，水面宽度增加（　　）
A、1m
B、2m
C、3m
D、6m
15、某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高约为(精确到0.1米，水泥建筑物的厚度忽略不记)(
)．

A、5.1米
B、9米
C、9.1米
D、9.2米
二、填空题
16、隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为y=—
，一辆车高3m
，
宽4m
，
该车________通过该隧道．(填“能”或“不能”)
17、某物体从上午7时至下午4时的温度M(℃)是时间t(h)的函数：M=t2－5t+100(其中t=0表示中午12时，t=1表示下午1时)，则上午10时此物体的温度为________℃．
18、用铝合金型材做一个形状如图(1)所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm
，
窗户的透光面积为ym2
，
y与x的函数图象如图(2)所示．观察图象，当x＝________时，窗户透光面积最大．
19、如图，点P（m，n）为抛物线y=﹣x2﹣x+1上的任意一点，以点P为圆心，1为半径作圆，当⊙P与x轴相交时，则m的取值范围为________
20、如图，矩形ABCD的长AB=6cm，宽AD=3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y=ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是________ cm2
．

三、解答题
21、如图，矩形ABCD的两边长AB＝18
cm，AD＝4
cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2
cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1
cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．
(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)求△PBQ的面积的最大值．
22、如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象限，OB=2，
抛物线y=x2+bx+c经过点A和B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y=x2+bx+c的对称轴；
（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．
23、某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
24、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交X轴正半轴于点B，交y轴
正半轴于点C，直线BC的解析式为y=kx+3（k≠0
），∠ABC=45°
（1）求b、c的值；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线BC于点M、N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点E为抛物线的顶点，连接EC、EP、AP，AP交y轴于点D，连接DM，若∠DMB=90°，求四边形CMPE的面积．
25、如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为，
将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A．
（1）图中，∠OCE等于多少；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案部分
一、单选题
1、
【答案】D
2、
【答案】D
3、
【答案】D
4、
【答案】B
5、
【答案】A
6、
【答案】C
7、
【答案】D
8、
【答案】B
9、
【答案】B
10、
【答案】B
11、
【答案】B
12、
【答案】C
　
13、
【答案】B
14、
【答案】B
15、
【答案】C
二、填空题
16、
【答案】不能
17、
【答案】114
18、
【答案】1.5
19、
【答案】﹣﹣1＜m＜﹣2或0＜m＜﹣1
20、
【答案】
三、解答题
21、
【答案】解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝ (18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0(2)由(1)知，y＝－x2＋9x，∴y＝－＋，
∵当0而0即△PBQ的最大面积是20
cm2.
22、
【答案】解：（1）AO的解析式为y=x，AO⊥BO，
BO的解析式为y=﹣x，设B点坐标为（a，﹣a），
由OB=2，得
=．
解得a=2（不符合题意，舍），或a=﹣2，
B（﹣2，2）；
（2）将A、B点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
y=x2﹣x﹣=（x﹣1）2﹣，
对称轴是x=1；
（3）设AB的解析式为y=kx+b，
将A、B点的坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y=﹣3x﹣4．
当y=0时，x=﹣，即F（﹣，0）．
AO：y=x，当x=1时，y=1，即C（1，1）；
BO：y=﹣x，当x=1时，y=﹣1，即D（1，﹣1）；
AB=BC=，AO=OC=．
①图1
，
∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO时．
此时，F与E重合，E（﹣，0）；
②图2
，
设E点坐标为（b，﹣3b﹣4），
△BCD∽△BOE时，
∵△BCD∽△BFO，
∴△BFO∽BOE，
，
∴BO2=BF BE，
8= BE，
BE=，
，
解得b=﹣，﹣3b﹣4=﹣3×（﹣）﹣4=﹣，
∴E（﹣，﹣），
综上所述：当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标（﹣，0），（﹣，﹣）．
23、
【答案】解：（1）根据题意得：
y=（30+x﹣20）（230﹣10x）=﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y=2520时，得﹣10x2+130x+2300=2520，
解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）
当x=2时，30+x=32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y=﹣10x2+130x+2300
=﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a=﹣10＜0，
∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36，y=2720（元），
当x=7时，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
24、
【答案】解：（1）在y=kx+3中，令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），
∵直角△OBC中，∠ABC=45°，
∴OB=OC=3，即B的坐标是（3，0）．
根据题意得：，
解得：；
（2）二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3，
设BC的解析式是y=mx+n，
则，
解得，
则直线BC的解析式是y=﹣x+3，△OBC是等腰直角三角形．
把x=t代入y=﹣x2+2x+3得y=﹣t2+2t+3，即P的纵坐标是﹣t2+2t+3，
把x=t代入y=﹣x+3，得y=﹣t+3，即Q的纵坐标是﹣t+3．
则PQ=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
则d=PQ，即d=-t2+3t；
（3）延长PM交y轴于点H，延长PN交x轴于点K．
A的坐标是（﹣1，0），P的坐标是（t，﹣t2+2t+3），
∵在直角△PAK中，tan∠PAK==3﹣t，
在直角△AOD中，∠DAO=，
∴3﹣t=，
∴OD=3﹣t，
∴CD=3﹣（3﹣t）=t．
∵△CMD是等腰直角三角形，
∴MH=CD=t．
∵PH=MH+PM，
∴t=t+（﹣t2+3t）．
∴t=或0（舍去）．
∴PM=﹣（）2+3×=，
PM=，
CM=，
PK=．
∵二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3的顶点E的坐标是（1，4）．
∴点E到PM的距离是4﹣=，
过E作EQ⊥y轴于点Q，连接EM．
∵EQ=QC=1，
∴△EQC和△HMC都是等腰直角三角形，
∴EC=，
∠ECM=90°，
∴S四边形CMPE=S△ECM+S△EMP=××+××=．
25、
【答案】解：（1）∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴∠OCE=∠BCD；
故答案为BCD；
（2）作CH⊥OE于H，如图，
∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
∴OH=HE=1，
∴OE=2，
∴E点坐标为（2，0），
设B（m，0），D（，n），
∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2
，
CB2=（1﹣m）2+22
，
DE2=（2﹣）2+n2
，
∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22
，
（2﹣）2+n2=m2
，
∴m=3，n=﹣，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；
（3）存在．
A与点B关于直线x=1对称，
∴A（﹣1，0），
∵△CDE绕点C旋转到△CBO，
∴△CDE≌△CBO，
∴S△CDE=S△CBO= 2 3=3，
设P（t，t2﹣t﹣），
∵S△PAE=S△CDE
，
∴ 3 |t2﹣t﹣|= 3，
∴t2﹣t﹣=1或t2﹣t﹣=﹣1，
解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；
解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，﹣1）或（1﹣，1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．